Tổng hợp lí thuyết và bài tập THPT 12 đại số giải tích

Chương 2: Hệ pt tuyến tính
1/ Hệ pt tuyến tính.........................................................................................................................9
2/ Ma trận:....................................................................................................................................10
3/ Phép biến đổi sơ cấp:...............................................................................................................10
4/ Ma trận bậc thang và ma trận bậc thang rút gọn:....................................................................10
5/ Các phép toán đối với ma trận:................................................................................................12
6/ Ma trận chuyển vị:..................................................................................................................13
7/ Ma trận nghịch đảo:.................................................................................................................14
8/ Tìm ma trận nghịch đảo nhờ các phép biến đổi sơ cấp:..........................................................15
10/ Định nghĩa định thức:............................................................................................................16
11/ Các tính chất của định thức:...................................................................................................17
* định lý:..................................................................................................................................32
*...............................................................................................................................................33
*...............................................................................................................................................33
.................................................................................................................................................33
*...............................................................................................................................................34
.................................................................................................................................................34
.................................................................................................................................................34
.................................................................................................................................................35
.................................................................................................................................................35
.................................................................................................................................................35
.................................................................................................................................................35
.................................................................................................................................................36
.................................................................................................................................................36
.................................................................................................................................................37
.................................................................................................................................................37
.................................................................................................................................................37
.................................................................................................................................................38
.................................................................................................................................................39
* Đạo hàm tổng (hiệu):............................................................................................................40
* Đạo hàm tích:........................................................................................................................40

* Đạo hàm thương:..................................................................................................................41
* Đạo hàm của hàm số hợp:.....................................................................................................41
4/ Đạo hàm của hàm ẩn:..............................................................................................................48
Công thức Maclaurin...............................................................................................................52
Công thức Maclaurin 1 số hàm cơ bản:...................................................................................52
.................................................................................................................................................52
.................................................................................................................................................53
.................................................................................................................................................54
.................................................................................................................................................54
.................................................................................................................................................56
.................................................................................................................................................57
.................................................................................................................................................57
1


.................................................................................................................................................58
.................................................................................................................................................58
.................................................................................................................................................58
.................................................................................................................................................59
.................................................................................................................................................61
.................................................................................................................................................61
7/ Quy tắc L’hopital:....................................................................................................................63
8/ Tính đạo hàm dạng:.................................................................................................................65
Bài tập:.........................................................................................................................................65
1/ Bài tập tính đạo hàm dạng:......................................................................................................65
1/..............................................................................................................................................66
2/..............................................................................................................................................66
3/..............................................................................................................................................66
.................................................................................................................................................67
2/ Bài tập tính đạo hàm của hàm ẩn:........................................................................................71

3/ Bài tập các định lí trung bình:..............................................................................................71
4/ Bài tập khai triển Maclaurin................................................................................................72
5/ Bài tập tính giới hạn = công thức Taylor:...........................................................................74
6/ Bài tập tính giới hạn = qui tắc L’Hopital:...........................................................................76
7/ Bài tập tính giới hạn ko dùng được qui tắc L’Hopital:........................................................78
*/ Find x, know:.......................................................................................................................79
1/ List of elementary function......................................................................................................90
.....................................................................................................................................................95
.....................................................................................................................................................95
1/..................................................................................................................................................96
.................................................................................................................................................98
.................................................................................................................................................99
...............................................................................................................................................100
...............................................................................................................................................102
...............................................................................................................................................104
...............................................................................................................................................105
*.............................................................................................................................................107
...............................................................................................................................................109
...............................................................................................................................................109
................................................................................................................................................110
................................................................................................................................................112
................................................................................................................................................112
................................................................................................................................................113
................................................................................................................................................115
................................................................................................................................................116
................................................................................................................................................117
................................................................................................................................................118
................................................................................................................................................119
...............................................................................................................................................122
...............................................................................................................................................123

2


...................................................................................................................................................133
...............................................................................................................................................133
...............................................................................................................................................134
...............................................................................................................................................134
...............................................................................................................................................136
...............................................................................................................................................137
...............................................................................................................................................137
...............................................................................................................................................139
...............................................................................................................................................140
...............................................................................................................................................140
...............................................................................................................................................141
4/............................................................................................................................................141
...............................................................................................................................................142
...............................................................................................................................................142
...............................................................................................................................................143
5/ Tích phân hàm lượng giác:....................................................................................................143
...............................................................................................................................................143
...............................................................................................................................................145
...............................................................................................................................................146
...............................................................................................................................................146
...............................................................................................................................................147
...............................................................................................................................................148
...............................................................................................................................................149
...............................................................................................................................................150
...............................................................................................................................................151
...............................................................................................................................................152
...............................................................................................................................................153

...............................................................................................................................................154
...............................................................................................................................................155
...............................................................................................................................................156
Check the result.....................................................................................................................158
...............................................................................................................................................159
...............................................................................................................................................161
...............................................................................................................................................161
...............................................................................................................................................162
...............................................................................................................................................165
...............................................................................................................................................165
...............................................................................................................................................166
...............................................................................................................................................167
6/ Tích phân hàm mũ:................................................................................................................176
1/............................................................................................................................................176
...............................................................................................................................................178
2/............................................................................................................................................178
...............................................................................................................................................179
...............................................................................................................................................180
3


...............................................................................................................................................180
...............................................................................................................................................181
...............................................................................................................................................181
...............................................................................................................................................182
7/ Kĩ thuật liên kết tích phân:.....................................................................................................183
...............................................................................................................................................183
...............................................................................................................................................184
...............................................................................................................................................184
...............................................................................................................................................185

...............................................................................................................................................186
...............................................................................................................................................186
...............................................................................................................................................187
...............................................................................................................................................188
...............................................................................................................................................188
...............................................................................................................................................188
...............................................................................................................................................189
...............................................................................................................................................189
...............................................................................................................................................189
...............................................................................................................................................191
...............................................................................................................................................193
...............................................................................................................................................194
...............................................................................................................................................195
...............................................................................................................................................196
...............................................................................................................................................196
...............................................................................................................................................197
...............................................................................................................................................198
...............................................................................................................................................198
...............................................................................................................................................199
...............................................................................................................................................199
...............................................................................................................................................200
*............................................................................................................................................201
...............................................................................................................................................202
...............................................................................................................................................203
...............................................................................................................................................204
...............................................................................................................................................205
...............................................................................................................................................205
...............................................................................................................................................206
...............................................................................................................................................206
...............................................................................................................................................207

...............................................................................................................................................208
...............................................................................................................................................208
* Help me to check the solution ?..........................................................................................210
................................................................................................................................................211
................................................................................................................................................211
...............................................................................................................................................212
4


8/ Tích phân hàm trị tuyệt đối:...................................................................................................213
...............................................................................................................................................213
...............................................................................................................................................213
...............................................................................................................................................213
Chương 5d:................................................................................................................................219
Tích phân hàm vô tỉ:..................................................................................................................228
...............................................................................................................................................231
...............................................................................................................................................233
...............................................................................................................................................236
...............................................................................................................................................238
...............................................................................................................................................238
...............................................................................................................................................240
...............................................................................................................................................240
...............................................................................................................................................242
...............................................................................................................................................243
...............................................................................................................................................244
...............................................................................................................................................247
...............................................................................................................................................249
...............................................................................................................................................250
...............................................................................................................................................250
...............................................................................................................................................250

...............................................................................................................................................252
...............................................................................................................................................252
...............................................................................................................................................253
...............................................................................................................................................253
...............................................................................................................................................254
...............................................................................................................................................254
...............................................................................................................................................256
...............................................................................................................................................256
...............................................................................................................................................257
...............................................................................................................................................257
...............................................................................................................................................258
...............................................................................................................................................258
...............................................................................................................................................261
...............................................................................................................................................266
...............................................................................................................................................268
...............................................................................................................................................272
...............................................................................................................................................274
...............................................................................................................................................276
...............................................................................................................................................277
...............................................................................................................................................279
...................................................................................................................................................280
...............................................................................................................................................280
...............................................................................................................................................281
...............................................................................................................................................281
5


...............................................................................................................................................282
...............................................................................................................................................282
...............................................................................................................................................283

...............................................................................................................................................285
8/............................................................................................................................................295
...............................................................................................................................................297
*.............................................................................................................................................299
...............................................................................................................................................299
...............................................................................................................................................304
*.............................................................................................................................................305
*.............................................................................................................................................306
*.............................................................................................................................................307
...............................................................................................................................................309
*.............................................................................................................................................310
*..............................................................................................................................................311
...............................................................................................................................................312
...............................................................................................................................................314
...............................................................................................................................................314
...............................................................................................................................................315
...............................................................................................................................................317
...............................................................................................................................................319
...............................................................................................................................................320
...............................................................................................................................................322
...............................................................................................................................................323
...............................................................................................................................................324
...............................................................................................................................................325
...............................................................................................................................................329
...............................................................................................................................................329
...............................................................................................................................................330
...............................................................................................................................................330
...............................................................................................................................................330
...............................................................................................................................................331
...............................................................................................................................................331

...............................................................................................................................................332
...............................................................................................................................................332
...............................................................................................................................................333
...............................................................................................................................................334
...............................................................................................................................................334
...............................................................................................................................................335
...............................................................................................................................................336
* ............................................................................................................................................336
...............................................................................................................................................337
...............................................................................................................................................338
...............................................................................................................................................339
...............................................................................................................................................339
6


...............................................................................................................................................340
...............................................................................................................................................341
...............................................................................................................................................342
...............................................................................................................................................343
...............................................................................................................................................344
...............................................................................................................................................344
...............................................................................................................................................347
...............................................................................................................................................348
...............................................................................................................................................349
...............................................................................................................................................350
...............................................................................................................................................351
...............................................................................................................................................361
...............................................................................................................................................362
...............................................................................................................................................363
...............................................................................................................................................363

...............................................................................................................................................365
...............................................................................................................................................365
...............................................................................................................................................366
...............................................................................................................................................367
...............................................................................................................................................368
...............................................................................................................................................369
...............................................................................................................................................370
...............................................................................................................................................371
...............................................................................................................................................372
...............................................................................................................................................373
...............................................................................................................................................374
...............................................................................................................................................375
...............................................................................................................................................375
...............................................................................................................................................376
...............................................................................................................................................377
...............................................................................................................................................378
...............................................................................................................................................379
...............................................................................................................................................380
...............................................................................................................................................380
...............................................................................................................................................382
...............................................................................................................................................382
...............................................................................................................................................383
...............................................................................................................................................384
...............................................................................................................................................385
...............................................................................................................................................385
...............................................................................................................................................385
...............................................................................................................................................386
...............................................................................................................................................386
...............................................................................................................................................386
...............................................................................................................................................387

7


...............................................................................................................................................388
...............................................................................................................................................388
...............................................................................................................................................388
...............................................................................................................................................389
...............................................................................................................................................390
...............................................................................................................................................390
...............................................................................................................................................391
...............................................................................................................................................392
...............................................................................................................................................393
...............................................................................................................................................393
...............................................................................................................................................393
...............................................................................................................................................396
...............................................................................................................................................398
With n = 4:.............................................................................................................................400
Check the result:....................................................................................................................400
...............................................................................................................................................401
...............................................................................................................................................402
...............................................................................................................................................403
*/............................................................................................................................................403
...............................................................................................................................................403
1/ Bài toán diện tích hình thang cong:.......................................................................................414
2/ Định nghĩa tích phân xác định:..............................................................................................415
3/ Điều kiện khả tích (intergrability condiction):......................................................................415
4/ Các tính chất của tích phân xác định:....................................................................................418
5/ Công thức Newton – Leibnitz:..............................................................................................421
6/ Tính gần đúng tích phân xác định:........................................................................................423
a/ Đa thức nội suy:.................................................................................................................423

Công thức hình thang:............................................................................................................424
Công thức Simpson:...............................................................................................................426
7/ Ứng dụng hình học của tích phân xác định:..........................................................................427
7.1/ Tính diện tích hình phẳng:..............................................................................................427
...............................................................................................................................................429
...............................................................................................................................................430
7.2/ Trường hợp biên của hình phẳng cho trong tọa độ cực..................................................432
7.3/ Tính độ dài đường cong phẳng.......................................................................................432
7.4/ Tính thể tích vật thể........................................................................................................435
7.5/ Tính thể tích vật thể tròn xoay........................................................................................436
7.6/ Tính diện tích mặt tròn xoay...........................................................................................437
8/ Sơ đồ ứng dụng tích phân......................................................................................................438
9/ Tích phân suy rộng................................................................................................................439
9.1/ Trường hợp cận lấy tích phân là vô hạn:........................................................................439
9.2/ Trường hợp hàm số lấy tích phân ko bị chặn..................................................................440
9.3/ Tiêu chuẩn so sánh:.........................................................................................................440
9.4/ Hội tụ tuyệt đối...............................................................................................................442
Cách đưa tích phân suy rộng loại 2 về tích phân suy rộng loại 1..........................................442
8


Bài tập........................................................................................................................................443
...............................................................................................................................................443
1/ Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng:..........................................................................444
...............................................................................................................................................445
...............................................................................................................................................446
...............................................................................................................................................447
...............................................................................................................................................448
12/ Xét sự hội tụ của tích phân:.............................................................................................449
13/ Xét sự hội tụ của tích phân:.............................................................................................449

2/ Tính các tích phân sau.......................................................................................................450
...............................................................................................................................................451
...............................................................................................................................................451
...............................................................................................................................................452
...............................................................................................................................................453
...............................................................................................................................................453
...............................................................................................................................................456
...............................................................................................................................................456
...............................................................................................................................................457
...............................................................................................................................................457
...............................................................................................................................................458
...............................................................................................................................................459
...............................................................................................................................................459
...............................................................................................................................................459
3/ Dùng định nghĩa tính các tích phân:..................................................................................460
4/ Tính các đạo hàm:..............................................................................................................462
5/ Tính các giới hạn...............................................................................................................462
...............................................................................................................................................462
...............................................................................................................................................463
...............................................................................................................................................464
...............................................................................................................................................465
...............................................................................................................................................466
...............................................................................................................................................467

1/ Hệ pt tuyến tính
Hệ pt tuyến tính tổng quát (m pt, n ẩn) có dạng:
a11.x1 + a12 .x 2 + ... + a1n .x n = b1
a .x + a .x + ... + a .x = b
 21 1 22 2
2n n

2
(1.1) ở đây x1, x 2 , ... x n là các ẩn phải tìm

...

a m1.x1 + a m2 .x 2 + ... + a mn .x n = bm
Định nghĩa: 2 hpt có cùng số ẩn số được gọi là tương đương nếu tập nghiệm của chúng trùng
nhau (tức là nghiệm của hệ này là tập nghiệm của hệ kia)
Định lí: các phép biến đổi sau đây chuyển 1 hệ pt tuyến tính thành 1 hệ tương đương:
9


1/ nhân 2 vế của 1 pt cho 1 số khác 0
2/ cộng 1 pt đã được nhân cho 1 số a vào 1 pt khác
3/ đổi vị trí 2 pt
2/ Ma trận:
Bảng các hệ số của hệ (1.1) là
 a11 a12 ... a1n 
a
÷
 21 a 22 ... a 2n ÷
 ...
... ... ... ÷

÷
 a m1 a m2 ... a mn 
ta gọi nó là ma trận các hệ số của hệ (1.1), nếu thêm 1 cột các vế phải ta được ma trận mở rộng:
 a11 a12 ... a1n b1 

÷

 a 21 a 22 ... a 2n b 2 ÷
 ...
... ... ... ... ÷

÷
÷
a
a
...
a
b
m1
m2
mn
m


thay vì biến đổi trực tiếp trên ma trận (1.1), ta chỉ cần biến đổi trên ma trận mở rộng
3/ Phép biến đổi sơ cấp:
1/a định nghĩa: Ma trận loại m×n là 1 bảng hình chữ nhật m hàng, n cột với mn phần tử. Nếu kí
hiệu ma trận là A và các phần tử ờ hàng thứ i cột j là a ij , thì ta viết:
 a11 a12 ... a1n b1 

÷
a 21 a 22 ... a 2n b 2 ÷

A = a ij =
các phần tử a ij có thể là số thực, số phức, hàm số.
 ...
... ... ... ... ÷


÷
÷
a
a
...
a
b
mn m 
 m1 m2
Định nghĩa: các phép biến đổi sau đây đối với hàng của ma trận được gọi là các phép biến đổi
sơ cấp đổi với hàng:
1/ Nhân các phần tử của hàng thứ i cho số a ≠ 0, ta viết: h i → a.h i
2/ Cộng các phần tử của hàng thứ i đã nhân cho a vào các phần tử tương ứng của hàng k, ta
viết:
h k → h k + a.h i
3/ Đổi vị trí 2 hàng. Nếu 2 hàng thứ 1 và thứ k đổi vị trí cho nhau ta viết: h i ↔ h k

( )

4/ Ma trận bậc thang và ma trận bậc thang rút gọn:
Khái niệm: 1 hàng của ma trận được gọi là = 0 nếu tất cả các phần tử của nó = 0 (Như vậy 1
hàng khác 0 nếu có ít nhất 1 phần tử khác 0)
Phần tử khác 0 đầu tiên của 1 hàng (từ trái sang phải) được gọi là phần tử chính or phần tử cơ
sở của hàng đó.
10


Định nghĩa: ma trận được gọi có dạng bậc thang nếu thỏa các dk sau:
Các hàng = 0 ở dưới các hàng khác 0.

Phần tử cơ sở của 1 hàng phải nằm phía phải so với phần tử cơ sở cùa hàng trên
(Phần tử cơ sở của 1 hàng phải nằm phía trái so với phần tử cơ sở cùa hàng dưới)
Các ma trận sau đây ko có dạng bậc thang:
 2 1 3
0 2 1
 1 5 2 ÷,  3 1 0 ÷ các ma tran này ko thoa dk thu 2




 0 0
 2 3 ÷ ma tran này ko thoa dk thu 1


các ma tran sau có dang bac thang :
 2 3 5
 0 1 4÷

÷
0 0 0÷



1 5 3
0 0 4÷

÷
0 0 0÷



1 2 3 7
0 0 4 2÷

÷
0 0 0 6÷



Định lí: mọi ma trận có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng
 a11 a12 ... a1n 
a
÷
21 a 22 ... a 2n ÷

Cho A =
( gia thiet a11 ≠ 0, neu a11 = 0 và a i1 ≠ 0 thì ta doi vi trí hàng 1 và
 ...
... ... ... ÷

÷
 a m1 a m2 ... a mn 
a .h
Buoc 1: khu tat ca phan tu cua cot 1 duoi a11 bang phép bien doi : h i → h i − i1 1
a11

( i = 2,3...m )

 a11 a12 ... a1n 
 0 b

÷
22 ... b 2n ÷

khi ay, ma tran duoc dua ve dang :
 ...
... ... ... ÷

÷
0 ... b mn 
 0
Buoc 2 : bien doi tu hàng thu 2, gia thiet b 22 ≠ 0 (if b 22 = 0 thì doi hàng)
b .h
khu tat ca phan tu cot 2 duoi b 22 bang phép bien doi : h i → h i − i2 1
b 22
 a11 a12 a13 ... a1n 
 0 b
÷
22 b 23 ... b 2n ÷

0
c33 ... c3n ÷
khi ay, ma tran duoc dua ve dang : A =  0

÷
...
... ... ... ÷
 ...
 0
0 cm3 ... c mn ÷



tiep tuc qua trình tren de dua ma tran ve dang bac thang
11

( i = 3, 4...m )


Định nghĩa: ma trận được gọi có dạng bậc thang rút gọn nếu nó thỏa các dk:
1- Nó có dạng bậc thang 2- phần tử cơ sở của hàng = 1 và là phần tử duy nhất ≠ 0 trong cột
chứa nó
a12 a13 a14 

1 a
a11 a11 ÷
11

÷
 a11 a12 a13 a14 
h3
h1
h2
h4

a
a
 0 a
÷ h1→ , h 2 → , h3 → , h 4 →
23
24 ÷
0

1
a
a

÷
a
a
a
a
22
23
24 ÷
11
22
33
44 →
a
a
A=

22
22

÷
 0
0 a 33 a 34 ÷

a 34 ÷

÷

0
0
1
0
0
0
a

÷

44 
a
33 ÷

0 0
0
1 ÷


a12 a13 a14 

a12 a13 a14 

1 a
÷
1
a
a
11
11

11 ÷
a .h

a 24 .h 4 a 23.h 3 
a11 a11 a11 ÷
h 3 →h 3 − 34 4
h
→
h
−
−

÷
2
2

a 23 a 24 ÷
a 33
a 22
a 22
→  0 1
0
0 ÷
÷→  0 1
a
a

÷
22
22


÷
0 0
1
0 ÷

0 0
1
0 ÷
0 0
0
1 ÷

÷


0
1 
0 0
1 0 0 0
a .h a .h a .h
÷
h1→h1− 14 4 − 13 3 − 12 2 
0
1
0
0
a11
a11
a11

÷

→
0 0 1 0÷

÷
0 0 0 1
5/ Các phép toán đối với ma trận:
Definition 1 ( dinh nghia) ) : matrix A = ( a ik ) , B = ( bik )
cùng loai is called equal if a ik = bik ∀ i, k
Definition 2 : sum of 2 matrix A = ( a ik ) , B = ( bik ) là 1 ma tran cùng loai voi A, B
kí hieu A + B voi phan tu o hàng i cot k là a ik + bik , nghia la: A + B = ( a ik + bik )
Definition 3 : tích cua ma tran A = ( a ik ) voi 1 so c duoc kí hieu c.A = ( c.a ik )

Definition 4 : tích cua 2 matrix, cho A = ( a ik ) loai m × n, B = ( bik ) loai n × p.
Tích of 2 matrix A and B
n

là matrix loai m × p kí hieu A.B with phan tu row i column k : [ AB] ik = ∑ a ij.b jk

( columns ( so cot ) of

j=1

matrix A have to equal rows ( so hàng ) of matrix B )

A.B ≠ B.A hon nua A.B có nghia ( that 's mean nhan dc theo thu tu A truoc B sau )
but B.A có the ko có nghia (that 's mean ko nhan dc B truoc A sau)
12

1
Ex1: A = 
2
1
Ex2 : A = 
1

0
;
3÷


 2 1
2
B=
⇒
A.B
=
÷
7
 1 3

1
 −1 1 
0
;
B
=
⇒

A.B
=
 1 −1÷
0
1÷





1
 4 3
;
B.A
=
 7 9 ÷ ⇒ A.B ≠ B.A
11÷



0
that 's mean A ≠ 0, B ≠ 0 but A.B = 0
0÷


Dinh lí 1 / tính ket hop cua phép nhan matrix :
A ∈ M m×n , B ∈ M n×p , C ∈ M p×q ⇒ A ( BC ) and ( AB ) C cap m × q
p
p  n
p n


( AB ) C  = ∑ [ A.B] ik [ C] kj = ∑  ∑ [ A ] ib [ B] bk ÷[ C ] kj = ∑ ∑ [ A ] ib [ B] bk [ C ] kj
ij
k =1
k =1  b =1
k =1b =1

n

p

n

p

b =1

k =1

b =1

k =1

= ∑ [ A ] ib ∑ [ B] bk [ C] kj = ∑ [ A ] ib ∑ [ BC] bj =  A ( B.C ) 
ij
2 / Tính phan phoi :

( A + B ) C = A.C + B.C

n

n

k =1

k =1

( A + B ) C  = ∑ [ A + B] ik [ C ] kj = ∑
ij

( [ A]

A, B ∈ M m×n , C ∈ M n×p

ik [

)

C] kj + [ B] ik [ C ] kj = [ A.C ] ij + [ B.C ] ij

n

∑ [ A ] ik [ C] kj : lay row i cua matrix A nhan voi column j cua matrix C

k =1

= phan tu row i column j cua ma tran tích
6/ Ma trận chuyển vị:
Định nghĩa: Cho A = ( a ik ) ma trận loại m× n. Ma trận chuyển vị của ma trận A là 1 ma trận
loại n×m được kí hiệu là AT với phần tử hàng thứ i cột thứ k (row i column k) là a ki , that’s

mean AT = ( a ki )

Nói cách khác là hàng thứ i của ma trận A dc chuyển thành cột thứ i của ma trận AT . If
AT = a 'ik thì a 'ik = ( a ki )

( ) ( )

Định lí: đối với phép chuyển vị ma trận, ta có: (với dk các phép toán có nghĩa)

13


( )

1 / AT

T

=A

2 / ( A + B)

T

= A T + BT

3 / ( A.B )

T

= BT .A T

4 / ( c.A )

T

= c.A T

ta cm tính chat 3 : cho A = ( a ik ) − ma tran loai m × n, B = ( bik ) − ma tran loai n × p

( )

( )

⇒ AT = a 'ik − ma tran loai n × m, BT = b'ik − ma tran loai p × n

( )

trong do, ta có : a 'ik = a ki ,

( b'ik ) = bki

n

n

n

j=1

j=1

j=1

dat A.B = U, BT A T = V

⇒ vik = ∑ b'ij .a ' jk = ∑ b ji .a kj = ∑ a kj.b ji = u ki ⇒ U T = V ⇒ ( A.B )

T

= BT .A T

7/ Ma trận nghịch đảo:
Định nghĩa: ma trận vuông I cấp n được gọi là ma trận đơn vị nếu A.I = I.A = A với mọi ma
trận vuông A cấp n
 1 0 ... 0 
 0 1 ... 0 ÷
÷
ma tran don vi I cap n ton tai duy nhat : I = 
 ... ... ... ... ÷

÷
 0 0 ... 1 
Định nghĩa: ma trận B (vuông cấp n) được gọi là ma trận nghịch đảo của A (vuông cấp n) nếu
A.B = B.A = I . Khi ấy ta nói ma trận A khả đảo và kí hiệu ma trận nghịch đảo của nó là A −1
Nếu tồn tại ma trận nghịch đảo thì nó là duy nhất. Nếu B, B’ là các ma trận nghịch đảo của A thì
ta có:
A.B = I nhân bên trái đẳng thức trên cho B’ ta được: B’.A.B=B’

(

)

ve trái = B' .A.B = B' .A .B = I.B = B

( B' là ngich dao cua A nen B'.A = I)

Tuy nhiên, ko phải ma trận nào cũng khả đảo
dinh lí : 1 / If A, B kha dao thì A.B kha dao và ( A.B )

(

−1

= B−1.A −1

) ( )
( B−1.A−1 ) ( A.B) = B−1 ( A−1.A ) B = B−1.I.B = I
−1
T
2 / If A kha dao thì A T kha dao and ( A T ) = ( A −1 )
T
T
T
−1
because A.A −1 = I ⇒ ( A.A −1 ) = IT = I ⇒ ( A −1 ) .A T = I ⇒ ( A −1 ) = ( A T )
−1
3 / If A kha dao thì A −1 kha dao và ( A −1 ) = A
ta có : ( A.B ) B−1.A −1 = A B.B−1 A −1 = A.I.A −1 = I

14


8/ Tìm ma trận nghịch đảo nhờ các phép biến đổi sơ cấp:
Định lí: ma trận vuông A khả đảo khi nó tương đương hàng với ma trận đơn vị
có ngia là ton tai các ma tran so cap : E1, E 2 ,..., E m sao cho : E m ...E 2 .E1.I = A
⇒ A −1 = E m ...E 2 .E1.I

ta có nhan xét : voi các phép bien doi E1, E 2 ,..., E m ta bien A thành I thì cung voi các phép bien d
ma tran I duoc bien thanh A −1
Từ nhận xét trên ta thấy, nếu đặt ma trận A liền bên ma trận đơn vị I, ta có ma trận mở rộng
( A I ) . Rồi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng biến đổi ma trận mở rộng ( A I ) sao
cho A biến thành I thì khi ấy I sẽ thành A −1 . Nói cách khác ta biến

( A I)

thành

(I A )
−1

1 −2 
1 3÷
÷
1 −8 ÷

−2 1 0 0 
 1 0 −5 1 −1 0 
÷ d1→d1−d 2 
÷

3 0 1 0 ÷→  4 1 3 0 1 0 ÷
 6 1 −8 0 0 1 ÷
−8 0 0 1 ÷



 1 0 −5 1 −1 0 
 1 0 − 5 1 −1 0 
÷ d3 →d3 −d 2 
÷
d 2 →d 2 − 4d1 

→  0 1 23 −4 5 0 ÷→  0 1 23 −4 5 0 ÷
d3 →d3 −6d1
 0 1 22 −6 6 1 ÷
 0 0 −1 −2 1 1 ÷






 1 0 0 11 −6 −5 ÷
÷
d 2 →d 2 + 23d3 , d3 →− d3 

→  0 1 0 −50 28 23 ÷ vì ( A I3 ) : ( I3 B ) ⇒ A −1 = B
d1→d −5d

÷

1
3
0
0
1
2
−
1
−
1
 14 2 43 1 44 2 4 43 ÷
 I
÷
B
3



5
VD : Tìm ma tran ngich dao cua A =  4
6

5 1

ta viet ma tran mo rong cua A =  4 1
6 1


A −1 = tích các ma tran so cap :
A

−1

 1 0 0   1 0 0   1 0 −5  1 0 0  1 0 0  1 0 0  1 −1 0 
÷ 0 1 0 ÷ 0 1 0 ÷ 0 1 0 ÷ −4 1 0 ÷ 0 1 0 ÷
=  0 1 0 ÷
0
1
23
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
 0 0 1 ÷ 0 0 1 ÷ 0 0 1 ÷ 0 −1 1 ÷ −6 0 1 ÷ 0 0 1 ÷ 0 0 1 ÷

 1 4 2 4 3 1 4 2 4 31 4 2 4 31 4 2 4 3 1 4 2 4 3 1 4 2 4 3
d 2 →d 2 + 23d3 d1→d1−5d3 d3 →d3 −d 2 d3 →d3 −6d1 d 2 →d 2 −4d1 d1→d1−d 2

9/ định thức cấp 1, 2, 3

15


Pt tuyen tính cap 1: ax + b = 0 ⇔ x = −

b
a

( neu a ≠ 0 )

a11x1 + a12 x 2 = b1 ( 1)
he 2 pt tuyen tinh : 
a 21x1 + a 22 x 2 = b 2 ( 2 )
( 1) × a 22 − ( 2 ) × a12 , ta dc : ( a11.a 22 − a 21.a12 ) x1 = b1.a 22 − b2 .a12
b .a − b2 .a12
b .a − a .b1
if ∆ = a11.a 22 − a 21.a12 ≠ 0 thì x1 = 1 22
, x 2 = 2 11 21
∆
∆
a 
a
dai luong ∆ = a11.a 22 − a 21.a12 dc goi la dinh thuc cap 2 cua ma tran A =  11 12 ÷
 a 21 a 22 
a
a
và dc kí hieu det A, A or 11 12 . Vay det A = a11.a 22 − a 21.a12
a 21 a 22
b1 a12
a11 b1
b a 22
a
b2
x1 = 2
, x 2 = 21
a11 a12
a11 a12

a 21 a 22
a 21 a 22
Liên hệ giữa định thức cấp 2 và 3:
a11 a12 a13
a
a 23
a
a
a
a
a 21 a 22 a 23 = a11 22
− a12 21 23 + a13 21 22
a 32 a 33
a 31 a 33
a 31 a 32
a 31 a 32 a 33
Khái niệm: nếu từ ma trận A cấp 3, bỏ đi hàng và cột chứa a ik (bỏ hàng i cột k) ta dc ma trận
cấp 2 Mik . Định thức của Mik được gọi là định thức con bù của a ik . Vậy công thức trên có thể
viết ở dạng:
det A = a11.det ( M11 ) − a12 .det ( M12 ) + a13 .det ( M13 )
bay gio, ta kí hieu : Aik = ( −1)

i +k

det ( M ik ) , ⇒ det A = a11.M11 + a12 .M12 + a13.M13

10/ Định nghĩa định thức:
Cho A = ( a ik ) − ma tran vuong cap n. Dinh thuc cua A dc tính boi cong thuc sau :
det A = a11.A11 + a12 .A12 + ... + a1n .A1n
i+k

trong do Aik = ( −1)
det ( Mik ) và Mik là ma tran vuông cap ( n − 1) nhan dc tu ma tran A
bang cách bo hàng thu i và cot thu k.
Đại lượng Aik được gọi là phần bù đại số của a ik
Định lí 1 (thừa nhận): với 1 ma trận vuông cấp n ≥ 2, ta có thể khai triển định thức của nó theo
1 hàng bất kì or 1 cột bất kì:

16


n

det A = a i1.Ai1 + a i2 .Ai2 + ... + a in .Ain = ∑ a ij.Aij ( theo hàng thu i )
j=1

n

det A = a1k .A1k + a 2k .A 2k + ... + a nk .A nk = ∑ a jk.A jk ( theo cot thu k )
j=1

11/ Các tính chất của định thức:

( )

Dinh lí 1: det ( A ) = det A T

cho A = ( a ik ) − ma tran vuong cap n. Ta cm = quy nap theo n. Voi n = 1 dung. Gia thiet menh de d
n = k ( dung voi ma tran vuong Bk×k ) và A là ma tran vuong cap ( k + 1)
Ta có khai trien A theo hàng 1:

(

det A = a11.det ( M11 ) + a12 .det ( M12 ) + ... ± a1,k +1.det M1,k +1

(

)

(

T
M1,k +1 là ma tran vuong cap k ⇒ det M1,k +1 = det M1,k
+1

( )

(

)

(

)

)

)

( )

T
T
T
T
⇒ det A = a11.det M11
+ a12 .det M12
+ ... + a1,k +1.det M1,k
+1 = det A

Từ tính chất trên ta thấy vai trò của hàng và cột trong định thức hoàn toàn tương đương, những
tính chất nào đúng cho hàng đều đúng cho cột và ngược lại
Định lí 2: khi nhân 1 số c vào 1 hàng (or cột) thì định thức cũng được nhân cho c
Nhân c vào hàng thứ i của ma trận A = a ik để được ma trận B = bik , khai triển det (B) theo
hàng i, ta được:
det ( B ) = bi1.Bi1 + bi2 .Bi2 + ... + bin .Bin
Mat khác, ta có: bi1 = c.a i1, bi2 = c.a i2 ,... bin = c.a in
⇒ det ( B ) = c.a i1.Bi1 + c.a i2 .Bi2 + ... + c.a in .Bin = c ( a i1.Ai1 + a i2 .Ai2 + ... + a in .Ain ) = c.det ( A )
Định lí 3:
1/ Nếu ma trận có 1 hàng or cột = 0 thì định thức của nó = 0
Cm: nếu ma trận A = ( a ik ) có 1 hàng = 0, ta khai triển định thức theo hàng 0:
n

det A = a i1.Ai1 + a i2 .Ai2 + ... + a in .Ain = ∑ a ij.Aij ( theo hàng thu i )
j=1

= 0.Ai1 + 0.Ai2 + ... + 0.Ain = 0
2/ Nếu ma trận có 2 hàng (or cột) bằng nhau thì định thức của nó = 0
Ta cm mệnh đề 2 bằng quy nạp, mệnh đề đúng với A là ma trận 2× 2
Giả sử mệnh đề đúng với n = k, và A là ma trận cấp k + 1 có 2 hàng i và j bằng nhau

Khai triển det(A) theo 1 hàng s khác với i và j:
det A = a s1.As1 + a s2 .As2 + ... + a s,k+1.As,k+1
Các định thức Asm (m = 1, 2, ... k+1) là các định thức cấp k có 2 hàng i và j bằng nhau nên =
0
17


Vậy det(A) = 0
3/ Nếu ma trận có 2 hàng (or cột) tỉ lệ với nhau thì định thức của nó = 0
Cm: cho ma trận A = n × n có hàng i = c × hàng j, nhân hàng i với 1/c ta dc ma trận B = n ×
n có hàng i = hàng j
⇒ det(B) = 0 ⇒ det(A) = c.det(B) = 0
Định lí 4:
Voi ma tran vuong A cap n, ta có :
det ( A ) if i = j
a i1.A j1 + a i2 .A j2 + ... + a in .A jn = 
if i ≠ j
0
n

Cm : a / i = j : det ( A ) = a i1.Ai1 + a i2 .Ai2 + ... + a in .Ain = ∑ a ij.Aij
j=1

b / i ≠ j : ta kí hieu ma tran B là ma tran nhan duoc tu ma tran A bang cách thay hàng j boi hàng i

 ...
  ...
b
a
÷

bi2 ... bin ÷
a
...
a
i1
i1
i2
in

÷  hàng thu i 

÷
÷
÷ 
÷ =  ...
B =  ...

÷
÷ 

÷ b
÷
b
...
b
hàng
thu
j
j2
jn ÷ 


 a i1 a i2 ... a in ÷  j1
 ...
÷  ...
÷

 

vay ma tran B có 2 hàng bang nhau nen det ( B ) = 0
khai trien det ( B ) theo hàng j ta duoc :

det ( B ) = b j1.B j1 + b j2 .B j2 + ... + b jn .B jn = a i1.A j1 + a i2 .A j2 + ... + a in .A jn = 0
Bài tập:

18


i

+∞ P
1 / Voi moi Pn×n và P luy linh, dat e P = ∑ ,
i =0 i!

cho A n×n , B n×n sao cho A, B cùng luy linh và giao hoán voi nhau

( )

Cm : e A + B = e A .e B = e B .e A = e mA = e A

m

, ∀ m∈N

i

+∞ ( A + B )

eA + B = ∑

i!
i =0
k 0− k

0 A .B

= ∑

k =0 k!( 0 − k ) !

Cik .A k .Bi −k
∑
+∞
+∞ i
i!
A k .Bi −k +∞ i A k .Bi −k
k
=
0
= ∑
= ∑ ∑

= ∑ ∑
i!
i!
i =0
i =0 k =0 k!( i − k ) !
i =0 k =0 k!( i − k ) !

i

1 A k .B1− k

+ ∑

k =0 k!( 1 − k ) !

2 A k .B2−k

+ ∑

k =0 k!( 2 − k ) !
n +1

Because A, B luy linh ⇒ ton tai n sao cho : A
e

A+B

=
e

n A k .Bn −k

+ ... + ∑
=B

k =0 k!( n − k ) !
n +1

=0

A0 .B0 A1.B0 A 0 .B1 A 2 .B0 A1.B1 A 0 .B2
=
+
+
+
+
+
+ ...
0!.0!
1!.0!
0!.1!
2!.0!
1!.1!
0!.2!

A0 .B0 A 0 .B1 A 0 .B2
A 0 .Bn A1.B0 A1.B1
A1.Bn −1
A n .B0
+

+
+ ... +
+
+
+ ... +
+ ... +
0!.0!
0!.1!
0!.2!
0!.n!
1!.0!
1!.1!
1!. ( n − 1) !
n!.0!

A+B

n A 0 .Bi

= ∑

i =0 0!.i!

n −1 A1.Bi

+ ∑

i =0 1!.i!

n − 2 A 2 .Bi

+ ∑

i =0 2!.i!

0 A n .Bi

+ ... + ∑

i =0 n!.i!

n

n A k .Bi

= ∑ ∑

i =0 k =0 k!.i!

= eA .eB

2 / Cho A n×n , B n×n . Cho C = I n + A.B kha ngich. Cm : D = I n + B.A kha ngich
và D−1 = In − B.C−1.A
Ta có : C = I n + A.B kha ngich ⇒ C.C −1 = I n và C −1.C = I n
a / C−1.C = I n ⇒ C −1 ( In + A.B ) = I n ⇒ C −1 + C −1.A.B = I n

(

)

Xét D−1 ( I n + B.A ) = I n − B.C−1.A ( I n + B.A ) = I n − B.C−1.A − B.C −1.A.B.A + B.A

(

)

= In − B C−1 + C−1A.B .A + B.A = I n − BI n .A + B.A = I n

( vì C−1 + C−1.A.B = In )

b / C.C−1 = I n ⇒ ( I n + A.B ) C −1 = I n ⇒ C −1 + A.B.C −1 = I n

(

)

Xét ( I n + B.A ) D −1 = ( In + B.A ) I n − B.C −1.A = I n + B.A − B.C −1.A − B.AB.C −1.A

(

)

= In + B.A − B C−1 + A.B.C−1 .A = I n − BI n .A + B.A = I n

( vì C−1 + A.B.C−1 = In )

So with D = I n + B.A, D −1 = I n − B.C −1.A ⇒ D.D −1 = D −1.D = I n
So D kha ngich và D −1 = I n − B.C −1.A
19

3 / Cho ma tran A n×n , ta goi vet ( trace ) cua A ( kí hieu tr ( A ) ) là tong các phan tu
n

trên duong chéo chính cua A : tr ( A ) = ∑ [ A ] ii .
i =1

Cm ∀ A n×n , B n×n ta có : tr ( A + B ) = tr ( A ) + tr ( B ) , tr ( A.B ) = tr ( B.A )
n

n

n

i =1

i =1

i =1

Ta có : tr ( A + B ) = ∑ [ A + B] ii = ∑ [ A ] ii + ∑ [ B] ii = tr ( A ) + tr ( B )
n

n n

n n

n

i =1

n

i =1k =1

i =1k =1

k =1

tr ( A.B ) = ∑ [ A.B] ii = ∑ ∑ a ik .b ki = ∑ ∑ b ki .a ik = ∑ [ B.A ] kk = tr ( B.A )

[ A.B] ij =

∑ a ik .bkj là phan tu o hàng i cot j cua ma tran tích A.B

k =1

Chương 3 Đạo hàm và vi phân:
1/ Hệ pt tuyến tính.........................................................................................................................9
2/ Ma trận:....................................................................................................................................10
3/ Phép biến đổi sơ cấp:...............................................................................................................10
4/ Ma trận bậc thang và ma trận bậc thang rút gọn:....................................................................10
5/ Các phép toán đối với ma trận:................................................................................................12
6/ Ma trận chuyển vị:..................................................................................................................13
7/ Ma trận nghịch đảo:.................................................................................................................14
8/ Tìm ma trận nghịch đảo nhờ các phép biến đổi sơ cấp:..........................................................15
10/ Định nghĩa định thức:............................................................................................................16
11/ Các tính chất của định thức:...................................................................................................17
* định lý:..................................................................................................................................32
*...............................................................................................................................................33
*...............................................................................................................................................33

.................................................................................................................................................33
*...............................................................................................................................................34
.................................................................................................................................................34
.................................................................................................................................................34
.................................................................................................................................................35
.................................................................................................................................................35
.................................................................................................................................................35
.................................................................................................................................................35
.................................................................................................................................................36
.................................................................................................................................................36
.................................................................................................................................................37
.................................................................................................................................................37
.................................................................................................................................................37
.................................................................................................................................................38
20


.................................................................................................................................................39
* Đạo hàm tổng (hiệu):............................................................................................................40
* Đạo hàm tích:........................................................................................................................40
* Đạo hàm thương:..................................................................................................................41
* Đạo hàm của hàm số hợp:.....................................................................................................41
4/ Đạo hàm của hàm ẩn:..............................................................................................................48
Công thức Maclaurin...............................................................................................................52
Công thức Maclaurin 1 số hàm cơ bản:...................................................................................52
.................................................................................................................................................52
.................................................................................................................................................53
.................................................................................................................................................54
.................................................................................................................................................54
.................................................................................................................................................56

.................................................................................................................................................57
.................................................................................................................................................57
.................................................................................................................................................58
.................................................................................................................................................58
.................................................................................................................................................58
.................................................................................................................................................59
.................................................................................................................................................61
.................................................................................................................................................61
7/ Quy tắc L’hopital:....................................................................................................................63
8/ Tính đạo hàm dạng:.................................................................................................................65
Bài tập:.........................................................................................................................................65
1/ Bài tập tính đạo hàm dạng:......................................................................................................65
1/..............................................................................................................................................66
2/..............................................................................................................................................66
3/..............................................................................................................................................66
.................................................................................................................................................67
2/ Bài tập tính đạo hàm của hàm ẩn:........................................................................................71
3/ Bài tập các định lí trung bình:..............................................................................................71
4/ Bài tập khai triển Maclaurin................................................................................................72
5/ Bài tập tính giới hạn = công thức Taylor:...........................................................................74
6/ Bài tập tính giới hạn = qui tắc L’Hopital:...........................................................................76
7/ Bài tập tính giới hạn ko dùng được qui tắc L’Hopital:........................................................78
*/ Find x, know:.......................................................................................................................79
1/ List of elementary function......................................................................................................90
.....................................................................................................................................................95
.....................................................................................................................................................95
1/..................................................................................................................................................96
.................................................................................................................................................98
.................................................................................................................................................99
...............................................................................................................................................100

...............................................................................................................................................102
...............................................................................................................................................104
21


...............................................................................................................................................105
*.............................................................................................................................................107
...............................................................................................................................................109
...............................................................................................................................................109
................................................................................................................................................110
................................................................................................................................................112
................................................................................................................................................112
................................................................................................................................................113
................................................................................................................................................115
................................................................................................................................................116
................................................................................................................................................117
................................................................................................................................................118
................................................................................................................................................119
...............................................................................................................................................122
...............................................................................................................................................123
...................................................................................................................................................133
...............................................................................................................................................133
...............................................................................................................................................134
...............................................................................................................................................134
...............................................................................................................................................136
...............................................................................................................................................137
...............................................................................................................................................137
...............................................................................................................................................139
...............................................................................................................................................140
...............................................................................................................................................140

...............................................................................................................................................141
4/............................................................................................................................................141
...............................................................................................................................................142
...............................................................................................................................................142
...............................................................................................................................................143
5/ Tích phân hàm lượng giác:....................................................................................................143
...............................................................................................................................................143
...............................................................................................................................................145
...............................................................................................................................................146
...............................................................................................................................................146
...............................................................................................................................................147
...............................................................................................................................................148
...............................................................................................................................................149
...............................................................................................................................................150
...............................................................................................................................................151
...............................................................................................................................................152
...............................................................................................................................................153
...............................................................................................................................................154
...............................................................................................................................................155
...............................................................................................................................................156
22


Check the result.....................................................................................................................158
...............................................................................................................................................159
...............................................................................................................................................161
...............................................................................................................................................161
...............................................................................................................................................162
...............................................................................................................................................165
...............................................................................................................................................165

...............................................................................................................................................166
...............................................................................................................................................167
6/ Tích phân hàm mũ:................................................................................................................176
1/............................................................................................................................................176
...............................................................................................................................................178
2/............................................................................................................................................178
...............................................................................................................................................179
...............................................................................................................................................180
...............................................................................................................................................180
...............................................................................................................................................181
...............................................................................................................................................181
...............................................................................................................................................182
7/ Kĩ thuật liên kết tích phân:.....................................................................................................183
...............................................................................................................................................183
...............................................................................................................................................184
...............................................................................................................................................184
...............................................................................................................................................185
...............................................................................................................................................186
...............................................................................................................................................186
...............................................................................................................................................187
...............................................................................................................................................188
...............................................................................................................................................188
...............................................................................................................................................188
...............................................................................................................................................189
...............................................................................................................................................189
...............................................................................................................................................189
...............................................................................................................................................191
...............................................................................................................................................193
...............................................................................................................................................194
...............................................................................................................................................195

...............................................................................................................................................196
...............................................................................................................................................196
...............................................................................................................................................197
...............................................................................................................................................198
...............................................................................................................................................198
...............................................................................................................................................199
...............................................................................................................................................199
...............................................................................................................................................200
23


*............................................................................................................................................201
...............................................................................................................................................202
...............................................................................................................................................203
...............................................................................................................................................204
...............................................................................................................................................205
...............................................................................................................................................205
...............................................................................................................................................206
...............................................................................................................................................206
...............................................................................................................................................207
...............................................................................................................................................208
...............................................................................................................................................208
* Help me to check the solution ?..........................................................................................210
................................................................................................................................................211
................................................................................................................................................211
...............................................................................................................................................212
8/ Tích phân hàm trị tuyệt đối:...................................................................................................213
...............................................................................................................................................213
...............................................................................................................................................213
...............................................................................................................................................213

Chương 5d:................................................................................................................................219
Tích phân hàm vô tỉ:..................................................................................................................228
...............................................................................................................................................231
...............................................................................................................................................233
...............................................................................................................................................236
...............................................................................................................................................238
...............................................................................................................................................238
...............................................................................................................................................240
...............................................................................................................................................240
...............................................................................................................................................242
...............................................................................................................................................243
...............................................................................................................................................244
...............................................................................................................................................247
...............................................................................................................................................249
...............................................................................................................................................250
...............................................................................................................................................250
...............................................................................................................................................250
...............................................................................................................................................252
...............................................................................................................................................252
...............................................................................................................................................253
...............................................................................................................................................253
...............................................................................................................................................254
...............................................................................................................................................254
...............................................................................................................................................256
...............................................................................................................................................256
...............................................................................................................................................257
24


...............................................................................................................................................257

...............................................................................................................................................258
...............................................................................................................................................258
...............................................................................................................................................261
...............................................................................................................................................266
...............................................................................................................................................268
...............................................................................................................................................272
...............................................................................................................................................274
...............................................................................................................................................276
...............................................................................................................................................277
...............................................................................................................................................279
...................................................................................................................................................280
...............................................................................................................................................280
...............................................................................................................................................281
...............................................................................................................................................281
...............................................................................................................................................282
...............................................................................................................................................282
...............................................................................................................................................283
...............................................................................................................................................285
8/............................................................................................................................................295
...............................................................................................................................................297
*.............................................................................................................................................299
...............................................................................................................................................299
...............................................................................................................................................304
*.............................................................................................................................................305
*.............................................................................................................................................306
*.............................................................................................................................................307
...............................................................................................................................................309
*.............................................................................................................................................310
*..............................................................................................................................................311
...............................................................................................................................................312

...............................................................................................................................................314
...............................................................................................................................................314
...............................................................................................................................................315
...............................................................................................................................................317
...............................................................................................................................................319
...............................................................................................................................................320
...............................................................................................................................................322
...............................................................................................................................................323
...............................................................................................................................................324
...............................................................................................................................................325
...............................................................................................................................................329
...............................................................................................................................................329
...............................................................................................................................................330
...............................................................................................................................................330
25