Nguyên lý ánh xạ mở

2.3. Nguyên lý ánh xạ mở
2.3.1. Định lý về nguyên lý ánh xạ mở
Cho X, Y là hai không gian tôpô, một ánh xạ A: được gọi là ánh xạ mở nếu với
mỗi tập U mở trong X, ta luôn có A(U) mở trong Y. Trong phần này chúng ta
chứng minh một điều kiện đủ để một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian định
chuẩn là ánh xạ mở, được gọi là nguyên lý ánh xạ mở.
Định lý 2.9. Cho X, Y là các không gian Banach, A: là một toàn ánh tuyến tính
liên tục. Khi đó A là ánh xạ mở.
Chứng minh. Giả sử U là một tập mở trong X và tùy ý. Khi đó tồn tại sao cho.
Do U mở nên tồn tại sao cho.
Khi đó

Bây giờ ta chứng minh tồn tại sao cho

Thật vậy, ta thấy

Do A là toàn ánh tuyến tính nên

Từ giả thiết Y là không gian Banach, theo định lý Baire, suy ra Y là không gian
thuộc phạm trù thứ hai, nên tồn tại sao cho không là tập không đâu trù mật, tức
là

Kéo theo

Suy ra, tồn tại và sao cho

Dễ thấy , kết hợp với (2.8) ta có


Do là tập lồi nên

Kết hợp (2.9) với (2.10), ta có

Từ bao hàm thức (2.11) suy ra

trong đó . Điều này kéo theo: với mọi , với mọi, tồn tại , sao cho

Giả sử tùy ý. Chọn , áp dụng (2.12) với , tồn tại thỏa mãn và , kéo theo .
Chọn , áp dụng (2.12) với tồn tại thỏa mãn và
, kéo theo. Tiếp tục quá trình trên với ta được một dãy các phần tử thỏa mãn và

Dễ thấy , tức là chuỗi hội tụ tuyệt đối trong không gian Banach X, ta suy ra hội
tụ, nói cách khác, tồn tại . Ngoài ra Cho trong (2.13) ta có

Do A tuyến tính liên tục,

Như vậy, với mọi , tồn tại sao cho Điều này kéo theo bao hàm thức (2.7).
Từ (2.7) suy ra
yo + εBY(0,r)

A(xo +εBX(0,1))

A(U)

Kéo theo
BY(yo, ε)

A(U)

Điều này kéo theo yo là điểm trong của A(U). Do yo chọn tùy ý, ta suy ra A(U) là
tập mở. Kéo theo A là ánh xạ mở.

Từ định nghĩa ánh xạ mở ta có hai hệ quả sau:
Hệ quả 2.10. Một song ánh tuyến tính lien tục từ không gian Banach X vào
không gian Banach Y là một phép đồng phôi tuyến tính.


Hệ quả 2.11. Cho X là một không gian tuyến tính và ||.||1 , ||.||2 là hai chuẩn trên
X. Nếu (X,||.||1), (X, ||.||2) là không gian Banach và ||.||1 mạnh hơn ||.||2 hoặc ||.||2
mạnh hơn ||.||1 thì hai chuẩn đó là tương đương.

2.3.2 Không gian thương
Cho X là không gian định chuẩn, L là một không gian con đóng của X ( theo
topo sinh bởi chuẩn). Ký hiệu X/L là không gian thương của X với không gian
con L. Các phần tử của X/L kí hiệu là ,,….Ta biết X/L là không gian tuyến tính
với phép toán tuyến tính sau:
+
λ=
trong đó là kí hiệu lớp tương đương của phần tử x ϵ X.
Xét hàm số ||.|| : X/L

, xác định bởi: với mỗi X/L
|||| = = ,

(2.14)

trong đó, Khi đó
1.

2.

3.

|||| ≥ 0, với mọi . Nếu thì kéo theo
|||| =0. Ngược lại, nếu |||| = 0 thì theo định nghĩa về chuẩn trên không gian
thương, tồn tại một dãy L sao cho .
Tức là . Do L đóng nên kéo theo . Như vậy
Với mọi , với mọi λ ϵ K

Với mọi , với x ϵ , ta có
|| +|| ≤ || x +u + y + v || ≤ ||x +u || + ||y + v||
Với mọi u,v ϵ L. Điều này kéo theo
|||| ≤ + +|| || + ||||
Như vậy hàm số xác đinh bởi (2.14) là một chuẩn trên X/L.
Không gian định chuẩn X/L với chuẩn xác định trong (2.14) gọi là không gian
thương của không gian định chuẩn X với không gian con đóng L của nó
Dễ thấy, nếu L là một không gian con đóng của không gian định chuẩn X thì
toán tử thương π: X

X/L là một toán tử tuyến tính liên tục. Hơn nữa ta có

Mệnh đề 2.12: Ánh xạ thương π : X

X/L là ánh xạ mở


Chứng minh. Từ định nghĩa chuẩn trên không gian thương ta thấy:
với mỗi ϵ X/L , với mọi ε>0, luôn tồn tại x ϵ X sao cho π(x) = và ||x|| ≤ 1. Điều
này kéo theo
BX/L π(BX)
Trong đó BX/L và BX là kí hiệu của hình cầu đơn vị mở trong X/L và X
Giả sử U là tập mở trong X, ϵ π(U) tùy ý, khi đó tồn tại sao cho π(x) = .Do U

mở nên tồn tại r >0 sao cho BX(x,r) U. Từ chứng minh trên ta có
BX/L(
Từ đó suy ra π là ánh xạ mở. Mệnh đề được chứng minh
Tiếp theo ta xem xét một số tính chất của không gian thương.
Định lý 2.13. Nếu X là không gian Banach và L là không gian con đóng của X
thì X/L là không gian Banach.
Chứng minh. Giả sử là một chuỗi hội tụ tuyệt đối. Ta chứng minh nó hội tụ
trong X/L. Thực vậy, theo định nghĩa về chuẩn trong không gian thương , ta có
với mooic n, tồn tại sao cho
Do đó:

Điều đó kéo theo chuỗi hội tự tuyệt đối trong không gian Banach X nên nó hội
tụ. Ký hiệu . Khi đó:
(2.16)
n

)

∑x
Dễ thấy: là một phần tử thuộc lớp tương đương

k =1

k

)
−S

Nên:
) )

x
∑ k −S ≤
n

n

∑ (x

k =1

k =1

k

+ uk ) − S

(2.17)

Kết hợp (2.16) và (2.17) suy ra:
n

lim
n →∞

∞

)

∑x
k =1

k

)
−S =0

)
−
S
∈X /L
n

)

∑x
Tức là

n =1

. Như vậy X/L là Banach. Định lý được chứng minh.


Cho là các không gian Banach, A: X là ánh xạ tuyến tính liên tục. Khi đó
ker A là một không gian con đóng của A. Theo Định lý 2.13, X/ker A

là

không gian Banach. Và ánh xạ thương : X X/ ker A là một ánh xạ tuyến tính
liên tục. Ta thấy, với mỗi ker A, nếu x,y thì x – y ker A nên Ax = Ay
Do đó ta có thể thiết lập một ánh xạ:

ker A .
Xác định bởi , trong đó . Như thế .
Định lý 2.14. Cho X, Y là các không gian Banach. Nếu A là một toàn ánh tuyến
tính liên tục từ X lên Y thì X/ ker A đồng phôi tuyến tính với Y.
Chứng minh:
Ta chứng minh toán tử ker A , là một đồng phôi tuyến tính. Thật vậy, dễ thấy là
tuyến tính. Hơn nữa, nếu = 0 thì Ax = 0 nên = 0. Do đó A là đơn ánh. Hơn nữa,
cũng là toàn ánh vì A là toàn ánh. Vậy A là song ánh.
Với mỗi ker A,với mỗi ta luôn có:

Kéo theo giới nội nên liên tục. Như vậy là một song ánh tuyến tính liên tục từ
không gian Banach ker A vào không gian Banach Y, nên theo Hệ quả 2.10, nó là
một phép đồng phôi tuyến tính.
2.3.3. Định lý đồ thị đóng
Cho X và Y là các không gian tôpô, A: X là một toán tử. Tập:
xY
được gọi là đồ thi của toán tử A. Nếu là tập đóng trong X x Y thì A gọi là toán
tử có đồ thi đóng (hay gọi ngắn gọn là toán tử đóng).
Nhận xét: 1. A là toán tử đóng khi và chỉ khi với mỗi dãy {} hội tụ về và dãy {}
hội tụ về thì =
2. Nếu X,Y là các không gian định chuẩn và A: X là toán tử tuyến tính liên tục thì
A là toán tử đóng. Điều ngược lại được xem xét trong định lý sau, thường gọi là
định lý đồ thị đóng.


Định lý 2.15. Cho X và Y là các không gian Banach, A: X là toán tử tuyến tính
có đồ thi đóng, khi đó A là toán tử liên tục.
Chứng minh:
Từ giả thiết suy ra X x Y là không gian Banach. Do A: X là toán tử tuyến tính
có đồ thị đóng nên tập:

Là một không gian con đóng của X x Y. Vì vậy là Banach.
Ký hiệu x Y và x Y là các phép chiếu. Hiển nhiên đó là các ánh xạ liên tục.
Đặt xác định bởi . Khi đó là một song ánh tuyến tính liên tục từ không gian
Banach vào không gian Banach X, nên là một phép đồng phôi. Kéo theo là ánh
xạ liên tục.
Ta thấy A = nên A cũng là ánh xạ liên tục.
2.4. Nguyên lý giới nội đều.
2.4.1.

Định lí Banach – Steinhaus

Cho X và Y là hai không gian định chuẩn. là một họ các toán tử tuyến tính
liên tục từ X vào Y. Ta nói họ giới nội đều (hay bị chặn đều) nếu tồn tại một số
M > 0 sao cho :

sup
λ∈Λ

Nói cách khác, họ giới nội trong
Nhận xét. Nét
1.

⊂ B( X , Y )

Với mỗi

ε

A

λ

β ( X ,Y )

≤M

.

giới nội đều thì:

> 0, tồn tại

δ

sup

x <δ ,λ∈Λ

> 0 sao cho

Aλ x

≤ε
.


2.

x∈ X

Với mỗi
, tập giới nội đều trong Y. Điều ngược lại sẽ được
xem xét trong đinh lý sau đây, ta thường gọi là Nguyên lí giới nội
đều.

Định lý 2.1.6. (Nguyên lí giới nội đều) Cho X là không gian Banach. Y là không
gian đinh chuẩn, là một họ các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y sao cho
với mỗi

x∈ X

tập giới nội trong Y. Khi đó họ giới nội trong

Chứng minh. Với mỗi số tự nhiên

n∈¥∗

, với mỗi

λ ∈Λ

, do

B( X , Y )

Aλ

.

liên tục nên tập

X nλ = { x ∈ X : Aλ x ≤ n}
là tập đóng trong X. Suy ra
Xn = I

λ∈Λ

đóng với mọi
tại

n∈¥∗

n∈¥∗

sao cho

{ x∈ X :

Aλ x ≤ n}

. Theo giả thiết, với mỗi

x ∈ Xn

x∈ X

, tập giới nội trong Y nên tồn

. Điều đó kéo theo

∞

X = UXn
n =1

.

Do X là không gian Banach nên nó thuộc pham trù thứ hai, suy ra tồn tại một tập
Xm

không là tập không đâu trù mật, tức là
đó suy ra tồn tại một điểm

x0 ∈ X m

B ( x0 , r ) ⊂ X m = X m

Với mỗi
đó

x∈ X

,

x≠0

, tồn tại

r >0

Xm
(do

đóng), từ

sao cho

(2.18)
rx
x

, đặt

Int X m = IntX m ≠ ∅

y =r

, khi đó

nên theo (*) phần tử

x0 + y ∈ X m

. Do


Aλ ( xo + y ) = Aλ ( xo +

rx
) ≤ m, ∀λ ∈ Λ

x

(2.19)
Mặt khác, với mọi

∀λ ∈ Λ

Aλ ( xo +

rx
rx
) ≥ Aλ ( ) − Aλ ( xo )
x
x

=

≥

r Aλ ( x )
x

r Aλ ( x )
x

− Aλ ( xo )

−m

(2.20)

Từ (2.19) và (2.20) ta có:
r Aλ ( x )
x

≤ 2m, ∀λ ∈ Λ

.
Kéo theo:

Aλ ( x ) ≤

2m
x , ∀λ ∈ Λ
r

Đúng với mọi

x≠0

M =

,hiển nhiên nó cũng đúng với x = 0. Chọn

Aλ ≤ M , ∀λ ∈ Λ

Định lý được chứng minh.

2m
r

ta sẽ có


Hệ quả. (Định lý Banach Steinhaus) Cho X là không gian Banach, Y là không

{A}

n∈¥ ∗

n

gian định chuẩn. Cho

vào Y sao cho với mỗi
giới nội đều trong

x∈λ

B ( X ,Y )

là một dãy các toán tử tuyến tính liên tục từ X

{ A x}
n

, dãy

n∈¥ ∗

{A}

n

hội tụ trong Y. Khi đó dãy

n∈¥ ∗

.

Chứng minh. Do mỗi dãy hội tụ là giới nội nên với mọi

{A}
n

nội đều trong Y. Theo định lý trên ta suy ra dãy

n∈¥ ∗

x∈λ

{ A x}
n

dãy

giới nội trong

n∈¥ ∗

giới

B ( X ,Y )

2.4.2. Sự hội tụ của dãy toán tử.
Cho X và Y là hai không gian định chuẩn,
toán tử tuyến tính liên tục và
A nếu với mọi

x∈ X

, dãy

A ∈ β ( X ,Y )

{ An x} n∈¥

{ An } n∈¥

∗

⊂ β ( X ,Y )

. Ta nói dãy

∗

hội tụ đến

Ax

là một dãy các

{ An } n∈¥

∗

hội tụ điểm đến

, tức là

lim An x = Ax, ∀x ∈ X
n →∞

Ta nói dãy

{ An } n∈¥

lim An − A = 0.

∗

hội tụ đều đến A nếu

{ An } n∈¥

n →∞

∗

Từ định nghĩa suy ra nếu
hội tụ đều đến A thì

A trên X, điều ngược lại chưa chắc đúng.

Mệnh đề 2.1.8 :Dãy

{ An } n∈¥

{ An } n∈¥

∗

hội tụ đều đến

Ax

{ An } n∈¥

∗

hội tụ điểm đến

∗

hội tụ đều đến A khi và chỉ khi với mọi

trong hình cầu

BX ( 0, r )

r >0

, dãy

.


Chứng minh. Gỉa sử
mọi

n≥0

ta có

{ An }

hội tụ đều đến A, với mỗi

An − A ≤ ε / r

. Khi đó với mọi

n ≥ no

ε >0

với mọi
Ngược lại, nếu với mỗi r>0, dãy
ε >0

tức là với mỗi

, tồn tại

n0

sao cho với

,

An x − Ax ≤ An − A x < ε

{ An x} n∈¥

, tồn tại

n0

x ⊂ BX ( 0, r )

∗

hội tụ đều đến

Ax

.

trong hình cầu

BX

sao cho

An x − Ax ≤ An − A x < ε
với mọi

x ⊂ BX

.

Điều đó suy ra

An − A = sup An x − Ax ≤ An − A x < ε
x≤

,

Với mọi

n ≥ n0

lim An = A.
. Điều đó kéo theo

n →∞

Định lý 2.1.9: Cho X là không gian Banach, Y là không gian đinh chuẩn.

{ An } n∈¥

∗

là một dãy các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y. Nếu

tụ điểm đến một ánh xạ A

X →Y

thì

A∈ B ( X ,Y )

{ An } n∈¥

∗

hội

và

A ≤ lim inf An .
x →∞

Chứng minh. Theo giả thiết, với mọi
x, y ∈ X , λ , µ ∈ K

x∈ X

lim An x = Ax.
ta đều có

n →∞

nên với

ta có

A ( λ x + µ y ) = lim An ( λ x + µ y ) = λ lim An x + µ lim An y
n →∞

n →∞

n →∞

,


= λ Ax + µ Ay

.

Điều này khéo theo A là toán tử tuyến tính. Theo giả thiết, với mọi

{ An } n∈¥

∗

hội tụ trong Y nên theo hệ quả suy ra

{ An } n∈¥

x∈ X,

∗

giới nội đều trong

β ( X ,Y )

An ≤ M , ∀n ∈ ¥ ∗

, tức là tồn tại M>0 sao cho

. Khi đó

An x ≤ An . x , ∀n ∈ ¥ ∗ , ∀x ∈ X
Nên

An x = lim An x ≤ lim inf An x . x , ∀x ∈ X .
n →∞

n →∞

Ta suy ra A là giới nội và

A ≤ lim inf An x .
n →∞

Định lý được chứng minh.
Bài tập
Bài 8. Với m

1.
2.

CMR An là toán tử tuyến tính liên tục và tính || An||
Chứng minh hội tụ điểm đến ánh xạ đồng nhất I trên ρ2 nhưng không hội
tụ đều đến I

Lời giải:
1.

Ta có =>
A là tuyến tính vì:
Với mọi ϵ f2 , λ, μ ϵ K

Hơn nữa,
Do đó: |||| =
Với mọi ϵ f2 => An bị chặn và ||An|| ≤ 1 (1)
Mặt khác, lấy x = e1 => e1 ϵ ρ2 ,|| e1|| =1 và Ane1 = e1


1 =|| Ane1|| ≤ ||An|| ||e1|| = ||An|| => ||An|| ≥1 (2)
Từ (1), (2) => ||An|| =1. Vậy A là toán tử tuyến tính liên tục, ||An|| =1
2.

Ta có
=
Với mọi x= (xn) ϵ ρ2. Vậy An điểm I
Song An đều I
Thật vậy,nếu An đều I thì lim ||An – I|| =0

 ||Ano – I || <1 với n đủ lớn
Lấy x= eno+1 => eno+1 ϵ ρ2 và || eno+1|| =1
|| Ano eno+1 - I eno+1|| ≤ || (Ano- I ) eno+1 || ≤ || Ano- I|| .|| eno+1|| <1 (3)
Mặt khác, Ano eno+1=



|| Ano eno+1 - I eno+1|| = || eno+1|| =1 (4)
Từ (3) và (4) vô lý => An đều I

Bài 9: Cho X, Y là các không gian Banach và {} là một dãy toán tử tuyến tính
giới nội từ X vào Y. Chứng minh rằng với mọi là dãy Cauchy trong Y thì tồn tại
lim An x = Ax

một tóan tử tuyến tính giới nội sao cho:

n →∞

với mọi

Lời giải:
lim An x = Ax

: { } là dãy Cauchy trong không gian Banach Y nên sao cho:
mọi . Ta chứng minh:
lim An x = Ax

Thật vậy vì

n →∞

nên :

Hơn nữa: tuyến tính:
µ x2

lim An (λ x1 + µ x2 ) = λ Ax1 + µ Ax2
)=

n →∞

*A giới nội:

n →∞

với


⇒ bị chặn,

lim An x ≤ lim M x = M x → A
⇒

n →∞

giới nội

Mặt khác: A = )⇒

Bài 10: Gọi f là phiếm hàm xác định trên không gian

C[ 0,1]

xác định bởi

1

f ( x ) = ∫ x ( t ) dt
0

Trong đó x là một hàm số liên tục trên [0,1]. Chứng minh rằng f là phiếm hàm
f

tuyến tính giới nội và tính
Lời giải:
•

f là phiếm hàm tuyến tính
∀x, y ∈ C[ 0,1] , ∀λ , µ ∈ ¡

ta có:
1

f ( λ x + µ y ) = ∫ ( λ x ( t ) + µ y ( t ) ) dt
0

1

1

0

0

= ∫ λ x ( t ) dt + ∫ µ y ( t ) dt
1

1

0

0

= λ ∫ x(t )dt + µ ∫ y ( t ) dt
= λ f ( x) + µ f ( y)
•

f là giới nội

∀x ∈ C[ 0,1]

ta có:


f ( x) =

1

1

0

0

∫ x ( t ) dt ≤ ∫ x ( t ) dt
1

1

0

0

≤ ∫ sup x ( t ) dt = ∫ x dt = x
f ≤1
Suy ra f giới nội và

.(1)

f
•

Tính
Chọn

xo ( t ) = 1, ∀t ∈ [ 0,1]

, suy ra

xo = sup xo ( t ) = 1

Ta có:
1

1

0

0

f ( x0 ) = ∫ x0 (t ) dt = ∫ dt = 1
f ( x0 ) = 1
Suy ra

f ( x0 ) ≤ f . x0 = f
Mà

f ≥1
Suy ra

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

f =1


{ A ,n∈¥ }
∗

n

Bài 11: Cho X và Y là các không gian Banach và

là một dãy

các toán tử giới nội từ X vào Y. chứng minh rằng điều kiện để dãy

sup An < ∞
hội tụ điểm là
Lời giải: Giả sử

{ An x}

{ An }

hội tụ điểm trên X. khi đó:

hội tụ đều trong Y,

∀x ∈ X

Theo định lý Banach – sieinnhas ta có

{ An } n∈¥

∗

giới nội đều trong

B( X , Y )

tức là

∃M > 0 : An ≤ M , ∀n ∈ ¥ ∗
⇒ sup An = M < ∞
n∈¥ ∗

Bài 12: chứng minh rằng phiếm hàm
f ( x) =

Là tuyến tính giới nội

0

1

−1

0

∫ x(t )dt − ∫ x(t )dt , x ∈ C[ −1,1]

trên

C[ −1,1]

f

, tính

Lời giải:
•

f là phiếm hàm tuyến tính
∀x, y ∈ C[ 0,1] , ∀λ , µ ∈ ¡

f ( λx + µ y) =

ta có

0

1

−1

0

∫ ( λ x ( t ) + µ y ( t ) ) dt + ∫ ( λ x ( t ) + µ y ( t ) ) dt

{ An }


1
1
0

0

= λ  ∫ x ( t ) dt − ∫ x ( t ) dt ÷+ µ  ∫ y ( t ) dt − ∫ y ( t ) dt ÷

0
0
 −1

 −1


= λ f ( x) + µ f ( y)
•

f là giới nội

∀x, y ∈ C[ −1,1]

ta có
0

1

−1

0

f ( x) =

∫ x ( t ) dt + ∫ x ( t ) dt

x = sup x ( t ) ⇒ x ( t ) ≤ x
x∈C[ −1,1]

Mà
Suy ra
f ( x) =

0

1

0

1

−1

0

−1

0

∫ x ( t ) dt + ∫ x ( t ) dt ≤ ∫ x ( t ) dt + ∫ x ( t ) dt

≤

0

1

−1

0

∫ x ( t ) dt + ∫ x ( t ) dt

0

≤

∫

−1

f ≤2

Suy ra
f
•

tính

xét hàm số

1

x dt + ∫ x dt = 2 x
0


 1 neu − 1 ≤ t ≤ −ε
 −t


x0 ( t ) =  neu − ε ≤ t ≤ ε
ε
 −1 neu ε ≤ t ≤ 1
Ta có

f ( x0 ) =

−ε

0

ε

1

−1

−ε

0

ε

∫ x(t )dt + ∫ x(t )dt −∫ x(t )dt −∫ x(t )dt

−ε

0

ε

1

t
t
= ∫ dt − ∫ dt + ∫ dt − ∫ dt
ε
ε
−1
−ε
0
ε

= 2 −ε
2 − ε = f ( x0 ) ≤ f

x0 = f

Ta có

x0 = sup x0 (t ) = 1
t∈[ −1,1]

Vì

ε > 0:2−ε ≤ f ≤ 2
Vậy với

ε →0⇒ f =2

Cho