ĐỀ THI CHỌN GIÁO VIÊN GIỎI TỈNH MÔN TOÁN

PHÒNG GD&ĐT YÊN THÀNH

BÀI KIỂM TRA NĂNG LỰC GIÁO VIÊN
MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1. (4 điểm)
Cho phương trình: 13 + x − 7 − x = 2
Đồng chí hãy:
a) Giải phương trình trên bằng nhiều phương pháp?
b) Hướng dẫn học sinh giải phương trình trên bằng 2 phương pháp?
Câu 2. (4,0 điểm)
Trong đề thi học sinh giỏi khối lớp 9 có bài toán:
2
2
2
2
2
Chứng minh rằng: a + b + c + d + e ≥ a(b + c + d + e) với ∀a, b,c,d,e .
Khá nhiều học sinh đã giải bài toán như sau:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm a và 2b ta có:
a 2 + 4b 2 ≥ 4ab (1) Dấu “ =” xảy ra khi a = 2b.
Tương tự:
a 2 + 4c 2 ≥ 4ac (2) Dấu “ =” xảy ra khi a = 2c.
a 2 + 4d 2 ≥ 4ad (3) Dấu “ =” xảy ra khi a = 2d.
a 2 + 4e 2 ≥ 4ae (4) Dấu “ =” xảy ra khi a = 2e.
Cộng (1) , (2) , (3) , (4) ta có:
4a 2 + 4b 2 + 4c 2 + 4d 2 + 4e 2 ≥ 4ab + 4ac + 4ad + 4ae
⇔ a 2 + b2 + c 2 + d 2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) .
Dấu “ =” xảy ra khi a = 2b = 2c = 2d = 2e. ĐPCM
a) Theo đồng chí học sinh giải bài toán như vậy có đúng không? Hãy giải thích?

b) Đồng chí hãy giải và hướng dẫn học sinh giải bài toán trên?
Câu 3. (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Hai đường cao của tam giác
ABC là BD và CE.
Chứng minh rằng: OA ⊥ DE
Đồng chí hãy giải và định hướng (gợi ý) cho học sinh một vài cách vẽ đường phụ
để chứng minh bài toán trên.
Câu 4. (3,0 điểm)
Đồng chí giải phương trình sau:
2 7 x 3 − 11x 2 + 25 x − 12 = x 2 + 6 x − 1

Câu 5. (5,0 điểm)
Đồng chí hãy nêu các dấu hiệu đặc trưng của phương pháp dạy và học tích cực?
- - - Hết - - (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm )


PHÒNG GD&ĐT YÊN THÀNH

BÀI KIỂM TRA NĂNG LỰC GIÁO VIÊN
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
(Hướng dẫn này có 03 trang)

Câu

Nội dung

Câu 1

Giáo viên giải đúng từ 2 phương pháp trở lên cho điểm tối đa
Cách 1:
Điều kiện: -13 ≤ x ≤ 7

Điểm
4.0
2,0

x + 13 − 7 − x = 2
⇔ x + 13 = 2 + 7 − x
⇔ x + 13 = 11 - x + 4 7 − x
⇔ x +1 = 2 7 − x

ĐK x ≥ -1

⇔ x2 +2x + 1 = 28 - 4x
⇔ x 2 + 6x − 27 = 0
a)

⇔ (x − 3)(x + 9) = 0 ⇔ x = −9 (loại)
hoặc x = 3 (thoả mãn)
Cách 2:
Đặt u = x + 13 ≥ 0 ; v = 7 − x ≥ 0 ta có hệ phương trình:

u − v = 2
u = 2 + v
u = 2 + v
⇔
⇔
⇔

 2

 2
2
2
2
u
+
v
=
20
(2
+
v)
+
v
=
20
v
+
2v
−
8
=
0



u = 2 + v
u = 2 + v

u = 4


  v = −4 (loại) ⇔   v = −4 ⇔ 
v = 2
v = 2
 v = 2



b)

Thay v = 2 , ta có: 7 − x = 2 ⇔ 7 − x = 4 ⇔ x = 3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3
Từ 2 cách giải ở câu a giáo viên nêu được hệ thống câu hỏi phù hợp, logic thì cho
điểm tối đa.

Câu 2
a)

2,0
5đ

Học sinh giải như trên là chưa đúng, vì theo cách giải trên thì bài toán chỉ thoả
mãn khi a, b,c,d,e ≥ 0 còn khi a, b,c,d,e < 0 thì bài toán vẫn chưa được chứng
minh.

b)

1

3

Ta có thể bài toán như sau:
Ta có: a 2 + b2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a(b + c + d + e)
2
2
2
 a2

2 a
2 a
2 a
⇔  − ab + b ÷+  − ac + c ÷+  − ad + d ÷+  − ae + e2 ÷ ≥ 0
 4
  4
  4
  4


1.5


2

2

2

2

a
a
a
a
⇔  − b ÷ +  − c ÷ +  − d ÷ +  − c ÷ ≥ 0 ( luôn đúng)
2
 2
 2
 2

a
Đẳng thức xảy ra khi : = b = c = d = e
2
2
2
2
2
Vậy a + b + c + d + e 2 ≥ a(b + c + d + e) với ∀a, b,c,d,e
a
Đẳng thức xảy ra khi : = b = c = d = e
2

Giáo viên hướng dẫn, gợi ý bằng hệ thống câu hỏi phù hợp, logic thì cho điểm tối
đa.
Câu 3

1.5
4đ
0.5

A
x

E

O

B

D

C

Chứng minh:
Kẻ tiếp tuyến Ax ta có OA ⊥ Ax (1)
·
·
Tứ giác BCDE nội tiếp nên EBC
( góc ngoài bằng góc trong ở đỉnh đối
= EDA
diện) (*)
·
Mặt khác ·ABC = xAC
(**)
·
Từ (*), (**) suy ra xAC
= ·ADE mà hai góc này ở vị trí so le trong nên Ax P DE (2)
Từ (1),(2) suy ra OA ⊥ DE
Định hướng cách giải:
Cách: 1 OA ⊥ DE ,do vậy DE song song với tiếp tuyến Ax của đường tròn (O)

Vậy kẻ đường phụ là tiếp tuyến Ax
Cách: 2
A

0.25
0,25
0.25
0.25
0.25
1
1.25

I

E

O

D

Gọi I là giao điểm của OA và DE.
OA ⊥ DE ⇔ ·AID = 900
·
·
⇔ IAD
+ IDA
= 900

Vậy cần vẽ đường phụ là đường kính AF

B

C
F

Câu 4

ĐKXĐ: x ≥

4
7

3,0


Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

2 (7 x − 4)( x 2 − x + 3) ≤ 7 x − 4 + x 2 − x + 3 = x2 + 6x - 1
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi 7x – 4 = x2 - x + 3

x = 1
⇔ x2 − 8x + 7 = 0 ⇔ 
(thoả mãn điều kiện)
x = 7
Vậy nghiệm của phương trình: x = 1 và x = 7

Câu 5

Các dấu hiệu đặc trưng của dạy - học tích cực
1. Dạy học thông qua các tổ chức hoạt động của HS và chú trọng rèn luyện phương

pháp tự học. Một trong những yêu cầu của dạy và học tích cực là khuyến khích
người học tự lực khám phá những điều chưa biết trên cơ sở những điều đã biết và đã
qua trải nghiệm. GV nên đưa người học vào những tình huống có vấn đề để các em
trực tiếp quan sát, trao đổi, làm thí nghiệm. Từ đó giúp HS tìm ra những câu trả lời
đúng, các đáp án chính xác nhất. Các em còn được khuyến khích “khai phá” ra
những cách giải quyết cho riêng mình và động viên trình bày quan điểm theo từng
cá nhân. Đó là nét riêng, nét mới có nhiều sáng tạo nhất. Có như vậy bên cạnh việc
chiếm lĩnh tri thức, người học còn biết làm chủ cách xây dựng kiến thức, tạo cơ hội
tốt cho tính tự chủ và óc sáng tạo nảy nở, phát triển. Có thể so sánh nếu quá trình
giáo dục là một vòng tròn thì tâm của đường tròn đó phải là cách tổ chức các hoạt
động học tập cho đối tượng người học.
2. Tăng cường hoạt động học tập của mỗi cá nhân, phân phối với hợp tác: Trong dạy
và học tích cực, GV không được bỏ quên sự phân hóa về trình độ nhận thức, tiến độ
hoàn thành nhiệm vụ của mỗi người học. Trên cơ sở đó người dạy xây dựng các
công việc, bài tập phù hợp với khả năng của từng cá nhân nhằm phát huy khả năng
tối đa của người học. Không có cách dạy cào bằng như phương pháp truyền thống
trước đây. Khái niệm học tập hợp tác ngoài việc nhấn mạnh vai trò của mỗi cá nhân
trong quá trình HS cùng nhau làm việc còn đề cao sự tương tác ràng buộc lẫn nhau.
Cái riêng được hòa lẫn vào cái chung và trong cái chung luôn có cái riêng thống
nhất, phù hợp.
3. Dạy và học tích cực quan tâm chú trọng đến hứng thú của người học, nhu cầu và
lợi ích của xã hội. Dưới sự hướng dẫn của người thầy, HS được chủ động chọn vấn
đề mà mình quan tâm, ham thích, tự lực tìm hiểu nghiên cứu và trình bày kết quả.
Nhờ có sự quan tâm của thầy và hứng thú của trò mà phát huy cao độ hơn tính tự
lực, tích cực rèn luyện cho người học cách làm việc độc lập phát triển tư duy sáng
tạo, kĩ năng tổ chức công việc, trình bày kết quả.
4. Dạy và học coi trọng hướng dẫn tìm tòi. Thông qua hướng dẫn tìm tòi, GV sẽ
giúp các em phát triển kĩ năng giải quyết vấn đề và khẳng định HS có thể xác định
được phương pháp học thông qua hoạt động. Dấu hiệu đặc trưng này không chỉ đặc
biệt có hiệu quả với HS lớn tuổi mà còn áp dụng được cho cả HS nhỏ tuổi nếu có tài

liệu cụ thể và sự quan tâm của GV. Kinh nghiệm cho thấy đây còn là cách để người
học tìm lời giải đáp cho các vấn đề đặt ra. Về phía người dạy cần có sự hướng dẫn
kịp thời giúp cho sự tìm tòi của người học đạt kết quả tốt.
5. Kết hợp đánh giá của thầy và tự đánh giá của trò. Đánh giá không chỉ nhằm mục
đích nhận biết thực trạng và điều khiển hoạt động học tập mà còn tạo điều kiện nhận
định thực trạng và điều chỉnh hoạt động giảng dạy của GV. Tự đánh giá không chỉ
đơn thuần là tự mình cho điểm số mà là sự đánh giá nỗ lực, quá trình và kết quả,
mức độ cao hơn là người học có thể phản hồi lại quá trình học của mình.

5,0

1,0

1,0

1

1

1