Tỷ lệ vàng và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ LINH

TỈ LỆ VÀNG VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, 10/2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ LINH

TỈ LỆ VÀNG VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. NGUYỄN DANH NAM

Thái Nguyên, 10/2017

i

Mục lục
Lời cảm ơn

ii

Mở đầu

2

1 Tỉ lệ vàng và dãy số Fibonacci
4
1.1 Tỉ lệ vàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Dãy số Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Mối liên hệ giữa tỉ lệ vàng và dãy số Fibonacci . . . . . . 30
2 Ứng dụng của tỉ lệ vàng và sự liên hệ giữa tỉ lệ vàng với
thực tiễn
33
2.1 Hình chữ nhật vàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Hình tam giác vàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Đường xoắn ốc vàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 Một số ứng dụng của tỉ lệ vàng trong thực tiễn . . . . . 52
Kết luận

71

Tài liệu tham khảo chính

72


ii

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy tôi PGS.TS. Nguyễn
Danh Nam, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn,
cho tôi những nhận xét quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Đào tạo,
các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp
trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ, tạo điều
kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi
trong suốt quá trình học tập.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Linh


2

Mở đầu
√
1+ 5
. Nó đã được quan
Tỉ lệ vàng là một số vô tỉ được xác định là
2

tâm bởi các nhà toán học, vật lí học, triết học, kiến trúc sư, nghệ sĩ
và thậm chí là các nhạc sĩ từ thời cổ đại.
Euclide - nhà toán học đã từng nói đến tỉ lệ vàng trong tác phẩm
bất hủ của ông mang tên "Cơ bản". Theo Euclide, điểm I trên đoạn
AB được gọi là điểm chia đoạn AB theo tỉ lệ vàng (còn được gọi là
AI
AB
AI
AB
điểm vàng) nếu thoả mãn:
=
. Đặt
=
= x, số x được
IB
AI
IB
AI
gọi là tỉ lệ vàng và điểm I là điểm vàng của đoạn AB. Ở thời kỳ trung
đại, có khá nhiều phát hiện về sự tồn tại của tỉ lệ vàng trong các hình
tự nhiên như hình ngôi sao năm cánh, hình đa giác mười cạnh,... trong
dãy số Fibonacci. Luca Pacioli (1445 - 1517) xác định tỉ lệ vàng là "tỉ
lệ thần thánh" trong tác phẩm Proportione Divina. Ở thời kỳ hiện
đại, Mark Bar (thế kỷ 20) sử dụng chữ cái Hy Lạp phi (ϕ) là kí hiệu
của tỉ lệ vàng. Như vậy, ngoài tên tỉ lệ vàng nó còn được gọi là phần
vàng, cắt vàng, tỉ lệ thần thánh và có giá trị là 1.61803. . . Một số vô
tỉ không thể biểu diễn bằng một tỉ số hữu hạn số nguyên. Những con
số này được tạo thành tập vô hạn và một số như π (tỉ số của chu vi
với đường kính của một đường tròn) và e (cơ sở của logarit tự nhiên)
nổi tiếng và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực. Tại sao tỉ lệ vàng lại

thu hút được sự quan tâm sâu sắc và ứng dụng của
√ nó là gì?
a+ b
Một số vô tỉ được thể hiện dưới dạng I =
trong đó ϕ được
c
xác định bởi các giá trị a = 1, b = 5 và c = 2. Các số vô tỉ như
a = 3, b = 3 và c = 3 có sự đối xứng hơn so với tỉ lệ vàng và một giá trị
tương tự 1.57735. . . Tuy nhiên, tỉ lệ vàng chiếm hữu một số tính năng
thú vị và tính chất quan trọng làm cho nó trở lên thu hút trong tập
hợp số vô tỉ.
Các nghệ sĩ và kiến trúc sư bắt đầu tính toán và xây dựng sao cho


3

các tác phẩm của họ xấp xỉ tỉ lệ vàng còn các nhà toán học đã nghiên
cứu tỉ lệ vàng vì tính độc đáo cũng như các tính chất lí thú của nó.
Qua nhiều năm, các nghệ sĩ và kiến trúc sư đã nỗ lực tìm kiếm mối
quan hệ giữa tỉ lệ vàng với nghệ thuật, kiến trúc, sinh học, thực vật và
các lĩnh vực khác. Những con số này được nổi bật nên trong một số
công trình xây dựng hình học và có một số tính chất toán học thú vị.
Từ đó dẫn đến sự yêu thích của những người đam mê đã gán những
thuộc tính huyền bí đến số này và dẫn đến những cái tên như: giá trị
trung bình vàng và tỉ lệ thần thánh.
Về mặt nguyên lý thiết kế, tỉ lệ vàng là một trong những yếu tố
quan trọng tạo nên tổng thể của một công trình kiến trúc đẹp, một
không gian hài hòa hay một sản phẩm mỹ thuật có điểm nhấn sáng
tạo.
Trong toán học và nghệ thuật, đại lượng được xem là tỉ số vàng hay

tỉ lệ vàng nếu tỉ số giữa tổng của các đại lượng đó với đại lượng lớn
hơn bằng tỉ số giữa đại lượng lớn hơn với đại lượng nhỏ hơn tức toàn
thể và tất cả chỉ có một giá trị tương quan duy nhất bằng 1, 618033987
(con số vàng). Tỉ số này đã được con người sử dụng hàng thế kỷ qua và
tiếp tục có mặt trong các tác phẩm mỹ thuật, kiến trúc, điêu khắc cho
đến ngày nay. Nó cũng xuất hiện trong các tỉ lệ trên cơ thể con người,
sự biến động của thị trường chứng khoán và rất nhiều ảnh hưởng khác
tới cuộc sống và vạn vật. Luận văn tìm hiểu về tỉ lệ vàng, một số ứng
dụng của tỉ lệ vàng trong Toán học và liên hệ giữa toán học với thực
tiễn.
Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương trình bày nội dung
của luận văn, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: "Tỉ lệ vàng và dãy số Fibonacci" trình bày định nghĩa
của tỉ lệ vàng, dãy số Fibonacci và mối quan hệ giữa chúng. Các kiến
thức cơ bản về tỉ lệ vàng, các kiến thức về dãy Fibonacci và mối quan
hệ giữa tỉ lệ vàng và dãy Fibonacci.
Chương 2: "Ứng dụng của tỉ lệ vàng và sự liên hệ giữa Toán học với
thực tiễn" trình bày ứng dụng của tỉ lệ vàng trong hình học: hình chữ
nhật vàng, hình tam giác vàng, đường xoắn ốc vàng và mối liên hệ của
tỉ lệ vàng và dãy Fibonacci trong đời sống: tự nhiên, kiến trúc, hội hoạ
và thiết kế đồ hoạ.


4

Chương 1

Tỉ lệ vàng và dãy số Fibonacci
Chương này đưa ra các kiến thức cơ bản, tính chất và những biểu
diễn khác nhau của tỉ lệ vàng. Các kiến thức về dãy Fibonacci và mối

quan hệ giữa tỉ lệ vàng và dãy số Fibonacci.
1.1

Tỉ lệ vàng

Nội dung được tham khảo chủ yếu ở tài liệu [1], [3] và [5].
Định nghĩa 1.1.1 Trong toán học, hai đại lượng được gọi là tỉ lệ vàng
nếu tỉ số giữa tổng các đại lượng đó với đại lượng lớn hơn bằng tỉ số
giữa đại lượng lớn hơn với đại lượng nhỏ hơn.
Tỉ lệ vàng được kí hiệu bằng kí tự ϕ (phi) trong bảng chữ cái Hy
Lạp. Dạng tổng quát của tỉ lệ vàng là:

Hình 1.1 Cách chia AB trong tỉ lệ vàng suy rộng
Giả sử một đoạn thẳng AB được chia thành hai đoạn AC và CB
(Hình 1.1) sao cho
n
AB
βAC
(1.1)
a
=
AC
CB


5

trong đó a và β là số thực dương.
βAC
AB

AC + CB
CB
Cho
= x thì a
= a
=a 1+
CB
AC
AC
AC
β
= a+
x
Như vậy, ta có

a+

aβ
x

= xn hoặc
xn+1 = ax + b

(1.2)

trong đó, aβ = b. Trong trường hợp đặc biệt cho n = 1 ta chia AB sao
AB
βAC
cho a
=

, ta có:
AC
CB
x2 − ax − b = 0
Hoặc
x1 =

a+

và
x2 =

a−

(1.3)

√

a2 + 4b
2

(1.4)

√

a2 + 4b
2

(1.5)

Ta gọi nghiệm dương của phương trình này là tổng quát hai tham
số tỉ lệ vàng ϕ(a, b).


4b
1+ 2
1

a 
ϕ(a, b) = a  +

2
2

Trong trường hợp b = 1, ta có:
a
ϕa = ϕ(a, 1) = +
2

√

a2 + 4b
2

được gọi là tỉ lệ vàng tổng quát. Cho a = 1 ta có tỉ lệ vàng:
√
1+ 5
ϕ = ϕ1 = ϕ(1, 1) =
2

6

Hãy xem xét các tính chất của tỉ lệ vàng. Cho a = b ta có:


4
1+ 
1

a
ϕ = a +

2
2

Đó là một cách giải cho phương trình x2 − ax − b = 0. Bây giờ có
b
thể xem xét các tính chất khác của tỉ lệ này, ta có: a + = ϕ. Khi
ϕ
đó, tỉ lệ vàng
√ tổng quát ϕ (với a = 1) giảm xuống đến tỉ lệ vàng lịch
1+ 5
sử ϕ =
có nhiều tính chất và ứng dụng trong nghệ thuật, kỹ
2
thuật, vật lí và toán học. Các tính chất tương tự có thể được thiết lập
trong trường hợp tổng quát.
Ví dụ: tổng quát ϕ có thể được thể hiện bằng chính số hạng của nó
1

như ϕ = a + . Nó có thể được mở rộng thành phân số hoặc nghiệm
ϕ
các phương trình lồng nhau và được gọi là phân số liên tục hay nghiệm
lồng nhau.
√
ϕ = 1 + 1 + 1 + ...

ϕa =

1+a

ϕ(a, b) =

1+a

b+a

√
1 + a ...

1+a

b+a

√
b + a ...

Sử dụng mối quan hệ trong số hạng của chính nó ta nhận được các
phân số liên tục của ϕ, ϕa , ϕ(a, b) tương ứng
1

ϕ=

1

1+
1+

1
1 + ...
1

ϕa = a +

1

a+
a+

1
a + ...


7

b

ϕ(a, b) = a +

b

a+

b

a+
a+

b
a + ...

Stakhov và Rozin đưa ra một số kết quả từ n = 2 và a = b = 1,
kết quả tương tự được xác minh với các giá trị khác nhau của a và b.
Bằng cách sử dụng phân số liên tục trên có thể khái quát hóa trong
ứng dụng nghệ thuật và kiến trúc. Đoạn thẳng AB trên có thể chia
thành n phần và theo tỉ lệ kế tiếp một hệ phương trình sẽ được tạo ra
sao cho a có giá trị n, (1.1) được mở rộng đến các tham số tỉ lệ để tạo
ra một tỉ lệ vàng nhiều tham số. Ở đây, ta tập trung vào tham số tổng
quát và các ứng dụng của tỉ lệ này.
Nếu a = b trong (1.3) thì


4
1+ 
1

a
ϕ(a, a) = a  +

2


2
Tỉ số tham số tổng quát duy nhất khác với ϕ(a, 1). Thật vậy, (1.2)
có thể được xem như là hàm đặc trưng của phương trình khác nhau
của n với các tham số a và b.
Pn+2 (a, b) = aPn+1 (a, b) + bPn (a, b)
có thể được khái quát thành một trường hợp nhiều tham số.
p

Pn+p (a1 , a2 , ..., ap ) =

ai Pn+p−i (a1 , a2 , ..., ap ), p = 2, 3, ...
i=1

1.1.1 Các tính chất cơ bản của tỉ lệ vàng
Nội dung được tham khảo chủ yếu ở tài liệu [3] và [5].
Tỉ lệ vàng xuất hiện trong một số mối quan hệ rất cơ bản liên quan
đến số mà từ đó rất nhiều tính chất của tỉ lệ vàng được phát hiện. Một
dãy số là một tổng của một dãy các biểu thức toán học. Trong đa số
các trường hợp sử dụng, các biểu thức trong dãy có thể được xây dựng
bằng các công thức hay thuật toán hay thậm chí bằng số ngẫu nhiên.


8

Một trong những phương pháp đơn giản để đưa ra một dãy số là sử
dụng một hoặc nhiều giá trị và quan hệ đệ quy thích hợp.
Một trong số các dãy số được biết đến là dãy số cộng. Điều này được
tạo ra bởi quan hệ đệ quy.
An+2 = An+1 + An

(1.6)

tức là, mỗi số hạng sau bằng với tổng của hai số hạng trước đó. Dãy
này phụ thuộc vào hai giá trị gốc A0 và A1 .
Ví dụ: A0 = 0 và A1 = 1, ta có dãy sau:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

(1.7)

Dãy này có thể được mở rộng vô hạn bằng cách áp dụng quan hệ đệ
quy. Nó cũng có thể được mở rộng đến các giá trị âm của chỉ số n bằng
cách áp dụng một mối quan hệ đệ quy trên phương trình (1.6) với các
giá trị cho trong (1.7) mang lại một dãy vô hạn theo cả hai chiều.
..., 34, −24, 13, −8, 5, −3, 2, −1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

(1.8)

đây là một tính chất của dãy số cộng cụ thể.
Dãy số nhân là một dãy có tỉ lệ giữa các số hạng là một hằng số.
Một dãy số đơn giản được gọi là dãy số nhân khi nó được tạo bởi mối
quan hệ đệ quy.
An+1 = αAn
(1.9)
tức là, mỗi số hạng sau bằng với số hạng trước nhân với một hằng số
thừa số . Dãy này có thể được tạo nên trên cơ sở một giá trị khởi đầu
với giá trị hằng số thừa số.
Ví dụ: A0 = 1 và α = 2, ta có dãy số luỹ thừa của 2 là:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, ...

(1.10)

Có thể mở rộng dãy này với giá trị âm của chỉ số
...,

1 1 1 1 1
, , , , , 1, 2, 4, ...
32 16 8 4 2

(1.11)

So sánh dãy (1.8) và dãy (1.11), ta thấy khác biệt cơ bản giữa dãy
số cộng và dãy số nhân. Tuy nhiên, những khác biệt này là kết quả của


9

sự lựa chọn đặc biệt của hằng số nhân trong dãy (1.9). Những lựa chọn
khác nhau cho số lượng này có thể mang lại kết quả rất khác nhau.
Một dãy có thể vừa là dãy số cộng vừa là dãy số nhân. Nghĩa là, số
hạng sẽ thỏa mãn cả dãy (1.6) và dãy (1.9). Hai phương trình có thể
kết hợp để đưa ra các quan hệ ràng buộc cho α. Từ dãy (1.9), ta có:
An+2 = αAn+1 = α2 An

(1.12)

Từ dãy (1.6) và (1.12), ta có mối quan hệ:
α2 An = αAn + An

(1.13)

α2 − α − 1 = 0.

(1.14)

Hoặc

Phương trình này được gọi là phương trình bậc 2 Fibonacci và giải
phương trình ta có hai nghiệm:
√
1+ 5
=ϕ
(1.15)
α1 =
2
√
1− 5
1
α2 =
=−
(1.16)
2
ϕ
Xây dựng một dãy số nhân sử dụng giá trị α1 là một hằng số thừa
số và giá trị đầu là A0 = 1, ta được:
1, ϕ, ϕ2 , ϕ3 , ϕ4 , ϕ5 , ...

(1.17)

Mở rộng điều này, ta có các chỉ số âm:

..., ϕ−3 , ϕ−2 , ϕ−1 , 1, ϕ, ϕ2 , ϕ3 , ...

(1.18)

Sử dụng các giá trị đầu A0 = 1 và A1 = ϕ từ dãy (1.17) một dãy
số cộng tương ứng có thể xây dựng bằng cách sử dụng mối quan hệ đệ
quy của dãy (1.6). Cho chỉ số âm và chỉ số dương của dãy này là:
−3ϕ + 5, 2ϕ − 3, −ϕ + 2, ϕ − 1, 1, ϕ, ϕ + 1, 2ϕ + 1, 3ϕ + 2, ... (1.19)
Số hạng trong dãy số này giống như trong dãy số nhân (1.18). Số
hạng này có thể tương ứng với một số quan hệ giữa lũy thừa ϕ và các


10

biểu thức tuyến tính trong ϕ. Một trong số các trường hợp này là:
2ϕ − 3 = ϕ−3 ;
−ϕ + 2 = ϕ−2 ;
ϕ − 1 = ϕ−1 ;
1 = 1;

(1.20)

ϕ = ϕ;
ϕ + 1 = ϕ2 ;
2ϕ + 1 = ϕ3 .
Luỹ thừa của tỉ lệ vàng có thể được thể hiện như bảng 1.1
Bảng 1.1 Một số hệ số và số mũ trong mối quan hệ cho bởi dãy 1.21
n
-8
-7

-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8

an
-21
13
-8
5
-3
2
-1
1
0
1
1
2
3

5
8
13
21
an ϕ + an−1 = ϕn .

an−1
34
-21
13
-8
5
-3
2
-1
1
0
1
1
2
3
5
8
13
(1.21)

trong đó, các hệ số an được đưa ra trong bảng 1.1 là An của dãy số
cộng trong dãy (1.8).

11

Một dãy vừa là dãy số cộng vừa là dãy số nhân có thể được suy
ra bằng cách sử dụng nghiệm khác của phương trình bậc 2 cho bởi
α2 = −ϕ−1 = 1 − ϕ, ta có dãy sau:
..., ϕ−3 , ϕ2 , −, 1, ϕ2 , ϕ3

(1.22)

Và dãy tương ứng dựa trên mối quan hệ đệ quy của phép cộng được
tìm thấy:
..., −3 −

1
1
1
1
2
3
2
, 2 + , −1 − , 1, − , 1 − , 1 − , 2 − , ...
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ

(1.23)

Số hạng tương đương từ dãy (1.22) tới (1.23) cho phép tìm ra các
quan hệ có dạng:
an
an+1 +
= ϕn
(1.24)
ϕ
trong đó, các hệ số lại là các số hạng trong cấp số cộng. Nó có thể chỉ
ra bằng những biểu thức này là đại số tương đương với các biểu thức
của phương trình bằng cách nhân cả hai vế của (1.24) với ϕ.
Trình bày ở trên liên quan đến dãy số minh họa mối quan hệ của tỉ
lệ vàng với một số tính chất cơ bản của số. Bổ sung tính chất của tỉ
lệ vàng trong hình học. Trên thực tế, sự xuất hiện của tỉ lệ vàng trong
hình học hấp dẫn các triết gia cổ đại và nguồn gốc của nó. Xét đoạn
AB được chia bởi một điểm C như minh họa Hình 1.1, theo cách như
vậy tỉ số của chiều dài của hai đoạn thẳng giống như tỉ số của chiều
dài của đoạn dài hơn cho toàn bộ đoạn. Nếu chiều dài AC được đặt
tuỳ ý bằng 1 và chiều dài của toàn bộ đoạn được gọi là x thì đoạn
thẳng BC = x − 1 và tỉ số chiều dài có thể được biểu diễn bằng:
x
1
=
1
x−1

(1.25)

x2 − x − 1 = 0

(1.26)

Hoặc

Đây là phương trình Fibonacci có nghiệm được đưa ra trong số hạng
−1
của tỉ lệ vàng bằng dãy (1.15) và (1.16) là ϕ và
. Rõ ràng nó vừa có
ϕ
nghiệm âm vừa có nghiệm dương. Ngoài ra, tổng chiều dài của đường


12

có thể được đặt là 1 và đoạn AB có thể được gọi là x. Các tỉ lệ sau là:
1
x
=
x 1−x

(1.27)

x2 + x − 1 = 0

(1.28)

Hoặc

Phương trình bậc hai có nghiệm có thể được biểu diễn dưới dạng tỉ
lệ vàng như sau:

√
5−1
1
= .
(1.29)
x1 =
2
ϕ
và

√
x2 = −

5+1
= −ϕ.
2

(1.30)

Một lần nữa ta thấy chỉ có nghiệm dương có ý nghĩa và cho thấy tỉ
lệ độ dài liên quan đến tỉ lệ vàng.
Một số mối quan hệ toán học liên quan đến tỉ lệ vàng có thể được
bắt nguồn bằng cách kết hợp của lũy thừa ϕ.
Ví dụ: một kiểm tra đơn giản của các mối quan hệ trong dãy (1.20)
và Bảng (1.1), cho ta các biểu thức liên quan đến cả lũy thừa dương
và lũy thừa âm của tỉ lệ vàng. Khi đó:
ϕn + (−1)n ϕ−n = Ln .

(1.31)

trong đó, Ln là một số nguyên lấy giá trị Ln = 1, 3, 4, 7, 11, 18, ... cho
n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... Đây là những con số được gọi là số Luscal. Biểu
hiện này là một phần đáng kể vì nó cho thấy rằng tổng của hai số vô
tỉ có thể bằng một số hữu tỉ.
Một mối quan hệ thú vị liên quan đến tỉ lệ vàng có thể suy ra trực
tiếp từ phương trình bậc hai Fibonacci dãy (1.14). Do đó, có thể viết
ϕ như sau:
ϕ = 1 + ϕ.
(1.32)
Thay thế vế trái cho ϕ trong phần căn bậc hai bên phải cho
ϕ=

1+

1 + ϕ.

(1.33)


13

Phương pháp này có thể được tiếp tục vô hạn lần để:

ϕ=

1+

1+

1+

√

1 + ...

(1.34)

1
. Biểu
ϕ
thức này có thể được sắp xếp lại và sự thay thế cho số hạng trong căn
bậc hai thực hiện vô hạn lần để cho
Tương tự, cho biết nghiệm dương của phương trình (1.28) là

1
=
ϕ

1−

1−

1−

√

1 − ...

(1.35)

Biểu thức trong phương trình (1.35) cung cấp một cách để tính tỉ lệ
vàng ở mức độ chính xác cao bằng máy tính. Tuy nhiên, nó ít tốn thời
gian để tính ϕ trực tiếp trên cơ sở phương trình (1.15) bằng cách tính
căn bậc hai của 5. Một căn bậc hai vô tỉ có thể được tính toán đến
độ chính xác tùy ý bằng cách sử dụng kĩ thuật lặp đi lặp lại đơn giản.
Để tính toán một căn bậc hai với độ chính xác của N chữ số yêu cầu
một số phép tính số học cơ bản tỉ lệ với N 2 . Ban đầu việc sử dụng một
máy tính để tính toán tỉ lệ vàng ϕ với độ chính xác đến chữ số thập
phân 4599, yêu cầu này tốn khoảng 20 phút trên máy tính của IBM
1401. Bây giờ, tính toán này có thể được thực hiện trên một máy tính
cá nhân IBM Pentium trong khoảng hai giây. Đơn giản, để xác định
tính hợp lệ của các giá trị tính toán, một phương pháp là thay thế giá
trị đã tính của ϕ thành công thức Fibonacci (phương trình (1.14)) và
thực hiện các hoạt động đến số vị trí thập phân theo yêu cầu và cho
thấy rằng nhận dạng được giữ lại. Một phương pháp tương tự là tính
1
toán nghịch đảo của ϕ và chỉ ra rằng = 1 − ϕ đạt độ chính xác yêu
ϕ
cầu.
1.1.2 Những dạng biểu diễn khác nhau của tỉ lệ vàng
Nội dung được tham khảo chủ yếu ở tài liệu [3] và [5].
Ta nhắc lại rằng, tỉ lệ vàng ϕ là nghiệm dương của phương trình:
x2 − x − 1 = 0.

(1.36)


14

Ngoài ra ϕ thoả mãn một số hệ thức sau:

1. ϕ2 = ϕ + 1,
2. ϕ−1 = ϕ − 1 và Ψ−1 = Ψ − 1,
3. ϕ + Ψ = 1,
4. ϕ.Ψ = −1.
trong đó, Ψ là nghiệm âm của (1.36) và giá trị của ϕ và Ψ được cho
bởi
√
√
1+ 5
1− 5
ϕ=
= 1.61803989... và Ψ =
= −0.61803989...
2
2
a) Sự mở rộng thập phân của tỷ lệ vàng
√
1+ 5
là số vô tỉ. Điều này có nghĩa rằng ϕ là
Vì tỉ lệ vàng bằng
2
số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Ta có ba mươi số thập phân
đầu tiên là:
ϕ = 1.61803398874989484820458683436...
Trên thực tế, tính vô tỉ của ϕ được thể hiện
ϕ−1 = ϕ − 1.
Quy nạp, ta được:
ϕ−n = an ϕ + bn , n = 1, 2, ...
trong đó, an và bn là số nguyên.
a

Giả sử ϕ là số hữu tỉ, tức là ϕ = trong đó, a và b là số nguyên
b
dương. Từ phương trình trên ta thấy:
bϕ−n = an a + bn b, n = 1, 2, ...
b) Biểu thức của tỉ lệ vàng dưới dạng căn thức
Mặc dù không có giá trị cụ thể cho chữ số n trong phần thập phân
mở rộng của ϕ nhưng có những cách khác để thể hiện giá trị số của ϕ
theo quy tắc. Nếu x > 0 thì phương trình (1.36) có thể được viết:
x=

√

1+x


15

Từ đó gợi ý cho ta xây dựng dãy số (xn ) như sau:
x1 = 1, xn+1 =

√

1 + xn , n = 1, 2, 3, ...

Suy ra
x2 =
x3 =

1+

1+

√

1

1+

√

1

Vì vậy, nếu dãy hội tụ thì ta có tỉ lệ vàng biểu diễn như là nghiệm
căn bậc hai lồng nhau vô hạn của 1.

ϕ=

1+

1+

1+

√

1 + ...

Phép lặp có thể được minh họa theo hình học bằng cách vẽ các
√
đường cong y = x và y = 1 + x mà cắt nhau tại tỉ lệ vàng như trong

Hình 1.2.
Đầu tiên, tại x1 = 1 và di chuyển đến điểm P trên đường cong
√
√
y = 1 + x. Tọa độ của điểm P là 1 + x1 = x2 , tương tự với hoành
độ của điểm Q là giao điểm của đường ngang qua P và đường cong
y = x. Lặp đi lặp lại một cách tương tự ta có hình dưới đây:

Hình 1.2 Dãy xn+1 =

√

1 + xn


16

Từ Hình 1.2, ta thấy lặp đi lặp lại sẽ dẫn đến sự hội tụ tới tỉ lệ vàng.
Lưu ý, bất kì số nguyên dương nào cũng có thể gán cho x1 và có cùng
một giới hạn. Ta chứng minh dãy số này hội tụ về ϕ.
Ta có:
|ϕ2 − x2n+1 | |ϕ2 − 1 − xn |
|ϕ − xn+1 | =
=
|ϕ + xn+1 |
|ϕ + xn+1 |
=

|ϕ − xn |
|ϕ − xn |

<
= ϕ−1 |ϕ − xn |.
|ϕ + xn+1 |
ϕ

Tương tự, ta có:
|ϕ − xn+1 | < ϕ−1 |ϕ − xn | < ϕ−2 |ϕ − xn−1 | < ... < ϕ−n |ϕ − x1 |.
Vì ϕ > 1 nên dãy số xn hội tụ đến ϕ.
Từ phương trình (1.36), ta có:
1
= x − 1.
x
Với x > 0
x=

√

1+x=

Do đó, ta có thể viết:
√
1+ 5
ϕ=
=
2

1
2+ .
x

1

2+
2+

1
1
2+ √
...

c) Biểu thức của tỉ lệ vàng dưới dạng phân số liên tục
ϕ cũng có thể được mô tả như nghiệm dương của phương trình
1
x=1+ .
x
Bằng phương pháp giải tương tự như trên (b), ta có Hình 1.3.


17

1
1
Hình 1.3 Dãy xn+1 = 1 + ; x1 = 1; xn+1 = 1 + ; n = 1, 2, 3, ...
x
x
Ta có dãy số sau:
x2 = 1 +
x3 = 1 +

1

1
1

1+

1
1

Và cứ như vậy, điều này được minh họa trong Hình 1.3, cho ta biểu
thức của tỉ lệ vàng như một phân số liên tục vô hạn bao gồm các số 1:
1

ϕ=1+

1

1+
1+

.

1
1 + ...

Ta chứng minh dãy số này hội tụ về ϕ. Ta có:
|ϕ − xn+1 | = ϕ − 1 +
=

1
xn

=

xn (ϕ − 1) − 1
xn

xn − ϕ
< ϕ−1 |xn − ϕ|.
ϕxn

Khi đó: |ϕ − xn+1 | ≤ ϕ−n |ϕ − x1 |.
Vì ϕ > 1 ta thấy rằng dãy (xn ) hội tụ đến ϕ.


18

1.2

Dãy số Fibonacci

Dãy số Fibonacci được Leonardo Bonacci(1170 - 1250), một nhà toán
học người Ý, công bố vào năm 1202 trong cuốn sách "Liber Abacci";
đó là cuốn sách chứa đựng nhiều kiến thức Toán học của người Ả Rập
và người Ấn Độ.
Dãy Fibonacci là dãy vô hạn các số tự nhiên bắt đầu bằng hai phần
tử 0 và 1 hoặc 1 và 1, các phần tử sau đó được thiết lập theo quy tắc
mỗi phần tử luôn bằng tổng hai phần tử trước nó.
Công thức truy hồi của dãy Fibonacci là:

khi n = 1;


1
khi n = 2;
Fn = 1


F (n − 1) + F (n − 2) khi n > 2.
1.2.1. Bài toán con thỏ và công thức của dãy Fibonacci
Nội dung được tham khảo chủ yếu ở tài liệu [2],[5] và [6].
a) Bài toán con thỏ
“Một đôi thỏ (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) cứ mỗi tháng đẻ
được một đôi thỏ con (cũng gồm một thỏ đực và một thỏ cái); một
đôi thỏ con khi tròn hai tháng tuổi, sau mỗi tháng đẻ ra một đôi thỏ
con và quá trình sinh nở cứ thế tiếp diễn. Hỏi n tháng có bao nhiêu
đôi thỏ, nếu đầu năm (tháng Giêng) có một đôi thỏ sơ sinh?”

Hình 1.4 Bài toán con thỏ và dãy số Fibonacci


19

Trong Hình 1.4 ta quy ước:
- Cặp thỏ nhỏ hơn là cặp thỏ có độ tuổi một tháng.
- Cặp thỏ to hơn là cặp thỏ có khả năng sinh sản.
Nhìn vào Hình 1.4 ta nhận thấy:
- Tháng Giêng và tháng Hai: chỉ có một đôi thỏ.
- Tháng Ba: đôi thỏ này sẽ đẻ ra một đôi thỏ con, do đó trong tháng
này có 2 đôi thỏ.
- Tháng Tư: chỉ có đôi thỏ ban đầu sinh con nên đến thời điểm này
có 3 đôi thỏ.

- Tháng Năm: có hai đôi thỏ (đôi thỏ đầu và đôi thỏ được sinh ra ở
tháng Ba) cùng sinh con nên ở tháng này có 2 + 3 = 5 đôi thỏ.
- Tháng Sáu: có ba đôi thỏ (hai đôi thỏ đầu và đôi thỏ được sinh
ra ở tháng Tư) cùng sinh con ở thời điểm này nên đến đây có
3 + 5 = 8 đôi thỏ.
- ...
Khái quát, nếu n là số tự nhiên khác 0, gọi F (n) là số đôi thỏ có ở
tháng thứ n. F (n + 2) là số đôi thỏ có ở tháng thứ n + 2, thỏa mãn
phương trình sau: Fn+2 = Fn+1 + số đôi thỏ ở tháng thứ n + 2.
Điều đó có thể được giải thích như sau: Các đôi thỏ sinh ra ở tháng
thứ n + 1 không thể sinh con ở tháng thứ n + 2, và ở tháng này đôi thỏ
tháng thứ n sinh ra một đôi thỏ nên số đôi thỏ được sinh ra ở tháng
thứ n chính là giá trị của F (n). Do đó, ta có mối quan hệ truy hồi:
Fn+2 = Fn+1 + Fn , n = 1, 2, 3, ...

(1.37)

Với điều kiện ban đầu:
F1 = 1, F2 = 1

(1.38)

Từ phương trình (1.37) và điều kiện ban đầu (1.38) xác định duy
nhất một dãy số Fn gọi là dãy Fibonacci và các số hạng trong dãy được
gọi là các số Fibonacci.


20

Bảng 1.2 Các phần tử đầu tiên của dãy số Fibonacci

n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

F (n)
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34

n
10
11
12
13
14

15
16
17
18
19

F (n)
55
89
144
233
377
610
987
1597
2584
4181

n
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29

F (n)
6765
10946
17711
28657
46368
75025
121393
196418
317811
514229

n
30
31
32
33
34
35
36
37
38
...

F (n)
832040
1346269
2178309
3524578
5702887

9227465
14930352
24157817
39088169
...

b) Công thức dãy số Fibonacci
Người ta chứng minh được rằng công thức tổng quát cho dãy Fibonacci là:
√ n
√ n
1
1+ 5
1− 5
Fn = √
−
2
2
5
Thật vậy, để tìm số n của dãy Fibonacci ta thấy dãy Fibonacci tăng
dần sao cho
Fn+1
xn =
(1.39)
Fn
Sử dụng Bảng 1.2, ta tìm thấy những phần tử đầu tiên của dãy xn
là:
1, 2, 1.5, 1.6666..., 1.6, 1.625, 1.6154, 1.619, 1.6176, 1.6182

(1.40)

Điều đáng nói ở đây là ta thấy xn xấp xỉ với tỉ lệ vàng. Dựa vào
công thức (1.37) và (1.39), ta tìm được:
xn+1 = 1 +

1
, n = 1, 2, 3, ..., x1 = 1.
xn

(1.41)

Phương trình này được trình bày trong phần phân số liên tục, trong
Fn+1
đó nó chỉ ra rằng xn =
→ ϕ khi n → ∞. Do đó, đối với n lớn thì
Fn


21

các số Fibonacci tỷ lệ thuận với tỷ lệ vàng. Ta xét kỹ hơn các số sau:
1, ϕ, ϕ2 , ϕ3 , ..., ϕn , ...

(1.42)

Với ϕ2 = ϕ + 1, ta được:
ϕn+2 = ϕn ϕ2 = ϕn (ϕ + 1) = ϕn+1 + ϕn .

(1.43)

Ta thấy rằng ϕn thỏa mãn phương trình tương tự như các số Fibonacci. Tương tự, với ϕ2 = ϕ + 1, ta được:

ϕ3 = ϕ2 ϕ = 2ϕ + 1,
ϕ4 = ϕ3 ϕ = 3ϕ + 2,
ϕ5 = ϕ4 ϕ = 5ϕ + 3,

(1.44)

ϕ6 = ϕ5 ϕ = 8ϕ + 5,
...
ϕn = Fn ϕ + Fn−1 , n = 2, 3, ...
Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp, với ϕ2 = ϕ + 1 ta thiết lập được
phương trình (1.44), phương trình tương tự có nghiệm x2 = x + 1, cụ
thể:
√
(1 − 5)
= −0.61803989...
Ψ=1−ϕ=
2
Do đó
Ψn = Fn Ψ + Fn−1 , n = 2, 3, ...

(1.45)

Giải phương trình (1.44) và (1.45), ta có:
ϕn − Ψn
1
Fn = √
=√
5
5

√
1+ 5
2

n

−

√
1− 5
2

n

(1.46)

được gọi là công thức Binet. Vế phải của công thức Binet phải là số
nguyên chẵn bao gồm các phân số và nghiệm bình phương. Sử dụng
trực tiếp công thức Binet để tính toán các số Fibonacci chỉ có giá trị
cho n nhỏ. Có cách khác để tính toán các số Fibonacci có giá trị n lớn
mà không cần sử dụng công thức truy hồi. Áp dụng công thức Binet


22

ta có:

ϕn
1
ϕn

(1.47)
Fn − √ = √ < ,
2
5
5
ϕn
nghĩa là, Fn là số gần nhất đến √ . Áp dụng kết quả này ta có thể
5
tính được F60 bằng một máy tính cầm tay thông thường.
ϕ60
√ = 1548008755920.003
5
Hay
F60 = 1548008755920.003
1.2.2 Một số hằng đẳng thức cho số Fibonacci
Nội dung được tham khảo chủ yếu ở tài liệu [5] và [6].
1. F1 + F2 + F3 + ... + Fn = nk=1 Fk = Fn+2 − 1
Chứng minh. Trước tiên, ta lưu ý:
n
k
k=0 ϕ

(1.48)

1 − ϕn+1
ϕn+1 − 1 (ϕn+1 − 1)(ϕ + 1)
=
=
=
1−ϕ

ϕ−1
ϕ2 − 1

= (ϕn+1 − 1)ϕ = ϕn+2 − ϕ.
Tương tự như trên,ta có:
n
k
k=0 Ψ

= Ψn+2 − Ψ.

Dựa vào hai kết quả trên và công thức Binet, để thuận tiện ta đặt
F0 = 0 mà không mất tính tổng quát, ta có:
ϕn − Ψn
(ϕn+2 − Ψn+2 ) − (ϕ − Ψ)
n
n
n
√
√
=
.
k=1 Fk =
k=0 Fk =
k=0
5
5
Với
ϕ−Ψ=

√

5 và Fn+2

ϕn+2 − Ψn+2
√
=
.
5

Do đó, ta có:
n
k=1 Fk

= Fn+2 − 1.

2. F1 + F3 + F5 + ... + F2n−1 = F2n
(1.49)(Tổng n số hạng lẻ)
Chứng minh. Bằng quy nạp ta chứng minh như sau: