DE THI VAO 10 MON TOAN HA NOI TU 2006 DEN 2017

Sở giáo dục & đào tạo
Hà nội

kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
Năm học 2006 - 2007

Môn thi: Toán
Thời gian: 120 phút (không kể giao đề)
Đề chính thức
Ngày thi 16 tháng 6 năm 2006
Bài 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức:
a +3 a +2
a+ a 1
1
P=

+

:
a

1
a
+
2
a

1
a
+
1

a

1





(

)(

)

1) Rút gọn biểu thức P.
1
a +1
2) Tìm a để:
1.
P
8
Bài 2: (2,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phơng trình:

Một ca nô xuôi dòng trên một khúc sông từ bến A đến bến B
dài 80 km, sau đó lại ngợc dòng đến địa điểm C cách bến B 72
km, thời gian ca nô xuôi dòng ít hơn thời gian ngợc dòng là 15
phút. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc của dòng nớc là 4
km/h.
Bài 3: (1 điểm)

Tìm toạ độ giao điểm A và B của đồ thị hai hàm số y = 2x
+ 3 và y = x2.
Gọi D và C lần lợt là hình chiếu vuông góc của A và B trên
trục hoành. Tính diện tích tứ giác ABCD.
Bài 4: (3 điểm) Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R, C là trung
điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý
trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN.
1) Chứng minh BCHK là tứ giác nội tiếp.
2) Tính tích AH.AK theo R.
3) Xác định vị trí của điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt
giác trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Bài 5: (1 điểm) Cho hai số dơng x, y thoả mãn điều kiện x + y = 2.
Chứng minh x2y2(x2 + y2) 2.

1


Sở giáo dục & đào tạo
Hà nội

kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
Năm học 2007 - 2008

Đề chính thức

Môn thi: Toán
Thời gian: 120 phút (không kể giao đề)

Bi 1: (2,5 im) Cho biu thc P =

x
3
6 x 4
+

x 1
x 1
x +1

1. Rỳt gn biu thc P
2. Tỡm x P <

1
2

Bi 2: (2,5 im) Gii bi toỏn sau bng cỏch lp phng trỡnh
Mt ngi i xe p t A n B cỏch nhau 24km. Khi t B tr v A ngi ú tng vn
tc thờm 4km/h so vi lỳc i, vỡ vy thi gian v ớt hn thi gian i 30 phỳt. Tớnh vn tc
ca xe p khi i t A n B.
Bi 3: (1 im) Cho phng trỡnh x 2 + bx + c = 0
1. Gii phng trỡnh khi b= -3 v c=2
2. Tỡm b,c phng trỡnh ó cho cú hai nghim phõn bit v tớch ca chỳng bng 1
Bi 4: (3,5 im) Cho ng trũn (O; R) tip xỳc vi ng thng d ti A. Trờn d ly
im H khụng trựng vi im A v AH < R. Qua H k ng thng vuụng gúc vi d,
ng thng ny ct ng trũn ti hai im E v B ( E nm gia B v H)
1. Chng minh gúc ABE bng gúc EAH v tam giỏc ABH ng dng vi tam giỏc EAH.
2. Ly im C trờn d sao cho H l trung im ca on AC, ng thng CE ct AB
ti K. Chng minh AHEK l t giỏc ni tip.
3. Xỏc nh v trớ im H AB = R 3 .
Bi 5: (0,5 im) Cho ng thng y = (m-1) x + 2

Tỡm m khong cỏch t gc ta n ng thng ú l ln nht.

2


Sở giáo dục & đào tạo
Hà nội

kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
Năm học 2008 - 2009

Môn thi: Toán
Thời gian: 120 phút (không kể giao đề)
1
x
x
+
Bi 1: ( 2,5 im ) Cho biu thc: P =
ữ:
x +1 x + x
x
Đề chính thức

1) Rỳt gn P
2) Tỡm giỏ tr ca P khi x = 4
13
3) Tỡm x P =
3
Bi 2: ( 2,5 im ) Gii bi toỏn sau bng cỏch lp phng trỡnh:
Thỏng th nht hai t sn xut c 900 chi tit mỏy. Thỏng tjh hai t I vt mc

15% v t II vt mc 10% so vi thỏng th nht, vỡ vy hai t ó sn xut c 1010
chi tit mỏy. Hi thỏng th nht mi t sn xut c bao nhiờu chi tit mỏy?
1
Bi 3: ( 3,5 im )Cho parabol (P): y = x2 v ng thng (d): y = mx + 1
4
1) Chng minh vi mi giỏ tr c m ng thng (d) luụn ct parabol (P) ti hai
im phõn bit.
2) Gi A, B l hai giao im ca (d) v (P). Tớnh din tớch tam giỏc OAB theo m (O
l gc ta )
Bi 4: (3,5 im )Cho ng trũn (O) cú ng kớnh AB = 2R v E l im bt kỡ trờn
ng trũn ú (E khỏc A v B). ng phõn giỏc gúc AEB ct on thng AB ti F v ct
ng trũn (O) ti im th hai l K.
1) Chng minh tam giỏc KAF ng dng vi tam giỏc KEA
2) Gi I l giao im ca ng trung trc on EF vi OE, chng minh ng trũn
(I) bỏn kớnh IE tip xỳc vi ng trũn (O) ti E v tip xỳc vi ng thng AB ti F.
3) Chng minh MN // AB, trong ú M v N ln lt l giao im th hai ca AE,
BE vi ng trũn (I).
4) Tớnh giỏ tr nh nht ca chu vi tam giỏc KPQ theo R khi E chuyn ng trờn
ng trũn (O), vi P l giao im ca NF v AK; Q l giao im ca MF v BK.
Bi 5: ( 0,5 im ) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc A, bit:
A = (x 1)4 + (x 3)4 + 6(x 1)2(x 3)2

3


Sở Giáo dục và đào tạo
Hà Nội
Đề chính thức

Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT

Năm học: 2009 2010
Môn thi: Toán
Ngày thi: 24 tháng 6 năm 2009
hời gian làm bài: 120 phút

Bài I (2,5 điểm) Cho biểu thức

A=

x
1
1
+
+
, với x 0; x 4
x- 4
x- 2
x +2

1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tính giá trị của biểu thức A khi x=25.
3) Tìm giá trị của x để A =-

1
.
3

Bài II (2,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phơng trình hoặc hệ
phơng trình:
Hai tổ sản suất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong

3 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may đợc 1310
chiếc áo. Biết rằng trong mỗi ngày tổ thứ nhất may đợc nhiều hơn tổ
thứ hai 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ may trong một ngày đợc bao nhiêu
chiếc áo?
Bài III (1,0 điểm) Cho phơng trình (ẩn x): x 2 - 2(m +1) x + m 2 + 2 = 0
1) Giải phơng trình đã cho với m=1.
2) Tìm giá trị của m để phơng trình đã cho có hai nghiệm phân
biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức: x12 + x22 = 10 .
Bài IV (3,5 điểm) Cho đờng tròn (O; R) và A là một điểm nằm bên
ngoài đờng tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C là các
tiếp điểm).
1) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.
2) Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với
OA và OE.OA=R2.
3) Trên cung nhỏ BC của đờng tròn (O; R) lấy điểm K bất kì (K
khác B và C). Tiếp tuyến tại K của đờng tròn (O; R) cắt AB, AC theo
thứ tự tại các điểm P và Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không
đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.
4


4) Đờng thẳng qua O, vuông góc với OA cắt các đờng thẳng AB,
AC theo thứ tự tại các điểm M, N. Chứng minh PM+QN MN.
Bài V (0,5 điểm)
Giải phơng trình:

x2 -

1
1 1

+ x 2 + x + = ( 2 x 3 + x 2 + 2 x +1)
4
4 2

----------------------Hết---------------------Sở Giáo dục và đào tạo

Kì thi tuyển sinh vào lp 10

THPT
Hà Nội

Năm học

20102011 THC
CHNH
Môn thi : Toán
Ngày thi: 22/6/2010
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài I : ( 2,5 điểm ) Cho biểu thức :

A=

x
2 x 3x + 9
+

; x 0; x 9 .
x +3
x 3 x 9

1) Rút gọn biểu thức A
2) Tìm giá trị của x để A=

1
3

3) Tính giá trị ln nht của biểu thức A .
Bài II: (2,5diểm ) Giải bài toán sau bằng cách lập phơng trình:
Mt mnh t hỡnh ch nht cú di ng chộo l 13 m v chiu di ln hn
chiu rng 7 m. Tớnh chiu di v chiu rng ca hỡnh ch nht ú.
Bài III: (1 điểm) Cho parabol (P): y = - x2 v ng thng (d): y=mx - 1.
1) Chng minh rng vi mi giỏ tr ca m thỡ ng thng (d) luụn ct parabol ti hai
im phõn bit.
2) Gi x1; x2 ln lt l honh giao im ca dng thng (d) v parabol (P). Tỡm
giỏ tr ca m : x12x2 + x22x1 - x1x2 = 3.
Bài IV: (3,5 điểm) Cho đờng tròn (O) cú ng kớnh AB=2R v im C
thuc ng trũn ú (C khỏc A, B). Ly im D thuc dõy BC (D khỏc B, C).
Tia AD ct cung nh BC ti im E, tia AC ct tia BE ti im F.
1) Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp
2) Chng minh DA.DE=DB.DC.
3) Chng minh gúc CFD bng gúc OCB. Gi I l tõm ng trũn ngoi
tip t giỏc FCDE, chng minh IC l tip tuyn ca ng trũn (O).
4) Cho bit DF=R, chng minh tang gúc AFB=2
Bài V (0,.5 điểm) Giải phơng trình:
5


x 2 + 4 x + 7 = ( x + 4) x 2 + 7.

_______________ HÕt _______________

Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh: ……………………………………………. Số báo danh:……………………….
Họ tên, chữ kí của giám thị 1:
Họ tên, chữ kí của giám thị 2:

SỞ GD&ĐT THÀNH PHỐ

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

HÀ NỘI

Môn thi : Toán

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài I (2,5 điểm) Cho A =

x
10 x
5
−
−
x − 5 x − 25
x +5

Ngày thi : 22 tháng 6 năm 2011
Thời gian làm bài: 120 phút
Với x ≥ 0, x ≠ 25 .

1) Rút gọn biểu thức A.

2) Tính giá trị của A khi x = 9.
1
3) Tìm x để A < .
3
Bài II (2,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do
mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian
quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao
nhiêu ngày?
Bài III (1,0 điểm)Cho Parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d): y = 2x − m 2 + 9 .
1) Tìm toạ độ các giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1.
2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục
tung.
Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi d 1 và d2 là hai tiếp
tuyến của đường tròn (O) tại hai điểm A và B.Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm
thuộc đường tròn (O) (E không trùng với A và B). Đường thẳng d đi qua điểm E và
vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại M, N.
1) Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh ∠ENI = ∠EBI và ∠MIN = 900 .
3) Chứng minh AM.BN = AI.BI .
4) Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa E của đường tròn (O). Hãy tính
diện tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng.
6


Bài V (0,5 điểm) Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M = 4x 2 − 3x +

1

+ 2011 .
4x

........................................Hết........................................

SỞ GD&ĐT THÀNH PHỐ HÀ NỘI

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
Môn thi : Toán
Năm học: 2012 – 2013
Ngày thi : 21 tháng 6 năm 2012
Thời gian làm bài: 120 phút

ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài I (2,5 điểm)

x +4
Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36.
x +2

x
4  x + 16
+
÷:
2) Rút gọn biểu thức B = 
(với x ≥ 0, x ≠ 16).
x −4÷
 x +4
 x +2

1) Cho biểu thức A =

3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của
biểu thức B(A – 1) là số nguyên.
Bài II (2,0 điểm) Giái bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hai người cùng làm chung một công việc trong

12
giờ thì xong. Nếu mỗi người
5

làm một mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là
2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công
việc?
Bài III (1,5 điểm)
2 1
x + y = 2

1) Giải hệ phương trình 
6 − 2 =1
 x y

2) Cho phương trình : x 2 − (4m − 1) x + 3m 2 − 2m = 0 (ẩn x). Tìm m để phương trình có
hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện x12 + x22 = 7
Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với
AB, M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác A và C), BM cắt AC tại H. Gọi K là hình
chiếu của H trên AB.
1) Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh ·ACM = ·ACK
3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM

là tam giác vuông cân tại C.

7


4) Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A. Cho P là một điểm nằm trên d
sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và

AP.MB
= R . Chứng
MA

minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.
Bài V (0,5 điểm) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x ≥ 2y, tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức M =

x2 + y2
.
xy

........................................Hết........................................
Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh:............................................................ Số báo danh:...............................
Chữ kí giám thị 1:
Chữ kí giám thị 2:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Năm học 2013 – 2014
Môn thi: Toán
Ngày thi: 18 tháng 6 năm 2013
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài I (2,0 điểm)
Với x > 0, cho hai biểu thức A =

2+ x
và B =
x

x −1 2 x +1
+
x
x+ x

1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 64
2) Rút gọn biểu thức B
3) Tính x để

A 3
>
B 2

Bài II ( 2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Quãng đường từ A đến B dài 90 km. Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đến B,
người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9 km/h.
Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A là 5 giờ. Tính vận tốc xe máy lúc

đi từ A đến B.
Bài III ( 2,0 điểm)
3(x + 1) + 2(x + 2y) = 4
 4(x + 1) − (x + 2y) = 9

1) Giải hệ phương trình: 
1
2

1
2

2) Cho parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d): y = mx − m 2 + m + 1
a) Với m = 1, xác định tọa độ giao điểm A, B của ( d) và ( P)
b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x 1, x2 sao
cho: x1 − x 2 = 2
Bài IV (3,5 điểm)
Cho đường tròn ( O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với
đường tròn (O). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C ( AB
< AC, d không đi qua tâm O).
1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.
2) Chúng minh AN2 = AB.AC. Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4 cm, AN = 6
cm.
8


3) Gọi I là trung điểm BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T.
Chứng minh: MT // AC.
4) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại K. Chứng minh K thuộc
một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Bài V (0,5 điểm)
Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + ab + bc + ca = 6abc.
Chứng minh:

1 1 1
+ + ≥3
a 2 b2 c2

Lưu ý: Giám thị không giả thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:……………………………….Số báo danh:……………….…………...
Chữ kí của giám thị 1:…………………………..Chữ kí của giám thị 2:………..…………
…………..Hết…………
SỞ GD&ĐT THÀNH PHỐ HÀ NỘI

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
NĂM 2014-2015

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi : Toán
Ngày thi : 23 tháng 6 năm 2014
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài I(2 điểm)
x +1
khi x = 9.
x −1
1  x +1
 x−2
+

2) Cho biểu thức P = 
với x > 0 và x ≠ 1.
÷.
x + 2  x −1
 x+2 x

1) Tính giá trị biểu thức A =

a) Chứng minh rằng P =

x +1
.
x

b) Tìm các giá trị của x để 2P = 2 x + 5.
Bài II (2 điểm)
Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày
quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vợt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã
hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày
phân xưởng sản xuất theo kế hoạch là bao nhiêu sản phẩm?
Bài III( 2 diểm)
 4
x+ y +

1) Giải hệ phương trình  1

−
x+ y


1
=5
y −1
2
= −1
y −1

2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = - x + 6 và parabol (P) : y = x2.
a) Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P).
b) Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác AOB.
Bài IV (3,5 điểm)
Cho đờng tròn (O; R) có đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của đường
tròn (O; R)(M khác A, M khác B). Tiếp tuyến của đờng tròn (O; R) tại B cắt các
đường thẳng AM, AN lần lợt tại các điểm Q và P.
9


1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật.
2) Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
3) Gọi E là trung điểm của BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại
điểm F. Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF.
4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định
vị trí của đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất.
Bài V (0,5 điểm)
Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = 2a + bc + 2b + ca + 2c + ab
===***===

SỞ GD&ĐT THÀNH PHỐ HÀ NỘI

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
NĂM 2015-2016

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi : Toán
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài I (2,0 điểm)
Cho hai biểu thức P =

x+3
và Q =
x −2

x −1 5 x − 2
+
với x>0, x ≠ 4
x−4
x +2

1. Tính giá trị của biểu thức P khi x = 9.
2. Rút gọn biểu thức Q.
P

3. Tìm giá trị của x để biểu thức Q đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài II (2,0 điểm) Giái bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó chạy xuôi dòng 48km trên cùng
một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2km/giờ. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi
nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ.

Bài III (2,0 điểm)
 2 ( x + y ) + x + 1 = 4
1. Giải hệ phương trình 
( x + y ) − 3 x + 1 = −5
2
2. Cho phương trình : x − ( m + 5) x + 3m + 6 = 0 (x là ẩn số).

1. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m.
2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông
của một tam giác có độ dài cạnh huyền bằng 5.
Bài IV (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn
thẳng AO (C khác A, C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa
đường tròn tại K. Gọi M là điểm bất kì trên cung KB (M khác K, M khác B). Đường
10


thẳng CK cắt các đường thẳng AM, BM lần lượt tại H và D. Đường thẳng BH cắt nửa
đường tròn tại điểm thứ hai N.
1. Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh CA.CB=CH.CD.
3. Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường
tròn đi qua trung điểm của DH.
4. Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một
điểm cố định.
Bài V (0,5 điểm) Với hai số thực không âm a, b thỏa mãn a 2 + b 2 = 4 , tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức M =

ab
a +b+2

BÀI GIẢI
Bài I: (2,0 điểm)
1) Với x = 9 ta có P =
2) Với Q =
=

9+3
= 12
3−2

x − 1 5 x − 2 ( x − 1).( x − 2) + 5 x − 2
+
=
x−4
x−4
x +2

x−3 x + 2+5 x −2 x+ 2 x
x ( x + 2)
=
=
=
x−4
x−4
( x + 2)( x − 2)
P

3) Q =

x

x −2

x+3
3
= x+
≥ 2 3. (Do bất đẳng thức Cosi).
x
x
P

Dấu bằng xảy ra khi x = 3 . Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 2 3 .
Bài II: (2,0 điểm)
Gọi t1 là thời gian tàu tuần tra chạy ngược dòng nước.
Gọi t2 là thời gian tàu tuần tra chạy xuôi dòng nước.
Gọi V là vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên.
60

48

Ta có : V − 2 = t ; V + 2 = t
1
2
60

48

60

48

Suy ra: t + 2 = t − 2 ⇔ t − t = −4 (1)
1
2
1
2
11


t1 − t2 = 1 (2)
 60 48
= −4
 −
Từ (1) và (2) ta có hệ :  t1 t2
t − t = 1
1 2
60

48

2
Thế t1 = 1 + t2 vào (1) ta được : 1 + t − t = −4 ⇔ 4t2 + 16t2 − 48 = 0
2
2

⇔ t2 = −6 (loại) hay t2 = 2 ⇒ V = 22 (km/h)

Bài III: (2,0 điểm)
1.

Với điều kiện x ≥ −1 , ta có hệ đã cho tương đương:

6( x + y ) + 3 x + 1 = 12
7( x + y ) = 7
⇔

( x + y ) − 3 x + 1 = −5
( x + y ) − 3 x + 1 = −5
x + y = 1
x + y = 1 x = 3

⇔
⇔
⇔
3 x + 1 = 6
x +1 = 4
 y = −2


2)
a) ∆ = (m + 5) 2 − 4(3m + 6) = m 2 − 2m + 1 = (m − 1) 2 ≥ 0, ∀m
Do đó, phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Ta có x1 + x2 = m + 5 và x1 x2 = 3m + 6 . Để x1 > 0, x2 > 0 điều kiện là m > −5 và
m > −2 ⇔ m > −2 (Điều kiện để S >0, P>0)

Yêu cầu bài toán tương đương :
x12 + x22 = 25 ⇔ ( x 1+ x2 ) 2 − 2 x1 x2 = 25

⇔ (m + 5) 2 − 2(3m + 6) = 25 (Do x1 + x2 = m + 5 và x1 x2 = 3m + 6 ), m > - 2
⇔ m2 + 4m − 12 = 0, m > −2 ⇔ m = 2 hay m = -6, m > - 2 ⇔ m = 2

D

Bài IV (3,5 điểm)
1.
2.

J
Tứ giác ACMD có ·ACD = ·AMD = 900 Nên tứ giác ACMD nội tiếp
K
F
Xét 2 tam giác vuông : ∆ACH và ∆DCB đồng dạng
N

·
·
(Do có CDB
(góc có cạnh thẳng góc))
= MAB

12

I

A

M

H

C

O
Q

B


Nên ta có

CA CD
=
⇒ CA.CB = CH .CD
CH CB

3) Do H là trực tâm của ∆ABD
Vì có 2 chiều cao DC và AM giao nhau tại H , nên AD ⊥ BN
Hơn nữa ·ANB = 900 vì chắn nửa đường tròn đường kính AB.
Nên A, N, D thẳng hàng.
·
·
Gọi tiếp tuyến tại N cắt CD tại J ta chứng minh JND
.
= NDJ
·
·
Ta có JND
cùng chắn cung »AN .
= NBA
·
·

Ta có NDJ
góc có cạnh thẳng góc
= NBA
·
·
Vậy trong tam giác vuông ∆DNH J là trung điểm của HD.
⇒ JND
= NDJ

4) Gọi I là giao điểm của MN với AB. CK cắt đường tròn tâm O tại điểm Q.
Khi đó JM, JN là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.
Gọi F là giao điểm của MN và JO. Ta có KFOQ là tứ giác nội tiếp.
·
1. FI là phân giác KFQ
.

·
·
·
·
Ta có KFQ
= KOQ
⇒ KFI
= FOI
⇒ tứ giác KFOI nội tiếp
·
⇒ IKO
= 900 ⇒ IK là tiếp tuyến đường tròn tâm O

Vậy MN đi qua điểm cố định I (với IK là tiếp tuyến của đường tròn tâm O)

Bài V: (0,5 điểm)
M=

ab
(a + b) 2 − (a 2 + b 2 ) (a + b) 2 − 4 (a + b − 2)(a + b + 2) a + b − 2
=
=
=
=
a+b+2
2(a + b + 2)
2(a + b + 2)
2(a + b + 2)
2

Ta có (a + b)2 ≤ 2( a 2 + b 2 ) ⇒ a + b ≤ 2(a 2 + b 2 )
Vậy M ≤

2(a 2 + b 2 ) − 2
2.4 − 2
=
= 2 −1
2
2

13


Khi a = b = 2 thì M = 2 − 1 Vậy giá trị lớn nhất của M là 2 − 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ
HÀ NỘI
-------------------------ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2016 - 2017
Mụn thi : TOÁN
Ngày thi: 08 thỏng 06 năm 2016
Thũi gian làm bài: 120 phỳt

Bài I (2,0 điểm)
Cho biểu thức
và
1) Tính giá trị của biểu thức

với
khi

2) Chứng minh
3) Tìm để biểu thức
có giá trị là số nguyên.
Bài II ( 2,0 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720 . Nếu tăng chiều dài thêm 10m và giảm
chiều rộng 6m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.
Bài III ( 2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình
2) Trong mặt phẳng tọa độ
=

cho đường thẳng

và parabol

.

a) Chứng minh
luôn cắt
tại hai điểm phân biệt với mọi .
b) Gọi
là hoành độ giao điểm của
và
.Tìm
để
.
Bài IV (3,5 điểm)
Cho đường tròn
và một điểm
nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến
với đường
tròn
là tiếp điểm) và đường kính
. Trên đoạn
lấy điểm
khác
khác
. Đường thẳng
cắt
tại hai điểm

và
nằm giữa
và
. Gọi
là trung
điểm
1) Chứng minh bốn điểm
cùng nằm trên một đường tròn.
2) Chứng minh

14


3) Đường thẳng đi qua
song song với
cắt
tại . Chứng minh
.
4) Tia
cắt
tại điểm , tia
cắt
tại điểm . Chứng minh tứ giác
là
hình chữ nhật.
Bài V ( 0,5 điểm)
Với các số thực
thỏa mãn
, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức

………………………..Hết………………………..

15


16


HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài

Phần
1)

Nội dung
Khi x = 9 thì:
9 + 2 3+ 2
5
A=
=
=−
2
9 −5 3−5
3
20 − 2 x 3
+
=
x − 25
x +5

B=
2)

=

3 x − 15 + 20 − 2 x

(

x +5

)(

x −5

)

=

(

)

x − 5 + 20 − 2 x

(

x +5

)(

x −5

x +5

(

x +5

)(

x −5

)

)

=

1
x −5

1
với x ≥ 0, x ≠ 25 .
x −5
Với x ≥ 0, x ≠ 25 , ta có:
A = B. x − 4
Vậy B =

Bài I

(2,0đ)

⇔

x +2
=
x −5

1
×x − 4
x −5

⇔ x +2= x−4
⇔ x +2=
3)

⇔1=

(

x −2

x +2

( do

)(

)
x + 2 > 0)

x −2

 x − 2 =1
⇔
 x − 2 = −1
x = 9
⇔
(thỏa mãn điều kiện)
x = 1

Bài II
(2,0đ)

Bài III

1)

Vậy x ∈ { 9;1} là giá trị cần tìm.
3
Đổi 36 phút = giờ
5
Gọi vận tốc của xe máy là x (km/h) (x > 0)
⇒ Vận tốc của ô tô là x + 10 (km/h).
120
Thời gian xe máy đi từ A đến B là
(giờ)
x
120
Thời gian ô tô đi từ A đến B là
(giờ)

x + 10
120 120
3
−
=
Ta có phương trình:
x
x + 10 5
Giải phương trình được: x1 = 40 (thỏa mãn điều kiện)
x2 = – 50 (không thỏa mãn điều kiện)
Vậy vận tốc của xe máy là 40 km/h,
vận tốc của ô tô là 40 + 10 = 50 (km/h).
ĐK: x ≥ 0, y ≥ 1

17


(2,0đ)

2a)

2b)

 x + 2 y − 1 = 5
 x + 2 y − 1 = 5
9 x = 9
⇔
⇔

 x + 2 y − 1 = 5

 4 x − y − 1 = 2
8 x − 2 y − 1 = 4

 x = 1
x = 1
 x =1
⇔
⇔
⇔
(thỏa mãn điều kiện)
 y −1 = 2
y = 5
1 + 2 y − 1 = 5


Vậy nghiệm của hệ phương trình là (1; 5).
Thay x = 0, y = 5 vào phương trình y = mx + 5, ta được:
5 = m.0 + 5 ⇔ 5 = 5 (đúng với mọi m)
Vậy đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A(0; 5)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
x 2 = mx + 5 ⇔ x 2 − mx − 5 = 0 (*)
Vì ac = – 5 < 0 nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm trái dấu
⇒ (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2,
với x1 < 0 < x 2 (do x1 < x 2 )
Mà x1 > x 2 nên:
x1 + x 2 < 0 ⇔ m < 0 (theo hệ thức Vi-ét)
Vậy m < 0 là giá trị cần tìm.

Bài IV
(3,5đ)

1)

2)

3)

µ 1, C
µ 1 là các góc nội tiếp chắn lần lượt các cung nhỏ MA, MB
Ta có N
¼ = MB
¼ (GT)
Mà MA
µ1 =C
µ1
⇒N
⇒ Bốn điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn (theo bài toán cung
chứa góc)
µ 1, M
µ 1 là các góc nội tiếp chắn lần lượt các cung nhỏ NC, NB
Ta có B
» = NB
» (GT)
Mà NC
µ1 =M
µ1
⇒B
·
µ1 =M
µ1

∆ NBK và ∆ NMB có: BNM
chung, B
⇒ ∆ NBK
∆ NMB (g.g)
NB NK
⇒
=
⇒ NB2 = NK.NM
NM NB
Xét đường tròn đi qua bốn điểm CNKI có:
µ 2 =K
µ 1 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CI)
N
µ 2 = ABC
·
Mà N
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của (O))

18


µ 1 = ABC
·
⇒K
Do hai góc ở vị trí đồng vị nên KI // BH
Chứng minh tương tự ta được HI // BK
Tứ giác BHIK có các cạnh đối song song nên là hình bình hành.
Cách 1:
µ2 =C
µ 1 , hay CM là tia phân giác của góc ACB

¼ = MB
¼ nên C
Vì MA
Tương tự, AN là tia phân giác của góc BAC
∆ ABC có hai đường phân giác AN và CM cắt nhau tại I
⇒ BI là đường phân giác thứ ba của ∆ ABC
Hình bình hành BHIK có BI là đường phân giác của góc B nên là hình
thoi.
Cách 2:
µ 1, K
µ 2 là các góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên:
Vì H
¼
»
¼
»
µ 1 = sđ MA + sđ NB , K
µ 2 = sđ MB + sđ NC
H
2
2
µ1=K
µ 2 do MA
¼ = MB
¼ , NB
» =N
»C
⇒H

(

)

⇒ ∆ BHK cân tại B ⇒ BH = BK
Hình bình hành BHIK có BH = BK nên là hình thoi.
Nhận xét: Phần này có nhiều cách chứng minh.
4)

(P) có góc M1 là góc nội tiếp, góc P1 là góc ở tâm cùng chắn cung BK
µ 1 = 1P
$1
⇒M
2
∆
Mà PBK cân tại P (vì PB = PK)
1800 − P$1
1
·
µ1
(1)
⇒ PBK
=
= 900 − P$1 = 900 − M
2
2
(O) có đường kính DN đi qua N là điểm chính giữa của cung BC
⇒ DN ⊥ BC và DN đi qua trung điểm của BC
⇒ ∆ DBC cân tại D
·
1800 − BDC

1·
·
⇒ DBC =
= 900 − BDC
2
2
µ 1 = 1 BDC
·
Trong (O), dễ thấy M
2

19


·
µ1
(2)
⇒ DBC
= 900 − M
·
·
Từ (1) và (2) ⇒ PBK
= DBC
⇒ ba điểm D, P, B thẳng hàng
·
µ 1 ) và hai góc ở vị trí đồng vị
Lại có P$1 = BDC
( = 2M
⇒ PK // DC
Chứng minh tương tự được ba điểm D, Q, C thẳng hàng và QK // DB

Do đó, PK // DQ và QK // DP
⇒ Tứ giác DPKQ là hình bình hành
⇒ E là trung điểm của đường chéo PQ thì E cũng là trung điểm của
đường chéo DK
Vậy ba điểm D, E, K thẳng hàng.

Bài V
(0,5đ)

Có thể chứng minh ba điểm D, P, B thẳng hàng theo các cách sau:
Cách 2:
µ 1 = 1 P$1 ⇒ PBK
·
µ 1 = 900
+M
Từ ∆ PBK cân và M
2
·
·
Từ DN ⊥ BC ⇒ DBK + BDN
= 900
·
µ 1 = 900 (do BDN
·
µ 1)
⇒ DBK
+M
=M
·
·

⇒ PBK
= DBK
⇒ ba điểm D, P, B thẳng hàng.
Cách 3:
µ 1 = 1 sđ BK
»
(P) có góc M1 là góc nội tiếp nên M
2
µ1=B
µ 1 nên B
µ 1 = 1 sđ BK
»
Mà M
2
Suy ra BN là tiếp tuyến tại B của (P)
⇒ BN ⊥ PB
·
Lại có DBN
= 900 (góc nội tiếp chắn nửa (O))
⇒ BN ⊥ DB
Do đó ba điểm D, P, B thẳng hàng.
Ta có: (a − b)2 ≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 ≥ 2ab
Tương tự: b 2 + c2 ≥ 2bc ; c 2 + a 2 ≥ 2ca
Suy ra: 2(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 2(ab + bc + ca) ⇔ P ≥ 9
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c ⇔ ab = bc = ca = 3 ⇔ a = b = c = 3
Vậy min P = 9 ⇔ a = b = c = 3
Dựa theo lời giải của thầy Bùi Văn Tuân (Hà Nội)
Vì a ≥ 1, b ≥ 1 nên:
(a − 1)(b − 1) ≥ 0 ⇔ ab − a − b + 1 ≥ 0 ⇔ a + b ≤ ab + 1
Tương tự: b + c ≤ bc + 1 ; c + a ≤ ca + 1

Do đó:

20


2(a + b + c) ≤ ab + bc + ca + 3
⇔ 2(a + b + c) ≤ 12
⇔ a+b+c≤6
⇔ (a + b + c) 2 ≤ 36 (do a + b + c > 0)
⇔ a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca) ≤ 36
⇔ P + 2.9 ≤ 36
⇔ P ≤ 18
Dấu “=” xảy ra ⇔ trong ba số a, b, c có ít nhất hai số bằng 1
Nhưng ba số a, b, c không thể đồng thời bằng 1 vì ab + bc + ca = 9
⇒ Có hai số bằng 1, do đó số còn lại bằng 4.
Vậy max P = 18 ⇔ (a, b,c) ∈ { ( 4;1;1) , ( 1;4;1) , ( 1;1; 4 ) }

21