DE THI MON TOAN VAO 10 TPHCM từ năm 2006 đến năm 2017

Sở GD và ĐT
Thành phố Hồ Chí
Minh

Kì thi tuyển sinh lớp 10 Trung học phổ thông
Năm học 2006-2007
Môn thi: Toán
Thi gian lm bi: 120 phỳt (khụng k thi gian giao )

Bài 1: (1,5điểm) Giải các phơng trình và hệ phơng trình sau:
3 x + 2 y =1
a)
;
5 x + 3 y = 4

b) 2x2 + 2 3 x 3 = 0;

c) 9x4 + 8x2 1

=0
Bài 2: (1,5điểm) Thu gọn các biểu thức sau:
a) A =

15 12
1

;
5 2
2 3

a 2

a +2
4

b) B =
ữ. a
ữ với a >
a
+
2
a

2
a





0; a 4
Bài 3: (1điểm) Cho mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 360m 2.
Nếu tăng chiều rộng 2m và giảm chiều dài 6m thì diện tích mảnh
đất không đổi. Tính chu vi của mảnh đất lúc ban đầu.
Bài 4: (4điểm) a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng y = 3x + 1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4.
x2
b) Vẽ đồ thị của các hàm số y = 3x + 4 và y =
trên cùng một
2
hệ trục toạ độ. Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị ấy bằng phép
tính.
Bài 5: (4điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Ab < AC. Đờng tròn

(O) đờng kính BC cắt cạnh AB, AC theo thứ tự tại E và D.
a) Chứng minh: AD.AC = AE.AB
b) Gọi H là giao điểm của BD và CE, gọi K là giao điểm của AH
và BC. Chứng minh AH vuông góc với BC.
c) Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến đờng tròn (O) với M, N là các
ã
ã
tiếp điểm. Chứng minh ANM
.
= AKN
d) Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng
---- Hết ----

1


Së GD vµ §T
Thµnh phè Hå ChÝ
Minh

K× thi tuyÓn sinh líp 10Trung häc phæ th«ng
N¨m häc 2007-2008
M«n thi: To¸n
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Kho¸ ngµy 20-6-2007

Câu 1: (1, 5 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) x2 – 2

b) x4 – 29x2 + 100 = 0

x+4=0

c)
Câu 2: (1, 5 điểm) Thu gọn các biểu thức sau:
a)

b)

Câu 3: (1 điểm) Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 675 m2 và có chu vi bằng
120 m. Tìm chiều dài và chiều rộng của khu vườn.
Câu 4: (2 điểm) Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 với m là tham số và x là ẩn
số.
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2.
c) Với điều kiện của câu b hãy tìm m để biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn đường kính
BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D.
a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC.
b) Chứng minh AE.AB = AF.AC.
c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC. Tính
tỉ số

OK
khi tứ giác BHOC nội tiếp.
BC

d) Cho HF = 3 cm, HB = 4 cm, CE = 8 cm và HC > HE. Tính HC
2

Sở GD và ĐT
Thành phố Hồ Chí
Minh

Kì thi tuyển sinh lớp 10Trung học phổ thông
Năm học 2008-2009
Môn thi: Toán
Thi gian lm bi: 120 phỳt (khụng k thi gian giao )
Khoá ngày 18-6-2008

Bi 1: (2 im) Gii cỏc phng trỡnh v h phng trỡnh sau:

a) 2x2 + 3x 5 = 0;

b) x4 3x2 4 = 0;

2 x + y =1
c)
3 x + 4 y = 1

Bi 2: (2 im)
a) V th (P) ca hm s y = x2 v ng thng (D): y = x 2 trờn cựng mt
h trc to .
b) Tỡm ta cỏc giao im ca (P) v (D) cõu trờn bng phộp tớnh.
Bi 3: (1 im) Thu gn cỏc biu thc sau:
a) 7 4 3 7 + 4 3
x +1

b)

x 4

x x + 2x 4 x 8
.
vi x > 0; x 4
x + 4 x + 4
x
x 1

Bi 4: (1, 5 im) Cho phng trỡnh x2 2mx 1 = 0
a) Chng minh phng trỡnh trờn luụn cú 2 nghim phõn bit.
2
2
b) Gi x1, x2 l hai nghim ca phng trỡnh trờn. Tỡm m x1 + x2 x1 x2 = 7

Bi 5: (3, 5im) T mt im M bờn ngoi ng trũn (O) v cỏt tuyn MCD khụng i
qua tõm O v hai tip tuyn MA, MB n ng trũn (O), õy A, B l cỏc tip im v
C nm gia M, D.
a) Chng minh MA2 = MC.MD
b) Gi I l trung im ca CD. Chng minh rng 5 im M, A, O, I, B cựng nm
trờn mt ng trũn.
c) Gi H l giao im ca AB v MO. Chng minh t giỏc CHOD ni tip c
ng trũn. Suy ra AB l ng phõn giỏc ca gúc CHD.
d) Gi K l giao im ca cỏc tip tuyn ti C v D ca ng trũn (O). Chng
minh A, B, K thng hng.
3


Sở GD và ĐT
Thành phố Hồ Chí

Minh

Kì thi tuyển sinh lớp 10 Trung học phổ thông
Năm học 2009-2010
Môn thi: Toán
Thi gian lm bi: 120 phỳt (khụng k thi gian giao )
Khoá ngày 24-6-2009

Câu I: Giải các phơng trình và hệ phơng trình sau:
2x + 3 y = 3
5 x 6 y = 12

a) 8x2 - 2x - 1 = 0

b)

c) x 4 - 2x2 - 3 = 0

d) 3x 2

- 2 6x + 2 = 0
Câu II: a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y =

x2
và đthẳng (d): y = x + 4
2

trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
Câu III: Thu gọn các biểu thức sau:

A=

4
8
15

+
3 + 5 1+ 5
5
x+ y

x y x + xy


:
ữ
B =
ữ 1 xy ữ
1

xy
1
+
xy




Câu IV: Cho phơng trình x2 - (5m - 1)x + 6m2 - 2m = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi x1, x2 là nghiệm của phơng trình. Tìm m để x12 + x22 =1.
Câu V: Cho tam giác ABC (AB(O) có tâm O, bán kính R. Gọi H là giao điểm của ba đờng cao AD,
BE, CF của tam giác ABC. Gọi S là diện tích tam giác ABC.
a) Chúng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đờng
tròn.

4


b) Vẽ đờng kính AK của đờng tròn (O). Chứng minh tam giác ABD
và tam giác AKC đồng dạng với nhau. Suy ra AB.AC = 2R.AD và S =
AB.BC.CA
.
4R

c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh EFDM là tứ giác nội
tiếp đờng tròn.
d) Chứngminh rằng OC vuông góc với DE và (DE + EF + FD).R = 2
S.

S GIO DC V O TO
TP.HCM
CHNH THC

K THI TUYN SINH LP 10 THPT
Nm hoc: 2010 2011
MễN: TON
Khúa ngy 21 thỏng 06 nm 2010
Thi gian lm bi: 120 phỳt

Bi 1: (2 im) Gii cỏc phng trỡnh v h phng trỡnh sau:
c) 4 x 4 13x 2 + 3 = 0

a) 2 x 2 3x 2 = 0
4 x + y = 1
6 x 2 y = 9

b)

d) 2 x 2 2 2 x 1 = 0

Bi 2: (1,5 im)
a) V th (P) ca hm s y =

1
x2
v ng thng (D): y = x 1 trờn cựng mt
2
2

h trc to .
b) Tỡm to cỏc giao im ca (P) v (D) bng phộp tớnh.
Bi 3: (1,5 im) Thu gn cỏc biu thc sau:
A = 12 6 3 + 21 12 3
2

2


5

3
B = 5 2 + 3 + 3 5
+
2

3
+
3
+
5

ữ

ữ

2ữ
2ữ




Bi 4: (1,5 im) Cho phng trỡnh x 2 (3m + 1) x + 2m 2 + m 1 = 0 (x l n s)
a) Chng minh rng phng trỡnh luụn luụn cú 2 nghim phõn bit vi mi giỏ tr ca
m.
5


b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức sau đạt giá trị lớn
nhất: A = x12 + x22 − 3x1 x2 .
Bài 5: (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R. Gọi M là một điểm bất kỳ

thuộc đường tròn (O) khác A và B. Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ
MP vuông góc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE).
a) Chứng minh rằng AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn và APMQ là hình chữ nhật.
b) Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O, I, E thẳng hàng.
c) Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh hai tam giác EAO và MPB đồng
dạng. Suy ra K là trung điểm của MP.
d) Đặt AP = x. Tính MP theo R và x. Tìm vị trí của M trên (O) để hình chữ nhật APMQ
có diện tích lớn nhất.
Bài 1: (2 điểm)

3 − 5 −1
3+5
=
hay x =
=2
4
2
4
 y = −3
(1)
 4 x + y = −1 (1)
 4 x + y = −1

⇔
⇔
b) 
1
( pt (2) + 2 pt (1))
6 x − 2 y = 9 (2)
14 x = 7

 x = 2
c) 4 x 4 − 13x 2 + 3 = 0 (3), đặt u = x2, phương trình thành : 4u2 – 13u + 3 = 0 (4)
13 − 11 1
13 + 11
= hay u =
=3
(4) có ∆ = 169 − 48 = 121 = 112 (4) ⇔ u =
8
4
8
1
Do đó (3) ⇔ x = ± hay x = ± 3
2
2 −2
2+2
d)
hay x =
2 x 2 − 2 2 x − 1 = 0 (5); ∆ ' = 2 + 2 = 4 ; Do đó (5) ⇔ x =
2
2
1


Bài 2: a) Đồ thị: học sinh tự vẽ. Lưu ý: (P) đi qua O(0;0),  ±1; − ÷, ( ±2; −2 ) . (D) đi qua
2

1

 1; − ÷, ( −2; −2 )
2


1

Do đó (P) và (D) có 2 điểm chung là : 1; − ÷, ( −2; −2 ) .
2

− x2 1
= x − 1 ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔ x = 1 hay x = −2
b) PT hoành độ giao điểm của (P) và (D) là
2
2
1

Vậy toạ độ giao điểm cảu (P) và (D) là 1; − ÷, ( −2; −2 ) .
2


a) 2 x 2 − 3x − 2 = 0 (1) ∆ = 9 + 16 = 25 (1) ⇔ x =

Bài 3: A = 12 − 6 3 + 21 − 12 3 = (3 − 3) 2 + 3(2 − 3) 2 = 3 − 3 + (2 − 3) 3 = 3
2

2


5 
3
B = 5  2 + 3 + 3 − 5 −
+
2

−
3
+
3
+
5
−
÷

÷

2÷
2÷

 


6


2B = 5
=5

(

(

) (
5 ) + ( ( 3 − 1) +

4+2 3 + 6−2 5 − 5

2

+

4−2 3 + 6+2 5 − 3

2

(1 + 3) 2 + ( 5 − 1) 2 −

( 5 + 1) 2 − 3

2

= 5 ( (1 + 3) + ( 5 − 1) − 5 ) + ( ( 3 − 1) + ( 5 + 1) − 3 )
2

)

)

2

2

2

= 5.3 + 5 = 20 ⇒ B = 10.

2
Bài 4: a) ∆ = ( 3m + 1) − 8m 2 − 4m + 4 = m 2 + 2m + 5 = (m + 1) 2 + 4 > 0 ∀ m
Suy ra phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Ta có x1 + x2 = 3m + 1 và x1x2 = 2m2 + m – 1
2
A= x12 + x22 − 3x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 5 x1 x2
1
1
25
1
− (m − ) 2 =
− (m − ) 2
4
2
4
2
25
1
Do đó giá trị lớn nhất của A là : . Đạt được khi m =
4
2
= (3m + 1) 2 − 5(2m 2 + m − 1) = −m 2 + m + 6 = 6 +

Bài 5:
·
·
a) Ta có góc EMO
= 90O = EAO
=> EAOM nội tiếp.
Tứ giác APMQ có 3 góc vuông :

·
·
·
EAO
= APM
= PMQ
= 90o

I
M

=> Tứ giác APMQ là hình chữ nhật
b) Ta có : I là giao điểm của 2 đường
chéo AM và PQ của hình chữ nhật APMQ
nên I là trung điểm của AM.
Mà E là giao điểm của 2 tiếp tuyến tại M và
tại A nên theo định lý ta có : O, I, E thẳng
hàng.
c) Cách 1: hai tam giác AEO và MPB đồng
dạng vì chúng là 2 tam giác vuông có 1 góc
·
·
= ABM
bằng nhau là AOE
, vì OE // BM
=>

E

K

B

AO AE
=
(1)
BP MP

Mặt khác, vì KP//AE, nên ta có tỉ số

Q

KP BP
=
(2)
AE AB

Từ (1) và (2) ta có : AO.MP = AE.BP = KP.AB,
mà AB = 2.OA => MP = 2.KP
Vậy K là trung điểm của MP.
EK AP
=
(3) do AE // KP,
EB AB
EI AP
=
mặt khác, ta có
(4) do 2 tam giác EOA và MAB đồng dạng
EO AB
EK EI

=
So sánh (3) & (4), ta có :
.
EB EO

Cách 2 : Ta có

Theo định lý đảo Thales => KI // OB, mà I là trung điểm AM
=> K là trung điểm MP.
d) Ta dễ dàng chứng minh được :
7

O

I

P

x

A


4

a +b+c+d
abcd ≤ 
÷ (*)
4




Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d
MP = MO 2 − OP 2 = R 2 − (x − R) 2 = 2Rx − x 2
Ta có: S = SAPMQ = MP.AP = x 2Rx − x 2 = (2R − x)x 3
S đạt max ⇔ (2R − x)x 3 đạt max ⇔ x.x.x(2R – x) đạt max
x x x
3 3 3

⇔ . . (2R − x) đạt max
Áp dụng (*) với a = b = c =

x
3
4

x x x
1 x x x
R4

. . (2R − x) ≤ 4  + + + (2R − x) ÷ =
3 3 3
4 3 3 3
16

x
3
Do đó S đạt max ⇔ = (2R − x) ⇔ x = R .
3
2

Ta có :

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP.HCM
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Năm học: 2011 – 2012
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) 3x 2 − 2 x − 1 = 0
 5x + 7 y = 3
5 x − 4 y = −8

b) 

c) x 4 + 5 x 2 − 36 = 0
d) 3x 2 + 5 x + 3 − 3 = 0
Bài 2: (1,5 điểm)
a)Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = − x 2 và đường thẳng (D): y = −2 x − 3 trên cùng một
hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.
Bài 3: (1,5 điểm)
Thu gọn các biểu thức sau:
A=
B=

3 3−4
3+4
+
2 3 +1
5−2 3
x x − 2 x + 28
x −4
x +8
−
+
x−3 x −4
x +1 4 − x

( x ≥ 0, x ≠ 16)

Bài 4: (1,5 điểm) Cho phương trình x 2 − 2mx − 4m2 − 5 = 0 (x là ẩn số)
8


a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình.
Tìm m để biểu thức A = x12 + x22 − x1 x2 . đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 5: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) có tâm O, đường kính BC. Lấy một điểm A trên
đường tròn (O) sao cho AB > AC. Từ A, vẽ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Từ H,
vẽ HE vuông góc với AB và HF vuông góc với AC (E thuộc AB, F thuộc AC).
e) Chứng minh rằng AEHF là hình chữ nhật và OA vuông góc với EF.
f) Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại P và Q (E nằm giữa P và F).
Chứng minh AP2 = AE.AB. Suy ra APH là tam giác cân
g) Gọi D là giao điểm của PQ và BC; K là giao điểm cùa AD và đường tròn (O) (K
khác A). Chứng minh AEFK là một tứ giác nội tiếp.

h) Gọi I là giao điểm của KF và BC. Chứng minh IH2 = IC.ID

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP.HCM
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Năm học: 2012 – 2013
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
2 x − 3 y = 7

b) 3x + 2 y = 4
2
d) x − 2 2 x − 7 = 0

2x − x − 3 = 0 ;
a)
4
2
c) x + x − 12 = 0 ;
Bài 2: (1,5 điểm)
2

y=

1 2
1
x

y =− x+2
4 và đường thẳng (D):
2
trên cùng một

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số
hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.
Bài 3: (1,5 điểm)Thu gọn các biểu thức sau:
A=

1
2 x
1
+
−
x + x x − 1 x − x với x > 0; x ≠ 1

B = (2 − 3) 26 + 15 3 − (2 + 3) 26 − 15 3
2
Bài 4: (1,5 điểm) Cho phương trình x − 2mx + m − 2 = 0 (x là ẩn số)

Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình.
−24
2
Tìm m để biểu thức M = x + x2 − 6 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất
2
1

Bài 5: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) có tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn (O).
Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F (ME9


(O) (C là tiếp điểm, A nằm giữa hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đối với đường
thẳng MO).
a) Chứng minh rằng MA.MB = ME.MF
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng MO. Chứng minh tứ
giác AHOB nội tiếp.
c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính MF;
nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K. Gọi S là giao điểm của hai đường
thẳng CO và KF. Chứng minh rằng đường thẳng MS vuông góc với đường thẳng KC.
d) Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS và T
là trung điểm của KS. Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng.

10


11


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP.HCM

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Năm học: 2013 – 2014
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1: (2 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) x 2 − 5 x + 6 = 0
b) x 2 − 2 x − 1 = 0
c) x 4 + 3x 2 − 4 = 0
 2x − y = 3
 x + 2 y = −1

d) 

Bài 2: (1,5 điểm)
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x 2 và đường thẳng (D): y = − x + 2 trên cùng một hệ
trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.
Bài 3: (1,5 điểm)
Thu gọn các biểu thức sau:

x
3  x +3
A = 
+
÷.
với x ≥ 0 ; x ≠ 9
x −3÷
 x +3
 x+9
B = 21

(

2+ 3 + 3− 5

) (
2

−6

2− 3 + 3+ 5

)

2

− 15 15

Bài 4: (1,5 điểm)
Cho phương trình 8 x 2 − 8x + m 2 + 1 = 0 (*) (x là ẩn số)
1
2
b) Định m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa điều kiện:
x14 − x24 = x13 − x23

a) Định m để phương trình (*) có nghiệm x =

Bài 5: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC không có góc tù (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O; R). (B, C
cố định, A di động trên cung lớn BC). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Từ
M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt (O) tại D và E (D thuộc

cung nhỏ BC), cắt BC tại F, cắt AC tại I.
·
·
a)
Chứng minh rằng MBC
. Từ đó suy ra MBIC là tứ giác nội tiếp.
= BAC
b)
Chứng minh rằng: FI.FM = FD.FE.
c)
Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng QF
cắt (O) tại T (T khác Q). Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng.
d)
Tìm vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho tam giác IBC có diện tích lớn
nhất.

12


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP.HCM

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Năm học: 2014 – 2015
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1: (2 điểm)

Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) x 2 − 7 x + 12 = 0
b) x 2 − ( 2 + 1) x + 2 = 0
c) x 4 − 9 x 2 + 20 = 0
3 x − 2 y = 4
4 x − 3 y = 5

d) 

Bài 2: (1,5 điểm)
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x 2 và đường thẳng (D): y = 2 x + 3 trên cùng một hệ
trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.
Bài 3: (1,5 điểm)
Thu gọn các biểu thức sau:
5+ 5
5
3 5
+
−
5+2
5 −1 3 + 5
x
1  
2
6 

B=
+
+

÷: 1 −
÷
x +3 
x x+3 x 
 x+3 x

A=

(x > 0)

Bài 4: (1,5 điểm)
Cho phương trình x 2 − mx − 1 = 0 (1) (x là ẩn số)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1):
Tính giá trị của biểu thức : P =

x12 + x1 − 1
x1

x22 + x2 − 1
−
x2

Bài 5: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Các
đường cao AD và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
·
·
a)
Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp. Suy ra AHC

= 1800 − ABC
b)
Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C)
và N là điểm đối xứng của M qua AC. Chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp.
c)
Gọi I là giao điểm của AM và HC; J là giao điểm của AC và HN.
¶ = ANC
·
Chứng minh AJI
d)
Chứng minh rằng : OA vuông góc với IJ

13


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP.HCM
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Năm học: 2015 – 2016
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (2 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) x 2 − 8 x + 15 = 0
b) 2 x 2 − 2 x − 2 = 0
c) x 4 − 5 x 2 − 6 = 0
 2 x + 5 y = −3

 3x − y = 4

d) 

Bài 2: (1,5 điểm)
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x 2 và đường thẳng (D): y = x + 2 trên cùng một hệ
trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.
Bài 3: (1,5 điểm)
Thu gọn các biểu thức sau:
A=

x
x −1
x − 10
+
+
( x ≥ 0, x ≠ 4)
x−4
x −2
x +2

B = (13 − 4 3)(7 + 4 3) − 8 20 + 2 43 + 24 3

Bài 4: (1,5 điểm)
Cho phương trình x 2 − mx + m − 2 = 0 (1) (x là ẩn số)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m
b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 của (1) thỏa mãn

x12 − 2 x22 − 2

.
=4
x1 − 1 x2 − 1

Bài 5: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC (ABcác cạnh AC, AB lần lượt tại E, F. Gọi H là giao điểm của BE và CF. D là giao điểm của
AH và BC.
a) Chứng minh : AD ⊥ BC và AH.AD=AE.AC
b) Chứng minh EFDO là tứ giác nội tiếp
c) Trên tia đối của tia DE lấy điểm L sao cho DL = DF. Tính số đo góc BLC
d) Gọi R, S lần lượt là hình chiếu của B,C lên EF. Chứng minh DE + DF = RS
_HẾT_

14


ĐÁP ÁN CHI TIẾT - MÔN TOÁN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT -TPHCM
Bài 1: (2 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) x 2 − 8 x + 15 = 0
(∆ ' = 42 − 15 = 1)
⇔ x = 4 + 1 = 5 hay x = 4 − 1 = 3

b) 2 x 2 − 2 x − 2 = 0 (2)
∆ = 2 − 4(2)( −2) = 18

(2) ⇔ x =

2 +3 2

2 −3 2 − 2
= 2 hay x =
=
4
4
2

c) x 4 − 5 x 2 − 6 = 0
Đặt u = x2 ≥ 0 pt thành :
u 2 − 5u − 6 = 0 ⇔ u = −1 (loại) hay u = 6
Do đó pt ⇔ x 2 = 6 ⇔ x = ± 6
 2 x + 5 y = −3  17 x = 17
 x =1
⇔
⇔
 3x − y = 4
 y = −1
3 x − y = 4

d) 
Bài 2:

a) Đồ thị:
Lưu ý: (P) đi qua O(0;0), ( ±1;1) , ( ±2; 4 )
(D) đi qua ( −1;1) , ( 2; 4 )
b) PT hoành độ giao điểm của (P) và (D) là
x 2 = x + 2 ⇔ x 2 − x − 2 = 0 ⇔ x = −1 hay x = 2 (a-b+c=0)
y(-1) = 1, y(2) = 4
Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (D) là ( −1;1) , ( 2; 4 )
Bài 3: Thu gọn các biểu thức sau

A=

x
x −1
x − 10
+
+
( x ≥ 0, x ≠ 4)
x−4
x −2
x +2

Với ( x ≥ 0, x ≠ 4) ta có :
A=

x .( x + 2) + ( x − 1)( x − 2) + x − 10 2 x − 8
=
=2
x−4
x−4

2
2
2
B = (13 − 4 3)(7 + 4 3) − 8 20 + 2 43 + 24 3 = (2 3 − 1) (2 + 3) − 8 20 + 2 (4 + 3 3)

= (3 3 + 4) 2 − 8 20 + 2(4 + 3 3)
= (3 3 + 4) 2 − 8 (3 3 + 1) 2 = 43 + 24 3 − 8(3 3 + 1) = 35

Câu 4:

15


Cho phng trỡnh x 2 mx + m 2 = 0 (1) (x l n s)
a) Chng minh phng trỡnh (1) luụn cú 2 nghim phõn bit vi mi giỏ tr m
= m 2 4(m 2) = m 2 4m + 8 = (m 2) 2 + 4 > 4 > 0, m

Vy phng trỡnh cú 2 nghim phõn bit vi mi m
b) nh m hai nghim x1 , x2 ca (1) tha món

x12 2 x22 2
.
=4
x1 1 x2 1

Vỡ a + b + c = 1 m + m 2 = 1 0, m nờn phng trỡnh (1) cú 2 nghim x1 , x2 1, m .
T (1) suy ra : x 2 2 = mx m
x12 2 x22 2
mx m mx2 m
m 2 ( x1 1)( x2 1)
.
=4 1
.
=4
= 4 m 2 = 4 m = 2
x1 1 x2 1
x1 1
x2 1
( x1 1)( x2 1)

Cõu 5
a) Do FC AB, BE AC H trc tõm AH BC
Ta cú t giỏc HDCE ni tip
Xeựt 2 tam giaực ủong daùng EAH vaứ DAC (2 tam giỏc vuụng cú gúc
A chung)
A
AH AE
=
AH . AD = AE. AC (ủccm)
AC AD
ã
ã
ã
ã
ã
b) Do AD l phõn giỏc ca FDE
nờn FDE
= 2 FBE
= 2 FCE
= FOE
F
ằ )
Vy t giỏc EFDO ni tip (cựng chn cung EF
R
ã
ã
DB l phõn giỏc FDL
c) Vỡ AD l phõn giỏc FDE
F, L i xng qua BC L ng trũn tõm O
B

ã
ã
Vy BLC
l gúc ni tip chn na ng trũn tõm O BLC
= 900


L

E

Q

H
N
D

O

d) Gi Q l giao im ca CS vi ng trũn O.
Vỡ 3 cung BF, BL v EQ bng nhau (do kt qu trờn)
T giỏc BEQL l hỡnh thang cõn nờn hai ng chộo BQ v LE bng nhau.
M BQ = RS, LE = DL + DE = DF + DE suy ra iu phi chng minh.

16

S

C

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ
MINH
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ
THÔNG
NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 12 tháng 6 năm 2016
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát
đề)

Câu 1. (2 điểm)
Giải các phương trình và phương trình sau:
a) x 2 − 2 5x + 5 = 0
4
2
b) 4x − 5x − 9 = 0
2x + 5 y = − 1
c) 
3x − 2 y = 8
d) x(x + 3) = 15 – (3x – 1)
Câu 2. (1,5 điểm)

x
x2
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = −

và đường thẳng (D): y = − 2 trên cùng một hệ
2
4
trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu tên bằng phép tính.
Câu 3. (1,5 điểm)
2− 3
2+ 3
+
a) Thu gọn biểu thức sau: A =
1+ 4 +2 3 1− 4 −2 3
b) Ông Sáu gửi một số tiền vào ngân hàng theo mức lãi suất tiết kiệm với kỳ hạn 1 năm
là 6%. Tuy nhiên sau thời hạn một năm, ông Sáu không đến nhận tiền lãi mà đề thêm một năm
nữa mới lãnh. Khi đó số tiền lãi có được sau năm đầu tiên sẽ được ngân hàng cộng dồn vào số
tiền gửi ban đầu đề thành số tiền gửi cho năm kế tiếp với mức lãi suất cũ. Sau hai năm ông Sáu
nhận được số tiền là 112.360.000 đồng (kể cả gốc lẫn lãi). Hỏi ban đầu ông Sáu đã gửi bao nhiêu
tiền?
Câu 4. (1,5 điểm)
Cho phương trình x2 – 2mx + m –2 = 0 (1) (x là ẩn số)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.
b) Định m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình (1) thỏa mãn:
(1 + x1)(2 – x2) + (1 + x2)(2 – x1) = x12 + x22 + 2
Câu 5. (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các
cạnh AC, AB lần lượt tại D, E. Gọi H là giao điểm của BD và CE; F là giao điểm của AH và BC.
·
·
a) Chứng minh: AF ⊥ BC và AFD = ACE .
b) Gọi M là trung điểm của AH. Chứng minh: MD ⊥ OD và 5 điểm M, D, O, F, E cùng
thuộc một đường tròn.

c) Gọi K là giao điểm của AH và DE. Chứng minh: MD2 = MK. MH và K là trực tâm
của tam giác MBC.
2
1
1
=
+
d) Chứng minh:
.
FK FH FA

--- HẾT----

17


18


19


20


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2017 – 2018
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 03 tháng 6 năm 2017
Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (2 điểm)
2
a) Giải phương trình: x = ( x − 1) ( 3x − 2 )
b) Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 100 m. Tính chiều dài và chiều rộng của miếng
đất, biết rằng 5 lần chiều rộng hơn 2 lần chiều dài 40 m.
Câu 2. (1,5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy:
1
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x 2 .
4
3
b) Cho đường thẳng (D): y = x + m đi qua điểm C(6; 7). Tìm tọa độ giao điểm của (D)
2
và (P).
Câu 3. (1,5 điểm)
1)

2)

Thu gọn biểu thức sau: A =

(

)

3 +1

14 − 6 3

5+ 3
Lúc 6 giờ sáng bạn An đi xe đạp từ nhà (điểm A) đến trường (điểm B) phải leo lên và
xuống một con dốc (như hình vẽ bên dưới). Cho biết đoạn thẳng AB dài 762 m, góc A =
60, góc B = 40
C
A

60

40

H

B

a) Tính chiều cao h của con dốc.
b) Hỏi bạn An đến trường lúc mấy giờ ? Biết rằng tốc độ trung bình lúc lên dốc là 4 km/h
và tốc độ trung bình lúc xuống dốc là 19 km/h.
Câu 4. (1,5 điểm)
2
2
Cho phương trình: x − ( 2m − 1) x + m − 1 = 0 (1) (x là ẩn số)
a) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b) Định m để hai nghiệm x1,x2 của phương trình (1) thỏa mãn:
2

( x1 − x 2 ) = x1 − 3x 2
Câu 5. (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn tâm O đường kính AB cắt các đoạn BC và
OC lần lượt tại D và I. Gọi H là hình chiếu của A lên OC; AH cắt BC tại M.
·
·
a) Chứng minh: Tứ giác ACDH nội tiếp và CHD
.
= ABC
b) Chứng minh: Hai tam giác OHB và OBC đồng dạng với nhau và HM là tia phân giác
của góc BHD.
c) Gọi K là trung điểm của BD. Chứng minh: MD.BC = MB.CD và
MB.MD = MK.MC.
d) Gọi E là giao điểm của AM và OK; J là giao điểm của IM và (O) (J khác I). Chứng
minh: Hai đường thẳng OC và EJ cắt nhau tại một điểm nẳm trên (O).
HẾT

21


HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ BIỂU ĐIỂM DỰ KIẾN:
Câu

Phần

Nội dung

Điểm

x = (x − 1)(3x − 2)

2

⇔ x 2 = 3x 2 − 5x + 2
a)
Câu
1
(2,0đ)
b)

Câu
2
(1,5đ)

⇔ 2x 2 − 5x + 2 = 0
∆=9
1
x1 = 2; x 2 =
2
Gọi chiều dài là x(m) và chiều rộng là y (m).
Điều kiện: 0 < y < x < 50
Theo đề bài ta lập được hệ phương trình:
 x + y = 50
 x = 30
⇔
(thỏa mãn điều kiện)

−2x + 5y = 40
 y = 20
Vậy chiều dài là 30m và chiều rộng là 20m.
Lập bảng giá trị:

x
1
y = x2
4

1.0

1.0

–4

–2

0

2

4

4

1

0

1

4

(P) là parabol đi qua các điểm: (–4;4), (–2;1), (0; 0), (2; 1), (4; 4).

a)

b)

0.75

Vì (D) đi qua điểm C(6; 7) nên ta có:
3
×6 + m = 7 ⇔ m = −2
2
3
⇒ (D) : y = x − 2
2
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D):
1 2 3
x = x − 2 ⇔ x 2 − 6x + 8 = 0
4
2
Giải được x1 = 4; x2 = 2
Với x1 = 4 thì y1 = 4
Với x2 = 2 thì y2 = 1

22

0.75


Vậy tọa độ giao điểm của (D) và (P) là (4; 4) và (2; 1).
Cách 1:

1)

)

14 − 6 3
=
5+ 3

)

88 − 44 3
=
22

A=

(

3 +1

=

(

3 +1

=

(

3 +1

) (

(

)

3 +1

(

)

3 +1

)(

2

14 − 6 3
=
5+ 3

( 14 − 6 3 ) ( 5 − 3 )
( 5 + 3) ( 5 − 3)

)

3 +1

) =(

3 −1

Cách 2:
A=

(

4−2 3

0.5

)

3 +1

3 −1 = 2

( 4 + 2 3 ) ( 14 − 6 3 ) =
5+ 3

20 + 4 3
= 4=2
5+ 3

Cách 1:
Đặt AH = x (m) (0 < x < 762) ⇒ BH = 762 – x (m). Ta có:

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:
h = x.tan60 h = (762 – x).tan40
h = x.tan 60 và h = (762 − x).tan 40
⇒ x.tan 60 = (762 − x).tan 40
⇔ x.(tan 60 + tan 40 ) = 762.tan 40

Câu
3
(1,5đ)
2a)

2b)

Câu
4
(1,5đ)

762.tan 40
tan 60 + tan 40
762.tan 40
⇒h=
×tan 60 ≈ 32(m)
0
0
tan 6 + tan 4
Cách 2:
h
h
và BH =
Ta có: AH =

tan A
tan B
h
h
⇒ AH + BH =
+
tan A tan B
1 
 1
⇒ AB = h 
+
÷
 tan A tan B 
1 
1 
 1
 1
⇒ h = AB : 
+
+
≈ 32(m)
÷ = 762 : 
0
0 ÷
 tan A tan B 
 tan 6 tan 4 
Tính được:
h
h
AC =

≈ 306(m) ; CB =
≈ 459(m)
sin A
sin B
Thời gian An đi từ nhà đến trường là:
0,306 0, 459
t≈
+
≈ 0,1(h) = 6 phút
4
19
⇒ An đến trường vào khoảng 6 giờ 6 phút.
⇔x=

a)

∆ = (2m – 1)2 – 4(m2 – 1) = 5 – 4m
Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ m <

23

0.5

0.5

0.5
5
4

5
4
 x1 + x 2 = 2m − 1
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 
2
 x1x 2 = m − 1
Theo đề bài:
2
( x1 − x 2 ) = x1 − 3x 2
Phương trình có nghiệm ⇔ m ≤

⇔ ( x1 + x 2 ) − 4x1x 2 = x1 − 3x 2
2

⇔ ( 2m − 1) − 4 ( m 2 − 1) = x1 − 3x 2
2

b)

⇔ x1 − 3x 2 = 5 − 4m
m +1

x1 =

x
+
x
=
2m
−

1
 1

2
2
⇔
Ta có hệ phương trình: 
 x1 − 3x 2 = 5 − 4m
 x = 3(m − 1)
 2
2
m + 1 3(m − 1)
⇒
×
= m2 − 1
2
2
2
⇔ 3 ( m − 1) = 4 ( m 2 − 1)

1.0

⇔ m2 − 1 = 0
⇔ m = ±1
Kết hợp với điều kiện ⇒ m = ±1 là giá trị cần tìm.
Câu
5
(3,5đ)

0.25

a)

·
Ta có: ADB
= 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
·
·
)
⇒ ADC
= 900 (kề bù với ADB
·
·
Tứ giác ACDH có AHC
= ADC
= 900
⇒ Tứ giác ACDH nội tiếp
µ1=H
µ1
Tứ giác ACDH nội tiếp ⇒ A

24

0.5
0.25


b)

µ 1 = ABC

·
Mà A
(cùng phụ với góc ACB)
µ 1 = ABC
·
⇒H
Áp dụng hệ thức lượng vào ∆ vuông AOC, có:
OA2 = OH.OC
⇒ OB2 = OH.OC (vì OA = OB)
OB OH
⇒
=
OC OB
OB OH
·
chung ;
=
∆ OHB và ∆ OBC có: BOC
OC OB
⇒ ∆ OHB
∆ OBC (c.g.c)
∆ OHB

c)

(

µ 4 = OBC
·
µ4 =H

µ 1 do H
µ 1 = ABC
·
⇒H
∆ OBC ⇒ H

µ1+H
µ 2 =H
µ 3 +H
µ 4 ( = 900 )
Mà H
µ2 =H
µ3
⇒H
⇒ HM là tia phân giác của góc BHD.
∆ HBD có HM là đường phân giác trong tại đỉnh H
Mà HC ⊥ HM
⇒ HC là đường phân giác ngoài tại đỉnh H
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác, có:
MD HD
CD HD
=
và
=
MB HB
CB HB
MD CD
⇒
=
⇒ MD.BC = MB.CD

MB CB
Gọi N là giao điểm thứ hai của AH và (O).
∆ OAN cân tại O, có OH là đường cao
µ1 =O
µ 2 ⇒ ∆ONC = ∆OAC (c.g.c)
⇒O
·
·
⇒ ONC
= OAC
= 900

0.5

)

(O) có K là trung điểm của dây BD khác đường kính
·
⇒ OK ⊥ BD ⇒ OKC
= 900
Do đó, 5 điểm A, C, N, K, O cùng thuộc đường tròn đường kính OC
Dễ chứng minh bài toán phụ: Nếu hai dây AB và CD của (O) cắt nhau
tại I thì IA.IB = IC.ID.

Áp dụng bài toán trên, ta có:

25

0.25

0.5

0.5