TIỂU SỬ NHÀ TOÁN HỌC ĐỀ CÁC

Nhà toán học DESCARTES
Mục Lục

NHÀ TOÁN HỌC DESCARTES
NHÀ TOÁN HỌC DESCARTES.............................................................................................................................1
LỜI NÓI ĐẦU......................................................................................................................................................1

LỜI NÓI ĐẦU
Toán học là một trong những môn khoa học cổ nhất của loài người. Nhưng chưa
bao giờ toán học phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng sâu sắc như ngày nay.
Ở thời đại chúng ta những phát minh mới mẽ của toán học xuất hiện hàng ngày, rất
nhiều nghành mới ra đời, nhiều quan niệm cũ bị đảo lộn. Ngày nay toán học không
chỉ áp dụng trong thiên văn, vật lý, cơ học mà còn xâm nhập vào hóa học, sinh học
và nhiều nghành khoa học xã hội khác nữa.
Toán học có nguồn gốc lịch sử và thăng trầm như thế nào sau đây nhóm thuyết
trình của chúng tôi xin làm rõ hơn về một phần nhỏ trong chặng đường dài của lịch
sử toán học hàng ngàn năm qua. Đó là cuộc đời, sự nghiệp và thành tựu đóng góp

GVHD: Phạm Trung Thiện
Nhóm: 6
1


Nhà toán học DESCARTES
của René Descartes trong rất nhiều các lĩnh vực trong đó có lĩnh vực toán học. Vậy
Descartes đã có nhưng công trình nghiên cứu vĩ đại nào, đóng góp gì cho toán học,
khoa học, mà ông được hậu thế xem là 1 trong những nhà toán học lỗi lạc của nhân
loại? Chúng tôi sẽ giúp các bạn phần nào hiểu hơn về ông qua bài tiểu luận “Cuộc
đời và sự nghiệp của Descartes”.
Nhóm thuyết trình xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và hướng dẫn của Thầy
Phạm Trung Thiện trong suốt quá trình thực hiện bài tiểu luận. Tuy nhiên do kiến

thức còn thiếu và tài liệu còn nhiều hạn chế nên bài tiểu luận khó tránh khỏi những
sai sót, nhóm thuyết trình rất mong sẽ nhận được sự nhận xét, góp ý của Thầy để
bài tiệu luận của chúng em được hoàn thiện hơn.

NHÀ TOÁN HỌC DESCARTES
( ĐỀ-CÁC )
NHÓM VI
I.
Tiểu sử -Sự nghiệp:
1. Tiểu sử : (Story).
- Descartes (1596–1650), sinh tại La
Haye, Touraine (trước đây là một tỉnh, nay
gọi là một vùng của Pháp).
- Ông là một nhà bác học người Pháp lỗi lạc,
là một nhà triết học, toán hoc, vật lí học, sinh

GVHD: Phạm Trung Thiện
Nhóm: 6
2


Nhà toán học DESCARTES
lí học. Đề Các mồ côi từ nhỏ nhưng vốn thuộc tầng lớp quý tộc nên được nuôi
dưỡng và dạy dỗ trong một trường dòng.
* Bối cảnh thời đại: (The context of the times)
- Lên tám tuổi, ông được gửi theo học tại trường học của dòng Tên tại La
Flèche ở Anjou, ông học ở đây suốt 8 năm
-Suốt đời ông luôn luôn tự cải tạo trong khoa học mà ông hết lòng say mê nó. Mục
đích nghiên cứu của ông là sáng tạo ra phương pháp suy diễn toán học tổng quát
cho việc nghiên cứu mọi vấn đề khoa học tự nhiên. Chủ nghĩa duy lí trong quan

điểm của Đề Các, trước hết thừa nhận lí trí và sự suy diễn chặt chẽ là nhằm chống
lại triết học kinh viện của nhà chung.
- Sau khi ra trường, ông theo học luật tại Đại học Poitiers, tốt nghiệp năm 1616.
- Năm 1618 ông phục vụ cho Hoàng tử Maurice de Nassau, nhà lãnh đạo của Liên
hiệp các tỉnh Hà Lan, với ý định theo đuổi một cuộc đời binh nghiệp. Những năm
tiếp theo, Descartes phục vụ các quân đội khác, nhưng ông đã bắt đầu tập trung vào
toán học và triết học.
- Ông hành hương sang đất Ý từ năm 1623 đến 1624, sau đó từ 1624 đến1628, ông
ở Pháp. Trong thời gian ở Pháp, Descartes chuyên tâm nghiên cứu triết học và làm
các thí nghiệm về quang học. Năm1628, sau khi bán hết tài sản ở Pháp, ông chuyển
sang sống ở Hà Lan, và sống hầu hết quãng đời còn lại ở xứ hoa tuylip. Descartes
sống ở nhiều thành phố khác nhau của Hà Lan, như Amsterdam, Deventer, Utrecht,
và Leiden.
- Năm 1649 Nữ hoàng Christina nước Thụy Điển mời Descartes đến giảng dạy cho
bà về triết học tại triều đình ở Stockholm. Cái lạnh khắc nghiệt của xứ Bắc Âu đã
làm ông mắc bệnh viêm phổi và qua đời năm 1650.
2. Sự nghiệp (Career).
- Descartes là triết gia, nhà khoa học, nhà toán học người Pháp, được một số người
xem là cha đẻ của triết học hiện đại.
- Ông là một nhà một nhà bác học duy vật. Đề-các khẳng định vật chất là cơ sở duy
nhất của tồn tại và nhận thức. Tính chất quan trọng của vật chất là tính phân chia
được và tính cơ động, bản chất của vật chất là đặc tính 3 chiều của nó. Ông cho
rằng toán hoc phải phản ánh những tính chất của vật chất. Toán học không thể chỉ
là khoa học về số hoặc về hình. Toán học là khoa học nhiều mặt, trong đó phải có
tất cả các vấn đề liên quan đến thứ tự và đo đạc. Toàn bộ nội dung của toán học
GVHD: Phạm Trung Thiện
Nhóm: 6
3

Nhà toán học DESCARTES
phải được khảo sát theo những quan điểm thống nhất, được nghiên cứu bằng một
phương pháp duy nhất. Bản thân tên gọi môn khoa học này cũng phải phản ánh
được tính chất tòn diện của nó. Đề Các đề nghị gọi nó là “Toán học vạn năng”.
Những quan niệm chung này được nêu cụ thể trong tác phẩm nổi tiếng của ông
“Phương pháp luận” ra đời năm 1637 cùng với 3 phụ lục về “Quang học”, “Thiên
văn học” và “Hình học”. Phụ lục thứ 3 ngày nay gọi là hình học giải tích đã tôn
ông lên hang bất tử vì ông đã phát minh cho nhân loại một phương pháp nghiên
cứu hình học mới kết hợp giữa hình học và đại số.
II.
Vai trò đối với lịch sử: (The role of history)
1. Vai trò đối với triết học : (The role of philosophy).
- Suốt đời mình Descartes chuyên tâm nghiên cứu khoa học, quên cả lập gia đình.
Ông từng tuyên bố: "niềm vui cuộc sống lớn nhất của tôi là niềm vui tư tưởng
trong những tìm tòi chân lý". Descartes muốn áp dụng phương pháp quy nạp hợp
lý của khoa học, nhất là của toán học, vào triết học. Descartes cho rằng "Trong khi
tìm kiếm con đường thẳng đi đến chân lý, chúng ta không cần phải quan tâm tới
những gì mà chúng ta không thể thấu đáo một cách chắc chắn như việc chứng
minh bằng đại số và hình học".
- Descartes muốn áp dụng phương pháp quy nạp hợp lý của khoa học, nhất là của
toán học, vào triết học. Trước đó, triết học bị chi phối bởi phương pháp của phái
Kinh viện, vốn hoàn toàn dựa theo sự so sánh và đối chiếu với quan điểm của nhà
cầm quyền. Bác bỏ phương pháp này, Descartes cho rằng "Trong khi tìm kiếm con
đường thẳng đi đến chân lý, chúng ta không cần phải quan tâm tới những gì mà
chúng ta không thể thấu đáo một cách chắc chắn như việc chứng minh bằng đại số
và hình học". Qua đó ông chỉ ra rằng "không điều gì được xem là đúng cho đến khi
nền tảng để tin rằng nó đúng được thiết lập". Sự chắc chắn duy nhất làm điểm xuất
phát cho các nghiên cứu của ông được ông bày tỏ bằng câu nói nổi tiếng "Cogito,
ergo sum", (tiếng Latinh, "Tôi tư duy, vậy tôi tồn tại"). Từ tiên đề cho rằng ý
thức rõ ràng về tư duy của ông chứng minh rằng ông tồn tại, Descartes kết luận là

Chúa tồn tại. Chúa, theo triết học Descartes, đã tạo ra hai loại chất để tạo nên toàn
bộ vạn vật. Loại thứ nhất là chất suy nghĩ, tức tinh thần, loại thứ hai là các chất mở
rộng, tức thân thể.
- Trong tiếng Pháp, tính từ cartésien (hoặc cartésienne - dạng giống cái) dùng để
chỉ những nhân cách có xu hướng tư duy logic hơn là cả tin. Cartésien có từ

GVHD: Phạm Trung Thiện
Nhóm: 6
4


Nhà toán học DESCARTES
nguyên là tên của Descartes. Tiếng Anh cũng có tính từ cartesian với ý nghĩa tương
đương.
2. Vai trò đối với khoa học: (The role of course ).
- Triết học Descartes, có khi được gọi là Cartesianism (tiếng Anh), đã khiến cho
ông có nhiều giải thích sai lầm về các hiện tượng vật lý. Tuy nhiên, các giải thích
đó cũng có một giá trị nhất định, vì ông đã dùng những giải thích cơ học thay cho
những quan điểm tinh thần mơ hồ của các tác giả đi trước. Ban đầu Descartes đã
công nhận thuyết Copernicvề hệ thống vũ trụ trong đó các hành tinh xoay
quanh Mặt Trời, nhưng ông đã từ bỏ nó chỉ vì giáo hội Thiên Chúa La Mã phán
rằng thuyết đó tà đạo. Thay vào đó ông đưa ra lý thuyết dòng xoáy – cho rằng vũ
trụ được lấp đầy vật chất, ở các trạng thái khác nhau, xoáy quanh mặt trời.
- Trong lĩnh vực sinh lý học, Descartes giữ quan điểm rằng máu là một chất lỏng
tinh tế mà ông gọi là hồn của động vật. Ông tin rằng hồn động vật tiếp xúc với chất
suy nghĩ ở trong não và chảy dọc theo các dây thần kinh để điều khiển cơ bắp và
các phần khác của cơ thể.
- Về quang học, Descartes đã khám phá ra định luật cơ bản của sự phản xạ: góc tới
bằng góc phản xạ. Tiểu luận của ông là văn bản đầu tiên trình bày đề cập đến định
luật này. Việc Descartes xem ánh sáng như một thứ áp lực trên môi trường chất rắn

đã dẫn đường cho lý thuyết sóng của ánh sáng.
3. Vai trò đối với toán học: (The role of math).
Đóng góp quan trọng nhất của Descartes với toán học là việc hệ thống hóa hình
học giải tích, hệ các trục tọa độ vuông góc được mang tên ông. Ông là nhà toán
học đầu tiên phân loại các đường cong dựa theo tính chất của các phương trình tạo
nên chúng. Ông cũng có những đóng góp vào lý thuyết về các đẳng thức. Ông cũng
đã sáng tạo ra hệ thống ký hiệu để mô tả lũy thừa của các số (chẳng hạn trong biểu
thức x²). Mặt khác, chính ông đã thiết lập ra phương pháp, gọi là phương pháp dấu
hiệu Descartes, để tìm số nghiệm âm, dương của bất cứ phương trình đại số nào.
Descartes là người đi tiên phong trong việc xác lập toán học hiện đại, với những ký
hiệu x, y, z để chỉ các ẩn số và dùng các chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái để chỉ
các giá trị đã biết.

GVHD: Phạm Trung Thiện
Nhóm: 6
5


Nhà toán học DESCARTES
* Hình học giải tích của Đề Các: (Analytic geometry of Đề các)
- Hai tư tưởng sau đây là cơ sở trong toàn bộ “Hình học” của Đề Các: Đưa đại
lượng biến thiên vào và sử dụng hệ trục tọa độ vuông góc.
- Tập “Hình học” của Đề Các gồm 3 quyển:
+ Quyển I: Nói “Về các bài toán có thể giải được chỉ cần các đường tròn và
đường thẳng”. Nội dung cơ bản là những quy tắc lập phương trình cho những
đường cong hình học. Ông đã chứng minh rằng mọi bài toán hình học có thể giải
được bằng thước và compa đều đưa về việc giải các phương trình không cao hơn
bậc hai. Đề các không trình bày cặn kẽ và tổng quát những quy tắc chung của môn
hình học giải tích mà chỉ xen vào giới thiệu trong lời
giải những bài toán khó.

+ Quyển II: Viết về “Bản chất của các đường cong”.
Nội dung cơ bản là việc khảo sát cụ thể các đường
cong bậc khác nhau, sự phân loại chúng và trình bày
các tính chất của chúng. Đề các phân loại đường
cong căn cứ vào chỗ có thể khảo sát chúng bằng các
công cụ do ông sử dụng hay không. Theo đó, những
đường cong thừa nhận được là những đường cong có
thể vạch ra bằng một chuyển động liên tục hoặc
bằng một số những chuyển động như thế, trong đó
chuyển động sau phải được xác định bởi chuyển
động trước (nhờ thước và compa). Những đường
cong còn lại ông gọi là đường.

Bìa sách “Hình học ”của
Đề Các xuất bản năm
1637.

cong cơ học (về sau Lepsnit gọi là đường cong siêu việt).
+ Quyển III: Đề cập “Những bài toán về các khối, các thể”. Nội dung là xây dựng
lí thuyết tổng quát về việc giải phương trình và sử dụng quỹ tích cùng với các công
cụ đại số để giải phương trình.
-Tập hình học của Đề các đã đánh dấu một bước tiến có giá tri nguyên tắc trong
việc cải tổ toán học và giá trị đó lớn đến mức độ làm cho tác phẩm này trở thành

GVHD: Phạm Trung Thiện
Nhóm: 6
6


Nhà toán học DESCARTES

kinh điển. Tập “Hình học” của Đềcác còn nêu tư tưởng mới có tác dụng phát triển
đại số lí thuyết.
Tóm lại:
Descartes là người có tư tưởng quan trọng, ông có công lớn trong việc gắn kết 2
lĩnh vực toán học và khoa học.
Khoa học  Toán Học

Là linh hồn, trái tim của khoa học.
Không đơn thuần là những công thức,
những đáp số

III.

Thành tựu tiêu biểu (Typical achievement).

Có một câu chuyện vui, về việc mà Descartes đã phát minh ra hệ
trục tọa độ.
Đó là, sinh thời lúc còn bé Descartes là một người ốm
yếu, ông sống suốt ngày hầu như chỉ ở trên giường. Ông
thường được người lớn ưu ái cho ngủ “nướng”. Vào một
ngày
nọ, trong giấc ngủ dài, ông mơ màng thấy chú nhện
nhện,
đu đu đưa đưa trên cái lưới của mình, rồi chú thả tơ đi
xuống đi
lên…
Với một bộ óc thiên tài, sáng sớm hôm sau, thức vậy ông đã kết hợp những điều
mình thấy trong giấc mơ với toán học… và thế là hệ tọa độ Descartes ra đời. Kết
quả là ngày nay, học sinh chúng ta phải thường xuyên vẽ đi vẽ lại hai đường thẳng
vuông góc với nhau… *_*

1. Hệ tọa độ Descartes: (Coordinates Descartes)
Hệ tọa độ này là ý tưởng của nhà toán học và triết học người Pháp Descartes thể
hiện vào năm 1637 trong hai bài viết của ông. Trong phần hai của bài Phương pháp
luận (Descartes) (tiếng Pháp: Discours de la méthode, tựa Pour bien conduire sa
raison, et chercher la vérité dans les sciences), ông đã giới thiệu ý tưởng mới về
việc xác định vị trí của một điểm hay vật thể trên một bề mặt bằng cách dùng hai
trục giao nhau để đo. Còn trong bài La Géométrie, ông phát triển sâu hơn khái
niệm trên.

GVHD: Phạm Trung Thiện
Nhóm: 6
7


Nhà toán học DESCARTES
Descartes có công lao rất lớn trong việc nối kết giữa Toán Học cổ đại và hiện đại
và đồng thời là người đã phát minh cho nhân loại một phương pháp nghiên cứu
hình học mới kết hợp giữa đại số và hình học Euclide. Công trình này của ông có
ảnh hưởng đến sự phát triển của ngành hình học giải tích, tích phân, và khoa học
bản đồ.
Cổ đại

Hiện đại

Hình học

Đại số
Chuyển thể Toán Học

Đường và mặt

Phương trình đại số.

Điểm

Tọa độ điểm

Hình học đã biết

Điểm là một

(nền móng)

cặp số dạng

Mặt phẳng tọa độ:

.

Trừu tượng

Điểm

1 chiều

1 số

Điểm là

2 chiều

2 số

chiều trong

3 chiều

3 số

không gian

Lúc chưa có hình học giải tích các đường thẳng, đường tròn, elip, mặt cầu… chỉ
được vẽ và biểu diễn trên giấy một cách trực quan. Nhưng khi hình học giải tích

GVHD: Phạm Trung Thiện
Nhóm: 6
8


Nhà toán học DESCARTES
của Descartes ra đời thì các các đường, các mặt được quy về một dạng phương
trình đại số tổng quát để biểu điễn. Ví dụ như:
+ Phương trình tổng quát của mọi đường thẳng được biểu điễn thành phương
trình đại số sau:
+ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm
Khi đó đường tròn tâm

bán kính

+ Mặt phẳng (P) qua điểm

và một số thực

với

.

có phương trình dạng:

và vecto pháp tuyến

có

dạng
+

Trong tọa độ không gian Oxyz. Phương trình mặt cầu tâm
kính

bán

có dạng:

2. Trục tọa độ (1 chiều): (Coordinate aixs)
Trục toạ độ (còn gọi là trục hay trục số) là một đường thẳng trên đó đã xác định
điểm O và một vectơ có độ dài bằng l.

Điểm O gọi là gốc toạ độ, vectơ gọi là vectơ đơn vị của trục toạ độ
Trục tọa độ như vậy được kí hiệu là
Toạ độ của điểm trên trục:

Cho điểm M nằm trên trục

. Khi đó số m xác định để

thế gọi là tọa độ của điểm M đối với trục

. Số m như

( cũng là tọa độ của vecto

)

3. Hệ tọa độ trên mặt phẳng (2 chiều): (Coordinates system in the plane – two
way)

GVHD: Phạm Trung Thiện
Nhóm: 6
9


Nhà toán học DESCARTES

Hệ trục tọa độ (coordinate axis) trong mặt phẳng bao gồm 2 trục tọa độ
vuông góc với nhau. Vecto đơn vị trên trục

và

là , vectơ đơn vị trên trục

là .

Điểm

gốc tọa độ (origin) và nó có giá trị là (0, 0). Trục

trục

gọi là trục tung. Hệ trục toạ độ vuông góc như trên còn gọi đơn giản là hệ

trục toạ độ và kí hiệu là
Tọa độ điểm trong hệ trục
Trong măt phẳng toạ độ

hay

gọi là trục hoành,

.

:
, tọa độ của vectơ

được gọi là toạ độ của điểm

Tổng quát
Với hai điểm:

Một số hình minh họa về điểm trong hệ trục tọa độ Oxy:

GVHD: Phạm Trung Thiện

Nhóm: 6
10

.


Nhà toán học DESCARTES
Hình 1: Hệ tọa độ Đề-Các

Hình 2: Hệ tọa độ Đề- Hình 3: Hệ tọa độ Đề-Các

với bốn góc phần tư. Các mũi
tên ở hai đầu của mỗi trục
nhằm minh họa rằng các trục
này trải dài vô tận theo hướng
của mũi tên.

Các
với một đường tròn
có tâm trùng với gốc tọa độ
và bán kính bằng 2. Đường
tròn này có phương trình:
x2+ y2 = 4.

với bốn điểm lần lượt có tọa
độ: A (2,3), B(-3,1), C(-1.5,2.5) và O(0,0), gốc tọa độ.

4. Hệ tọa độ trong không gian (3 chiều):( Coordinates in space)

Hệ gồm 3 trục

đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc

trong không gian
Thuật ngữ và ký hiệu:
Hệ trục tọa độ trong định nghĩa trên còn được gọi đơn giản là hệ tọa độ trong
không gian, ký hiệu là
. Ta thường gọi các vectơ đơn vị trên các trục
lần lượt là
gọi lả gốc của hệ tọa độ,

và còn ký hiệu hệ trục tọa độ là
gọi là trục hoành,

là trục tung và

.Điểm
là trục cao.

Các mặt phẳng đi qua 2 trong 3 trục tọa độ gọi là các mặt phẳng tọa độ, ta ký hiệu
chúng là mp
mp
và mp
Khi không gian đã có 1 hệ tọa độ

thì nó được gọi là không gian tọa độ

GVHD: Phạm Trung Thiện
Nhóm: 6
11

Nhà toán học DESCARTES
hoặc đơn giản hơn là không gian

.

Chú ý các đẳng thức sau:

Tọa độ điểm trọng hệ trục
Trong không gian tọa độ Oxyz, mỗi điểm M được hoàn toàn xác định bởi vecto
. Bởi vậy, nếu
điểm

là tọa độ của

và ký hiệu là

thì ta cũng nói

hoặc

là tọa độ của

.

Như vậy:

Số x gọi là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của điểm M.
IV.

Ứng dụng hệ tọa độ Descartes để giải bài toán thực tế: (Coordinates
Descartes applications to solve real-world problems)
Bài toán đo chiều cao cổng Acxơ:

GVHD: Phạm Trung Thiện
Nhóm: 6
12


Nhà toán học DESCARTES
Khi du lịch đến thành phố Lui nước Mĩ ta sẽ thấy một cái cổng lớn dạng Parabol
với bề lõm quay xuống dưới. Đó là cổng Acxơ.

Làm thế nào chúng ta có thể đo được chiều cao của cổng (khoảng cách từ điểm
cao nhất tới mặt đất).
Vấn đề đặt ra:
Tính chiều cao của cổng khi ta không thể dung dụng cụ đo đạc để tính trực tiếp.
Cổng dang Parabol có thể xem là đồ thị của hàm bậc 2, chiều cao của cổng ứng
với đỉnh Parabol. Do đó vấn đề được giải quyết nếu ta biết được hàm số bậc 2
nhận cổng làm đồ thị.
Chọn hệ trục Descartes cho không gian tọa độ 2 chiều Oxy sao cho gốc O trùng
với 1 chân của cổng.

GVHD: Phạm Trung Thiện
Nhóm: 6
13


Nhà toán học DESCARTES

Dựa vào đồ thị ta thấy chiều cao của cổng chính là tung độ của đỉnh Parabol.
Như vậy chiều cao của cổng chúng ta sẽ tính được nếu biết hàm số bậc 2 nhận
cổng Acxơ làm đồ thị.
Phương án giải quyết:
Ta biết hàm số bậc 2 có dạng:

do vậy muốn biết được đồ thị

hàm số nhận cổng làm đồ thị thì ta cần biết ít nhất tọa độ của 3 điểm nằm trên đồ
thị chẳng hạn O, B, M.
Rõ ràng ta có

Ta cần phải đo đạc để lấy số liệu cần

thiết.
Đối với trường hợp này ta cần đo: Khoảng cách giữa 2 chân cổng, và 1 điểm M bất
kỳ chẳng hạn
.

GVHD: Phạm Trung Thiện
Nhóm: 6
14


Nhà toán học DESCARTES
Ta viết được hàm số bậc 2 lúc này là:
Dựa vào phương trình trên ta tính được đỉnh
Vậy trong trường hợp này cổng cao 185,6m. Trên thực tế cổng Acxơ cao 186m.
Khi đó ta có thể đưa cho học sinh một tình huống tương tự là tính chiều cao của 1

nhịp cầu Trường Tiền.

GVHD: Phạm Trung Thiện
Nhóm: 6
15


Nhà toán học DESCARTES

GVHD: Phạm Trung Thiện
Nhóm: 6
16