tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán 12 chuyên đề khảo sát vẽ đồ thị

CHUYÊN ĐỀ 2 - KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Tính lồi lõm của đồ thị:
Hàm số f xác định trên K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.
f gọi là lõm trên K nếu  ,  ,    1: f  x   y    f  x    f  y  , x, y  0
f gọi là lồi trên K nếu  ,  ,    1: f  x   y    f  x    f  y  , x, y  0

Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đạo hàm cấp 2 trên K
f lõm trên K  f ''  x   0, x  K
f lồi trên K  f ''  x   0, x  K .
Điểm uốn của đồ thị:





Điểm U x0 ; f  x0  được gọi là điểm uốn của đường cong  C  : y  f  x  nếu tồn tại một khoảng  a; b 
chứa điểm x0 sao cho một trong 2 khoảng  a; x0  ,  x0 ; b  thì tiếp tuyến tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn
ở khoảng kia thì tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.
Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp 2 một khoảng  a; b  chứa điểm x0 . Nếu f ''  x0   0 và f ''  x 





đổi dấu khi x qua điểm x0 thì U x0 ; f  x0  là điểm uốn của đường cong  C  : y  f  x  .
Chú ý:
1) Nếu y  p  x  . y '' r  x  thì tung độ điểm uốn tại x0 là y0  r  x0 




lõm trên đoạn  a; b  thì GTNN  min  f  a  ; f  b 

2) Nếu f lồi trên đoạn  a; b  thì GTLN  max f  a  ; f  b 
3) Nếu f

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức: gồm 3 bước:
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


Bước 1: Tập xác định
- Tập xác định D  ¡
- Xét tính chẵn, lẻ nếu có.
Bước 2: Sự biến thiên
- Tính các giới hạn
- Tính đạo hàm cấp một, xét dấu
- Lập bảng biến thiên rồi chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến và cực đại, cực tiểu
Bước 3: Vẽ đồ thị
- Tính đạo hàm cấp hai, xét dấu để chỉ ra điểm uốn của hàm đa thức
- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ
- Vẽ đúng đồ thị
Bốn dạng đồ thị hàm bậc 3: y  ax3  bx 2  cx  d , a  0 có tâm đối xứng là điểm uốn.

Bốn dạng đồ thị hàm trùng phương: y  ax 4  bx 2  c, a  0

Đường tiệm cận
- Đường thẳng x  x0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f  x  nếu ít nhất một trong các
điều kiện sau được thỏa mãn:

lim f  x   ; lim f  x   ; lim f  x   ; lim f  x   

x  x0

x x0

x x0

x x0

- Đường thẳng y  y0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x  nếu lim f  x   y0 hoặc
x 

lim f  x   y0

x 

- Đường thẳng

y  ax  b, a  0 được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị y  f  x  nếu

lim  f  x    ax  b   0 hoặc lim  f  x    ax  b   0 .
x

x

Chú ý:
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...

1) Nếu chia tách được y  f  x   ax  b  r  x  và lim r  x   0 thì tiệm cận xiên: y  ax  b
x 

2) Biểu thức tiệm cận khi x   : x 2  bx  c  x 

b
2

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ: gồm 3 bước:
Bước 1: Tập xác định
- Tìm tập xác định
- Xét tính chẵn, lẻ nếu có
Bước 2: Chiều biến thiên
- Tính các giới hạn, tìm các tiệm cận
- Tính đạo hàm cấp một, xét dấu
- Lập bảng biến thiên rồi chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến và cực đại, cực tiểu
Bước 3: Vẽ đồ thị
- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ
- Vẽ đúng đồ thị, lưu ý tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận
Hai dạng đồ thị hàm hữu tỉ bậc 1/1: y 

ax  b
với c  0, ad  bc  0
cx  d

ax 2  bx  c
Bốn dạng đồ thị hàm hữu tỉ: y 
a'x  b'

 a  0, a '  0

Chú ý:
1) Từ đồ thị  C  : y  f  x  suy ra các đồ thị:

y   f  x  bằng cách lấy đối xứng qua trục hoành
y  f   x  bằng cách lấy đối xứng qua trục tung
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


y   f   x  bằng cách lấy đối xứng qua gốc
y  f  x  bằng cách lấy phần đồ thị ở phía trên trục hoành, còn phần phía dưới trục hoành thì đối
xứng qua trục hoành.

y  f  x  là hàm số chẵn, bằng cách lấy phần đồ thị ở phía bên phải trục tung, rồi lấy đối xứng phần
đó qua trục tung.
2) Bài toán về biện luận số nghiệm phương trình dạng g  x, m   0
Đưa phương trình về dạng f  x   h  m  trong đó vế trái là hàm số đang xét, đã vẽ đồ thị  C  : y  f  x  .
Số nghiệm là số giao điểm của đồ thị  C  với đường thẳng y  h  m  .
3) Điểm đặc biệt của họ đồ thị:  Cm  : y  f  x, m 
- Điểm cố định của họ là điểm mà mọi đồ thị đều đi qua:

M 0  x0 ; y0    Cm  , m  y0  f  x0 , m  , m
- Điểm mà họ không đi qua là điểm mà không có đồ thị nào của họ đi qua với mọi tham số:

M 0  x0 ; y0   Cm  , m  y0  f  x0 , m  m
Nhóm theo tham số và áp dụng các mệnh đề sau:

Am  B  0, m  A  0, B  0
Am2  Bm  C  0, m  A  0, B  0, C  0

Am  B  0, m  A  0, B  0
Am2  Bm  C  0, m  A  0, B  0, C  0
hoặc A  0,   B 2  4 AC  0

2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 2.1: Tìm điểm uốn và các khoảng lồi lõm của đồ thị:
a) y  x3  2 x 2  x  1

b) y  x 4  8x 2  9
Hướng dẫn giải

a) D  ¡ . Ta có y '  3x 2  4 x  1, y ''  6 x  4

2
2
2
y ''  0  x  ; y ''  0  x  ; y ''  0  x 
3
3
3

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


2

 ;  và lõm trên khoảng
3


 2 29 
 , hàm số lồi trên khoảng
 3 37 

Vậy điểm uốn I  ;

2

 ;   .
3


b) D  ¡ . Ta có y '  4 x3  16 x, y ''  12 x 2  16  0x
Vậy đồ thị không có điểm uốn và hàm số lõm trên ¡ .
Bài toán 2.2: Tìm điểm uốn và các khoảng lồi lõm của đồ thị:
a) y 

x2  2 x  3
x 1

b) y 

2x  1
x 5

Hướng dẫn giải

x2  2 x  3
6

 x 3
x 1
x 1

a) D  ¡ \ 1 . Ta có y 
Nên y '  1 

6

 x  1

2

, y '' 

12

 x  1

3

 0, x  1

y ''  0  x  1; y ''  0  x  1
Vậy đồ thị không có điểm uốn, hàm số lồi trên khoảng  ; 1 và lõm trên khoảng  1;   .
b) D  ¡ \ 5 . Ta có y ' 

11

 x  5

2

, y '' 

22

 x  5

3

 0, x  5

y ''  0  x  5; y ''  0  x  5
Vậy đồ thị không có điểm uốn, hàm số lồi trên khoảng  ;5 và lõm trên khoảng  5;  .
Bài toán 2.3: Chứng minh rằng với mọi a, đồ thị hàm số y 

xa
luôn có ba điểm uốn thẳng hàng.
x  x 1
2

Hướng dẫn giải
Ta có:

y '' 

x
y' 

2

 x  1   x  a  2 x  1

 x2  x  1

2



x 2  2ax  a  1

x

2

 x  1

2

2  x3  3ax 2  3  a  1 x  1

x

2

 x  1

3

y ''  0  x3  3ax 2  3 a  1 x  1  0
Đặt f  x   x3  3ax 2  3  a  1 x  1, x  ¡
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


Ta có: f  0   1  0, f  1  1  0

lim f  x   , lim f  x    và đồng thời hàm số này liên tục trên tập số thực nên phương trình

x

x

f  x   0 có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng  ; 1 ,  1;0  ,  0;   .
Giả sử hoành độ của một trong các điểm uốn là x0 nên

x03  3ax02  3 a  1 x0  1  0
Ta có: x03  3ax02  3ax0  3a  1  3x0  3a

  x0  3a  1  x02  x0  1  3  x0  a 

 x0  3a  1  x02  x0  1 x0  3a  1
x0  a
Suy ra y0  2


x0  x0  1
3
3  x02  x0  1

Vậy các điểm uốn của đồ thị thuộc đường thẳng y 

x  3a  1
nên chúng thẳng hàng
3

Bài toán 2.4: Cho hàm số: y  x3  6 x 2  3mx  m  2 , m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  3
b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực đai, cực tiểu A và B mà khoảng cách AB  4 65 .
Hướng dẫn giải
a) Khi m  3 hàm số trở thành y  x3  6 x 2  9 x  1


Tập xác định D  ¡



Sự biến thiên: y '  3x 2  12 x  9

y '  0  x  1 x  3
Bảng biến thiên:

x



y'

1
+

y

0

−

0

+



3





3

−1

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ;1 và  3;  , nghịch biến trên 1;3 . Hàm số đạt cực đại khi

x  1 , yC Ð  3 và đạt cực tiểu tại x  3, yCT  1 .

• Đồ thị:

y ''  6 x  12 ,

y ''  0  x  2
nên tâm đối xứng là điểm uốn I  2;1 .
Cho x  0 thì y  1 .
b) Ta có y '  3x 2  12 x  3m
Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình
y '  0 có hai nghiệm phân biệt   '  36  9m  0  m  4
Gọi các điểm cực trị là A  x1; y1  , B  x2 ; y2  .

 x1  x2  4
 x1 x2  m

Theo định lý Viet 

Ta có y1   2m  8 x1  m  2, y2   2m  8 x2  m  2

AB 

 x1  x2    2m  8  x2  x1 
2

2

2

2
2

 1   2m  8  x1  x2   4 x1 x2 





 4m

2

 32m  65 16  4m 




 193m  0  m  4m

nên AB  4 65  4m2  32m  65 16  4m   1040

 4m3  48m2

2

 48m  193  0

 m  0 (thỏa mãn). Vậy m  0 .
Bài toán 2.5: Cho hàm số: y  

2 3
5

x   m  1 x 2   3m  2  x  có đồ thị  Cm  với m là tham số.
3
3

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  2
b) Tìm m để trên đồ thị  Cm  có hai điểm phân biệt có hoành độ cùng dấu và tiếp tuyến của  Cm  tại mỗi
điểm đó vuông góc với đường thẳng d : x  3 y  1  0 .
Hướng dẫn giải
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


a) Khi m  2 hàm số trở thành y  

2 3
5
x  x2  4x  .
3
3



Tập xác định D  ¡



Sự biến thiên: y '  2 x 2  2 x  4 ;

y '  0  x  1  x  2
Bảng biến thiên

x


−

y'

y

−1
0





2
+

0

+

5
−4



L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn

chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


Hàm số đồng biến trên khoảng  1;2  và nghịch biến trên mỗi khoảng  ; 1 ,  2;  .
Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 và yCT  4 , đạt cực đại tại x  2 và yC Ð  5 .


Đồ thị:




5
3

Đồ thị cắt Oy tại  0;   ,

y ''  4 x  2 ,

y ''  0  x 

1
nên đồ thị nhận điểm uốn
2

1 1
I  ;  làm tâm đối xứng.
2 2

b) y '  2 x 2  2  m  1 x  3m  2

Hệ số góc của d : x  3 y  1  0 là k 

1
3

Tiếp tuyến của  Cm  tại mỗi điểm vuông góc với đường thẳng d : x  3 y  1  0 khi y '  3

 2 x 2  2  m  1 x  3m  2  3
 2 x 2  2  m  1 x  3m  1  0
Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1.x2  0

 '   m  12  2  3m  1  0
 m 2  4m  3  0
 m  3


  3m  1


1
 1  m   1
0

m  
3

3

 2

1
3

Vậy m  3 hay 1  m   .
Bài toán 2.6: Cho hàm số y 

1 3 1 2 3
x  x  x  2 . Tìm m để hai điểm A, B thuộc đồ thị  C  có tung độ m
6
2
2

và gốc O tạo thành tam giác OAB cân tại O.
Hướng dẫn giải
Hai điểm A, B thuộc đồ thị  C  có tung độ m nên thuộc đường thẳng d : y  m .
Hoành độ giao điểm của d và đồ thị  C  là nghiệm của phương trình
Phương trình  x3  3x2  9 x  12  6m  0

1 3 1 2 3
x  x  x2m
6
2
2

(1)

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...

17
 5
  m 
Đường thẳng d cắt  C  tại A, B thỏa mãn tam giác OAB cân tại O khi  2
6 và phương trình (1)
m  0
có nghiệm x1 ,  x1 , x2 (trong đó x1 ,  x1 là hoành độ của A, B)



Khi đó x1 , x2 là nghiệm của phương trình x 2  x12

 x  x   0

Phương trình  x3  x2 x 2  x12 x  x12 x2  0

2

(2)

 x2  3

Đồng nhất các hệ số của (1) và (2):  x12  9
 x 2 x  12  6m
 1 2
Suy ra 12  6m  27  m  

5
2

Bài toán 2.7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
a) y   x3  3x 2  4 x  2

b) y  x3  3x 2  3x  1
Hướng dẫn giải

a) y   x3  3x 2  4 x  2


Tập xác định D  ¡



Sự biến thiên lim y   và lim y  
x 

x 

Ta có y '  3x 2  6 x  4  0, x nên hàm số nghịch biến trên ¡ . Hàm số không có cực trị.
Bảng biến thiên

x

−

y'
y










Đồ thị: y ''  6 x  6, y ''  0

 x  1 nên đồ thị có điểm uốn I 1;0  .
Cho x  0  y  2 . Cho y  0

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


  x3  3x 2  4 x  2  0
  x  1  x 2  2 x  2   0  x  1
b) y  x3  3x 2  3x  1


Tập xác định D  ¡



Sự biến thiên: lim y   và lim y  
x 

x 

Ta có y '  3x 2  6 x  3  3  x  1  0, x nên hàm số đồng biến trên
2

¡ , hàm số không có cực trị.
Bảng biến thiên:



x
y'



1
+

0

−



y




Đồ thị: y ''  6 x  6, y ''  0

 x  1 nên đồ thị có điểm uốn I 1;2 

Cho x  0  y  1 .





Bài toán 2.8: Cho hàm số: y  x3  3  m  3 x 2  3 m2  3m  5 x  1, m là tham số. Tìm m để đồ thị của
hàm số đã cho đạt cực đại, cực tiểu tại x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  x1 x2  7 .
Hướng dẫn giải

D¡ ,

y '  3x 2  6  m  3 x  3  m2  3m  5
y '  0  3x 2  6  m  3 x  3 m2  3m  5  0
Hàm

số

cực

đại,

cực

tiểu

x1 , x2   '  3m  4  0  m 

tại

x1 , x2

khi

phương

trình

có

2

nghiệm

phân

biệt

4
3

Ta có x1  x2  2  m  3 ; x1 x2  m2  3m  5
Do đó x1  x2  x1 x2  7  2  m  3  3m  5  7
2

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


 m 2  5m  11  7

2
2


m  5m  11  7
m  5m  4  0
 2
 2
1 m  4


m  5m  11  7
m  5m  18  0

Kết hợp thì chọn: 1  m 

4
3

Bài toán 2.9: Cho hàm số: y  x 4  2mx 2  2m  1 , với m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m  3
b) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông.
Hướng dẫn giải
a) Khi m  3 , hàm số trở thành y  x 4  6 x 2  5


Tập xác định D  ¡ , hàm số chẵn.



Sự biến thiên: y '  4 x3  12 x  4 x x 2  3





y '  0  x  0 hoặc x   3
Bảng biến thiên

x


−

y'
y

 3
0

0
+

0





3

−

0

+



5
−4





Hàm số đồng biến trên khoảng  3;0 ,

−4





 

3;  và nghịch biến trên khoảng ;  3 ; 0; 3



Hàm số đạt cực đại tại x  0, yC Ð  5 và đạt cực tiểu tại x   3, yCT  4



Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận Oy tại trục đối xứng

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...




b) Ta có D  ¡ . y '  4 x x 2  m



y '  0  4 x  x 2  m   0  x  0 hoặc x 2  m
Hàm số có 3 điểm cực trị  y '  0 có 3 nghiệm phân biệt  m  0
Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:





A  m ; m2  2m  1 , B  0;2m  1 , C





m ; m2  2m  1

Vì hàm số chẵn nên tam giác ABC cân tại B  Oy , A và C đối xứng nhau qua Oy.
ABC là tam giác vuông  tam giác ABC vuông cân tại B

 AC  AB. 2  m2  m  m  1 hoặc m  0 .
Vậy chọn m  1.
Bài toán 2.10: Cho hàm số: y  x 4  mx 2  2m  1 , với m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số cho có 3 điểm
cực trị sao cho 3 điểm cực trị cùng với gốc tọa độ là 4 đỉnh của một hình thoi.
Hướng dẫn giải
Ta có y '  4 x3  2mx

x  0
y '  0  4 x3  2mx  0   2
2 x  m
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y '  0 có 3 nghiệm phân biệt  m  0
Khi đó các điểm cực trị:

 m m2

 m m2

A 
;
 2m  1 , B  0;2m  1 , C 
;
 2m  1 
2
4
4



 2

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


Vì tam giác ABC cân tại B, AC song song Ox nên O, A, B, C là 4 đỉnh hình thoi khi và chỉ khi OABC là hình
thoi

yO  yB
 yA
2

 O và B đối xứng nhau qua AC 



2m  1
m2

 2 m  1  m 2  4m  2  0
2
4

 m  2  2 (thỏa mãn). Vậy m  2  2 .
Bài toán 2.11: Cho hàm số: y   x4  2mx2  m2  m , với m là tham số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  2
b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành Ox tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D sao cho AB  BO  OC  CD .
Hướng dẫn giải
a) Khi m  2 hàm số trở thành y   x 4  4 x 2  2



Tập xác định D  ¡ , hàm số chẵn



Sự biến thiên: y '  4 x3  8 x  4 x x 2  2





y'  0  x  0 x   2
Bảng biến thiên

x



y'

 2
+

y

0

0
−

0

+

6

0

−

6





2





2

 







Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;  2 và 0; 2 ; nghịch biến trên mỗi khoảng  2;0 và





2; . Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  0 , giá trị cực tiểu yCT  2 ; hàm số đạt cực đại tại các điểm

x   2 , giá trị cực đại yC Ð  6 .


Đồ thị: nhận Oy là trục đối xứng

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


b) Cho y  0   x 4  2mx 2  m2  m  0
Đặt t  x 2 , t  0 thì PT: t 2  2mt  m2  m  0
Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi phương trình bậc 2 có 2 nghiệm dương phân biệt t1  t2 .

 '  m 2  m 2  m  0
 2m 2  m  0


  S  2m  0
 m  0

 P  m 2  m  0
m 2  m  0


1

m

0

m


2

1
 m  0
 1  m  
2
1  m  0


Vì đồ thị đối xứng qua trục tung nên 4 giao điểm A, B, C, D thỏa mãn AB  BO  OC  CD khi và chỉ khi

t2  2 t1  t2  4t1 .
Theo định lý Viet ta có t1  t2  2m; t1t2  m2  m .

5t1  2m

Do đó 

4t  m  m
2
1

2

 4.4m2  25  m2  m 

 42m2  25m  0  m  0 hay m  
Ta chọn m  

25
.
41

25
.
41

Bài toán 2.12: Cho hàm số y 

1 4
x  2x2  3
4

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Tìm m để phương trình x 4  8 x 2  6  m có 8 nghiệm phân biệt
Hướng dẫn giải
a) y 

1 4
x  2x2  3 .
4



Tập xác định D  ¡ . Hàm số chẵn.



Sự biến thiên: y '  x3  4 x  x x 2  4





y '  0  x  0 hay x  2
Bảng biến thiên

x


−

y'

y

−2
0

0
+



0

−

0

+



3
−1



2

−1

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  2;0  ;  2;   , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ; 2  ;

 0;2 . Hàm số đạt cực đại tại


x  0; yC Ð  3 , đạt cực tiểu tại x  2, yCT  1 .

Đồ thị: Đồ thị  C  hàm số nhận Oy là trục đối xứng

b) Ta có phương trình

x 4  8 x 2  12  m 

1 4
m
x  2x2  3 
4
4

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


Đồ thị  C ' của hàm số y 

1 4
x  2 x 2  3 được suy ra từ đồ thị  C  bằng cách giữ nguyên phần nằm
4

phía trên Ox, còn phần nằm phía dưới Ox thì lấy đối xứng qua Ox.

m
1 4
m
là giao điểm của đồ thị  C ' và đường thẳng y  .
x  2 x2  3 
4
4
4

Số nghiệm của phương trình

Dựa vào đồ thị, phương trình có 8 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

0
Bài toán 2.13: Cho hàm số: y 

m
1 0  m  4.
4

1 4
x   3m  1 x 2  2  m  1 , với m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số có 3
4

điểm cực trị lập thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ.
Hướng dẫn giải

y '  x3  2  3m  1 x  x  x 2  2  3m  1
y '  0  x  0  x2  2  3m  1
Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị  3m  1  0  m  

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị là:

C



1
3





A  0;2m  2  , B  6m  2; 9m2  4m  1

và



6m  2; 9m2  4m  1

Vì hàm số chẵn nên tam giác ABC cân tại A thuộc trục Oy, B, C đối xứng nhau qua Oy.
O là trọng tâm của tam giác ABC  y A  yB  yC  0

 2m  2  2  9m2  4m  1  0
2

m

1

3
. Chọn giá trị m  .
 9m 2  3m  2  0  
3
m  1

3
Bài toán 2.14: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
a) y   x 4  2 x 2  5

b) y 

x4
3
 x2 
2
2

Hướng dẫn giải
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


a) y   x 4  2 x 2  5 .


Tập xác định D  ¡ . Hàm số chẵn



Sự biến thiên lim y   và lim y  
x 

x 

y '  4 x3  4 x  4 x  x 2  1 , y '  0  x  0
BBT

x





0

y'

+

y

0

−

5





Hàm số đồng biến trên khoảng  ;0  và nghịch biến trên khoảng  0; 
Hàm số đạt cực đại tại điểm x  0 : yC Ð  5 .


Đồ thị: y ''  12 x 2  4  0, x nên đồ thị không có điểm uốn.

Cho y  0  x  
b) y 

6 1

x4
3
 x2 
2
2



Tập xác định D  ¡ : Hàm số chẵn.



Sự biến thiên: lim y   .
x 

y '  2 x3  2 x  2 x  x 2  1 , y '  0  x  0 .

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


BBT



x

−

y'



0
0

+





y

−3/2
Hàm số đồng biến trên khoảng  0;  , nghịch biến trên khoảng  ;0  và




3
2

đạt cực tiểu tại  0;   .
 Đồ thị: y ''  6 x 2  2  0, x nên đồ thị không có điểm uốn.




3
2

Giao điểm với trục tung  0;   , giao điểm với trục hoành  1;0  và 1;0  .
Bài toán 2.15: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

x2  x  1
b) y 
5 x 2  2 x  3

x3  2
a) y  2
x  2x

Hướng dẫn giải
a) D  ¡ \ 0;2 suy ra 2 TCĐ: x  0 và x  2 .

x3  2

4x  2
 x2 2
Ta có y  2
nên TCX: y  x  2 .
x  2x
x  2x



3
5

b) D  ¡ \ 1;  suy ra 2 TCĐ: x  1 và x 
Ta có lim y  
x 

3
.
5

1
1
nên TCN: y   .
5
5

Bài toán 2.16: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) y  x 

3

x

b) y 

x2  4x  3

Hướng dẫn giải
a) D   0;   . Ta có lim y   nên TCĐ: x  0 (khi x  0 )
x 0

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


Ta có lim  y  x   lim
x 

x 

3
nên TNX: y  x (khi x   ).
x

b) D   ;1  3;   . Đồ thị không có TCĐ.
Gọi y  ax  b là TCN, TCX thì:

y
x2  4x  3
4 3
 lim

 lim 1   2  1 ;
x  x
x 
x 
x
x x

a1  lim

b1  lim  y  x   lim
x 

 lim

x 

x 



x2  4x  3  x



3
4 x  3
x
 lim
 2
2

x 
4 3
x  4x  3  x
1  2 1
x x
4 

Vậy tiệm cận xiên: y  x  2 (khi x   ).

y
x2  4x  3
a2  lim  lim
x  x
x 
x
4 3

x x 2   lim 1  4  3  1
x 
x
x x2

x 1
 lim

x 

b2  lim  y  x   lim
x 

 lim

x 

x 

4 x  3
x2  4x  3  x
4 

 lim

x 

x 1



x2  4x  3  x



4 x  3
x 
4 3
x 1  2  x
x x

 lim

3
x

4 3

1
x x2



4
2
2

Vậy tiệm cận xiên: y   x  2 (khi x   )
Cách khác: y 
và vì lim

x 



x2  4 x  3  x  2 



x2  4x  3  x  2





x 2  4 x  3  x  2  0 suy ra TCX.

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


Bài toán 2.17: Tùy theo m, tìm các tiệm cận của đồ thị:

x 2  mx  1
a) y 
x 1

mx3  1
b) y  2
x  3x  2
Hướng dẫn giải

x 2  mx  1
m2
a) Ta có y 
 x  m 1
,x 1
x 1
x 1





m2
 0 nên y  x  m  1 là tiệm cận xiên. Ta có:
x  x  1

- Khi m  2 thì lim y   x  m  1  lim
x 

lim
x 1

x 2  mx  1
 
x 1

x 2  mx  1
  khi m  2 nên TCĐ x  1 .
Khi m  2 và lim
x 1
x 1
- Khi m  2 thì

 x  1
y
x 1

2

(với x  1 ), đồ thị là đường thẳng (trừ điểm 1;0 ) nên nó trùng với tiệm

cận xiên.
b) Ta có: y 

mx3  1
7mx  1  6m
 mx  3m  2
2
x  3x  2
x  3x  2

x3  1
x2  x  1

, x  1, x  2
Khi m  1 thì y  2
x  3x  2
x2
Khi m 

1
x3  8
x2  2 x  4
thì y 

, x  1, x  2
8
8  x  1
8  x 2  3x  2 

Từ đó suy ra: Với m  1 thì x  2 là tiệm cận đứng

Với m 

1
thì x  1 là tiệm cận đứng.
8

Với m  1 và m 



1
thì đồ thị có hai tiệm cận đứng là x  1 và x  2 .
8



7mx  1  6m
 0 nên đồ thị có TCN, TCX: y  mx  3m .
x  x 2  3 x  2

Ta có lim y   mx  3m   lim
x 

2 x 2   m  1 x  3
Bài toán 2.18: Cho đường cong  Cm  : y 
xm
a) Tìm m để tiệm cận xiên của  Cm  đi qua A 1;1
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...

b) Tìm m để giao điểm của hai tiệm cận nằm trên  P  : y  x 2  3
Hướng dẫn giải

2 x 2   m  1 x  3
y
a) Ta có lim  lim
2
x  x
x 
x  x  m

 2 x 2   m  1 x  3

lim  y  2 x   lim 
 2 x 
x 
x 
x  x  m



2 x 2   m  1 x  3  2 x 2  2mx
 1 m
x 
xm

 lim

Suy ra phương trình tiệm cận xiên là y  2 x  1  m .

TCX đi qua A 1;1 khi và chỉ khi: 1  2.1  1  m  m  2 .
b) Đồ thị có tiệm cận đứng là x  m . Từ đó suy ra giao điểm của hai tiệm cận là I  m;1  3m  .
Giao điểm này nằm trên đường cong y  x 2  3 khi

1  3m   m   3  m2  3m  2  0  m  1 hoặc m  2
2

x 2  1  m  x  2
Bài toán 2.19: Cho hàm số y 
 Cm  . Tìm m để tiệm cận xiên của  Cm  tạo với các trục tọa
x 1
độ thành một tam giác có diện tích bằng 18.
Hướng dẫn giải
Hàm số y  x  m 



m2
, D  ¡ \ 1 .
x 1



Ta có lim y   x  m   0 nên tiệm cận xiên d của  Cm  có phương trình y  x  m . Giao điểm của d
x 

với Ox: A  m;0  , giao điểm của d với Oy: B  0; m 
Diện tích tam giác OAB là S 
Điều kiện S  18 

1 2
m .
2

1 2
m  18  m  6
2

Bài toán 2.20: Cho hàm số: y 

2x 1
.
x 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C  của hàm số
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


b) Suy ra đồ thị y 

2x 1
.
x 1
Hướng dẫn giải

a) y 

2x 1
.

x 1

 Tập xác định D  ¡ \ 1 .
 Sự biến thiên: Ta có: lim y   và lim y  
x 1

x 1

Do đó đường thẳng x  1 là tiệm cận đứng
Vì lim y  lim y  2 nên đường thẳng y  2 là tiệm cận ngang của đồ thị.
x 

Ta có: y ' 

x 

1

 x  1

2

 0, x  1

Bảng biến thiên

x


−

y'



1
−



y
2

2


Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ;1 , 1;  


1
2




Đồ thị: Đồ thị  C  cắt Ox tại  ;0  cắt Oy tại  0;1 .

 C  nhận giao điểm I  0;2 hai tiệm cận làm tâm đối xứng.

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn

chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


 2x 1
khi x  1
2 x  1  x  1
b) Ta có y 
nên đồ thị  C ' giữ nguyên phần bên phải tiệm cận đứng x  1

x 1  2x 1

khi x  1
 x  1
của đồ thị  C  , còn phần bên trái tiệm cận đứng x  1 của đồ thị  C  thì lấy đối xứng qua trục hoành.

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...


Bài toán 2.21: Cho hàm số: y 

2x  2
.
x 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C  của hàm số.
b) Lập phương trình tiếp tuyến của  C  , biết tiếp tuyến cắt đường tiệm cận đứng tại A, cắt đường tiệm cận
ngang tại B mà OB  2OA .
Hướng dẫn giải
a) y 

2x  2
x 1



Tập xác định D  ¡ \ 1



Sự biến thiên: Ta có lim  y   và lim  y  
x  1

x  1

Do đó đường thẳng x  1 là tiệm cận đứng
Ta có lim y  lim y  2 nên đường thẳng y  2 là tiệm cận đứng
x 

y' 

x 

4

 x  1

2

 0, x  1

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ; 1 ;  1;  


Đồ thị: Đồ thị  C  cắt Ox tại 1;0  , cắt Oy tại  0; 2  , và nhận giao điểm I  1;2  của hai đường tiệm
cận làm tâm đối xứng.

b) Phương trình tiếp tuyến tại M  x0 ; y0    C  , x0  1

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...