Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11(có đáp án)

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
SỞ GD&ĐT THANH HÓA

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ

NĂM HỌC 2015-2016
MÔN: TOÁN –KHỐI 11
(Thời gian làm bài: 180 phút)

Câu I (4,0 điểm). Giải các phương trình sau:
1. cos2x  cos x  1  0
2. 2 sin 2 x  sin 2 x  cos x  sin x  0
Câu II (4,0 điểm).
1. Tìm hệ số của số hạng chứa x 2010 trong khai triển của nhị thức Niu-tơn:

2 
x  2 
x 


2.

2016

; x  0

Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 11A, 3 học sinh lớp 11B và 2 học

sinh lớp 11C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng năm
học. Tính xác suất sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp
11A.
Câu III (4,0 điểm).
x 2 x  1  3 3x  2  2
x 1
x2 1

1. Tính giới hạn sau: A  lim

2. Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 5 chữ số
khác nhau, trong đó luôn có mặt chữ số 6.
Câu IV (4,0 điểm.)
Cho hình chóp SABC có SC   ABC  và tam giác ABC vuông tại B với AB  a; AC  a 3 ;
H, K lần lượt là hình chiếu của C lên SA, SB biết CHK   với sin  

13
.
19

1. Chứng minh rằng CK  ( SAB), SA  (CHK ) .
2. Tính độ dài SC theo a.

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

Trang | 1


CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

Câu V (4,0 điểm).

 x  y  x  y  3  (x  y)2  2 x  y

(x, y  R) .
1. Giải hệ phương trình: 
2
x

x

y

2

x

y

3

2. Cho ba số dương a, b, c thay đổi và thỏa mãn a  b  c  2 . Tìm giá trị lớn nhất của của
biểu thức :

S

ab
bc
ca



ab  2c
bc  2a
ca  2b

------------------------------Hết------------------------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

Trang | 2


CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
ĐÁP ÁN ĐỀ HSG TOÁN 11 NĂM HỌC 2015-2016
Câu

Nội dung

Điểm

2

2

cos2x  cos x  1  0  2cos x  1  cos x  1  0  2cos x  cos x  0

I.1

 cos x  0


2
2
 k 2 , x  
 k 2 (k  Z )

1  x   k , x 
 cos x  
2
3
3

2

2
2
 k 2 , x  
 k 2 (k  Z )
2
3
3
2 sin 2 x  sin 2 x  cos x  sin x  0  sin x  cos x 2 sin x  1  0
 sin x  cos x  0 hoặc 2 sin x  1  0


x   k 2

1

6

 tan x  1 hoặc sin x   x   k hoặc 
5
2
4
 x    k 2

6

Đáp số: x 

I.2



Xét khai triển:  x 
II.1


Số hạng chứa x 2010

2

x2 



2,0

 k , x 

2016

k

2016
 2 
k
x 2016 3 k
 Ck2016 x 2016 k  x 2    2 k C2016
k 0
k 0
 
ứng với 2016  3k  2010  k  2 là 22 C22016 x 2010 có hệ số là

2016

2,0



2,0

2
2
22 C2016
 4C2016
.

Gọi không gian mẫu của phép chọn ngẫu nhiên là 
Số phần tử của không gian mẫu là: C95  126

Gọi A là biến cố “Chọn 5 học sinh từ đội văn nghệ sao cho có học sinh ở cả ba
lớp và có ít nhất 2 học sinh lớp 11A”.
Chỉ có 3 khả năng xảy ra thuận lợi cho biến cố A là :
II.2

1,0

+ 2 học sinh lớp 11A, 1 học sinh lớp 11B, 2 học sinh lớp 11C
+ 2 học sinh lớp 11A, 1 học sinh lớp 11B, 2 học sinh lớp 11C
+ 3 học sinh lớp 11A, 1 học sinh lớp 11B, 1 học sinh lớp 11C
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: C42 .C31.C22  C42 .C32 .C21  C43 .C31 .C21  78 .
Xác suất cần tìm là P 

78 13
 .
126 21

1,0

x 2 x  1  3 3x  2  2
x 2 x  1  1  3 3x  2  1

lim
x 1
x 1
x2 1
x2 1
 x 2 x  1 1 3 3x  2  1
 lim 



2
x 1
x2  1 
 x 1

Ta có lim

III.1

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

Trang | 3


CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017




2 x3  x 2  1
3x  3
 lim 


2
x 1
2



2
3
3
 x 1 x 2x 1 1
x 1
3x  2  3x  2  1 
 
 






 

2,0







2 x2  x  1
3
 lim 



x 1
  x  1 x 2 x  1  1  x  1  3  3x  2  2  3 3 x  2  1 

 








4 3 3
 
4 6 2

Số cần lập có dạng a1a 2a 2 a 4a 5 , trong đó luôn có mặt chữ số 6.
Xảy ra các trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu a1  6 . Khi đó, ta chọn 4 chữ số trong 6 chữ số
III.2

0;1;2;3;4;5 cho 4 vị trí còn lại  trường hợp này có A 64 số.
Trường hợp 2: Nếu a1  6 , có 4 cách chọn vị trí của chữ số 6. Khi đó, có 5
cách chọn a1  1;2;3;4;5 . Sau khi chọn a1 và vị trí cho chữ số 6, còn lại 3

2,0

vị trí được chọn từ 4 chữ số còn lại, nên số cách chọn là A 35  trường hợp
này có 4.5. A 35 số.
Vậy số các số thoả mãn yêu cầu là A 64 + 4.5. A 35 =1560.

Vì H, K là hình chiếu của C lên SA, SB.
Do đó :

S

CK  ( SAB), SA  (CHK ) .

IV.1

H

2,0

x

Suy ra CHK vuông tại K và SA  KH .

K
C

A
B

Đặt SC  x  0 . Trong tam giác vuông SAC ta có

IV.2

1
1
1

3a 2 x 2
2



CH

.
CH 2 CA 2 CS 2
3a 2  x 2

Tương tự, trong tam giác vuông SBC ta có CK 2 

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

2,0
2a 2 x 2
.
2a 2  x 2

Trang | 4


CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
Ta có sin  

13
CK 2 13
2(3a 2  x 2 ) 13





 x  6a , vì x > 0. Vậy
19
CH 2 19
3(2a 2  x 2 ) 19

SC  6a

 x  y  x  y  3  (x  y)2  2 x  y (1)

(x, y  R) .
Giải hệ: 
2
x

x

y

2

x

y

3
(2)


x  y  0
(*)
x  y  0

Điều kiện: 

Đặt t  x  y  0 , từ (1) ta có: t 

t  3  t2  2 t

 t  t2  t  3  2 t  0
 t(1  t) 


 0  (1  t)  t 
t 3 2 t

3(1  t)

3

 t  1 (Vì t 


0
t 3 2 t 
3

 0, t  0 ).

2,0

t 3 2 t
V.1
Suy ra x  y  1  y  1  x (3).Thay (3) vào (2) ta có:

x2  1

2

 ( x  3  2)  ( 2x  1  1)  0 

x 2  3  2x  1  3

x2  3  2



2x  2

0

2x  1  1



x 1
2
 (x  1) 


  0
2
2x  1  1 
 x 3 2

 x  1 (Vì

x 1
x2  3  2

2



2x  1  1

 0, x 

1
).
2

Suy ra (x = 1; y = 0), thoả mãn (*). Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất
( x = 1; y = 0).

V.2

Ta có

ab
ab


ab  2c
ab   a  b  c  c

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

ab
1 a
b 
 

 a  c  b  c  2  a  c b  c 

2,0

Trang | 5


CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
a
b

ac bc
bc
1 b
c 

ca
1 c
a 
 

 

Tương tự ta cũng có
,

bc  2a 2  b  a c  a  ca  2b 2  c  b a  b 
1  ab bc ca  3
Cộng các vế ta được S  


 .
2 ab bc ca  2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

Trang | 6


CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU
-

Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên
môn cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.
Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt
giải cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.
Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh
kiến thức và tối ưu kết quả học tập.

CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ
-

Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám
sát, hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.
Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung
thời gian tốt nhất để học.
Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):

+ Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần
lý thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo
viên cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các
bạn cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.
+ Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học
này Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài
các em thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở
rộng thêm các dạng toán mới.

HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM
-

Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy
chọn cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là

chúng bắt đầu học Online trực tiếp như ở lớp.
Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ
động thời gian học tập của mình.
Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời
gian ngắn nhất.
Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề
nhanh hơn - hiệu quả hơn.
Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán
trên toàn quốc.
Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá
trình học.

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

Trang | 7