Giáo trình vật lý chất rắn

PGS.TS TRẦN NGỌC

GIÁO TRÌNH

VẬT LÝ CHẤT RẮN
(Giáo trình lưu hành nội bộ)

QUẢNG BÌNH, THÁNG 6 NĂM 2016

1


MỤC LỤC
Chương 1: TINH THỂ
1.1. Các khái niệm mở đầu về chất rắn
1.2. Tinh thể và các đối xứng tinh thể
1.3. Mạng tinh thể
1.4. Các liên kết trong tinh thể
1.5. Sai hỏng trong mạng tinh thể
1.6. Phương pháp nhiễu xạ tia X nghiên cứu cấu trúc tinh thể
Chương 2: NHỮNG TÍNH CHẤT CỦA VẬT RẮN
2.1. Những tính chất cơ học của tinh thể
2.2. Biến dạng tinh thể, Định luật Hooke tổng quát
2.3. Những tính chất nhiệt của vật rắn
2.4. Lý thuyết điện tử trong vật rắn (kim loại, điện môi..)
2.5. Tính chất từ của vật rắn
Chương 3: BÁN DẪN ĐIỆN
3.1. Vật liệu bán dẫn
3.2. Những tính chất quang của bán dẫn
3.3. Hiện tượng tiếp xúc của bán dẫn
3.4. Một số dụng cụ bán dẫn

Chương 4. SIÊU DẪN ĐIỆN
4.1. Những đặc điểm của trạng thái siêu dẫn
4.2. Lý thuyết F và D. London
4.3. Hiện tượng cooper
4.4. Khe năng lượng
4.5. Một số ứng dụng của siêu dẫn

2


CHNG I
Vật lí TRạNG THáI rắn-TINH THể
Trong cơ học, người ta định nghĩa vật rắn là vật không biến dạng được, hoàn
toàn cứng. Trong vật lý nói chung người ta định nghĩa vật rắn theo nghĩa rộng hơn.
Trong giới hạn chương này ta chỉ đề cập đến một số vấn đề về cấu trúc, một số tính
chất cơ bản nhất của chất rắn và ứng dụng của chúng trong kĩ thuật và đời sống.
Đ1.1. Cấu trúc của vật rắn
I. KHI NIM V VT RN
Tất cả vật chất đều được cấu tao từ những phân tử, nguyên tử. Các phân tử,
nguyên tử tạo nên chất này hay chất khác bởi sự gắn kết giữa chúng (gọi là các lực
liên kết) không giống nhau. Nhờ có mối liên kết này mà vật chất tồn tại, khi mối liên
kết thay đổi hay không còn thì chất đó có thể biến thành chất khác hay bị phá huỷ.
Mối liên kết giữa các phân tử khí là yếu nhất, vì vậy đối với chất khí, sự sắp xếp của
các phân tử hoàn toàn không có một trật tự nào. Còn đối với chất lỏng và chất rắn,
mối liên kết này bền chặt hơn nhiều, vì vậy chúng sắp xếp có trật tự. Trong chất lỏng,
trật tự này chỉ xãy ra trong một không gian gần, vì vậy chỉ tồn tại trật tự gần. Đối với
chất rắn (đặc biệt chất rắn tinh thể) các nguyên tử hoặc phân tử cấu tạo nên chúng sắp
xếp theo một trật tự tuần hoàn trong không gian, sự nghiêm ngặt trong sắp xếp như
vậy gọi là cách sắp xếp tinh thể và cấu trúc không gian này gọi là mạng tinh thể của
vật rắn. Chính sự sắp xếp như vậy không những tạo ra trật tự gần mà còn tạo ra trật tự

xa, trật tự trong toàn bộ thể tích của vật rắn đó tạo ra sự bền vững theo thời gian tuỳ ý.
Vì vậy đối với chất rắn trật tự xa đặc trưng cho tính chất của chất đó.
Khi nhiệt độ hay áp suất của vật rắn thay đổi lớn, trật tự sắp xết trong vật rắn đó
sẽ thay đổi tạo ra sự biến dạng vật rắn.
Vật rắn tồi tại dưới hai dạng: dạng kết tinh (có cấu trúc mạng tinh thể) và dạng
vô định hình (không có cấu trúc mạng). Các tính chất khác nhau ở các chất rắn khác
nhau là do trong mỗi loại, sự phân bố của ácc điện tử và hạt nhân của các nguyên tử

3


có các đặc điểm riêng khác nhau. Để ngiên cứu tính chất của vật rắn ta xét các mối
liên kết giữa các phân tử, nguyên tử cấu tạo và duy trì vật rắn đó.
II. LIấN KT TRONG VT RN
Các vật rắn có tính định hình vì được duy trì bằng các mối liên kết giữa các hạt
cấu thành nên vật rắn đó. Khi chất rắn ổn định nghĩa là các hạt cấu thành bào gồm
các hạt nhân và các điện tử nằm cân bằng (cụ thể là các điện tử hoá trị) trong mối liên
kết ổn định, không những thế mối liên kết này còn quy định những tính chất của chất
rắn đó. Ta hãy xem vật rắn như một hệ gồm một số lớn các hạt (hạt nhân và điện tử),
giả thiết rằng vật rắn đó được cấu tạo từ một loại nguyên tử và có N nguyên tử, như
vậy ta sẽ có N hạt nhân và NZ điện tử . Nếu ta xét bài topán tương tác của N hạt với
NZ hạt này thì sẽ rất phức tạp và thừa bởi vì trong nguyên tử các điện tử ở lớp trong
liên kết chặt chẻ với hạt nhân cà tạo thành lõi nguyên tử và vì vậy trong nguyên tử
chúng hoàn toàn gíông khi đang nằm trong các nguyên tử cô lập. Chỉ có các điện tử
hoá trị mới bị phân bố khác đi và chúng quyết định tính chất tinh thể.
Như vậy ta coi mạng tinh thể như là sự cấu thành của lỏi nguyên tử mang điện
tích dương nằm ở nút mạng và các điện tử hoá trị mang điện tích âm có sự phân bố
phụ thuộc vào liên kếtd trong tính thể đó. Bài toán chỉ còn lại N lõi và Nn điện tử hoá
trị. (thường n = 1,2,3,4).
Các liên kết trong nguyên tử được duy trì bởi các lực tương tác tỉnh điện, lực này

thể hiện dưới các dạng khác nhau (có thể là cộng hoá trị, tương tác trao đổi, Van đe
Vanxơ, liên kết kim loại...) tương ứng với từng dạng liên kết và hình thanhdf ác vật
lớp vật rắn có tính chất đặc thù giống nhau như tinh thể ion, tính thể đồng hoá trị, tính
trhể kim loại kiềm...
Hai dạng liên kết đặc trứng nhất ta đã xét đó là liên lết ion và liên kết cộng hoá
trị ngoài ra còn có các liên kết như liên kết kim loại, liên kết hyđrô hay liên kết Van
đe vanxơ. Ta hãy xét các dạng liên kết này một cách tổng quát nhất.
2.1. Liên kết cộng hoá trị
Các trường hợp điển hình nhất của loại liên kết này là liên kết của các nguyên
tử có cùng hoá trị tức là có cùng cấu hình điện tử của lớp vỏ ngoài cùng. Các phân tử
này thường được hình thành từ các nguyên tử hoàn toàn bình đẳng ví dụ như: H2,
O2...Ta có thể mô tả kiểu liên kết bằng cách xem các điện tử hoá trị của các nguyên tử

4


cùng chuyển động trong một miền chung và xem như là điện tử chung của các hai
nguyên tử, chúng có vai trò làm cầu nối hai nguyên tử lại với nhau và tạo thành phân
tử. Chỉ có các điện tử hoá trị mới có khả năng tạo ra tương tác trao đổi. Vì vậy liên kết
này gọi là cộng hóa trị.
2. 2. Liên kết ion (liên kết dị cực).
Khi các nguyên tử bị ion hoá, chúng sẽ trở thành các ion dương hoặc các ion âm.
Các ion này khi ở gần nhau sẽ tồn tại lực Coulomb và hút chúng lại gần nhau. Để tạo
thành phân tử thì chỉ có thể là sự hợp thành của một nguyên tử dể dàng nhừơng điện
tử hoá trị và nguyên tử kia dễ dàng tiếp nhân các điện tử này.
Ví dụ như: NaCl; KCl...Kiểu liên kết như vậy gọi là liên kết ion
2.3. Liên kết kim loại
Trong kim laọi các điện tử hoá trị có thể di chuyển tự do trong không gian giữa
các nút mạng tinh thể và vì vậy gọi là điện tử tự do (hay điện tử dẫn). Do có rất nhiều
nguyên tử nên chỉ cần mỗi nguyên tử đóng góp một số rất nhỏ các điện tử hoá trị thì

chúng cũng đủ để họp thành đám gọi là đám mây điện tử (hay gọi là khí điện tử)
(1022hạt/cm3). Tương tác giữa các ion dương và đám mây điện tử này tạo nên mối liên
kết đặc trứng trong kim loại.
2.4. Liên kết hyđrô
Liên kết hyđrô tồn tại trong phân tử goòm một nguyên tử hyđrô với hai nguyên
tử khác. Liên kết này được hợp thành bởi điện tử của Hyđrô liênm kết với một nguyên
tử còn prôton của hạt nhân hyđrô lại liên kết với nguyên tử còn lại. Liên kết kiểu như
vậy tồn tại trong tất cả các hợp chất chứa hyđrô cung với các nguyên tố á kim.
2.5. Liên kết Van đe Vanxơ
Loại liên kết này có mặt ở mọi nơi. Vì đây là liên kết rất yếu nên liên kết Van đe
Vanxơ chỉ thể hiện khi các loại liên kết khác không xãy ra (thí dụ liên kết giữa các
nguyên tử có các lớp đã lấp đầy hoặc trong các phân tử đã bão hoà. Nguồn gốc của
liên kết này là do những thăng giáng của các điện tích trong nguyên tử do những dao
động bậc không (n = 0) gây nên. Vì vậy năng lượng liên kết phụ thuộc vào độ phân
cực của nguyên tử.

5


Đ1.2. Mạng tính thể
I. ễ S CP
Trong vật rắn các phân tử, nguyên tử sắp xếp tuần hoàn trong không gian tạo nên
mạng tinh thể. Nguyên nhân tạo của sự sắp xếp này là do các mối liên kết chặt chẽ
giữa các nguyên tử. Tinh thể lí tưởng có cấu trúc tuìân hoàn hoàn hảo và đồng nhất
trong toàn không gian. Trong thực tế không có các tính thể như vậy. Bao giờ củng tồn
tại các sai hỏng nên các tính thể thực không còn tính tuần hoàn trong toàn không
gian. Do vậy bài toán khảo sát tính thể thực sẽ rất phức tạp. Để đơn giản, phần này ta
chỉ nói đến các tinh thể lí tưởng:
r
a3

r
a2

(a)

r
a1



(b)

Hình 1.1: Mạng tinh thể trong
không gian 2 chiều (a) và 3 chiều
(b)




Hình 1.2. các đại lượng
xác định ô sơ cấp

Mạng tinh thể được định nghĩa là sự lặp lại trong không gian của đơn vị cấu trúc
được gọi là ô sơ cấp. Gắn với mỗi đỉnh của ô sơ cấp là một nguyên tử hoặc một nhóm
nguyên tử. Tất cả các đỉnh của ô là tương đương và được gọi là nút mạng. Trong
không gian hai chiều ô sơ cấp được biễu diễn băng hình đa giác (thường là hình đa
giác đối xứng). Trong không gian ba chiều cách biễu diễn ô sơ cấp thông qua 3 vectơ

r r r
a1 , a 2 , a 3 (hình 1.1), ba vec tơ này gọi là ba vectơ tịnh tiến cơ sở. ba vectơ tịnh tiến cơ

sở xác định trục của hệ toạ độ trong tinh thể. Một điểm tuỳ ý trong tinh thể có thể
r

r

được xác định bằng véc tơ r giống như bán kính r thoả mãn điều kiện:

r
r
r r ur
r
r
r = r + n1 a1 n 2 a 2 n 3 a 3 r R

(1.1)

r
r
r
ur
n
a

n
a

n
a

R
trong đó 1 1 2 2 3 3
gọi là vectơ mạng. Tập hợp các điểm có bán kính
r

véctơ r xác định theo (1.1) với tất cả các giá trị n1, n2, n3... lập thành một mạng không
gian. Thường thì hệ toạ độ trong tinh thể là hệ toạ độ không vuông góc. Hình hộp tạo
thành từ ba vectơ cơ sở này chính là ô sơ cấp của mạng. Như vậy để mô tả một ô sơ
cấp tối thiểu ta phải biết 6 đại lượng (ba cạch a,b,c và 3 góc , , ) hình 1.2. Các đại

6


lượng này gọi là các thông số của ô sơ cấp. Thường thì đơn vị độ dài ở đây không
dùng m mà dùng a,b,c (ví dụ M(1,1,2) nghĩa là M(x=1a, y = 1b, z = 2c)
Như vậy, đơn giản nhất của mạng hai chiều là các ô cơ sở được biển diễn bằng
r r

hình bình hành với hai véc tơ tịnh tiến cơ sở a1 , a 2 với nhiều cách chọn khác nhau,
nhưng thể tích của ô là không đổi hình 2.3.

Hình 2.3. Biu din hai chiu ca mng n tnh th

trong ú cú ch ra nhng ụ n v

II. CC H TINH TH TRONG KHễNG GIAN
2.1. H tinh th: H tinh th l mt nhúm im ca cỏc mng tinh th (tp hp cỏc
phộp i xng quay v i xng phn x m mt im ca mng tinh th khụng bin
i. Cú 14 ụ mng c bn thuc tt c 7 h tinh th vi cỏc nhúm tnh tin khỏc nhau
(H.2.4). H tinh th n gin nht v i xng cao nht l h lp phng, cỏc h tinh

th khỏc cú tớnh i xng thp hn l: h sỏu phng, h bn phng, h ba
phng (cũn gi l hỡnh mt thoi), h thoi, h mt nghiờng, h ba nghiờng. Mt s
nh tinh th hc coi h tinh th ba phng l mt phn ca h tinh th sỏu phng.
Cu trỳc tinh th l mt trong cỏc mng tinh th vi mt ụ n v v cỏc nguyờn
t cú mt ti cỏc nỳt mng ca cỏc ụ n v núi trờn. Thông thường ô sơ cấp của
mạng tinh thể được chọn là hình hộp, các nút mạng nằm ở vị trí các đỉnh và đồng thời
là vị trí của các nguyên tử. Ô sơ cấp chỉ chứa các nguyên tử ở đỉnh gọi là ô đơn giản
hay được gọi là ô nguyên thuỷ. Có nhiều trường hợp ô sơ cấp không chỉ chứa các
nguyên tử ở các đỉnh mà còn có các nguyên tử nằm trong không gian của thể tích đó
(gọi là các tâm khối), hoặc cũng có thể các nguyên tử nằm trên các mặt của hình hộp
(gọi là tâm diện hoặc tâm đáy). Các cấu trúc trong tự nhiên mà các tính thể tồn tại ở
hình 2.4 (1,2,3,4,5,6,7):
1. Hệ lập phương (The cubic system) (hình 1.4.1): a = b = c và = = = 900

7


ô sơ cấp có 3 loại với dạng hình lập phương: lập phương nguyên thủy, lập phương tâm
khối và lập phương tâm mặt (điển hình trong khoáng vật là Pyrite)
2. Hệ tứ giác (the tetragonal system) hình 2.4.2: a = b c và = = = 900
Ô sơ cấp có dạng hình lăng trụ đáy vuông. Thường có hai loại ô mạng tứ giác nguyên
thuỷ và tứ gíc tâm khối (điển hình trong khoáng vật là Siberian)
3. Hệ thoi (the orthorhombic system) hình 2.4.3: a b c và = = = 900
Ô sơ cấp có dạng hình hộp chử nhật với 4 loại khác nhau. Thoi, thoi tâm khối, thoi
tâm mặt và thoi tâm đáy(điển hình trong khoáng vật là Barite)
4. Hệ tam tà (the triclinic system) hình 2.4.4: a b c và 900
Ô sơ cấp chỉ là hình hộp không đối xứng (điển hình trong khoáng vật là Brazilian)
5. Hệ đơn tà (the monoclinic system) hình 2.4.5: a b c và = = 900
Ô sơ cấp chỉ là hình hộp, thường có hai loại đơn tà nguyên thuỷ và đơn tà tâm đáy

c

b

c

a

b

(1)

c
a

c
b

a
3

2

b
a
4

b
c

c
a
5

b
a
6

(7)

Hình 2.4. Các cấu trúc trong tự nhiên mà các tính thể

(điển hình trong khoáng vật là Gypsum)
6. Hệ tam giác (the trigonal system) hình 2.4.6:
a = b = c và = = < 1200 900
Ô sơ cấp có hình lăng trụ thoi.
7. Hệ lục giác (the hexagonal system) hình 2.4.7:
a = b c và = = 900 , = 1200
Khi một mạng có ô sơ cấp có dạng hình lăng trụ đứng, đáy là hình thoi góc 600,
để dể nhận ra tính đối xứng, ta phải ghép 2 ô sơ cấp thêm để trở thành một hình lăng
trụ đáy là hình lục giác đứng có hai nút mạng ở tâm 2 đáy (điển hình trong khoáng
Apatite).
2.2. Mng Bravais: Mng Bravais l mt tp hp cỏc im to thnh t mt im
duy nht theo cỏc bc ri rc xỏc nh bi cỏc vộct c s. Cú 3 iu kin chn ụ

8


Bravais: Ô phải mang tính đối xứng cao nhất của hệ tinh thể; Ô có số góc vuông lớn
nhất hoặc số cạnh bằng nhau và số góc bằng nhau phải nhiều nhất; Ô có thể tích nhỏ

nhất. Trong không gian ba chiều có tồn tại 14 mạng Bravais (phân biệt với nhau bởi
các nhóm không gian). Tất cả các vật liệu có cấu trúc tinh thể đều thuộc vào một
trong các mạng Bravais này (không tính đến các giả tinh thể). 14 mạng tinh thể được
phân theo Nh­ vËy trong 7 hÖ trªn cã 14 lo¹i « m¹ng s¬ cÊp gäi lµ 14 m¹ng Bravais.
Hệ tinh thể

Mạng tinh thể

Ba nghiêng

đơn giản

tâm đáy

đơn giản

tâm đáy

đơn giản

tâm khối

Một nghiêng

tâm khối

tâm mặt

Trực thoi

Sáu phương

Ba phương

Bốn phương

các hệ tinh thể khác nhau.

9


n gin

tõm khi

tõm mt

Lp phng

Hỡnh 1.5: 14 mng Bravais c phõn theo cỏc h tinh th khỏc nhau
III. TNH I XNG CA MNG KHễNG GIAN CH S MILER
3.1. Tính chất đối xứng của mạng không gian
Do có tính chất tuần hoàn tạo nên trong mạng tinh thể, mà mạng không gian này
bất biến đối với một số phép biến đổi, điều đó thể hiện sự trùng lặp trở lại khi ta thực
hiện phép biến đổi. Khi đó ta nói: mạng có tính đối xứng đối với phép biến đổi đó.
Tính đối xứng của mạng là đặc tính quan trọng nhất để chúng ta dựa vào nó mà
nghiên cứu cấu trúc mạng tính thể. Mạng không gian thường có các phép biến đổi đối
xứng như sau:
1) Đối xứng với phép tịnh tiến
2) Đối xứng với phép quay quanh một trục xác định

3) Đối xứng với phép nghịch đảo: (phép nghịch đảo là
phép biến đổi đối xứng, qua đó vectơ vị trí đổi dấu cho
r

r

nhau r - r , như vậy mạng phải có một tâm đối xứng)
4) Đối xứng với phép phản xạ qua một số mặt phẳng.

Hình 7.3. Các cách
chọn vectơ cơ sở

Nếu phân loại các hệ tính thể theo tính chất đối xứng
trong không gian thì hệ tinh thể được phân thành 7 loại với 14 kiểu ô mạng được gọi
là 14 ô mạng Bravais:
3.2. Ch s miller: Vỡ tớnh d hng ca tinh th nờn phi cú mt h thng ký hiu
thun tin ch cỏc mt mng v phng mng. Nu dựng cỏc phng phỏp thụng
thng ca hỡnh hc gii tớch, s gp nhiu khú khn, nờn ngi ta dựng h thng ký
hiu Miller. Ch s miller ca mt phng tinh th c xỏc nh l nghch o giao

10


điểm phân số của mặt tinh thể cắt trên trục tinh thể x, y, z cuả ba cạnh không song
song của ô cơ bản. Chỉ số miller được xác định như sau:
- Chọn một mặt phẳng không đi qua góc tọa độ (0,0,0).
- Xác định các tọa độ giao điểm của mặt phẳng với các trục x, y, z của ô đơn vị.
Tọa độ giao điểm đó sẽ là các phân số.
- Lấy nghịch đảo các tọa độ giao điểm này.
- Quy đồng các phân số này và xác định tập nguyên nhỏ nhất của các tử số. Các

số này chính là chỉ số Miller, kí hiệu h, k và l. Một bộ ba chỉ số (hkl) biểu diễn
không phải một mặt phẳng và biểu diễn một họ các mặt phẳng song song nhau.
Trong cấu trúc tinh thể khoảng cách giữa các mặt phẳng song song gần nhau
nhất có cùng chỉ số Miller được kí hiệu

trong đó h, k, l là chỉ số Miller của các

mặt. Từ hình học ta có thể thấy rằng khoảng cách
song trong tinh thể lập phương là

=

giữa các mặt lân cận song

với a là độ dài véc tơ cơ sở của mạng

lập phương( gọi là hằng số mạng). Các mặt phẳng (hkl) và (nh nk nl), n là số
nguyên, là song song với nhau, nhưng khoảng cách giữa các măt phẳng của mặt
phẳng (nh nk nl) bằng khoảng cách giữa các
mặt phẳng ( hkl).
Ví dụ: Giao điểm của mặt phẳng với ba trục
a, b, c là a=3, b=2, c=2.
- Lấy nghịch đảo, chúng ta có:(1/3; 1/2; 1/2)
Quy đồng mẫu số của ba phân số này: (2/6;
3/6; 3/6)
 Những chữ số ở tử sẽ là những chỉ số biễu
diễn mặt phẳng mạng, nghĩa là chúng ta có mặt

Hình 1.7: Cách xác định chỉ số Miller
của mặt phẳng mạng

phẳng (2,3,3). Những chữ số này cũng được
gọi là chỉ số Miller.
Chúng ta sẽ gọi mặt phẳng trong trường hợp tổng quát là (hkl)
Kết luận: Những mặt phẳng song song với mặt phẳng trong hình 1.7 sẽ có cùng chỉ
số Miller là (2,3,3). Như vậy, các mặt phẳng song song nhau hoàn toàn tương đương
nhau.

11


IV. MẠNG ĐẢO
4.1. Khái niệm mạng đảo
Mạng đảo là một khái niệm sử dụng trong tinh thể họcvà vật lý chất rắn, là biểu
diễn của một mạng tinh thể (thường là mạng Bravais) trong không gian sóng thông
qua phép biến đổi Fourier.
Mạng đảo của một mạng đảo là mạng tinh thể nguyên thủybanđầu.
Khi nghiên cứu cấu trúc tinh thể bằng phương pháp nhiễu xạ tia X thì bức tranh
thu được chỉ là chùm ảnh của chùm tia bị tinh thể nhiễu xạ chứ không phải là ảnh
chụp cách sắp xếp các nguyên tử trong mạng tinh thể. Bức tranh này chính là hình
ảnh mạng đảo của tinh thể và từ đó ta phải suy ra mạng thuận (mạng thực).
Liên hệ giữa mạng thuận và mạng đảo: G.R=2 (số nguyên)
Với R là vecto tịnh tiến của mạng thuận.G là vecto tịnh tiến của mạng đảo.
Hoặc nếu gọi a,b,c và a’, b’, c’ là các vecto đơn vị của ô cơ bản trong mạng thuận và
mạng đảo, ta có: a.a’=b.b’=c.c’=1 Và a’.b= b’.c = c’.a=0

(1.3). Tức là vecto a’

vuông góc với b và c, b’ vuông góc với a và c, c’ vuông góc với a, b
4.2. Tính chất của mạng đảo

Mạng đảo có các tính chất quan trọng sau:
- Mỗi nút mạng đảo tương ứng một mặt phẳng (hkl) của tinh thể.
- Vecto mạng đảo

= ha’+kb’+ lc’ vuông góc với mặt phẳng mạng (hkl) của

mạng tinh thể và
-Mạng đảo của mạng đảo là mạng thực của tinh thể đã cho.
Như vậy, mỗi cấu trúc tinh thể có hai mạng liên hợp với nó, mạng tinh thể (mạng
thuận) và mạng đảo. Ảnh nhiễu xạ của tinh thể là một bức tranh mạng đảo của tinh
thể. Hai mạng này liên hệ với nhau qua công thức (1.3). Do vậy, khi ta quay tinh thể
trong giá đỡ ta quay cả mạng thực và mạng đảo. Các vectơ trong mạng có thứ nguyên
là chiều dài, các vecto mạng đảo có thứ nguyên là

.

4.3. Ứng dụng của mạng đảo
Vì kích thước của mạng đảo có đơn vị 1/mét, đồng đơn vị với vector sóng (k).
Mạng đảo giúp ta nghiên cứu và hiểu các hiện tượng vật lý của vật chất có cấu trúc
tinh thể được dễ dàng hơn. Vì người ta thường khảo sát tương tác của mạng tinh thể

12


với sóng (vd: sóng ánh sáng), hoặc sự chuyển động của electron,... Trong các quá
trình này có đại lượng vector sóng (k) chi phối.

§ 1.3. NHIỄU XẠ TIA X NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC TINH THỂ
I. NHIỄU XẠ TIA X
1.1. Khái niệm nhiễu xạ tia X

Nhiễu xạ tia X là hiện tượng các chùm tia X nhiễu xạ trên các mặt tinh
thể của chất rắn do tính tuần hoàn của cấu trúc tinh thể tạo nên các cực đại và cực
tiểu nhiễu xạ.

Hình 3.1: Hiện tượng các tia X nhiễu xạ trên các mặt tinh thể chất rắn, tính tuần
hoàn dẫn đến việc các mặt tinh thể đóng vai trò như một cách tử nhiễu xạ.
Kỹ thuật nhiễu xạ tia X (thường viết gọn là nhiễu xạ tia X) được sử dụng để phân
tích cấu trúc chất rắn, vật liệu... Xét về bản chất vật lý, nhiễu xạ tia X cũng gần giống
với nhiễu xạ điện tử, sự khác nhau trong tính chất phổ nhiễu xạ là do sự khác nhau về
tương tác giữa tia X với nguyên tử và sự tương tác giữa điện tử và nguyên tử
Xét một chùm tia X có bước sóng

chiếu tới một tinh thể chất rắn dưới góc tới .

Do tinh thể có tính chất tuần hoàn, các mặt tinh thể sẽ cách nhau những khoảng đều
đặn , đóng vai trò giống như các cách tử nhiễu xạ và tạo ra hiện tượng nhiễu xạ của
các tia X. Nếu ta quan sát các chùm tia tán xạ theo phương phản xạ (bằng góc tới) thì
hiệu quang trình giữa các tia tán xạ trên các mặt là:
Như vậy, để có cực đại nhiễu xạ thì góc tới phải thỏa mãn điều kiện:

13


Ở đây,

là số nguyên nhận các giá trị 1, 2, 3...

Đây là định luật Vulf-Bragg mô tả hiện tượng nhiễu xạ tia X trên các mặt tinh thể.
+ Cường độ nhiễu xạ
Cường độ chùm tia nhiễu xạ được cho bởi công thức:

Với

là hàm sóng của chùm nhiễu xạ, còn

là thừa số cấu trúc (hay còn gọi là xác

suất phản xạ tia X), được cho bởi:

ở đây, g là véctơ tán xạ của chùm nhiễu xạ phụ thuộc vào mặt phẳng (hkl) tại đó xảy
ra điều kiện Bragg,

là vị trí của nguyên tử thứ trong ô đơn vị, còn

là khả năng

tán xạ của nguyên tử phụ thuộc vào sự phân bố của electron trong nguyên tử; ngoài ra
cường độ sóng nhiễu xạ còn phụ thuộc vào nhiệt độ, sự hấp thụ của mẫu đối với sóng
tới…Tổng được lấy trên toàn ô đơn vị.
+ Phổ nhiễu xạ
Phổ nhiễu xạ tia X là sự phụ thuộc của cường độ nhiễu xạ vào góc nhiễu xạ (thường
dùng là 2 lần góc nhiễu xạ).[8]
II. PHÂN TÍCH CẤU TRÚC TINH THỂ BẰNG NHIỄU XẠ TIA X
2.1. Nhiễu xạ đơn tinh thể-phương pháp Laue
Hai phương pháp chính để thực hiện nhiễu xạ đơn tinh thể là phương pháp Laue
và phương pháp xoay đơn tinh thể. Để thỏa mãn điều kiện nhiễu xạ Bragg:
,
trong phương pháp xoay đơn tinh thể(phương pháp tinh thể quay) chùm tia X đơn sắc
(

) được chiểu lên đơn tinh thể quay (

quay quanh một tinh thể

nào đó. Trong đó phương pháp ảnh Laue chùm bức xạ với phổ liên tục ( thay đổi)
được rọi lên tinh thể đứng yên (

.

Nguyên lý tạo ảnh nhiễu xạ và một số ứng dụng phương pháp ảnh Laue
Chùm tia X được chiếu liên tục lên mẫu đơn tinh thể và tia nhiễu xạ được ghi
nhận bằng các vết nhiễu xạ trên phim (Hình 3.2). Bức xạ tia X liên tục sẽ cho dải
bước sóng cần thiết và chắc chắn thỏa mãn định luật Bragg cho mọi mặt phẳng.

14


Hình 3.2: Một chùm tia hội tụ và được chiếu lên vật mẫu.
Phương pháp Laue xác định sự định hướng của đơn tinh thể bằng cách chụp tia X
truyền qua tinh thể hoặc tia X phản xạ từ tinh thể. Trên ảnh nhiễu xạ Laue thường
thấy các vết nhiễu xạ sắp xếp theo các đường cong xác định.

Hình 3.3: Hình ảnh thu được của phương pháp Laue (a) và cách vẽ mặt cầu
Ewald
(b)định ta tìm được nhiều giá trị d và θ thỏa
- Ứng với mỗi giá trị bước sóng
nhất

mãn định luật Bragg tức là các đường cong xác định đi qua các vết nhiễu xạ là kết
quả nhiễu xạ của tia trên các mặt tinh thể thuộc 1 vùng
Để nghiên cứu ảnh nhiễu xạ Laue chúng ta vẽ hình cầu Ewald trong không gian

mạng đảo như hình 3.3.b. cách vẽ mặt cầu Ewald:
1. Vẽ mạng đảo
2. Chọn nút S0 là góc của mạng đảo
3. Dọc theo phương của chùm tới đặt đoạn OS0=1/
4. Vẽ mặt cầu tâm O, bán kính OS0

15


5. Sự nhiễu xạ xuất hiện nếu mặt cầu đi qua nút mạng đảo(tương ứng với một họ
mặt phẳng (hkl)) khác.
Trên ảnh Laue ta thấy các vết nhiễu xạ phân bố theo những đường cong dạng
elip, parabon hay hypebon đi qua tâm ảnh. Các đường cong này gọi là các đường
vùng bởi mỗi đường cong đó chứa các vết nhiễu xạ của các mặt thuộc một vùng mặt
phẳng trong tinh thể. Có thể giải thích hiện tượng này nhờ khái niệm mạng đảo. Như
ta biết, một vùng mặt phẳng gồm các mặt tinh thể cắt nhau theo một giao tuyến
chung gọi là trục vùng và vectơ mạng đảo ghkl vuông góc với mặt (hkl) tương ứng
trong mạng tinh thể. Như thế vectơ
vậy các vectơ

phải vuông góc với trục vùng [uvw] . Bởi

hay các pháp tuyến của các mặt phẳng thuộc vùng sẽ cùng nằm

trên một mặt phẳng vuông góc với trục [uvw] của vùng. Bằng phương pháp vẽ cầu
Ewald dễ dàng thấy rằng mặt phẳng pháp tuyến đó của một vùng sẽ cắt cầu Ewald
theo một đường tròn giao tuyến và chỉ những nút đảo nằm trên giao tuyến này mới
cho tia nhiễu xạ. Như vậy, các tia nhiễu xạ tạo nên một hình tròn tia có trục là trục
vùng và góc mở là 2 , trong đó

là góc tạo bởi tia X với trục vùng. Giao tuyến của

nón tia nhiễu xạ với phim chính là dạng hình học của các đường vùng trên ảnh Laue.
Các đường vùng trên ảnh Laue được thể hiện trên (hình 3.4) Khi < 450 đường vùng
có dạng elip, đó là ảnh truyền qua của mẫu mỏng. Nếu
parabon. Khi > 450 đường vùng có dạng hypebon và khi

= 450 đường vùng là
= 900 mặt nón trở thành

mặt phẳng, đường vùng là một đường thẳng, đó là ảnh Laue ngược trong trường hợp
mẫu dày.
Bởi vậy, ảnh Laue được tạo nên bởi tập các đường vùng trên đó phân bố các vết
nhiễu xạ của các vùng mặt phẳng tương ứng trong tinh thể. Phương pháp ảnh Laue
cho phép xác định hướng và tính đối xứng của tinh thể.
Ngày nay, phương pháp ghi ảnh nhiễu xạ bằng phim không được phổ biến và một
kĩ thuật hiện đại để ghi cường độ với độ nhạy cao và chính xác hơn đã đựơc sử dụng
rộng rãi để nghiên cứu đơn tinh thể, đó là nhiễu xạ kế tia X. Kỹ thuật phân tích đơn
tinh thể trên nhiễu xạ kế vô cùng phức tạp, tuy nhiên với sự trợ giúp của máy tính thì
nhiễu xạ kế tia X đã cho phép xác định tính đối xứng, định hướng tinh thể, hằng số
mạng chính xác và các đặc trưng khác của đơn tinh thể, kể cả khi chưa biết trước cấu
trúc và các thông số của ô cơ bản.

16


Hình 3.4: Các đường vùng trên ảnh Laue

Hình 3.5: Ảnh nhiễu xạ gồm một loạt vết đặc trưng cho tính đối xứng tinh thể.
Phương pháp Laue có ưu điểm, cho biết nhanh một mẫu có phải là đơn tinh thể

hoàn hảo hay không? Tuy nhiên phương pháp này có nhược điểm là giản đồ Laue
trong những trường hợp phức tạp không cho phép xác định chính xác cấu trúc của
tinh thể.
2.2. Phương pháp đơn tinh thể quay
Trong phương pháp trên có thể có vài bước sóng khác nhau thảo mãn điều kiện
Bragg cho cùng một mặt phản xạ, nhưng với các bậc nhiễu xạ khác nhau. Đó là một
nhược điểm, mà để tránh nó có thể dùng phương pháp tinh thể quay.
Giữ nguyên bước sóng λ và thay đổi góc tới θ. Phim được đặt vào mặt trong của
buồng hình trụ cố định. Một đơn tinh thể được gắn trên thanh quay đồng trục với
buồng. Chùm tia X đơn sắc tới sẽ bị nhiễu xạ trên một họ mặt nguyên tử của tinh thể
với khoảng cách giữa các mặt là d trong quá trình quay thỏa mãn điều kiện Bragg.

17


Tất cả các mặt nguyên tử song song với trục quay sẽ tạo nên các vết nhiễu xạ trên
mặt phẳng nằm ngang.Cấu tạo máy nhiễu xạ tia X được thể hiện ở hình 3.6.
Khi tinh thể quay lệch khỏi vị trí đó, thì điều kiện cực đại nhiễu xạ ứng với mặt
phản xạ đó mất đi và lại phải chờ đến sự lặp lại tiếp theo. Cũng căn cứ vào các vết
nhiễu xạ thu được trên phim ảnh để xác định cấu trúc tinh thể.

Hình 3.6: Máy nhiễu xạ bằng phương pháp xoay đơn tinh thể và cấu tạo cơ bản.
Phổ nhiễu xạ sẽ là sự phụ thuộc của cường độ nhiễu xạ vào góc quay 2 .
2.3. Nhiễu xạ đa tinh thể bằng phương pháp nhiễu xạ bột
Kỹ thuật nhiễu xạ tia x được sử dụng phổ biến nhất là phương pháp bột hay còn
gọi là phương pháp Debye (Hình 3.7).Trong phương pháp này mẫu được tạo thành
bột với mục đích có nhiều tinh thể có tính định hướng ngẫu nhiên để chắc chắn rằng
có một số lớn hạt có định hướng thỏa mãn điều kiện Bragg.
Bộ phận chính của nhiễu xạ kế tia X là: nguồn tia X, mẫu, detecto tia X. Chúng
được đặt nằm trong chu vi hình tròn (gọi là vòn tròn tiêu tụ). Góc giữa mặt phẳng

mẫu và tia tới X là - góc Bragg. Góc giữa tia chiếu X và góc nhiễu xạ là

. Nguồn

tia X được giữ cố định còn detecto chuyển động suốt thang đo góc. Bán kính của
vòng tròn tiêu tụ không phải là một hằng số mà tăng khi góc

giảm.

18


Hình 3.7: Cấu tạo máy nhiễu xạ tia X bằng phương pháp bột
Thang quét

thường quay trong khoảng 300 - 1400, việc lựa chọn thang quét

phụ thuộc vào cấu trúc tinh thể của vật liệu.
Vì mẫu gồm rất nhiều đơn tinh thể con xếp
hỗn độn, nên có vô số mặt phản xạ (hkl) ở các tinh
thể con khác nhau, nghiêng đều một góc đối với
chùm tới, thõa mãn điều kiện cực đại nhiễu xạ
(công thức Bragg). Do đó ảnh nhiễu xạ không phải
là một vết nhiễu xạ trong trường hợp đơn tinh thê,
mà là một cung tròn giao tuyến của hình nón đỉnh
2

và phim. Phương pháp bột gồm một dãy các

vạch hình cung đồng tâm. Đo đường kính của các

Hình 3.8: Nguyên lý phương
pháp nhiễu xạ bột

Hình 3.9: Phổ nhiễu xạ thu được bằng phương pháp bột và đồ thị
bước sóng nhiễu xạ của kim loại Mo

19


vòng tròn ứng với các cung này xác định các góc
buồng chụp, sẽ tính được

tương ứng qua kích thước của

khi đã biết .

Phương pháp bột cho phép xác định thành phần hóa học và nồng độ các chất có
trong mẫu. Bởi vì mỗi chất có trong mẫu cho một pha đặc trưng (cho một hệ vạch
nhiễu xạ tương ứng trên giản đồ nhiễu xạ). Nếu mẫu gồm nhiều pha (hỗn hợp) nghĩa
là gồm nhiều loại ô mạng thì trên giản đồ nhiễu xạ tồn tại đồng thời nhiều hệ vạch
độc lập nhau. Phân tích các vạch ta có thể xác định được pha có trong mẫu - đó là cơ
sở của phân tích pha định tính. Phương pháp phân tích pha định lượng bằng tia X dựa
trên cơ sở của sự phụ thuộc cường độ tia nhiễu xạ vào nồng độ. Nếu biết mối quan hệ
đó và đo được cường độ thì có thể xác định được nồng độ pha.
Các pha chưa biết trong vật liệu có thể xác định được bằng cách so sánh số liệu
nhân được từ giản đồ nhiễu xạ tia X từ thực nghiệm với số liệu chuẩn trong sách tra
cứu, từ đó ta tính được tỉ lệ nồng độ trong các chất hỗn hợp. Đây là một trong những
ứng dụng tiêu biểu của phương pháp bột để phân tích pha định lượng. Hạn chế của
phương pháp nhiễu xạ bột: Tập 3D của các vết nhiễu xạ thu được từ thí nghiệm trên

đơn tinh thể được tập trung thành hình ảnh 1D trong phương pháp Debey- scherrer.
Điều này dẫn đến sựchồng chất ngẫu nhiên và chính xác các vạch làm cho việc xác
định cường độ của các vạch trở nên phức tạp. Sự đối xứng của tinh thể không thấy
được từ ảnh nhiễu xạ. Các hỗn hợp đa pha sẽ gặp nhiều khó khăn.Định hướng ưu tiên
có thể dẫn đến việc xác định cường độ của các vạch không chính xác.
III. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP NHIỄU XẠ TIA X
- Máy nhiễu xạ tia X dùng để phân tích cấu trúc tinh thể rất nhanh chóng và
chính xác, ứng dụng nhiều trong việc phân tích các mẫu chất, sử dụng trong nghiên
cứu, trong công nghiệp vật liệu, trong ngành vật lí, hóa học và trong các lĩnh vực
khác.
- Dùng để phân tích định tính, định lượng các pha tinh thể, xác định cấu trúc
nguyên tử của các chất tinh thể, xác lập hoặc chính xác hóa các công thức hóa học
dạng liên kết, tính đối xứng, hình dạng của các nguyên tử, ion nguyên tử, nghiên cứu
trạng thái tinh thể của các polime, cấu trúc của các chất vô định hình và chất lỏng...
- Được ứng dụng rộng rãi trong vật lý, địa chất, hóa học luyện kim, công nghiệp
điện tử, vật liệu xây dựng...
Ưu, nhược điểm của phương pháp nhiễu xạ tia x

20


Tin hnh o trong mụi trng bỡnh thng, Chp nhanh, chp rừ nột (da trờn
loi detector hin i cú th m ti 1 photon m khụng cú nhiu v mt thut toỏn
cú th phc hi li c nh ca mu.), Chp c cu trỳc bờn trong cho hỡnh nh 3D
v cú th chp cỏc linh kin kớch c di 50 nm, cu trỳc nhiu lp. Thit b t tin

CHNG II
NHNG TNH CHT CA VT RN
Đ2.1. TNH CHT C CA VT RN
DAO NG MNG TINH TH

Do có nhiệt độ nên các nguyên tử tồn tại trong tinh thể không đứng yên mà luôn
dao động quanh vị trí cân bằng. Trong thực tế nhiệt
độ của vật rắn luôn lớn hơn 00K nên các nguyên tử
luôn dao động và đối với các vật rắn kết tinh dao

Hình 4.1. Mạng một chiều như
một chuổi của các dao động tử

động này khá nhỏ chỉ quanh vị trí nút mạng vì
lực liên kết trong mạng tinh thể của chúng khá

20

lớn. Ngoài ra cũng do lực liên kết giữa các
nguyê tử mà dao động của từng nguyên tử khá
phức tạp, chúng dao động hoàn toàn không độc
lập mà phải chịu ảnh hưỡng của các nguyên tử
xung quang và dao động này còn có khả năng

-/a

o

/a

Hình 4.2. sự phụ thuộc của vào vectơ
sóng k trong chu kì dao động thứ nhất

truyền đi giữa các nguyên tử. Để đơn giản khi xét bài toán về dao động ta giả thiết
rằng liên kết này là liên kết mạnh có khả năng truyền dao động nhanh chóng đến hạt

bên cạnh khi có một hạt nào đó dao động và gọi là điều kiện liên kết mạnh. Bằng cách
này, các dao động được truyền đi nhanh chóng trong toàn bộ khối vật chất dưới dạng
sóng đàn hồi.
Ta hãy xét trường hợp đơn giản nhất là bài toán dao động của mạng một chiều
chứa chỉ một loại nguyên tử. Giải sử mạng 1 chiều có N nguyên tử khối lượng là M,
Rn là vectơ mạng tại nút thứ n; rn là đọ dời của nguyên tử thứ n khỏi vị trí cân bằng và
In là vectơ vị trí của nó. Nếu coi lực tương tác giữa các nguyên tử là đàn hồi, tức là lực

21


có đọ lớn tỷ lệ với độ dời khỏi vị trí cân bằng và ta chỉ tính lực tương tác giữa hai
nguyên tử kề nhau còn các nguyên tử xa hơn ta
xem tương tác giữa chuíng là không đáng kể. Khi

(a) Tần số nhỏ

đó sóng đàn hồi lan truyên theo hai kiểu: sóng dọc
hoặc sóng ngang. Trường hợp đơn giản nhất là xét

(a) Tần số lớn hơn

sóng dọc, lực tương tác đàn hồi nên có thể tưởng
tượng như một chuổi các quả cầu có khối lượng M
cách đều nhau và được nối với nhau bằng loxo đàn

(c) Tần số lớn hơn nữa

hồi, hằng số lực là (hình vẽ 4.1). Lực đàn hồi
r

r

được tính: F r

(a) Tần số rất lớn

Chỉ tính cho hai hạt kề nhau thứ n:

r
r
r
r
r
r
F(n 1) / n (r (n ) r (n 1) ); F(n 1) / n (r (n ) r (n 1) ) (4.1)

Hình 4.3: Hình dạng của chuổi nguyên
tử với các tần số dao động khác nhau

Phương trình chuyển động cho nguyen tử thứ n là:
r..
r
r r
r
M r n Fn (2r n r n 1 r n 1 )

(4.2)

Nghiệm của phương trình (4.2) là hàm sóng mô tả hai hiện tượng:

1) Sự dao động của từng nguyên tử

r

ur

2) Sự truyền dao động dọc theo tính thể. Cho nên nghiệm phải có dạng: r n Aei(kR

n t )

là tần số dao động của nguyên tử, k là véctơ sóng có hướng trùng với hướng lan
truyền của sóng k = 2/ ( là bước sóng).
Nếu ta chọn sao cho Rn = an (với a là hằng số mạng) ta có biễu thức nghiệm:
r
ur i(ka.n t )
r.
r..
r
ikna
it
r n Ae
r n Ae (i)e r n Aeikna (2 )e it 2 r n

(4.3)

Thay nghiệm dạng (7.4) vào phương trình ta có:
2 =


2

(2 e ika eika )
(1 cos ka)
M
M

(4.4)

Từ đay ta tìm được biểu thức cho tần số:
=2
trong đó 0 =


sin(ka / 2) 20 sin(ka / 2)
M

(4.5)


, tần số dao động đạt cực đại là 20 khi sin(ka/2)=1 hay k =
M

/a và đạt cực tiểu khi k = 0 và = 0. Biểu thức (4.5) gọi là tán sắc của dao động

22


mạng, nó biểu diễn sự phụ thuộc của tần số góc vào độ lớn của véc tơ sóng k. Các
biểu diển trên đồ thị các hình 4.2 cho thếy điều đó:
Như vậy các tần số dao động của chuổi nguyên tử dài vô hạn trong khoảng từ 0
đến 20. Thực tế thì số nguyên tử luôn hữu hạn, vì vậy các tần số sẽ không liên tục

mà nhận các giá trị rời rạc từ min đến max. Bức tranh dao động này có thể mô tả trên
hình 4.3. Với giả thiết hai đầu mạng là cố định thì các dao động cơ bản sẽ có tần số
thấp nhất min sau đó cả chuổi nguyên tử thực hiện nữa bước sóng, một bước sóng, ...
và tần số dao động đạt cực đại max, Để ý rằng không có dao đồng tần số cao hơn max
vì giữa các nguyên tử lúc này không có gì để dao động. Đối với mỗi vật liệu thì max
phụ thuộc vào hằng số lực và khối lượng nguyên tử M theo biểu thức 0 =


.
M

Như vậy các nguyên tử dao động với tần số giới nội trong vùng tần số cho phép (min
đến max) chứ không phải như sóng cơ truyền trên sợi dây (có tần số và bước sóng tuỳ
ý). Sóng điện từ với những tần số nằm ngoài vùng tần số cho phép sẽ không lan
truyền một cách tự do trong tinh thể mà nó bị hấp thụ mạnh.
Với những đặc điểm này, ta có thể nghiên cứu vật rắn thông qua việc nghiên cứu
sự truyền sóng trong vật rắn đó.

Đ2.2. TNH CHT NHIT CA VT RN
Đối với vật rắn, nhiệt dung đẳng tích và nhiệt dung đẳng áp là như nhau. Đối với
chất phi kim thì nhiệt dung là do dao động nhiệt của các ion nút mạng đóng vai trò cơ
bản, trong khi đó đối với kim loại thì nhiệt dung này phải kể thêm vai trò không thể
thiếu của khí điện tử.
2.1. Mô hình cổ điển. Bài toán nhiệt dung của vật rắn dựa trên những cơ sở:
- Tinh thể là hệ gồm nhiều nguyên tử, mổi nguyên tử có 3 bậc tự do.
- Các nguyên tử không đứng yên ở các nút mạng mà luôn dao động nhiệt
- Tuy có sự liên kết nhưng khi nhiệt độ T đủ lớn có thể xem các nguyên tử dao động
độc lập với nhau.

23

Theo nguyên lí phân bố đều năng lượng cho các bậc tự do, mỗi bậc tự do của
nguyên tử ứng với năng lượng trug bình của dao động bao gồm động năng = kT với
k là hằng số Boltzơmann và T là nhiệt độ tuyệt đối.
Nội năng của tinh thể gồm N nguyên tử là: E = 3N = 3NkT. Từ đó ta có thể suy
ra nhiệt dung của 1 mol vật rắn với mạng tinh thể đơn nguyên tử là:
CM =

E
3N A k = 25J/mol.K = 5,97kal/mol.K
T

(4.6)

(trong đó NA là số hạt trong 1 mol = số Avogađrô = 6.1023 hạt)
Công thức (4.6) là công thức định luật Đuylông-Pơti tìm ra bằng thực nghiệm. Nội
dung định luật được phát biểu: Nhiệt dung của vật rắn không phụ thuộc vào nhiệt độ
và như nhau với mọi chất
Kết quả này chỉ đúng trong vùng nhiệt độ cao (T>2000). Thực tế cho thấy khi
nhiệt độ hạ xuống thấp, nhiêt dung của chất rắn phụ thuộc vào nhiệt độ và khác nhau
đối với từng chất. Theo định lí Necxt thì khi nhiệt độ giảm, c giảm và khi T 0 thì C
0. Điều sai khác này được giải thích là do trong vùng nhiệt độ thấp định luật phân
bố đều năng lượng không còn đúng và lúc đó năng lượng dao động nhiệt phải mang
tính lượng tử, điều này mô hình cổ điển đã không tính đến.
2.2. Mô hình của Anhxtanh. Anhxtanh (1906) đã đưa thuyết lượng tử vào lý thuyết
nhiệt dung của chất rắn. Tinh thể là 1 hệ gồm N nguyên tử được coi là dao động như
N dao động tử điều hoà lượng tử. Dao động của tất cả các nguyên tử xãy ra không ảnh
hưởng đến nhau và với cùng tần số E gọi là tần số Anhxtanh. Các dao động mạng
được lượng tử hoá bằng năng lượng trung bình cho một bậc tự do của nguyên tử với

dao động tử tuyến tính có tần số E là:
= nhE

hE
h
exp( E ) 1
kT

trong đó n được tính bằng hàm phân bố Planck n

(4.7)
1
h
exp( E ) 1
kT

do đó năng lượng của tinh thể sẽ là: E = 3N = 3N nhE

3NhE
h
exp( E ) 1
kT

(4.8)

(4.9)

Ta sẽ có nhịêt dung của một mol vật rắn là:

24

hE
)
E
kT
CM
3N A
2
T
h


kT 2 exp( E ) 1
kT


(hE ) 2 exp(

(4.10)

Nhận xét:
- Khi T >> thì C = 3NAk điều đó hoàn toàn phù hợp với định luật Đuylông-Pơti
- Khi T nhỏ, C giảm theo nhiệt độ theo quy luật C = exp(- h E/kT), điều này không
phù hợp với kết quả thực nghiệm là C = T3, khi T 0. Điều hạn chế này của
Anhxtanh là do giả thiết rằng trong tinh thể chỉ có một tấn số dao động, nhưng trong
thực tế tần số dao động phụ thuộc và vectơ sóng. Mô hình của Anhxtanh sai với thực
tế ở vùng tần số thấp của dao động mạng cở tần số sóng âm (gọi là phonon âm học)
đóng vai trò chính và (q) phụ thuộc nhiều vào vectơ sóng q còn đối với nhánh quang
học ứng với các tần số cao thì (q) phụ thuộc rất yếu vào q thì mô hình Anhxtanh là

phù hợp.
2.3. Mô hình của Đơbai. Đây là mô hình phù hợp nhất cho vùng nhiệt độ thấp. Năm
1912, P Đơbai giả thiết rằng: tinh thể như một môi trường liên tục, tần số dao động
của các nguyên tử trong tinh thể nằm trong khoảng 0 đến 0 (0 là giá trị giới hạn
(max) của tần số dao động mạng. Lý thuyết Đơbai thu được công thức:
CM =

dE
T
9kT( )3
dT


/T


0

x 4e x
dx
(e x 1) 2

(4.11)

trong đó gọi là nhiệt độ Đơbai h / k và biểu thức (4.11) là nhiệt dung của vật
rắn theo Đơbai.
Nhận xét: Khi T>> thì C 3NAk điều này phù hợp với định luất Đuylông - Pơti
- Khi T<< C = (T/)3 tức là khi T0 thì C0 theo quy luật của T3, điều này phù
hợp với kết quả thực nghiệm trong nhiều vật rắn. Tuy nhiên trong một số trường hợp
cho thấy nhiệt độ Đebai phụ thuộc và nhiệt độ T, chứ không như công thức trên. Điều

sai lệch của Đơbai so với thực tế được giải thích là do coi tinh thể như một môi trường
lên tục. Thực ra nó chỉ đúng ở vùng tần số thấp khi bước sóng lớn hơn nhiều so với
khoảng cách giữa các nguyên tử, còn ở vùng tần số cao muốn chính xác hơn phải kết
hợp với mô hình Anhxtanh.

25