Các BT của không gian vecto

CÁC DẠNG BÀI TẬP CHƯƠNG KHÔNG GIAN VECTO
1. Cm : X là tổ hợp tuyến tính của hệ vecto U gồm u1, u2, u3

Ví dụ 1. Trong không gian

¡

3

; chứng minh rằng véc tơ x = (4; 5; 5) là tổ hợp tuyến

tính của hệ véc tơ U = {u1 = (1; 2; -3); u2 =( 2; 1; 1); u3 = (4; 2; 3)}.
Giải:
Để chứng tỏ x là tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ U, ta cần tìm các hằng số
sao cho x =

λ1 ; λ 2 ; λ 3

λ1u 1 + λ 2 u 2 + λ 3 u 3

(4; 5; 5) = λ 1 .(1; 2; − 3) + λ 2 (2;1;1) + λ 3 ( 4; 2; 3)
λ 1 + 2λ 2 + 4λ 3 = 4
λ 1 + 2λ 2 + 4λ 3 = 4
λ 1 + 2λ 2 + 4λ 3 = 4



⇔ 2λ 1 + λ 2 + 2λ 3 = 5 ⇔  − 3λ 2 − 6λ 3 = −3 ⇔ 
λ 2 + λ3 = 1
− 3λ + λ + 3λ = 5



4λ 2 + 9λ 3 = 14
4λ 2 + 9λ 3 = 14
1
2
3



λ 1 + 2λ 2 + 4λ 3 = 4
λ 1 = 4 − 2λ 2 − 4λ 3 = −2


⇔
λ 2 + λ 3 = 1 ⇔ λ 2 = 1 − λ 3 = −1

λ = 2
5λ 3 = 10

 3

Dạng 1

Vậy x = -2u1 – u2 + 2u3
2. Xét sự độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của hệ

Ví dụ 2. Trong không gian R3, xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ
a) U = {u = (1; 1; -2)}
b) U = {u1 = (1; 2; -3); u2 = (2; 4; -6)}
c) U = {u1= (1; 2; 3); u2 =(0; 0; 0); u3 = (1;3; -1)}

d) U = {u1 = (1, 1, 2), u2 = (1, 2, 5), u3 = (5, 3, 4)}
e) U = {u1 =(1; -1; 2); u2 = (2; 0; 1); u3 = (1; 2; - 4); u4 = (3; 1; 4)}

Giải :


Cách xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ U = {u1, u2, …,
um}:
Ta xét phương trình: k1u1 + k2u2 + … + kmum =

θ

(*)

+) Nếu phương trình (*) có nghiệm duy nhất k 1 = k2 = … = km = 0 thì U là độc lập
tuyến tính.
+) Nếu phương trình (*) có nghiệm k1; k2; … ; km không đồng thời bằng 0 thì U là phụ
thuộc tuyến tính.
 =>
a) Hệ U chỉ có một véc tơ khác không nên U là độc lập tuyến tính
b) Hệ U chứa 2 véc tơ tỷ lệ nhau nên U là độc lập tuyến tính
c) Hệ U có chứa véc tơ không nên nó là hệ phụ thuộc tuyến tính
d)

Ta có

k1u1 + k2u2 + k3u3 = θ ⇔ k1(1, 1, 2) + k2(1, 2, 5) + k3(5, 3, 4) = (0, 0, 0)

⇔ Hệ phương trình bậc nhất

 k 1 + k 2 + 5k 3 = 0

k 1 + 2k 2 + 3k 3 = 0
 2 k + 5k + 4 k = 0
2
3
 1

(*)

Lấy phương trình 2 trừ phương trình 1, phương trình 2 nhân với (-2) rồi cộng với

phương trình 3 thì hệ (*) ⇔ hệ

⇔

k 1 + k 2 + 5k 3 = 0

k 2 − 2k 3 = 0


⇔

k 1 + k 2 + 5k 3 = 0

k 2 − 2k 3 = 0


k 2 − 2k 3 = 0


 k 1 = −7 k 3

 k 2 = 2k 3

.

Chọn k3 = 1 thì hệ (*) có nghiệm là k1 = -7, k2 = 2, k3 = 1. Vậy chứng tỏ hệ đã cho là
phụ thuộc tuyến tính.
e) Giải tương tự d) suy ra hệ U là phụ thuộc tuyến tính.


3. Tìm hạng của vecto

Cách tìm hạng của hệ véc tơ trong Rn:
Cho hệ véc tơ U = {u1, u2, …, um} ⊂ Rn. Với i,có ui = (ai1, ai2, ... , ain); i = 1, 2, 3, … , n.

Ma trận

 a 11
a
A =  21
 ...

a m1

a 12
a 22
...
a m2

... a 1n 
... a 2 n 
... ... 

... a mn 

(với dòng thứ i của A là toạ độ của véc tơ ui).

Ma trận A được gọi là ma trận liên kết với hệ véc tơ U. Khi đó r(U) = r(A).
Ví dụ 3. Trong không gian R4, tìm hạng của hệ véc tơ U = {u1, u2, u3, u4}
u1 = (1; -2; 3; 4); u2 = (1; -1; 2; -1); u3 = (2; - 3; 5; 3); u4 = (4; -5; 9; 1)
Giải:
Ta có ma trận liên kết với hệ véc tơ U:
1 − 2 3 4 
1 − 1 2 − 1

A=
2 − 3 5 3 


4 − 5 9 1 

Biến đổi ma trận này về dạng bậc thang, ta được
4 
4
1 − 2 3 4 
1 − 2 3
1 − 2 3
1 − 1 2 − 1 −d1 +d 2 0 1 − 1 − 5  −d 21 +d 3 0 1 − 1 − 5

 → 
 → 

A=
2 − 3 5 3  −− 24dd1 ++dd 3 0 1 − 1 − 5  −3d 2 +d 4 0 0
0
0

 1 4



4
−
5
9
1
0
0


0 3 − 3 − 15
0 0

=B

Nên r(A) = r(B) = 2. Suy ra r(U) = 2
Chú ý . Từ mối liên hệ về hạng của hệ véc tơ U và hạng của ma trận A, ta có nhận xét:
+) r(A) = m
+) r(A) < m

⇔
⇔

hệ véc tơ U độc lập tuyến tính
hệ véc tơ U phụ thuộc tuyến tính


Ví dụ 4. Trong không gian R4, tìm m để hệ véc tơ U sau có hạng bằng 3
U = {u1 = (1; -2; 3; 4); u2 = (1; -1; 2; -1); u3 = (3; -5; 8; m); u4 = (3; - 4; 7; -2m + 12) }
Giải:
Gọi A là ma trận liên kết với hệ véc tơ U. Bài toán đưa về tìm m để r(A) = 3

Ta có

1
1
A=
3

3

−2 3
−1 2
−5 8







− 4 7 − 2m + 12
4
−1
m

. Biến đổi sơ cấp đưa ma trận A về dạng bậc thang

4
4
4 
1 − 2 3

1 − 2 3

1 − 2 3
1 − 1 2




− 1  − d1 + d 2  0 1 − 1
− 5  − 2 d 3 +d 4 0 1 − 1 − 5 

A=
→
→
=B
3 − 5 8
 −−33dd1 ++dd 3 0 1 − 1

m
m − 12  −d 2 +d 3 0 0
0 m − 7

 1 4



0
0 
3 − 4 7 − 2m + 12
0 2 − 2 − 2m + 24
0 0

Ma trận B là ma trận dạng bậc thang.r(A) = r(B) = 3 khi và chỉ khi
Vậy hệ véc tơ U có r(U) = 3 khi và chỉ khi

m≠7

m≠7

.

.

4. Tìm cơ sở và số chiều của vecto

Định nghĩa : Cho w là một không gian vecto của E
-

Mỗi hệ con độc lập tuyến tính cực đại của W là một cơ sở của W
Số vecto trong một cơ sở của W là số chiều của W
Kí hiệu: dimW = số vecto trong một cơ sở của W
Ví dụ 5. Tìm cơ sở và chiều của không gian con F của R3 sinh bởi hệ vecto sau
U = { u1 = (1; 2;1); u 2 = (1;−3;4); u 3 = (2; − 1; 5)}

a

U = { u1 = (1; 0; 0); u 2 = (1;1;0); u 3 = (2;1;1)}

b

Cách 1: để tìm cơ sở của không gian con F sinh bởi U, ta cần tìm hệ con độc lập tuyến
tính cực địa của U
a

Xét hệ vecto U có u3=u1+u2 => U là hệ phụ thuộc tuyến tính và (u1,u2) là hệ đltt nên nó
là hệ đltt cực đại của U

 (u1,u2) là cơ sở của F và dimF=2
b Tương tự ta có U là hệ đltt => U là cơ sở của F và dimF=3


Cách 2 : tìm hạng của mt liên kết vs hệ vecto. Từ ma trận bậc thang tìm các vecto tưng
ứng vs các dòng khác không của mt => cơ sở và số chiều của kg vecto f = L(U)
5. Tìm hệ con độc lập tuyến tính tối đại of hệ vt

Vd: Tìm hệ vector độc lập tuyến tính tối đại của hệ vector sau:
u1 (1, −1, 0); u2 = (2, −1, −1); u3 = (0,1, −1); u4 = (2, 0, −2)

Hướng dẫn
u1 , u2 , u3 , u4

Xét ma trận A có các dòng là các tọa độ vector
.
Khi đó, thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ta được.
 1 −1 0 
1 −1 0 
1 −1 0 
 2 −1 −1 d2 →d2 − 2 d1 0 1 −1 d3 →d3 −d2 0 1 −1
d 4 → d4 − 2 d1
d 4 →d4 − d 2
 →

 

A=
→
 0 1 −1
 0 1 −1
0 0 0 






 2 0 −2 
0 2 −2 
0 0 0 


 r(A)= 2 => hệ con đltt tối đại có 2 vecto

Vậy hệ độc lập tuyến tính tối đại của hệ này là:

u1 = (1, −1, 0); u2 = (0,1, −1)