DEDA HSG MON TOAN 8 HUYEN HOANG HOA NAM HOC 20112012

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011- 2012
MÔN THI: TOÁN - LỚP 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (3,0 điểm).
 1

2

5 − x  1− 2x

+
−
: 2
Cho biểu thức A = 
2 ÷
 1− x x +1 1 − x  x −1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A > 0.
Bài 2: (4,0 điểm).
a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:



7

( 6 x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1)  3x − ÷
4


x− y
b) Tính giá trị biểu thức P = x + y . Biết x 2 – 2 y 2 = x y

( x + y ≠ 0, y ≠ 0).

Bài 3: (4,0 điểm).
a) Giải phương trình: x6 – 7x3 – 8 = 0
b) Chứng minh rằng: Nếu 2n + 1 và 3n + 1 (n ∈ N) đều là các số chính phương thì n
chia hết cho 40.
Bài 4:(6,0điểm).
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh ∆ABD ∼ ∆ACE.
b) Chứng minh BH.HD = CH.HE.
c) Nối D với E, cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng DE theo a, b.
Bài 5: (3.0điểm).
a) Giải phương trình: (8x – 4x2 – 1).(x2 + 2x + 1) = 4(x2 + x + 1)
2

 ab + 1 
b) Cho hai số a, b thoả mãn a + b ≠ 0. Chứng minh rằng: a + b + 
÷ ≥ 2.
 a+b 
2

2

……………………………………HẾT…………………………………
Họ và tên thí sinh:……………………………………… Giám thị 1:………………………

Số báo danh:……………………….

Giám thị 2:……………………….


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ

Bài

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2011- 2012
MÔN THI: TOÁN - LỚP 8

Nội dung

Điểm
0,25đ
0,75đ

a) (2,0 điểm) KXĐ: x ≠ ± 1
1+ x + 2 − 2x − 5 + x 1 − 2x
: 2
1 − x2
x −1
2
2 x −1
2
=
= 2 .

x −1 1− 2x 1− 2x

A=
Bài 1
(3,0điểm)

1,0đ

b) (1,0 điểm) A > 0 ⇔ 1 – 2x > 0 ⇔ x <
Đối chiếu ĐKXĐ, ta được - 1 ≠ x <

1
2

1
.
2

7



7
−77
= 12x2 – 18x + 14x - 21 – 12x2 + 7x – 3x + =
4
4

a) (2,0 điểm) ( 6 x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1)  3x − ÷
4

Bài 2

b) (2,0 điểm) x2 – 2y2 = xy ⇔ x2 – xy – 2y2 = 0 ⇔ (x + y)(x – 2y) = 0
(4,0điểm)
Vì x + y ≠ 0 nên x – 2y = 0 ⇔ x = 2y
2y − y

y

1

Khi đó A = 2 y + y = 3 y = 3
a) (2,0 điểm) Ta có x6 – 7x3 – 8 = 0 ⇔ (x3 + 1)(x3 – 8) = 0
⇔ (x + 1)(x2 – x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = 0 (*)
Do x2 – x + 1 = (x –

1 2 3
) + > 0 và x2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 > 0 với
2
4

mọi x, nên (*) ⇔ (x + 1)(x – 2) = 0 ⇔ x ∈{- 1; 2}
b) (2,0 điểm) Do 2n + 1 là số chính phương lẻ nên 2n + 1 chia cho 8
Bài 3
dư 1, suy ra n là số chẵn.
Vì 3n + 1 là số chính phương lẻ nên 3n + 1 chia cho 8 dư 1, suy ra
(4,0điểm)
3n M8 ⇒ n M8 (1)
Do 2n + 1 và 3n + 1 đều là số chính phương lẻ nên có tận cùng bằng
1; 5; 9 do đó khi chia cho 5 thì có dư là 1; 0; 4

Mà (2n + 1) + (3n + 1) = 5n + 2 , do đó 2n + 1 và 3n + 1 khi chia cho 5
đều dư 1. Suy ra 2n M5 và 3n M5 ⇒ n M5 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ n MBCNN(5; 8) hay n M40

0,5 đ
0,5đ
2,0đ
0,75đ
0,75đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ


a) (2,0điểm)
Chứng minh được

A

∆ABD ∼ ∆ACE.

D
E

2,0đ

H

C

B

Bài 4

b) (2,0điểm)
(6,0điểm) Chứng minh được ∆BHE ∼ ∆CHD
Suy ra BH.HD = CH.HE.
c) (2,0điểm)
A
Khi AB = AC = b thì ∆ABC cân tại A
Suy ra được DE // BC ⇒
⇒ DE =
D

E
H
F

B

C

(3,0điểm)

0,25đ

DE AD
=
BC AC

AD.BC
AC

0,25đ

a
2

0,25đ

Gọi giao điểm của AH và BC là F ⇒AF ⊥ BC,
FB = FC =

DC BC
BC.FC
a2
=
⇒ DC =
=
FC AC
AC
2b
AD.BC

( AC − DC ).BC
⇒ DE =
=
AC
AC
2
a
a (2b 2 − a 2 )
(b − ).a
=
=
2b
2b 2
b

∆DBC ∼ ∆FAC ⇒

Bài 5

1,0đ
1,0đ

a) (1,5điểm).
Nhận thấy x = - 1 không phải là nghiệm của phương trình.
8x − 4 x − 1 x + x + 1
= 2
4
x + 2x + 1
2
2

2
2
x + x +1
4 x + 4 x + 4 3( x + 2 x + 1) + ( x − 2 x + 1)
=
=
Ta có 2
x + 2 x + 1 4( x 2 + 2 x + 1)
4( x 2 + 2 x + 1)
3 ( x − 1) 2
3
≥ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0 ⇔ x = 1(1)
= +
2
4 4( x + 1)
4
2
8 x − 4 x − 1 3 − 4( x 2 − 2 x + 1) 3
3
=
= − ( x − 1) 2 ≥ . Đẳng thức xảy ra
Lại có:
4
4
4
4

Với x ≠ - 1 PT đã cho tương đương với

2

0,5đ
0,25đ
0,5đ

0,25đ

2

khi và chỉ khi x – 1 = 0 ⇔ x = 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình chỉ có nghiệm x = 1
b) (1,5điểm)

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

2

 ab + 1 
2
2
2
2
2
Ta có a + b + 
÷ ≥ 2 ⇔ (a + b )(a + b) + (ab + 1) ≥ 2(a + b)
 a+b 

2

2

0,25đ


⇔ (a + b)2 [(a + b)2 – 2ab] – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 0
⇔ (a + b)4 – 2ab(a + b)2 – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 0
⇔ (a + b)4 – 2(a + b)2(ab + 1) + (ab + 1)2 ≥ 0
⇔ [(a + b)2 – ab - 1]2 ≥ 0 suy ra đpcm.

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ