Toán học - Tin tức chuyen de tich phan

Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng

Chuyên ñề 1 :

Biên Soạn : Lê Kỳ Hội

Nguyên Hàm.

1. khái niệm nguyên hàm :
- Cho hàm số f ( x ) xác ñịnh trên K . Hàm số F ( x ) ñgl nguyên hàm của hàm của f ( x ) trên
K nếu : F ' ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ K .

- Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên K thì họ nguyên hàm của f ( x ) trên K là :

∫ f ( x )dx = F ( x ) + C ,

C∈ℝ

- Mọi hàm số f ( x ) liên tục trên K ñều có nguyên hàm trên K .
2. Tính chất:
-

∫ f ' ( x )dx = f ( x ) + C .

- ∫  f ( x ) ± g ( x ) dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx .
- ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx

( k ≠ 0) .

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:

∫ dx = x + C .

∫ 0dx = C .
xα +1
∫ x dx = α + 1 + C ,
α

(α ≠ −1) .

1

∫ x dx = ln x + C .
ax
+C
ln a

( 0 < a ≠ 1) .

x
x
∫ e dx = e + C .

x
∫ a dx =

∫ cos xdx = sin x + C .

∫ sin xdx = - cos x + C .

1

∫ cos
∫e

2

ax + b

x

1

∫ sin

dx = tan x + C .

dx =

1 ax +b
e
+C
a

( a ≠ 0) .

2

1

x

dx = − cot x + C .

1

∫ ax + bdx = a ln ax + b + C .

Nitro Trang
PDF Software
1
100 Portable Document Lane
Wonderland


Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng

∫a

2

∫a

2

∫

dx
x
1
= arctan + C

2
+x
a
a

Biên Soạn : Lê Kỳ Hội

( a ≠ 0) .

∫a

xdx
1
= ± ln a 2 ± x 2 + C .
2
±x
2
dx
x ±a
2

2

= ln x + x 2 ± a 2 + C

∫
( a > 0) .

x 2
a2

x
a − x 2 + arcsin + C
a
2
2

∫

dx
1
x+a
=
ln
+C .
2
−x
2a x − a
dx

a −x
2

2

xdx

x ±a
2

2

= arcsin

x
+C .
a

= ± x2 ± a 2 + C .

( a > 0) .

∫

a 2 − x 2 dx =

∫

x 2
a2
2
x ± a dx =
x ± a ± ln x + x 2 ± a 2 + C .
2
2
2

2

2

1
∫ cos ( ax + b )dx = a sin ( ax + b ) + C ( a ≠ 0 ) .
1
∫ sin ( ax + b )dx = − a cos ( ax + b ) + C ( a ≠ 0 ) .

4. Phương pháp tính nguyên hàm:
a. Phương pháp ñổi biến số.
Nếu

∫ f ( u )du = F ( u ) + C

và u = u ( x ) có ñạo hàm liên tục thì :

∫ f u ( x ) .u ' ( x )dx = F u ( x ) + C
b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
Nếu u , v là hai hàm số có ñạo hàm liên tục trên K thì :

∫ udv = uv − ∫ vdu
B. Các vấn ñề thường gặp :
I. Vấn ñề 1: Xác ñịnh nguyên hàm bằng ñịnh nghĩa.
1. Dạng 1: Chứng minh rằng F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên ( a, b ) .

1.1. Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau.
+ Bước 1: Xác ñịnh F ' ( x ) trên ( a, b ) .

Nitro Trang
PDF Software
2
100 Portable Document Lane
Wonderland

Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng
+ Bước 2: Chứng tỏ F ' ( x ) = f ( x )

Biên Soạn : Lê Kỳ Hội

∀x ∈ ( a, b ) .

Chú ý: Nếu thay ( a, b ) bằng [ a, b] thì phải thực hien như sau.
+ Bước 1: Xác ñịnh F ' ( x ) trên ( a, b ) .
- Xác ñịnh F ' ( a + )
- Xác ñịnh F ' ( b − )

 F ' ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ( a, b )


+ Bước 2: Chứng tỏ  F ' ( a + ) = f ( a )

−
 F ' ( b ) = f ( b )

1.2. Bài Tập:

)

(

Bài 1: CMR hàm số F ( x ) = ln x + x 2 + a với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số
f ( x) =

1
x2 + a

trên ℝ .

e x
Bài 2: CMR hàm số F ( x ) =  2
 x + x + 1

e x
f ( x) = 
2 x + 1

Khi x ≥ 0
Khi x < 0

là một nguyên hàm của hàm số

Khi x ≥ 0
trên ℝ .
Khi x < 0

HD: Xét 2 trường hợp x ≠ 0 và x = 0 . Với trường hợp x = 0 thì dùng ñịnh nghĩa ñể tính ñạo
hàm bên trái và bên phải của 0.

 ln ( x 2 + 1)

Bài 3: CMR hàm số F ( x ) = 
x

0

 2
ln ( x 2 + 1)

f ( x ) =  x2 + 1 −
x
1


Khi x ≠ 0

là một nguyên hàm của hàm số

Khi x = 0

Khi x ≠ 0 .
Khi x = 0

Nitro Trang
PDF Software
3
100 Portable Document Lane
Wonderland


Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng

Biên Soạn : Lê Kỳ Hội

2. Dạng 2: Xác ñịnh các giá trị của tham số ñể F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x )
trên ( a, b ) .
2.1. Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau.
+ Bước 1: Xác ñịnh F ' ( x ) trên ( a, b ) .

+ Bước 2: ðể F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên ( a, b ) , ñiều kiện là.

F '( x) = f ( x)

∀x ∈ ( a, b ) .

Dùng ñồng nhất của hàm ña thức ñể suy ra giá trị của tham số.
Chú ý: Nếu thay ( a, b ) bằng [ a, b] thì phải thực hien như sau.
+ Bước 1: Xác ñịnh F ' ( x ) trên ( a, b ) .
- Xác ñịnh F ' ( a + )
- Xác ñịnh F ' ( b − )

 F ' ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ( a, b )


+ Bước 2: Chứng tỏ  F ' ( a + ) = f ( a )

−
 F ' ( b ) = f ( b )

⇒ giá trị của tham số.

2.2. Bài Tập:
Bài 1: Xác ñịnh a, b, c ñể hàm số F ( x ) = ( ax 2 + bx + c ) e −2 x là một nguyên hàm của hàm
f ( x ) = − ( 2 x 2 − 8 x + 7 ) e −2 x .

 x2
Bài 2: Xác ñịnh a, b ñể hàm số F ( x ) = 
ax + b

khi x ≥ 1
là một nguyên hàm của hàm
khi x > 1

2 x khi x ≤ 1
f ( x) = 
trên ℝ .
2 khi x > 1
HD: Xét 2 trường hợp x ≠ 1 và x = 1 . Với trường hợp x = 1 thì dùng ñịnh nghĩa ñể tính ñạo hàm
bên trái và bên phải của 0.

Bài 3: Xác ñịnh các hệ số a, b, c ñể hàm số F ( x ) = ( ax 2 + bx + c ) 2 x − 3 là một nguyên hàm

Nitro Trang
PDF Software
4
100 Portable Document Lane
Wonderland


Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng
của hàm f ( x ) =

20 x 2 − 30 x + 7
trên khoảng

2x − 3

Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
3

 , +∞  .
2


3. Dạng 3: Tìm hằng số tích phân
3.1. Phương pháp:
+ Dùng công thức ñã học, tìm nguyên hàm F ( x ) = G ( x ) + C

(1) .

+ Dựa vào ñề bài ña cho tìm hằng số C.
+ Thay giá trị C vào (1) , ta có nguyên hàm cần tìm.

3.2. Bài Tập:
Bài 1: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm f ( x ) =

x3 + 3x 2 + 3x − 7

Bài 2: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm f ( x ) = sin 2

( x + 1)

2

và biết F ( 0 ) = 8 .

x
π  π
và biết F   = .
2
2 4

II. Vấn ñề 2: Xác ñịnh nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm.
1. Phương pháp:
+ Biến ñổi biểu thức hàm số ñể sử dụng ñược bảng các nguyên hàm cơ bản.
Chú ý: ðể sử dụng phương pháp này cần phải :
- Nắm vững bảng các nguyên hàm.
- Nắm vững phép tính vi phân.

2. Bài Tập:
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.
1
1. f ( x ) = x − 3 x + .
x
2

2 x4 + 3
2. f ( x ) =
.
x2

(x
=

x −1

3. f ( x ) = 2 .
x

4. f ( x )

5. f ( x ) = x + 3 x + 4 x .

6. f ( x ) =

Nitro Trang
PDF Software
5
100 Portable Document Lane
Wonderland

2

− 1)

x2

2

.

1
2
−3 .
x
x

Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng
7. f ( x ) = tan 2 x .
9. f ( x ) =

Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
8. f ( x ) = cos 2 x .

1
.
sin x.cos 2 x
2

10. f ( x ) =

cos 2 x
.
sin 2 x.cos 2 x

11. f ( x ) = 2sin 3x cos 2 x .

12. f ( x ) = e x ( e x − 1) .


e− x 
13. f ( x ) = e x  2 +
.
cos 2 x 


14. f ( x ) = e3 x +1 .

Bài 2: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) thỏa ñiều kiện cho trước.
1. f ( x ) = x3 − 4 x + 5 biết F (1) = 3 .
3 − 5x 2
biết F ( e ) = 1 .
x

2. f ( x ) = 3 − 5cos x biết F ( π ) = 2 .
4. f ( x ) =

x2 + 1
3
biết F (1) = .
x
2

6. f ( x ) =

x3 + 3x 3 + 3x − 7

π 
7. f ( x ) = sin 2 x cos x biết F '   = 0 .
3

8. f ( x ) =

3x 4 − 2 x3 + 5
biết F (1) = 2 .

x2

x
π  π
9. f ( x ) = sin
biết F   = .
2
2 4

x3 − 1
10. f ( x ) = 2 biết F ( −2 ) = 0 .
x

3. f ( x ) =

5. f ( x ) = x x +

2

1
biết F (1) = −2 .
x

Nitro Trang
PDF Software
6
100 Portable Document Lane
Wonderland

( x + 1)

2

biết F ( 0 ) = 8 .


Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng
Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
III. Vấn ñề 3: Xác ñịnh nguyên hàm bằng phương pháp ñổi biến số.
1. Dạng 1: Nếu f ( x ) có dạng : f ( x ) = g u ( x )  .u ' ( x ) thì ta ñặt t = u ( x ) ⇒ dt = u ' ( x ) dx khi

ñó

∫ f ( x ) dx = ∫ g ( t )dt

Chú ý : Sau khi tính

trong ñó

∫ g ( t )dt

∫ g ( t )dt

dễ dàng tìm ñược.

theo t , ta phải thay lại t = u ( x ) .

2. Dạng 2: Thường gặp các trường hợp sau.

f ( x ) có chứa

Cách ñổi biến

ðặt

a2 − x2

a +x
2

x = a sin t với −

π
2

≤t ≤

Hoặc

x = a cos t với 0 ≤ t ≤ π

ðặt

x = a tan t với −

Hoặc

x = a cos t với 0 < t < π

π

2


π
2

π
2

2

3. Bài Tập:
Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau (ðổi biến dạng 1)
dx

1.

∫ ( 5 x − 1) dx .

2.

∫ (3 − 2x)

3.

∫

4.

∫ ( 2x

5.

∫(x

6.

∫x

7.

2
∫ x x + 1dx .

9.

∫

11.

5 − 2 xdx .
3

+ 5 ) x 2 dx .
4

(

dx

x 1+ x
sin x
dx .
5
x

∫ cos

)

2

8.

.

2

2

+ 1) .
7

x
dx .
+5
3x 2

∫

.

5

5 + 2 x3

dx .

10. ∫ sin 4 x cos xdx .

12.

tan x
dx .
2
x

∫ cos

Nitro Trang
PDF Software
7
100 Portable Document Lane
Wonderland


Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng
13.

e x dx

∫

ex − 3
e

Biên Soạn : Lê Kỳ Hội

.

14.

∫

17.

dx
∫ ex +1 .

dx .

x

x 2 +1

dx .

ln 3 x
16. ∫

dx .
x

x

15.

∫ x.e

18.

e tan x
∫ cos2 x dx .

Bài 2: Tìm các nguyên hàm sau (ðổi biến dạng 2)
dx

1.

∫

3.

∫

5.

∫x

2

7.

∫ 1+ x

9.

∫

1 − x 2 dx .

4.

∫

dx
.
+ x +1

6.

∫x

2

1 − x 2 dx .

8.

∫x

3

x 2 + 1dx .

(1 − x )

2 3

dx

∫

dx

2.

2

.

.

x2
1 − x2

(1 + x 2 )

.

3

dx

4 − x2

.

dx .

IV. Vấn ñề 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
Với P ( x ) là ña thức của x ta thường gặp các dạng sau.

∫ P ( x ) .e dx

∫ P ( x ) .cos xdx

∫ P ( x ) .sin xdx

∫ P ( x ) .ln xdx

u

P ( x)

P ( x)

P ( x)

ln x

dv

e x dx

cos xdx

sin xdx

P ( x)

x

1. Bài Tập:
Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau.
1.

∫ x sin xdx .

2.

∫ x cos xdx .

Nitro Trang
PDF Software
8
100 Portable Document Lane
Wonderland

Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng
3.

∫(x

4.

∫(x

5.

∫ x sin 2 xdx .

6.

∫ x cos 2 xdx .

7.

∫ xe dx .

8.

∫x e

2

+ 5 ) sin xdx .

Biên Soạn : Lê Kỳ Hội

x

2

+ 2 x + 3) cos xdx .

3 x2

dx .

9. ∫ ln xdx .

10.

11. ∫ ln 2 xdx .

12. ∫ ln ( x 2 + 1)dx .

13.

∫ x tan

15.

∫x

17.

∫ x.2 dx .

∫ x ln xdx .

14.

∫x

16.

∫ x ln (1 + x ) dx .

18.

∫ x lg xdx .

19. ∫ e x dx .

20.

∫

21. ∫ sin xdx .

22. ∫ cos xdx .

∫ x sin

24. ∫ sin 3 xdx .

23.

25.

2

2

xdx .

cos 2 xdx .
x

∫

xdx .

ln ( ln x )

x

2

cos 2 xdx .
2

ln xdx
.
x

26. ∫ sin ( ln x )dx .

dx .

27. ∫ cos ( ln x )dx .

28. ∫ e x cos xdx .

29. ∫ e x (1 + tan + tan 2 x )dx .

30. ∫ e x sin 2 xdx .

31.

∫

ln ( cos x )
2

cos x

dx .

x
33. ∫
x.
cos 2 x

35.

∫

x3
1 + x2

32.

34.

∫

∫

ln (1 + x )

x2

(

x ln x + x 2 + 1
x2 + 1
2

dx .

dx .

 ln 
36. ∫   dx .
 x

Nitro Trang
PDF Software
9
100 Portable Document Lane
Wonderland

)dx .


Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng
Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
V. Vấn ñề 5: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ.
1. Phương pháp:
ðể xác ñịnh nguyên hàm của hàm số f ( x ) , ta cần tìm một hàm g ( x ) sao cho nguyên hàm của các

hàm f ( x ) ± g ( x ) dễ xác ñịnh hơn f ( x ) . Từ ñó suy ra nguyên hàm của hàm f ( x ) .
+ Bước 1: Tìm hàm g ( x ) .
+ Bước 2: Xác ñịnh nguyên hàm của các hàm f ( x ) ± g ( x ) , nghĩa là :
 F ( x ) + G ( x ) = A ( x ) + C1

 F ( x ) − G ( x ) = B ( x ) + C2
+ Bước 2: Từ hệ (1) , ta suy ra F ( x ) =

(1) .

1
 A ( x ) + B ( x )  + C là nguyên hàm của hàm f ( x ) .
2

2. Bài Tập:

Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau.
sin x

1.

∫ sin x − cos x dx .

3.

5.

∫ sin x − cos x dx .

∫ sin x + cos xdx .

4.

∫ sin x + cos xdx .

sin 4 x
∫ sin 4 x + cos4 x dx .

6. ∫ 2sin 2 x.sin 2 xdx .

sin x

7. ∫ 2 cos x.sin 2 xdx .
2

9.

cos x

2.

cos x

ex
8. ∫ x − x dx .
e −e

e− x
∫ e x − e− x dx .

Nitro Trang
PDF Software
10
100 Portable Document Lane
Wonderland


Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng
VI. Vấn ñề 6: Tính nguyên hàm của một số hàm thường gặp.

Biên Soạn : Lê Kỳ Hội

A. Dạng 1: f ( x ) là hàm hữu tỉ
P ( x)

1. Dạng f ( x ) =

Q ( x)

.

Phương pháp:
+ Nếu bậc của P ( x ) ≥ bậc của Q ( x ) thì ta thực hiện phép chia ña thức.

+ Nếu bậc của P ( x ) < bậc của Q ( x ) và Q ( x ) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f ( x )
thành tổng của nhiều phân thức (Bằng phương pháp hệ số bất ñịnh)
Ví dụ :
1.1

1.2

1.3

1

( x − a )( x − b )

=

A
B
+
x− A x−B

1
A

Bx + C
=
+
với ∆ = b 2 − 4ac < 0 .
2
( x − m ) ( ax + bx + c ) x − m Ax + bx + c
1

( x − a) ( x − b)
2

2

=

A
B
C
D
+
+
+
.
2
x − a ( x − a)
x − b ( x − b )2

1
x + a2

2. Dạng f ( x ) =

2

Phương pháp:
ðặt x = a tan t ⇒ dx =

Vậy

∫x

2

a
dt .
cos 2t

a
a
x
1
1
1
1
1
1
dx = ∫ 2
dt = ∫ 2
dt = ∫ dt = t + C = arctan + C
2

2
2
2
a cos t
+a
a
a
a
a
a ( tan t + 1) cos t
2
cos t

3. Dạng f ( x ) =

1
.
ax + bx + c
2

Phương pháp:
a. Trường hợp 1:
Nếu ax 2 + bx + c có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 thì ta viết lại ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) .

Nitro Trang
PDF Software
11
100 Portable Document Lane
Wonderland

Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng
1
1
Suy ra f ( x ) = 2
=
ax + bx + c a ( x − x1 )( x − x2 )
Vậy

∫ ax

2

Biên Soạn : Lê Kỳ Hội

1
1
1 1
x − x2
=∫
=
+C .
ln
+ bx + c
a ( x − x1 )( x − x2 ) a x2 − x1
x − x1

b. Trường hợp 2:
Nếu ax 2 + bx + c có nghiệm kép x1 = x2 = α thì ta viết lại ax 2 + bx + c = a ( x − α ) .
2

Suy ra f ( x ) =

Vậy

∫ ax

2

1
1
=
.
ax + bx + c a ( x − α )2
2

1
1
1 −1
=∫
= .
+C .
2
+ bx + c
a x −α
a ( x −α )

c. Trường hợp 3:
Nếu ax 2 + bx + c vô nghiệm thì ta viết lại


b
c
b
b2 c b2 

ax 2 + bx + c = a  x 2 + x +  = a  x 2 + 2. x + 2 + − 2 
2a
4a a 4a 
a
a


2
2


b  b 2 − 4ac 
b 
∆ 
= a  x +  −
 = a  x +  − 2 
2
2a 
4a 
2a  4a 



1

1
1
4
Vậy ∫ 2
=∫
= .
arctan
2
ax + bx + c

b 
∆  a −∆
a  x +  − 2 
2a  4a 


4. Dạng f ( x ) =

b
2a + C .
−∆
4a

x+

mx + n
.
ax 2 + bx + c

Phương pháp:

Lấy ñạo hàm của mẫu số ñặt lên tử số và cân bằng với tử số ( mx + n ) của f ( x ) rồi trừ ñi hằng số

phát sinh.
mx + n =

m
mb
( 2ax + b ) + n −
2a
2a

Nitro Trang
PDF Software
12
100 Portable Document Lane
Wonderland


Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng
m
mb
( 2ax + b ) + n −
mx + n
2a
Suy ra f ( x ) = 2
= 2a
ax + bx + c
ax 2 + bx + c
=

Do ñó ta có

m 2ax + b
mb 
1

+n −
 2
2
2a ax + bx + c 
2a  ax + bx + c
m

2ax + b
mb 
dx

dx +  n −
∫ 2
2
+ bx + c
2a  ax + bx + c


∫ f ( x ) dx = 2a ∫ ax

Trong ñó
+∫

2ax + b

dx = ln ax 2 + bx + c + C1
ax 2 + bx + c

+∫

dx
ñã biết cách tính.
ax + bx + c
2

5. Dạng f ( x ) =

xn

(1 + x )

2 m

.

Phương pháp:
a. Trường hợp 1: m = 1 .
+∫

1
dx = arctan x + C .
1 + x2

+∫

x
1
dx = ln (1 + x 2 ) + C .
2
1+ x
2

+

x2
1 

∫ 1 + x 2 dx = ∫ 1 − 1 + x 2 dx = x − arctan x + C .

+

x3
x 
x2 1

2
=
−
=
x
dx
∫ 1 + x 2 ∫  1 + x 2  2 − 2 ln (1 + x ) + C .

x4
1 

x3
 2
+ ∫
=  x −1 +
dx = − x + arctan x + C .
1 + x2 ∫ 
1 + x2 
3
x5
x 
x4 x2 1
 3
+ ∫
= ∫ x − x +
dx = − + ln (1 + x 2 ) + C .
2
2 
1+ x
1+ x 
4 2 2

+

Biên Soạn : Lê Kỳ Hội

x6
1 
x5 x 3
 4
2

=
−
+
1
−
=
− + x − arctan x + C .
dx
x
x
dx

∫ 1 + x6 ∫ 
1 + x2 
5 3

b. Trường hợp 2: m > 1 .

Nitro Trang
PDF Software
13
100 Portable Document Lane
Wonderland


Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng
+ Nếu n lẻ thì dùng phương pháp ñổi biến số.

Biên Soạn : Lê Kỳ Hội

ðặt
t = 1 + x2 ⇔ x2 = t − 1
dt = 2 xdx ⇒ xdx =

1
dt
2

+ Nếu n chẵn thì dùng phương pháp từng phần.
Giả sử n = 2k , k ∈ ℤ . Chọn u = x 2 k −1 , dv =

xdx

(1 + x2 )

m

.

Bài tập :
Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau.

dx

dx

1.

∫ x ( x + 1) .

2.

∫ ( x + 1)( 2 x − 3) .

3.

x2 + 1
∫ x 2 − 1dx .

4.

∫x

2

5.

∫x

6.

∫x

2

7.

∫ ( x + 1)( 2 x + 1)dx .

8.

∫ 2x

9.

x3
∫ x 2 − 3x + 2dx .

10.

∫ x(x

12.

∫x

2

dx
.
− 6x + 9

x

11.

dx

∫ 1+ x

3

.

dx
.
− 7 x + 10

dx
.
−4

2

x
dx .
− 3x − 2

dx
.
2
+ 1)

B. Dạng 2: f ( x ) là hàm vô tỉ.

ax + b 
1. Dạng f ( x ) = R  x, m

cx + d 


Phương pháp:

Nitro Trang
PDF Software
14
100 Portable Document Lane
Wonderland

3

x
dx .
−1


Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng

ax + b
cx + d

ðặt t = m

tm =

⇒

1

2. Dạng f ( x ) =

x +m
2

Biên Soạn : Lê Kỳ Hội

ax + b
, tính x theo t ⇒ dx rồi thay vào hàm số ñã cho.
cx + + d

( m ≠ 0) .

Phương pháp:

x2 + m = − x + t ⇒ t = x + x2 + m

ðặt



x
⇒ dt = 1 +
 dx =
x2 + m 

dx
dt
⇒
=
x2 + m t

Do ñó ta có :

dx

∫

x +m
2

3. Dạng f ( x ) =

=∫

x2 + m + x

x2 + m

dx =

tdx

x2 + m

dt
= ln t + C = ln x + x 2 + m + C .
t

1
ax + bx + c
2

.

Phương pháp:
+ Nếu a > 0 .
2

p

Ta có : ax + bx + c = a . x + px + q = a  x +  + k
2

2

Với p =

∫

2

b
c
p2
,q = ,k = q −
. Do ñó ta có
a
a
4

dx

ax + bx + c
2

=

1
a

∫

dx
2

p

x+  +k
2


=

1
p
ln x + + x 2 + px + q + C .
2
a

+ Nếu a < 0 .
2

Ta có :

p

ax 2 + bx + c = − a − x 2 + px + q = − a k 2 −  x −  .
2


Với p =

−b
−c 2 p 2
+ q, k > 0 .
, q=
,k =
a
a
4

Nitro Trang
PDF Software
15
100 Portable Document Lane
Wonderland


Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng
Do ñó ta có

dx

∫

ax 2 + bx + c

mx + n

4. Dạng f ( x ) =

1
−a

=

ax 2 + bx + c

∫

Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
p
x−
dx
1
2 +C
=
arcsin
2
k
−a

p

k2 −  x − 
2


.

Phương pháp:
+ Lấy ñạo hàm của biểu thức trong dấu căn thức ở mẫu số.

( ax

2

+ bx + c ) ' = 2ax + b và ñặt lên trên tử.

+ Cân bằng hệ số của x và hằng số ñộc lập của tử số của f ( x ) .

mx + n =

m
mb
( 2ax + b ) + n − .
2a
2a

Do ñó ta có

∫

m
mb
( 2a + b ) + n −
2ax + b
mb 
dx

2a dx = m
.
dx = ∫ 2a
dx +  n −

∫
∫
a 2 ax 2 + bx + c
2a  ax 2 + bx + c

ax 2 + bx + c
ax 2 + bx + c
mx + n

+ Hàm số

+ Hàm số

F ( x) =

2ax + b

có nguyên hàm là

2 ax + bx + c
2

1
ax + bx + c
2

ax 2 + bx + c .

có nguyên hàm là một hàm số logarit dạng

b
c
1
p
ln x + + x 2 + px + q nếu a > 0 và p = , q = .
a
a
2
a

Và có nguyên hàm là hàm số dạng arcsin dạng.

1
F ( x) =
arcsin
−a
5. Dạng f ( x ) =

x−
k

p
2 nếu a < 0 .
1

( mx + n )

ax 2 + bx + c

.

Phương pháp:
ðặt t =

1
1
⇒ mx + n = từ ñó tính x và dx .
mx + n
t
Nitro Trang
PDF Software
16
100 Portable Document Lane
Wonderland


Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng

1
6. Dạng f ( x ) =
.
n
( x − α ) ax 2 + bx + c

Biên Soạn : Lê Kỳ Hội

Phương pháp:
ðặt t =

1
.
x −α

7. Dạng f ( x ) = ax 2 + bx + c .
Phương pháp:
Biến ñổi về một trong hai dạng sau.
+ f ( x ) = u 2 + m nếu a > 0 .
+ g ( x ) = k 2 − u 2 nếu a < 0 .

a. Cách tính nguyên hàm của hàm f ( x ) = x 2 + m , m ≠ 0 .
Ta có thể viết lại f ( x ) = x 2 + m =

∫

Ta có :

m
x +m

2

u = x

Chọn 
xdx
dv =
x2 + m


∫

x2 + m

=

x2
x2 + m

+

m
x2 + m

x2

x2 + m

dx bằng phương pháp nguyên hàm từng phần như sau.

du = dx
⇒ 
⇒ I = x x 2 + m − ∫ x 2 + mdx .
2
v = x + m

x 2 + mdx = x x 2 + m − ∫ x 2 + m + m ln x + x 2 + m + C1

⇔ ∫ x 2 + mdx =

x 2
m
x + m + ln x + x 2 + m + C .
2
2

Vậy họ nguyên hàm của f ( x ) = x 2 + m , m ≠ 0 là
F ( x) =

.

dx = m ln x + x 2 + m + C1 .

Ta tính nguyên hàm I = ∫

Do ñó ta có

x2 + m

x 2

m
x + m + ln x + x 2 + m + C .
2
2

b. Cách tính nguyên hàm của hàm g ( x ) = k 2 − x 2 .

Nitro Trang
PDF Software
17
100 Portable Document Lane
Wonderland


Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng

Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
k 2 − x2

Ta có thể viết lại g ( x ) = k 2 − x 2 =

Ta có :

∫

k2
k −x
2

2

dx = k 2 arcsin

Ta tính nguyên hàm I = ∫
u = x

Chọn 
xdx
dv =
k 2 − x2


∫

Do ñó ta có

k 2 − x2

=

k2
k 2 − x2

−

x2
k 2 − x2

.

x
+ C1 .
k

x2

k 2 − x2

dx bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.

du = dx
⇒ 
⇒ I = − x k 2 − x 2 + ∫ k 2 − x 2 dx .
2
2
v = − k − x

k 2 − x 2 dx = k 2 arcsin

⇔ ∫ k 2 − x 2 dx =

x
+ x k 2 − x 2 − ∫ k 2 − x 2 dx + C1 .
k

k2
x x 2
arcsin +
k − x2 + C .
k 2

2

Vậy họ nguyên hàm của g ( x ) = k 2 − x 2 là
F ( x) =

k2
x x 2
arcsin +
k − x2 + C .
k 2
2

Chú ý : Ta có thể tính nguyên hàm dạng f ( x ) = ax 2 + bx + c bằng cách sau.
Phương pháp 1:
+ Nếu a > 0

ðặt

ax 2 + bx + c = ± ax + t

⇒ ax 2 + bx + c = ax 2 + 2 a xt + t 2 (Giả sử ta lấy dấu +)

t2 − c
⇒x=
b − 2 at

⇒ ax 2 + bx + c = ax + t =

a (t 2 − c )

b − 2 at

+t

Phương pháp 2:
+ Giả sử tam thức ax 2 + bx + c có hai nghiệm phân biệt là α , β .

ðặt

ax 2 + bx + c = ( x − α ) t .
Nitro Trang
PDF Software
18
100 Portable Document Lane
Wonderland


Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng

⇒ a ( x − α )( x − β ) = ( x − α ) t 2 ⇒ a ( x − β ) = ( x − α ) t 2
2

⇒x=

α t 2 − aβ
t −a
2

⇒ x −α =

a (α − β )
t2 − a

⇒ ax 2 + bx + c = ( x − α ) t =

8. Dạng f ( x ) = R 



a (α − β ) t
.
t2 − a



( x + a )( x + b ) 

1

ñặt t = x + a + x + b .
9. Dạng f ( x ) =

a+x
a−x
hoặc f ( x ) =
.
a−x
a+x

Phương pháp :

 π
Cách 1: ðặt x = a.cos 2t với t ∈ 0;  .
 2

Cách 2:

a+x
a+x
a−x
=
=
với a + x > 0 và a − x > 0 .
a−x
a−x
a 2 − x2

Cách 3: ðặt t =
b

10. Dạng I = ∫
a

a+x
.
a−x
dx
x2 − a2

.

Phương pháp :

t = x + x2 − a2 .
b

11. Dạng J = ∫ x 2 − a 2 dx .
a

Phương pháp :
x

dx
u = x 2 − a 2
du =
2
⇒ 
.
ðặt 
x − a2
dv = dx
v = x

t2

11. Dạng ∫

t1

ax + b
dx .

cx + d

Nitro Trang
PDF Software
19
100 Portable Document Lane
Wonderland

Biên Soạn : Lê Kỳ Hội


Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng
Phương pháp :
Cách 1: ðặt t = cx + d hoặc t =
t2
ax + b
=
dx
∫
∫
t1 cx + d
t1

( cx + d )( ax + b )
2 Ax + B

t2

=M∫

Ax + Bx + C
2

t1
t2

12. Dạng ∫

t1

ax + b
.
cx + d

ax + b

t2

Cách 2:

Biên Soạn : Lê Kỳ Hội

ax + b

t2

dx = ∫

Ax 2 + Bx + C

t1
t2

dx + N ∫

t1

dx

1

Ax + Bx + C
2

dx

1
dx .
( x + a )( x + b )

Phương pháp :
x + a > 0
.
ðặt t = x + a + x + b với 
x + b > 0
13. Dạng

dx

∫ ax + b +

.

cx + d

Phương pháp :
P ( x)

∫ Q ( x ) dx .

ðặt t = cx + d ñưa về dạng

14. Dạng

dx

∫ ( ax + b )

cx + d

.

Phương pháp :
ðặt t =

1
ñưa về dạng
ax + b

P ( x)

∫ Q ( x ) dx .

Bài tập :
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.
1.

∫ 1+

3.

∫ 1+

3

1
dx .
x +1

2.

∫x

x +1
dx .
x−2

1
dx .
x +1

4.

∫

1
dx .
x+4 x

Nitro Trang
PDF Software
20
100 Portable Document Lane
Wonderland


Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng

Biên Soạn : Lê Kỳ Hội

x

5.

∫

x
dx .
x−3 x

6.

∫ x ( x + 1)dx .

7.

∫

dx
.
x + 3 x + 24 x

8.

∫x

9.

∫x

10.

12.

1 1− x
dx .
1+ x

1 3 1− x
dx .

1+ x

∫
∫

dx
3

( 2 x + 1) − 2 x + 1
2

dx
x + 6x + 8
2

.

11.

∫

dx
x2 − 5x + 6

.

.

C. Dạng 3: f ( x ) là hàm lượng giác.
Ta sử dụng các phép biến ñổi lượng giác thích hợp ñể ñưa về các nguyên hàm cơ bản. Chẳng hạn.

+

sin ( x + a ) − ( x + b ) 
1
1
=
. 
sin ( x + a ) .sin ( x + b ) sin ( a − b ) sin ( x + a ) .sin ( x + b )


sin ( a - b ) 
 Sö dông 1 =
 .
sin
a
b
(
)



+

sin ( x + a ) − ( x + b ) 
1
1
=
.
cos ( x + a ) .cos ( x + b ) sin ( a − b ) cos ( x + a ) .cos ( x + b )


sin ( a - b ) 
 Sö dông 1 =
.
sin ( a - b ) 


+

cos ( x + a ) − ( x + b ) 
1
1
=
.
sin ( x + a ) .cos ( x + b ) cos ( a − b ) sin ( x + a ) .cos ( x + b )


cos ( a - b ) 
 Sö dông 1 =
 .
cos
a
b
(
)



+ Nếu R ( − sin x, cos x ) = − R ( sin x, cos x ) thì ñặt t = cos x .
+ Nếu R ( sin x, − cos x ) = − R ( sin x, cos x ) thì ñặt t = sin x .

+ Nếu R ( − sin x, − cos x ) = − R ( sin x, cos x ) thì ñặt t = tan x (Hoặc t = cot x ).

1. Dạng f ( x ) = sin ax.cos bx hoặc f ( x ) = cos ax.cos bx hoặc f ( x ) = sin ax.sin bx …
Phương pháp :
Dùng công thức ñổi tích số thành tổng số.

Nitro Trang
PDF Software
21
100 Portable Document Lane
Wonderland


Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng
1
+ sin ax.cos bx = sin ( a + b ) x + sin ( a − b ) x  .
2
+ cos ax.cos bx =

Biên Soạn : Lê Kỳ Hội

1
cos ( a + b ) x + cos ( a − b ) x  .
2

1
+ sin ax.sin bx = − cos ( a + b ) x − cos ( a − b ) x  .
2

2. Dạng f ( x ) = sin 2 n ax .

Phương pháp :
Dùng phương pháp hạ bậc, thay :

sin 2 ax =

1 − cos 2ax
1 + cos 2ax
, cos 2 ax =
2
2

 1 − cos 2ax 
⇒ ∫ sin xdx = ∫ 
 dx .
2


n

2n

3. Dạng f ( x ) = cos 2 n ax .
Phương pháp :
 1 + cos 2 x 
Như trên : ∫ cos xdx = ∫ 
 dx .
2


n

2n

4. Dạng f ( x ) = sin 2 n ax cos 2 m ax .
Phương pháp :
Thay cos 2 ax = 1 − sin 2 ax chuyển về dạng 2 hoặc thay sin 2 ax = 1 − cos 2 ax chuyển về dạng 3.
sin 2 n x + a
5. Dạng f ( x ) =
.
cos 2 m x + b

Phương pháp :
ðặt t = tan x .

Bài tập:
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.
1. ∫ sin 2 x sin 5 xdx .

2. ∫ cos x sin 3 xdx .

Nitro Trang
PDF Software
22
100 Portable Document Lane
Wonderland


Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng
3. ∫ ( tan 2 x + tan 4 x )dx .
5. ∫

dx
.
2sin x + 1

Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
cos 2 x
4. ∫
dx .
1 + sin x cos x
dx

6.

∫ cos x .

∫ sin x .

8.

∫

sin 3 x
9. ∫
dx .
cos x

10.

11. ∫ cos x cos 2 x cos 3 xdx .

12. ∫ cos3 xdx .

7.

dx

1 − sin x
dx .
cos x

∫

13. ∫ sin 4 xdx .

Nitro Trang
PDF Software
23
100 Portable Document Lane
Wonderland

dx
.
π

cos x cos  x + 
4


Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng

Biên Soạn : Lê Kỳ Hội

Chuyên ñề 2 :

Tích phân.

1. Khái niệm tích phân :
- Cho hàm số f ( x ) liên tục trên K và a, b ∈ K . Nếu F ( x ) là một nguyên hàm trên K thì :

F ( b ) − F ( a ) ñược gọi là tích phân của hàm f ( x ) từ a ñến b và kí hiệu là

b

∫ f ( x ) dx .
a

Hay

b

∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a )
a

- ðối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là.
b

∫

b

b

a

a

f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dx = ∫ f ( u ) dx = .... = F ( b ) − F ( a ) .

a

- Ý nghĩa hình học : Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục và không âm trên ñoạn [ a, b] thì diện tích S của
hình thang cong giới hạn bỡi ñò thị y = f ( x ) , trục Ox và 2 ñường thẳng x = a, x = b là :
b

S = ∫ f ( x ) dx .
a

2. Tính chất của tích phân :
0

1.

∫ f ( x ) dx = 0 .
0

b

2.

∫

a

f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx .

a

b

b

b

a

a

3. ∫ kf ( x ) dx =k ∫ f ( x ) dx (k là một hằng số).

4.

b

b

b

a

a

a

∫  f ( x ) ± g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx .

Nitro Trang
PDF Software
24
100 Portable Document Lane
Wonderland


Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng
b

5.

∫

Biên Soạn : Lê Kỳ Hội

c

b

a

c

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .

a

6. Nếu f ( x ) ≥ 0 trên [ a, b] thì

b

∫ f ( x ) dx ≥ 0 .
a

7. Nếu f ( x ) ≥ g ( x ) trên [ a, b] thì

b

∫

f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx .

b

a

a

3. Phương pháp tính tích phân :
a. Phương pháp ñổi biến số.
b

∫

f u ( x )  u ' ( x ) dx =

a

u(b )

∫ f ( u ) du .

u( a )

Trong ñó : u = u ( x ) có ñạo hàm liên tục trên K , y = f ( u ) liên tục và hàm hợp f u ( x )  xác ñịnh
trên K và a, b ∈ K .

b. Phương pháp tích phân từng phần.
Nếu u , v là hai hàm có ñạo hàm liên tục trên K và a, b ∈ K thì :
b

∫ udv = uv
a

b

a

b

− ∫ vdu .
a

Chú ý :
- Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
b

b

a

a

- Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho ∫ vdu dễ tính hơn ∫ udv .

I. Vấn ñề 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm.
Biến ñổi biểu thức hàm số ñể sử dụng ñược bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên hàm F ( x )

của f ( x ) , Rồi sử dụng trực tiếp ñịnh nghĩa tích phân.
b

∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a )
a

Chú ý : ðể sử dụng phương pháp này cần phải :
Nitro Trang
PDF Software
25
100 Portable Document Lane
Wonderland