Bài toán về chia hình vuông

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THÀNH AN

BÀI TOÁN VỀ CHIA HÌNH VUÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


i

Mục lục
Lời cảm ơn

ii

Mở đầu

1

1 Ghép hình chữ nhật từ các hình vuông

3

1.1
1.2

Ghép hình chữ nhật từ các hình vuông . . . . . . . . . . .

Đồ thị và mạch điện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
6

2 Định lý cơ bản về chia hình chữ nhật thành các hình vuông
không bằng nhau
24
2.1
2.2

Định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài toán chia hình chữ nhật và dãy Fibonacci . . . . . . .

24
41

Kết luận

45

Tài liệu tham khảo

46


ii

Lời cảm ơn
Trước tiên, tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến tất cả quý thầy cô đã

giảng dạy trong chương trình Cao học khóa 2013-2015 lớp K7Q, chuyên
ngành Phương pháp toán sơ cấp, sự quan tâm chỉ đạo, tạo điều kiện của
Ban giám hiệu, các phòng, khoa chuyên môn của trường Đại học Khoa
học- Đại học Thái Nguyên, các kiến thức được thầy cô giảng dạy làm cơ
sở cho tác giả thực hiện tốt luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn TS.Nguyễn Văn Minh, đã tận tình
hướng dẫn cho tác giả trong thời gian thực hiện luận văn. Mặc dù, trong
quá trình thực hiện luận văn, có giai đoạn không được thuận lợi mang
yếu tố chủ quan nhưng thầy đã rất cố gắng hướng dẫn, chỉ bảo, cho tác
giả nhiều kiến thức cũng như kinh nghiệm trong thời gian thực hiện đề
tài. Sau cùng, tác giả xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu trường
THPT Hoàng Hoa Thám- Đông Triều- Quảng Ninh, các anh chị em đồng
nghiệp và gia đình, đã luôn tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá
trình học tập cũng như thực hiện luận văn.
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa
học - Đại học Thái Nguyên.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Phạm Thành An
Học viên Cao học Toán K7Q
Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên


1

Mở đầu
Luận văn trình bày bài toán nổi tiếng: "Chia hình vuông K thành một
số hình vuông nhỏ hơn". Vấn đề trở thành dễ dàng nếu không đòi hỏi
cách chia các hình vuông con phải khác nhau từng đôi (hình 1).
• Nếu yêu cầu tất cả các hình vuông con phải bằng nhau thì chia được
như hình 1a,b, nghĩa là số hình vuông phải là chính phương.

• Nếu không yêu cầu tất cả các hình vuông bằng nhau, thì số hình
vuông có thể là 6 (hình 1c) hoặc 7 (hình 1d).

Hình 1:

Tuy nhiên nếu yêu cầu “các hình vuông khác nhau từng đôi một” thì
vấn đề sẽ không đơn giản. Một điều thú vị, từ bài toán chia hình vuông là
biến thành một mạch điện tương đương, bằng cách xem xét các ô vuông
như điện trở nối với các cạnh trên cùng và cạnh dưới cùng của hình vuông
lớn, sau đó áp dụng định luật về mạch của định luật Kirchhoff mà sẽ đề
cập trong luận văn này để giải quyết bài toán trên.


2

Luận văn đề cập đến hai khái niệm Đồ thị và Mạch điện, dựa vào lý
thuyết đồ thị để giải bài toán chia hình chữ nhật thành các hình vuông
không bằng nhau, đặc biệt là Định lý Euler "Số đỉnh trừ số cạnh cộng số
diện trong mọi đồ thị luôn bằng 1", khi đó ta thấy một song ánh hiếm hoi
giữa Hình học và Điện học. Hơn nữa, việc chứng minh Định lý cơ bản về
chia hình chữ nhật thành các hình vuông không bằng nhau thì mọi hình
vuông đều chia được thành các hình vuông nhỏ hơn đôi một khác nhau.
Bài toán về ghép các hình vuông để được hình chữ nhật cho ta thấy sự
liên hệ của bài toán này với dãy số Fibonacci. Cấu trúc luận văn:
Chương 1: Ghép hình chữ nhật từ các hình vuông: Giải quyết
bài toán về chia hình chữ nhật thành các hình vuông khác nhau từng đôi
và ghép hình chữ nhật từ các hình vuông khác nhau từng đôi.
Chương 2: Định lý cơ bản về chia hình chữ nhật thành các
hình vuông không bằng nhau: Phát biểu và chứng minh lại Định lý
cơ bản về điều kiện cần và đủ của phép chia hình chữ nhật thành các

hình vuông không bằng nhau, tìm được một hệ thức liên hệ giữa bài toán
chia một hình chữ nhật thành các hình vuông với dãy Fibonacci đã biết.
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015
Phạm Thành An
Học viên Cao học Toán K7Q
Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
Email:


3

Chương 1

Ghép hình chữ nhật từ các hình
vuông
1.1

Ghép hình chữ nhật từ các hình vuông

Trong mục này ta xét bài toán sau:
Bài toán: Chia một hình chữ nhật thành n hình vuông con khác nhau
từng đôi.
Liên quan đến bài toán này là bài toán : "Ghép n hình vuông khác nhau
từng đôi thành một hình chữ nhật".
Người ta đã chứng minh được rằng, không thể ghép n hình vuông khác
nhau từng đôi để được một hình chữ nhật với n ≤ 8 (chi tiết xem [5]).
Với n = 9, có thể ghép 9 hình vuông khác nhau từng đôi thành một hình
chữ nhật được minh họa trên hình (1.1, 1.2, 1.3, 1.4).

Hình 1.1:


4

Hình 1.2:

Hình 1.3:

Hình 1.4:


5

Dễ thấy, nếu ta có thể ghép n hình vuông khác nhau từng đôi để được
một hình chữ nhật thì cũng có thể ghép n + 1 hình vuông khác nhau từng
đôi để được một hình chữ nhật. Thật vậy, nếu hình chữ nhật P được ghép
từ n hình vuông khác nhau từng đôi, bằng cách ghép thêm vào P một
hình vuông có cạnh bằng cạnh lớn của P , ta sẽ được một hình chữ nhật
P1 . Hình vuông thứ n + 1 có cạnh lớn hơn tất cả các cạnh của hình vuông
hợp thành P . Như vậy, hình vuông P1 được ghép từ n + 1 hình vuông
khác nhau từng đôi.
Một số nhà toán học đã xét bài toán: Tìm số n bé nhất sao cho có thể
chia một hình vuông có kích thước cho trước thành n hình vuông con
khác nhau từng đôi. Người đầu tiên xét bài toán này là P Sprag vào năm
1939 [6]. Trên hình 1.5 chỉ ra một cách chia hình vuông cạnh 175 thành
24 hình vuông con khác nhau từng đôi với các cạnh như sau:

Hình 1.5:

1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 14, 16, 18, 20, 29, 30
31, 33, 35, 38, 39, 43, 51, 55, 56, 64, 81


6

Ví dụ này được chỉ ra bởi Willcocks T.H.A.[8]. Cho đến nay, 24 là số ít
nhất các hình vuông khác nhau từng đôi mà có thể ghép thành một hình
vuông có cạnh 175. Ví dụ cho sự phân hoạch hình chữ nhật có kích thước
422 × 593 thành các hình vuông con khác nhau từng đôi (1.6):

Hình 1.6:

Các kết quả đã kể trên về bài toán chia hình chữ nhật thành các hình
vuông con khác nhau từng đôi liên quan đến hai khái niệm quan trọng là
khái niệm đồ thị và khái niệm mạch điện.
1.2

Đồ thị và mạch điện

Các phương pháp đã sử dụng để nhận được đa số các kết quả trong 1.1
liên quan đến cơ sở của lý thuyết đồ thị và phương pháp biểu diễn các
mạng điện phức tạp. Đồ thị trên mặt phẳng là một hệ thống các đường,
ví dụ các đoạn thẳng, nối các điểm của một hệ điểm đã cho nào đó. Các
điểm này gọi là các đỉnh của đồ thị, còn các đường (các đoạn thẳng) nối
các điểm này gọi là các cạnh của đồ thị. Phần mặt phẳng giới hạn bởi
các đường gấp khúc khép kín (nói chung, là các đường cong) lập từ các
cạnh của đồ thị, tương tự như miền I hoặc miền II của hình 1.7a gọi là
các diện của đồ thị.

7

Hình 1.7:

Định lý sau đây kết quả quan trọng của lý thuyết đồ thị:
Định lý 1.1 (Định lý Euler). [5] Nếu đồ thị có B đỉnh, P cạnh và G diện
thì các số nguyên dương B, P, G liên hệ với nhau bởi hệ thức:
B−P +G=1

(E)

Chẳng hạn, đối với đồ thị trên hình 1.7a ta có : B = 6, P = 10, G = 5
và 6 − 10 + 5 = 1. Cuối cùng, cần nói thêm rằng đồ thị mà cạnh của nó
kèm theo các mũi tên chỉ hướng đi của các cạnh này (ví dụ, xem hình
1.7b) được gọi là các đồ thị định hướng.
Giả sử ta có một phân hoạch nào đó một hình chữ nhật hay một hình
vuông thành các hình vuông nhỏ hơn; để xác định ta sẽ nói về phân hoạch
hình chữ nhật với các cạnh 32 và 33 thành 9 hình vuông khác nhau từng
đôi biểu diễn trên hình 1.2, mặc dù ở đây đang nói về phân hoạch bất
kỳ một hình chữ nhật thành các hình vuông con không nhất thiết phải
khác nhau. Như thường lệ, ta sẽ xem các cạnh của hình chữ nhật là nằm
ngang hoặc thẳng đứng; khi đó các cạnh của tất cả các hình vuông con
cũng sẽ nằm ngang hoặc thẳng đứng. Ta xét tất cả các đoạn nằm ngang
trên hình vẽ của ta, tức là các đoạn A1 B1 , A2 B2 , A3 B3 , A4 B4 , A5 B5 , A6 B6
(hình 1.8)


8

Hình 1.8:

Mỗi đoạn này được đặt tương ứng với một điểm xác định (có thể xem
điểm này trùng với trung điểm của đoạn tương ứng, mặc dù điều này
không bắt buộc). Ký hiệu các điểm này qua H1 , H2 ,...và xem chúng là
đỉnh của một đồ thị nào đó. Nếu hai điểm tương ứng với các đoạn nằm
ngang chứa các cạnh của cùng một hình vuông của phân hoạch thì ta
nối các điểm này bằng một đoạn thẳng (hay là bằng một cung của đường
cong nào đó). Như vậy, ta nhận được đồ thị 1.9, tương ứng với phân hoạch
hình chữ nhật thành các hình vuông; rõ ràng, các cạnh của đồ thị này
tương ứng với các hình vuông của phân hoạch, còn các đỉnh tương ứng
với các đoạn nằm ngang xác định bởi phân hoạch của ta.
Tiếp theo, sẽ có lợi cho ta khi làm rõ ý nghĩa của các diện của đồ thị
nhận được. Chẳng hạn, xét diện H2 H3 H5 H4 (xem hình 1.10). Diện này
tương ứng với một dãy 4 hình vuông của phân hoạch. Các đỉnh cao nhất
và thấp nhất H2 , H5 của diện được xét tương ứng với các đường thẳng
nằm ngang, dọc theo chúng là các hình vuông với các cạnh 10 và 4 (được
biểu diễn trên đồ thị bởi các cạnh H2 H4 và H2 H3 ) và các hình vuông với
các cạnh 1 và 7 (biểu diễn trên đồ thị bởi các cạnh H4 H5 và H3 H5 ); đồng
thời hình vuông với cạnh 1 có cạnh nằm ngang chung với hình vuông cạnh
10, hình vuông với cạnh 7 có cạnh nằm ngang chung với cạnh 4. Như vậy,
chúng ta đi đến một tổ hợp các hình vuông biểu diễn trên hình 1.10, từ


9

Hình 1.9:

hình này rõ ràng rằng tất cả các hình vuông được xét đều kề với đoạn
thẳng đứng CD.

Hình 1.10:

Ta quay trở lại trường hợp tổng quát. Giả sử H1 H2 H3 . . . Hl là một
diện tùy ý của đồ thị, tương ứng với một phân hoạch nào đó của một
hình chữ nhật thành các hình vuông, tạm thời chưa bắt buộc phải phân
biệt từng cặp (hình 1.11. Ta giả sử rằng H1 và Hk (trong đó k ≤ l) là
các đỉnh cao nhất và thấp nhất trong các đỉnh của các diện này, như vậy
các điểm H1 và Hk tương ứng với các đoạn nằm ngang cao nhất và thấp
nhất trong các đoạn tương ứng với các đỉnh H1 , H2 , H3 , . . . Hl . Các cạnh
của đồ thị H1 H2 và H1 Hl , xuất phát từ đỉnh H1 tương ứng với hai hình
vuông kề nhau, các đáy trên của chúng thuộc cùng một đường thẳng AB
(biểu diễn trên đồ thị bởi điểm H1 ); hai hình vuông này có cạnh chung
thẳng đứng CD (hình 1.11a)).


10

Nếu các hình vuông được xét K1 , K1 bằng nhau (hình 1.12a) thì các đáy

Hình 1.11:

dưới của chúng cũng phải thuộc cùng một đường thẳng nằm ngang A’B’;
đồng thời, các cạnh H1 H2 và H1 Hl phải có hai đỉnh chung, nghĩa là các
điểm H2 , Hl cần phải trùng nhau (hình 1.12b); cả hai điểm này tương ứng
với đường thẳng A’B’); do đó, trong trường hợp này diện được xét của
đồ thị suy biến thành “nhị giác” H1 H2 , có thể đặt tương ứng nó với cạnh
thẳng đứng CD. Bây giờ giả sử hình vuông K1 tương ứng với cạnh H1 Hl
lớn hơn hình vuông K1 (tương ứng với cạnh H1 H2 ) (hình 1.11). Trong
trường hợp kề với hình vuông K1 từ phía dưới còn một hình vuông nữa

nhận đường thẳng CD làm cạnh thẳng đứng dễ hiểu rằng hình vuông K2
này được biểu diễn trên đồ thị bởi cạnh H2 H3 .
Nếu các hình vuông K2 và K1 có cạnh nằm ngang chung A’B’(hình
1.12c) thì các mút của các cạnh H2 H3 và H1 Hl của đồ thị phải trùng nhau
(hình 1.12d); trong trường hợp này các đỉnh H3 ≡ Hl tương ứng với đoạn
nằm ngang A’B’); như vậy, khi xét diện của đồ thị là tam giác H1 H2 H3 ,
3 cạnh của nó tương ứng với 3 hình vuông kề với cạnh thẳng đứng CD.
Nếu chẳng hạn, tổng tất cả các cạnh của các hình vuông K1 , K2 lớn hơn
các cạnh của hình vuông K1 (hình 1.11) thì tiếp xúc với hình vuông K1


11

Hình 1.12:

từ phía dưới còn có một hình vuông K2 cũng có cạnh nằm trên CD; trên
đồ thị, hình vuông này tương ứng với cạnh Hl Hl−1 (hình 1.11b).
Tiếp tục sự phân tích này, chúng ta khẳng định rằng trong mọi trường
hợp đường gấp khúc H1 H2 H3 . . . và H1 Hl Hl−1 gặp nhau tại điểm Hk ,
tương ứng với cạnh nằm ngang A’B’ đi qua mút dưới D của đoạn thẳng
đứng CD, đồng thời đường gấp khúc H1 H2 H3 . . . Hk và H1 Hl Hl−1 . . . Hk
sẽ tương ứng với một dãy các hình vuông kề về bên trái hoặc bên phải,
với đoạn thẳng đứng CD. Như vậy, ta kết luận rằng, mỗi diện của đồ thị
tương ứng với một đoạn thẳng đứng nào đó, trong số các đoạn thẳng sinh
ra phân hoạch một hình chữ nhật thành các hình vuông. Ngược lại, cũng
rõ ràng là mỗi đoạn thẳng đứng CD (khác với các cạnh bên của hình chữ
nhật được phân hoạch) tương ứng với một diện xác định của đồ thị giới
hạn bởi các cạnh biểu diễn dãy các hình vuông kề về bên trái hoặc bên
phải với cạnh CD.
Tiếp theo ta sẽ luôn vẽ đồ thị sao cho từ hai điểm H và H’ tương ứng

với các cạnh nằm ngang AB và A’B’, điểm nằm cao hơn tương ứng với
đoạn nằm cao hơn; ngoài ra, trên các cạnh của đồ thị ta quy ước vẽ các
mũi tên chỉ hướng từ trên xuống dưới. Như vậy, ta sẽ luôn xem đồ thị
được xét là định hướng. Tiếp theo, bên cạnh mỗi cạnh của đồ thị sẽ đặt
các số bằng độ dài cạnh của hình vuông tương ứng với cạnh này. Ví dụ,


12

trên hình 1.13 là đồ thị ở hình 1.9) khôi phục lại, tương ứng với phân
hoạch hình chữ nhật thành các hình vuông biểu diễn ở hình 1.8), tuy
nhiên, bây giờ đồ thị đã được định hướng, các cạnh của nó đã gắn trọng
số.

Hình 1.13:

Dễ dàng thiết lập các liên hệ liên kết các cạnh của các đồ thị khả dĩ
tương ứng với các phân hoạch một hình chữ nhật thành các hình vuông.
Trước hết, rõ ràng rằng các cạnh đi tới một đỉnh xác định H tương ứng
với các hình vuông kề về phía trên với đoạn thẳng nằm ngang AB biểu
diễn bởi điểm H; các cạnh đi ra từ H tương ứng với các hình vuông kề
với đoạn AB từ phía dưới. [Như vậy, trên hình 1.13 các đoạn đi tới H3 là
H1 H3 , H2 H3 tương ứng với các hình vuông với cạnh 18 và 4 kề từ phía
trên với đoạn A3 B3 , các cạnh đi ra từ H3 là các cạnh H3 H5 , H3 H6 tương
ứng với các hình vuông có cạnh là 7 và 15 kề từ phía dưới với đoạn A3 B3 xem hình 1.8]. Bởi vì tổng độ dài các cạnh của các hình vuông kề với một
đoạn nằm ngang nào đó từ phía trên bằng tổng độ dài các cạnh của hình
vuông kề với đoạn này từ phía dưới thì đối với mỗi đỉnh của đồ thị, tổng
trọng số của các cạnh đi tới đỉnh này bằng tổng trọng số các cạnh đi ra
từ nó.
Hơn nữa, nếu Hi1 , Hi2 , . . . , Hil là một diện nào đó của đồ thị và Hi1 , Hik

(k ≤ l) là các đỉnh cao nhất và thấp nhất của diện này thì các đường
gấp khúc Hi1 , Hi2 , . . . , Hik và Hi1 , Hil Hil−1 , . . . , Hik tương ứng với dãy các
hình vuông kề từ phía trái và phía phải với cùng một đoạn thẳng đứng.


13

Nhưng rõ ràng rằng tổng độ dài các cạnh của các hình vuông kề về
bên trái với một đoạn thẳng đứng nào đó sẽ bằng tổng độ dài các cạnh
của hình vuông kề với cạnh đó về phía phải; bởi vậy, đối với mỗi diện
của đồ thị tổng trọng số của tất cả các cạnh lập thành đường gấp khúc
Hi1 , Hi2 , . . . , Hil bằng tổng trọng số tất cả các cạnh lập thành đường gấp
khúc Hi1 , Hil Hil−1 , . . . , Hik , trong đó H1 , H2 , . . . , Hik , . . . , Hil là các đỉnh
của diện đã cho, đồng thời Hil , Hik tương ứng là các đỉnh cao nhất và
thấp nhất của diện này (hình 1.14b). (Chẳng hạn, ở đồ thị biểu diễn trên
hình 1.13 các đỉnh cao nhất và thấp nhất của diện H2 H3 H5 H4 là các đỉnh
H2 , H5 , đồng thời tổng các trọng số của các đoạn lập thành các đường
gấp khúc này là 10+1 và 4+7).
Các điều kiện liên kết trọng số của các cạnh của đồ thị, có thể phát biểu
theo một cách khác. Ta sẽ gán cho cạnh H’H với hướng đi ngược với chiều
mũi tên (tức là hướng từ H’ tới H, trong đó H’ nằm dưới điểm H) trọng
lượng âm −p, bằng với trọng lượng cũng của cạnh đó (tức là cạnh HH’
với hướng “tự nhiên”) về trị tuyết đối nhưng với dấu ngược lại. Khi đó,
điều kiện đưa ra ở trên có thể phát biểu dưới dạng sau: Đối với mỗi đỉnh
H của đồ thị, tổng trọng số của các cạnh xuất phát từ H (không phân
biệt là đi tới H hoặc đi ra từ H) bằng 0; đối với mỗi diện Hi1 , Hi2 , ..., Hil
tổng trọng số của các cạnh giới hạn diện này bằng 0 (ta sẽ xem hướng
của các cạnh là hướng từ Hi1 tới Hi2 , từ Hi2 tới Hi3 ,...v.v...).
Quy tắc chỉ ra ở trên rất gần với cái gọi là định luật Kirchhoff cho phép
tính cường độ dòng điện đi qua phần này hoặc phần khác của một mạch

điện rẽ nhánh. Trong trường hợp phần được xét của mạch không có nguồn,
tổng cường độ dòng điện đi ra khỏi một đỉnh H nào đó của mạch rẽ nhánh
bằng tổng cường độ các dòng đi tới đỉnh này (hình 1.15a). Mặt khác, nếu
điện trở của tất cả các dây dẫn riêng biệt lập thành mạch phức tạp là như
nhau thì đối với hai đường bất kỳ HH1 H2 ...Hi H , HH1 H2 ...Hj H nối hai
đỉnh nào đó H, H’ của mạng, tổng cường độ dòng điện đi qua các đoạn
dây dẫn HH1 , H1 H2 , ..., Hi−1 Hi , Hi H bằng tổng cường độ dòng điện đi
qua các đoạn dây dẫn HH1 , H1 H2 , ..., Hj−1 Hj , Hj H (hình 1.15 b); nếu
điện trở của các đoạn dây bằng 1, thì trong cả hai trường hợp tổng cường


14

độ dòng điện bằng hiệu điện thế tại các điểm H và H’).

Hình 1.14:

Hình 1.15:

Như vậy, rõ ràng với định luật Kirchhoff, trùng khớp với các quy tắc
liên kết các trọng số của đồ thị tương ứng với phân hoạch một hình chữ
nhật (xem hình 1.14 và 1.15). Bởi vì, các quy tắc Kirchhoff là các mối
liên hệ duy nhất liên kết các dòng điện tại các phần riêng biệt của một
mạch điện rẽ nhánh, mỗi phân hoạch hình chữ nhật thành các hình vuông
(thậm chí không bắt buộc phải khác nhau từng đôi) tương ứng với một
mạch điện xác định. Ví dụ, trên hình 1.16 biểu diễn mạch điện tương ứng
với phân hoạch hình chữ nhật thành 9 hình vuông, được biểu diễn trên
hình 1.2 hay hình 1.8 (xem đồ thị biểu diễn trên hình 1.13). Trên hình
1.18 biểu diễn phân hoạch hình chữ nhật thành 10 hình vuông (xem hình

15

1.17) và mạch điện tương ứng với nó. Các ví dụ tương tự được đưa ra trên
hình 1.19 và 1.20, trong đó các hình vuông của phân hoạch không phải
đôi một khác nhau. Mối liên hệ chặt chẽ giữa bài toán về sự phân hoạch
hình chữ nhật thành các hình vuông và các mạch điện cho phép sử dụng
các phương pháp tính toán các mạch điện phức tạp đã được biết rõ để
tìm các cách phân hoạch mới một hình chữ nhật thành các hình vuông.

Hình 1.16:

Hình 1.17:


16

Hình 1.18:

Hình 1.19:

Hình 1.20:

Mạch điện tương ứng với một phân hoạch đã cho của một hình chữ nhật
thành các hình vuông có thể mô tả như sau. Tưởng tượng một khung dây
chữ nhật có dòng điện đi qua được phân thành các hình vuông bởi một


17

cách nào đó. Ta đồng nhất các điện cực với các đáy nằm ngang của khung
dây sao cho dòng đi qua khung dây là không đổi. Khi đó các đường dòng
có thể xem là thẳng đứng và các đường đẳng thế là các đường nằm ngang.
Tổng cường độ dòng điện trong mạch có thể xem bằng độ dài của một
cạnh nằm ngang của khung dây, còn hiệu điện thế giữa đáy trên và đáy
dưới bằng độ dài của một cạnh thẳng đứng (như vậy, trong trường hợp
phân hoạch một hình vuông thành các hình vuông nhỏ hơn cần phải xem
cường độ dòng điện bằng hiệu điện thế). Chúng ta còn xem rằng các hình
vuông riêng biệt tạo thành khung dây là tách rời khỏi nhau bởi các nhát
rạch dọc theo các cạnh thẳng đứng của phân hoạch; dọc theo các đường
nằm ngang chia cắt khung dây thành các phần chúng ta liên kết các hình
vuông riêng biệt bởi các dây dẫn có độ dẫn điện cực lớn (thực tế là vô
hạn) (hình 1.21); từ quan điểm các tính chất điện của lưới, điều kiện cuối
cùng có nghĩa là đoạn nằm ngang được đồng nhất với một điểm). Khi đó
tất cả các hình vuông mà khung dây được phân ra sẽ đóng vai trò các
dây dẫn có điện trở giống nhau (bởi vì dọc theo các dây dẫn như vậy, tỷ
U
giữa hiệu điện thế và cường độ dòng điện bằng đơn vị), và chúng ta
số
I
đi đến mạch điện mô tả ở trên tương ứng với phân hoạch của ta.

Hình 1.21:

Bây giờ ta quay lại với các đồ thị tương ứng với các phân hoạch hình
chữ nhật thành các hình vuông. Mỗi đồ thị như vậy lập thành một “bộ
khung” của mạch điện tương ứng (được hoàn toàn xác định bởi một đồ
thị định hướng với các trọng số đã cho của các cạnh). Trong đoạn này

18

chúng ta vẫn chưa sử dụng sự kiện các hình vuông của phân hoạch phải
khác nhau từng đôi; chúng ta cũng không loại trừ thậm chí cả các phân
hoạch chứa các hình vuông bằng nhau nằm kề nhau và có một cạnh chung
(xem hình 1.19 và 1.20). Tuy nhiên, nếu chỉ quan tâm đến vấn đề phân
hoạch một hình chữ nhật thành các hình vuông khác nhau từng đôi thì
ngay từ đầu có thể loại khỏi việc xét các đồ thị chứa các “nhị giác” như
biểu diễn trên 1.12b, vì chúng ta biết rằng các nhị giác như vậy tương ứng
với các cặp hình vuông bằng nhau, kề nhau theo một cạnh thẳng đứng
(xem hình 1.12 a) cũng như các hình 1.20a,b. Tương tự như vậy, chúng
ta có thể xem rằng đồ thị được xét không chứa các “đầu gối” Hp Hq Hr lập
bởi các cạnh Hp Hq và Hq Hr , từ đỉnh chung Hq của chúng không đi ra một
cạnh nào khác với Hq Hp và Hq Hr (hình 1.22a) vì một “đầu gối” như thế
rõ ràng tương ứng với hai hình vuông bằng nhau kề nhau theo một cạnh
nằm ngang (hình 1.22b) và hình 1.19a,b. Như vậy, tiếp theo chúng ta sẽ
xem rằng tại mỗi một trong B − 2 đỉnh (tức là các đỉnh khác với đỉnh
trên cùng và dưới cùng) của đồ thị hội tụ không ít hơn 3 cạnh, mỗi một
trong G diện được giới hạn bởi không ít hơn 3 cạnh.

Hình 1.22:

Rõ ràng từ đỉnh trên cùng của đồ thị có thể xuất phát một cạnh duy
nhất (xem hình 1.23a,b). Tuy nhiên, tình huống này tương ứng với trường
hợp khi chỉ có một hình vuông duy nhất kề với đáy trên của hình chữ
nhật được phân hoạch, đây là trường hợp không đáng quan tâm vì rõ
ràng nó dẫn về bài toán phân hoạch một hình chữ nhật bé hơn nhận được
từ hình chữ nhật xuất phát bằng cách cắt bỏ hình vuông trên cùng. Bởi
vậy, có thể xem rằng từ đỉnh trên cùng của đồ thị xuất phát không ít hơn
hai cạnh; cũng đúng như vậy, ta sẽ xem rằng từ đỉnh dưới cùng của đồ

thị xuất phát không ít hơn hai cạnh. Khi đó tổng số P các cạnh của đồ


19

thị sẽ không bé hơn một nửa tổng sau:
3(B − 2) + 2.2 = 3B − 2,
Vì từ mỗi một trong B − 2 đỉnh trong của đồ thị xuất phát không ít hơn

Hình 1.23:

3 cạnh và từ mỗi một trong đỉnh cao nhất và đỉnh thấp nhất xuất phát
không ít hơn 2 cạnh; mặt khác, khi đếm các cạnh theo các đỉnh như vậy,
mỗi cạnh được tính hai lần (mỗi cạnh nối hai đỉnh). Vậy ta có:
2P ≥ 3B − 2 ⇔ B ≤

2P + 2
3

Thế kết quả nhận được vào công thức Euler (E) ta có:
2P + 2
P +1
−P +G≥1⇔G≥
3
3
Bây giờ ta nhận xét rằng, có thể đặt tương ứng đồ thị của phân hoạch
hình chữ nhật thành các hình vuông một cách khác với cách vừa mô tả
ở trên. Ta đánh dấu trên các đoạn thẳng đứng (các cạnh của các hình
vuông của phân hoạch) C1 D1 , C2 D2 , ... các điểm V1 , V2 ... mà ta sẽ chọn
làm các đỉnh của đồ thị. Khi đó ta nối các điểm Vi , Vj tương ứng với hai

cạnh Ci Di , Cj Dj bởi một đường chỉ trong trường hợp nếu các cạnh của
một hình vuông của phân hoạch thuộc các đường thẳng Ci Di , Cj Dj (xem
hình 1.24a,b và hình 1.8, 1.9).
Khi đó ta nhận được đồ thị “đối ngẫu” với đồ thị đã được xét trước
đây: các đỉnh của đồ thị như vậy tương ứng với các đoạn thẳng đứng của


20

Hình 1.24:

phân hoạch, các cạnh, vẫn như trước, tương ứng với các hình vuông của
phân hoạch, còn các diện tương ứng với các đoạn nằm ngang (khác với
đáy trên và đáy dưới) của hình chữ nhật được phân hoạch. Cũng có thể
biến đồ thị này thành định hướng, nếu chọn chẳng hạn, hướng duyệt các
cạnh là “từ trái qua phải” (tức là tuân theo quy tắc đi qua cạnh của đồ
thị theo hướng tương ứng với việc chuyển từ một cạnh thẳng đứng sang
cạnh thẳng đứng nằm bên phải nó). Vẫn như trước, có thể gán cho các
cạnh các trọng số bằng độ dài các cạnh của hình vuông tương ứng với
các cạnh này. Phương pháp chuyển từ một đồ thị xuất phát sang một đồ
thị đối ngẫu với nó vừa mô tả (xem đồ thị biểu diễn trên hình 1.25a,b),
có thể xét như một phương pháp xây dựng một mạch điện rẽ nhánh “đối
ngẫu” với một mạch điện đã cho (phương pháp này đã được các nhà điện
học biết từ lâu trước khi phát hiện ra mối liên hệ giữa các lưới điện với
bài toán chia hình chữ nhật thành các hình vuông).

Hình 1.25:


21

Số các đỉnh, cạnh và diện của đồ thị xuất phát ta vẫn ký hiệu giống
như trước bởi B, P và G, còn số các đỉnh, cạnh và diện của đồ thị đối
ngẫu với nó được ký hiệu bởi B’, P’, G’. Khi đó rõ ràng G’+2=B, P’=P,
B’=G+2 vì số B và G’+2 bằng số các đoạn nằm ngang của phân hoạch
của ta (bao gồm cả hai đáy của hình chữ nhật xuất phát), các số P và
P’ bằng số các hình vuông tham gia vào phân hoạch và số G+2 và B’
bằng số các đoạn thẳng đứng (bao gồm cả hai cạnh bên của hình chữ
nhật). (Như vậy, trong trường hợp các đồ thị biểu diễn trên hình 1.25
ta có B=G’+2=6, P=P’=9 và G+2=B’=6 hoàn toàn tương ứng với hình
1.2). Cũng đúng như trước, khi đó thiết lập được rằng, nếu phân hoạch
xuất phát của hình chữ nhật không chứa hình vuông kề hoàn toàn với
một cạnh bên của hình chữ nhật được phân hoạch và nếu đồ thị tương
ứng không chứa “nhị giác”, không chứa “ đầu gối” (bởi vì, nếu trái lại,
phân hoạch xuất phát nhất định chứa các cặp hình vuông bằng nhau có
cạnh chung) thì
P +1
2P + 2
, G ≥
B ≤
3
3
Hai bất đẳng thức cuối cùng có thể viết lại như sau:
G+2≤

2P + 2
2P − 4
⇔G≤
3
3

và
B−2≥

P +1
P +7
⇔B≥
3
3

Như vậy, cuối cùng ta có
P +7
2P + 2
≤B≤
;
3
3

P +1
2P − 4
≤G≤
3
3

Vì các đại lượng B và G là các số nguyên thì đối với mỗi giá trị của P
(tức là đối với mỗi số n cố định các hình vuông của phân hoạch) ta có chỉ
một số hữu hạn các giá trị khả dĩ của B và G, do đó chỉ có một số hữu
hạn các đồ thị khả dĩ. Ví dụ, với P=5 (số các cạnh của đồ thị ít hơn 5 là
không thể, do bất đẳng thức
2P − 4

P +1
≥G≥
)
3
3


22

ta có:
4 ≤ B ≤ 4; 2 ≤ G ≤ 2 ⇔ B = 4, P = 2
Với P=6 ta có:

14
13
≤B≤
3
3
Từ đó suy ra rằng đồ thị như vậy không tồn tại vì B là một số nguyên.
Với P=7 ta nhận được:
14
16 8
10
≤B≤ ;
≤G≤
⇒ B = 5, G = 3, v.v...
3
3 3
3
Bảng dưới đây cho tất cả các giá trị có thể của B và G với P ≤ 14

P

(B,G)

(5)

(4,2)

(6)
(7)

(5,3)

(8)

(6,3), (5,4)

(9)

(6,4)

(10)

(7,4), (6,5)

(11)

(8,4), (7,5), (6,6)

(12)

(8,5), (7,6)

(13)

(9,5), (8,6), (7,7)

(14) (10,5),(9,6), (8,7), (7,8)
Dùng bảng này việc tìm phân hoạch một hình chữ nhật thành một
số không lớn các hình vuông trở thành một công việc không mấy phức
tạp nhưng tương đối buồn tẻ. Ví dụ, đồ thị duy nhất khả dĩ tương
ứng với phân hoạch một hình chữ nhật thành 5 hình vuông biểu diễn
trên hình 1.26 (so sánh với hình 1.27). Ký hiệu trọng số của các cạnh
HH1 , HH2 , H1 H2 , H1 H , H2 H bởi các số p1 , p2 , p, p1 , p2 như chỉ ra trên
hình 1.26, ta nhận được hệ đẳng thức sau (bên trái là các đẳng thức
tương ứng với quy tắc Kirchhoff, liên quan đến các đỉnh của đồ thị, bên