SKKN Tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp tỉ số thể tích

1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Ở nhà trường phổ thông hiện nay, việc giảng dạymôn toán không chỉ đơn
thuần truyền thụ cho học sinh những kiến thức có sẵn rập khuôn, máy móc mà
giáo viên phải biết tổ chức cho học sinh tự khám phá, tìm tòi, phát hiện tri thức.
Vì vậy, giáo viên cần trang bị cho học sinhphương pháp tiếp cận và giải quyết
từng dạng toán, phương pháp phân loại và kĩ năng giải các dạng bài tập cụ thể.
Chương trình toán phổ thông có rất nhiều nội dung khó, hình thức đa dạng.
Phần hình học không gian là một trong những môn học khó, học sinh “ngại” học.
Kiến thức cơ bản về hình học không gian được trình bày trong chương trình toán
lớp 11. Nội dung kiến thức nhiều và khó nhưng thời lượng theo phân phối
chương trình còn ít nên hầu hết học sinh không tiếp thu được hoặc nắm được kiến
thức một cách sơ sài. Việc không nắm chắc kiến thức hình học ở lớp 11 nên phần
hình học lớp 12 học sinh cũng rất khó tiếp thu. Đặc biệt , phần tính thể tích khối
đa diện là phần khó nên học sinh càng khó khăn hơn.
Hơn nữa trong những năm gần đây bài toàn hình học không gian về thể tích
khối đa diện thường xuyên được đề cập trong đề thi đại học, cao đẳng các năm.
Trong đề thi học sinh giỏi các tỉnh bài toàn hình không gian cũng được xem như
là câu bắt buộc.
Với mong muốn giúp cải thiện việc dạy và học phần hình học tính thể tích
khối đa diện lớp 12, trong những năm giảng dạy ở trường phổ thông tôi đã nghiên
cứu, tìm tòi nhằm nêu ra phương pháp đơn giản và hiệu quả nhất giúp học sinh
nắm và vận dụng vào giải các bài toán về thể tích khối đa diện.
Xuất phát từ lý do trên, tôi đã chọn sáng kiến kinh nghiệm: “Tính thể tích
khối đa diện bằng phương pháp tỉ số thể tích”. Qua những nội dung trình bày
trong sáng kiến kinh nghiệm này, mong rằng sẽ giúp ích cho đồng nghiệp và học
sinh dạy và học phần hình học lớp 12 chương 1 tốt hơn.
-1-


1.2. Điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

Tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp tỉ số thể tích là phương pháp
được hình thành từ ý tưởng một bài tập sách giáo khoa hình học lớp 12. Cách áp
dụng phương pháp khá cụ thể , đơn giản nên hầu hết học sinh nắm bắt được.
Vấn đề tỉ số thể tích cũng đã có người quan tâm, nghiên cứu.Tuy nhiên, các
tài liệu đó chỉ nêu vấn đề thông qua một số bài tập, trình bày không có phương
pháp, trình bày còn chung chung, rời rạc, không phù hợp với việc áp dụng của
học sinh.
Trong sáng kiến kinh nghiệm này, phương pháp tính thể tích khối đa diện
bằng tỉ số thể tích được trình bày rất cụ thể, rõ ràng phù hợp trình độ học sinh.
Mỗi nội dung, mỗi dạng được trình bày riêng biệt. Học sinh nắm và áp dụng
phương pháp tỉ số thể tích cho khối chóp tam giác, khối chóp tứ giácvà hai khối
chóp tam giác có góc tam diện tương ứng ở hai đỉnh bằng nhau. Mặt khác, thông
qua các ví dụ cụ thể, nhiều dạng, nhiều mức độ nên học sinh từ trong bình trở lên
đều có thể hiểu và vận dụng được phương pháp.
Sử dụng phương pháp tỉ số thể tích để tính thể tích khối đa diện mà bản thân tôi
giảng dạy cho học sinh những năm qua đã mang lại hiệu quả rất tốt. Học sinh
hứng thú hơn trong môn học, đặc biệt qua phương pháp này học sinh giải quyết
tốt bài tập sách giáo khoa, câu hình học không gian trong đề thi đại học, cao đẳng
và đề thi học sinh giỏi tỉnh.

-2-


2. PHẦN NỘI DUNG
2.1. Thực trạng việc dạy và học phương pháp tỉ số thể tích ở nhà trường phổ
thông
Phương pháp tính thể tích khối đa diện bằng tỉ số thể tích được khái quát từ
một bài toán nên việc tiếp cận và áp dụng của giáo viên củng như học sinh còn
rất hạn chế.
Do học sinh còn yếu về phần hình không gian nên nhiều giáo viên khi giảng

dạy không quan tâm đến bài toán tính thể tích khối đa diện trong chương 1 hình
học 12. Đối với phần này giáo viên thường rập khuôn, áp dụng công thức nên học
sinh không hứng thú và dễ quên. Bài toán tỉ số thể tích chỉ được một vài giáo
viên dạy chương trình nâng cao quan tâm còn các giáo viên khác chưa để ý tới.
Trong đề thi đại học, cao đẳng và đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh thường
xuất hiện bài toán tính thể tích khối đa diện. Học sinh thường bỏ qua hoặc rất
lúng túng khi giải .
Qua tìm hiểu và tập hợp thông tin tôi nhận thấy, học sinh hầu hết không biết
đến cách tính thể tích bằng phương pháp tỉ số thể tích. Tuy nhiên, khi được trình
bày phương pháp này học sinh nắm bắt rất nhanh và sử dụng ưu thế cho các bài
tập tính thể tích khối đa diện.
2.2.Các phương pháp tính thể tích khối đa diện bằng tỉ số thể tích
2.2.1.Các phương pháp tính thể tích khối đa diện bằng tỉ số thể tích
2.2.1.1. Phương pháp tính thể tích khối chóp tam giác bằng tỉ số thể tích
a) Bài toán 1( Bài tập 4 SGK HH12CB trang 25)

-3-


Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’,
V

SA ' SB ' SC '

S . A ' B 'C '
=
×
×
B’, C’ khác S. Chứng minh : V
(*)

SA SB SC
S . ABC

C

Lời giải:
Gọi H, H’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của C, C’

lên

C'

(SAB)

B

B'

Ta có:
VS . A ' B 'C ' VC'. A ' B 'S
=
VS . ABC
VC. ABS

1
×S SA ' B ' ×C ' H '
=3
1
×S SAB ×CH
3

S

H'

H
A'
A

1 1
ˆ B ×C ' H '
× SA '.SB '.sin AS
3
2
=
1 1
ˆ B ×CH
× SA.SB.sin AS
3 2
SA ' SB ' C 'H' SA ' SB ' SC '
=
×
×
=
×
×
SA SB CH
SA SB SC

• Chú ý : Trong bài toán trên nếu A’ trùng với A, B’ trùng với B thì kết quả

V

SC '

S . A ' B 'C '
=
vẫn đúng và V
SC
S . ABC

b) Phương pháp áp dụng

S

Trong công thức (*) ở trên , để tính thể tích của
cần tính các tỉ số
VS . A ' B 'C '

SA ' SB ' SC '
,
,
và
SA SB SC

khối chóp S.A’B’C’ ta

VS . ABC để suy

ra
N

SA ' SB ' SC '
=
×
×
.VS . ABC
SA SB SC

C
G
A

H

M

S

I

c) Một số ví dụ minh hoạ
B

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC

M
C

-4-

A
B


vuông cân ở B, AC =

, SA vuông góc với

mp(ABC), SA = a. Gọi G là trọng tâm tam giác
SBC; mặt phẳng (P) qua G và song song với BC
cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Tính thể tích khối chóp S.AMN.
Lời giải:
Do (P) // BC nên suy ra MN//BC. Áp dụng bài toán 1,
Ta có
VS . AMN
SM SN 2 2 4
4
4 1 1
2a 3
=
×
= . = ⇒VS . AMN = .VS . ABC = . . a.a.a =
.
VS . ABC
SB SC 3 3 9
9
9 3 2
27

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C

và vuông góc với (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt

D

phẳng qua C và

vuông góc với BD, cắt BD tại F, cắt AD tại E. Tính thể

tích khối
F

tứ diện CDEF.

E

Lời giải:

B

+ Ta có AB ⊥ AC , AB ⊥ CD ⇒ AB ⊥ CE . Mặt khác,
CE ⊥ BD ⇒ CE ⊥ ( DAB ) ⇒ CE ⊥ DA .

+Áp dụng hệ thức trong các tam giác vuông DCA, DCB:
DE DC 2
a2 1
=
=
=
DA DA2 2a 2 2
DF DC 2 a 2 1

DF .DB = DC 2 ⇒
=
=
=
DB DB 2 3a 2 3
DE.DA = DC 2 ⇒

+Từ đó:
VD.C EF
DE DF 1 1 1
1
a3
=
×
= . = ⇒VD.C EF = .VD. ABC =
.
VD. ABC
DA DB 2 3 6
6
36

-5-

C

A


Ví dụ 3. Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết AB = 2, AC = 3, AD = 4 và
∠BAC = ∠CAD = ∠BAD = 600 .

Lời giải:
+ Trên cạnh AD, AC lần lượt lấy các điểm D’,
C’ sao cho AD’ = AC’ = 2.
V

AC ' AD '

2 2

1

A. BC ' D '
=
×
= . =
+ V
AC AD 3 4 3
A. BCD

+ABC’D’ là tứ diện đều cạnh bằng 2 nên ⇒ VABC ' D ' =

2 2
⇒ VABCD = 3.VABC ' D ' = 2 2.
3
A

Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều

bằng a. Gọi P, Q

lần lượt là trung điểm AB, CD và R là một

điểm trên
P

cạnh BC sao cho BR = 2RC. Mặt phẳng
(PQR) cắt AD tại S. Tính thể tích khối tứ
diện SBCD theo a.

R

C

B
S
I

Q

Lời giải:

K

D

+ Gọi L là giao điểm của PQ và BD. Khi đó S là giao
L

điểm của PL và AD. Dựng đường thẳng qua D và

A

song song với BC cắt RQ tại K. Dựng đường thẳng qua P và

song song

với AD cắt BD tại I.
S

Ta có:

D'
B

DL DK RC 1
DL 1
LI 3
=
=
= ⇒
= ⇒
=
LB BR BR 2
4 ID 2
DL 2
DL DS 2 DS 2
DA
SA 2
=
=

= ⇒
=3⇒
=
LI
PI
AD 3
DS
AD 3

M

C'

C
C

D

A
B

+Từ đó :
-6-


VABSC
V
AS
2
1

=
= ⇒ SBCD =
VABDC
AD 3
VABDC 3
⇒VSBCD

1
1 1 a2 3
= VABCD = .
.a
3
3 3 4

S

2 a3 2
=
3
36
J

Ví dụ 5.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ

I

A

nhật, AB = SA = a, AD = a√2, SA vuông góc với
mp(ABCD). Gọi I, J lần lượt là trung điểm AD, SC

và K là giao điểm của BI và AC. Tính thể tích

D

K
H

B

khối

C

tứ diện ẠIK theo a.
Lời giải:
+ Gọi H là giao điểm của AC và BD.
Ta có K là trọng tâm tam giác ABD, do đó

+

AK 2
AK 1
= ⇒
=
AO 3
AC 3

VA.IJK
AI AK 1 1 1
=

×
= . =
VA.DJC AD AC 2 3 6

VA.DJC VC. ADJ CJ 1
=
=
=
VSACD VC.A DS CS 2
⇒ VA.IJK

S

1 1
1 1 a2 2
a3 2
= . VS . ACD = . .
.a =
6 2
12 3 2
72
M

A

B

Ví dụ 6.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
H

vuông cạnh a. Cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông
góc của S lên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC

D

C

sao cho
AC = 4 AH.Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung
điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
Lời giải
-7-


+Theo giả thiết ta tính được
AH =

a 2
a 14
3a 2
,S H =
,C H =
, SC = a 2 ⇒ SC = AC
4
4
4

Do đó tam giác SAC cân tại C , CM ⊥ SA nên M là trung điểm SA.

+

VS .MBC SM 1
=
=
VS . ABC
SA 2

⇒ VS .MBC

1
1 1 a 2 a 14 a 3 14
= VS . ABC = . . .
=
2
2 3 2
4
48

d) Bài tập đề nghị :
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Gọi M là trung điểm AB. Trên cạnh AC
lấy điểm N, trên cạnh CD lấy điểm P sao cho AN = 2 NC, Dp = 2 PC. Gọi Q là
giao điểm của (MNP) với BD. Tính thể tích khối đa diện ABMNPQ.
Bài 2. Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC = a. (P) là mặt phẳng đi qua trọng
tâm G của tứ diện cắt SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’ khác S.
Chứng minh : từ đó hãy tìm giá
T=

SA SB SC
+
+

= 4 trị lớn nhất của
SA ' SB SC '

1
1
1
+
+
SA '.SB ' SC '.SB ' SA '.SC '

-8-


S

Bài 3. Cho hình chóp đều SABC có cạnh đáy bằng a, góc

giữa mặt
B'

A'

bên và mặt đáy bằng α. Mặt phẳng (P) tạo bởi AB và
D'
C'

đường phân giác của góc tạo bởi (SAB) và

B

S2

(ABC) cắt cạnh SC tại N. Tính thể tích khối tứ diện

A

S1
D

C

SABN.

2.2.1.2. Phương pháp tính thể tích khối chóp tứ giác bằng tỉ số thể tích
a)Bài toán 2.
Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có thể tích V, chiều cao h, ABCD là tứ giác
lồi có diện tích S. Trên các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’,
D’ khác S. Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ .
b) Phương pháp giải.
• Ta chia khối chóp tứ giác S.ABCD thành 2 khối chóp tam giác có diện tích
đáy bằng S1 và S2 ( chẳng hạn chia bằng mp(SBD))
Áp dụng bài toán 1, ta có:
+

VS .B 'C 'D' SB ' SC ' SD '
=
×
×
VS . BCD
SB SC SD

S
1
1
+VS . BCD = S2 .h ; VS .A BCD = S .h ⇒ VS .BCD = 2 V
3
3
S
SB ' SC ' SD ' S 2
⇒ VS .B 'C 'D' =
×
×
. V
SB SC SD S
SB ' SA ' SD ' S1
× ×
. V
+Tương tự : VS .B 'A'D' =
SB SA SD S
SB ' SD ' V
SA '
SC '
⇒ VS . A ' B 'C ' D ' = VS . B 'C ' D ' + VS . A' B ' D ' =
×
. (S1
+ S2
)
SB SD S
SA
SC

-9-


• Chú ý : Không áp dụng được kết quả của bài toán 1 đối với chóp tứ giác.
c)Một số ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = a√3, SA
= 2a và SA vuông góc với mp(ABCD). Một mặt phẳng đi qua A và vuông góc
với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, I, K. Tính thể tích khối chóp S.AHIK theo
a.
Lời giải:
+Ta có:
BC ⊥ ( SAB ) ⇒ AH ⊥ BC
AH ⊥ SC

⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ SB

+Tương tự : AK ⊥ SD

S

I
K
H

A

B

-10-

D

C


SH SA2 4
SH .SB = SA ⇒
=
= .
SB SB 2 5
SI
SA2 1
2
=
=
+ SI .SC = SA ⇒
SC SC 2 2
SK SA2 4
2
SK .SD = SA ⇒
=
=
SD SD 2 7
2

S

M

B

A
H
N
D

P

C

VS .AHI SH SI 4 1
2
1
2 3a 3
+
=
× = . ⇒ VS .AHI = VS . ABC = VS . ABCD =
VS .ABC SB SC 5 2
5
5
15
VS .AKI SK SI 4 1
2
1
2 3a 3
=
× = . ⇒ VS .AKI = VS . ADC = VS . ABCD =
VS .ADC SD SC 7 2
7

7
21
⇒ VS . AHIK =

2 3a 3 2 3a 3 72 3a 3
+
=
15
21
315

Ví dụ 2 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a.
Lời giải

-11-


S

V
CN CP 1 1 1
+ C .MNP =
×
= . =
VC .MBD CB CD 2 2 4
VC .MBD VB.MCD BM 1
=
=

=
VC .S BD VB.SC D
BS 2
⇒

N

M
I

VC .MNP 1
1
1
= ⇒ VC .MNP = VC .SBD = VS.ABC D
VC .S BD 8
8
16

Gọi H là trung điểm AD, do (SAD) ⊥

B

(ABCD)

P
K

A

D

O
C

nên SH ⊥ (ABCD). Do đó

VS.ABC D

1
1 2 a 3 a3 3
1 a3 3 a3 3
= S ABCD .SH = .a
=
⇒ VC .MNP = .
=
3
3
2
6
16 6
96

Ví dụ 3 . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi
M, P lần lượt là trung SA, SC, mp(DMP) cắt SB tại N.Tính thể tích khối chóp
S.DMNP theo a.
Lời giải
+Gọi O là tâm hình vuông ABCD, I = MP ∩ SO,
N = DI ∩ SB. Dựng đường thẳng qua O và song song với DN, cắt SB tại K.
+Ta có

SN SI 1 BK BO 1
SN 1
=
= ;
=
= ⇒
=
SK SO 2 BN BD 2
SB 3

-12-


+

VS.MNP SM SN SP 1
=
× .
=
VS.ABC
SA SB SC 12
1
1
VS.ABC = VS.ABCD
12
24
SM SP 1
=
× =
SA SC 4

⇒ VS.MNP =
VS.D MP
VS.DAC

1
1
⇒ VS.MNP = VS.ABC = VS.ABCD
4
8
1
1
a
a3 2
⇒ VS . DMNP = VS.ABC D = a 2 .
=
.
6
18
36
2

Ví dụ 4 . Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy
là hình thang , ∠BAD = ∠ABC = 900 , AB = BC = a, AD = 2a;SA ⊥ (ABC D), SA = 2a . Gọi
M, N lần lượt là trung SA, SD. Tính thể tích khối đa diện ABCDNM theo a.
Lời giải
+Ta có:

2
3

VS.MBC SM 1
=
= ⇒ VS.MNP = 1 VS.ABC = 1 . 1 . a .2a = a
VS.ABC
SA 2
2
2 3 2
6

VS.MNC SM SN 1
=
×
=
VS.ADC
SA SD 4
⇒ VS.MNC

1
1 1 2
a3
= VS.ADC = . .a .2a =
4
4 3
6

⇒ VS.BCNM = VS.MBC + VS.MNC =

S

a3

3

M

1 (a + 2a)a
a
5a
⇒ VABC D NM = VS.A BCD − VS. BCNM = .
.2a - =
3
2
6
6
3

N

3

A

D

Ví dụ 5 . Cho hình chóp S.ABCD , trong đó
ABCD là hình thang , AB//CD và CD = 4 AB.

-13-

B
C

Mặt phẳng


(P) qua CD cắt SA, SB lần lượt tại M, N. Tìm vị trí của M trên SA để thể tích
khối chóp S.BCNM bằng

5
thể tích khối chóp S.ABCD.
18

Lời giải
Đặt

SM
= x (0 < x < 1), VS . ABCD = V
SA

Ta có MN//CD nên
+

S

SM SN
=
= x.
SA SB

VS.MNC SM SN
V

SM
=
× = x 2 ; S.MDC =
=x
VS.ABC
SA SB
VS.ADC
SA
3
1
xV ; VS.ABC = x 2V
4
4
1
= V ( x 2 + 3x)
4

⇒ VS . ADC =

+Từ đó VS.C DMN =

C

D

+CD = 4AB ⇒ S ADC = 4 S ABC

⇒ VS.C DMN

N

M

A
B

5V
1
5V
10
1
⇔ V ( x 2 + 3x) =
⇔ x 2 + 3x − = 0 ⇒ x =
18
4
18
9
3

Vậy M thuộc SA và SM/SA = 1/3 thỏa mãn đề bài.
Ví dụ 6 . Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích V. Gọi
K là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) chứa AK cắt SB, SD lần lượt tại M,
N.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMKN.
Lời giải
Đặt

SM
SN
= x,
= y (0 < x, y ≤ 1). Ta có:

SB
SD

VSAMKN VSAMK + VSANK VSAMK
V
x y
=
=
+ SANK = +
VSABCD
VSABCD
2VSABC 2VSADC 4 4

-14-


VSAMKN VSAMN + VSKMN VSAMN VSKMN 3xy
=
=
+
=
VSABCD
VSABCD
2VSABD 2VSCBD
4
⇒ x + y = 3xy ⇔ y =
⇒ VSAMKN

S

x
3x − 1

K

1
x
= (x +
)
4
3x − 1

N
D

1
≤ x ≤1
2
1
x
1
f ( x) = ( x +
), ≤ x ≤ 1
4
3x − 1 2
9x 2 − 6x
2
⇒ f '( x ) =
=0⇔ x=
2

4(3x − 1)
3
Do 0 < x, y ≤ 1 ⇒

C
M

B
A

Vậy:
3
8

VSAMKN đạt giá trị lớn nhất bằng V khi M là trung điểm SB hoặc M trùng B.
1
3

VSAMKN đạt giá trị nhỏ nhất bằng V khi SM/SB = 2/3.
d) Bài tập đề nghị
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc
với đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB,
SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.Tính thể tích khối đa diện ABCDC’B’D’.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , SA là đường cao,
SA = a, AB = b, AD = c. Trong (SBD), vẽ đường thẳng qua trọng tâm G của tam
giác SBD cắt SB tại M, cắt SD tại N. Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại K. Xác định
vị trí điểm M trên SB để thể tích khối chóp S.AMKN đạt lớn nhất, nhỏ nhất .
Tính các giá trị đó theo a, b, c.
Bài 3. Cho tứ diện SABC. M là điểm bất kì trong tứ diện. Mặt phẳng (P) qua M
cắt các cạnh SA,SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’. Đặt V, V A, VB, VC lần lượt là thể

tích các khối tứ diện SABC, SMBC, SMCA, SMAB. Chứng minh:

-15-


V=

SA
SB
SC
VA +
VB +
VC
SA '
SB '
SC '

2.2.1.3. Phương pháp tính thể tích khối chóp tam giácbằng tỉ số thể tích khi
hai khối chóp đó có góc tam diện tại hai đỉnh tương ứng bằng nhau
a) Bài toán 3.
Cho khối chóp tam giác S.ABC và khối chóp S’.A’B’C’ có
∠ASB = ∠A ' S ' B '; ∠CSB = ∠C ' S ' B '; ∠ASC = ∠A ' S 'C' .
Chứng minh:
VS '. A ' B ' C '
S ' A' S ' B ' S 'C '
=
.
.
VS . ABC
SA

SB
SC
S

b) Phương pháp giải.

S'

Lời giải:
Trên các tia SA,SB,SC lần lượt lấy các

A1
A'

điểm A1,B1,C1 sao cho S’A’ = SA1,

A
B1
C1

S’B’ = SB1, S’C’ = SC1. Theo giả thiết

B'

Suy ra hai khối tứ diện S’A’B’C’

C'
B

và SA1B1C1 nên có thể tích bằng nhau. Từ đó

VS '. A ' B 'C ' VS . A1B1C1 SA1 SB1 SC1 S ' A ' S ' B ' S ' C '
=
=
.
.
=
.
.
VS . ABC
VS . ABC
SA SB SC
SA SB SC

c)Một số ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1 :Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Các
đường thẳng qua G ,song song với
AD, AB, AC cắt (ABC), (ACD), (ABD) lần lượt tại
A’, B’, C’ tương ứng. Tính thể tích khối tứ diện
GA’B’C’.
Lời giải:

-16-

C


S

+Do GA’//AD, GB’//AB, GC’//AC nên hai tứ
GA’B’C’ và ADBC có góc tam diện đỉnh

G và A bằng nhau. Ta có :
VG A ' B 'C ' G A ' GB ' GC ' 2 2 2 8
=
.
.
= . . =
VA.D BC
AD AB AC 3 3 3 27
⇒ VG A ' B 'C '

B'

C'

Q

A

8
= V
27

A'
C

M

R

P

B

Ví dụ 2: Cho tứ diện SABC có thể tích V. M là một điểm tùy ý trong đáy ABC.
Qua M kẻ các đường thẳng song song với SA, SB, SC lần lượt cắt (SBC),
(SAC), (SAB) tại A’, B’, C’. Chứng minh: VMA ' B 'C ' ≤

1
VSABC .
27

Lời giải:
+Do MA’//AS, MB’//SB, MC’//SC nên hai tứ
MA’B’C’ và SABC có góc tam diện đỉnh M
và đỉnh S bằng nhau nên ta có
VMA ' B 'C ' MA ' MB ' MC '
=
.
.
VSABC
SA SB SC

+ AM,BM,CM lần lượt cắt BC, AC,
AB tại P,Q,R.
Theo định lí Sêva , ta có:
PM QM RM
MA ' MB MC '
+
+
=1⇒
+

+
= 1.
PA QB RC
SA SB
SC

Theo BĐT Côsi, ta có:
1=

SM
= x (0 < x < 1), VSABC. D = V
SA

MA ' MB MC '
MA ' MB MC '
MA ' MB MC ' 1
+
+
≥ 33
.
.
⇒
.
.
≤
SA SB
SC
SA SB SC
SA SB SC 27

⇒VMA ' B 'C ' ≤

1
VSABC .
27

-17-


2.2.2. Phương pháp áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tiễn
+ Đối tượng áp dụng:
Giáo viên có thể áp dụng phương pháp tỉ số thể tích trình bày cho tất cả học sinh
ở các lớp 12. Trong đó, phần (2.2.1.3)áp dụng cho 2 khối chóp tam giác có một
góc tam diện bằng nhau chỉ trình bày cho đối tượng học sinh giỏi.
+ Phương pháp áp dụng:
 Bước 1: Giáo viên đặt vấn đề và nêu phương pháp , hướng dẫn học sinh

chứng minh.
 Bước 2: Lấy ví dụ minh họa phương pháp
 Bước 3: Rèn luyện kĩ năng qua bài tập vận dụng
 Bước 4: Giao bài tập về nhà vận dụng phương pháp
 Bước 5: Kiểm tra kết quả thực hiện của học sinh.
2.2.3. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Sau khi trình bày phương pháp tỉ số thể tích ở trên, tôi đã kiểm chứng kết quả
đối với 2 lớp 12A1 và 12A2 như sau:
a) Đối tượng khảo sát:
- 2 lớp: 12A1, 12A2
- Lớp thực nghiệm : 12A1
- Lớp đối chứng: 12A2
b)Tiến hành:

- Sau bài “Thể tích các khối đa diện” giáo viên dạy một tiết luyện tập trình
bày phương pháp tỉ số thể tích cho học sinh lớp 12A1, còn ở lớp 12A2 thì
dạy theo phương pháp áp dụng công thức sách giáo khoa
- Cho học sinh 2 lớp làm bài kiểm tra 15 phút
-Nội dung bài kiểm tra : GV cho đề bàitính thể tích khối chóp (có thể sử dụng
cách tính trực tiếp hoặc dùng tỉ số thể tích).
c)Kết quả thu được cho ở bảng sau:
-18-


Lớp
T. số
Điểm

Giỏi
Khá
T. bình
Yếu
Kém

12A1(TN)
44
SL
%
13
29,5
18
40,9
11
25,1

2
4,5
0
0,0

12A2( ĐC)
45
SL
%
17,7
8
26,7
12
35,6
16
20,0
9
0,0
0

d) Nhận xét: Qua tiết học trên lớp và kết quả kiểm tra, tôi nhận thấy:
- Năng lực học tập của học sinh ở 2 lớp như nhau nhưng kết quả thu được khác
nhau khá nhiều
- Ở lớp 12A1 (TN) có số lượng điểm khá, giỏi nhiều hơn lớp 12A2(ĐC), số
lượng điểm yếu tập trung chủ yếu ở lớp đối chứng.
- Ở lớp thực nghiệm tiết học sôi nỗi và hứng thú hơn. Bài giải của học sinh lớp
thực nghiệm rõ ràng, ít sai sót hơn lớp đối chứng.

-19-

3. PHẦN KẾT LUẬN
3.1. Ý nghĩa, phạm vi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trong dạy và học môn toán, việc tìm ra lời giải của một bài toán là vấn đề
khó nhưng để có được lời giải hay lại càng khó hơn. Qua nhiều năm giảng dạy,
tôi đã nghiên cứu và đã áp dụng phương pháp tỉ số thể tích để tính thể tích khối
đa diện. Phương pháp này tạo cho học sinh học tập hứng thú, linh hoạt và đạt
hiệu quả cao. Việc áp dụng phương pháp tỉ số thể tích giúp học sinh dễ dàng hơn
trong tính toán, cho lời giải rõ ràng hơn; đặc biệt khi sử dụng phương pháp này
học sinh còn hạn chế về kiến thức hình học không gian cũng có thể giải được bài
toán.
Giáo viên có thể áp dụng phương pháp tính thể tích khối đa diện bẳng tỉ số
thể tích vào giảng dạy chương 1 hình học 12, ôn tập học kì, ôn thi đại học, cao
đẳng và ôn thi học sinh giỏi.Phương pháp trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm
này áp dụng được cho tất cả học sinh khối 12. Tùy theo mục đích cụ thể mà giáo
viên chọn bài tập phù hợp để áp dụng phương pháp.
3.2. Kiến nghị, đề xuất
Để tăng sự hứng thú và hiệu quả học tập môn toán ở trường phổ thông tôi
mong rằng các đồng nghiệp cần đầu tư, mạnh dạn đề xuất những phương pháp
mới áp dụng cho từng dạng bài toán cụ thể.
Nếu phương pháp bản thân tôi đề xuất trong sáng kiến kinh nghiệm này được
truyền đạt đến học sinh chắc chắn học sinh sẽ đón nhận nhiệt tình và mang lại
hiệu quả thiết thực. Mặc dù tôi đã cố gắng nhưng không tránh khỏi thiếu sót. Rất
mong sự góp ý, giúp đỡ của các thầy cô giáo và đồng nghiệp để phương pháp này
được hoàn thiện .

----- *** -----20-


-21-