Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------

NGUYỄN THỊ HỒNG PHƢƠNG

PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT LAI GHÉP
CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH KHÔNG ĐIỂM
CỦA TOÁN TỬ J-ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------

NGUYỄN THỊ HỒNG PHƢƠNG

PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT LAI GHÉP
CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH KHÔNG ĐIỂM
CỦA TOÁN TỬ J-ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Trƣơng Minh Tuyên

THÁI NGUYÊN - 2016


i

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trương Minh Tuyên, người đã
tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu để hoàn
thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, các thầy, cô giáo trong khoa
Toán - Tin trường, Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên đã tận tình giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường.
Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, lãnh
đạo trường Trung học phổ thông Gang Thép, cũng như toàn thể các đồng nghiệp,
đã quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện đúng kế hoạch học tập
và nghiên cứu.


ii

Mục lục

Một số ký hiệu và viết tắt

iii

Mở đầu

1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1. Một số vấn đề về không gian Banach trơn và toán tử j-đơn điệu .

3

1.1.1. Không gian Banach trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3. Toán tử j-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2. Giới hạn Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Phương pháp xấp xỉ gắn kết và phương pháp đường dốc cho bài
toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . 14
1.3.1. Phương pháp xấp xỉ gắn kết . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2. Phương pháp đường dốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4. Phương pháp điểm gần kề cho bài toán xác định không điểm của
toán tử đơn điệu và một số cải tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Chương 2 Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép

21

2.1. Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép xác định không điểm của
toán tử j-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Kết luận

40


ii
Tài liệu tham khảo

41


iii

Một số ký hiệu và viết tắt

E

không gian Banach

E∗

không gian đối ngẫu của E

R

tập hợp các số thực

R+

tập các số thực không âm

inf M

cận dưới đúng của tập hợp số M

sup M

cận trên đúng của tập hợp số M

D(A)

miền xác định của toán tử A

R(A)

miền ảnh của toán tử A

I

toán tử đồng nhất

lim sup xn

giới hạn trên của dãy số {xn }

n→∞

xn −→ x0

dãy {xn } hội tụ mạnh về x0

xn

dãy {xn } hội tụ yếu về x0

x0

J

ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

j

ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị

ρE (τ )

mô đun trơn của không gian Banach E

F ix(T ) hoặc F (T )

tập điểm bất động của ánh xạ T

∂f

dưới vi phân của hàm lồi f

M

bao đóng của tập hợp M

o(t)

vô cùng bé bậc cao hơn t


1

Mở đầu

Cho H là một không gian Hilbert, bài toán xác định không điểm của lớp toán
tử đơn điệu A với tập xác định D(A) ⊆ H có vai trò quan trọng trong lĩnh vực
giải tích phi tuyến và lĩnh vực tối ưu hóa. Chẳng hạn, nếu f : H −→ R ∪ {+∞}
là một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới thì toán tử dưới vi phân ∂f :
H −→ 2H xác định bởi ∂f (x0 ) = {u ∈ H : f (x) − f (x0 ) ≥ u, x − x0 , ∀x ∈ H}
là một toán tử đơn điệu cực đại [16]. Ta biết rằng điểm x ∈ H làm cực tiểu
phiếm hàm lồi f khi và chỉ khi θ ∈ ∂f (x). Như vậy, bài toán cực tiểu hóa phiếm
hàm lồi f ở trên tương đương với bài toán xác định không điểm của toán tử đơn
điệu cực đại ∂f . Bài toán này đã được nghiên cứu và mở rộng cho các bài toán
tìm không điểm của toán tử đơn điệu hay toán tử j-đơn điệu trong không gian
Banach.
Ta biết rằng, nếu T : D(T ) ⊆ E −→ 2E là một ánh xạ không giãn, thì
A = I − T là một toán tử j-đơn điệu, ở đây I là toán tử đồng nhất trên E. Do
đó, bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn T có thể đưa về bài toán

xác định không điểm của toán tử j-đơn điệu A = I − T . Ngược lại, nếu A là một
toán tử j-đơn điệu thỏa mãn điều kiện miền, tức là D(A) ⊂ ∩λ>0 R(I + λA),
thì bài toán xác định không điểm của A tương đương với bài toán tìm điểm bất
động của toán tử giải Jr = (I + rA)−1 với mỗi r > 0. Do đó, vấn đề nghiên cứu
và tìm các phương pháp tìm không điểm của một toán tử kiểu đơn điệu mang
nhiều ý nghĩa quan trọng và thu hút sự quan tâm của đông đảo người làm toán
trong và ngoài nước.
Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách có hệ thống kết quả của
Ceng L.C., Ansari Q. H. và Yao J. C. trong tài liệu [6] về phương pháp xấp xỉ
gắn kết lai ghép với phương pháp đường dốc nhất cho bài toán xác định không


2
điểm của một toán tử m-j-đơn điệu trong không gian Banach.
Luận văn được chia làm hai chương chính:
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi đề cập đến khái niệm không gian Banach trơn,
ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, toán tử j-đơn điệu; giới hạn Banach; phương pháp
xấp xỉ gắn kết và phương pháp đường dốc nhất. Ngoài ra chương này còn trình
bày về phương pháp điểm gần kề và một số cải tiến của nó cho bài toán xác
định không điểm của toán tử kiểu đơn điệu.
Chương 2. Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép
Chương này, chúng tôi trình bày lại các kết quả của Ceng L.C., Ansari Q.
H. và Yao J. C. trong tài liệu [6] về phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép với
phương pháp đường dốc nhất cho bài toán xác định không điểm của một toán
tử m-j-đơn điệu trong không gian Banach. Ngoài ra, chúng tôi cũng xây dựng
một ví dụ số và chạy thử nghiệm trên phần mềm MATLAB nhằm minh họa
thêm cho các phương pháp.

3

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị

Chương này gồm 5 mục. Mục 1.1 giới thiệu về không gian Banach trơn đều
và toán tử j-đơn điệu. Mục 1.2 trình bày về giới hạn Banach và một số tính
chất quan trọng nhằm phục vụ trình bày các nội dung của chương 2. Mục 1.3
giới thiệu sơ lược về phương pháp xấp xỉ gắn kết và phương pháp đường dốc
nhất cho bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn. Mục 1.4 đề cập
đến phương pháp điểm gần kề cho bài toán xác định không điểm của toán tử
đơn điệu và một số cải tiến của nó. Mục 1.5 trình bày một số bổ đề bổ trợ cần
sử dụng trong chứng minh các định lý ở chương sau của luận văn.

1.1.

Một số vấn đề về không gian Banach trơn và toán
tử j-đơn điệu

1.1.1.

Không gian Banach trơn

Trước hết, trong mục này chúng tôi nhắc lại khái niệm không gian Banach
phản xạ.
Định nghĩa 1.1. Một không gian Banach E được gọi là không gian phản xạ,
nếu với mọi phần tử x∗∗ của không gian liên hợp thứ hai E ∗∗ của E, đều tồn tại
phần tử x thuộc E sao cho
x, x∗ = x∗ , x∗∗ với mọi x∗ ∈ E.
Chú ý 1.1. Trong luận văn, chúng tôi sử dụng ký hiệu x, x∗ để chỉ giá trị của

phiếm hàm x∗ ∈ E ∗ tại x ∈ E.


4
Mệnh đề 1.1. [1] Cho E là một không gian Banach. Khi đó, các khẳng định
sau là tương đương:
i) E là không gian phản xạ.
ii) Mọi dãy bị chặn trong E, đều có một dãy con hội tụ yếu.
Mệnh đề dưới đây cho ta mối liên hệ giữa tập đóng và tập đóng yếu trong
không gian tuyến tính định chuẩn.
Mệnh đề 1.2. Nếu C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian không
gian tuyến tính định chuẩn X, thì C là tập đóng yếu.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại dãy {xn } ⊂ C
sao cho xn

x, nhưng x ∈
/ C. Theo định lý tách các tập lồi, tồn tại x∗ ∈ X ∗

tách ngặt x và C, tức là tồn tại ε > 0 sao cho
y, x∗ ≤ x, x∗ − ε,
với mọi y ∈ C. Đặc biệt, ta có
xn , x∗ ≤ x, x∗ − ε,
với mọi n ≥ 1. Ngoài ra, vì xn

x, nên xn , x∗ → x, x∗ . Do đó, trong bất

đẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận được
x, x∗ ≤ x, x∗ − ε,
điều này là vô lý. Do đó, điều giả sử là sai, hay C là tập đóng yếu.
Mệnh đề được chứng minh.

Chú ý 1.2. Nếu C là tập đóng yếu, thì hiển nhiên C là tập đóng.
Mệnh đề dưới đây cho ta một điều kiện về sự tồn tại điểm cực tiểu của một
phiếm hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới trong không gian Banach phản
xạ.


5
Mệnh đề 1.3. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Banach
phản xạ E và f : C −→ (−∞, ∞] là một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục
dưới trên C, sao cho f (xn ) → ∞ khi xn → ∞. Khi đó, tồn tại x0 ∈ dom(f )
sao cho
f (x0 ) = inf{f (x) : x ∈ C}.
Chứng minh. Đặt m = inf{f (x) : x ∈ C}. Khi đó, tồn tại dãy {xn } ⊂ C sao
cho f (xn ) → m khi n → ∞. Nếu {xn } không bị chặn, thì tồn tại một dãy con
{xnk } của {xn } sao cho xnk → ∞. Theo giả thiết, f (xnk ) → ∞, mâu thuẫn
với m = ∞. Do đó, {xn } bị chặn. Theo Mệnh đề 1.1 và Mệnh đề 1.2, tồn tại
dãy con {xnj } của {xn } sao cho xnj

x0 ∈ C. Vì f là nửa liên tục dưới trong

tôpô yếu, nên ta có
m ≤ f (x0 ) ≤ lim inf f (xnj ) = lim f (xn ) = m.
j→∞

n→∞

Do đó, m = f (x0 ).
Mệnh đề được chứng minh.
Định nghĩa 1.2. Cho E là không gian tuyến tính định chuẩn, chuẩn trên E
được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x0 ∈ SE nếu với mỗi y ∈ SE , tồn tại giới

hạn
d
x0 + ty − x0
( x0 + ty )t=0 = lim
.
t→0
dt
t

(1.1)

Định nghĩa 1.3. Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn. Khi đó:
a) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux nếu nó khả vi Gâteaux tại mọi
x ∈ SE .
b) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mọi y ∈ SE giới hạn
(1.1) tồn tại đều với mọi x ∈ SE .
c) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Fréchet nếu với mọi x ∈ SE , giới hạn (1.1)
tồn tại đều với mọi y ∈ SE .
d) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Fréchet đều nếu giới hạn (1.1) tồn tại đều
với mọi x, y ∈ SE .


6
Định nghĩa 1.4. Không gian Banach E được gọi là trơn (trơn đều) nếu chuẩn
trên E khả vi Gâteaux đều (Fréchet đều).
Ngoài ra, ta có thể định nghĩa không gian Banach trơn đều thông qua mô
đun trơn của nó.
Định nghĩa 1.5. Mô đun trơn của không gian Banach E là hàm số xác định
bởi
ρE (τ ) = sup{2−1 ( x + y + x − y ) − 1 : x = 1, y = τ }.

Nhận xét 1.1. Mô đun trơn của không gian Banach E là hàm số xác định, liên
tục và tăng trên khoảng [0; +∞) [1], [11].
Ví dụ 1.1. [1] Nếu E là không gian lp hoặc Lp (Ω), thì ta có

1

(1 + τ p )1/p − 1 < τ p , 1 < p < 2,
p
ρE (τ ) =
p−1 2
p
−
1


τ 2 + o(τ 2 ) <
τ , p ≥ 2.
2
2

(1.2)

Mệnh đề 1.4. [1] Mọi không gian Banach trơn đều bất kì là không gian phản
xạ.
Định nghĩa 1.6. Một không gian Banach E được gọi là trơn đều nếu
ρE (τ )
= 0.
τ →0
τ
lim

(1.3)

Ví dụ 1.2. Mọi không gian Hilbert và không gian lp , Lp (Ω) (1 < p < +∞) đều
là không gian trơn đều [10].
1.1.2.

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

Định nghĩa 1.7. Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn, ánh xạ đa
∗

trị J : E −→ 2E xác định bởi
J(x) = {f ∈ E ∗ : x, f = x 2 , x = f }
được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E.


7
Chú ý 1.3. Trong không gian Hilbert, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trùng với ánh
xạ đồng nhất I.
Nhận xét 1.2. Trong không gian tuyến tính định chuẩn bất kì E, ta luôn có
J(x) = ∅ với mọi x ∈ E, điều này suy ra trực tiếp từ hệ quả của Định lí Hahn
- Banach. Mệnh đề dưới đây đề cập đến một số tính chất đơn giản của ánh xạ
đối ngẫu chuẩn tắc J của không gian tuyến tính định chuẩn E.
Mệnh đề 1.5. [1] Cho E là không gian tuyến tính định chuẩn và J là ánh xạ
đối ngẫu chuẩn tắc của nó. Khi đó
i) J là một ánh xạ lẻ, tức là J(−x) = −J(x), ∀x ∈ E;
ii) J là thuần nhất dương, tức là J(λx) = λJ(x), ∀λ > 0, ∀x ∈ E;
iii) J bị chặn, tức là nếu D là một tập con bị chặn của E thì J(D) là một tập
hợp bị chặn trong E ∗ ;

iv) Nếu E ∗ là lồi chặt thì J là đơn trị;
v) J là đơn trị và liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của E khi và chỉ khi
E là không gian Banach trơn đều.
Ví dụ 1.3. Xét không gian lp , với p > 1. Vì không gian đối ngẫu lq của không
gian lp là lồi đều, nên ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của lp là đơn trị và dễ thấy
nó được xác định như sau


θ nếu x = θ,
J(x) =
{η } ∈ lq nếu x = {ξ } = θ,

n
n
trong đó ηn = |ξn |p−1 sgn(ξk )

1
x

p−2

với mọi k ≥ 1.

Định nghĩa 1.8. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của không gian Banach E được
gọi là có tính liên tục yếu theo dãy nếu J là đơn trị và nếu {xn } ⊂ E thỏa mãn
xn

x, thì J(xn ) hội tụ *yếu về J(x).

8
Chú ý 1.4. Trong trường hợp ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị thì ta kí
hiệu nó bởi j.
Ví dụ 1.4. Các không gian lp với p > 1 có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục
yếu theo dãy, nhưng các không gian Lp (Ω) lại không có tính chất này [1].
Mệnh đề 1.6. [1] Cho E là không gian Banach trơn đều. Khi đó, ánh xạ đối
ngẫu chuẩn tắc J trên E là đơn trị và liên tục đều theo chuẩn trên mỗi tập con
bị chặn của E.
1.1.3.

Toán tử j-đơn điệu

Tiếp theo, trong mục này chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất
cơ bản của toán tử đơn điệu, j-đơn điệu.
Định

nghĩa

1.9. Cho

E

là

một

không

gian

Banach,

toán

tử

A : D(A) ⊂ E −→ 2E được gọi là j-đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A), tồn
tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
u − v, j(x − y) ≥ 0, ∀u ∈ A(x), v ∈ A(y).

(1.4)

Chú ý 1.5. Trong không gian Hilbert khái niệm toán tử đơn điệu và toán tử
j-đơn điệu trùng nhau.
Định nghĩa 1.10. Toán tử j-đơn điệu A : D(A) ⊂ E −→ 2E được gọi là m-jđơn điệu nếu R(I + λA) = E với mọi λ > 0, ở đây R(I + λA) là miền ảnh của
I + λA và I là toán tử đồng nhất trên E.
Chú ý 1.6. Nếu E là một không gian Hilbert thì khái niệm toán tử m-j-đơn
điệu trùng với khái niệm toán tử đơn điệu cực đại.
Ví dụ 1.5. [16] Cho f : H −→ R là một hàm lồi chính thường nửa liên tục
dưới. Khi đó, toán tử dưới vi phân
∂f (x) = {u ∈ H : f (y) − f (x) ≥ y − x, u , ∀y ∈ H}
là một toán tử đơn điệu cực đại.


9
Định nghĩa 1.11. Cho A : D(A) ⊂ E −→ 2E là một toán tử j-đơn điệu
thỏa mãn điều kiện miền, tức là D(A) ⊂ ∩λ>0 R(I + λA). Khi đó, toán tử
JrA = (I + rA)−1 được gọi là toán tử giải của A.
Chú ý 1.7. Để đơn giản ta sử dụng ký hiệu Jr thay cho JrA . Toán tử Jr là không
giãn và đơn trị. Ngoài ra, ta cũng biết rằng mọi toán tử m-j-đơn điệu đều thỏa

mãn điều kiện miền.
Định nghĩa 1.12. Cho F : E −→ E là một ánh xạ.
(i) F được gọi là j-đơn điệu mạnh với hệ số δ nếu với mọi x, y ∈ E, tồn tại
j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
F (x) − F (y), j(x − y) ≥ δ x − y

2

với δ ∈ (0, 1);
(ii) F được gọi là λ-giả co chặt [5], nếu với mọi x, y ∈ E, tồn tại j(x − y) ∈
J(x − y) sao cho
F (x) − F (y), j(x − y) ≤ x − y

2

− λ x − y − (F (x) − F (y)) 2 ,

với λ ∈ (0, 1) và F được gọi là giả co, nếu với mọi x, y ∈ E, tồn tại
j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
F (x) − F (y), j(x − y) ≤ x − y 2 .
Định nghĩa 1.13. Cho E là một không gian Banach, ánh xạ T : D(T ) −→ E
được gọi Lipschitz nếu tồn tại số L ≥ 0, sao cho
T (x) − T (y) ≤ L x − y ,
với mọi x, y ∈ D(T ).
Nếu L = 1, thì T được gọi là không giãn và nếu L ∈ [0, 1), thì T được gọi là ánh
xạ co với hệ số co là L.
Mệnh đề 1.7. [6] Cho E là không gian Banach trơn và F : E −→ E là một
ánh xạ.

10
(i) Nếu F là λ-giả co chặt, thì F là Lipschitz với hằng số (1 + 1/λ);
(ii) Nếu F là j-đơn điệu mạnh với hệ số δ và λ-giả co chặt với δ + λ > 1, thì
1−δ
I − F là ánh xạ co với hệ số co là
;
λ
(iii) Nếu F là j-đơn điệu mạnh với hệ số δ và λ-giả co chặt với δ + λ > 1,
thì với mọi τ ∈ (0, 1), ta đều có I − τ F là ánh xạ co với hệ số co là
1−δ
).
1 − τ (1 −
λ
Định nghĩa 1.14. Giả sử T là một ánh xạ không giãn. Phần tử x ∈ D(T ) được
gọi là một điểm bất động của T nếu x = T x. Tập các điểm bất động của T
thường được kí hiệu là F ix(T ) hay F (T ).
Chú ý 1.8. Trong trường hợp E là không gian lồi chặt và tập các điểm bất
động của T khác rỗng thì nó là một tập con lồi và đóng của E.
Chú ý 1.9. Nếu T : C −→ E là một ánh xạ không giãn từ tập con C của không
gian Banach E vào E thì toán tử I − T là j-đơn điệu. Trong trường hợp C trùng
với E thì I − T là một toán tử m-j-đơn điệu.

1.2.

Giới hạn Banach

Tiếp theo, chúng tôi đề cập đến khái niệm giới hạn Banach:
Cho f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l∞ . Ta sử dụng fn (xn+m ) để
ký hiệu
f (xm+1 , xm+2 , ..., xm+n , ...),

với m = 0, 1, 2, ....
Định nghĩa 1.15. Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên l∞ được gọi
là một giới hạn Banach nếu f

= f (1) = 1 và fn (xn ) = fn (xn+1 ) với mọi

x = (x1 , x2 , ...) ∈ l∞ .
Chú ý 1.10. Ta ký hiệu giới hạn Banach bởi LIM . Khi đó, LIM = 1 và
lim inf xn ≤ LIMn xn ≤ lim sup xn với mọi (xn ) ∈ l∞ .
n→∞

n→∞

(1.5)


11
Mệnh đề 1.8. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian
Banach phản xạ E, {xn } là một dãy bị chặn trong C, LIM là giới hạn Banach
và ϕ là hàm nhận giá trị thực xác định trên C được cho bởi ϕ(z) = LIMn xn −
z 2 , z ∈ C. Khi đó, tập M xác định bởi
M = {u ∈ C : ϕ(u) = min ϕ(z)}
z∈C

là lồi, đóng, khác rỗng và bị chặn. Hơn nữa, nếu E là không gian lồi đều1 , thì
M chỉ có duy nhất một điểm.
Chứng minh. Trước hết, ta chỉ ra ϕ là một hàm lồi, liên tục. Giả sử {yn } ⊂ C
thỏa mãn yn → y ∈ C. Đặt L = sup{ xn − ym + xn − y : m, n ∈ N}. Ta có
x n − ym

2

− xn − y

2

≤ ( xn − ym + xn − y )( xn − ym − xn − y )
≤ L| xn − ym − xn − y |
≤ L ym − y ,

với mọi m, n ∈ N. Từ đó, suy ra
LIMn xn − y

2

≤ LIMn xn − ym

2

+ L ym − y 2 .

2

≤ LIMn xn − ym

2

+ L ym − y 2 .

Tương tự, ta cũng có

LIMn xn − y
Do đó, ta nhận được
|ϕ(ym ) − ϕ(x)| ≤ L ym − x .
Suy ra ϕ liên tục trên C
Với x, y ∈ C và mọi λ ∈ [0, 1], dễ thấy
ϕ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)ϕ(x) + λϕ(y).
1

Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ(ε) > 0 sao cho với mọi
x, y ∈ E mà x = 1, y = 1, x − y ≥ ε ta luôn có
x+y
≤ 1 − δ(ε).
2


12
Do đó, ϕ là hàm lồi trên C.
Từ bất đẳng thức ((a + b)/2)2 ≤ (a2 + b2 )/2 với mọi a, b ≥ 0, ta có
ym

2

≤ 2 ym − xn

2

+ 2 xn 2 ,

và do đó
ym

2

≤ 2ϕ(ym ) + 2 sup xn 2 ,
n∈N

tức là, ϕ(ym ) → ∞ khi ym → ∞.
Như vậy, ϕ là hàm lồi liên tục và ϕ(z) → ∞ khi z → ∞. Vì E là không gian
phản xạ, nên theo Mệnh đề 1.2, ϕ đạt cực tiểu trên C. Do đó, M là tập lồi, đóng
và khác rỗng.
Ta chỉ ra M bị chặn. Thật vậy, lấy u ∈ M , ta có
u
suy ra u

2

2

2

≤ 2 u − xn

+ 2 xn 2 , ∀n ∈ N,

≤ 2ϕ(u) + 2K = 2 inf z∈C ϕ(z) + 2K, với K = supn { xn 2 }. Do đó,

M là tập bị chặn.
Giả sử E là không gian Banach lồi đều. Lấy z1 , z2 ∈ M . Vì M là tập lồi nên
(z1 + z2 )/2 ∈ M. Chọn r > 0 đủ lớn sao cho {xn } ∪ M ⊂ SE [0, r] = {x ∈ E :
x ≤ r}. Khi đó, xn − z1 , xn − z2 ∈ SE [0, 2r] với mọi n. Từ Mệnh đề 2.8.172 ,

trang 105 trong tài liệu [1], ta có
z1 + z2
xn −
2

2

≤

1
xn − z1
2

2

+

1
xn − z2
2

2

1
− g2r ( z1 − z2 ).
4

Nếu z1 = z2 , thì
inf ϕ(z) ≤ ϕ

z∈C
2

z1 + z2
1
1
1
≤ ϕ(z1 ) + ϕ(z2 ) − g2r ( z1 − z2 )
2
2
2
4

Mệnh đề 2.8.17. Cho E là một không gian Banach. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

i) E là không gian lồi đều;
ii) Với mọi p ∈ (1, ∞) và mọi r > 0, tồn tại hàm lồi và tăng ngặt gr : R+ −→ R+ thỏa mãn
gr (0) = 0 và
tx + (1 − t)y
với mọi x, y thỏa mãn x ≤ r,

p

≤t x

p

+ (1 − t) y

p

− t(1 − t)gr ( x − y ),

y ≤ r và mọi t ∈ (0, 1).


13
1
= inf ϕ(z) − g2r ( z1 − z2 )
z∈C
4
< inf ϕ(z),
z∈C

điều này là vô lý. Do đó, M chỉ gồm duy nhất một điểm.
Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.9. Cho E là không gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux đều, {xn }
là dãy bị chặn trong E và u ∈ E. Khi đó,
2

LIMn xn − u

= inf LIMn xn − z

2

z∈E

khi và chỉ khi
LIMn z, j(xn − u) = 0 ∀z ∈ X.

Chứng minh. Giả sử u ∈ E sao cho LIMn xn − u

2

= inf z∈E LIMn xn − z 2 .

Khi đó, u là điểm cực tiểu của phiếm hàm lồi khả vi φ : E −→ R+ xác định
bởi φ(z) = LIMn xn − z 2 , do đó φ (u) = 0.
Chú ý rằng E là không gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux đều và j(x) là
dưới vi phân của hàm lồi ϕ(x) = x 2 /2 tại x trùng với đạo hàm Gâteaux của
ϕ. Do đó,
LIMn z, j(xn − u) = z, φ (u) = 0, ∀z ∈ E.
Ngược lại, giả sử LIMn z, j(xn − u) = 0 với mọi z ∈ E. Khi đó, với mọi
x ∈ E, ta có
xn − x

2

2

− xn − u

≥ 2 u − x, j(xn − u) , ∀n.

Vì LIMn u − x, j(xn − u) = 0 với mọi x ∈ E, nên ta nhận được
LIMn xn − u

2

= inf LIMn xn − x 2 .

x∈E

Mệnh đề được chứng minh.
Hệ quả 1.1. Cho E là không gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux đều và C
là tập con lồi, đóng và khác rỗng của E. Cho {xn } là dãy bị chặn trong C. Khi
đó, u ∈ C thỏa mãn
LIMn xn − u

2

= inf LIMn xn − z
z∈C

2


14
khi và chỉ khi
LIMn z, j(xn − u) ≤ 0, ∀z ∈ C.

1.3.

Phương pháp xấp xỉ gắn kết và phương pháp đường
dốc cho bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ
không giãn

1.3.1.

Phương pháp xấp xỉ gắn kết

Năm 2000, Moudafi [15] đã đề xuất phương pháp xấp xỉ gắn kết để tìm điểm
bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Cho T : C → C là
một ánh xạ không giãn và f : C → C là một ánh xạ co trên tập con lồi, đóng
và khác rỗng C của không gian Hilbert H, Moudafi đã chứng minh được các kết
quả sau:
(1) Dãy {xn } ⊂ C xác định bởi:
x0 ∈ C, xn =

1
εn
T (xn ) +
f (xn ), ∀n ≥ 0,
1 + εn
1 + εn

(1.6)

hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân
x ∈ F (T ) sao cho (I − f )(x), x − x ≤ 0, ∀x ∈ F (T ),
trong đó {εn } là một dãy số dương hội tụ về 0.
(2) Với mỗi phần tử ban đầu z0 ∈ C, xác định dãy {zn } ⊂ C bởi
zn+1 =

1
εn
T (zn ) +
f (zn ), ∀n ≥ 0.
1 + εn
1 + εn

(1.7)

1
= 0, thì {zn }
εn+1
εn
hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân
Nếu limn→∞ εn = 0 and

∞
n=1 εn

= +∞ và limn→∞

1

−

x ∈ F (T ) sao cho (I − f )(x), x − x ≤ 0, ∀x ∈ F (T ).
Chú ý 1.11. Phương pháp xấp xỉ gắn kết (1.7) là sự mở rộng của phương pháp
lặp Halpern ở dạng
xn+1 = αn u + (1 − αn )T (xn ), ∀n ≥ 0


15
được đề xuất trước đó vào năm 1967 bởi Halpern. Có thể thấy rằng nếu f (x) = u
với mọi x ∈ C, thi phương pháp xấp xỉ gắn kết trở thành phương pháp lặp
Halpern.
1.3.2.

Phương pháp đường dốc

Xét bài toán tối ưu không ràng buộc
min{f (x) : x ∈ Rn }.
Ta sẽ xây dựng một dãy điểm x0 , x1 , x2 , ... sao cho f (xk+1 < f (xk )) với mọi
k = 0, 1, 2, ..., dãy {xk } hội tụ tới x∗ khi k → ∞ và

f (x∗ ) = 0. Giả sử ta có

điểm xk thuộc lân cận của x∗ , khi đó để giảm hàm mục tiêu ta sẽ dịch chuyển
từ xk theo hướng dk tạo với véctơ gradient

f (xk ) một góc tù, tức là xác định

xk+1 = xk + αk dk ,
trong đó αk > 0 và

f (xk ), dk < 0.

Thật vậy, khai triển hàm f (x) thành chuỗi Taylor tại điểm xk , ta được
k

f (x) = f (x ) + α

α2
f (x ), d +
2
k

∂f (x) T

∂f (x) ∂f (x)
,
, ...,
) ,
∂x1
∂x2
∂xn
và xk = xk + θ(x − xk ) với θ ∈ (0, 1). Do đó, nếu

trong đó

f (x) = (

2

f (xk )d, d ,
2

∂ 2 f (x)
)n×n
∂xi ∂xj
< 0, thì với

f (x) = (
f (xk ), dk

α > 0 đủ nhỏ ta có f (x) < f (xk ).
Việc lựa chọn hướng dịch chuyển dk và độ dài bước αk khác nhau sẽ cho
ta các phương pháp gradient khác nhau. Nếu chọn dk = −

f (xk ) với mọi k,

thì phương pháp gradient như thế được gọi là phương pháp đường dốc nhất
(Steepest descent method). Đây là một phương pháp thông dụng để tìm cực
tiểu, nó rất đơn giản và có thể áp dụng cho nhiều lớp hàm khác nhau. Theo
phương pháp này, dãy lặp {xk } được xác định như sau:
xk+1 = xk − αk

f (xk ), αk > 0, k = 0, 1, 2, ...

(1.8)


16
Vấn đề đặt ra là, trong phương pháp lặp (1.8) αk > 0 được xác định như thế
nào. Dưới đây, chúng tôi giới thiệu qui tắc Armijo để xác định αk tại mỗi bước
lặp:
1. Chọn giá trị α tùy ý (như nhau với mọi bước lặp, chẳng hạn α = 1) và xác
định điểm x = xk − α

f (xk );

2. Tính f (x) = f [xk − α

f (xk )];

3. Kiểm tra bất đẳng thức
f (x) − f (xk ) ≤ εα

f (xk ), dk = −εα

f (xk ) 2 ,

(1.9)

với 0 < ε < 1 là hằng số cho trước tùy ý và như nhau ở mỗi bước lặp;
4. Nếu (1.9) thỏa mãn thì α là giá trị cần tìm. Nếu (1.9) không thỏa mãn, thì
ta giảm α, bằng cách nhân α với một số λ ∈ (0, 1), chẳng hạn thay α bởi
α/2, cho đến khi bất đẳng thức (1.9) được thỏa mãn.
Năm 2007, Alber [2] đã đề xuất phương pháp đường dốc cho bài toán tìm
điểm bất động của một ánh xạ không giãn T trên tập con lồi và đóng C của
không gian Banach E, ở dạng sau:
xn+1 = PC (xn − µn (xn − T xn )), x0 ∈ C,

(1.10)

trong đó PC là ánh xạ co rút không giãn từ E lên C và đã chứng minh được
rằng, nếu µn > 0 với mọi n và

∞
2
n=0 µn

< ∞ và {xn } bị chặn thì:

i) Tồn tại một điểm tụ yếu của {xn };
ii) Mọi điểm tụ yếu của {xn } đều thuộc F (T );
iii) Nếu F (T ) = {x∗ }, thì {xn } hội tụ yếu về x∗ .
Nhận xét 1.3. Nếu C ≡ E, thì (1.10) trở thành
xn+1 = xn − µn (xn − T xn ), n ≥ 0.

17
Trong trường hợp này, thì dn := xn − T xn và theo phương pháp này thì phần
tử xn+1 sẽ gần tập điểm bất động của T hơn so với điểm xn . Thật vậy, lấy bất
kỳ p ∈ F ix(T ), khi đó ta có
xn+1 − p = xn − µn (xn − T xn ) − p
= (1 − µn ) xn − p + µn T xn − T p
≤ xn − p .

1.4.

Phương pháp điểm gần kề cho bài toán xác định
không điểm của toán tử đơn điệu và một số cải tiến

Trong mục này, trước hết chúng tôi trình bày khái quát về phương pháp điểm
gần kề cho phương trình với toán tử đơn điệu và toán tử j-đơn điệu.
Xét bài toán
Xác định phần tử x∗ ∈ D(A) sao cho A(x∗ )

θ,

(1.11)

với A : D(A) ⊂ E −→ 2E là một toán tử m-j-đơn điệu.
Khi A là m-j-đơn điệu trong không gian Hilbert H, nghĩa là A là toán tử
đơn điệu cực đại thì Rockafellar R. T. [17] đã xét phương pháp lặp
cn Axn+1 + xn+1

xn , x0 ∈ H,

(1.12)

ở đây cn > c0 > 0 và gọi là phương pháp điểm gần kề. Rockafellar cũng đã chỉ
ra sự hội tụ yếu của dãy lặp {xn } xác định bởi (1.12) về một nghiệm của bài
toán (1.11).
Kết quả của Rockafellar được mô tả trong định lí dưới đây:
Định lí 1.1. Nếu tồn tại c > 0 sao cho cn ≥ c với mọi n, thì dãy {xn } xác định
bởi (1.12) hội tụ yếu về một nghiệm của phương trình A(x)

θ.

Chú ý 1.12. Phương pháp điểm gần kề được Martinet B. đề xuất lần đầu tiên
trong tài liệu [14] cho bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi, chính thường, nửa liên
tục dưới ψ : H −→ R ∪ {+∞} ở dạng sau
xn+1 = argminy∈H ψ(y) +

1
xn − y
2cn

2

với mọi n ≥ 1.

(1.13)


18
..

Chú ý 1.13. Năm 1991, Guler [12] đã xây dựng một ví dụ để chỉ ra phương
pháp lặp (1.12) không phải lúc nào cũng hội tụ mạnh trong trường hợp tổng
quát. Một ví dụ gần đây của các tác giả Bauschke, Matouˇskov´a và Reich [4] dựa
trên sự kết hợp giữa phương pháp điểm tựa và ví dụ của Hundal [13] về sự hội
tụ yếu của phương pháp chiếu luân phiên cho bài toán chấp nhận lồi, cũng chỉ
ra rằng dãy lặp {xn } xác định bởi (1.12) chỉ hội tụ yếu mà không hội tụ theo
chuẩn.
Năm 2008, Chen và Zhu [9] đã chứng minh được sự hội tụ mạnh của phương
pháp xấp xỉ gắn kết cho bài toán xác định không điểm của toán tử j-đơn điệu
trong không gian Banach trơn đều, kết quả này được mô tả trong định lý dưới
đây:
Định lí 1.2. [9] Cho E là một không gian Banach trơn đều. Cho A là một toán
tử m-j-đơn điệu trong E với C = D(A) là tập lồi và cho f : C −→ C là một
ánh xạ co. Ta xác định dãy {xn } bởi x0 ∈ C,
xn+1 = αn f (xn ) + (1 − αn )Jrn xn , n ≥ 0,

(1.14)

trong đó {αn } và {rn } thỏa mãn các điều kiện
= ∞,

∞
n=0 |αn+1

− αn | < ∞;

(ii) rn ≥ ε > 0 với mọi n và

∞

n=0 |rn+1

− rn | < ∞.

(i) αn → 0,

∞
n=0 αn

Khi đó, dãy {xn } xác định bởi (1.14) hội tụ mạnh về một không điểm của A.
Trong tài liệu [6], Ceng, Ansari và Yao đã thiết lập các định lý hội tụ mạnh
dựa trên phương pháp lai đường dốc nhất cho bài toán tìm không điểm của toán
tử j-đơn điệu, các kết quả này được thể hiện trong các định lý dưới đây:
Định lí 1.3. [6] Cho E là một không gian Banach trơn đều và cho A là một
toán tử m-j-đơn điệu trong E với C = A−1 (0) = ∅. Giả sử F : E −→ E là
một toán tử j-đơn điệu mạnh với hệ số đơn điệu mạnh là δ và λ-giả co chặt với
δ + λ > 1. Cho {λn }, {µn } là các dãy số nằm trong (0, 1), {αn }, {βn } là các
dãy số nằm trong (0, 1] và {rn } ⊂ [ε, ∞) với ε > 0 thỏa mãn các điều kiện sau:


19
(i) limn→∞ λn = 0 và

∞
n=0 λn µn

= ∞;

(ii) {αn } ⊂ [a, b], với a, b ∈ (0, 1);
(iii)

∞
n=0 |αn+1 − αn | < ∞,
∞
n=0 |rn+1 − rn | < ∞.

∞
n=0 |λn+1

− λn | < ∞,

∞
n=0 |µn+1

− µn | < ∞ và

Khi đó, với x0 ∈ E, dãy {xn } xác định bởi


yn = αn xn + (1 − αn )Jr xn ,
n

xn+1 = Jrn yn − λn µn F (Jrn yn ), ∀n ≥ 0,

(1.15)

hội tụ mạnh về một không điểm của A, đồng thời là nghiệm duy nhất u∗ của bài
toán bất đẳng thức biến phân VI∗ (F, C).
Định lí 1.4. [6] Cho E là một không gian Banach trơn đều và cho A là một
toán tử m-j-đơn điệu trong E với C = A−1 (0) = ∅. Giả sử F : E −→ E là

một toán tử j-đơn điệu mạnh với hệ số đơn điệu mạnh là δ và λ-giả co chặt với
δ + λ > 1. Cho {λn } là dãy số nằm trong (0, 1), {αn }, {βn } là các dãy số nằm
trong (0, 1] và {rn } ⊂ [ε, ∞) với ε > 0 thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) limn→∞ λn = 0 và

∞
n=0 λn

= ∞;

(ii) {αn } ⊂ [a, b], với a, b ∈ (0, 1);
(iii)

∞
n=0 |αn+1

− αn | < ∞,

∞
n=0 |λn+1

− λn | < ∞ và

Khi đó, với x0 ∈ E, dãy {xn } xác định bởi


yn = αn xn + (1 − αn )Jr xn ,
n

x

= y − λ F (y ), ∀n ≥ 0,
n+1

n

n

∞
n=0 |rn+1

− rn | < ∞.

(1.16)

n

hội tụ mạnh về một không điểm của A, đồng thời là nghiệm duy nhất u∗ của bài
toán bất đẳng thức biến phân VI∗ (F, C).