Thuật toán đạo hàm tăng cường lai ghép giải bài toán cân bằng đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐOÀN THỊ BÍCH
THUẬT TOÁN ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG LAI GHÉP
GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG ĐƠN ĐIỆU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐOÀN THỊ BÍCH
THUẬT TOÁN ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG LAI GHÉP
GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH. LÊ DŨNG MƯU
Thái Nguyên - Năm 2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cảm ơn 1
Lời nói đầu 2
Một số ký hiệu và chữ viết tắt 5
1 Bài toán cân bằng 6
1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Sự tồn tại nghiệm và các tính chất cơ bản của bài toán cân
bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Các trường hợp riêng của bài toán cân bằng . . . . . . . . . 28

2 Phương pháp đạo hàm tăng cường lai ghép giải bài toán
cân bằng 33
2.1 Mô tả thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Tính hội tụ của thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Kết luận 43
Tài liệu tham khảo 44
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và sự chỉ
bảo nghiêm khắc của thầy giáo GS. TSKH. Lê Dũng Mưu (Viện Toán học
Việt Nam). Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy.
Tác giả cũng xin kính gửi lời cảm ơn đến cô giáo TS. Nguyễn Thị Thu
Thủy cùng các thầy, cô giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2011 -
2013, những người đã tâm huyết giảng dạy và trang bị cho tác giả nhiều
kiến thức cơ sở.
Xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán -
Tin Trường ĐHKH, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi cho
tôi trong quá trình học tập tại trường.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành
viên trong lớp cao học toán K5B đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi
trong thời gian học tập và quá trình làm luận văn.
Tuy bản thân có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản
thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được
sự đóng góp quý báu của Quý thầy, cô cùng toàn thể bạn đọc.
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2013.
Tác giả
Đoàn Thị Bích
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2

LỜI NÓI ĐẦU
Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng ., . và chuẩn
. tương ứng. Giả sử C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong H và f là
song hàm từ C × C vào R sao cho f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C. Trong luận
văn này ta sẽ xét bài toán cân bằng sau đây, được ký hiệu là EP(C, f):
Tìm x
∗
∈ C sao cho f(x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ C.
Bài toán EP(C, f) còn được gọi là bất đẳng thức Ky Fan để ghi nhận sự
đóng góp của ông trong lĩnh vực này (xem [2], [5] và các trích dẫn).
Một phương pháp cơ bản để giải bài toán cân bằng là phương pháp
chiếu và các dạng của nó. Tuy nhiên phương pháp chiếu chỉ hội tụ với điều
kiện song hàm có tính đơn điệu mạnh, hay là có tính tự bức (đơn điệu
mạnh ngược), ngay cả cho bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, là
một trường hợp đặc biệt của bài toán cân bằng đơn điệu.
Để thu được phương pháp chiếu hội tụ cho bài toán cân bằng có tính
đơn điệu nhẹ hơn, trong [16] các tác giả đã mở rộng phương pháp đạo hàm
tăng cường (hay là chiếu hai lần) do Korpelevich [8] lần đầu tiên đề xuất
cho bài toán tối ưu và bài toán điểm yên ngựa. Với phương pháp này sự
hội tụ được đảm bảo ngay trong trường hợp song hàm f có tính giả đơn
điệu.
Bài toán cân bằng đơn điệu có liên quan chặt chẽ với bài toán tìm điểm
bất động của một ánh xạ không giãn. Về mặt lý thuyết bài toán cân bằng
đơn điệu và bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn có mối quan
hệ tương hỗ lẫn nhau, theo nghĩa, với một vài giả thiết tự nhiên, bài toán
này có thể mô tả dưới dạng bài toán kia và ngược lại. Cả hai lớp bài toán
này thực chất đều thuộc bài toán chấp nhận lồi, tức là bài toán tìm một
điểm chung của các tập lồi.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Phương pháp lặp Halpern là phương pháp cơ bản để tìm điểm bất động
của ánh xạ không giãn. Tuy nhiên phương pháp này chỉ có tính hội tụ yếu.
Để đảm bảo tính hội tụ mạnh, phương pháp Halpern và phương pháp cắt
đã được kết hợp.
Cụ thể Tada và Takahashi [13] đã trình bày một thuật toán kết hợp
phương pháp điểm gần kề và siêu phẳng cắt để đảm bảo tính hội tụ mạnh
của điểm gần kề, tại đó với mỗi bước lặp k, phép lặp x
k+1
được định nghĩa
như sau:
Tìm z
k
∈ C sao cho f(z
k
, y) +
1
λ
k
y − z
k
, z
k
− x
k
 ≥ 0, ∀y ∈ C,






ω
k
= α
k
x
k
+ (1 − α
k
)T (z
k
),
C
k
=

z ∈ H :


ω
k
− z


≤


x
k

− z



,
D
k
=

z ∈ H :

x
k
− z, x
0
− x
k

≥ 0

, x
k+1
= P
C
k
∩D
k
(x
0
),

trong đó λ
k
> 0 là tham số tại bước lặp k; x
0
∈ C và P
C
k
∩D
k
(x
0
) là phép
chiếu khoảng cách trên C
k
∩ D
k
của điểm x
0
; T : C → C là ánh xạ không
giãn. Với giả thiết song hàm f đơn điệu trên C, các dãy {α
k
}, {λ
k
} thỏa
mãn các tính chất đề ra thì dãy {x
k
} hội tụ mạnh đến một nghiệm chung
của bài toán cân bằng EP (C, f) và điểm bất động của T.
Mục đích của bản luận văn này là giới thiệu những kiến thức cơ bản
nhất của bài toán cân bằng và trình bày một thuật toán lai ghép giữa

phương pháp đạo hàm tăng cường với phép lặp Halpern cho bài toán tìm
nghiệm chung của bài toán cân bằng giả đơn điệu và bài toán tìm điểm bất
động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert thực. Để bảo đảm
tính hội tụ mạnh, kỹ thuật siêu phẳng cắt ở [13] đã được kết hợp trong
thuật toán này. Sự hội tụ mạnh của thuật toán đã được chứng minh chi
tiết cho trường hợp bài toán cân bằng giả đơn điệu. Các đặc điểm quan
trọng của thuật toán trình bày trong luận văn so với các thuật toán trong
[4] và [13, 14] là:
1. Sư hội tụ mạnh được bảo đảm mà không cần đến giả thiết chính
quy;
2. Trong mỗi bước lặp của thuật toán, bài toán cân bằng đơn điệu mạnh
nảy sinh trong thuật toán điểm gần kề trong [13] được thay thế bằng hai
bài toán quy hoạch lồi mạnh. Về mặt tính toán các bài toán sau dễ giải
hơn nhiều, đồng thời nó lại cho phép giải được bài toán cân bằng giả đơn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
điệu, trong khi thuật toán điểm gần kề chỉ có thể áp dụng cho bài toán
cân bằng đơn điệu.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục
các tài liệu tham khảo.
Chương 1 trình bày một số khái niệm cơ bản liên quan đến đề tài. Các
vấn đề liên quan đến sự tồn tại nghiệm và các trường hợp riêng của bài
toán cân bằng cũng được đề cập đến.
Chương 2 trình bày phương pháp đạo hàm tăng cường lai ghép giải bài
toán cân bằng. Các bổ đề cần thiết để chứng minh cho sự hội tụ mạnh của
phương pháp cũng như định lý về sự hội tụ mạnh của phương pháp cũng
được trình bày ở đây.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

H: Không gian Hilbert thực;
X: Không gian Banach thực;
R: Tập các số thực;
∅: Tập rỗng;
I: Ánh xạ đồng nhất;
a, b: Tích vô hướng của 2 véc-tơ a và b;
x: Chuẩn của x;
∂f(x): Dưới vi phân của hàm f tại x;
∀x: Với mọi x;
x
n
→ x: Dãy {x
n
} hội tụ mạnh tới x;
x
n
 x: Dãy {x
n
} hội tụ yếu tới x;
x := y: Nghĩa là, x được định nghĩa bằng y;
P
C
(x): Hình chiếu của x lên C.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Chương 1
Bài toán cân bằng
Chương này trình bày các khái niệm liên quan đến bài toán cân bằng,
sự tồn tại nghiệm, các tính chất cơ bản và các trường hợp riêng quan trọng
của bài toán cân bằng. Các kiến thức trong chương được trích từ tài liệu

[1-5], [7], [12], [15].
1.1 Một số khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1. Không gian định chuẩn thực là một không gian tuyến
tính thực X trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số x gọi là
chuẩn của x, thỏa mãn các điều kiện sau:
1. x > 0, ∀x = 0; x = 0 ⇔ x = 0;
2. x + y  x + y , ∀x, y ∈ X;
3. αx = |α| . x , ∀x ∈ X, α ∈ R.
Định nghĩa 1.2. Cặp (H, , ) trong đó H là một không gian tuyến tính
thực và
,  : H × H → R
(x, y) → x, y
thỏa mãn các điều kiện:
1. x, x ≥ 0, ∀x ∈ H; x, x = 0 ⇔ x = 0;
2. x, y = y, x , ∀x, y ∈ H;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
3. λx, y = λ x, y , ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ H;
4. x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H.
được gọi là không gian tiền Hilbert.
Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert.
Ví dụ 1.1. L
2
[a,b]
, không gian các hàm bình phương khả tích trên [a,b]
với f ∈ L
2
[a,b]
sao cho
b


a
f
2
(x) dx < +∞, là một không gian Hilbert với
tích vô hướng
f, g =
b

a
f (x) g (x) dx;
và chuẩn
f
L
2
[a,b]
=


b

a
f
2
(x)dx


1
2
.

Trên H có hai kiểu hội tụ chính sau:
Định nghĩa 1.3. Xét dãy {x
n
}
n≥0
và x thuộc không gian Hilbert thực H.
Khi đó:
• Dãy {x
n
} được gọi là hội tụ mạnh tới x, ký hiệu x
n
→ x, nếu như
lim
n→+∞
x
n
− x = 0.
• Dãy {x
n
} được gọi là hội tụ yếu tới x, ký hiệu x
n
 x, nếu
lim
n→+∞
ω, x
n
 = ω, x , ∀ω ∈ H.
Ta nhắc lại các kết quả trong giải tích hàm (xem [1]) liên quan đến hai
loại hội tụ này.
Mệnh đề 1.1.

• Nếu {x
n
} hội tụ mạnh đến x thì cũng hội tụ yếu đến x.
• Mọi dãy hội tụ mạnh (yếu) đều bị chặn và giới hạn theo sự hội tụ
mạnh (yếu) nếu tồn tại là duy nhất.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
• Nếu không gian Hilbert thực H là không gian hữu hạn chiều thì sự hội
tụ mạnh và sự hội tụ yếu là tương đương.
• Nếu {x
n
}
n≥0
là một dãy bị chặn trong không gian Hilbert thực H thì
ta trích ra được một dãy con hội tụ yếu.
• Nếu {x
n
}
n≥0
là một dãy bị chặn trong không gian Hilbert thực hữu hạn
chiều H thì ta trích ra được một dãy con hội tụ mạnh.
Tiếp theo, ta sẽ nêu một số định nghĩa và kết quả cơ bản của giải tích
lồi được phát biểu trong [2], [12].
Xét C là tập con khác rỗng trong không gian Hilbert thực H.
Định nghĩa 1.4. Tập C trong không gian Hilbert thực H được gọi là một
tập lồi nếu
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.
Định nghĩa 1.5. Điểm a được gọi là điểm biên của C nếu mọi lân cận
của a đều có điểm thuộc C và điểm không thuộc C;
Tập C được gọi là tập đóng nếu C chứa mọi điểm biên của nó;

Tập C được gọi là một tập compact yếu nếu C là một tập đóng và bị chặn.
Định nghĩa 1.6. Cho C là một tập lồi và x ∈ C. Ký hiệu:
N
C
(x) := {w| w, y − x ≤ 0, ∀y ∈ C} .
gọi là một nón. Nón này được gọi là nón pháp tuyến ngoài của C tại x.
Định nghĩa 1.7. Xét hàm f : H → R ∪ {+∞}. Khi đó:
(i) Hàm f được gọi là hàm lồi trên H nếu
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x, y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1);
(ii) Hàm f được gọi là hàm lồi chặt trên H nếu
f(λx + (1 − λ)y) < λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x = y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1);
(iii) Hàm f được gọi là hàm lồi mạnh trên H với hệ số η > 0 nếu
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y) − η
λ(1 − λ)
2
x − y
2
,
với mọi x, y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1).
Dưới đây là một số ví dụ quen thuộc về hàm lồi.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Ví dụ 1.2.
1. Hàm affine. f(x) = a
T
x + b, trong đó a ∈ R
n
, b ∈ R là hàm lồi. Nó
thoả mãn đẳng thức
f(λx + (1 − λ)y) = λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x, y ∈ H, λ ∈ (0, 1).

Do đó nó không lồi chặt.
Cho C = ∅ là một tập lồi.
2. Hàm chỉ. Đặt
δ
C
(x) :=

0 khi x ∈ C,
+∞ khi x /∈ C.
Ta nói δ
C
là hàm chỉ của C. Do C lồi nên δ
C
là hàm lồi.
3. Hàm khoảng cách. Giả sử C là một tập đóng, khác rỗng. Hàm khoảng
cách d
C
(y) được định nghĩa như sau:
d
C
(y) = inf
x∈C
x − y.
Khi đó, nếu C là tập lồi thì d
C
là hàm lồi.
Thật vậy, xét x, y ∈ H và λ ∈ (0, 1) bất kỳ. Đặt z = λx + (1 − λ)y. Theo
định nghĩa của inf tồn tại các dãy

x

k

,

y
k

trong C sao cho
lim
k→∞


x − x
k


= d
C
(x) và lim
k→∞


y − y
k


= d
C
(y).
Do C lồi nên z

k
:= λx
k
+ (1 − λ)y
k
∈ C. Ta có
d
C
(z) ≤


z − z
k


=


λ(x − x
k
) + (1 − λ)(y − y
k
)


≤ λ


x − x
k



+ (1 − λ)


y − y
k


.
Cho k → ∞ ta có d
C
(z) ≤ λd
C
(x) + (1 − λ)d
C
(y).
Vậy d
C
là hàm lồi. ✷
Nếu tồn tại π ∈ C sao cho π − y = d
C
(y) thì π được gọi là hình chiếu
khoảng cách của y trên C. Khi đó, π là nghiệm của bài toán tối ưu
min
x∈C
x − y
2
2
.

Ký hiệu hình chiếu của y trên C là P
C
(y). Khi đó, π = P
C
(y).
Tiếp theo ta sẽ chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của hình chiếu
xuống một tập lồi đóng. Sau đó ta sẽ khảo sát một số tính chất cơ bản
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
của toán tử chiếu được sử dụng trong chương sau của luận văn.
Mệnh đề 1.2. (xem [2])Giả sử C là tập lồi, đóng khác rỗng trong H. Khi
đó:
(i) Với mọi y ∈ H, π ∈ C hai tính chất sau tương đương:
(a) π = P
C
(y),
(b) y − π ∈ N
C
(π).
(ii) Với ∀y ∈ H, hình chiếu P
C
(y) của y trên C luôn tồn tại và duy nhất.
(iii) Nếu y /∈ C thì P
C
(y) − y, x − P
C
(y) = 0 là siêu phẳng tựa của C
tại P
C
(y) và tách hẳn y khỏi C, tức là

P
C
(y) − y, x − P
C
(y) ≥ 0, ∀x ∈ C;
và
P
C
(y) − y, y − P
C
(y) < 0.
(iv) Ánh xạ y → P
C
(y) có các tính chất sau:
(a) P
C
(x) − P
C
(y) ≤ x − y, ∀x, y (tính không giãn);
(b) P
C
(x) − P
C
(y), x − y ≥ P
C
(x) − P
C
(y)
2
(tính đồng bức).

Chứng minh.
(i) Giả sử có (a), tức là π là hình chiếu của y trên C. Lấy x ∈ C. Đặt
x
λ
:= λx + (1 − λ)π.
Do C lồi nên x
λ
∈ C với mọi λ ∈ (0, 1). Theo định nghĩa hình chiếu ta có
π − y ≤ y − x
λ
. Hay
π − y
2
≤ y − x
λ

2
= (π − y) + λ(x − π)
2
.
Khai triển vế phải và giản ước ta thu được
λx − π
2
+ 2 x − π, π − y ≥ 0, ∀x ∈ C, λ ∈ (0, 1).
Cho λ tiến tới 0 ta thu được bất đẳng thức
π − y, x − π ≥ 0, ∀x ∈ C.
Vậy y − π ∈ N
C
(π).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11
Giả sử có (b) tức là giả sử y − π ∈ N
C
(π). Khi đó với mọi x ∈ C ta có
y − x
2
=(y − π) + (π − x)
2
=y − π
2
+ π − x
2
+ 2 y − π, π − x
≥y − π
2
+ π − x
2
≥y − π
2
.
Suy ra π là hình chiếu của y trên C.
(ii) Do d
C
(y) = inf
x∈C
x − y, nên theo định nghĩa của cận dưới đúng,
tồn tại một dãy x
k
∈ C sao cho
lim

k


x
k
− y


= d
C
(y) < +∞.
Suy ra dãy

x
k

bị chặn, do đó trích ra được một dãy con

x
k
j

hội tụ
đến một điểm π nào đó. Mặt khác, do C đóng nên giới hạn này phải thuộc
C. Ta có
π − y = lim
j


x

k
j
− y


= lim
k


x
k
− y


= d
C
(y).
Chứng tỏ π là hình chiếu của y trên C.
Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của hình chiếu. Thật vậy, giả sử π và
π

đều là hình chiếu của y trên C thì
y − π ∈ N
C
(π), y − π

∈ N
C
(π


).
Chọn x = π

trong mệnh đề trên ta có
y − π, π

− π ≤ 0.
Thay đổi vai trò của π và π

ta được
y − π

, π − π

 ≤ 0.
Cộng hai bất đẳng thức trên suy ra π − π


2
≤ 0. Điều này chỉ xảy ra
khi π = π

.
(iii) Do y − π ∈ N
C
(π) nên
π − y, x − π ≥ 0, ∀x ∈ C.
Vậy π − y, x = π − y, π là một siêu phẳng tựa của C tại π. Siêu phẳng
này tách y khỏi C vì y = π nên
π − y, y − π = −π − y

2
< 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
(iv) (a) Theo phần (ii) ánh xạ x → P
C
(x) xác định khắp nơi.
Do z − P
C
(z) ∈ N
C
(P
C
(z)) với mọi z, áp dụng với z = x và z = y, ta có
x − P
C
(x), P
C
(y) − P
C
(x) ≤ 0;
và
y − P
C
(y), P
C
(x) − P
C
(y) ≤ 0.
Cộng hai bất đẳng thức trên, ta được

P
C
(y) − P
C
(x), P
C
(y) − P
C
(x) + x − y ≤ 0.
Kết hợp điều này và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, suy ra
P
C
(x) − P
C
(y) ≤ x − y.
(b) Áp dụng tính chất (b) của (i), lần lượt với P
C
(x) và P
C
(y), ta có:
P
C
(x) − x, P
C
(x) − P
C
(y) ≤ 0;
y − P
C
(y), P

C
(x) − P
C
(y) ≤ 0.
Cộng hai bất đẳng thức trên, suy ra
P
C
(x) − P
C
(y) + y − x, P
C
(x) − P
C
(y)
=P
C
(x) − P
C
(y), y − x + P
C
(x) − P
C
(y)
2
≤ 0.
Chuyển vế ta có
P
C
(x) − P
C

(y), x − y ≥ P
C
(x) − P
C
(y)
2
.
Vậy mệnh đề đã được chứng minh. ✷
Định nghĩa 1.8. Cho f : H → R ∪ {+∞}. Ta nói x
∗
∈ H là dưới đạo
hàm của f tại x nếu
x
∗
, z − x + f(x) ≤ f(z), ∀z ∈ H.
Ký hiệu tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là ∂f(x).
Khi ∂f(x) = ∅ thì ta nói hàm f khả dưới vi phân tại điểm x.
f được gọi là khả dưới vi phân trên một tập nếu f khả dưới vi phân tại
mọi điểm trên tập đó.
Ví dụ 1.3.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
1. f(x) = x , x ∈ R
n
. Tại điểm x = 0 hàm này không khả vi, nhưng nó
khả dưới vi phân và
∂f(0) = {x
∗
| x
∗

, x ≤ x , ∀x} ;
2. f = δ
C
là hàm chỉ của một tập lồi C = ∅. Khi đó, với x
0
∈ C,
∂δ
C
(x
0
) =

x
∗
|

x
∗
, x − x
0

≤ δ
C
(x), ∀x

.
Với x /∈ C thì δ
C
(x) = +∞, nên bất đẳng thức này luôn đúng. Vậy
∂δ

C
(x
0
) =

x
∗
|

x
∗
, x − x
0

≤ 0, ∀x ∈ C

= N
C
(x
0
).
Ta có mệnh đề sau nói lên tính khả dưới vi phân của hàm lồi.
Mệnh đề 1.3. Nếu f : H → R là hàm lồi thì ∂f(x) = ∅ với mọi x ∈ X
hay là f khả dưới vi phân khắp nơi.
Mệnh đề này là trường hợp riêng của Định lý 23.4, trang 217 trong tài liệu
[12].
Định nghĩa 1.9. Hàm f : H → R được gọi là nửa liên tục dưới đối
với E ⊂ H tại một điểm x, nếu như với mọi dãy x
k
⊂ E; x

k
→ x ta có
lim inf f(x
k
) ≥ f(x);
Hàm f được gọi là nửa liên tục trên đối với E ⊂ H tại một điểm x, nếu
−f nửa liên tục dưới đối với E điểm x. Hay là với mọi dãy x
k
⊂ E; x
k
→ x
thì lim sup f(x
k
) ≤ f(x);
Hàm f được gọi là liên tục đối với E ⊂ H tại một điểm x nếu như nó vừa
nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới đối với E tại x.
Khi E là toàn không gian, ta nói đơn giản là nửa liên tục dưới, nửa liên
tục trên hay liên tục.
Định nghĩa 1.10. Một hàm số thực ϕ được gọi là tựa lồi trên tâp lồi C,
nếu với mọi số thực γ tập mức dưới
{x ∈ C|ϕ(x) ≤ γ}
lồi. Tương tự, hàm một hàm ϕ được gọi là tựa lõm trên C, nếu −ϕ là hàm
tựa lồi trên C.
Nếu ϕ tựa lồi trên C thì ∀x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] ta có
ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ max(ϕ(x), ϕ(y));
Tương tự, nếu ϕ tựa lõm trên C thì ∀x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] ta có
ϕ(λx + (1 − λ)y) ≥ min(ϕ(x), ϕ(y)).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Các định nghĩa về tính đơn điệu của song hàm và ánh xạ được sử dụng

trong việc trình bày tính duy nhất nghiệm của bài toán cân bằng (xem
[2], [7], [10], [15], [16]). Trong các định nghĩa sau xét C là tập khác rỗng,
đóng, lồi trong không gian Hilbert thực H.
Định nghĩa 1.11. Giả sử f : C × C → R. Ta nói
(i) f đơn điệu mạnh trên C với hệ số β > 0, nếu
f(x, y) + f(y, x) ≤ −βx − y
2
, ∀x, y ∈ C;
(ii) f đơn điệu chặt trên C, nếu
f(x, y) + f(y, x) < 0, ∀x, y ∈ C, x = y;
(iii) f đơn điệu trên C, nếu
f(x, y) + f(y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C;
(iv) f giả đơn điệu trên C, nếu
f(x, y) ≥ 0 ⇒ f(y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C;
(v) f liên tục có tính chất kiểu Lipschitz trên C với hằng số c
1
> 0 và
c
2
> 0, nếu
f(x, y) + f(y, z) ≥ f(x, z) − c
1
x − y
2
− c
2
y − z
2
, ∀x, y, z ∈ C.
Từ định nghĩa ta có (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv).

Ví dụ 1.4.
Xét hàm h : H → R. Khi đó:
1. f(x, y) := h(x) − h(y) là đơn điệu nhưng không đơn điệu chặt.
2. g(x, y) := h(x) − h(y) − 1 là đơn điệu chặt nhưng không đơn điệu
mạnh.
Thật vậy, xét g(x, y) + g(y, x) = −2 < 0 với mọi x, y ∈ H nên g đơn
điệu chặt.
Giả sử tồn tại hệ số β > 0 thỏa mãn điều kiện đơn điệu mạnh, suy ra
βx − y
2
≤ 2, ∀x, y ∈ H.
Chọn x = 0 và y = tv với v là một véc-tơ khác 0 trong H, ta được
β ≤
2
|t| .v
, ∀t ∈ R.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Cho t → ∞ thì điều kiện trên chỉ xảy ra khi β ≤ 0 (mâu thuẫn). ✷
Các khái niệm về đơn điệu đối với song hàm có liên quan chặt chẽ với các
khái niệm về đơn điệu của ánh xạ (toán tử), rất quen thuộc trong giải tích
phi tuyến.
Định nghĩa 1.12. Ánh xạ F : C → H được gọi là
(i) đơn điệu mạnh trên C với hệ số β > 0, nếu
F (x) − F (y), x − y ≥ βx − y
2
, ∀x, y ∈ C;
(ii) đơn điệu chặt trên C, nếu
F (x) − F (y), x − y > 0, ∀x, y ∈ C, x = y;
(iii) đơn điệu trên C, nếu

F (x) − F (y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C;
(iv) giả đơn điệu trên C, nếu
F (y), x − y ≥ 0 ⇒ F (x), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C;
(v) liên tục L-Lipschitz trên C nếu
F (x) − F (y) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ C, L > 0.
Từ định nghĩa ta có (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv).
Ví dụ 1.5. Cho C là tập lồi, hàm f : C → R, và ∂f liên tục. Khi đó:
• Nếu f là hàm khả vi, lồi trên C thì ∂f là đơn điệu trên C.
Thật vậy, lấy tùy ý x, y ∈ C và do f là hàm lồi nên
f(x) ≥ f(y) + ∂f(y), x − y ,
f(y) ≥ f(x) + ∂f(x), y − x .
Cộng hai bất đẳng thức trên với nhau, suy ra
∂f(y) − ∂f(x), y − x ≥ 0, ∀x, y ∈ C.
Vậy ∂f là đơn điệu trên C. ✷
• Nếu f là khả vi, lồi mạnh trên C thì ∂f là đơn điệu mạnh trên C.
• Nếu f là hàm khả vi, lồi chặt trên C thì ∂f là đơn điệu chặt trên C.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Nhận xét 1.1.
Nếu F là L−Lipschitz trên C thì với mỗi x, y ∈ C, f(x, y) = F (x), y − x
có tính chất liên tục kiểu Lipschitz với hằng số c
1
= c
2
=
L
2
trên C.
Thật vậy
f(x, y) + f(y, z) − f(x, z)

= F (x), y − x + F (y), z − y − F(x), z − x
= − F (y) − F (x), y − z
≥ − F (x) − F (y) y − z
≥ − L x − y y − z
≥ −
L
2
x − y
2
−
L
2
y − z
2
=c
1
x − y
2
− c
2
y − z
2
.
Do vậy, f là liên tục có tính chất kiểu Lipschitz trên C. ✷
1.2 Sự tồn tại nghiệm và các tính chất cơ bản của bài toán
cân bằng
Trong phần này ta nhắc lại một số định lý quen thuộc trong giải tích
phi tuyến. Các định lý này là công cụ sắc bén để nghiên cứu, đặc biệt là
để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng.
Bài toán cân bằng

Ta nhắc lại bài toán cân bằng (còn được gọi là bất đẳng thức Ky Fan):
Xét H là không gian Hilbert thực; C là tập lồi, đóng, khác rỗng trong H
và f : C × C → R ∪ {+∞}. Khi đó, bài toán cân bằng là bài toán
Tìm x ∈ C sao cho f(x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C. (EP )
Tập nghiệm của bài toán cân bằng được ký hiệu là Sol(C, f).
Dưới đây ta sẽ luôn giả thiết f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C. Một song hàm
thỏa mãn điều kiện này được gọi là song hàm cân bằng. C được gọi là tập
chấp nhận được hay là tập chiến lược và f là hàm cân bằng của bài toán
(EP).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Tiếp theo ta xét sự tồn tại nghiệm và các tính chất cơ bản của bài toán
cân bằng. Để chứng minh kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán ta sử
dụng định lý minimax quan trọng.
Định lý minimax
Cho một song hàm f : C × C → R. Nhiều vấn đề trong tối ưu hóa, lý
thuyết trò chơi và các lĩnh vực khác đưa đến câu hỏi khi nào có đẳng thức
γ := sup
y∈D
inf
x∈C
f(x, y) = inf
x∈C
sup
y∈D
f(x, y) := η. (1.1)
Đẳng thức này nói rằng việc lấy cận trên đúng và cận dưới đúng có thể
hoán vị cho nhau. Từ định nghĩa cận trên đúng, cận dưới đúng, ta có
sup
y∈D

inf
x∈C
f(x, y) ≤ inf
x∈C
sup
y∈D
f(x, y). (1.2)
Các định lý minimax là các định lý nghiên cứu các điều kiện để có đẳng
thức (1.1). Ta xét bổ đề sau, là cơ sở để chứng minh các định lý minimax.
Bổ đề 1.1. Cho C ⊆ H, D ⊆ H là các tập lồi, đóng khác rỗng và f :
C × D → R. Giả sử với mọi y ∈ D, hàm f(., y) tựa lồi, nửa liên tục dưới
trên C và với mọi x ∈ C, hàm f(x, .) tựa lõm, nửa liên tục trên trên D.
Khi đó ta có:
(i) Với mọi γ

> γ := sup
y∈D
inf
x∈C
f(x, y) và mọi tập hữu hạn N ⊂ D, tập
C (N) :=

x ∈ C| max
y∈N
f(x, y) ≤ γ


= ∅;
(ii) Với mọi η


< η := inf
x∈C
sup
y∈D
f(x, y) và mọi tập hữu hạn M ⊂ C, tập
D (M) :=

y ∈ D| min
x∈M
f(x, y) ≥ η


= ∅.
Chứng minh. Đặt
C
γ

(y) := {x ∈ C|f(x, y) ≤ γ

} .
Do C lồi, f(., y) tựa lồi và nửa liên tục dưới, nên C
γ

(y) lồi, đóng.
Khẳng định (i) có nghĩa là
∩
y∈N
C
γ


(y) = ∅.
Ta chứng minh (i) bằng quy nạp theo số phần tử của N.
Khi N chỉ có duy nhất một phần tử y, tập
C
γ

(N) = C
γ

(y) = {x ∈ C|f(x, y) ≤ γ

} .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Do γ

> γ ≥ inf
x∈C
f(x, y), nên theo định nghĩa cận dưới đúng, tồn tại x ∈ C
thỏa mãn f(x, y) ≤ γ

. Suy ra C
γ

(N) = ∅. Vậy (i) đúng khi N chỉ có một
phần tử.
Giả sử (i) đúng với N gồm có k phần tử. Ta chứng tỏ nó đúng khi N
có k + 1 phần tử. Giả sử N := y
1
, y

2
, , y
k+1
. Đặt
C

γ

(y
i
) := C
γ

(y
i
) ∩ C
γ

(y
k+1
), (i = 1, 2, , k).
Khi đó
k+1
∩
i=1
C
γ

(y
i

) =
k
∩
i=1
C

γ

(y
i
).
Theo giả thiết quy nạp
k
∩
i=1
C

γ

(y
i
) = ∅, nếu như các tập
C

γ

(y
i
) = C
γ


(y
i
) ∩ C
γ

(y
k+1
) = ∅.
Vậy vấn đề còn lại là chứng minh rằng với hai điểm bất kỳ a, b ∈ D, thì
C
γ

(a) ∩ C
γ

(b) = ∅.
Giả sử trái lại. Do tính nửa liên tục dưới theo biến thứ nhất của
hàm f, ta chỉ cần chứng minh (i) cho α với bất kỳ α ∈ (γ, γ

). Do
α > sup
y∈D
inf
x∈C
f(x, y), nên C
α
(y) = ∅, ∀y ∈ D. Để đơn giản, sau đây với mọi
y, ta viết C(y) thay cho C
α

(y).
Lấy y
t
:= ta + (1 − t)b với 0 ≤ t ≤ 1. Do D lồi, nên y
t
∈ D. Với
mọi x ∈ C(y
t
) ta có f(x, y
t
) ≤ α. Do f tựa lõm theo biến thứ hai, nên
f(x, y
t
) ≥ min {f(x, a), f(x, b)}. Vậy min {f(x, a), f(x, b)} ≤ α. Do đó
hoặc f(x, a) ≤ α hoặc f(x, b) ≤ α. Vì điều này đúng với mọi x ∈ C(y
t
),
nên
C(y
t
) ⊂ C(a) ∪ C(b). (1.3)
Do C(a), C(b), C(y
t
) lồi và hai tập C(a), C(b) rời nhau, nên từ (1.3) suy
ra
C(y
t
) ⊂ C(a) hoặc C(y
t
) ⊂ C(b). (1.4)

Đặt
M
a
:= {t|0 ≤ t ≤ 1 : C(y
t
) ⊂ C(a)} ,
M
b
:= {t|0 ≤ t ≤ 1 : C(y
t
) ⊂ C(b)} .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Hiển nhiên 0 ∈ M
a
, 1 ∈ M
b
và M
a
∪ M
b
= [0, 1].
Hoàn toàn tương tự như trên, ta chứng minh được
C(y
t
) ⊂ C(y
t
1
) ∪ C(y
t

2
), ∀t ∈ [t
1
, t
2
] ⊂ [0, 1].
Khi đó, t ∈ M
a
kéo theo [0, t] ⊂ M
a
và t ∈ M
b
kéo theo [t, 1] ⊂ M
b
.
Đặt s := sup M
a
. Giả sử s ∈ M
a
(nếu s ∈ M
b
, lập luận tương tự). Do
α > γ ≥ inf f(x, y
s
) nên tồn tại x ∈ C sao cho f(x, y
s
) < α. Do tính nửa
liên tục trên của f(x, .) nên f(x, y
t
) < α với mọi t > s và đủ gần s. Hay

x ∈ C(y
t
) với mọi t đủ gần s. Khi đó, C(y
t
) ⊂ C(a). Theo định nghĩa của
M
a
, ta có t ∈ M
a
. Nhưng t > s = sup M
a
: mâu thuẫn. Như vậy
C(a) ∩ C(b) = ∅.
Khẳng định (ii) có thể suy ra từ khẳng định (i), với chú ý hàm −f tựa
lồi, nửa liên tục dưới theo biến thứ hai và
− min
x∈M

sup
y∈D
f(x, y)

= max
x∈M

inf
y∈D
(−f(x, y))

.

✷
Ta sẽ sử dụng Bổ đề này để chứng minh định lý minimax sau:
Định lý 1.1. Cho C ⊆ H, D ⊆ H là các tập lồi, đóng khác rỗng và
f : C × D → R. Giả sử với mọi y ∈ D, hàm f(., y) tựa lồi, nửa liên tục
dưới trên C và với mọi x ∈ C, hàm f(x, .) tựa lõm, nửa liên tục trên trên
D. Khi đó nếu có một trong hai điều kiện sau:
(A) Có một tập hữu hạn N
∗
⊂ D và một số η
∗
> γ sao cho tập
C (N
∗
) :=

x ∈ C| max
y∈N
∗
f(x, y) ≤ η
∗

compact
(B) Có một tập hữu hạn M
∗
⊂ C và một số γ
∗
< η sao cho tập
D (M
∗
) :=


y ∈ D| min
x∈M
∗
f(x, y) ≥ γ
∗

compact. Khi đó
sup
y∈D
inf
x∈C
f(x, y) = inf
x∈C
sup
y∈D
f(x, y);
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Cụ thể hơn, ta có
sup
y∈D
min
x∈C(N
∗
)
f(x, y) = inf
x∈C
sup
y∈D

f(x, y)
nếu có (A) và
inf
x∈C
sup
y∈D
f(x, y) = max
y∈D(M
∗
)
inf
x∈C
f(x, y)
nếu có (B).
Chứng minh. Ta giả sử có (A) (trường hợp có (B), chứng minh tương
tự). Khi đó γ < +∞. Do (1.2) nên ta cần chứng minh
γ ≥ inf
x∈C
sup
y∈D
f(x, y).
Lấy α ∈ (γ, η) bất kỳ và xét tập
C

(y) := C(N
∗
) ∩ C(y).
Áp dụng Bổ đề 1.1 với tập N = N
∗
∪{y} và γ


= α, ta có C

(y) = ∅. Cũng
theo bổ đề này họ tập {C

(y)|y ∈ D} có tính chất tương giao hữu hạn.
Ngoài ra tất cả các tập này đều nằm trong tập compact C(N
∗
). Do đó theo
định lý tương giao hữu hạn (Định lý Helley) của các tập lồi đóng, ta có
∩
y∈D
C

(y) = ∅. Nhưng theo định nghĩa của C

(y), thì
∩
y∈D
C

(y) =
∩
y∈D
C(y).
Lấy x
∗
∈
∩

y∈D
C(y), ta có
x
∗
∈ C(N
∗
), f(x
∗
, y) ≤ α, ∀y ∈ D.
Suy ra
min
x∈C(N
∗
)
sup
y∈D
f(x, y) ≤ sup
y∈D
f(x
∗
, y) ≤ α.
Do α là số bất kỳ thỏa mãn α ≥ γ, nên ta có điều phải chứng minh là
γ ≥ min
x∈C(N
∗
)
sup
y∈D
f(x, y).
✷

Nhận xét 1.2. Điều kiện (A) sẽ thỏa mãn nếu có điều kiện bức sau:
(AC) Có một tập hữu hạn N
∗
⊂ D sao cho
m
ax
y∈N
∗
f(x, y) → +∞ khi x ∈ C, x → +∞.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Điều kiện (B) thỏa mãn nếu ta có điều kiện bức sau:
(BC) Có một tập hữu hạn M
∗
⊂ C sao cho
min
x∈M
∗
f(x, y) → −∞ khi y ∈ D, y → +∞.
Thật vậy, giả sử có (AC). Ta có thể giả thiết
γ := sup
y∈D
inf
x∈C
f(x, y) < +∞,
vì nếu trái lại đẳng thức minimax (1.1) luôn đúng. Lấy η > γ thì tập
C(N
∗
) :=


x ∈ C|sup
y∈N
∗
f(x, y) ≤ η

bị chặn (và do đó compact), vì nếu có một dãy x
v
∈ C(N
∗
) với x
v
 → +∞
thì theo điều kiện (AC), ta có sup
y∈N
∗
f(x
v
, y) → +∞.
Vậy (AC) kéo theo (A).
Tương tự, ta chứng minh được (BC) kéo theo (B). ✷
Nhận xét 1.3. Nếu C là tập compact thì (A) thỏa mãn và nếu D là tập
compact thì (B) thỏa mãn.
Ta xét một ứng dụng của định lý minimax cho bài toán tối ưu:
f
∗
:= min {f(x)|x ∈ H, g
j
(x) ≤ 0, j = 1, , m} . (OP )
Hàm Lagrange của bài toán được cho bởi
L(x, y) := f(x) +

m

j=1
y
j
g
j
(x).
Với mỗi y ≥ 0, đặt
d(y) := inf
x∈H
L(x, y),
và xét bài toán
d
∗
:= sup {d(y) : y ≥ 0} . (OD)
Ta nói (OD) là bài toán đối ngẫu của (OP), còn (OP) được gọi là bài toán
gốc. Từ định nghĩa suy ra
d
∗
= sup
y≥0
d(y) ≤ inf
x∈H
sup
y≥0
L(x, y) = f
∗
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

22
Trong trường hợp f
∗
= d
∗
, tức là giá trị tối ưu của bài toán đối ngẫu bằng
giá trị của bài toán gốc, thì ta nói hai bài toán này là cặp đối ngẫu chính
xác. Khi đó
sup
y≥0
inf
x∈H
L(x, y) = inf
x∈H
sup
y≥0
L(x, y).
Như vậy, trong trường hợp có đối ngẫu chính xác, ta sẽ có định lý minimax
cho hàm Lagrange trên tập H × R
m
+
.
Tiếp theo, ta xét các kết quả về sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm của
bài toán cân bằng. Dưới đây ta sẽ chứng minh một kết quả về sự tồn tại
nghiệm của bài toán cân bằng (EP) dựa trên Định lý minimax 1.1.
Mệnh đề 1.4. Cho C là tập lồi, đóng khác rỗng và song hàm cân bằng f
có tính chất: hàm f(x, .) tựa lồi, nửa liên tục dưới trên C, f(., y) là hàm
tựa lõm, nửa liên tục trên trên C. Giả sử:
(A1) Có một tập hữu hạn N
∗

⊂ C sao cho tập
C (N
∗
) :=

x ∈ C| min
y∈N
∗
f(x, y) ≥ 0

compact, hoặc
(B1) Có một tập hữu hạn M
∗
⊂ C sao cho tập
D (M
∗
) :=

y ∈ C| max
x∈M
∗
f(x, y) ≤ 0

compact. Khi đó bài toán (EP) có nghiệm.
Chứng minh. Đặt φ(x, y) := −f(x, y) và D ≡ C. Khi đó hàm φ thỏa
mãn mọi điều kiện của Định lý 1.1. Theo Định lý này, ta có
sup
x∈C
inf
x∈C

φ(x, y) = inf
x∈C
sup
y∈C
φ(x, y). (1.5)
Ta sẽ chứng tỏ
inf
x∈C
sup
y∈C
φ(x, y) = 0.
Thật vậy, ta có
inf
x∈C
sup
y∈C
φ(x, y) ≥ inf
x∈C
φ(x, x) = 0; (1.6)
đẳng thức cuối là do φ(x, x) = 0.
Mặt khác
sup
x∈C
inf
x∈C
φ(x, y) ≤ sup
x∈C
φ(y, y) = 0. (1.7)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên