VECTO TRONG KHONG GIAN CO GIAI CHI TIET RAT HAY

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan hệ vuông góc – HH 11

Đây là trích 1 phần tài liệu gần
2000 trang của Thầy Đặng Việt
Đông.
Quý Thầy Cô mua trọn bộ File
Word Toán 11 và 12 của Thầy
Đặng Việt Đông giá 200k thẻ
cào Vietnam mobile liên hệ số
máy 0937351107

Mua file Word liên hệ: 0937351107

Trang 1


ST&BS: Th.S ng Vit ụng Trng THPT Nho Quan A

Quan h vuụng gúc HH 11

VẫCT TRONG KHễNG GIAN
A Lí THUYT V PHNG PHP
1. nh ngha v cỏc phộp toỏn
nh ngha, tớnh cht, cỏc phộp toỏn v vect trong khụng gian c xõy dng hon ton tng
t nh trong mt phng.
Lu ý:
uuur uuur uuur
AB + BC = AC
+ Qui tc ba im: Cho ba im A, B, C bt k, ta cú:

uuu
r uuur uuur
AB + AD = AC
+ Qui tc hỡnh bỡnh hnh: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD, ta cú:
uuur uuur uuur uuuur
AB + AD + AA ' = AC '
+ Qui tc hỡnh hp: Cho hỡnh hp ABCD. ABCD, ta cú:
+ Hờ thc trung im on
trung
uur thng:
uur r ChouuIu
rl u
uur im
uur ca on thng AB, O tu ý.
IA + IB = 0 OA + OB = 2OI
Ta cú:
;
+ H thc trng tõm tamuuu
giỏc:
r uuu
rChouuG
ur l rtrng utõm
uu
r ca
uuu
r tam
uuugiỏc
r ABC,
uuur O tu ý. Ta cú:
GA + GB + GC = 0;

OA + OB + OC = 3OG
+ H thc trng tõm t din:
ca t
ABCD,
tu
Ta
uuu
r uCho
uu
r G
uuul
r trng
uuur tõm
uuu
rdin
uuu
r uuur Ouu
ur ý. u
uurcú:
r
GA + GB + GC + GD = 0;
OA + OB + OC + OD = 4OG
r
r
r
r r
r
a vaứ b cuứng phửụng (a 0) !k R : b = ka

+ iu kin hai vect cựng phng:

+ im M chia on thng AB theo t s k (k 1), O tu ý. Ta cú:
uuu
r
uuu
r
uuur
uuur
uuuu
r OA kOB
MA = k MB; OM =
1 k
2. S ng phng ca ba vect
Ba vect c gi l ng phng nu cỏc giỏ ca chỳng cựng song song vi mt mt phng.
r
r r r
r
a, b , c
a vaứ b
iu kin ba vect ng phng: Cho ba vect
, trong ú
khụng cựng
r
r r r
r
r
a, b , c
c = ma + nb
phng. Khi ú:
ng phng ! m, n R:
r r r

r
a, b , c
x
Cho ba vect
khụng ng phng, tu ý.
r
r
r
r
x = ma + nb + pc
Khi ú:
! m, n, p R:
3. Tớch vụ hng ca hai vect
Gúc gia hai vect trong khụng gian:
uuu
r r uuur r
r r ã
ã
AB = u , AC = v (u , v ) = BAC
(00 BAC
1800 )
Tớch vụ hng ca hai vect trong khụng gian:
rr r r
r r
r r r
u .v = u . v .cos(u , v )
u, v 0
+ Cho
. Khi ú:
r r

r r
rr
u = 0 hoaởc v = 0
u .v = 0
+ Vi
. Qui c:

Mua file Word liờn h: 0937351107

Trang 2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Quan hệ vuông góc – HH 11
r r
rr
u ⊥ v ⇔ u.v = 0
+
4. Các dạng toán thường gặp:
a) Chứng minh đẳng thức vec tơ.
b) Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng, phân tích một vectơ theo ba
vectơ không đồng phẳng.
+ Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:
- Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.
r r r
r
r r
a, b,c
c = ma + nb
- Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n ∈ R:

thì
đồng
phẳng
r r r
r
a, b, c
x
+ Để phân tích một vectơ
theo ba vectơ
không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho:
r
r
r
r
x = ma + nb + pc
c) Tính tích vô hướng cuả hai véc tơ trong không gian
d) Tính độ dài của đoạn thẳng, véctơ.

r2 r 2
r
r2
a = a ⇒ a= a

+ Để tính độ dài của một đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng cơ sở
.
MN
Vì vậy để tính độ dài của đoạn
ta thực
r hiện
r r theo các bước sau:

a, b,c
- Chọn ba vec tơ không đồng phẳng
so cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa
chúng có thểuutính
uur được.
r r r
MN = ma+ nb+ pc
- Phân tích
uuuur
uuuur 2
r r r 2
MN = MN = MN = ma+ nb+ pc

(

)

- Khi đó
r2
r2
r2
r r
r r
r r
= m2 a + n2 b + p2 c + 2mncos a,b + 2npcos b, c + 2mpcos c, a

( )

( )

( )

e) Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian.
Sử dụng các kết quả
uuur
uuur uuur
A , B,C , D
⇔ DA = mDB + nDC
•
là bốn điểm đồng phẳng
A , B,C , D
O
•
là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm
bất kì ta có
uuur
uuur
uuur uuur
x+ y+ z = 1
OD = xOA + yOB + zOC
trong đó
.

B – BÀI TẬP

uuu
r r uuu
r r uuur r
ABC. A′B′C ′ M
CA = a CB = b AA′ = c

BB′
Câu 1: Cho hình lăng trụ
,
là trung điểm của
. Đặt
,
,
.
Khẳng định nào sau đây đúng?

Mua file Word liên hệ: 0937351107

Trang 3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Quan hệ vuông góc – HH 11
uuuu
r r r 1r
uuuu
r r r 1r
uuuu
r r r 1r
AM = b + c − a
AM = a − c + b
AM = a + c − b
2
2
2
A.

.
B.
.
C.
.
D.
uuuu
r r r 1r
AM = b − a + c
2
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta phân tích như sau:
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r uuu
r 1 uuur
AM = AB + BM = CB − CA + BB′
2
r r 1 uuur r r 1 r
= b − a + AA′ = b − a + c
2
2

.

O

A B C D
Câu 2: Trong không gian cho điểm và bốn điểm , , ,
không thẳng hàng. Điều kiện cần và
C
A B
D
đủ để , , ,
tạo thành hình bình hành là
uuu
r uuu
r uuur uuur r
OA + OC = OB + OD
OA + OB + OC + OD = 0
A.
.
B.
.
1
1
1
1
OA + OB = OC + OD
OA + OC = OB + OD
2
2
2
2
C.
.
D.

.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
ABCD
Trước
hết,
điều
kiện
cần
và
đủ
để
là hình bình hành là:
uuur uuu
r uuur
BD = BA + BC
.
O
A B C D
Với mọi điểm bất kì khác , , , , ta có:
uuur uuu
r uuur
uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur
BD = BA + BC ⇔ OD − OB = OA − OB + OC − OB
uuu
r uuur uuur uuur
⇔ OA + OC = OB + OD
.
uur r uur r uuu

r r
S . ABCD
ABCD
SA = a SB = b SC = c
Câu
có đáy
là hình bình hành. Đặt
;
;
;
uuu
r 3:r Cho hình chóp
SD = d
. Khẳng định nào sau đây đúng?
r r r r
r r r r
r r r r
r r r r r
a +c = d +b
a +b = c +d
a+d =b +c
a +b +c +d = 0
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Hướng dẫn giải:

Mua file Word liên hệ: 0937351107

Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

r
a

r
b

Quan hệ vuông góc – HH 11

r
d

r
c

Chọn A.
ABCD
Gọi là tâm của hình bình hành
. Ta phân tích như sau:
uur uuu
r
uuu

r
 SA + SC = 2SO
r
uuu
r
 uur uuu
 SB + SD = 2 SO
trung tuyến)
uur uuu
r uur (do
uuu
rtính rchấtr củar đường
r
⇒ SA + SC = SB + SD ⇔ a + c = d + b
.
ABCD
CD
AB = b
M
P
AB
Câu
. Gọi
và lần lượt là trung điểm của
và
. Đặt
,
uuur 4:r Cho
uuurtứ diện
r

AC = c AD = d
,
. Khẳng định nào sau đây đúng?
uuur 1 r r r
uuur 1 r r r
MP = c + d − b
MP = d + b − c
2
2
A.
.
B.
.
uuur 1 r r r
uuur 1 r r r
MP = c + b − d
MP = c + d + b
2
2
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:

O

(

)

(

)

(

)

(

)

r
b

r
d
r
c

Chọn A.
Ta phân tích:
uuur 1 uuuu
r uuuu
r
MP = MC + MD
2

(

)

(tính chất đường trung tuyến)
r uuur uuuu
r 1 r r uuuu
r
1 uuur uuuu
= AC − AM + AD − AM = c + d − 2 AM
2
2

(

=

)

r 1 r r r
1 r r uuu
c + d − AB = c + d − b
2
2

(

)

(

(

)

)
.

Mua file Word liên hệ: 0937351107

Trang 5


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Quan hệ vuông góc –uuHH
uu
r 11
r
ABCD. A′B′C ′D′
O
ABCD
AC ′ = u
I
Câu 5: Cho hình hộp
có tâm . Gọi là tâm hình bình hành
. Đặt
,
r r
uuur r uuuu
r r uuuu
CA ' = v BD′ = x DB′ = y

,
,
. Khẳng định nào sau đây đúng?
uur 1 r r r r
uur
1 r r r r
2OI = ( u + v + x + y )
2OI = − ( u + v + x + y )
2
2
A.
.
B.
.
uur
uur 1 r r r r
1 r r r r
2OI = ( u + v + x + y )
2OI = − ( u + v + x + y )
4
4
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
r
x

r

v

r
y

r
u

Chọn D.
Ta phân tích:
r uuur uuur uuuu
r
uuu
r uuur
uuur
r r uuuu
u + v = AC ′ + CA′ = AC + CC ′ + CA + AA′ = 2 AA′

(

) (

)

.
r uuuu
r uuur uuuur
uuur uuur
uuur
uuur

r r uuuu
x + y = BD′ + DB′ = BD + DD′ + DB + BB′ = 2 BB′ = 2 AA′

(

) (

)

.

uuur
uuur
uur
r r r r
⇒ u + v + x + y = 4 AA′ = −4 A′A = −4.2OI

uur
1 r r r r
⇒ 2OI = − ( u + v + x + y )
4

.

.
ABCD. A′B′C ′D′

I
K
ABB′A′

Câu 6: Cho hình hộp
. Gọi và
lần lượt là tâm của hình bình hành
và
BCC ′B′
. Khẳng định nào sau đây sai?
uur 1 uuur 1 uuuur
IK = AC = A′C ′
2
2
A.
.
I K C A
B. Bốn
điểm
uuur uur , uuu,r , đồng phẳng.
BD + 2 IK = 2 BC
C.
.
uuur uur uuuur
BD IK B′C ′
D. Ba vectơ
;
;
không đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

Mua file Word liên hệ: 0937351107

Trang 6


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Quan hệ vuông góc – HH 11
∆B′AC
A đúng do tính chất đường trung bình trong
và tính
ACC ′A′
chất của hình bình hành
.
IK // AC
I K C A
B đúng do
nên bốn điểm ,
, ,
đồng
phẳng.
C
đúng
do
tích:
uuu
r uu
r việc
uuur ta uphân
uur u
uur uuur uuur uuur uuur
BD + 2 IK = BC + CD + AC = BC + CD + AD + DC
uuur uuur

uuur
= BC + BC = 2 BC
.
uuur uur uuuur
( ABCD )
BD IK B′C ′
D sai do giá của ba vectơ
;
;
đều song song hoặc trùng với mặt phẳng
. Do đó,
theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng.
ABCD
G
ABCD
Câu
7:
Cho
tứ
diện
.
Người
ta
định
nghĩa
“
là
trọng
tâm
tứ

diện
khi
uuu
r uuu
r uuur uuur r
GA + GB + GC + GD = 0
”. Khẳng định nào sau đây sai?
G
IJ I J
CD
AB
A.
là trung điểm của đoạn
( , lần lượt là trung điểm
và
).
G
AC
BD
B.
là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của
và
.
G
BC
AD
C.
là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của
và
.

D. Chưa thể xác định được.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
J
CD
I
AB
Ta gọi và lần lượt là trung điểm
và
.
Từ giả thiết, ta biến đổi như sau:
uuu
r uuur uuur uuur r
uur uuu
r r
uur uuu
r r
GA + GB + GC + GD = 0 ⇔ 2GI + 2GJ = 0 ⇔ GI + GJ = 0

⇒G

IJ
là trung điểm đoạn
.
Bằng việc chứng minh tương tự, ta có thể chứng minh được
phương án B và C đều là các phương án đúng, do đó phương
án D sai.

ABCD

Câu 8: Cho tứ diện
định nào sau đây đúng?
uuur 1 r r r
AG = ( x + y + z )
3
A.
.
uuur 2 r r r
AG = ( x + y + z )
3
C.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

có

G

là trọng tâm tam giác

Mua file Word liên hệ: 0937351107

BCD

B.

D.

Trang 7

r r uuur r uuur
r uuu
x = AB y = AC z = AD
. Đặt
;
;
. Khẳng

uuur
1 r r r
AG = − ( x + y + z )
3
uuur
2 r r r
AG = − ( x + y + z )
3

.

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

r
x

r
z

r
y

Gọi

M

là trung điểm

Ta phân tích:
uuur uuu
r uuur uuu
r 2 uuuu
r uuu
r 2 uuuu
r uuu
r
AG = AB + BG = AB + BM = AB + AM − AB
3
3

(

CD

.

)

uuu
r 2  1 uuur uuur uuu
r  1 uuu
r uuur uuur 1 r r r
= AB +  AC + AD − AB  = AB + AC + AD = ( x + y + z )
3 2
3
 3

(

)

(

)

ABCD. A′B′C ′D′

O

Câu 9: Cho hình hộp
có tâm
uuuu
r 1 r r
OM = a − b
2
. Khẳng định nào sau đây đúng?
M
ABB′A′

A.
là tâm hình bình hành
.
M
BB′
C.
là trung điểm
.
Hướng dẫn giải:

(

)

r
b

B.

)

(

là trung điểm của

)

BB′

(

)

.

Mua file Word liên hệ: 0937351107

Trang 8

M

là tâm hình bình hành
CC ′
M
D.
là trung điểm
.

Chọn C.

Ta phân tích:
uuuu
r 1 r r 1 uuu
r uuur 1 uuu
r uuur 1 uuur
OM = a − b = AB − BC = AB − AD = DB
2
2
2
2

⇒M

.

uuu
r r uuur r
AB = a BC = b M
. Đặt
;
.
là điểm xác định bởi

r
a

(

Quan hệ vuông góc – HH 11

.

BCC ′B′

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan hệ vuông góc – HH 11

Đây là trích 1 phần tài liệu gần
2000 trang của Thầy Đặng Việt
Đông.
Quý Thầy Cô mua trọn bộ File
Word Toán 11 và 12 của Thầy
Đặng Việt Đông giá 200k thẻ
cào Vietnam mobile liên hệ số
máy 0937351107

Mua file Word liên hệ: 0937351107

Trang 9