SKKN Ứng dụng tích phân và vận dụng giải bài toán thực tế.

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT THÁI HỊA

s¸ng kiÕn kinh nghiƯm
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ VẬN DỤNG GIẢI BÀI
TỐN THỰC TẾ

BỘ MƠN: TỐN
Người thực hiện:NGUYỄN THỊ HẰNG
Đơn vị cơng tác:TRƯỜNG THPT THÁI HỊA
Năm học: 2016-2017
Điện thoại: 0978494343


Phần I. Đặt vấn đề:
1. Lý do chọn đề tài:
Trong chương trình Tốn phổ thơng,Tích phân là một trong những phần
quan trọng của mơn Giải tích lớp 12. Các bài tốn tích phân nói chung và bài
tốn ứng dụng tích phân nói riêng rất đa dạng và phong phú, thường có mặt
trong các kì thi tốt nghiệp, thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng. Đây là năm đầu
tiên Bộ GD&ĐT triển khai hình thức thi trắc nghiệm đối với bộ mơn Tốn, vì
vậy những bài tập về ứng dụng tích phân và ứng dụng của nó vào bài tốn thực
tế gây khơng ít khó khăn cho học sinh dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào
khả năng của mình.
Chương trình giáo dục phổ thơng ban hành kèm theo Quyết định số
16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/6/2006 của Bộ trưởng Bộ GD&ĐT đã nêu: “Phát
huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc
trưng bộ môn, đặc điểm đối tượng học sinh , điều kiện của từng lớp học; bồi
dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kĩ năng
vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng
thú và trách nhiệm học tập của học sinh”.

Trong quá trình giảng dạy, ngồi việc khuyến khích học sinh tính tích cực,
chủ động và sáng tạo nắm chắc kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năng giải tốn thì
giáo viên phải là người khơi gợi học sinh vận dụng được các bài toán đó để giải
quyêt những vấn đề thực tiễn. Điều đó cũng phù hợp với mục tiêu dạy học tích
hợp trong nhà trường.
Từ những kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy khối 12 tơi xin đưa ra một số
bài tốn được áp dụng trong khi dạy chủ đề ứng dụng tích phân lớp 12 và ứng
dụng bài tốn đó vào bài tốn thực tế. Vì vậy tơi chọn đề tài là “Ứng dụng tích
phân và vận dụng giải bài tốn thực tế ”, nhằm giúp các em học sinh có kiến
thức sâu, rộng về ứng dụng tích phân; có thêm nhiều bài tập để rèn luyện kỹ
năng , giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo, vận dụng vào thực tiễn.
+Tính cấp thiết của đề tài : Ôn tập, bổ sung kiến thức cho học sinh 12 chuẩn
bị thi vào đại học, giải quyết vấn đề ứng dụng tích phân một cách dễ dàng.
+Tính mới của đề tài : bổ sung một số bài tốn ứng dụng tích phân vào bài
tốn thực tiễn.
2. Đối tượng nghiên cứu:
- Học sinh lớp 12 trường THPT Thái Hòa.
- Kiến thức về Nguyên hàm và Tích phân; Kỹ năng tìm Ngun hàm và
tính Tích phân.
- Các dạng toán cơ bản và nâng cao về ứng dụng tích phân.
- Một số bài tốn thực tế.
3. Phạm vi của đề tài:


Đề tài được nghiên cứu, thử nghiệm trong phạm vi lớp 12A3,12A1 trường
THPT Thái Hòa,vào các tiết tự chọn thuộc chủ đề Nguyên hàm-Tích phân- Ứng
dụng.
4. Phương pháp nghiên cứu:
a) Nghiên cứu tài liệu:
Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến đề tài:

- Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 Cơ bản và Nâng cao.
- Tài liệu tham khảo.
b) Điều tra:
- Thực dạy và kết quả kiểm tra:
Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tơi đã tiến hành thực dạy các lớp 12A1,
12A3.
+Năm học 2016-2017 : Lớp 12: thực nghiệm.
- Dự giờ: Thường xuyên dự giờ để biết được mức độ hiểu biết và khả
năng giải toán ứng dụng tích phân của học sinh và cách giải quyết vấn đề của
đồng nghiệp, từ đó để đánh giá chính xác kết quả phương pháp của mình.
- Đàm thoại:
+ Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh nghiệm và phương pháp dạy phù
hợp với phân môn.
+ Trao đổi với các em học sinh về các bài tốn ứng dụng tích phân mới để
biết được cách tìm ra hướng giải bài tốn của các em, nhất là tìm ra đáp án bài
tốn trắc nghiệm một cách nhanh nhất, từ đó có cách dạy tốt hơn.
c)Giả thuyết khoa học:
Nếu học sinh tìm ra được hướng giải quyết được bài tốn ứng dụng tích
phaanvaf vận dụng bài tốn đó để giải được những bài tốn thực tiễn thì các em
cảm thấy hăng say, tích cực, tự tin hơn. Ngoài ra học sinh thấy được sự vận dụng
của Tốn vào các mơn học khác, cũng như việc vận dụng Toán vào thực tiễn.
Phần II .

NỘI DUNG :

1.Cơ sở lí luận:
Phép tính tích phân là một phần quan trọng của giải tích tốn học. Những
người mới bất đầu làm quen với khái niệm tích phân thường gặp một số khó
khăn hoặc chưa hiểu một cách cặn kẽ tư tưởng cũng như phương pháp tiếp cận
của lí thuyết. Và đặc biệt là khâu vận dụng kiến thức vào giải các bà tốn thực

tế. Trong thực tế có rất nhiều mơ hình của tốn học cần đến sự can thiệp của
phép tính tích phân.
2. Cơ sở thực tiễn:


a) Thực trạng việc dạy của giáo viên:
Trước đây khi mơn Tốn vẫn thi theo hình thức tự luận thì việc dạy của
giáo viên về phần Tích phân và Ứng dụng đang dừng lại ở mức độ rèn luyện kĩ
năng giải tốn tích phân mà cịn xem nhẹ các dạng bài tập vận dụng phép tính
tích phân vào thực tiễn.
b) Thực trạng việc học của học sinh:
Nhiều học sinh khi học vấn đề này nhìn chung các em thường vận dụng
cơng thức một cách máy móc chưa có sự phân tích, thiếu tư duy thực tế và trực
quan nên các em hay bị nhầm lẫn, dẫn đến làm sai kết quả, đặc biệt là những bài
tốn cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới tính được. Thêm vào đó
trong sách giáo khoa có rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh
học tập và khắc phục “những sai lầm đó”.Càng khó khăn hơn cho những học
sinh có kĩ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế. Đa số học sinh chỉ biết giải các bài tập
tương tự với những bài mà mình đã giải rồi, và bế tắc khi gặp bài toán ứng dụng
tích phân mà viêc lấy phải vẽ hình hoặc vận dụng vào bài toán thực tế.
c)Sự cần thiết của đề tài:
Qua phân tích thực trạng việc học của học sinh và việc dạy của giáo viên,
tôi nhận thấy đề tài cần thiết đối với giáo viên trực tiếp giảng dạy nhằm giới
thiệu những kinh nghiệm và phương pháp phù hợp để nâng cao hiệu quả dạy
tích phân và ứng dụng tích phân cho học sinh lớp 12.
3. Nội dung vấn đề:
a)Vấn đề được đặt ra:
Hiện nay cách dạy mới là làm sao phát huy được tính tích cực, chủ động
và sáng tạo của học sinh trong học tập và rèn luyện. Để phát huy điều đó, chúng
ta cần phải đưa ra được những phương pháp dạy học hợp lí gần gũi với thực tiễn

nhằm tạo cho học sinh có hứng thú trong học tập cũng như thấy được tầm quan
trọng của kiến thức Toán học gắn liền với cuộc sống . Từ đó góp phần đem lại
kết quả trong học tập tốt hơn cho học sinh và hiệu quả giảng dạy cao hơn .
b)Sơ lược quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:
Để hồn thành đề tài, tơi đã tiến hành các bước sau: Chọn đề tài; Điều tra
thực trạng; Nghiên cứu đề tài; Xây dựng đề cương và lập kế hoạch;Tiến hành
nghiên cứu; Thống kê so sánh; Viết đề tài.
c) Nội dung của đề tài
- Nội của đề tài được nghiên cứu trên cơ sở lí thuyết và bài tập mà các
em đã được học trong chương trình THPT.
- Đề tài cho các em thấy được các bài toán tính tích phân và ứng dụng
được vận dụng để giải một số bài tập thực tế. Giúp cho học sinh tự phát hiện
và lĩnh hội kiến thức từ đó biết lựa chọn phương pháp thích hợp để giải tốn.
Nội dung đề tài gồm ba phần:


- Phần 1. Diện tích hình phẳng.
- Phần 2 . Thể tíh vật thể trịn xoay
- Phần 3. Ứng dụng tích phân trong bài tốn
thực tế.
PHẦN I: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
I)Ý nghĩa hình học của tích phân :
Cho y = f(x) liên tục và f(x) > 0 ∀x∈[a, b]. Thế thì diện tích
hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hsố y = f(x); trục Ox; đt x
b

= a và đt x = b là :S =

∫ f ( x)dx
a

*Hệ quả :Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

y

y = f(x), Ox, đường thẳng x = a; x = b là :

y=f(x)

b

S = ∫ | f (x) | dx

x

a
b

a

* Khử dấu GTTĐ: |f(x)| ;Ta làm 2 bước:
1)Giải pt: f(x)=0;Chọn các nghiệm (Nếu có) trên [a;b] l
x1;x2; x3;.…(a≤ x12) Chọn 1 trong 3 cach sau:
*Lập bảng xét dấu : f(x) trên [a;b] .
* Đưa dấu GTTĐ|f(x)| ra ngoài dấu Tích phân trên mỗi đoạn con tạo bởi 2
nghiệm liên tiếp xi;xi+1; vì f(x) chỉ nhận 1 dấu trên mỗi đoạn con này .
*Dùng đồ thị
Chú ý: Khó khăn nhất của việc tính diện tích hình phẳng là phải đưa về được
cơng thức lấy tích phân đúng, cịn kết quả tích phân đó học sinh có thể sử dụng

máy tính bỏ túi để tìm đáp số trong phần thi trắc nghiệm.
II)Diện tích hình phẳng:
1)Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong:
y = f(x); y = g(x) đều liên tục trên [a,b] và 2 đường thẳng
b

x = a, x = b là : S = ∫ | f (x) − g(x) | dx
a

y

y=
f(x)
x

b
c
* Khử dấu GTTĐ: |f(x)-g(x)| ;Ta làm 2 bước:
a
O
1)Giải pt: f(x)-g(x)=0;Chọn các nghiệm (Nếu có) trên
[a;b] là x1;x2; x3;.…
(a ≤ x12)Khử dấu GTTĐ: |f(x)-g(x)| bằng 1 trong 3 cách sau:
a) Lập bảng xét dấu : f(x)-g(x) trên [a;b] .
b) Đưa dấu GTTĐ|f(x)-g(x)| ra ngồi dấu Tích phân trên mỗi đoạn con tạo bởi 2
nghiệm liên tiếp xi;xi+1; vì f(x) – g(x) chỉ nhận 1 dấu trên mỗi đoạn con này .
c) Khử dấu GTTĐ |f(x)-g(x)| bằng đồ thị
2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong tự cắt khép kín :

(C1 ) : y = f ( x)
(C 2 ) : y = g ( x)

A) Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi : 

x = a

Bước 1: Giải phương trình : f(x) = g(x)  
x = b
b

∫

Bước 2: Sử dụng S =

f ( x ) − g ( x) dx

a

(C1 ) : y = f ( x)

B)Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi : (C 2 ) : y = g ( x)
(C ) : y = h( x )
 3

Bước 1: Giải phương trình tương giao  tìm hồnh độ giao điểm
+ f ( x) = g ( x ) ⇒ x = c
+ f ( x ) = h( x ) ⇒ x = b
+ h( x ) = g ( x ) ⇒ x = a

Bước 2: Sử dụng
c

b

a

c

S = ∫ ( f ( x) − h( x))dx + ∫ ( g ( x) − h( x))dx
C) Chú ý : Cần phải điền “đvdt” vào kết quả cuối cùng trong các bài tốn tính
diện tích hình phẳng.
III) BÀI TẬP MẪU:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
(P): y = f ( x) = 2 x 2 − 4 x − 6 , các đường thẳng
x = −2, x = 4 , và trục Ox .
Giải :
+ PTHĐGĐ của (P) và Ox là
 x = −1
2 x2 − 2 x − 4 = 0 ⇔ 
 x=2


Cách 1: Lập bảng xét dấu y = f ( x) = 2 x 2 − 4 x − 6 trên đoạn [– 2; 4]
x
-2
-1
3
4

f(x)
+
0
0
+
⇒S =

−1

3

4

−2

−1

3

∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx

(*)

Cách 2 : Vẽ đồ thị suy ra (*)
Cách 3: Vì trên mỗi đoạn con, f(x) chỉ nhận 1 dấu nên ta đưa dấu GTTĐ ra
ngồi dấu tích phân trên 3 đoạn con : [-2; -1]; [-1; 3]; [3; 4]
⇒S =

−1

3

−2

−1

4

∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
3

( P) : y = x − 3 x + 2

Bài 2 : Tính S: ( D) : y = x − 1
Oy : x = 0

2

Giải:
(P)∩Ox: x2 – 3x + 2 = 0  x = 1; x = 2
(P)∩(D): x2 – 3x + 2 = x – 1  x2 – 4x + 3 = 0
 x = 1; x = 3.
(D)∩Oy: x = 0 ⇒ y = - 1 ⇒ (0, -1)
(P) ∩Oy: x = 0 ⇒ y = 2 ⇒ (0, 2)
S = S1 + S2 =

28
(đvdt )
3

1

S1 = ∫  x 2 − 3 x + 2) − ( x − 1)  dx ,
0
3

S 2 = ∫  ( x − 1) − ( x 2 − 3x + 2)  dx
1

Nhận xét: Có thể sử dụng MTBT để tìm kết quả S = S1 + S2
Bài 3: Tính S: {(C): y2 + x – 5 = 0;
(D): x + y – 3 = 0}
Giải :
(C ) : y 2 + x − 5 = 0
(C ) : x − 5 − y 2


( D ) : x + y − 3 = 0
( D) : x = 3 − y

(C) ∩(D): 5 – y2 = 3 – y
 y = −1

x = 4

⇒
 y2 – y – 2 = 0  
y − 2
x = 1
(C) Ox: y = 0 ⇒ x = 5.

2

Cách 1: S =

∫ (5 − y

−1

2

) − (3 − y ) dy =


2

 y3 y2

8
  −1 1
 9
- ∫ ( y − y − 2)dy = −  − − 2 y  = −  − 2 − 4  +  − + 2  = (đvdt )
2
3
  3 2
 2
 3
 −1
−1
2

2

Cách 2 :

∫[
4

S=

1

]

5

5 − x − ( 3 − x ) dx + 2 ∫ 5 − x dx =
4

9
(đvdt)
2

Bài 4:
Tính S = {(P1): x2 = ay; (P2): y2 = ax} (a >
0)
 2 x4

x2
y =
y = 2

a ⇔
a ⇔
Giải : (P1) ∩(P2) : 
 y 2 = ax
 y 2 = ax


 x4
 x 4 = a 3 x
 x = 0, y = 0
 2 = ax
a
⇔ 2
⇔
 y = ax
 x = a, y = a
 y 2 = ax



x2 

dx =
ax
−
S= ∫ 
a 
0
a

a

2 a
x3 
2a 2 a 3 a 2


 3 x x − 3a  = 3 − 3a = 3 (đvdt )

0

Bài 5: Cho : {(P): y2 = 2x ; (C): x2 + y2 =
8}. (P) chia (C) thành 2 phần, tìm tỉ số
diện tích của 2 phần đó.
Giải:
Nhìn vào đồ thị ta có : S2 =
2
2

y2 
2
2
2 ∫  8 − y − dy = 2 ∫ 8 − y dy − ∫ y 2 dy =
2
0 
0
0
2

2

y3
4
2I −
= 2π +
3 0
3

Ta có: S1 + S2 = π(2 2 )2 = 8π
4

3

4
6π −
S
3 = 9π − 2
⇒ 1 =
4 2π + 2
S2
2π +
3

⇒ S1 = 8π -  2π +  = 6π -

4
(đvdt)
3

Bài 6: Tính S: {(P): y = |x2 – 4x + 3| ; (D): y = x + 3}

Giải :
x + 3 = x 2 − 4x + 3
 x 2 − 5x = 0
 x = 0; y = 3
(P) ∩ (D): 
⇔ 2
⇔
2
 x − 3 x + 6 = 0
 x = 5, y = 8
 x + 3 = − x + 4 x − 3


(P) ∩ Ox: y = 0 ⇒ x2 – 4x + 3 = 0
⇔ x = 1 hay x = 3
1

S1 = ∫ ( x + 3) − ( x 2 − 4 x + 3)  dx
0

3

S2 = ∫ ( x + 3) + ( x 2 − 4 x + 3)  dx
1
5

S3 = ∫ ( x + 3) − ( x 2 − 4 x + 3)  dx
0

S = S1 + S 2 + S3 =

109
(đvdt)
6

Nhận xét: Đối với những bài tập như
thế này, học sinh vẽ được đồ thị và
kết hợp việc sử dụng MTBT sẽ cho
kết quả nhanh và chính xác.

x

Bài 7: Diện tích hình trịn , hình elip :
a) Diện tích hình trịn : Trong hệ toạ độ Oxy cho đường trịn có phương
x + y 2 = R 2 ( R > 0) . Khi đó hình trịn đó có diện tích là : S = π R 2 .
2

Với y ≥ 0 ta có : y = R 2 − x 2 có đồ thị là nửa đường trịn phía trên trục
hồnh.
R

Và có diện tích : S =

∫

−R

R

R 2 − x 2 = 2∫ R 2 − x 2

0

R

2
2
Với S1 = ∫ R − x dx
0

Ta đặt : x = R sin tdt
π
2

π
2

0

0

S1 = ∫ R 2 − R 2 sin 2 t .R cos tdt = ∫ R 2 cos tdt

Do đó S = 2S1 = π .R 2


y
(P)

4

2
x

-2

-r

-1

O

1

2

r

3

-1

b) Diện tích của elip

x2 y2
Trong hệ toạ độ Oxy cho elíp có phương trình : 2 + 2 = 1 , 0 < b < a
a
b
y
4

b (P)

x
-a

-2

-1

O

1

2

r

a

-1
-b

a

b 2 2
a − x dx =a.bπ
a
0

Chứng minh tương tự ta có diện tích của elip là : S = 4 ∫

(đvdt)

.
BT Tương tự :
Bài 1 : Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x + 4 ,
trục hoành , các đường thẳng x = - 2 , x = 0 .
Bài 2:Tính diện tích hình phẳng g/ hạn bởi các đường : y = (e +1)x,
y = (1 + ex)x
Bài 6:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) :
y = – x2 + 4x và đt d : y = x
Bài 3 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi (P) :


y = x2 - 2x + 2, tiếp tuyến của nó tại M(3, 5) và trục tung .
Bài 4 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các nhánh của đường
(y - x)2 = x3 và đt x = 1
2
Bài 5 : Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x − 3 x + 2 ,
trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 3

Bài 6 : Tính diện tích của 2 phần hình trịn x2 + y2 = 8 bị phân chia bởi parabol
y2 = 2x .
Bài 7 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y = x 4 - 2x3 + x2 + 3 ; trục
hoành và 2 đường thẳng // với truc tung và đi qua các điểm cực tiểu của đường
cong trên .
Bài 8 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = x ;
y = x + Sin2x (0 ≤ x ≤ π).
Bài 9:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = Sin3x ; y = Cos3x,
x = 0 (0≤ x ≤ π/4)

Bài 10 :Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường cong y = 2 - x 2
và y3 = x2 .

PHẦN II: THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY
A.LÝ THUYẾT:
I)Thể tích của vật thể : Cắt 1 vật thể V bởi 2 mp (P) và (Q) vng góc với trục
Ox lần lượt tại x = a, x = b (a < b). Một mp tùy ý vng góc với Ox tại x (a ≤ x
≤ b) cắt V theo thiết diện có diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên đọan [a;
b].
Thể tích V của vật thể V giới hạn bởi hai mp (P) và (Q) được tính bởi cơng
b

thức : V = ∫ S(x)dx
a

II)Tính thể tích vật thể trịn xoay :
1)Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi 4 đồ thị :y = f(x) liên tục trên [a; b], x’Ox, 2
đường thẳng
x = a; x = b.Gọi (H) là hình trịn
y
xoay tạo thành khi quay (S) 1vịng
y
y= f(x)
d
quanh trục hoành.
x
a
b

b

b

⇒VH = π ∫ [f (x)] dx= π ∫ y dx
a

2

2

a

2)Gọi (S’) là hình phẳng giới hạn
bởi 4 đồ thị :

M(x, y)
x

M=(x,
y)
c


y = f(x) liên tục trên [a; b]  x = g(y) liên tục trên
[c, d] , y’Oy, 2 đường thẳng y = c; y = d . Gọi (H’ ) là hình trịn xoay tạo thành
d

d

c

c

khi quay (S’) 1 vòng quanh trục tung ⇒ VH’ = π ∫ [g(y)]2 dy = π ∫ x2dy
III)BÀI TẬP MẪU :
( P) : y = 2 x − x 2
Bài 1: Cho S: 
. Tìm Vx khi S quay quanh trục Ox và Vy khi S
Ox : y = 0

quay quanh trục Oy
Bài giải: (P) ∩Ox: 2x – x2 = 0 ⇔ x = 0; x = 2 ⇒V=
2

2

∫ ( 2 x − x ) dx = π ∫ ( 4 x
2 2

0

2

0

)

2

2

4
1
16
− 4 x 3 + x 4 dx = π  x 3 − x 4 + x 5  = π (đvdt )
5  0 15
3
1.5

1

y=f(x)

y=q(x)

0.5

-3

-2

-1

1

2

3

4

-0.5

y=g(x)

-1

a) (P): y = 2x – x2 ⇔ (x – 1)2 = 1 – y
⇒ Cung OA : x = 1 - 1 − y ; cung AB : x = 1 + 1 − y
-1.5

1

(

⇒ Vy = π ∫  1 + 1 − y
0
8π
= (1 − y ) 3 / 2
3

1

=
0

) − (1 −
2

1 − y ) dy = 4π ∫


1

2

-2

0

8π
(đvdt)
3

quay quanh trục Ox và Vy khi S quay quanh
trục Oy.
Giải:
a)Vx khi S quay quanh trục Ox:
(D1) ∩(D2): - 3x + 10 = 1 ⇔ x = 3
(P) ∩(D2): x2 = 1 ⇒ x = 1 > 0
-6

1 − y dy = π ∫ (1 − y )

1/ 2

6

d (1 − y )

0

5

( P ) : y = x 2 ( x > 0)

Bài 2: Cho S: ( D1 ) : y = −3x + 10 . Tìm Vx khi S
( D ) : y = 1
 2

-8

1

-4

4

D1

3

(P )
2

D2
1

-2

O

-1

-2

-3

2

4

6


(P) ∩(D1): x2 = - 3x + 10 ⇒ x = 2 > 0; y = 4.

[

2

]

3

 x5

 1 (−3 x + 10) 3

π
(

x
1
)
dx
+
π
(
−
3
x
+
10
)
−
1
dx


π
−
x
π
− x  =
Vx = ∫
= 
+  .
∫

3
 5

1
−3
2
1
2
31π
61π
− 6π =
(đvdt)
5
5
2

3

4

2

b)Vy khi S quay quanh trục Oy.
(P): y = x2 (x >0) ⇔ x =
 (10 − y ) 2
−
Vy = π ∫ 
9
1 
4

y ; (D1): y = -3x + 10 ⇔ x =

( )


π
y dy =
9

2

4

∫ ( y − 10)

2

1

10 − y
3
4

d ( y − 10) − π ∫ ydy =
1

4

 π ( y − 10 ) 3 π 2 
152π 15π 101π
 .
 =

−
=
−
y
9

27
2
54
3
2

1

Bài 3: Cho S là hình phẳng giới hạn bởi elip (E):

x2 y2
+
= 1 (0 < b < a)
a2 b2

a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox
b.Tìm Vy khi S quay quanh Oy
Giải:
x2 y2
y2
x2
b2 2
2
a) (E): 2 + 2 = 1 ⇔ 2 = 1 − 2 ⇔ y = 2 (a − x 2 ) ⇔

a
b
b
a
a
b
−b
a 2 − x 2 ; Cung CA: y =
a2 − x2 .
Cung BA: y =
a
a

Do các cung BA và CA đối xứng nhau qua Ox nên :
2

πb
b

Vx = π ∫  a 2 − x 2 ÷ dx = 2
a
a

−a 
a

2 a

∫(a

2

)

− x 2 dx

−a

a

π b2 
x3 
4πab 2
= 2  a2 x − ÷ =
(đvtt)
a 
3  −a
3
2

πa
a

Vy = π ∫  b2 − y 2 ÷ dy = 2
b
b

−b 
b

b

π 2a  2
y3 
4π ba 2
b
−
y
dy
b
y
−
=
=
(đvtt)
(
)

÷
∫
b2 
3  −b
3
−b

2 b

2

2

Bài 4: Cho S: {(P1): y = 4 – x2; (P2): y = x2 + 2}.Tình Vx khi S quay quanh
Ox.


5

Giải:
(P1) ∩(P2): 4 – x2 = x2 + 2 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ± 1.
1

[

⇒V = 2 π ∫ ( 4 − x
0

)

2 2

]

4
1


x3 
− ( x + 2) dx = 24π ∫ 1 − x dx = 243π  x −  = 16π (đvdt).
3 0


0
2

2

1

(

2

)

Bài 5: Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên khi cho hình trịn tâm I(2, 0) bán
2
kính R = 1 quay quanh trục Oy.
Giải
Y
2
2
Phương trình (I. R): ( x – 2) + y = 1
C
1
2
2
2
⇔ (x – 2) = 1 – y ⇔ x = 2 ± 1 − y
1

) (

(

)

2
2
⇒ Vy= 2π ∫  2 + 1 − y 2 − 2 − 1 − y 2 dy =
-6
-4
-2
0 

-8

A

I

O

B
2

X
4

1

16π ∫ 1 − y 2 dy

-1

0

Đặt y = Sint ⇒ dy = Costdt ⇒ Vy =
16π

π /2

∫

1 − Sin 2 t Costdt = 16π

π /2

∫ Cos tdt

-2

2

0

0

π /2

π /2

 1

= 8π ∫ (1 + Cos 2t )dt =  t + Sin2t  (đvdt)
 2
0
0

-3
12

Bài 6: Cho S: {(P):y=2x2; (D): y = 2x +4}. Tính Vx khi
-4
S quay quanh Ox
Giải : (C) ∩ (D): 2x2 = 2x + 4 ⇔ x2 – x + 2 = 0 ⇒ x = 1 ∨x = 2
-5
⇒ Vx = π ∫ [(2 x + 4) 2 − 4 x 4 ]dx =
2

 3π (2 x + 4) 3 4πx 5

−
2
5


8

6

4

2

−1

x
-20

10

2


288π
 =
(đvdt)
5
 −1

-15

-10

y = g(x )

-5

L3
-2

-4

L2
-6

Bài 7: Cho S:

12

10

-8



x3
(
C
)
:
y
=
; ( P) : y = x 2  . Tính Vx

3



y

8

khi S quanh quanh Ox.

6

Giải : PTHĐGĐ của (C) và (P) là

4

(P)
2

-5

O

(C)
-2

-4

-6

-8

-10

3

3

2 2

x
-10

2

5

-12

x = 0
x3
= x2 ⇔ 
3
x = 3

3
 x3 
 4 x6


π
(
x
)
dx
−

π
dx
=
π
Vx = ∫
∫0  3 
∫0  x − 9
0
3

10

15

20

-10


486π
dx =
(đvtt)
35


5


Bài 8: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị (C): y = xex ; (∆): y = x ;(d): x
=1.

a)Tính thể tích khối trịn xoay (H) tạo thành khi cho hình phẳng (H) quay 1
vịng quanh trục hồnh
b) Tính thể tích khối trịn xoay (T) tạo thành khi cho hình phẳng (H) quay 1
vịng quanh trục Tung.
1
1 x 2

2
π
(
xe
)
dx
−
x
dx
Giải : a) Thể tích khối trịn xoay (H) : V(H) =  ∫
∫  =
 0
0

1
1
3 1
x
2
2
x
 . Tính I = x2e2xdx bằng TPTP 2 lần ⇒ I = 1 (e2 – 1)
π ∫ x .e dx−

∫

3 
4
0
0
0


π
π π
KL : V(H) = (e2 − 1) − = (3e2 – 7) (đvtt)
4
3 12

b)Gọi (T) là khối tròn xoay sinh ra khi quay
(H) quanh y’Oy :
+Gọi (T1) là khối trụ có chiều cao h = e, bán
kính đáy R = 1 ⇒ V(T1) = p.R2.h = pe (đvtt)
+Gọi (T2) là khối trịn xoay sinh ra khi quay
quanh y’Oy hình phẳng (H2) giới hạn bởi : y’Oy
; (C) và (d):y = e .
Trong đó : (C): y = f(x) = xex liên tục, tăng trên
[0;1]  x = g(y) liên tục tăng trên [0,e] ⇒

y
e

1

e

V(T2)

2
= π∫ g(y) dy
0

*Đổi biến x = g(y) với y = xex ⇒dy = (ex + xex)dx
* Đổi cận y =0 ⇒ x = 0 và y = e ⇒ x = 1
1

1

3
2 x
V(T2) = π∫ x (e + xe )dx = π∫ (x + x )e dx = p(4 – e) (Tích Phân Từng Phần 3 lần
2

x

0

x

0

)
+Gọi (T3) là khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục tung hình phẳng (H3)
giới hạn bởi : (∆) và x’Ox và x = 1.

⇒ V(T3) = VHTrụ - VHnón với khối trụ có chiều cao h = 1 và đáy R = 1
Và khối nón có chiều cao h = 1 và bán kính đáy R = 1
⇒ V(T3) = p.12.1 -

1
2
p.12.1 = p (đvtt)
3
3

KL : V(T) = V(T1) – V(T2) – V(T3) = pe – p(4 – e) –

2
14
p = p(2e – ) (đvtt)
3
3

B. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Bài 1:Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi 4 đường xy
= 4, x = 1; x = 4, y = 0 quanh Ox.
Bài 2 : Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi trục hoành
và (P) : y = x(4 - x) quanh Ox .

x


Bài 3 : Tính thể tích trịn xoay sinh ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi các đường
y= xex; x = 0 , x = 1 quanh trục Ox .
Bài 4 : Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi

trục hoành, các đường x = 0, x = 2, y = ex quanh trục Oy.
Bài 5 : Tính thể tích trịn xoay sinh ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi các đường
y= xex; x = 0 , x = 1 quanh trục Oy .
Bài 6 : Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi trục
hoành, các đường x = 0, x = 2, y = ex quanh trục Oy.
Bài 7:(Oxy),xét hình bị chắn phía dưới bởi(P):y= x2 , bị chắn phía trên bởi đt đi qua
A(1, 4) và có hệ số góc k.Tìm k để hình nói trên có diện tích nhỏ nhất
Bài 8: Xét hình có diện tích S chắn bởi (P):y = x2 và đthẳng có hệ số góc k,
quaA(x0; y0)∈ Miền trong của(P) thỏa:y0>x02. Tìm k để S nhỏ nhất
Bài 9 : Tính diện tích của hình được giới hạn bởi các đường: x + y = 0 ; x2 – 2x
+y=0
Bài 10 :Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y= x và y = Sin2x + x (0 ≤
x≤ )
Bài 11 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y2 = 2x và 27y2 = 8(x –1)3 .
Bài 12 : Tính thể tích khối trịn xoay gây nên bởi hình trịn: x2 + (y – b)2 < a2 (0
< a < b)
Bài 13 :Tính thể tích của khối trịn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox hình
phẳng S giới hạn bởi các đường :y = xex ; x = 1; y = 0 (0 ≤ x ≤ 1 )
Bài 14 : Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên khi ta quay quanh trục Ox
hình phẳng S giới hạn bởi các đường : y = lnx , y = 0, x = 1, x = 2.
Bài 15 : Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox, với H
là hình được giới hạn bởi 4 đường:y = 0;y = Cos6 x + Sin6 x ;x = 0; x = /2
Bài 16: Gọi (D) là miền được giới hạn bởi :y = - 3x +10, y = 1 và y = x2 . (x >
0). Tính thể tích vật thể trịn xoay do ta quay (D) quanh trục Ox tạo nên
2

(C) : y = x − 2x = f (x)
Bài 17: Cho (H) giới hạn bởi 

(∆) : y = x + 4 = g(x)

a)Tính S của (H)
b)Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay (H) 1 vòng quanh x’Ox?
Quanh y’Oy?
 y = − x2
Bài 18: a)Tính S của (H) : 
và V của vật thể tròn xoay khi cho (H)
y = − x − 2

quay quanh Ox
Bài 19: (H) giới hạn bởi (P): y = x2 và (C): y= 1 - 1 − x 2 . Tính diện tích (H) và
thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay (H) 1 vịng quanh trục hồnh trục
tung
Bài 20:Tính thể tích của vật thể sinh ra khi quay hình phẳng(H) giới hạn bởi 3
đồ thị:y = xex , x = 1, y = 0 ; quanh trục x’Ox ? Quay quanh trục y’Oy ?


PHẦN III: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG BÀI TỐN THỰC TẾ.
Trong các đề thi minh họa mơn Tốn của Bộ GD&ĐT năm học 2016-2017 đã
đề cập đến một số bài tốn thực tế liên quan đến ứng dụng Tích phân gây khơng
ít khó khăn cho học sinh. Đề tài này xin cung cấp cho học sinh một số dạng bài
toán vận dụng tích phân để giải các bài tốn thực tế đó.
Bài 1: Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng
người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách nhau
40m,biết 2 bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m.
Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết 1 nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê
tơng để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (bỏ qua diện tích cốt sắt trong mỗi nhịp
cầu)
A: 20m3
B: 50m3

C: 40m3
D: 100m3

Hình ảnh: Cầu Trường Tiền


Vấn đề đặt ra:
Ước lượng thể tích vữa xây để xây dựng thân cầu. Để ước lượng được thì
ta phải xác định hình dạng , đặc điểm của cây cầu.
Giả sử xây dựng cây cầu theo dạng hình parabol, điểm xuất phát cầu cách
bờ 5m, điểm cao nhất của cầu cách chân cầu 2m như bản vẽ sau.

Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là chân cầu (điểm tiếp xúc
Parabol trên), đỉnh I(25; 2), điểm A(50;0) (điểm tiếp xúc Parabol trên với chân
đế)

Gọi Parabol trên có phương trình ( P1 ): y1 = ax 2 + bx + c = ax 2 + bx (do (P) đi qua O)
20
1
= ax 2 + bx − là phương trình parabol dưới
100
5
2 2 4
2 2 4
1
x +
x ⇒ y2 = −
x +
x−

Ta có (P1 ) đi qua I và A ⇒ ( P1 ) : y1 = −
625
25
625
25
5
Khi đó diện tích mỗi nhịp cầu là S = 2S1 với S1 là phần giới hạn bởi y1; y2 trong
khoảng (0; 25)
⇒ y2 = ax 2 + bx −


0,2

S = 2( ∫ (−
0

25

2 2 4
1
x + x)dx + ∫ dx) ≈ 9, 9m 2
625
25
5
0,2

Vì bề dày nhịp cầu khơng đổi nên coi thể tích là tích diện tích và bề dày
V = S .0, 2 ≈ 9,9.0, 2 ≈ 1,98m3 ⇒ số lượng bê tông cần cho mỗi nhip cầu ≈ 2m3
Vậy 10 nhịp cầu 2 bên cần ≈ 40m3 bê tông. Chọn đáp án C
Bài 2: Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm , người ta cắt khúc gỗ bởi

một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 450 để lấy
một hình nêm (xem hình minh họa dưới đây)

Hình 1

Hình 2

Kí hiệuV là thể tích của hình nêm (Hình 2).Tính V .
3
A. V = 2250( cm )

225π
cm3
4
3
DV = 1350 cm

B. V =

(

)

C. V = 1250( cm )
( )
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó hình
nêm có đáy là nửa hình trịn có phương trình :
3

y = 225 − x2 , x ∈  −15;15

Một một mặt phẳng cắt vng góc với trục Ox
tại điểm có hồnh độ x , ( x ∈  −15;15 )
cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là
S ( x ) (xem hình).
Dễ thấy NP = y và
MN = NP tan450 = y = 15 − x2 khi đó

( )

S x =

(

)

1
1
MN .NP = . 225 − x2 suy ra thể tích
2
2
15

hình nêm là : V =

∫ ( )

S x dx =

−15

15

(

)

(

1
. 225 − x2 dx = 2250 cm3
∫
2 −15

)

Bài 3:( Đề minh họa lần 2 của Bộ GD&ĐT) Ơng An có một mảnh vườn hình
elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10 m. Ông muốn trồng
hoa trên một dải đất rộng 8 m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như


hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/ 1 m 2 . Hỏi ông An cần bao
nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó ? (Số tiền được làm trịn đến hàng nghìn.)
A. 7.862.000 đồng. B. 7.653.000 đồng. C. 7.128.000 đồng. D. 7.826.000 đồng.

Hướng dẫn giải
Xét hệ trục Oxy vào tâm của khu vườn, phương trình Elip của khu vườn đã cho
là:

x2 y 2
+
= 1 . Nếu xét phần đồ thị nằm trên thì ta có thể viết phương trình hàm
64 25

số
x2
của y theo x như sau: y = 5 1 − = f ( x) .
64

Khi đó diện tích của dải đất bằng hai lần phần hình phẳng giới hạn bởi trục
hồnh, dồ thị hàm số y= f( x) và hai đường thẳng x= -4, x= 4.
x2
40π
S = ∫ 5 1 − dx =
+ 20 3(m 2 )
3
64
0
4

Do đó số tiền cần dùng bằng 100.S ≈ 7.635.000 đồng. Chọn đáp án B.
Nhận xét: Bài toán này học sinh chỉ cần lập ra được công thức tính diện tích khu
4

vườn S = ∫ 5 1 −
0

x2
dx thì xem như giải được, vì đến đây học sinh có thể sử dụng

64

MTBT để tìm kết quả.
Bài tốn liên quan đến : Quảng đường- Vận tốc – Gia tốc.
Giả sử một vật chuyển động với vận tốc v=v(t) ( vận tốc biểu thị theo thời gian),
khi đó quảng đường đi được của vật từ thời gian t=a (s) đến t= b(s) được tính bởi
b

cơng thức S = ∫ v (t )dt .
a

Xét một số bài toán sau:
−2
2
Bài 4: Một vật di chuyển với gia tốc a ( t) = −20 ( 1 + 2 ) ( m / s ) . Khi t = 0 thì vận
tốc của vật là 30m / s . Tính quảng đường vật đó di chuyển sau 2 giây (làm tròn
kết quả đến chữ số hàng đơn vị).


A. S = 106m .
S = 109m .
Hướng dẫn giải

B. S = 107m .

Ta có v ( t ) = ∫ a ( t ) dt = ∫ −20 ( 1 + 2t ) dt =
−2

C. S = 108m .

D.

10
+ C . Theo đề ta có
1 + 2t

v ( 0 ) = 30 ⇔ C + 10 = 30 ⇔ C = 20 . Vậy quãng đường vật đó đi được sau 2 giây là:
2

2
 10

S = ∫
+ 20 ÷dt = ( 5ln ( 1 + 2t ) + 20t ) = 5ln 5 + 100 ≈ 108m .
0
1 + 2t

0

Bài 5: Một ô tô chạy với vận tốc 20m/s thì người lái xe đạp phanh cịn được gọi
là “thắng”. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc
v(t)=-40t +20 (m/s) . Trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt
đầu đạp phanh . Quãng đường ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn
là bao nhiêu?
A. 2m
B.3m
C.4m
D. 5m
Hướng dẫn giải
Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu phanh (t = 0)

Gọi T là thời điểm ơ tơ dừng lại. Khi đó vận tốc lúc dừng là v(T) = 0
Vậy thời gian từ lúc đạp phanh đến lúc dừng là v(T ) = 0 ⇔ −40T + 20 = 0 ⇔ T =

1
2

Gọi s(t) là quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian T.
Ta có v(t ) = s '(t ) suy ra s(t) là ngun hàm của v(t)
Vây trong ½ (s) ơ tô đi được quãng đường là :
1/2

1
2

T

∫ v(t )dt = ∫ (−40t + 20)dt = (−20t
t

0

2

= 5(m) . Chọn đáp án D.

+ 20t )
0

t2 + 4
Bài 6 : Một vật chuyển động với vận tốc v(t ) = 1, 2 +

. Quãng đường vật đó
t +3

đi được trong 4 giây đầu tiên bằng bao nhiêu ? (Làm tròn kết quả đến hàng
phần trăm).
A. 18,82 m.
B. 11,81m.
C. 4,06 m.
D. 7,28 m.
Hướng dẫn giải
Gọi s(t) là quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian T.
Ta có v(t ) = s '(t ) suy ra s(t) là nguyên hàm của v(t)
Vây trong 4 (s) ô tô đi được quãng đường là :
T

4

0

0

s = ∫ v(t )dt = ∫ (1, 2 +

t2 + 4
)dt ≈ 11,81(m) Bài 7 : Một vật đang chuyển động với vận
t +3

tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t ) = 3t + t 2 (m / s 2 ) . Tính quảng đường vật đi
được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ khi tăng tốc.

4300
( m)
3
2300
(m)
3

A.

B.

4300
( m)
6

C.1200(m)

D.

Hướng dẫn giải:
2

3

3t
t
+ +C
Gọi v(t ) là vận tốc của vật. Ta có v ' (t ) = a (t ) = 3t + t 2 suy ra v (t ) =
2

Vì v(0) = 10 nên suy ra C =10.
10

Quảng đường của vật đi được là : S = ∫ (
0

3

3t 2 t 3
4300
+ + 10) dt =
( m) . Chọn đáp án A
2 3
3

Bài 8: Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu
25m/s. Gia tốc trọng trường là 9,8 m / s 2 . Tính quảng đường viên đạn đi được từ
lúc bắn lên cho đến khi chạm đất (tính chính xác đến hàng phần trăm).
A. 31,89(m)

B. 31,79(m)

C. 40,32(m)

D. 24,16(m)

Hướng dẫn giải:
Gọi v(t ) là vận tốc của viên đạn. Ta có v ' (t ) = a(t ) = −9,8 suy ra v (t ) = −9,8t + C
Vì v(0) = 25 nên suy ra C =25. Vậy v (t ) = −9,8t + 25

Gọi T là thời điểm viên đạn đạt độ cao lớn nhất . Tại đó viên đạn có vận tốc
25

bằng 0. Vậy v(T ) = 0 . Suy ra T= 9,8 ≈ 2, 25 (giây).
Quảng đường viên đạn đi được cho tới thời điểm T= 2,25 (giây ) là :
T

S = ∫ (−9,8t + 25)dt = −9,8
0

T2
+ 25T ≈ 31,89(m) . Chọn đáp án A
2

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Bài 1: Một xe chở hàng chạy với vận tốc 25 m/s thì tài xế đạp phanh; từ thời
điểm đó, xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc v ( t) = −2 + 25 (m/s), trong
đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc
đạp phanh đến khi dừng hẳn, xe còn di chuyển bao nhiêu mét?
A.

625
m
4

B.

625
m
2

C. 2 m

D.

25
m
2

Bài 2 : Một ô tô đang chạy với tốc độ 36 km/h thì hãm pham, chuyển động
chậm dần đều với phương trình vận tốc v = 10 − 0,5t ( m / s ) . Hỏi ô tô chuyển
động được quãng đường bao nhiêu thì dừng lại?
A. 100 m.
B. 200 m
C. 300 m
D. 400 m
Bài 3 : Một viên đá được bắn thẳng đứng lên trên với vận tốc ban đầu là 40 m/s
từ một điểm cao 5 m cách mặt đất. Vận tốc của viên đá sau t giây được cho bởi


công thức v ( t) = 40 − 10 m/s. Tính độ cao lớn nhất viên đá có thể lên tới so với
mặt đất.
A. 85 m .
B. 80 m .
C. 90 m .
D. 75 m .
Bài 4: Một vật chuyển động với vận tốc v ( t) = 1 − 2sin (m / s) . Tính quãng đường
vật di chuyển trong thời gian từ thời điểm t =0 (s) đến thời điểm t=3π/4 (s).
A. 3π/4 -1

B.3π

C.4π

D. 6π

Bài tốn tính cơng :
Nếu một lực không đổi F tác động vào vật dọc theo một khoảng cách d, thì cơng
sinh ra trong q trình dịch chuyển bằng tích của lực F và độ dài khoảng cách
mà nó tác động : Cơng = Lực x Khoảng cách.
Hay nói cách khác : W = F .d ( F được hiểu là tác động theo hướng chuyển
động). Định nghĩa trên luôn đúng khi F không đổi. Tuy nhiên nhiều lực không
giữ nguyên giá trị trong q trình thực hiện cơng. Trong các tình huống như vậy,
người ta thường chia quá trình này thành nhiều phần nhỏ và tính cơng tồn phần
nhờ lấy tổng các cơng thức tương ứng với các phần nhỏ được phân chia.
Vấn đề này được minh họa bằng phép kéo căng một lị xo sau đây :
Bài tốn : Một chiếc lị xo có độ dài tự nhiên là 16 cm. Khi nó bị kéo căng thêm
x cm, theo định luật Hooke, chiếc lị xo trì lại ( chống lại) với một lực F=kx
(kg), trong đó k là một hằng số. Hằng số này được gọi là độ cứng của lò xo. Đối
với chiếc lò xo đang xét , một lực 8 kg cần thiết để kéo lò xo thêm 2 cm. Hãy
tính cơng sinh ra khi kéo lị xo từ độ dài tự nhiên đến độ dài 24 cm ?
Hướng dẫn giải:
Với F= 8 và x= 2 ta có thể tìm được k= 4 và F = 4x.Ta hình dung rằng lò xo
được kéo căng thêm một đoạn nhỏ dx. Lúc đó, lực thay đổi rất nhỏ trên độ tăng
khoảng cách và có thể xem như hằng số. Cơng để tạo ra để chống lại sức co của
lò xo trên độ tăng khoảng cách sẽ là : dW = Fdx = 4 xdx và cơng sinh ra trong q
8

trình kéo căng lò xo bằng: W = ∫ dW = ∫ Fdx = ∫ 4 xdx = 128(cm − kg ) .
0

( Do x tăng từ 0 đến 8 khi độ dài lò xo tăng từ 16 đến 24).
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Bài 1: Một lị xo có độ dài tự nhiên 12cm, một lực 45 kg làm nó căng ra 15 cm.
Tìm cơng sinh ra khi kéo căng lị xo từ 15 đến 19 cm.
Bài 2: Tìm độ dài tự nhiên của một lị xo nếu cơng sinh ra khi kéo căng nó từ độ
dài 2 cm đến 3 cm bằng 1/4 coong sinh ra khi kéo căng nó từ 3cm đến 5cm.
d) Kết quả cụ thể:


Qua thực hiện sáng kiến kinh nghiệm, tôi nhận thấy các em có nhiều tiến
bộ qua tiết học, lớp được dạy thử nghiệm 12A1,12A3.
Đa số các em học sinh khắc phục được những “sai lầm” và khó khăn khi
gặp bài tốn tính diện tích của hình phẳng cũng như tính thể tích của vật thể
trịn xoay ở chương trình giải tích 12 , bước đầu biết cách vận dụng kiến thức
phân vào bài tốn thực tế. Bên cạnh đó cũng giúp cho học sinh kĩ năng vẽ hình
thuận lợi cho việc tăng cường tính trực quan ,cũng như đẩy mạnh ứng dụng
công nghệ thông tin vào dạy học .
Chất lượng thực tế qua khảo sát chất lượng năm 2015-2016 :

Lớp

Số
lượng

Đạt yêu cầu

Không đạt yêu
cầu

Số
lượng

%

Số
lượng

%

12A1

45

38

84

7

16

12A3

44

30

68

14

32

Với kết quả trên, tôi thấy học sinh có tiến bộ qua kiểm tra. Nhiều em đã
giải được bài tốn ứng dụng tích phân đạt kết quả chính xác cao. Tạo điều kiện
cho tơi tiếp tục áp dụng kết quả đạt được cho những năm học sau.
Phần III. KẾT LUẬN:
Để có thể đạt được mục đích đề ra của sáng kiến kinh nghiệm là giúp học
sinh hiểu sâu kiến thức về tích phân,các dạng tốn ứng dụng tích phân và vận
dụng tích phân và giải các bài tốn hình học và một số bài tốn trong thực tiễn.
Tôi đã cố gắng đưa ra một số dạng và kèm bài tập tương tự cho các em rèn luyện
kĩ năng và phát triển tư duy sáng tạo cũng như biết vận dụng kiến thức của Toán
học vào các lĩnh vực khác. Bên cạnh đó để đạt được mục đích tốt nhất, tơi cũng
nghiên cứu tìm hiểu thêm ở các lớp khác, ở các tài liệu chuyên môn khác, sử
dụng các hình thức so sánh đối chiếu trong giảng dạy.
1. Bài học kinh nghiệm:
Qua thử nghiệm đã nêu ở trên, tôi thấy kết quả thu được cao hơn giờ dạy
đối chứng. Điều đó chứng tỏ rằng để học sinh tích cực, chủ động, sáng tạo và
hiệu quả trong học tập; người giáo viên cần sử dụng linh hoạt và nhuần nhuyễn
các biện pháp giảng dạy, phát huy được tính sáng tạo của mình trong giảng dạy;
song song đó cần tích cực nghiên cứu sách vở và trau dồi năng lực chun mơn.
Bên cạnh những mặt đạt được cũng cịn những hạn chế, một số học sinh
yếu không nắm được bản chất của Ứng dụng tích phân và cịn gặp khó khăn
trong việc tiếp cận và vận dụng các bài toán tơi đã đưa ra. Tơi cố gắng tìm ra
biện pháp để nâng cao hiệu quả trong những năm sắp tới. Tôi mong các đồng


nghiệp và các bạn giáo viên trong tổ, trong trường hỗ trợ nhiều cho tơi để tơi có
thể hồn thành nội dung “Ứng dụng tích phân trong hình học, vận dụng giải

bài toán thực tế ”.
Trong khi viết đề tài này, bản thân khơng tránh khỏi những sai sót, rất
mong Sở Giáo dục và các đồng nghiệp góp ý chân thành để tôi rút kinh nghiệm
cho những năm sau viết tốt hơn.
2. Hướng phổ biến áp dụng đề tài:
Đề tài được vận dụng vào các tiết tự chọn của Giải tích 12, Ơn thi tốt
nghiệp THPT quốc gia và làm tài liệu tham khảo giảng dạy cho giáo viên, tài
liệu học tập cho học sinh 12.
3. Hướng nghiên cứu tiếp của đề tài:
Khai thác thêm các bài toán ứng dụng tích phân trong các lĩnh vực khác
như vận dụng trong bài tốn tính cơng, năng lượng trong mơn Vật lí hay tính
Lực thủy tĩnh hoặc một vấn đề nào đó trong Hóa học hay Sinh học.
Thái Hịa, ngày 10 tháng 04 năm 2017
Người viết

Nguyễn Thị Hằng
Nhận xét , đánh giá xếp loại của Hội đồng khoa học trường THPT Thái Hòa:
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
..............................