Chuyên đề tích phân ôn thi đại học

Sở GD & Đt nghệ an
Trờng THPT Đặng thúc hứa




66
sin4x + cos2x
dx
sin x + cos x






tích phân

(
)
(
)

66
88
x+1-x-1
dx 1
== dx
x+1 2 x+1
I =

Giáo viên : Phạm Kim Chung
Tổ : Toán






Năm học : 2007 - 2008





12
2007
bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa


_____________________________ Tháng 12 năm 2007 __________________________________ (Trang
1
Thực ra trên mặt đất lm gì có đờng, ngời ta đi lắm thì thnh đờng thôi !
- Lỗ Tấn -
Viết một cuốn ti liệu rất khó, để viết cho hay cho tâm đắc lại đòi hỏi cả một đẳng cấp thực sự ! Cũng may tôi không có t tởng lớn của
một nh viết sách, cũng không hy vọng ở một điều gì đó lớn lao vì tôi biết năng lực về môn Toán l có hạn Khi tôi có ý tởng viết ra những điều
tôi gom nhặt đợc tôi chỉ mong sao qua từng ngy mình sẽ lĩnh hội sâu hơn về môn Toán sơ cấp qua từng tiết học những học trò của tôi bớt băn
khoăn, ngơ ngác hơn V nếu còn ai đọc bi viết ny nghĩa l đâu đó tôi đang có những ngời thầy, ngời bạn cùng chung một niềm đam mê sự
diệu kì Toán học .

Thử giải một bi toán khó nhng cha thật hi lòng !
(
)
(
)
()()

66
22
8
42
x+1-x-1
dx 1
=dx=
x+1 2
x+1 -2x

(
)
(
)
(
)
()()
(
)
(
)
(

)
()()



242 2 242 2
22 22
42 42
x+1 x- 2x+1+ 2-1x x-1 x- 2x+1+ 2+1x
11
dx + dx
22
x+1-2x x+1-2x

(
)
(
)
()()
(
)
(
)
()()

22 22
2 2
42 42
42 4 2 42 4 2
2-1 2+1

x+1x x-1x
1x+1 1x-1
= dx+ dx+ dx+
22 22
x+2x+1 x+2x+1
x - 2x +1 x + 2x +1 x - 2x +1 x + 2x +1





2
2
1
1+
1
x
=dx
2
1
x- +2+ 2
x
()

2
22
1
1+ dx
2-1
x
+
2
11
x- +2- 2 x- +2+ 2
xx
()




2
2
1
1-
1
x
+dx
2
1
x+ - 2- 2

x
()
() ()















2
22
1
1- dx
2+1
x
+
2
11
x+ - 2+ 2 x+ - 2- 2
xx

2
1
dx-
1
x
=
2
1
x- +2+ 2
x
() ()











22

11
dx- dx-
2-1 2-1
xx
+-
42 42
11
x- +2- 2 x- +2+ 2
xx
()







2
1
dx+
1
x
+
2
1
x+ - 2- 2
x
()
()
()

()















22
11
dx+ dx+
2+1 2+1
xx
+-
42 42
11
x+ - 2+ 2 x+ - 2- 2
xx

11
x+ -2-2 x+ -2+2
2+ 2 2- 2 2- 2 2+ 2
xx
=u+v+ln +ln +C
11
8 8 16 16
x+ + 2- 2 x+ + 2+ 2
xx
( Với
1
x- = 2+ 2tgu= 2- 2tgv
x
)
(Nếu dùng kết quả ny để suy ngợc có tìm đợc lời giải hay hơn ? )


12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
2
Phần lý thuyết

Định nghĩa : Giả sử f(x) l một hm số liên tục trên một khoảng K, a v b l hai phần tử bất kì của K, F(x) l
một nguyên hm của f(x) trên K . Hiệu số F(b) - F(a) đợc gọi l tích phân từ a đến b của f(x) v đợc kí hiệu l

. Ta dùng kí hiệu
()

b
a
fxdx
()
b
Fx
a
để chỉ hiệu số : F(b) F(a)
Công thức Newton Laipnit :
()

b
a
fxdx
=
()
b
Fx
a
= F(b) F(a)

Ví dụ :
()
31
23
0
1

x
11
xdx 1 0
0
33
===

3
3

Chú ý : Tích phân chỉ phụ thuộc v f, a v b m không phụ thuộc vo kí hiệu biến số tích phân . Vì vậy ta
có thể viết : F(b) F(a) = =
()

b
a
fxdx
()

b
a
fxdx
()

b
a
ftdt
=
()

b
a
fudu

Các tính chất của tích phân .
1.
()
a
a
fxdx=0

2.
() ()
ba
ab
fxdx=-fxdx

3.
() () () ()




bb
aa
fx gxdx= fxdx gxdx

b
a
VD :

()
()
eee
22
111
ee
31
2x dx 2 xdx 3 dx x 3ln x e 1 3 1 0 e 2
11
xx

+= + =+ =+=+



2

4.
() () ()

cbc
aab
fxdx= fxdx+fxdx
VD :
22101 01
110 10
01
xx
x
dx xdx x dx xdx xdx 1

10
22

=+=+=+


=

5. f(x) 0 trên đoạn [a ; b]

0
()

b
a
fxdx

6. f(x) g(x) trên đoạn [a ; b]


()

b
a
fxdx

()

b
a

gxdx

VD : Chứng minh rằng :
22
00
sin2xdx 2 sinxdx




7. m f(x) M trên đoạn [a ; b]

m(b a) =

b
a
mdx



()

b
a
fxdx


b
a
Mdx

= M(b a)
VD : Chứng minh rằng :
2
1
15
2xdx
x
2


+




HD . Khảo sát hm số
1
yx
x
=+
trên đoạn [1; 2] ta có :
[]
[]
1;2
1;2
5
y
;y
2
2

=
=max min


12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
3
Do đó :
22 2
11 1
15
2 dx x dx dx
x2

+




2
1
22
15
2x x dx x
11
x2

+



2
1
15
2xdx
x
2

+





Phần phơng pháp

Phơng pháp đổi biến số : t = v(x) .
VD . Tính tích phân :
2
1
0
x
Id
x
x
1

=
+


Đặt : . Khi x= 0 thì t=1, khi x=1 thì t=2 .
2
tx 1=+
Ta có :
dt
dt =
. Do đó :
2xdx xdx
2
=

2
12
01
2
x1dt1 1
Id

x lntln2
1
2t 2 2
x1
====
+

Quy trình giải toán .

() ()
()
()
x
xx

bb
aa
fxdx= gv v' d


Bớc 1 . Đặt t = v(x) , v(x) có đạo hm liên tục, đổi cận .

Bớc 2 . Biểu thị f(x)dx theo t v dt : f(x)dx = g(t)dt

Bớc 3 . Tính .
()
()
()

vb
va
gtdt
Bi tập rèn luyện phơng pháp :
Tính các tích phân sau :

1 .
2
e
e

dx
x
ln x

2 .
()
2
2
1
dx
2x 1

3.
1
2
3
0
x
dx
x
1
+

4.
3
4
2
x
dx
x

1



5 .
2
3
4
dx
sin x



6 .
()
1
0
dx
2x 1 x 1
+
+

7.
()
4
1
dx
x
1x+

Phơng pháp đổi biến số : x = u(t) .
VD . Tính tích phân :
1
2
0
1x


dx
Đặt x = sint
t;
22














. Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì t=
2

Vậy với x = sint thì
x0;1






t0;
2







v dx = costdt .
Do đó :
1
22
22
00 0 0
1 x dx 1 sin t cos tdt cos t cos tdt cos tdt

= = =

2
2

=
=
2
0
1cos2t 1
sinx
cosx
O
1
dt t sin2t
2
222 4
0


+


=
+=




Quy trình giải toán .
()

b
a

fxdx
Bớc 1 . Đặt x = u(t), t;





sao cho u(t) có đạo hm liên tục trên đoạn ;



, f(u(t)) đợc xác định trên đoạn
v .




b;


() ()
ua;u= =

12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
4
Bớc 2 . Biểu thị f(x)dx theo t v dt : f(x)dx = g(t)dt

Bớc 3 . Tính .
()



gtdt
Bi tập rèn luyện phơng pháp :
Tính các tích phân sau :

1 .
1
2
0
dx
1x+

2 .
1
2
2
0
dx
1x

3.
1
2
0
dx

x
x1
+
+


4.
1
22
0
x
1xdx

5 .
1
32
0
x
1xdx+

6 .
5
2
0
5x
dx
5x
+

( Đặt x=5cos2t)
Phơng pháp đổi biến số : u(x) = g(x,t)
VD1 . Tính tích phân : I =
1
2
0
1xdx+


Cách (1) Đặt
2
22
t1
1+x =x- t 1=-2xt t x
2t

+=

Khi x =0 thì t= -1, khi x=1 thì t=
12 v dx =
2
2
t1
2t
+
dt . Do đó :

12 12 12 12 12
22 42
23

1111
t1t1 1 t2t1 1 1 1
I . dt dt tdt 2 dt dt
2t 2t 4 t 4 t t



+ + +
===++




3
1


=


=
2
2
12 12 12
t1 1
ln t
82 8t
11
1

=


+

()
12
ln 2 1
22
+



nên ta có thể chọn
t0;
4








. Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì
t

Cách (2) : Đặt x=tgt , do
x
0;1

4
=

v dx=
2
1
dt
cos t
. Do đó :
()
()
1
44444
22
2
2234
2
00 0 000
dsint
1111cost
1 x dx 1 tg t dt dt dt dt
cos t cos t cos t cos t cos t
1sint

+=+ = = = =


=

=
()()
()()
()
()()
()
22
44
00
1sint 1sint
111
dsint dsint
4 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t 1 sin t


++
=+

+ +


1
=

=
()()
()
()
()
()

()()
()
()
2
444
22
000
d1 sint d1 sint
dsint
11 1 1 1 1
dsint
4 1sint 1sint 4 2 1sint1sint 4
1sint 1sint


+
+=+ +

+ +
+


4
0

=


=
2

11 1 11sint1sint 11sint
.ln
ln
4
0

444
4 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t 2 cos t 4 1 sin t
000

++

+ =+

+


=
()
12
ln 2 1
22
+
.
Bình luận : Bi toán ny còn giải đợc bằng phơng pháp tích phân từng phần . Còn với 2 cách giảI trên rõ rng
khi bắt gặp cách 1) ta nghĩ rằng nó sẽ chứa đựng những phép tính toán phức tạp còn cách 2) sẽ chứa những phép
tính toán đơn giản hơn. Nhng ngợc lại sự suy đoán - cách 2) lại chứa những phép tính toán di dòng v nếu quả
thật không khá tích phân thì cha hẳn đã l đợc hoặc lm đợc m lại di dòng hơn .

VD2 . Tính tích phân : I =

1
2
0
1
dx
1x+



12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
5
Cách (1) Đặt
2
22
t1
1+x =x- t 1= -2xt t x
2t

+=

Khi x =0 thì t= -1, khi x=1 thì t=
12 v dx =
2
2
t1
2t

+
dt . Do đó :

12 12
2
22
11
2t t 1 1
I . dt dt
t12t t


+
==
+

=

=
12
ln t
1



()
ln 2 1=


nên ta có thể chọn

t0;
4








. Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì
t

Cách (2) : Đặt x=tgt , do
x
0;1


4
=

v dx=
2
1
dt
cos t
.
Do đó :
1
4444

22 2
22
00 000
cos t
111 1cos
dx dt dt dt dt
cost cost cost cost
1x 1tgt

====
++

t
=

()
()
4
2
0
dsint
11sint
ln
4
21sint
1sint
0

==
=
+


(
)
ln 2 1


.
Bi tập rèn luyện phơng pháp :

Tính các tích phân sau :

1 .
2
2
1
x
1dx

2 .
2
2
2
1
x
dx
x

1

3.
0
2
1
x
2x 2dx

++


4.
1
2
2
0
dx
1x4x3++

5 .
1
2
2
dx
112xx


+

6 .
1
2
0
xdx
x
x1
+




Chú ý : Khi đứng trớc một bi toán tích phân, không phải bi toán no cũng xuất hiện nhân tử để chúng ta sử dụng
phơng pháp đổi biến số . Có nhiều bi toán phải qua 1 hay nhiều phép biến đổi mới xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ (
sẽ nói đến ở phần
Phân Loại Các dạng Toán )


Phơng pháp tích phân từng phần .

Nếu u(x) v v(x) l hai hm số có đạo hm liên tục trên đoạn [a; b] thì :

() () () ()
()
() ()

bb
aa
b
uxv'xdx=ux.vx - vxu'xdx

a

hay

() () ()
()
()

bb
aa
b
uxdv=ux.vx - vxdu
a



VD1. Tính
2
0
x
cosxdx



Đặt

=
, ta có :
ux
dv cos xdx

=


du dx
vsinx
=


=


12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
6

()
22
00
x
cos xdx x sin x sin xdx cosx 1
22
22
00



= =+ =

Nhận xét : Một câu hỏi đặt ra l đặt có đợc không ?
ucosx
dv xdx
=


=

Ta hãy thử :
2
22
2
00
x1
x
cos xdx cosx x sinxdx
2
22
0



=+



, rõ rng tích phân
2

2
0
x
sin xdx


còn phức tạp hơn tích
phân cần tính . Vậy việc lựa chọn
u v dv quyết định rất lớn trong việc sử dụng phơng pháp tích phân từng phần . Ta
hãy xét một VD nữa để đi tìm câu trả lời vừa ý nhất !

VD2. Tính
2
5
1
ln x
dx
x


Ta thử đặt :
5
1
u
x
dv lnxdx

=

=

rõ rng để tính v= l một việc khó khăn ! ln xdx


Giải . Đặt
5
ulnx
1
dv dx
x
=



=


ta có :
54
1
du
x
11
vdx
x4x

=

==




Do đó :
22
545 4
11
22
ln x ln x 1 dx ln2 1 1 15 ln2
dx
11
x
4x 4 x 64 4 4x 256 64

= + = + =




Nhận xét : Từ 2 VD trên ta có thể rút ra một nhận xét ( với những tích phân đơn giản ) : Việc lựa chọn u v dv
phải thoả mãn :
1 du đơn giản, v dễ tính .
2 Tích phân sau
(
)

vdu

phải đơn giản hơn tích phân cần tính
(
)
udv

.

Bi tập rèn luyện phơng pháp :

Tính các tích phân sau :
1 .
1
x
0
x
edx

2 .
1
3x
0
x
edx

3.
()
2
0

x
1cosxdx



4.
()
6
0
2xsin3xdx



5 .
1
2x
0
x
edx



6 .
2
2
0
x
sin xdx

7.
2
x
0
ecosxdx


8. 9. 10.
e
1
ln xdx

()
5
2
2xln x 1 dx

()
e
2
1
ln x dx


Mỗi dạng toán chứa đựng những đặc thù riêng của nó !


Phần phân loại các dạng toán

ê
Tích phân của các hm hữu tỷ

A. Dạng : I
()
()
a0

Px
=dx
ax + b



12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
7
Công thức cần lu ý : I
dx ln ax b C
ax b a


=
=+
+

+

Tính I
1
x1
dx
+
=



x1
Tính I
2
2
x5
dx

=
+


x1
Tính I
3
3
x
dx
2x 3
=

+

Phơng pháp : Thực hiện phép chia đa thức P(x) cho nhị thức : ax+b, đa tích phân về dạng :
I
()
Q x dx dx
ax b

=+
+

( Trong đó Q(x) l hm đa thức viết dới dạng khai triển )

B. Dạng : I
()
()
a0

2
Px
=d

x
ax + bx + c
1. Tam thức : có hai nghiệm phân biệt .
()
2
fx ax bx c=++

Công thức cần lu ý : I

(
)
()
()
u' x
dx ln u x C
ux
=
=+



Tính I
2
2
dx
x4
=




Cách 1. ( phơng pháp hệ số bất định )
()()
2
1
A
AB0
2AB
2

2ABx2AB
AB1
1
x4x2x2
B
2

=

+=


=+++

=
+


=




Do đó : I
2
2
dx
x4
=

=
11
dx
2x2

-
11
dx
2x2
+

=
1x2
ln C
2x2

+
+

Cách 2.
( phơng pháp nhảy tầng lầu )
Ta có :
I
2
222
2 1 2x 2x 4 1
dx dx dx ln x 4 ln x 2 C
x4 2x4 x4 2

== =+




+

< Tổng quát >Tính I
22
dx
xa

=



Tính I
2
2x
dx
9x
=



Tính I
2
3x 2
dx

x1
+
=



Tính I
2
2
x
dx
x5x6
=
+



Tính I
3
2
3x
dx
x
3x 2
=
+



Phơng pháp :

Khi bậc của đa thức P(x) <2 ta sử dụng phơng pháp hệ số bất định hoặc phơng pháp nhảy
tầng lầu.
Khi bậc của đa thức P(x) 2 ta sử dụng phép chia đa thức để đa tử số về đa thức có bậc < 2 .

12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
8

2. Tam thức : có nghiệm kép .
() ( )
2
2
fx ax bx c x=++=+

Công thức cần lu ý : I
(
)
()
()
2
u' x
1
dx C
ux ux
=
= +

Tính I
(
)
()
2
2
dx 2
11
dx C
x4x4 x2
x2

===
+


+

Tính I
2
4x
dx
4x 4x 1
=
+

.

Đặt : 2x 1 = t
dt
dx=
2
2x t 1





=
+

, lúc đó ta có :

I
22
t1 dt dt 2
2dx222lnt
ttt t
+
==+=

C+

Tính I
2
2
x3
dx

x
4x 4

=
+


Tính I
3
2
x
dx
x
2x 1
=
++


Phơng pháp : Để tránh phức tạp khi biến đổi ta thờng đặt :
t
xtx


+= =

v thay vo biểu thức
trên tử số .

3. Tam thức : vô nghiệm .
()

2
fx ax bx c=++
Tính I
2
1
dx
x1
=
+


Đặt :
2
1
x
tg dx d
cos
= =

, ta có :

I
()
22
1
dd
cos tg 1
==
+

C=+
, với
(
)
tg x

=
< Tổng quát > Tính I
22
1
dx
xa
=
+

. HD Đặt
xatg
=

2
a
dx d
cos
=

, ta có :
I
d
C
aa

==

+

Tính I
2
2
dx
x2x2
=
++


Tính I
2
2x 1
dx
x2x5
+
=
++


Tính I
2
2
x
dx
x

4
=
+


Tính I
3
2
x
dx
x
9
=
+



ê
C. Dạng : I
()
()


32
Px
=d

xa0
ax + bx + cx + d

1. Đa thức : có một nghiệm bội ba.
()
32
fx ax bx cx d=+++

12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
9

Công thức cần lu ý : I
()
nn1
11
dx C
xn1x

= +



(
)
n1
=


Tính I

()
3
1
dx
x1
=



Nếu x > 1 , ta có : I
()
()()
()
()
2
3
3 2
x1
11
dx x 1 d x 1 C C
2
x1 2x1



===+=



+

.
Nếu x < 1 , ta có :
I
()
()()
()
()
2
3
3 2
1x
11
dx 1 x d 1 x C C
2
1x 2x1



= = = + = +




Vậy : I
()
3
1
dx
x1
=

=
()
2
1
C
2x 1
+


Chú ý :
m
m
1
x, với x > 0
x

=

Tính I
()
3
x
dx
x1
=

Đặt : x 1 = t ta có : I
323 2
t1 1 1 1 1
dt dt C
tttt2t
+

=
=+ =+




Tính I
()
2
3
x4
dx
x1

=



Tính I
()
3
3
x

dx
x1
=



Tính I
()
4
3
x
dx
x1
=
+


2. Đa thức : có hai nghiệm
.
()
32
fx ax bx cx d=+++
Tính I
()()
2
1
dx
x1x1
=
+

Đặt : x + 1 = t , ta có : I
()
23
1d
dt
tt2 t 2t
==


2
t

Cách 1 < Phơng pháp nhảy tầng lầu >
Ta có :
22 2 2
3232 32 32 2 32 2
1 3t4t13t4t4 3t4t13t2 3t4t132
t 2t t 2t 4 t 2t t 2t 4 t t 2t 4 t t

+

= = =+

Do đó : I
2
32
32 2
3t 4t 1 3 2 3 1
dt dt ln t 2t ln t C
t2t 4tt 4 2t


=+=+




+
.
Cách 2 < Phơng pháp hệ số bất định >
()( )
2
32 2
2B 1
1AtBC
1 A C t 2A B t 2B 2A B 0
t2t t t2
A
C0
=

+

= + + ++ +=



+=

1
B
2
1
A
4
1
C
4

=



=



=

Do đó :
32 2 2
11t21112112
dt dt dt ln t ln t 2 C
t2t 4t t2 4tt t2 4 t
+

= = + = +









12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
10


Phơng pháp nhảy tầng lầu đặc biệt có hiệu quả khi tử số của phân thức l
một hằng số .
Phơng pháp hệ số bất định : bậc của đa thức trên tử số luôn nhỏ hơn bậc
mẫu số 1 bậc .

Tính I
()
2
2x 1
dx
xx2
+
=



Để sử dụng phơng pháp nhảy tầng lầu ta sẽ phân tích nh sau :

()()()
22
2x 1 2 1
x
x2 xx2 xx2
+
=+


Tính I
()()
2
2
x
dx
x1 x2

=
+


Sử dụng phơng pháp hệ số bất định :
()()()
2
22
x
Ax B C
x
2
x1 x2 x1
+
=+
+
+

Do đó :
()( )(
2
2
)
x
x2AxB Cx1+ ++
Cho : x=-2, suy ra :
4
C
9
=

x=0 , suy ra :
2
B
9
=


x=1, suy ra :
5
A
9
=

Phơng pháp trên gọi l phơng pháp
gán trực tiếp giá trị của biến số để tìm A, B, C.
Tính I
3
32
x1
dx
x
2x x

=
++



3. Đa thức : có ba nghiệm phân biệt .

()
32
fx ax bx cx d=+++


Tính I
()
2
1
dx
xx 1
=



Cách 1. Ta có :
() ()
22 2
33
22
113x13x313x1
2x x 2x x x
xx 1 xx 1

3




==

Do đó : I
2
3
3
13x 1 3 1 3
dx ln x x ln x C
2x x x 2 2


==




+

Cách 2 . Ta có :
()
()
() (
2

2
1ABC
1Ax 1 Bxx1 Cxx1
xx1x1
xx 1
=+ + + ++
+

)

Cho x=0, suy ra A = -1 .
x=1, suy ra
1
B
2
=

x=-1, suy ra
1
C
2
=

Do đó :
I
2
1
ln x ln x 1 C
2
= + +

12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
11
Tính I
()
2
x1
dx
xx 4
+
=



Tính I
()
()
2
2
x
dx
x1x2
=
+

Tính I
()
()
3
2
x
dx
x1x2
=



Tính I
()
()
2
dx
2x 1 4x 4x 5
=
+++


Đặt : 2x + 1 =t
dt
dx
2
=
, ta có :

I
()
2
1dt
2
tt 6
=


=
()
22
3
3
2
13t6 3t18 1
dt dt ln t 6t 3ln t C
24 t 6t 24
tt 6




=

+

4. Đa thức : có một nghiệm (khác bội ba)
()
32
fx ax bx cx d=+++
Tính I
3
1
dx
x1
=



Đặt x
1 = t , ta có : dx dt=
I
()()()
22
222
dt 1 t 3t 3 t 3t
dt dt
3
tt 3t 3 tt 3t 3 tt 3t 3

++ +

==
++ ++ ++

2
1dt t3
dt
3t t3t3
+


=


++



=

2
2
1dt1 2t3 3 dt
dt
3t2t3t3 2
33
t
24

+


=

++

++







2
11
ln t ln t 3t 3 3 C
32
=
+++
( Với
3
x
tg
2
=

)
Tính I

()
2
1
dx
xx 1
=
+


Tính I
()
2
1
dx
xx 2x 2
=
++


Tính I
2
3
x
dx
x
1
=
+

Tính I
3
3
x
dx
x
8
=



Tính I
32
1
dx
x3x3x2
=
+




Tóm lại : Ta thờng sử dụng hai phép biến đổi :
Tử số l nghiệm của mẫu số .

Tử số l đạo hm của mẫu số .

v phân thức đợc quy về 4 dạng cơ bản sau :

{

ứng với
111
dx = ln ax + b + C
ax + b ax + b a



{


ứng với
u'
u'
dx = ln u + C
uu


12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
12

()
{
()

nn
ứng với
u' u' 1
n2 dx=- +C
uun-1
n-1
u



()
{
()


22
22
ứng với
11
dx = + C
a
x+d +a x+d +a
a
, với
xdatg
+
=

D. Dạng : I
()
()

Qx
=
< P(x) l đa thức bậc cao> V một số kĩ thuật tìm nguyên hm .
dx
Px
1. Kĩ thuật biến đổi tử số chứa nghiệm của mẫu số .
Tính I
()
()
()
dx
x
x1x7x8
=
++


HD
: I
()
()
(
)
()

()
()
xx 7 x 1 x 8
dx
xx 1 x 7 x 8
+ +
=
++


Tính I
42
dx
x10x9
=
++


HD : I
()()
(
)
(
)
()(
)
22
22 22
x9 x1
dx 1

8
x1x9 x1x9
+
+
==
++ ++


Tính I
64 2
dx
x6x13x42
=
+


HD : I
()()()
222
dx
x
3x 2x 7
=
++


Tính I
5
dx
5x 20x

=
+


HD :
I
()
(
)
()
44
44
x4x
1dx 1
520
xx 4 xx 4
+
++

==

Tính I
73
dx
x10x
=



HD : I

()
(
)
()
44
34 34
xx10
dx 1
10
xx 10 xx 10

==



Tính I
()( )( )
222
dx
x
22x 13x 4
=
+


Tính I
86 42
dx
x 10x 35x 50x 24
=

++


Tính I
()
()
432
dx
x
1 x 4x 6x 4x 9
=
+
+++


Tính I
2
4
x
dx
x
1
=



Tính I
4
4
xdx

x1
=



Tính I
4
4
xdx
x1
=
+


Tính I
4
6
x
dx
x
1
=




12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
13
Tính I
6
6
x
dx
x
1
=



Tính I
100
dx
3x 5x
=
+


Tính I
()
2
50
dx
x
2x 7
=
+

Tính I
()
()
2000
2000
1x dx
x1 x

=
+


2. Kĩ thuật đặt ẩn phụ với tích phân có dạng : I
(
)
()
()
1




Px
=dx
ax + b


Tính I

()
3
30
xx1
dx
x2
++
=



Đặt x 2 = t
dx dt
x
t2
=



=+

, ta có :
I
()
3
32
30 30 26 27 28 29
t2 t3
t6t13t11 1 1 1 1
dt dt 6 13 11 C

t t 26t 27t 28t 29t
+++
+++

== =+++



+
=
Tính I
()
4
45
x
dx
x3
=



Tính I
()
43
50
3x 5x 7x 8
dx
x2
+
=

+


Chú ý :
Với loại toán ny trong cuốn Tích Phân T.Phơng đã sử dụng phơng pháp khai triển
Taylor nhng tôi cảm thấy cách lm ny không nhanh hơn lại gây nhiều phức tạp cho học sinh nên đã
không nêu ra .

3. Kĩ thuật biến đổi tử số chứa đạo hm của mẫu số .
Tính I
4
xdx
x1
=



Đặt
2
x t 2xdx dt= =
Tính I
3
4
x
dx
x
1
=
+

Tính I
2
4
x
1
dx
x
1

=
+


I
()
2 2
2
2
4
2
2
2
2
1
1
dx
1
x

11
x
x
dx dx ln
1
x1
22 x x2 1
1
x
x2
x
x

+




== = =
+
xx21+
+
+

+
+



+C

Tính I
2
4
x
1
dx
x
1
+
=
+


Tính I
2
4
x
dx
x
1
=
+


Tính I
()
2
432
x1
dx

x
5x 4x 5x 1

=
+


Tính I
()
2
43 2
x1
dx
x
2x 10x 2x 1
+
=
+ +



12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
14
Tính I
()
2

43 2
x2
dx
x
3x 11x 6x 4

=
+ +


Tính I
()
2
432
x3
dx
x
2x 2x 6x 9
+
=
++


Tính I
42
dx
xx1
=
++

Tính I
42
dx
x3x4
=
+


Bình luận : Loạt bi toán ny lm tôi khá ấn tợng với phép chia cả tử số v mẫu số cho
. Quả thật tôi luôn cố gắng tìm tòi xem liệu mình có thể nghĩ ra một phơng pháp no
khác hay hơn chăng, nhng
bó tay.com . Thế mới hiểu toán học : luôn tiềm ẩn những vẻ
đẹp lm ngời ta sửng sốt.
2
x
Tính I
5
6
x
dx
x
1
=
+


Tính I
6
x

dx
x1
=



Đặt , ta có : I
2
x t 2xdx dt= =
3
1dt
2t 1
=



Tính I
3
6
x
dx
x
1
=



Tính I
4
6

x
1
dx
x
1
+
=
+


Tính I
3
6
x
x
dx
x
1
+
=
+

HD : I
(
)
(
)
32
66
dx dx

11
3x 1 2x 1
=+
+
+


Tính I
3
6
x
dx
x
1
=
+

HD : I
()
()
2
2
3
2
1x
dx
2
x1
=
+

Tính I
()( )
22
63
x1x2x1
dx
x
14x 1
++
=



HD : I
2
3
3
3
11 1
1x2 x2
1
xx x
dx d x
1
x
11
x14
x3x14

x
xx

++ +



==





+







Tính I
()
19
2
10
x
dx
3x
=

+


HD . I
() ()
()
10 9 10
10
22
10 10
x.10x 1 x
dx d x
10
3x 3x
==
++


Tính I
()
99
7
50
x
dx
2x 3
=

Tính I
()
2n 1
k
n
x
dx
ax b

=
+







12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
15
4. Kĩ thuật chồng nhị thức .

Cơ sở của phơng pháp :
Để tìm nguyên hm có dạng : I
()
()

n
m
ax b
dx
cx d
+
=
+

, ta dựa vo cơ sở :
()
,
2
ab
cd
ax b
cx d
cx d
+

=

+

+

v phân tích biểu thức dới dấu tích phân về dạng :
I
()
2

ax b dx ax b ax b
kf kf d
cx d cx d cx d
cx d
++


++

+

+
==
+



VD . Tính

I
()
()
()
10
10 10 11
12 2
3x 5
3x5 dx 1 3x5 3x5 1 3x5
dx d C
x2 11 x2 x2 121x2

x2 x2



== = =

+++

++


+
+

Tính I
()
()
99
101
7x 1
dx
2x 1

=
+


Tính I
()()
53

dx
x
3x5
=
++


HD . I
()
()()
()()
()
6
55625
6
8
x3 x5
dx 1 1 dx 1 1 dx
2x5
x3 x3 x3
2
x
5x5 x5
x5
x5 x5 x5
++

==

=

+
++ +
++ +


+

++ +


Để tránh sự đồ sộ trong tính toán ta có thể sử dụng phép đặt ẩn phụ nh sau :
Đặt
()
2
1dt
dx
2
x3
x5
t
x5
x52 1 1t
t
x5 x5 2

=

+
+

=

+
+

= =

+ +
, nên ta có :
()()
()
6
52
6
x3 x5
11 dx
2x5
x3
x
5
x5
++


+
+
+

+


=
()
6
75
t1dt
1
2t




Tính I
()()
73
dx
3x 2 3x 4
=
+


Tính I
()()
34
dx
2x 1 3x 1
=

Đặt
()
2
3x 1 1
td
x
2x 1
2x 1

= =


dt
v
1
2t 3
2x 1
=



Do đó ta có :
I
()()
()
34 4
()

7
dx dx
3x 12x 1 3x 1
2x 1
2x 1
==







5
4
2t 3 dt
t

=






12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang

16
Tích phân của các hm lợng giác

A. Sử dụng thuần tuý các công thức lợng giác .
Công thức hạ bậc :
22
1 cos2x 1 cos2x
sin x ; cos x
22

+
==


VD . Tìm họ nguyên hm :
2
cos xdx


2
cos xdx =

()
1cos2x 1 1 1 1
dx dx cos2xd 2x x sin2x C
224 24
+
=
+=+

+

Bi tập . Tìm họ nguyên hm :
1 . 2 . 3.
2
sin xdx

4
cos xdx

4
cos 3xdx

4. 5 . 6 .

2
sin 5xdx

4
sin 5xdx

24
cos x sin xdx

Công thức hạ bậc :
33
sin3x 3 sin x cos3x 3cosx
sin x ; cos x
44

++
==

Bi tập . Tìm họ nguyên hm :

1 . 2 . 3.
6
sin xdx

6
cos 3xdx

6
cos 4xdx


Công thức biến đổi tích thnh tổng :

() ()
() ()
()()
1
sina.sin b cos a b cos a b
2
1
cosa.cosb cos a b cos a b
2
1
sina.cosb sin a b sin a b
2

=+




=++




=++






VD . Tìm họ nguyên hm : sin2x.cosxdx


[]
()
11111
sin2xcosxdx sin3x sinx dx sin3xd 3x sinxdx cos3x cosx C
26262
=+= +=
+


Bi tập . Tìm họ nguyên hm :

1 . 2 . 3. sinxcos3xdx

cosx.cos2x.cos3xdx

cos4x.sin5x.sin xdx



Công thức cộng :

(
)
()
()
()
cos a b cos acos b sina sin b
cos a b cos acos b sina sin b
sin a b sina cos b sin bcos a
sin a b sin a cos b sinbcosa
+=
= +
+= +
=


VD .
(
)
(

)
()()
()()
cos x 5 x 5
dx 1 1
cotg x 5 tg x 5 dx
sin2x sin10x 2cos10 cos x 5 cos x 5 2cos10
+


==


+

++

=
(
)
()
sin x 5
1
ln C
2cos10 cos x 5

+


Bi tập :

1.
dx
sin2x sin x

2.
dx
sinx sin3x+

3.
dx
1sinx



B. Tính tích phân khi biết d(ux)) .
VD .
Tính
2
2
0
sin x.cosxdx




12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang

17
Đặt t=sinx, t0;1




. Khi x=0 thì t=1, khi x=
2

thì t=1 v dt = cosxdx . Do đó :
1
3
2
22
00
1
t1
sin x.cosxdx t dt
0
33

=
==



Với loại tích phân ny học sinh có thể tự sáng tạo ra một loạt các bi toán, tôi thử đa ra
một vi phơng án :
Biết d(sinx) . cosxdx
1.

2
n
0
sin x.cosxdx


2.
()
2
*
n
4
cosx
dx n N , n 1
sin x





3.
2
3
4
tg xdx




4. 5.

()()
10
5
sin3x cos3x dx

2
cosxdx
sin x 3sinx 2
+
+


Biết d(cosx) . sinxdx
1.
2
n
0
cos x.sinxdx


2.
()
4
*
n
0
sinx
dx n N , n 1
cos x

3.
3
4
5
0
sin x
dx
cos x



4. 5.
()()
7
100
sin2x cos2x dx

3
sinxdx
cos x 1



Biết d(tgx)
2
1
dx

cos x

.
1.
()
4
3
0
tg x tgx dx

+

2.
4
3
0
sin x
dx
cos x


3.
()
()
7
4
6
0
tg3x
dx

cos3x



4.
4
1
dx
cos x

5.
2n
dx
cos x

6.
(
)
5432
tg x tg x tg x tg x 1 dx++++


Biết d(cotgx)
2
1
dx
sin x

.
1.

()
2
3
4
cotg x cotgx dx


+

2.
2
5
4
cosx
dx
sin x



3.
()
()
10
8
cotg5x
dx
cos5x


4.

4
1
dx
sin x

5.
2n
dx
sin x

6.
(
)
5432
cotg x cotg x cotg x cotg x dx+++


Biết d( sinx cosx )
(
)
cosx sinx dx
1.
()
4
0
cos x sin x
dx
sinx cosx

+

2.
2
4
cos2x
dx
1sin2x


+

3.
()
3
cos2x
dx
sinx cosx
+


4.
2cosx 3 sin x
dx
2sinx 3cosx 1

+

5.
(

)
sin2x 2cos4x dx
cos2x sin4x
+



Biết
()
22
dasinx bcosx csin2x d
()
abcsin2xdx
1.
22
sin2x
dx
3sin x cos x+

2.
2
sin2x
2sin x 4sin xcosx 5cos x+

2

Biết d(f(x)) với f(x) l một hm lợng giác bất kì no đó .
VD . Chọn f(x) = sinx + tgx
()
()

3
22
1cos
dfx cosx
cos x cos x
1
+
=+=


12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
18
Nh vậy ta có thể ra một bi toán tìm nguyên hm nh sau :
()
()
3
2
sin x tgx cos x 1
dx
cos x
++


Để tăng độ khó của bi toán bạn có thể thực hiện một vi phép biến đổi ví dụ :

()

()
()
(
)
()
33
23
sinx tgx cos x 1 sin x 1 cosx cos x 1
1
sinx 1 cosx 1
cos x cos x cos x
++ + +

==+


3
+

Từ đó ta có bi toán tìm nguyên hm :
()
3
1
sinx 1 cosx 1 dx
cos x

++

Dĩ nhiên để có một bi tìm nguyên hm nhìn đẹp mắt lại phụ thuộc vo việc chọn hm f(x) v khả năng
biến đổi lợng giác của bạn !
VD . Tôi chọn hm số : f(x) = tgx cotgx
()
()
22 2
11 4
dfx
cos x sin x sin 2x
=
, nh vậy tôi có thể ra một bi
toán nhìn
tạm đợc nh sau : Tìm họ nguyên hm :
+=
()

2007
2
tgx - cotgx
dx
sin 2x

Nếu thấy cha hi lòng ta thử biến đổi tiếp xem sao ?
Ta có :
22
cos x sin x 2cos2x
tgx =cot gx
sinx.cosx sin2x

=
()
2007
2007 2007
2 2009
tgx - cotgx
2cos2x
sin 2x sin 2x
=
Vậy bạn sẽ có một bi toán mới :
Tìm họ nguyên hm :

2007
2009
cos 2x
dx
sin 2x
Có thể bạn sẽ thấy buồn khi bi toán ny lại
có cách giải ngắn hơn con đờng chúng ta đi !
Nhng dẫu sao cũng phải tự an ủi mình :
Thực ra trên mặt đất lm gì có đờng
Chng l chỳng ta khụng thu lm c iu gỡ chng ? Nhng tụi li cú suy ngh khỏc, bit õu nhng
nh vit sỏch li xut phỏt t nhng ý tng nh chỳng ta ???
Hóy th xột sang mt dng toỏn khỏc :


C. Tạo ra d(u(x)) để tính tích phân .
VD .
Tính tích phân :

4
0
dx
cosx



Rõ rng bi toán không xuất hiện dạng :
()
(
)
() ()
f u x u' x dx f u du=


Vậy để lm đợc bi toán, một phơng pháp ta có thể nghĩ đến l tạo ra d( u(x)) nh sau :

()
66 6
22
00 0
dsinx
dx cosxdx 1 1 sin x 1 1
ln ln
6
cosx cos x 1 sin x 2 1 sinx 2 3
0

== = =
+




Bạn có nghĩ rằng mình cũng có khả năng sáng tạo ra dạng toán ny !

Tạo d(sinx) . cosxdx
1.
4
dx
sin xcosx

2.
4
tg x
dx
cosx

3.
3
dx


cos x
4.
2
sin x
dx

cosx

5.
2
cos xdx
cos3x

6.
35
dx


sin xcosx
Tạo d(cosx) . sinxdx
1.
dx
sinxcosx

2.
3
dx
sin x

3.
3
2
5
4
cos

x
dx
sin x



12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
19
4.
()
3
dx
sinx cos x 1

5.
6
dx
sinxcos x

6.
3
4sin x
1cosx+

Tạo d(tgx)
2
1
dx
cos x

.
1.
4
3
0
tg xdx


2.
2
4
2
0
sin x
dx
1cosx

+

3.
()()
33
dx
sinx cosx

4. 5.
8
tg xdx

2
dx
2sin x 5sin xcosx 3cos x

2
6.
()
2
1
dx
sinx 2cosx


Tạo d(cotgx)
2
1
dx
sin x

.
1.
2
3
4

cotg xdx



2.
22
1
dx
sin x 2cos x

3.
()
()
10
8
cotg5x
dx
sin5x


4.
4
1
dx
sin x

5.
2n
dx
sin x

Tạo d(
x
tg
2
)
1
2
2
1
dx
x
cos
2

. < Phép đặt ẩn phụ t=
x
tg
2
> .
1.
dx
3sinx cosx+

2.
1
dx
2cos3x 7sin3x+

3.
dx
2sinx 5cosx 3++


4.
sinx cosx 1
dx
sinx 2cosx 3
+
++

5.
()
2
7sinx 5cosx
3sinx 4cosx

+



D. sáng tạo bi tập

Nếu đợc phép hỏi, tôi sẽ hỏi rằng bạn có cảm thấy nhàm chán khi bạn cứ suốt ngày ôm lấy một cuốn sách tham khảo và làm hết
bài tập này đến bài tập khác, mà đôi lúc bạn vẫn cảm giác rằng khả năng giải toán của mình không giỏi lên. Còn tôi đam mê môn Toán từ
khi tôi biết thế nào là sáng tạo Bạn có muốn thử xem mình có khả năng sáng tạo hay không ?
Dù khả năng sáng tạo bài tập đợc xuất phát từ những bản chất rất sơ đẳng, có thể bạn sáng tạo một bài toán mà bạn đã bắt gặp ở
một cuốn sách nào đó nhng dẫu sao nó vẫn mang dáng dấp của bạn .

Tôi mạn phép t duy để cùng tham khảo cho vui !

Tôi sẽ lấy một hm số f(x) no đó m tôi thích, rồi đạo hm để tìm d(f(x)) .
h
Tôi chọn : ,
()
44
fx sinx cosx=+
()
(
)( )
33 22
f' x 4 sin xcosx cos x sinx 2.sin2x sin x cos x sin4x== =
Một bi toán đơn giản đợc tạo ra :
Tính dx


2
44
0
sin4x
sin x + cos x

Một bi toán nhìn khá đẹp mắt, bạn đã gặp ở đâu cha ? Nếu gặp bi toán ny trớc khi bạn biết sáng tạo bạn
giải quyết nó nh thế no ?
Để tăng khả năng
đánh lừa trực giác bạn có thể tạo mẫu số thnh một hm số hợp no đó quen thuộc , ví dụ :
Tính các tích phân sau :

1. dx

2
44
0
sin4x
sin x + cos x
2.
()
2007
dx


2
44
0
sin4x
sin x + cos x
3.
()
dx


2
44
0
sin4x
sin x + cos x
2
cos

12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
20
4.
()
dx


2
44
0
sin4x
sin x + cos xtg

Biết đâu một lúc no đó có ai hỏi tôi về cách giải các bi toán trên tôi lại

quên !!!!!
Tôi biết bạn sẽ nghĩ t duy kiểu ny cũ rích . Vậy sao ta không thử t duy một kiểu no đó cho hơi lạ một tý :
()
() (
2
44 22
111
f x sin x cos x 1 2sin xcos x 1 sin2x cos2x
222

= + = = = +
)
2
Bi toán ny sẽ xuất phát từ đâu ?
Tính :
dx

+

2
44
0
sin2x cos2x
sin x + cos x


i Nếu nh xuất phát từ lợng giác để tạo ra các bài toán tích phân của hàm lợng giác nghe có vẻ hiển nhiên quá, ta hãy xuất phát
từ hàm phân thức hữu tỷ xem sao ?
Tôi sẽ xuất phát từ bi toán tìm nguyên hm :
2
dx
I
x1
=


.
Tôi sẽ đặt : x=tgt
(
2

2
1
dx dt 1 tg t dt
cos t
= =+
)
và ra mắt bài toán :


2
2
1+tg x
I= dx
1tgx

Bạn sẽ suy nghĩ rằng
quá đơn giản
nhng bạn sẽ cho cách giải thế nào với bài toán này :



2
1
I= dx
1tgx
, phải chăng bạn sẽ nghĩ
()
()()
=

2
1
I= dx
1tgx
22
dtgx
1tgx1+tgx
hãy nhờng chỗ cho
những lời giải thông minh hơn !!!
a Bạn đang ôn thi đại học, bạn đọc khá nhiều tài liệu đôi khi bạn sẽ gặp những bài toán khó hay những lời giải dài dòng hơn bạn
bạn thấy mình đang từng ngày tiến bộ . Đôi khi bạn gặp một phơng pháp nào đó với tên gọi làm bạn hoảng hốt . Hãy dừng lại v t duy, bạn
sẽ tìm ra lời giải đáp !
Tôi đơn cử một ví dụ Khi bạn đọc tài liệu bạn thấy cụm từ tích phân liên kết có thể bạn bỏ qua vì nghĩ rằng quá khó
VD . Tính
cosxdx
E
sin x cosx
=
+


Lời giải : Xét tích phân liên kết với E là
1
sinx
Ed
sinx cosx
=
+

x

Ta có :
()
11
1 2
sinx cosx
E E dx dx x C
sinx cosx
dsinx cosx
sinx cosx
E E dx ln sinx cosx C
sin x cosx sin x cosx
+

+= = =+

+


+


= = = + +

++

.
Giải hệ phơng trình suy ra :
()
()
1
1
E x ln sin x cosx C
2
1
Exlnsinxcosx
2

=+ + +




= + +


C

Bình luận : Sự đồ sộ lm bạn hoảng hốt, nhng hãy suy nghĩ xem thực chất nó cũng chỉ l một phép tách đơn
giản :
()()
()
cosx sin x cosx sin x dx
dcosx sinx
1111
E dx x ln sin x cosx C

2 sin x cosx 2 2 cosx sin x 2
++

+

==+=+
++

++

Nếu cha thực sự tin bạn có thể thử với một loạt các bi toán khác tơng tự :
1.
sinx
dx
3cosx 7sin x+

2.
sin3x
dx
2cos3x 5sin3x

3.
4
44
sin x
dx
sin x cos x+


Việc đa ra bi toán trên chỉ l sự đúc rút kinh nghiệm không phải l sự sáng tạo, nhng nó giúp chúng ta lí giải

đựơc một điều quan trọng trong sáng tạo bi tập : l muốn có một bi tập hay bạn cần kết hợp nhiều phép biến đổi v dĩ
nhiên đòi hỏi bạn phải kiên trì v một chút yếu tố
may mắn .

d Tôi thử lấy hàm số : và tách nó thành 2 kiểu khác nhau :
()
2
fx 2sinx 2sin2x 5cosx=+
2

Kiểu1
.
()
(
)
()()
22
2222 2
f x 2sin x sin2x 5cos x sin x cos x sin x 2cosx 1 sin x 2cosx 1 u=+=+++ =++ =+


12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
21

Kiểu2
.

()
(
)
()()
22
2222 2
f x 2sin x sin2x 5cos x 6 sin x cos x cosx 2sin x 6 cosx 2sin x 6 v=+= + = =

ở kiểu1. u' v kiểu2 cosx 2sinx=
v
'sinx2cosx=
()
u' v' 3 sinx cosx+ = +
Vậy phải chăng bi toán ny sẽ rất khó :
22
sinx cosx
dx
2sin x 2sin2x 5cos x
+
+



Tôi nhìn thấy bạn đang cời chế diễu bởi bạn đã bắt gặp nó nhng có 2 điều tôi
muốn nói với bạn :
- Hãy giải bi toán ny bằng một cách thật thông minh .
- Hãy mợn tạm t duy ny để ra bi tập .
Bạn đã quá quen với bi toán ny :
6
dx

sin x

nhng tôi khẳng định bạn sẽ có một chút băn khoăn với bi toán :

Tìm họ nguyên hm :
(
)

42
6
sinxcosx sin x + sin x + sinx + 1
I= dx
sin x - 1

Giải
(
)

42
6
sinxcosx sin x + sin x + sinx + 1
I= dx
sin x - 1
(
) ()
()
(
)
42 3 2
2

2
66
3
sinxcosx sin x sin x 1 d sin x d sin x
sin xcosx 1 1
sin x 1 sin x 1 3 2 sin x 1
sin x 1
++
=+ = +
2





=
()
2
2
2
1cosx1
ln ln cos x C
6sinx12

+

+

+
bạn tìm lời giải nhanh hơn nhé !

Bi toán trên
bị lộ ý tởng giải toán khi xuất hiện : nhng bi toán ny bạn hãy giải quyết dùm
42
sin x + sin x + 1
Tìm họ nguyên hm :
(
)

6
sinxcosx sinx + 1
I= dx
sin x - 1

Với ý tởng ny bạn có thể ung dung nghĩ rằng : ngời khác sẽ đau đầu vì bi toán của bạn ! Hãy thử
theo ý tởng của bạn, đảm bảo tôi sẽ
bó tay . com .vn !!!

dùng đồ của ngời khác cảm zác không thoải máinhng dùng mi mà ngời ta không bắt trả lại thì
thành của mình ! < triết lí không ? >

Đêm khuya lắm rồi, tạm chia tay với tích phân hm lợng giác ! Nhờng lại sân chơi cho các bạn !


Tìm họ nguyên hm :

66
sin4x + cos2x
dx
sin x + cos x
( Với giá dùng thử chỉ có 4 dấu = )

Vỡ ủụứi phuù kieỏp taứi hoa
Vỡ ngửụứi gian dớu hay ta ủa tỡnh ?!


Tích phân của các hm chứa dấu giá trị tuyệt đối


VD . Tính
()()()(
212 1 2
001 0 1
)
x
1dx x 1dx x 1dx x 1 d x 1 x 1 d x 1=+= +


=
()()
12
1x x1 2
01
+=

Tích phân của hm chứa dấu giá trị tuyệt đối không khó lắm, nó phụ thuộc hon ton vo khả năng xét dấu của
hm số trong dấu giá trị tuyệt đối .
Khi xét dấu của hm đa thức chứa trong dấu giá trị tuyệt đối bạn cần lu ý một
mẹo vặt : Đa thức có n

nghiệm thì ta xét trên (n+1) khoảng. Đa thức bậc n có n nghiệm thì đan dấu trên các khoảng, khác n nghiệm thì
mất tính đan dấu .

12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
22
VD1 . Tính
3
2
2
x
1dx





Nháp :
2
x
1
x10
x
1
=

=

=


( tam thức bậc 2 có 2 nghiệm )

xét dấu :

+ +

_
-1
1
-2

3

0

Thử một số bất kì trong khoảng bất kì
Đan dấu







Giải .
() ()()

3113113
2222 2 22
22112 11
28
x 1 dx x 1 dx x 1 dx x 1 dx x 1 dx x 1 dx x 1 dx
3


= + += + =



VD2.
Tính
1
32
1
x
xdx




Chúng ta thờng nhầm lẫn khi xét dấu l đa thức có 2 nghiệm v đan dấu trên 3 khoảng sẽ cho kết
quả sai ! Hãy lm nh sau :

11
32 2
11
x

xdx x x 1dx

=

=
12
22
01
x
x1dx xx1dx+

=
Các bi tập rèn luyện :
1.
2
3
0
x
xdx

2.
2
1
x
1dx



3.
1

2
0
9x 6x 1dx+

4.
3
4
4
1cos2xdx


+

5.
2
32
2
cos x cos xdx






Tích phân từng phần

1.
Tích phân dạng : ,
()
b

a
Pxsinxdx

()
b
a
Pxcosxdx



Đặt u = P(x) để giảm bậc của P(x) .
VD . Tính
2
0
x
sinxdx



Đặt
2
du 2xdx
ux
v
cosx
dv sin xdx
=

=

=
=



. Do đó :

()
22 2
00
0
x
sin xdx x cosx 2xcosxdx 2 xcosxdx
0


= + =+




Ta sẽ tính tích phân :
0
x
cosxdx

12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
23
Đặt
ux
du dx
dv cosxdx
v
sinx
=
=




=
=


. Do đó :

00
x
cosxdx x.sin x sinxdx cosx 2
00

===



Vậy
22
0
x
sin xdx 4

=


Bi tập tự luyện :
1.
2
2
0
x
cos xdx


2.
3
0
x
cosxdx

3.
6
2
0
x
sin xcos xdx


4.
2
23
0
x
cos xdx


5.
33
0
x
x
sin dx
2



2. Tích phân dạng :
()
b

a
Pxlnxdx

Đặt dv = P(x)dx để dễ tìm v .