SKKN Kỹ năng Min Max lớp Toán lớp 12

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“Rèn luyện kĩ năng giải toán trắc nghiệm về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số cho học sinh lớp 12”
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Năm 2017 Bộ Giáo dục và Đào tạo đã thay đổi hình thức thi THPT Quốc
Gia môn Toán từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm. Đây là một thay đổi lớn đòi
hỏi giáo viên phải đổi mới cách dạy học phù hợp để vừa rèn luyện tư duy của
học sinh đồng thời phải đạt hiệu quả tốt nhất. Qua nghiên cứu đề thi minh họa và
đề thử nghiệm môn Toán năm 2017 của Bộ Giáo dục và Đào tạo, tôi nhận thấy
đề thi trắc nghiệm môn Toán THPT Quốc Gia 2017 có 50 câu trắc nghiệm trong
thời gian 90 phút. Thí sinh có trung bình 108 giây để hoàn thành một câu hỏi.
Với cách thi mới này, học sinh khá giỏi cũng có thể không đạt điểm cao do
không đủ thời gian làm bài, nếu quen tư duy theo cách tự luận. Để có thể làm tốt
bài thi Toán trắc nghiệm, ngoài kiến thức và phương pháp, thí sinh cần được
trang bị những kỹ năng cần thiết và hệ thống câu hỏi trắc nghiệm theo từng chủ
đề một cách đầy đủ, hợp lí. Trong các chủ đề cần trang bị cho học sinh thì chủ
đề giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là một chủ đề rất quan trọng và
các câu hỏi trắc nghiệm của chủ đề này cũng gây không ít khó khăn cho học
sinh. Trong đề thi minh họa và đề thử nghiệm môn Toán năm 2017 của Bộ Giáo
dục và Đào tạo thì các câu hỏi về chủ đề này đều xuất hiện và đặc biệt lại có câu
hỏi trắc nghiệm nâng cao về ứng dụng thực tế. Để học sinh có thể làm tốt các
câu hỏi trắc nghiệm này thì giáo viên cần trang bị cho các em kiến thức nền tảng
và hệ thống câu hỏi trắc nghiệm theo từng dạng toán về giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của hàm số. Từ đó giúp các em tự tin hơn, hứng thú hơn trong việc học
và nghiên cứu các bài tập trắc nghiệm môn Toán.
Với những lí do trên, tôi xin hệ thống một số dạng bài tập trắc nghiệm về
hàm số thông qua đề tài: “Rèn luyện kĩ năng giải toán trắc nghiệm về giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số cho học sinh lớp 12”
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM

Năm học 2016 - 2017, khi giảng dạy môn Toán ở lớp 12 của trường
THPT Tùng Thiện, tôi nhận thấy đa số học sinh đều nắm được các kiến thức cơ
bản về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, nhưng khi tiếp xúc với các
bài tập trắc nghiệm về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thì các em
tỏ ra lúng túng và lo lắng khi chưa có phản xạ nhanh và chưa đủ thời gian để
làm hết các bài theo định mức trung bình 108 giây/ câu hỏi. Chính điều này phần
nào đã thôi thúc tôi suy nghĩ tìm tòi để t/hực hiện sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn
luyện kĩ năng giải toán trắc nghiệm về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số cho học sinh lớp 12”
III. MỤC ĐÍCH
Với mong muốn giúp học sinh phát triển tư duy và đạt hiệu quả cao khi
giải các bài toán trắc nghiệm về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số,
tạo sự tự tin, hứng thú và niềm say mê học tập cho các em, tôi mạnh dạn viết
sáng kiến kinh nghiệm : “Rèn luyện kĩ năng giải toán trắc nghiệm về giá trị


lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số cho học sinh lớp 12” áp dụng cho học
sinh lớp 12 của trường THPT Tùng Thiện trong quá trình học về hàm số và ôn
thi THPT Quốc Gia.
Sáng kiến kinh nghiệm của tôi được trình bày theo hướng bám sát các
dạng toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số theo chuẩn kiến thức
kĩ năng để hệ thống câu hỏi trắc nghiệm, bám sát các dạng câu hỏi theo đề thi
minh họa và đề thử nghiệm môn Toán năm 2017 của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
Từ đó giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo
và hiểu sâu sắc hơn các kiến thức về hàm số trong chương trình lớp 12.
IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
- Kiến thức cơ bản và các dạng toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số.
- Các kĩ năng sử dụng máy tính cầm tay.
- Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm về giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm

số.
V. ĐỐI TƯỢNG VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU
Học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia của trường THPT Tùng Thiện
trong năm học 2016 -2017.
VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu các dạng toán về hàm số và đề thi minh họa, đề thử nghiệm môn
Toán năm 2017 của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
- Đưa ra trao đổi trước tổ, nhóm chuyên môn để tham khảo ý kiến và thực hiện.
- Kiểm tra, đánh giá chất lượng của học sinh.
- Dạy thực nghiệm trên lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia của trường THPT Tùng
Thiện năm học 2016 – 2017.
VII. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu về các dạng toán trắc nghiệm về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số, áp dụng trong quá trình ôn thi THPT Quốc Gia cho học sinh
lớp 12 của trường THPT Tùng Thiện.
VIII. ĐIỀU TRA CƠ BẢN BAN ĐẦU
Khi chưa thực hiện đề tài thì thực tế là hầu hết học sinh đều quen cách tư
duy theo kiểu thi tự luận và chưa có kĩ năng làm bài trắc nghiệm nên hiệu quả
chưa cao, nhiều em không hoàn thành hết bài kiểm tra theo thời gian quy định.
Cụ thể qua khảo sát một bài kiểm tra 45 phút với 25 câu hỏi trắc nghiệm về giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số kết quả làm bài của học sinh như sau:
Giỏi( 8đ – 10đ) Khá(6,5đ – 7,9đ) Trung bình(5đ – 6,4đ) Yếu(dưới 5đ)
TS
TS
TS
Lớp Tổng số học sinh TS
%
%
%
%

12A7 43
1
10
30
2
2,3
23,3
69,8
4,6
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Trong quá trình dạy ôn thi THPT Quốc gia cho học sinh lớp 12, sáng kiến
kinh nghiệm này được áp dụng để dạy cho học sinh theo chủ đề giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Giáo viên tiến hành dạy từ việc hệ thống kiến
thức cơ bản học sinh cần nắm vững đến hệ thống câu hỏi trắc nghiệm. Trong hệ
1


thống các câu hỏi trắc nghiệm thì xuất phát là các câu hỏi trong đề thi minh họa
và đề thi thử nghiệm môn Toán của Bộ Giáo dục và Đào tạo năm 2016 - 2017
sau đó đến các câu hỏi chọn lọc giúp học sinh rèn luyện kiến thức kĩ năng của
chủ đề. Từ đó giúp học sinh có kiến thức vững vàng và tạo cho các em phản xạ
nhanh, có kĩ năng để có thể giải quyết tốt các bài tập trắc nghiệm về giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN HỌC SINH CẦN NẮM VỮNG.
1. Định nghĩa:
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên miền D (D  R).
 f ( x)  M , x  D
x0  D : f ( x0 )  M

a) M  max f ( x)  

D

 f ( x)  m, x  D
x0  D : f ( x0 )  m

b) m  min f ( x)  
D

2. Tính chất:
a) Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên [a; b] thì max f ( x)  f (b), min f ( x)  f (a) .
[ a;b]

[ a;b]

b) Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên [a; b] thì max f ( x)  f (a), min f ( x)  f (b) .
[ a;b]

[ a;b]

3. Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hoặc
trên tập xác định chứa các khoảng của hàm số y = f(x)
 Tính f (x). Tìm các nghiệm của f’(x) (nếu có) và các điểm f’(x) không xác
định.
 Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên.
 Dựa vào bảng biến thiên để kết luận về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số y = f(x)
Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) liên tục trên
một đoạn [a; b].
 Tính f (x).

 Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2, …, xn trên [a; b]
(nếu có).
 Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).
 So sánh các giá trị vừa tính và kết luận.
M  max f ( x)  max  f (a), f (b), f ( x1), f ( x2 ),..., f ( xn )
[ a;b]

m  min f ( x)  min f (a), f (b), f ( x1), f ( x2 ),..., f ( xn )
[ a;b]

4. Bài toán thực tế liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
số :
+ Bước 1: Đặt một đại lượng cần tìm theo ẩn x, nêu điều kiện đúng của x
theo đề bài ( giả sử là: x  D )
2


+ Bước 2: Biểu thị một số đại lượng cần thiết theo ẩn x
+ Bước 3: Biểu thị đại lượng cần tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất
theo ẩn x: Được một hàm số y = f(x) với x  D
+ Bước 4: Sử dụng đạo hàm hoặc bất đẳng thức để tìm max f ( x) hoặc
D

min f ( x) .
D

5. Bất đẳng thức Cô-si
Cho a1, a2, ..., an là các số không âm. Khi đó ta có:
a1  a 2  ...  a n n
 a1a 2 ...a n

n

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a1 = a2 = ... = an
PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
* Các câu hỏi trong đề thi minh họa và đề thử nghiệm năm 2017 của Bộ
Giáo dục và Đào tạo:
x2  3
Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y 
trên đoạn [2; 4].
x 1

B. min y  2.
2; 4

A. min y  6.
2; 4








C. min y  3.
2; 4




D. min y 
2; 4




19
.
3

Đáp án: A
Lời giải tóm tắt
x 3
liên tục trên [2; 4]
x 1
 x  1  2; 4
x2  3
x2  2 x  3
y
 y' 

0


2
x 1
 x  1
 x  3   2; 4
19
y  2  7; y  4  ; y  3  6  min y  6.

2; 4
3

Hàm số y 

2

Câu 2: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của
tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm),
rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm
x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
A. x = 6.
B. x = 3.
C. x = 2.
D. x = 4.

Đáp án: C
3


Lời giải tóm tắt
Cách 1:
Cái hộp không nắp có 3 kích thước là 12 – 2x; 12 – 2x; x nên có thể tích
V  f  x   12  2x  .x  4x3  48x2  144x  0  x  6
2

x  6
f '  x   12x2  96x  144  0  
x  2

Ta có bảng biến thiên :

x

2

0

+

y’

6

0

-

-

0

128
y
0

0

 max f  x   128  x  2
 0;6

Cách 2: Cái hộp không nắp có 3 kích thước là 12 – 2x; 12 – 2x; x nên có thể
2
tích V  f  x   12  2x  .x  0  x  6
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
3

1
1  12  2x  12  2x  4x 
f  x   12  2x  .x  . 12  2x 12  2x  .4x  . 
  128
4
4 
3

2

Dấu “ = ” xảy ra  12 – 2x = 4x  x = 2
 max f  x   128  x  2
 0;6

1
2

Câu 3: Một vật chuyển động theo quy luật s   t 3 +9t 2 , với t (giây) là khoảng
thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi
được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu
chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu ?
A. 216 (m/s).
B. 30 (m/s).

C. 400 (m/s).
D. 54 (m/s).
Đáp án: D
Lời giải tóm tắt
3
2

Vận tốc của vật đạt được tại thời điểm t giây là: v  s '(t )   t 2 +18t  f  t 
f '(t )  3t  18  0  t  6  0;10

Ta có: f  0  0; f  6  54; f 10  30  max f  t   54  f  6
0;10

4


Câu 4: Xét các số thực a, b thỏa mãn a  b  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của
a
biểu thức P  log 2a  a 2   3logb  
b

A. Pmin  19
Đáp án: D

B. Pmin

b
 13

C. Pmin  14

D. Pmin  15

Lời giải tóm tắt
P

1
a

 log a 2 
b


 3  log b a  1 

2

4

1  loga b 

2

 3  log b a  1

Đăng ký mua file

word trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Đặt t  loga b do a  b  1 nên 0  t  1
P

4

1  t 

3
 3
t

2

Xét f  t  
f ' t  

4

1  t 

2

3
  3 , t   0;1
t

3t 3  t 2  9t  3

1  t 

3

t

2

1
 0  t    0;1
3

1
Ta thấy giá trị nhỏ nhất của f(t) là f    15
3
 

* Các câu hỏi luyện tập kiến thức, kĩ năng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số
Câu 5: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x)   x4  2x2  3 trên
đoạn [-2;0] là:
A. max f ( x)  2 tại x = -1; min f ( x)  11 tại x = -2
 2;0

 2;0

B. max f ( x)  2 tại x = -2; min f ( x)  11 tại x = -1
 2;0

 2;0

C. max f ( x)  2 tại x = -1; min f ( x)  3 tại x = 0
 2;0

 2;0

D. max f ( x)  3 tại x = 0; min f ( x)  11 tại x = -2
 2;0

 2;0

Đáp án: A
Lời giải tóm tắt
Hàm số y = f(x) liên tục trên [-2; 0]

5


 x  0   2; 0

f '  x   4x3  4x  0   x  1  2; 0

 x  1  2; 0

f(-2) = -11; f(-1) = -2; f(0) = -3
 max f ( x)  2 tại x = -1; min f ( x)  11 tại x = -2
[ 2;0]
[ 2;0]

x3

trên đoạn [2;5]
2x  3
8
y  5
C. min y 
D. min
[2;5]
[2;5]
7

Câu 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y 
y6
A. min
[2;5]

y 5
B. min
[2;5]

Đáp án: C
Lời giải tóm tắt

Hàm số y 
y' 

9

 2 x  3

x3

liên tục trên [2; 5]
2x  3

2

 0, x   2;5  min y  y  5 
[2;5]

Câu 7: Cho hàm số f ( x)  x 

1
x

8
7

. Trên khoảng (0; ) , hàm số f ( x) :

A. Có giá trị nhỏ nhất bằng 2 và không có giá trị lớn nhất.
B. Có giá trị nhỏ nhất bằng 2 và có giá trị lớn nhất bằng 2.
C. Không có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất bằng 2.
D. Không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất.
Đáp án: A
Lời giải tóm tắt

f ( x)  x 

x

 x  1  0;  

1
1 x 1
 f ' x  1 2  2  0  
x
x
x
 x  1  0;  
2

1

0

-

f’(x)

0



+




f(x)
2
 Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 2 và không có giá trị lớn nhất.

Câu 8: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y   x2  2 x .
A. 0
B. 1
C. 2

D. 3
6


Đáp án: B
Lời giải tóm tắt
Tập xác định: [0; 2]; Hàm số liên tục trên [0; 2]
y' 

x 1

 x2  2x

 0  x  1 0; 2

y  0  y  2  0; y 1  1  max y  y 1  1
0;2

Câu 9: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f  x  

B. min
f (x ) = 2 2; max
f (x ) = 3
é ù
é ù

A. min
f (x ) = 2; max
f (x ) = 6
é ù
é ù
êë2;4ú
û

êë2;4ú
û

êë2;4ú
û

C. min
f (x ) = 2; max
f (x ) =
é ù
é ù
êë2;4ú
û

êë2;4ú
û

x2  2 x  3
trên đoạn [2;4] là:
x 1

11
3

êë2;4ú
û

D. min f  x   2 2; max f  x  
2;4

2;4

11
3

Đáp án: D
Lời giải tóm tắt
Hàm số f(x) liên tục trên [2; 4]

 x  1  2   2; 4


0

2
 x  1  2   2; 4
 x  1
11
11
f 1 2  2 2; f  2  3; f  4   min f  x   2 2; max f  x  
3

3
2;4
2;4
f ' x 



x2  2 x 1



Câu 10: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  16  x2 là:
A. 5
B. 5 2
C.  4

D. 4 2

Đáp án: D
Lời giải tóm tắt
Tập xác định: D  4; 4 ; hàm số f(x) liên tục trên [- 4; 4]
y '  1



x
16  x2





16  x2  x
16  x2


x  0
 0  16  x2   x  
 x  2 2
2
2

16  x  x





f 2 2  4 2; f  4  4; f  4  4  min f  x   f 2 2  4 2
4;4

Câu 11: Cho hàm số y  cos x  1  cos2 x có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ
nhất là m. Tính M  m
A. 1  2

B. 2

C. 2 1

D.

2
1
2

Đáp án: C
Lời giải tóm tắt
Đặt t  cos x [ 1;1] , khi đó f (t)  t  1  t 2  f '(t)  1 

t
1 t

2

;f '(t)  0  t 

1
2

7


 1 
  2 suy ra
 2

Tính các giá trị f (1)  1, f (1)  1, f 


M  2

 M  m  2 1

m

0



Câu 12: Giá trị lớn nhất của hàm số y  cos4 x  sin2 x  2 bằng
A.

11
4

B. 3

C. 5

D.

13
2

Đáp án: B
Lời giải tóm tắt
Đặt t  sin 2 x, t  0;1 Đăng

ký mua file word trọn bộ
chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ

Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Hàm số f(t) liên tục trên  0;1
f  t   t 2  t  3  f '  t   2t  1  0  t 

1
2

 1  11
f  0   3;f    ;f 1  3  max f  t   3
0;1
2 4
mx  1
Câu 13: Cho hàm số f ( x) 
Giá trị lớn nhất của hàm số trên [1;2] bằng
xm

-2. Khi đó giá trị m là:
A. m =1
B. m = 2

C. m = 3

D. m=4

Đáp án: C
Tập xác định: R \ m
f ( x) 

Lời giải tóm tắt

m  x  m   mx  1 m2  1
mx  1
 f ' x 

 0, x  m  hàm số nghịch biến
2
2
xm
 x  m
 x  m

trên [1; 2]
 f  2  f  x   f 1 , x  1;2  max f  x   f 1 
1;2

m 1
 2  m  3
1 m

Câu 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số f ( x) 

mx  5
xm

có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;1] bằng -7
A. m  1

B. m  2

C. m  0

D. m 

5
7

8


Đáp án: B
Lời giải tóm tắt

Tập xác định: R \ m
f ( x) 

m  x  m   mx  5 m2  5
mx  5
 f ' x 

 0, x  m  hàm số nghịch
2
2
xm
 x  m
 x  m

biến trên [0; 1]

 f 1  f  x   f  0 , x  0;1  min f  x   f 1 
0;1

m 5
 7  m  2
1 m

Câu 15 : Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không
nắp có thể tích bằng

500 3
m . Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều
3

rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 500.000 đồng/m2. Khi đó, kích thước của
hồ nước sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất là:
5
m
6
10
B. Chiều dài 30m chiều rộng 15m chiều cao
m
27
10
C. Chiều dài 10m chiều rộng 5m chiều cao
m
3

A. Chiều dài 20m chiều rộng 10m chiều cao

D. Một đáp án khác.
Đáp án: C
Lời giải tóm tắt
Gọi x; y;z lần lượt là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của hồ nước
 x  2y
 x  2y


Theo đề bài ta có : 
250 ( x; y;z >0)
500  
z

V

xyz



3y 2
3

500
Diện tích xây dựng hồ nước là : S  2y 2 
y

Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng hồ nước nhỏ nhất
500
250 250
250 250

 2y 2 

 3 3 2y2 .
.
 150
y
y
y
y
y
250
 y5
 minS  150 đạt được khi 2y 2 
y
10
Suy ra kích thước của hồ là x  10m; y  5m;z  m
3
S  2y2 

Câu 16: Một hộp không nắp được làm từ một mảnh cáctông như hình bên dưới.
Hộp có đáy là một hình vuông cạnh x ( cm ), đường cao là h( cm ) và có thể tích là
500 cm3 . Tìm giá trị của x sao diện tích của mảnh cáctông là nhỏ nhất.

9


h
h

x

x
h

h

B. x  10

A. x  5

D. x  20

C. x  15

Đáp án: B
Lời giải tóm tắt
V  x 2 .h  500  h 

500
x2

Gọi S ( x) là diện tích của mảnh các tông S ( x)  x 2  4 xh  x 2 
S ( x) 

2000
;x  0.
x

2( x3  1000)
; S ( x)  0  x  10

x2

Lập bảng biến thiên:
x

0

S ( x)
S ( x)

–





10
0

+



300

Dựa vào bảng biến thiên diện tích của mảnh cáctông nhỏ nhất tại điểm x  10 .
Câu 17: Một sợi dây có chiều dài là 6m , được chia thành 2 đoạn. Đoạn thứ nhất
được uốn thành hình tam giác đều, đoạn thứ hai được uốn thành hình vuông. Hỏi
độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để diện tích 2 hình thu được
là nhỏ nhất

A.

18
94 3

m

B.

36 3
4 3

m

C.

12
4 3

m

D.

18 3
4 3

m

Đáp án: A
Lời giải tóm tắt

Gọi cạnh của tam giác đề là x (0 < x < 2)
 Cạnh của hình vuông là

6  3x
4

 Tổng diện tích của tam giác đều và hình vuông là:

10






2
4 3  9 x2  36x  36
x2 3  6  3x 
S( x) 

 
4
16
 4 

s'  x  





2 4 3  9 x  36
16

 0 x

18
4 39

Ta có bảng biến thiên:
x

0

S ( x)
S ( x)

2

18
4 39

–

0

+

S(0)

S(2)

MinS(x)
 S(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi x =

18
4 39

Câu 18: Khi sản xuất vỏ lon sữa Ông Thọ hình trụ, nhà sản xuất luôn đặt tiêu
chí sao cho chi phí sản xuất vỏ lon là nhỏ nhất, tức nguyên liệu được dùng là ít
nhất. Hỏi khi đó diện tích toàn phần của vỏ lon sữa là bao nhiêu khi nhà sản xuất
muốn thể tích của hộp là V cm 3
A. S tp  33

V 2
4

B. S tp  63

V 2
4

C. S tp  3

V 2
4

D. S tp  6

V 2

4

Đáp án: B
Lời giải tóm tắt
Gọi bán kính đáy của lon sữa là x cm (x > 0), chiều cao của lon sữa là h
Khi đó V =  x2h  h =

V
 x2

 diện tích toàn phần của vỏ lon sữa là: S x   2 x2  2 x.h  2 x2 

2V
x

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
2V
V V
V2
3
2
2
3
S x   2 x 
 2 x    3 2 V  6
x
x x
4
2

Dấu “=” xảy ra  2 x2 

V
V
V2
 x 3
 min S x   6 3
.
x
2
4

Câu 19: Có một cái hồ hình chữ nhật rộng 50m, dài 200m. Một vận động viên
chạy phối hợp với bơi (bắt buộc cả hai) cần đi từ góc này qua góc đối diện bằng
cách cả chạy và bơi (đường mầu đỏ) như hình vẽ. Hỏi rằng sau khi chạy được
bao xa (quãng đường x) thì nên nhảy xuống bơi để đến đích nhanh nhất? Biết
rằng vận tốc bơi là 1,5 m/s, vận tốc chạy là 4,5 m/s
A. x  182,3m
B. x  152,3m
C. x  183,3m
D. x  197,5m

11


Đáp án: A
Lời giải tóm tắt
Thời gian vận động viên đó chạy quãng đường x là:
Quãng đường vận động viên đó bơi là:

 200  x

2

x
2x
(giây)

4,5 9

 502

 Thời gian vận động viên đó chạy và bơi là:

2x
f  x 

9
f '  x 

 200  x

2

 502

1,5
2  x  200



2x 2 x2  400x  42500

9
3

2

 0  x2  400x  42500  600  3x
2
9 3 x  400x  42500

400  1250
 x  200
 2
 x
 182,3
2

8x  3200x  317500  0

Ta có bảng biến thiên :
x
f '( x)
f ( x)

400  1250
2

0

–

0

f(0)

200
+
f(200)

Minf(x)
 f(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi x  182,3m

Câu 20: Một đoàn cứu trợ lũ lụt đang ở vị trí A của tỉnh Quảng Bình muốn tiếp
cận vị trí C để tiếp tế lương thực và thuốc phải đi theo con đường từ A đến B và
từ B đến C (như hình vẽ). Tuy nhiên do nước ngập con đường từ A đến B nên
đoàn cứu trợ không thể đi đến C bằng xe, nhưng đoàn cứu trợ có thể chèo
thuyền từ A đến vị trí D với vận tốc 4km/h rồi đi bộ trên đoạn đường từ D đến C
với vận tốc 6km/h. Biết A cách B một khoảng 5km, B cách C một khoảng 7km.
Xác định vị trí điểm D để đoàn cứu trợ đi đến xã C nhanh nhất.
A. BD  5 km
B. BD  4 km
C. BD  2 5 km
D. BD  2 2 km

12


A

5 km

B

C

D
7 km

Đáp án: C
Lời giải tóm tắt
Gọi BD  x(km) , 0  x  7  AD  25  x 2 , CD  7  x
25  x 2 7  x

Thời gian đi từ A đến D và từ D đến C là: T ( x) 
4
6
T '  x 

x
4 25  x2




1
x  0
 0  2 x2  25  3x   2
 x2 5

6

 x  20

Ta có bảng biến thiên :
x
T '( x)
T ( x)

0

7

2 5

–

0

+

T(0)

T(7)

MinT(x)
Hàm số T đạt giá trị nhỏ nhất tại x  2 5
Câu 21: Một công ty muốn thiết kế bao bì để đựng sữa với thể tích 1dm 3 . Bao bì
được thiết kế bởi một trong hai mô hình sau: dạng hình hộp chữ nhật có đáy là
hình vuông hoặc dạng hình trụ và được sản xuất cùng một nguyên vật liệu. Hỏi

thiết kế theo mô hình nào sẽ tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất? Và thiết kế mô
hình đó theo kích thước như thế nào?
A. Hình trụ và chiều cao bằng bán kính đáy
B. Hình trụ và chiều cao bằng đường kính đáy
C. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy
D. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên bằng cạnh đáy
Đáp án: B
Lời giải tóm tắt
- Xét mô hình hình hộp chữ nhật, đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao h.
V 1 = a 2h = 1
Ta
có:
và
diện
tích
xung
quanh
3

S 1 = 2a 2 + 4ah = 2a 2 + 2ah + 2ah ³ 3. 2a 2.2ah.2ah = 6 .

Dấu “=” xảy ra khi a = h
- Xét mô hình hình trụ có bán kính đáy là r và chiều cao là h .
13


Ta có V 2 = pr 2h = 1 và diện tích xung quanh
3

S 2 = 2pr 2 + 2prh = 2pr 2 + prh + prh ³ 3 2p 3r 4h 2 = 3 3 2p < 6 .

Dấu “=” xảy ra khi h = 2r
 Đáp án: B
Câu 22: Một công ty cần xây một nhà kho hình chữ nhật có diện tích mặt sàn là
648(m2) và chiều cao cố định. Người ta cần xây các bức tường xung quanh và
bên trong để ngăn nhà kho thành 3 phòng hình chữ nhật có kích thước như nhau.
Giá mỗi mét tường là 600.000 (VNĐ). Vậy cần phải xây các phòng theo kích
thước nào để tiết kiệm chi phí nhất?
A. Theo kích thước 12 18
B. Theo kích thước 9  24
C. Theo kích thước 8  27
D. Theo kích thước 3  72
Đáp án: AĐăng

ký mua file word trọn bộ chuyên
đề khối 10,11,12:

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Lời giải tóm tắt
x

x

x

Gọi kích thước thứ nhất của một phòng là x (m) (x > 0) thì kích thước thứ hai
của phòng đó là:

648
(m).
3x

Do chiều cao của các bức tường cố định nên để xây các bức tường với chi phí
thấp nhất thì cần tổng chiều dài các bức tường nhỏ nhất.
Tổng chiều dài của các bức tường cần xây là:
f  x 

648
864
864
.4  6x 
 6x  2
.6x  144
3x
x
x
864
 6x  x  12  Đáp án: A
Dấu “=” xảy ra 
x

14


Câu 23: Người ta muốn xây một hồ chứa nước hình hộp chữ nhật có thể tích
bằng 100m3 , có chiều cao từ 1,5m đến 2m và chiều dài gấp đôi chiều rộng. Tính
diện tích xây tiết kiệm nhất (nghĩa là tổng diện tích đáy và diện tích xung quanh

nhỏ nhất)
A. 107 m2
B. 110 m2
C. 102 m2
D. 90 m2
Đáp án: B
Lời giải tóm tắt
Giả sử a, b, h theo thứ tự là chiều dài, chiều rộng, chiều cao.
a  2b
50

2
abh  100 suy ra 2b h  100  b 
h
h  1,5; 2



100
S  ab  2ah  2bh  2b2  4bh  2bh 
 6 50h  f  h 
h
100 15 2
f 'h   2 
 0, h  1,5; 2
h
h
Suy ra f(h) nghịch biến trên 1,5; 2  f  2   f  h   f 1, 5 

Do đó hmin

f  h   f  2   110 m2
1,5;2




Câu 24: Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên đất liền ở vị trí A
đến vị trí C trên một hòn đảo. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến đất liền là
BC=1km, khoảng cách từ A đến B là 4km. Người ta chọn một vị trí là điểm S
nằm giữa A và B để mắc đường dây điện đi từ A đến S, rồi từ S đến C như hình
vẽ dưới đây. Chi phí mỗi km dây điện trên đất liền mất 3000USD, mỗi km dây
điện đặt ngầm dưới biển mất 5000USD. Hỏi điểm S phải cách A bao nhiêu km
để chi phí mắc đường dây điện là ít nhất.

A. 3, 25km

B. 1, 25km

C. 2, 25km

D. 1,5km

Đáp án: A
Lời giải tóm tắt

Giả sử AS  x  0  x  4  BS  4  x

Khi đó tổng chi phí mắc đường dây điện là: T  x   3000x  5000 1   4  x  . Ta
có:
2

15


T '  x   3000  5000.

4  x
1 4  x

 0  3 1  4  x   5 4  x    x  4
2

2

2

13

x   TM 

9
4
 
16
 x  19  loaïi 

4

 Bảng biến thiên:

x
T’(x)
T(x)

0
-

3,25
0

4
+

minT(x)
Câu 25: Ông An cần sản xuất một cái thang để trèo qua một bức tường nhà.
Ông muốn có một cái thang luôn được đặt đi qua vị trí C, biết rằng điểm C cao
2m so với nền nhà và điểm C cách tường nhà 1m (như hình vẽ bên). Giả sử kinh
phí để sản xuất thang là 400.000 đồng/1 mét dài. Hỏi ông An cần ít nhất bao
nhiêu tiền để sản xuất 1 cái thang? (kết quả làm tròn đến hàng nghìn đồng)

A. 1.400.000 đồng B. 800.000 đồng C. 2.160.000 đồng D. 1.665.000 đồng
Đáp án: D
Lời giải tóm tắt

Đặt   ·ACx khi đó AC 

2 ·
; BCy  90o  
cos 

16


Do đó BC 

Ta có: f '  α  
 tan α 

3



1
1
2
1

 AB 

 f  α  α   0; 90 o 
o
cos α sin α
cos  90  α  sin α



2 sin α cos α
 2  0  2 sin 3 α  cos3 α
2
cos α sin α

1
 α  0, 67  min AB  4, 162
2

 Số tiền ít nhất để sản xuất 1 cái thang là: T  min AB.400000  1665000

Câu 26: Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng một hầm biogas với thể tích
12 m3 để chứa chất thải chăn nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có
dạng hình hộp chữ nhật có chiều sâu gấp rưỡi chiều rộng. Hãy xác định các kích
thước đáy (dài, rộng) của hầm biogas để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất
(không tính đến bề dày của thành bể). Ta có kích thước (dài; rộng – tính theo
đơn vị m, làm tròn đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy) phù hợp yêu cầu là:
A. Dài 2,42m và rộng 1,82m
B. Dài 2,74m và rộng 1,71m
C. Dài 2,26m và rộng 1,88m
D. Dài 2,19m và rộng 1,91m
Đáp án: C
Lời giải tóm tắt
Gọi chiều sâu và chiều rộng của bể lần lượt là 3x và 2x (m)
Chiều dài của bể là

12
2
 2  m
2 x.3x x

Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của bể phải nhỏ nhất.
Ta có
2

2
10 
5 5



Stp  2  2 x.3x  2 x. 2  3x. 2   2  6 x 2    2  6 x 2     6 3 150
x
x 
x
x x



5
5
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 6 x 2   x  3
x
6
2
Khi đó chiều rộng và chiều dài của bể lần lượt là 2 x  1,88m; 2  2, 26m
x

Câu 27: Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ (như hình vẽ) có thể tích V
nhất định. Biết rằng giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và
đắt gấp 3 lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh của thùng (chi phí cho
mỗi đơn vị diện tích). Gọi chiều cao của thùng là h và bán kính đáy là r. Tính tỉ
số

h

sao cho chi phí vật liệu sản xuất thùng là nhỏ nhất?
r

17


A.

h
 2.
r

B.

h
 3 2.
r

C.

h
 2.
r

D.

h
 6.
r

Đáp án: D
Lời giải tóm tắt
Ta có: V  r 2 h  h 

V
r 2

Ta có: Sxq  2rh  Chi phí sản xuất mặt xung quanh của thùng là: 2rh.n (đồng)
Tổng diện tích đáy và nắp là: 2r 2  Chi phí sản xuất đáy và nắp là:
3n.2r 2  6n.r 2 (đồng)
Chi phí để sản xuất thùng là:
V
V

 V

2rnh  6r 2 n  2n  hr  3r 2   2n   3r 2   2n 

 3r 2 
 r

 2r 2r


V V
3V 2
2
3
 2n
.

.3r  2n
2r 2r
4 2
V
h
 3r 2  V  6r 3  r 2 h  6r 3   6.
Chi phí thấp nhất khi
2r
r
3

Câu 28: Người ta thiết kế một bể cá bằng kính không có nắp với thể tích 72 dm3
và có chiều cao bằng 3 dm. Một vách ngăn (cùng bằng kính) ở giữa, chia bể cá
thành hai ngăn, với các kích thước a, b (đơn vị dm) như hình vẽ
Tính a, b để bể cá tốn ít nguyên liệu nhất (tính cả tấm kính ở giữa), coi bể dày
các tấm kính như nhau và không ảnh hưởng đến thể tích của bể.

18


A. a  24, b  21

B. a  3, b  8

C. a  3 2, b  4 2

D. a  4, b  6

Đáp án: D
Lời giải tóm tắt Đăng

ký mua file word trọn bộ
chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ

Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
+ Ta có: V  ab.3  72 . Suy ra ab  24
+ S  3a.3  3b.2  ab  9a  6b  24  2 9a.6b  24  2. 54.ab  24  96
Dấu “=” xảy ra  9a  6b . Mà ab  24 , a > 0, b > 0 nên a  4; b  6 .
Câu 29: Nhà Văn hóa Thanh niên của thành phố X muốn trang trí đèn dây led
gần cổng để đón xuân Đinh Dậu 2017 nên đã nhờ bạn Na đến giúp. Ban giám
đốc Nhà Văn hóa Thanh niên chỉ cho bạn Na biết chỗ chuẩn bị trang trí đã có hai
trụ đèn cao áp mạ kẽm đặt cố định ở vị trí A và B có độ cao lần lượt là 10m và
30m, khoảng cách giữa hai trụ đèn 24m và cũng yêu cầu bạn Na chọn một cái
chốt ở vị trí M trên mặt đất nằm giữa hai chân trụ đèn để giăng đèn dây Led nối
đến hai đỉnh C và D của trụ đèn (như hình vẽ). Hỏi bạn Na phải đặt chốt ở vị trí
cách trụ đèn B trên mặt đất là bao nhiêu để tổng độ dài của hai sợi dây đèn led
ngắn nhất.
A. 20m.

B. 6m.

C. 18m.

D. 12m.
D

30

C
10

A

M

B

19


Đáp án: C.
Lời giải tóm tắt
D

30

C
10
A

B

M

E

Gọi E là điểm đối xứng của C qua AB .

Gọi M  DE  AB , khi đó bạn Na đặt chốt ở vị trí M thì tổng độ dài hai sợi dây
đèn led ngắn nhất.
Ta có

AE MA 1

  MB  3MA ,mà MB  MA  AB  24 , suy ra MA  6 và MB  18
BD MB 3

Câu 30: Cho miếng tôn tròn tâm O bán kính R. Cắt miếng tôn hình quạt OAB
và gò phần còn lại thành một hình nón đỉnh O không đáy (AO trùng với OB).
Gọi S, S’ lần lượt là diện tích của miếng tôn hình tròn ban đầu và diện tích của
miếng tôn sau khi đã cắt miếng tôn hình quạt OAB. Tìm tỉ số

S'
để thể tích khối
S

nón lớn nhất.

A.

1
4

6
3

B.

C.

2
3

D.

1
3

Đáp án: B
Lời giải tóm tắt
·
Gọi góc AOB
 α rad suy ra độ dài dây cung AB là LAB  α.R

Nên độ dài dây cung còn lại là Lc  2πR  αR  R  2π  α  là chu vi của đường tròn
đáy của hình nón.
Bán kính đường tròn đáy hình nón là
R  2π  α 
1
1
 2π  α 
R0 
 V  π.R 02 .h  π.R 2 . 
 .h
2π
3
3
 2π 

2

 R  2π  α  
 2π  α 
Mặt khác h  OA  R  R  
  R 1 

2π
 2π 


2

2

2
0

2

2

20


1
1
2π  α 
 2π  α 
Khi đó V  π.R 02 .h  π.R 3. 

 1 
 .
3
3
 2π 
 2π 
2π  α R 0
Đặt t 
, xét f  t   t 2 . 1  t 2

2π
R
2

2

 6
6
 minf  t   f 

3
1 t2
 3 
Diện tích xung quanh của hình nón là S'  Sxq  πR 0R

Ta có f '  t  

2t  3t 3

; f 't   0  t 

Diện tích miếng tôn ban đầu là S  πR 2 suy ra

S' R 0
6


S R
3

C. KẾT QUẢ THU ĐƯỢC SAU KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI
Trong năm học 2016 – 2017, tôi đã vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này
vào các tiết dạy ôn tập cuối năm cho học sinh lớp 12 của trường THPT Tùng
Thiện và đã thu được những kết quả rất tích cực. Tôi nhận thấy các em đã giải
quyết tốt hơn và xử lí nhanh hơn các bài toán trắc nghiệm về giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của hàm số; các em đã tự tin hơn, không còn lúng túng khi gặp
những bài toán về chủ đề này; tạo cho các em niềm say mê học tập, hứng thú tìm
tòi các tài liệu trắc nghiệm về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
cũng như các chủ đề khác để hoàn thiện hơn; giúp cho nhiều học sinh ngày càng
yêu thích bộ môn Toán hơn.
D. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I. KẾT LUẬN
Qua một năm thực hiện đề tài, kết quả lớn nhất thu được là học sinh tự tin
hơn khi giải các bài toán trắc nghiệm về hàm số. Đặc biệt đề tài còn kích thích
được học sinh hứng thú tìm tòi thêm bài tập, say mê sáng tạo, phát huy tính tích
cực chủ động đồng thời rèn luyện kỹ năng giải toán, phát triển tư duy lôgíc cho
học sinh.
Đó chính là động lực thúc đẩy tôi tiếp tục đi sâu nghiên cứu các lĩnh vực
của khoa học phương pháp dạy học toán ở trường phổ thông nhằm trang bị cho
học sinh những tri thức khoa học và đạo đức cách mạng góp phần vào công cuộc

phát triển đất nước trong tương lai.
Do thời gian có hạn và kinh nghiệm còn nhiều hạn chế nên trong quá trình
hoàn thành sáng kiến khó tránh khỏi sai sót trong cách trình bày, cũng như hệ
thống các ví dụ và bài tập còn chưa phong phú, đa dạng, chưa đầy đủ và khoa
học. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và đồng nghiệp
để sáng kiến kinh nghiệm được hoàn thiện hơn, góp phần nâng cao chất lượng
dạy và học của cả thầy và trò trong nhà trường.
II. ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG
Như đã trình bày ở trên, sáng kiến kinh nghiệm này được áp dụng cho
những tiết bài tập ôn tập cuối năm lớp 12, cũng như ôn thi THPT Quốc Gia tạo
tiền đề vững chắc cho các em học sinh học tốt môn Toán ở bậc THPT.
Sáng kiến kinh nghiệm này vẫn còn cần thêm thời gian để hoàn thiện hơn
và sẽ tiếp tục được khai thác, nghiên cứu mở rộng sâu hơn về nội dung, hệ thống
câu hỏi trắc nghiệm và phương pháp giảng dạy.
21


III. KIẾN NGHỊ
- Đối với Hội Đồng Khoa Học cấp trường: Cần động viên, khuyến khích
Tổ, nhóm chuyên môn thường xuyên có những buổi sinh hoạt theo chuyên đề về
những vấn đề vướng mắc trong quá trình giảng dạy hoặc các chuyên đề quan
trọng mà giáo viên thấy tâm đắc và có nhiều ứng dụng trong giảng dạy đặc biệt
là về phương pháp dạy học.
- Đối với Hội Đồng Khoa Học cấp Sở: Cần tuyên dương những sáng kiến
kinh nghiệm đạt giải cao, có thể đưa lên trang web của Sở Giáo dục để giáo viên
các trường khác có thể tham khảo, học hỏi kinh nghiệm trong quá trình viết và
thực hiện sáng kiến của mình.
Tôi hy vọng sáng kiến kinh nghiệm này sẽ giúp nhiều học sinh tự tin hơn
với các bài toán trắc nghiệm về hàm số, có quyết tâm sưu tầm và chinh phục các
bài tập trắc nghiệm ôn thi THPT Quốc Gia, từ đó phát huy tính tích cực, chủ

động, sáng tạo của các em trong học tập môn Toán.
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn!
Sơn Tây, ngày 20 tháng 02 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.

ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

22