Chuyên dạy học sinh đã học nhiều nơi không tiến bộ
Câu
1
Đáp án
Điểm
4
2
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x 2 x 1 .
1,0
- TXĐ:
- Sự biến thiên:
+) Ta có: y' = 4x3 - 4x y ' 0 x 0 x 1
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 1 , 0;1
0,25
và hàm đồng biến trên các khoảng 1;0 , 1; .
+) Cực trị: xCĐ = 0, yCĐ = 1
xCT = 1 , yCT = 0
2
1
+) Giới hạn: lim y lim x 4 1 2 4
x
x
x
x
+) Bảng biến thiên
x
-
y'
-1
-
0,25
0
0
+
1
0
-
0
+
+
+
+
0,25
1
y
0
0
- Đồ thị:
y
2
1
x
-2
-1
1
2
-1
0,25
-2
2
Tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x) 2 x 4 4 x 2 10 trên đoạn 0; 2
3
ta có: f '( x) 8 x 8 x
1,0
0,25
x 0
.
x 1
Với x 0; 2 thì: f '( x) 0
0,25
Ta có: f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = -6
Vậy:
0,25
Max f ( x) f (1) 12; min f ( x) f (2) 6
0,25
0;2
0;2
Tham gia khóa học của thầy Quang Baby để có kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT QG
/> />
Page 1
Chuyên dạy học sinh đã học nhiều nơi không tiến bộ
3
Giải phương trình, bất phương trình:
a) 3 sin 2 x cos 2 x 4sin x 1 .
b) 2 log3 ( x 1) log 3 (2 x 1) 2
1,0
a) PT 2 3 sin x cos x 2sin 2 x 4sin x 0
2sin x
0,25
3 cos x sin x 2 0
sin x 0
x k
sin x 0
, k .
sin
x
1 x k 2
3 cos x sin x 2
3
6
S k ; k 2 k
6
0,25
b) ĐK: x > 1, BPT log3[( x 1)(2 x 1)] 1
0,25
2 x 2 3x 2 0
1
x2
2
0,25
Vậy nghiệm S = (1;2]
4
a) Cho số phức z 1 i z 3 i z 2 6i (*) . Tìm môđun của số phức z.
b) Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các
chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác suất để số chọn
được là số chia hết cho 5.
a) Giả sử z a bi a, b , khi đó:
4a 2b 2
2b 6
1,0
* 1 i a bi 3 i a bi 2 6i 4a 2b 2bi 2 6i
0,25
a 2
z 2 3i z 13
b 3
0,25
3
6
b) Số phần tử của A là 6.A 720
0,25
Số cách chọn một số có hàng đơn vị là số 0 có 1.A36 120 cách
Số cách chọn một số có hàng đơn vị là số 5 có 1.5.A 52 100 cách
Suy ra số cách chọn một số chia hết cho 5 là 120 100 220 cách
220 11
Vậy xác suất cần tìm bằng
.
720 36
0,25
5
2
1,0
I cos2 xdx cos x 3sin x 1 dx I1 I 2
0,25
Tính tích phân I cos x cos x 3sin x 1 dx .
0
2
2
0
0
Tham gia khóa học của thầy Quang Baby để có kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT QG
/> />
Page 2
Chuyên dạy học sinh đã học nhiều nơi không tiến bộ
12
1 sin 2 x
I1 cos 2 x 1 dx
x 2
20
2 2
0 4
0,25
12
2
I 2 3sin x 1 d 3sin x 1
30
9
I
6
4
3sin x 1
3
14
2
9
0
0,25
14
9
0,25
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt phẳng
(SAB) vuông góc với đáy, tam giác SAB cân tại S và SC tạo với đáy một góc
600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng
BD và SA theo a.
Gọi H là trung điểm AB. Do SAB cân tại S, suy ra SH AB,
mặt khác (SAB) (ABCD)
600 .
S
nên SH (ABCD) và SCH
1,0
K
E
A
D
H
B
0,25
C
Ta có SH CH . tan 60 0 CB 2 BH 2 . tan 60 0 a 15.
4 15 3
1
1
a
VS . ABCD .SH .S ABCD a 15.4a 2
3
3
3
Qua A vẽ đường thẳng song song với BD. Gọi E là hình chiếu vuông góc
của H lên và K là hình chiếu của H lên SE, khi đó (SHE) HK
suy ra HK (S, ).
Mặt khác, do BD//(S, ) nên ta có
d BD; SA d BD; S, d B; S, 2d (H ;(S, )) 2HK
Tham gia khóa học của thầy Quang Baby để có kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT QG
/> />
0,25
0,25
Page 3
Chuyên dạy học sinh đã học nhiều nơi không tiến bộ
DBA
450 nên tam giác EAH vuông cân tại E, suy ra
Ta có EAH
HE
AH
2
a
2
HK
Vậy: d BD;SA
HE.HS
2
HE HS
2
15
a.
31
2 465
a
31
0,25
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
2
2
2
A 3;1;2 , B 1; 3;4 và mặt cầu (S): x 1 y 2 z 3 4.
7
1,0
CMR mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB tiếp xúc với mặt cầu (S).
Xác định tọa độ của tiếp điểm.
Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), R 2 .
Phương trình mặt phẳng (P) là trung trực của AB đi qua M 1; 1;3 , có vtpt
AB 4; 4; 2 là (P): 2x + 2y – z + 3=0
Ta có: d(I;(P)) 2 R nên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB tiếp
xúc với mặt cầu (S) (đpcm)
Phương trình đường thẳng d đi qua I nhận véc tơ n (P) 2;2; 1 làm vt chỉ
phương là:
x 1 y 2 z 3
2
2
1
0,25
0,25
2
1 2 11
d (P) H 1 2t;2 2t;3 t P t H ; ;
3
3 3 3
1 2 11
Vậy: tọa độ tiếp điểm là H ; ;
3 3 3
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi K là điểm
đối xứng của A qua C. Đường thẳng đi qua K vuông góc với BC cắt BC tại E và cắt
8
0,25
AB tại N (1;3) . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết
AEB 450 , BK :
3 x y 15 0 và điểm B có hoành độ lớn hơn 3.
0,25
1,0
B
M
A
C
K
E
Tham gia khóa học của thầy Quang Baby để có kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT QG
/> />
Page 4
Chuyên dạy học sinh đã học nhiều nơi không tiến bộ
N
Tứ giác ABKE nội tiếp
AKB
AEB 450 AKB vuông cân tại A
ABK 450
Gọi B a;15 3a a 3 sao cho : BN 2d N , BK 3 5
a 2 7 a 10 0 a 2( L), a 5 B 5;0
Tam giác BKN có BE và KA là đường cao C là trực tâm của BKN
CN BK CN : x 3 y 10 0 . ABK và KCM vuông cân
1
1
1
1
BK
KM
CK
AC
.
BK
BK 4 KM
4
2
2 2
2 2 2
7 9
M MN BK M ; K (3;6)
2 2
0,25
0,25
0,25
AC qua K vuông góc AB AC : 2 x y 0
A AC AB A(1;2) . C là trung điểm của AK C (2;4)
Vậy A 1; 2 , B 5;0 , C 2;4
9
xy y 2 2y x 1 y 1 x
Giải hệ phương trình:
3. 6 y 3. 2x 3y 7 2x 7
Điều kiện: x 0, 1 y 6, 2x 3y 7 0 (* )
1,0
x 0
không là nghiệm của hệ phương trình y 1 x 0
y 1
Nhận thấy
Khi đó, PT (1) x(y 1) (y 1)2
0,25
0,25
y 1 x
y 1 x
1
(x y 1) y 1
0
y
1
x
x y 1 0 y x 1 (do (*))
Thay vào PT (2) ta được: 3 5 x 3 5x 4 2x 7
0,25
ĐK: 4 / 5 x 5
(7 x) 3 5 x 3(x 5x 4 ) 0
1
3
(4 5x+x 2 )
0
3 5 x (7 x)
5
x
4
x
0,25
x 1 y 2
x 2 5x+4 0
x 4 y 5
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (1; 2), (4; 5).
Tham gia khóa học của thầy Quang Baby để có kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT QG
/> />
0,25
Page 5
Chuyên dạy học sinh đã học nhiều nơi không tiến bộ
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa: x y z 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
10
thức: P
x2
yz 8 x 3
y2
zx 8 y 3
z2
xy 8 z3
1,0
Theo BĐT Bunhiacopxki:
2
P yz 8 x 3 zx 8 y 3 xy 8 z3 x y x
2
(x y z)
P
xy yz zx 8 x 3 8 y 3 8 z3
0,25
2 x 4 2x x 2 6 x x 2
2
2
2
2
6yy
6z z
Tương tự:
; 8 z3
8 y3
2
2
2
2(x y z)
Suy ra: P
2xy 2yz 2zx 18 (x y z) x 2 y 2 z2
Ta có:
8 x3 (2 x)(4 2x x 2 )
0,25
2(x y z)2
(x y z)2 (x y z) 18
Đặt t x y z (t 3). Khi đó: P
2t 2
t 2 t 18
2t 2
2(t 2 36t)
Xét hàm số: f (t) 2
với t 3. f '(t) 2
, f '(t) 0 t 36
t t 18
(t t 18)
BBT
t
3
f t '
36
0
144/71
f(t)
3/4
2
3
khi t 3.
4
Vậy GTNN của P là: 3/4 khi x y z 1.
0,25
Từ BBT ta có: GTNN của P là:
Tham gia khóa học của thầy Quang Baby để có kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT QG
/> />
0,25
Page 6
Chuyên dạy học sinh đã học nhiều nơi không tiến bộ
Tham gia khóa học của thầy Quang Baby để có kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT QG
/> />
Page 7