Ứng dụng số phức để giải phương trình bậc ba

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
Xét bài toán: Giải phương trình: x3  3. 3 32 x  8  0
Giải:
3
x  3. 3 32 x  8  0
Ta có:
3

3
2
2
 p   q   3. 3 3   8 
 '         
     16
3   2 
 3  2 

  '  4i
q



 u 3     '  4  4i  4 2  cos  i sin 
2
4
4



 


6
u1  32  cos 12  i sin 12 




3
3 

 u2  6 32  cos
 i sin

4
4 



17
17

6
 i sin
u3  32  cos
12
12






 

6
v1  32  cos 12  i sin 12 




3
3 

 v2  6 32  cos
 i sin

4
4 


17
17 
 

6
 i sin
 v3  32  cos

12
12 
 


Với các cặp u, v tương ứng ta áp dụng công thức: x  3 
nghiệm của phương trình là:

x1  2. 6 32.cos

q
q
b
 '  3   ' 
ta được ba
2
2
3a



12
3
x2  2. 6 32.cos
4
17
x3  2 6 32.cos
12

Ngoài cách sử dụng công thức trên ta có thể dùng công thức sau với một cặp u, v tương ứng bất kì nêu
trên:
b
x1  uk  uk 
3a

1
3
b
x2   .(uk  uk )  i
.(uk  uk ) 
2
2
3a

với k  1; 2; 3

1
3
b
x3   .(uk  uk )  i
.(uk  uk ) 
2
2
3a
Chẳng hạn ta dùng cho cặp u2 , v2 cũng sẽ thu được kết quả như trên:

x1  2. 6 32.cos



12
3
x2  2. 6 32.cos
4
17

x3  2 6 32.cos
12

Sự ra đời công thức nghiệm phương trình của bậc ba gắn với sự ra đời tập hợp số cuối cùng: Số phức