BÀI ÔN TẬP HSG VÀ THI CHUYÊN

BI TP TNG HP
2
Bi 1: Cho x > 0 , tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: A = x x +

1
+ 2017
x

1
1
3
2 = 23, tớnh giỏ tr ca biu thc A = x + 3 .
x
x
x4 2y4 x2y2 + x2 + y2.

Bi 2(2 im) Cho x l s thc õm tha món x2 +

2) Phõn tớch thnh nhõn t biu thc sau:
Bi 3 (2 im)
1) Cho x, y l 2 s dng tha món x + y = 1, tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
1
1
P = (1 - 2 )(1 - 2 ) .
y
x
2) Tỡm nghim x, y nguyờn dng tha món phng trỡnh: 2x2 2xy = 5x y 19.
14 2 43 (A gm 2n ch s 4); B = 888.....8
14 2 43 (B
Bi 4 (1,0 im)Cho s nguyờn dng n v cỏc s A = 444....4
2n

n

gm n ch s 8). Chng minh rng A + 2B + 4 l s chớnh phng.
Bi 5. (1,0 im)
Cho ba s thc a, b, c > 0 tho món a + b + c = 2017. Tỡm GTLN ca
a
b
c
+
+
A=
.
a + 2017a + bc b + 2017b + ca c + 2017c + ab
Cõu 6(1 im)
Chng minh trong cỏc s cú dng 20142014 ... 2014 cú s chia ht cho 2013.
Cõu 7(1,5 im): Cho x, y, z > 0 tho món x + y + z = 3.

x2
y2
z2
+
+
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P =
y + 3z z + 3 x x + 3 y
Cõu 8(1,0 im): Chng minh N = 20124 n + 20134 n + 20144 n + 20154 n khụng phi l s chớnh
phng vi mi n l s nguyờn dng.
Cõu 9 (1,0 im) Cho tam giỏc ABC cú chu vi bng 2. Ký hiu a, b, c l di ba cnh ca tam giỏc.
a
4b

9c
+
+
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc S =
.
b+ca c+ ab a +bc
Câu 10 1) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x 3 là một số nguyên dơng và
biết f(5) f(3) = 2010. Chứng minh rằng: f(7) f(1) là hợp số.
2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =

x2 4x + 5 x2 + 6x + 13

3) Cho biu thc x 2 x 1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức Q =
x 6 3 x 5 + 3x 4 x 3 + 2017
x 6 x 3 3 x 2 3x + 2017
Cõu 11.Cho f ( x ) = ax 2 + bx + c > 0 với mọi x và a,b,c nguyên dơng ( b khác 1).
3350a + 1340c + 4ac + 2b + 1
> 2014
Chứng minh rằng :
b
Cõu 12:1) Gi s a; b; c l cỏc s thc khỏc 0 tha món (a+b)(b+c)(c+a)=8abc
Chng minh rng
a
b
c
3
ab
bc
ca
+

+
= +
+
+
b + c b + c a + c 4 ( a + b )( b + c ) ( b + c )( c + a ) ( c + a )( a + b )

2) Cú bao nhiờu s nguyờn dng cú 5 ch s abcde sao cho abc (10d + e ) chia ht cho 101?


Bài 13 Cho a + b = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = ab (a2 + b2)
Bài 14: b) Tìm tất cả các số hữu tỷ x sao cho A = x2 + x+ 6 là một số chính phương.
3
3
2
2
Cho x > 1 và y > 1. Chứng minh rằng : (x + y ) − (x + y )

(x − 1)(y − 1)

a)

≥8

Câu 15. (2 điểm)
a) Giải phương trình: x 2 x − 2 + 5 x = 9 .
1 1 1
+ + = 0 . Tính giá trị biểu thức:
x y z
yz
zx

xy
A= 2
+ 2
+ 2
x + 2 yz y + 2 zx z + 2 xy
8x
2
≥7
Câu 16.Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x + y = 1. Chứng minh rằng: 3(3 x − 2) +
y
Câu 17. Chữ số hàng đơn vị trong hệ thập phân của số M = a 2 + ab + b 2 (a, b ∈ N* )là 0.
a) Chứng minh rằng M chia hết cho 20.
b) Tìm chữ số hàng chục của M.
Câu 18 (1,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Chứng minh:
b) Cho ba số thực x, y, z đơi một khác nhau thỏa mãn điều kiện

ab + 2c 2
bc + 2a 2
ac + 2b 2
+
+
≥ 2 + ab + ba + ca
1 + ab − c 2
1 + bc − a 2
1 + ac − b 2
Câu 19 (2,0 điểm).
a) Chứng minh rằng nếu n là số ngun dương thì 2 ( 12013 + 22013 + ... + n 2013 ) chia hết cho n ( n + 1) .
b) Tìm tất cả các số ngun tố p, q thỏa mãn điều kiện p 2 − 2q 2 = 1 .
Câu 20 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1 . Chứng minh:
a

b
c
3
+
+
≥
( a + 1) ( b + 1) ( b + 1) ( c + 1) ( c + 1) ( a + 1) 4
Câu 21: Cho x, y là hai số không âm thỏa mãn x3 + y3 ≤ x − y
a) Chứng minh rằng: y ≤ x ≤ 1
b) Chứng minh rằng: x3 + y3 ≤ x2 + y2 ≤ 1
Câu 22: Cho M = a2 + 3a+ 1 với a là số nguyên dương.
a) Chứng minh rằng mọi ước của M đều là số lẻ.
b) Tìm a sao cho M chia hết cho 5. Với những giá trò nào của a thì M
là lũy thừa của 5?
2

2

 x2 −1   x + 1 
 x −1 
Câu 23: (2.0 điểm ) Giải phương trình: 
÷ − 4 2
÷ =0
÷+ 3 
x+2
 x −2  x−2
Câu 24: (1 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z t/m: x + y + z = 9

x3
y3

z3
+
+
Tìm giá trị nhỏ nhất của BT: S = 2
x + xy + y 2 y 2 + yz + z 2 z 2 + zx + x 2
Bài 25 : ( 1 điểm) Cho 3 số thực dương x,y,z thoả mãn điều kiện 2 xy + xz = 1.


3yz 4xz 5xy
+
+
4
x
y
z
Bài 26: (1,0 điểm) Cho các số a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: ac bd = 1 . Chứng
minh rằng:
Chng minh rng :

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + ad + bc 3
Bài 27: (2,0 điểm)
a) Cho f ( x ) là một đa thức với hệ số nguyên. Biết f ( 1) .f ( 2 ) = 2013 , chứng
minh phơng trình f ( x ) = 0 không có nghiệm nguyên.

b) Cho p là một số nguyên tố. Tìm p để tổng các ớc nguyên dơng của p 4 là
một số chính phơng.
Bi 28: ( 0,5 im)
Cho 2 s thc a v b tha món a>b v ab= 4.
a 2 + b2 + 1
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P =

ab
Cõu 29 (1,5 im)

(

) (

1. Cho x, y l cỏc s thc tha món x 2 x 2 + 2 y 2 3 + y 2 2
nh nht ca biu thc C = x 2 + y 2

)

2

= 1 . Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr

a2 2
2. Tỡm tt c cỏc cp s nguyờn dng (a; b) sao cho
l s nguyờn.
ab + 2
Cõu 30. (1,5 im)
a) Tỡm tt c cỏc b s nguyờn dng ( x; y ) tha món phng trỡnh:

x 2 + 2 y 2 3xy + 2 x 4 y + 3 = 0.
ã
ã
b) Cho t giỏc li ABCD cú BAD
v BCD
l cỏc gúc tự. Chng minh rng AC < BD.
Cõu 31. (1,5 im)

x+2
x+2
1
x +1
+
+
vi x 0, x 1 .
ữ:
x
x

1
x
+
x
+
1
1

x
x
+
x
+
1



a) Rỳt gn biu thc A =

(
b) Cho x =

)

3 1 . 3 10 + 6 3
21 + 4 5 + 3

(

, tớnh giỏ tr ca biu thc P = x 2 + 4 x 2

)

2017

Cõu 32. (1,5 im)
a) Cho cỏc s dng x, y tha món x y = x 3 + y 3 . Chng minh rng x 2 + y 2 < 1.

2 x = y 2 + 1

2
b) Gii h phng trỡnh: 2 y = z + 1.
2 z = x 2 + 1

Cõu 33. (2,0 im)


a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương ( x; y; z ) thỏa mãn

x + y 2017
là số hữu tỷ, đồng thời
y + z 2017

x 2 + y 2 + z 2 là số nguyên tố.
b). Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 5x2 + y2 = 17 + 2xy
c) Tìm tất cả các bộ số tự nhiên ( x; y; z ) thỏa mãn: x3 + y3 = 2z3 và x + y + z là số nguyên tố.

d) Tìm tất cả các bộ số tự nhiên ( x; y; z ) thỏa mãn: x3 + y3 = z3 và x + y + z là số nguyên tố.
Câu 34: (1,0 điểm). Tìm hai số nguyên a và b để M = a4 + 4b4 là số nguyên tố.
Câu 35 (5,0 điểm)
a) Không sử dụng máy tính cầm tay, chứng minh rằng
4

3

2

3

5 2+7 +

3

5 2−7 =2 2 .

b) Giải phương trình x – x – 14x + x + 1 = 0.

(

c) Cho x +

x 2 + 2017

)( y +

)

y 2 + 2017 = 2017. Tính P = x + y.

Bài 36. (1.0 điểm)

1
1
≥ y+ .
x
y
1 1 1
b) Cho 1 ≤ a, b, c ≤ 2 . Chứng minh rằng ( a + b + c )  + + ÷ ≤ 10 .
a b c
Bài 37. (2.0 điểm) Cho a, b là hai số nguyên dương thỏa mãn a + 20 và b + 13 cựng chia hết cho 21.
Tỡm số dư của phép chia A = 4a + 9b + a + b cho 21.
a) Chứng minh rằng nếu x ≥ y ≥ 1 thì x +

Bài 38 (1đ ): Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

x + y = 1998

Bài 39 (1đ): Giải phương trình: x 4 + x 2 + 2018 = 2018

Bài 40 (1đ ): Cho hai số dương x, y thay đổi sao cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 
1 

P = 1 − 2 .1 − 2 
x 
y 

Bài 41 (1đ ): Cho 0 < x < 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =

4x2 + 1
x 2 (1 − x )

Bài 42 (1đ ): Cho a , b là các số thực thoả mãn điều kiện a + b ≠ 0 . Chứng minh rằng:
2

 ab + 1 
a +b +
 ≥2
 a+b 
2

2

Bài 43 (1đ ): Chứng minh rằng với a > 0, ta có:

a
5(a 2 + 1) 11
+
≥

a2 + 1
2a
2

Bài 44 (1đ ): Cho hai số tự nhiên a, b khác 0 và a + b = 2017. Tìm giá trị lớn nhất của tích ab .
Bài 45 (1đ ): Tìm nghiệm dương của phương trình:

( 1+ x −

x2 −1

)

2016

(

+ 1 + x + x2 − 1

)

2016

= 22017


Bài 46 (1,0 điểm) :

Cho các số thực x, y, z thoả mãn: y 2 + yz + z 2 = 1 -

3x 2
.
2

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + z .
Bài 47 (1.0 điểm): Cho a, b là c¸c số dương thảo m·n a + b = 4.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a2 + b2 +

33
ab

Bài 48 : Cho ba số dường a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức :

a
b
c
+
+
≥2
b+c
a+c
a+b

Cho hai số thực a; b thay đổi , thoả món điều kiện a + b ≥ 1 và
8a 2 + b
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A =
+ b2
4a
Bài 49:(1.0 điểm)

a>0

Câu 50: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Tìm GTLN của biểu thức

Câu 51 (1 điểm): Cho x, y, z là các số dương thay đổi thỏa món điều kiện:
5x2 + 2xyz + 4y2 + 3z2 = 60. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x + y + z.
Câu 52: Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa món x + y + z = 9. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
y3
z3
x3
S= 2
+
+
.
x + xy + y 2 y 2 + yz + z 2 z 2 + zx + x 2
1 2 3
Câu 53: Cho a,b,c là 3 số thực dương thừa món: a2 + 2b2 ≤ 3c2 . CMR: + ≥
a b c

1
1
1
+
+
= 2017 . Tìm giá trị
a+b b+c c+a
1
1
1
+

+
.
lớn nhất của biểu thức: P =
2a + 3b + 3c 3a + 2b + 3c 3a + 3b + 2c
Cõu 54:Cho a, b, c là các số dương thay đổi thỏa món:

Câu 5 (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn: x + y + z = 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: Q =

x +1 y +1 z +1
+
+
.
1 + y2 1 + z 2 1 + x 2

Câu 57: Cho 4 số thực dương x, y, z, t thỏa mãn x + y + z + t = 2.
( x + y + z) ( x + y)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
.
xyzt
Câu 58 (1,0 điểm) Giải phương trình : ( x3 − 4 ) =
3

(

3

)

2

( x 2 + 4) 2 + 4 .


Câu 59: Tìm GTNN của biểu thức: Q =
Với a; b dương thỏa mãn: 2a + 3b ≤ 4

2002 2017
+
+ 2996a − 5501b
a
b

Câu 60: Tìm min – max của biểu thức: Q = a2 + b2 + c2 biết a, b, c là các số lớn hơn hoặc bằng 1 và
ab + bc + ca = 9

Câu 6.Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn

1
1 1
+ 2 + 2 = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
2
x
y
z

y2z 2
z2x 2
x 2 y2
+

+
thức: P =
.
x ( y2 + z 2 ) y ( z 2 + x 2 ) z ( x 2 + y 2 )
Câu 2( 1 điểm) Giả sử x, y là hai số thực phân biệt thỏa mãn

1
1
2
+ 2
=
x + 1 y + 1 xy + 1
2

1
1
2
+ 2
+
x + 1 y + 1 xy + 1
Câu 1. (1.5 điểm )Cho các số dương a,b,c,d . Chứng minh rằng trong 4 số
1 1
1 1
1 1
1 1
a 2 + + ;b 2 + + ;c 2 + + ;d 2 + + Có ít nhất một số không nhỏ hơn 3.
b c
c d
c d
a b

Câu 2. (1.5 điểm )Giải phương trình :
Tính giá trị biểu thức P =

(x

2

2

+ 2 x ) + 4 ( x + 1) − x 2 + ( x + 1) + ( x 2 + x ) = 2017
2

2

2

2

Câu 3. (3.0 điểm )
1.Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn a 2 = b3 ;c3 = d 4 ; a = d + 98
1
1
2.Tìm tất cả các số thực x sao cho trong 4 số x − 2; x 2 + 2 2; x − ; x + có đúng một
x
x
số không phải là số nguyên.

Câu 5: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a ≥ 2, b ≥ 2 và a+b+2c=6 . Chứng minh rằng:
1) a 2 + b 2 + 4ab +16 ≥ 4c 2 −16c + 20
2)

4 − b2
2
4 ( c − 2 ) +1



−

a2
+5 ≥ 0
(a − b) + 6ab +16
2

Câu 5 : ( 1 điểm ) Cho a; b ; c là độ dài ba cạnh của tam giác .Chứng minh rằng
a2 + b2 − c2
b2 + c2 − a2
c2 + a2 − b2
+
+
>1
2ab
2bc
2ca


b. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng a5 + b5 + c5 +

1 1 1
+ + ≥ 6.

a b c

Bài 5: (1,0 điểm)
Cho các số tực a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh:
3+ a2 3+ b2 3+ c2
+
+
≥6
N=
b+ c c + a a + b
Bài 5: Cho hai số dương x, y thỏa x ≥ 2y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=

2x 2 + y 2 − 2xy
xy

Bài V (0,5 điểm) Với hai số thực không âm a, b thỏa mãn a 2 + b 2 = 4 , tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức M =

ab
a +b+2

2
2
2
Câu 5. Cho các số thực x, y, z thoả mãn x + y + z = 1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F = xy + 2 yz + zx .
Câu V (1,0 điểm) Cho 2015 số nguyên dương a1;a2;a3;...;a2015 thỏa mãn điều kiện:
1

1
1
1
+
+
+ ... +
≥ 89
a1
a2
a3
a2015

Chứng minh rằng trong 2015 số nguyên dương đó, luôn tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau.
Câu 5. (1,0 điểm)
1) Giải phương trình 3x 2 − 6 x − 6 = 3 ( 2 − x ) + ( 7 x − 19 ) 2 − x .
5

2)

Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức: T =

a
b
c
+ 4
+ 4
.
4

4
b + c + a a + c + b a + b4 + c
4

Câu 5 (3 điểm).Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x + y ≥ 3 . Chứng minh rằng:
1 2 9
x+y+
+ ≥
2x y 2
Câu 5 (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn:
1
1 
 1 1 1
 1
7  2 + 2 + 2 ÷ = 6  + + ÷+ 2017.
a b c 
 ab bc ca 


1

Tìm GTLN của biểu thức: P =

+

1

1

+

3(2a 2 + b 2 )
3(2b 2 + c 2 )
3(2c 2 + a 2 )
Câu 4: (1.0điểm): Cho x, y là hai số thực thỏa mãn: x > y và xy = 1

Chứng minh rằng:

(x

2

+ y2 )

( x − y)

.

2

2

≥8

Bài 1 (3,0 điểm).Cho biểu thức: P =

2x + 2 x x −1 x 2 + x
+
−
x

x− x x x +x

( x > 0; x ≠ 1).

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của thức P khi x = 3 − 2 2
c) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của x để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức
7
chỉ nhận một giá trị nguyên.
P

9
2x
+
− 1 = 0.
2
x2
2x + 9
Bài 5 (0,5 điểm). Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh
1
1
1
3
+
+
≥
rằng:
a 2 +1 b2 +1 c 2 +1 2
Bài 3 (1,0 điểm).Giải phương trình:

Câu 5. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức Q = 3a + bc + 3b + ca + 3c + ab .
Bài 5:

Cho a,b,c > 0 thoả mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1

a
b
c
3 3
+
+
≥
b2 + c2 c2 + a 2 a 2 + b2
2
2
2016
2016
 x + xy − (y + 1) = 0
Câu5(1,0điểm). Cho hai số thực x, y thỏa mãn 
4
 x − 1 = 3 y − 2016x + 2015
5
1
2016
Hãy tính giá trị của biểu thức: P = (x − 1)
− (y − 2) 2015 + 2017.
2
2
Chứng minh rằng :

Bài 5. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P = 3a 2 + 2ab + 3b 2 + 3b 2 + 2bc + 3c 2 + 3c 2 + 2ca + 3a 2
Câu 5: (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn: 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1 . Tìm giá
2
2
2
trị lớn nhất của biểu thức: Q = a ( b − c ) + b ( c − b ) + c ( 1 − c ) .

Câu V (1,0 điểm): Cho hai số dương a, b thỏa mãn

Q=

1 1
+ = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a b

1
1
+ 4
.
2
2
a + b + 2ab b + a + 2ba 2
4

2

Câu 5: (1.0 điểm) Cho x, y > 0, x + y = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1
1
1
40
M = 8 ( x4 + y4 ) + 5 + 5 + 2 2 .
x
y
x y xy
Bài 5(0,5 điểm ):

Cho a,b là hai số dương và a + b ≤ 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của S = ab +

1
ab

Bài 5. (0,5 điểm)
Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn: a + b + c = 1009.
Chứng minh rằng:

2018a +

(b − c) 2
(c − a) 2
(a − b) 2
+ 2018b +
+ 2018c +
≤ 2018 2.
2
2
2

 a; b; c > 0
Bài 5: (1 điểm). Cho 
a + b + c = 1
Tìm giá trị lớn nhất của: S = a + b + b + c + c + a
Câu V ( 1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương.

Chứng minh rằng

P=

3( x3 + y 3 + z 3 )
1
3
+
≥
2
4( xy + yz + zx) ( x + y + z ) 4

Bài V ( 0,5 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2017 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Q = 2017a + bc + 2017b + ca + 2017c + ab .

2
2
2
Giải phương trình: ( x − x + 1) ( x + 4x + 1) = 6x

Câu 5 (1,0 điểm)

Bài 5: (1,0 điểm).

Giải phương trình : ( x3 − 4 ) =
3

(

3

)

2

( x 2 + 4) 2 + 4 .


Cho các số thực a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3.Chứng minh rằng:
3 + a 2 3 + b2 3 + c2
N=
+
+
≥6
b+c c+a a +b
a2
b2
c2
+
+
≥ 12 .
Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Chứng minh:

b −1 c −1 a −1

Câu 6. (0,5 điểm): Cho ba số dương a, b, c thay đổi thoả mãn: a2 + b2 + c2 = 3.

1 1 1
+ ÷
a b c
Câu 4: (1.0điểm): Cho x, y là hai số thực thỏa mãn: x > y và xy = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2(a + b + c) +  +

Chứng minh rằng:

(x

2

+ y2 )

( x − y)

2

2

≥8

Bài 5: (1,0 điểm)
Cho x, y là các số dương thỏa mãn (11x + 6y + 2015)(x – y + 3) = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xy − 5 x + 2016
Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c.Chứng minh:

2
2
2
( a + b) + ( b + c) + ( c + a ) ≥ 9 + 2  a + b + c 

÷
ab
bc
ca
b+c a+c a+b
Bài 2: Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy một điểm E sao cho E ≠ B.Tia AE cắt tia DC tại

K. Kẻ đường thẳng qua A và vuông góc với AE. Đường thẳng này cắt đường thẳng CD tại I.
a) Chứng minh rằng

1
1
+
không đổi khi E di chuyển trên BC.
2
AE
AK 2

b) Tìm vị trí của E để độ dài IK ngắn nhất.
c) Đương thẳng đi qua A và vuông góc với IE cắt đường thẳng CD tại M.Chứng minh rằng
1
1
2
+
=

AE AK AM
3. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn : x + y + z = 3
x
y
z
+
+
Tìm giá trị nhỏ nhất của S =
2
2
1 + y 1 + z 1 + x2

Câu 5: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1.
Chứng minh rằng: 2 x 2 + xy + 2 y 2 + 2 y 2 + yz + 2 z 2 + 2 z 2 + zx + 2 x 2 ≥ 5
Câu 5 (1,5 điểm). Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn x + y = 2017 . Tính giá trị nhỏ
nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = x( x 2 + y ) + y ( y 2 + x ) .


Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương. CMR:

a 5 b5 c5
+ + ≥ a 3 + b 3 + c3
bc ca ab

2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm I thuộc miền trong tam giác, kẻ IM ⊥ BC, kẻ IN ⊥
AC, IK ⊥ AB. Tìm vị trí của I sao cho tổng IM 2 + IN 2 + IK 2 nhỏ nhất.
Bài 5: (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz ≤ 1.

x ( 1 − y3 )

y ( 1 − z3 )

+
+
y3
z3
Câu 9: (1 điểm) Cho x , y là các số thực dương bé hơn 1.
Chứng minh rằng:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q =

z (1 − x3 )
x3

≥0

xy ( 1 − x − y )
.
( x + y ) ( 1− x) ( 1− y )

Câu 8(0,5 Điểm): Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x 3 + y 3 + x 2 + y 2


Bài 4: (1,5đ)
4.1)Giải phương trình nghiệm nguyên :

x 2 + 2 y 2 − 2 xy − 4 x + 8 y + 7 = 0

4.2)Cho 3 số thực không âm a; b; c . Ch/m rằng:

ab ( b 2 + bc + ca ) + bc ( c 2 + ac + ab ) + ca ( a 2 + ab + bc ) ≤ ( ab + bc + ca ) ( a 2 + b 2 + c 2 )

Câu 5. (1,5 điểm)
1) Cho a, b, c là ba số thực dương, chứng minh bất đẳng thức sau:

1
1
1
3
+
+
≥
a 3a + 2b b 3b + 2c c 3c + 2a
5abc
2) Cho 3 số thực x, y, z bất kì, thỏa mãn: x + y + z = 0 và xyz

≠0

y2
x2
z2
+
+
Tính giá trị của biểu thức: P = 2
y + z 2 - x 2 z 2 + x2 − y 2 x 2 + y 2 − z 2
Câu 3. (1,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình:
x3 – y3 = 6xy + 3

1

= 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
xy
 1
1 
3
P = 2
+
−
.
2
2 ÷
 1 + x 1 + y  1 + 2 xy

2
2
Câu 5: Cho các số dương x, y thỏa mãn x + y +

Câu 3 (2,0 điểm) a) Giải phương trình 3 x 2 + 4 = 3 x x 2 + 4 .
2
 x − 5 xy − 3 x + 1 = 0
c) Giải hệ phương trình  2
4 y + xy + 6 y + 1 = 0.
Câu 5: Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
9
P = x 2 + y 2 + z 2 + xyz .
của biểu thức:
2

Câu 5: (1 điểm) Chứng minh P(n) = n4 – 14n3 + 71n2 – 154n + 120 luôn chia hết cho 24,
với mọi số tự nhiên n ∈ N*

2 x 2 + 4 x + y 3 + 3 = 0
Câu 6: Giải hệ phương trình  2 3
 x y + y = 2 x
x2 + 1
Bài 1. Tìm x, y nguyên sao cho 2 + 4 là số chính Phương
y
Đk: y ≠ 0
x2 + 1
+ 4 = k2 ( k nguyên)
Ta có
2
y
2
⇒ x + 1 + 4 y2 = k 2 y2

Đặt x2 = 4m2, y2= m (m Nguyên ).


Ta có . 4m2 + 1 + 4m = k2m
⇔ 4m2 +m( 4 – k2) +1 = 0
∆ = (4 – k2)2 –16 Phương trình có nghiệm nguyên khi ∆ là số chính phương
Suy ra :(4 – k2)2 –16 = n2 ( n nguyên )
⇔ (4 – k2 + n)(4- k2 – n) = 16

vì (4 – k2 + n) và(4- k2 – n) cùng tính chẵn lẻ
 4 − k 2 + n = 8

2
4 − k − n = 2


2
 4 − k + n = 4
 4 − k 2 − n = 4

Ta có. 
suy ra k2 = 9 hoặc k2 = 4 (loại)
 4 − k 2 + n = −4

2
4 − k − n = −4

2
 4 − k + n = −8
 4 − k 2 − n = −2


Thay k2= 9 ta có . 4m2 -5m +1 = 0 suy ra m = 1 thì
(x,y) ∈ { (2; −1); ( 2;1) ;( −2;1);( −2; −1) }