Lý thuyết và công thức môn Toán Hình học 12 Chương 3 PP Tọa độ trong không gian

VII. TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ

1. KIẾN THỨC TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VÉCTƠ

1. Hệ trục tọa độ trong không gian
Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung

r r r

một điểm gốc O . Gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz . Hệ ba
trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.

Chú ý:

r2 r 2 r 2
rr rr r r
i  j  k  1 và i. j  i.k  k. j  0 .

z

x'

r
k

y'

x

r
i

O

r
j

y

z'

Quy ước : Không gian mà trong đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz được
gọi là không gian Oxyz và ký hiệu là : kg Oxyz .

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


2. Tọa độ của vectơ

r

r

r

r

r

a) Định nghĩa: u   x; y; z   u  xi  y j  zk

r

r

b) Tính chất: Cho a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ), k  R

r

r

 a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )

r

 ka  (ka1; ka2 ; ka3 )

a1  b1
r r

 a  b  a2  b2
a  b
 3 3
r

r

r

r

 0  (0;0;0), i  (1;0;0), j  (0;1;0), k  (0;0;1)

r

r r

r

 a cùng phương b (b  0)

r

r

 a  kb (k  R)

a1  kb1

 a2  kb2
a  kb
3
 3

rr

 a.b  a1.b1  a2 .b2  a3 .b3

r

 a 2  a12  a22  a32

rr
a.b
r r
 cos(a , b )  r r 
a .b

r



a1 a2 a3
  , (b1 , b2 , b3  0)
b1 b2 b3

r

 a  b  a1b1  a2b2  a3b3  0

r

 a 

a12  a22  a22

a1b1  a2b2  a3b3
a12  a22  a32 . b12  b22  b32

r r

r

(với a, b  0 )

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


3. Tọa độ của điểm

uuuur
r
r
r
a) Định nghĩa: M ( x; y; z)  OM  x.i  y. j  z.k ( x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ )

Chú ý:  M   Oxy   z  0; M   Oyz   x  0; M   Oxz   y  0

 M  Ox  y  z  0; M  Oy  x  z  0; M  Oz  x  y  0 .
b) Tính chất: Cho A( xA ; yA ; z A ), B( xB ; yB ; zB )

uuur
 AB  ( xB  xA ; yB  y A ; zB  z A )
 AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A )2  ( zB  z A )2

 x  x y  yB z A  z B 
;
 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB : M  A B ; A


 2
2
2 
 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC :

 x  x  x y  yB  yC z A  zB  zC 
G A B C ; A
;

3
3
3


 Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD :

 x  x  x  xD y A  yB  yC  yD z A  zB  zC  zC 
G A B C
;
;


4
4
4

III. Sự cùng phương của hai véc tơ:
Nhắc lại

Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc

nằm trên hai đường thẳng song song .

Định lý về sự cùng phương của hai véc tơ:
r
r
r r
i b 0
Định lý 3 :
Cho hai véc tơ a vaøb vôù

r
r
a cuø
ng phöông b

r
r
 !k  R sao cho a  k.b

r r
Nếu a  0 thì số k trong trường hợp này được xác định như sau:
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


r
r
k  0 khi a cùng hướng b
r
r

k  0 khi a ngược hướng b
r
a
k r
b

Định lý 4 :

uuur
uuur
A, B,C thaú
ng haø
ng  AB cuø
ng phöông AC

r
r
Định lý 5: Cho hai véc tơ a  (a1; a2; a3 ) vaøb  (b1; b2; b3 ) ta có :
r
r
a cuø
ng phöông b

a1  kb1

 a2  kb2  a1 : a2 : a3  b1 : b2 : b3
a  kb
3
 3

IV. Tích vô hướng của hai véc tơ:
Nhắc lại:

rr r r
r r
a.b  a . b .cos(a, b)

r2 r 2
a a

r r
rr
a  b  a.b  0

r
r
Định lý 6: Cho hai véc tơ a  (a1; a2; a2 ) vaøb  (b1; b2; b3 ) ta có :
rr
a.b  a1b1  a2b2  a3b3

r
Định lý 7: Cho hai véc tơ a  (a1; a2; a3 ) ta có :
r
a  a12  a22  a32

Định lý 8: Nếu A( xA; yA; zA ) vaøB(x B; yB; zB) thì

AB  ( xB  xA )2  ( yB  yA )2  ( zB  zA )2
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)

r
r
Định lý 9: Cho hai véc tơ a  (a1; a2; a3 ) vaøb  (b1; b2; b3 ) ta có :
r r
a  b  a1b1  a2b2  a3b3  0

r
r
Định lý 10: Cho hai véc tơ a  (a1; a2; a3 ) vaøb  (b1; b2; b3 ) ta có :
rr
r r
a1b1  a2b2  a3b3
a.b
cos(a, b)  r r 
2
a.b
a1  a22  a32 . b12  b22  b32

V. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:
Định nghĩa : Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k  k  1 nếu như :

uuur
uuur
MA  k.MB




A


M

B

uuur
uuur
Định lý 11 : Nếu A( xA; yA; zA ) , B(x B; yB; zB ) và MA  k.MB  k  1 thì

xA  k.xB

x

M

1 k

yA  k.yB

 yM 
1 k

zA  k.zB

 zM  1  k


Đặc biệt :

M là trung điểm của AB

xA  xB

 xM 
2

y y

  yM  A B
2

zA  zB

 zM  2


Định lý 12: Cho tam giác ABC biết A( xA; yA; zA ) , B(xB; yB; zB ), C(xC; yC ; zC )

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


xA  xB  xC

 xG 
3

y y y


G là trọng tâm tam giác ABC   yG  A B C
3

zA  zB  zC

 zG 
3


VI. Tích có hướng của hai véc tơ:

r
r
1. Định nghĩa: Tích có hướng của hai véc tơ a  (a1; a2; a3 ) vaøb  (b1; b2; b3 ) là một véc tơ
r r
được ký hiệu :  a; b có tọa độ là :
r r
a
 a; b   2
 
 b2

a3 a3 a1 a1 a2 
;
;

b3 b3 b1 b1 b2 

2. Tính chất:







r r
r
r r
r
 a; b  a vaøa; b  b
 
 
1 uuur suur
SABC  .  AB; AC 
2

SYABCD

A
B

uuur uuur
  AB; AD 

C

D

D'

C

A
B





VABCD.ABC
' ' ' '
D

uuur uuur uuur'

  AB; AD  .AA

1 uuur uuur uuur
VABCD  .  AB; AC  .AD
6

C'

A'

B'
D
C

A
D

B
C

A
B



r
r
r r
r
a cuø
ng phöông b  a; b  0



r r r
r r r
a, b, c ñoà
ng phaú
ng  a, b .c  0

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)



uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
A, B, C, D đồng phẳng  AB,AC,AD đồng phẳng   AB,AC .AD  0

VẤN ĐỀ 1: Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm
– Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
– Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.

VẤN ĐỀ 2: Xác đònh điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học.
Diện tích – Thể tích.
– Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
– Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
– Công thức xác đònh toạ độ của các điểm đặc biệt.
– Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:
uuur
uuur uuur
uuur
uuur uuur
r
 A, B, C thẳng hàng  AB, AC cùng phương  AB  k AC   AB, AC  0
uuur uuur
 ABCD là hình bình hành  AB  DC

 Cho ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài
uuur
uuur AB uuur
AB uuur
của góc A của ABC trên BC . Ta có:

EB  
.EC ,
FB 
.FC
AC
AC
uuur uuur uuur
 A, B, C, D không đồng phẳng  AB, AC, AD không đồng phẳng
uuur uuur uuur
  AB, AC .AD  0

VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu
Để viết phương trình mặt cầu  S , ta cần xác đònh tâm I và bán kính R của
mặt cầu.
Dạng 1:  S có tâm I  a; b; c và bán kính R :
(S): ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R2
Dạng 2:  S có tâm I  a; b; c và đi qua điểm A :
Khi đó bán kính R  IA.
Dạng 3:  S nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ơn chun đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


–Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB :
xI 

xA  xB
y y
z z
; yI  A B ; zI  A B .

2
2
2

– Bán kính R  IA 

AB
.
2

Dạng 4:  S đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ):
– Giả sử phương trình mặt cầu  S có dạng:

x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  0  *  .
– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào  *  , ta được 4 phương trình.
– Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d  Phương trình mặt cầu  S .
Dạng 5:  S đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng  P  cho trước:
Giải tương tự như dạng 4.
Dạng 6:  S có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu  T  cho trước:
– Xác đònh tâm J và bán kính R' của mặt cầu  T  .
– Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu  S .
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)

Chú ý: Với phương trình mặt cầu  S :

x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  0

với a2  b2  c2  d  0

thì  S có tâm I  a; b; c và bán kính R  a2  b2  c2  d .

VẤN ĐỀ 4: Vò trí tương đối giữa hai mặt cầu mặt cầu
Cho hai mặt cầu S1  I 1, R1  và S2  I 2 , R2  .
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ơn chun đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


 I1I 2  R1  R2

  S1  ,  S2  trong nhau

 I1I 2  R1  R2

  S1  ,  S2  ngoài nhau

 I1I 2  R1  R2

  S1  ,  S2  tiếp xúc trong

 I1I 2  R1  R2

  S1  ,  S2  tiếp xúc ngoài

 R1  R2  I1I 2  R1  R2

  S1  ,  S2  cắt nhau theo một đường tròn.

VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm là mặt cầu – Tập hợp tâm mặt cầu
1. Tập hợp điểm là mặt cầu
Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất  P  nào đó.

– Tìm hệ thức giữa các toạ độ x, y, z của điểm M . Chẳng hạn có dạng:

( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R2
hoặc: x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  0
– Tìm giới hạn q tích (nếu có).
2.

Tìm tập hợp tâm mặt cầu
 x  f (t )

– Tìm toạ độ của tâm I , chẳng hạn:  y  g(t )  * 
 z  h(t )

– Khử t trong  *  ta có phương trình tập hợp điểm.
– Tìm giới hạn q tích (nếu có).

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ơn chun đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


2. MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN

I. Các định nghĩa:
1. Véc tơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng:

r
r
đn a  0
r


a là VTCP của đường thẳng      r
c trù
ng vớ
i 

a cógiásong song hoặ

Chú ý:



Một đường thẳng có vơ số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau.
Một đường thẳng    hồn tồn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và

một VTCP của nó.
2. Cặp VTCP của mặt phẳng:

r
Cho mặt phẳng  xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b . Gọi a là VTCP của
r
đường thẳng a và b là VTVP của đường thẳng b . Khi đó :
ur uur
Cặp (a,b) được gọi là cặp VTCP của mặt phẳng 
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ơn chun đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


Chú ý :

Một mặt phẳng  hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một

cặp VTCP của nó.
3. Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) của mặt phẳng :

r
r
ñn  n  0
r

n là VTPT của mặt phẳng    r
ng goù
c vôù
i mp

n coùgiaùvuoâ
Chú ý :

Một mặt phẳng có vô số VTPT, các véc tơ này cùng phương với nhau.

Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một
cặp VTPT của nó.

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


4. Cách tìm tọa độ một VTPT của mặt phẳng khi biết cặp VTCP của nó:

r
a  (a1; a2; a3 )
Định lý: Giả sử mặt phẳng  có cặp VTCP là :  r

thì mp  có một VTPT là :
b  (b1; b2; b3 )
r
r r
a
n   a; b   2
 b2

a3 a3 a1 a1 a2 
;
;

b3 b3 b1 b1 b2 

II. Phương trình của mặt phẳng :
Định lý 1: Trong Kg Oxyz . Phương trình mặt phẳng  đi qua điểm M0 ( x0; y0; z0 ) và có
r
một VTPT n  ( A; B; C) là: A( x  x0 )  B( y  y0 )  C(z  z0 )  0

Định lý 2: Trong Kg Oxyz . Phương trình dạng :
Ax  By  Cz  D  0 với A2  B2  C2  0

là phương trình tổng quát của một mặt phẳng .
Chú ý :



r
Nếu ( ) : Ax  By  Cz D  0 thì ( ) có một VTPT là n  ( A; B; C)
M0 ( x0; y0; z0 )  ( ) : Ax  By  Cz  D  0  Ax 0  By0  Cz0  D  0

(Oyz )

z
y
O
(Oxz )

x
(Oxy)
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


Các trường hợp đặc biệt:
1. Các trường hợp riêng
Các hệ số

Phương trình mặt
phẳng ()

Tính chất mặt phẳng ()

D=0

Ax  By  Cz  0

  đi qua gốc toạ độ O

A=0

By  Cz  D  0

  // Ox hoặc    Ox

B=0

Ax  Cz  D  0

  // Oy hoặc    Oy

C=0

Ax  By  D  0

  // Oy hoặc    Oz

A=B=0

Cz  D  0

  // Oxy hoặc    Oxy

By  D  0

  Oxz

   Oxz

Ax  D  0

  Oyz

   Oyz

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ơn chun đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


2. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

 A(a; 0; 0)

Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz tại  B(0; b; 0) (a,b,c  0)
C(0; 0; c)

là:

x y z
  1
a b c

C

c
O
a

b
B

A

III. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :
1. Một số quy ước và ký hiệu:

 a1  tb1
 a  tb
2
 2
(
a
,
a
,...,
a
)
 1 2
n
Hai bộ n số: 
được gọi là tỷ lệ với nhau nếu có số t  0 sao cho .
(b1, b2 ,..., bn )
.

 an  tbn
Ký hiệu:

a1 : a2 : ...: an  b1 : b2 : ...: bn

hoặc

a
a1 a2

 ...  n
b1 b2
bn

2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Định lý: Trong Kg Oxyz cho hai mặt phẳng  ,  xác định bởi phương trình :
uur
( ) : A1x  B1y  C1z  D1  0 coùVTPT n1  ( A1; B1; C1)
uur
(  ) : A2 x  B2 y  C2z  D2  0 coùVTPT n2  ( A2; B2; C2 )

n1

n2

a
n2

n1


n1


n2
b

b

a

a

b

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


( ) cắ
t ( )  A 1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 (hay:


A 1 B1 C1 D1



A 2 B2 C2 D2

( )  ( ) 

A 1 B1 C1 D1



A 2 B2 C2 D2

( ) // ( )

A 1 B1
B C
C
A

hoặ
c 1  1 hoặ
c 1  1)
A 2 B2
B2 C2
C2 A2

Đặc biệt:

    A1A2  B1B2  C1C2  0
III. Khoảng cách từ điểm M0  x0; y0; z0  đến mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  0

d  M0 ,( )  

Ax0  By0  Cz0  D
A2  B2  C2

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ơn chun đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


IV. Chùm mặt phẳng



 

Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng  và

(  ) được gọi là một chùm mặt phẳng


 

Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng

d

  : A1x  B1y  C1z  D1  0 và    : A 2 x  B2y  C2z  D2  0 .



Khi đó nếu  P  là mặt phẳng chứa  d  thì phương trình mặt phẳng  P  có

P



dạng

 P : m.(A1x  B1y  C1z  D1)  n.(A 2 x  B2y  C2z  D2 )  0,

m2  n2  0

VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phẳng   ta cần xác đònh một điểm thuộc   và một
VTPT của nó.

r
Dạng 1:   đi qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có VTPT n   A; B;C  :

  :

A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0

r r
Dạng 2:   đi qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có cặp VTCP a, b :

r r r
Khi đó một VTPT của   là n   a, b  .
Dạng 3:

  đi qua điểm M  x ; y ; z  và song song với mặt phẳng    : Ax  By  Cz 
0

0

0

  :

D  0:

A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0

Dạng 4:   đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C :

uuur uuur
r
Khi đó ta có thể xác đònh một VTPT của   là: n   AB, AC
Dạng 5:   đi qua một điểm M và một đường thẳng  d  không chứa M :
r
– Trên  d  lấy điểm A và VTCP u .

uuur r
r
– Một VTPT của   là: n   AM , u
Dạng 6:   đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng  d  :
r
VTCP u của đường thẳng  d  là một VTPT của   .

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ơn chun đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


Dạng 7:   đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2 :

r r
– Xác đònh các VTCP a, b của các đường thẳng d1, d2 . .

r r r
– Một VTPT của   là: n   a, b  .
– Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2  M    .

Dạng 8:   chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 ( d1, d2 chéo
nhau ) :

r r
– Xác đònh các VTCP a, b của các đường thẳng d1, d2 .

r r r
– Một VTPT của   là: n   a, b  .
– Lấy một điểm M thuộc d1  M    .
Dạng 9:   đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 :

r r
– Xác đònh các VTCP a, b của các đường thẳng d1, d2 .

r r r
– Một VTPT của   là: n   a, b  .
Dạng 10:   đi qua một đường thẳng  d  và vuông góc với một mặt phẳng    :
r
r
– Xác đònh VTCP u của  d  và VTPT n của    .

r
r r
– Một VTPT của   là: n  u, n  .
– Lấy một điểm M thuộc d  M    .
Dạng 11:   đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau    ,   :

r r
– Xác đònh các VTPT n , n của    và    .

r
r r
– Một VTPT của   là: n  u , n  .
Dạng 12:   đi qua đường thẳng  d  cho trước và cách điểm M cho trước một
khoảng k cho trước:
– Giả sử () có phương trình: Ax  By  Cz+D  0  A2  B 2  C 2  0  .
– Lấy 2 điểm A, B   d   A, B    ( ta được hai phương trình 1 ,  2).
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ơn chun đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


– Từ điều kiện khoảng cách d( M ,( ))  k , ta được phương trình  3 .
– Giải hệ phương trình 1 ,  2 ,  3 (bằng cách cho giá trò một ẩn, tìm
các ẩn còn lại).
Dạng 13:   là tiếp xúc với mặt cầu  S tại điểm H :
– Giả sử mặt cẩu  S có tâm I và bán kính R.
r uur
– Một VTPT của   là: n  IH

Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác đònh
mặt phẳng đã học ở lớp 11.

VẤN ĐỀ 2: Vò trí tương đối của hai mặt phẳng

VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng .
Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng.
 Khoảng cách từ điểm M0  x0; y0; z0  đến mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0

d  M0 ,( )  

Ax0  By0  Cz0  D
A2  B2  C2

 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất
kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.

uuuur
 MH , nr cù
ng phương
 Điểm H là hình chiếu của điểm M trên  P  
H

(
P
)


uuuuur

uuuur

 Điểm M ' đối xứng với điểm M qua  P  MM   2MH
VẤN ĐỀ 4: Góc giữa hai mặt phẳng

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ơn chun đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)

Cho hai mặt phẳng   ,

   có phương trình:   : A1x  B1y  C1z  D1  0
   : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0

Góc giữa   ,

   bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT
r r
n1.n2
cos ( ),(  )   r r 
n1 . n2

Chú ý:

 00 £ ((·
a ),( b )) £ 900 .

r r
n1, n2 .

A1 A2  B1B2  C1C2
A12  B12  C12 . A22  B22  C22

 ( )  (  )  A1A2  B1B2  C1C2  0

VẤN ĐỀ 5: Vò trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.
Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
Cho mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  0 và mặt cầu  S : ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R2

   và  S không có điểm chung
   tiếp xúc với  S

 d(I ,( ))  R

 d(I ,( ))  R

  là tiếp diện

Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:
– Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của  S và vuông góc với   .
– Tìm toạ độ giao điểm H của d và   .

H là tiếp điểm của  S với   .

   cắt  S theo một đường tròn  d(I ,( ))  R
Để xác đònh tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như
sau:
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ơn chun đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


– Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của  S và vuông góc với   .
– Tìm toạ độ giao điểm H của d và   .

H là tâm của đường tròn giao tuyến của  S với   .
Bán kính r của đường tròn giao tuyến: r  R2  IH 2

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,

tài liệu ơn chun đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


3. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I. Phương trình của đường thẳng:
1) Vectơ chỉ phương của đường phẳng:

r

r

Định nghĩa: Cho đường phẳng d . Nếu vectơ a  0 và có giá song song hoặc trùng với đường

r

phẳng d thì vectơ a được gọi là vectơ pháp tuyến của đường phẳng d . Kí hiệu:

r
a  (a1; a2; a3 )

 Chú ý:

r

r

1) a là VTCP của d thì k.a (k  0) cũng là VTCP của d

uuur

2) Nếu d đi qua hai điểm A, B thì AB là một VTCP của d

r

r

r

r

r

r

3) Trục Ox có vectơ chỉ phương a  i  (1; 0; 0)
4) Trục Oy có vectơ chỉ phương a  j  (0;1; 0)
5) Trục Oz có vectơ chỉ phương a  k  (0; 0;1)

2.Phương trình tham số của đường thẳng:
Định lý: Trong Kg Oxyz . Phương trình tham số của đường thẳng () đi qua điểm
r
M0 ( x0; y0; z0 ) và nhận a  (a1; a2; a3 ) làm VTCP là :

z


a
()

M0

M ( x, y , z ) y

 x  x0  ta1

() :  y  y0  ta2
 z  z  ta
0
3


t  R

O

x

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


3. Phương trình chính tắc của đường thẳng:
Định lý: Trong Kg Oxyz . Phương trình chính tắc của đường thẳng () đi qua
r
điểm M0 ( x0; y0; z0 ) và nhận a  (a1; a2; a3 ) làm VTCP là :
( ) :

x  x0 y  y0 z  z0



a1
a2
a3

II. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :
1.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :
PP HÌNH HỌC

M

( )


a


n


n


n

a

M

a


a ( )

M

a


a ( )

 x  x0  a1t (1)
r

Định lý: Trong Kg Oxyz cho: đường thẳng () :  y  y0  a2t (2) có VTCP a  (a1; a2; a3 ) và
 z  z  a t (3)
0
3

r
qua M0 ( x0; y0; z0 ) và mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 có VTPT n  ( A; B; C)
Khi đó :

() caé
t ( )
() // ( )
(  )  ( )

Đặc biệt:

rr
 a.n  0 
rr
a.n  0


 M 0  ( P)
rr
a.n  0


 M0  ( P)

Aa1  Ba2  Ca3  0
Aa1  Ba2  Ca3  0

 Ax0  By0  Cz0  D  0
Aa1  Ba2  Ca3  0

 Ax0  By0  Cz0  D  0

r
r
()  ( ) Û a và n cùng phương


a


n

a

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)




a1 : a2 : a3  A : B : C

 pt ( )
PP ĐẠI SỐ: Muốn tìm giao điểm M của    và   ta giải hệ phương trình: 
tìm
 pt ( )

x, y, z. Suy ra: M  x, y, z

 

 

Thế 1 , 2 , 3 vào phương trình mp P và rút gọn đưa về dạng: at  b  0 (* )

 



 d cắt mp P tại một điểm  Pt * có một nghiệm t .

 



 d song song với P  Pt * vô nghiệm.

 



 d nằm trong P  Pt * có vô số nghiệm t .

 

r

r

 d vuông góc P  a và n cùng phương

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
1

'
a

M0
M0
u
1


M 0 M 0'

b

1
u
'
2
2

M 0'

M0


u


u'


u

M0

2
M

'

0

1


u'

2

PP HÌNH HỌC
Định lý: Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng:
r
x  x0 y  y0 z  z0


coùVTCP u  (a; b; c) vaøqua M 0 ( x0; y0; z0 )
a
b
c
ur
x  x0 y  y0 z  z0
( 2 ) :

 ' coùVTCP u'  (a' ; b' ; c' ) vaøqua M '0 ( x0' ; y0' ; z0' )
'
'
a
b
c

(1) :

r ur uuuuuuur

 (1) vaø(2 ) ñoà
ng phaú
ng  u, u'  .M0 M0'  0


L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


 (1 ) caé
t ( 2 )

r ur uuuuuuur
 ' 
'
 u, u  .M 0 M 0  0

 
a : b : c  a' : b' : c'


 (1 ) // ( 2 )

 a : b : c  a' : b' : c'  ( x0'  x0 ) : ( y0'  y0 ) : ( z0'  z0 )

 (1 )  ( 2 )

 a : b : c  a' : b' : c'  ( x0'  x0 ) : ( y0'  y0 ) : ( z0'  z0 )
r ur uuuuuuur
 u, u'  .M 0 M 0'  0


r ur
 u.u '  0

 (1 ) vaø( 2 ) cheù
o nhau
 (1 )  ( 2 )

 pt (1)
PP ĐẠI SỐ: Muốn tìm giao điểm M của (1) vaø(2 ) ta giải hệ phương trình : 
tìm
 pt ( 2 )

x, y, z. Suy ra: M  x, y, z
3) Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu:

 x  x0  a1t (1)

Cho đường thẳng d:  y  y0  a2t (2) và mặt cầu  S : ( x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  R2 có tâm
 z  z  a t (3)
0
3

I (a; b; c) , bán kính R.

PP HÌNH HỌC
uuuur r
 IM .a
 0 
B1. Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu  S đến đường thẳng d là h  d( I , d) 
r
a
B2. So sánh d( I , d) và bán kính R của mặt cầu:

 

● Nếu d(I , d)  R thì d không cắt S

 

● Nếu d(I , d)  R thì d tiếp xúc S

 

● Nếu d(I , d)  R thì d cắt S tại hai điểm phân biệt M , N và MN vuông góc với đường kính
(bán kính) mặt cầu

PP ĐẠI SỐ: Thế 1 ,  2 ,  3 vào phương trình  S và rút gọn đưa về phương trình bậc hai



theo t *



 

● Nếu phương trình * vô nghiệm thì d không cắt S

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


 



● Nếu phương trình * có một nghiệm thì d tiếp xúc S

 



● Nếu phương trình * có hai nghiệm thì d cắt S tại hai điểm phân biệt M , N
Chú ý: Để tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d

III. Góc trong không gian:
1. Góc giữa hai mặt phẳng:
Định lý: Trong Kg Oxyz cho hai mặt phẳng  ,  xác định bởi phương trình
 :
n1  ( A1 ; B1 ; C1 )

( ) : A1x  B1y  C1z  D1  0



n2  ( A2 ; B2 ; C 2 )

(  ) : A2 x  B2 y  C2z  D2  0
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( ) & (  ) ta có công thức:

a

0 0    90 0
b

cos  

A1 A2  B1B2  C1C2
A  B12  C12 . A22  B22  C22
2
1

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Định lý: Trong Kg Oxyz cho đường thẳng () :

( )
x  x0 y  y0 z  z0


a
b
c


a  (a; b; c)


n  ( A; B; C )

và mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng () & ( ) ta có công thức: a

sin  

0 0    90 0

Aa  Bb  Cc
A2  B 2  C 2 . a 2  b 2  c 2


a1  (a; b; c)

3.Góc giữa hai đường thẳng :
Định lý: Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng :

1

 2kiểm 
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề
15p, đề kiểm tra 1 tiết,
atra
2  ( a ' ; b' ; c ' )
tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)
0 0    90 0