MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT TRONG TẬP N

Phßng GD - §T huyÖn Thanh Oai
Tr êng THCS Cao Viªn

ĐỀ TÀI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên đề tài:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI
TOÁN VỀ CHIA HẾT TRONG TẬP N
Tác giả: VŨ THỊ LAN
Giáo viên : Trường THCS Cao Viên
Thanh Oai - Hà Nội
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010
năm học 2009 -2010
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập Tự do Hạnh phúc
-----------o0o-----------
S Y U Lí L CH
H v tờn: V TH LAN
Ng y thỏng n m sinh: 06/04/1980
N m v o ng nh: 2002
Ch c v : Giỏo viờn
n v cụng tỏc: Tr ng THCS Cao Viờn
Trỡnh chuyờn mụn: i h c toỏn
H o t o: Chớnh quy
B mụn ging dy: Môn toán
Ngoại ngữ: Anh văn
Trình độ chính trị: Sơ cấp
Khen thởng:
- Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2002 - 2003
- Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2003 - 2004
- Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2006 - 2007

- Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2007 - 2008
- Sáng kiến kinh nghiệm cấp tỉnh năm học 2003 - 2004
GV: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên
2
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010
- Sáng kiến kinh nghiệm cấp thành phố năm học 2007 - 2008
PH N TH NH T
M U
1. Lý do ch n t i:
a. C s lớ lu n:
Toỏn h c l m t mụn khoa h c gõy nhi u h ng thỳ cho h c sinh, nú
l m t mụn h c khụng th thi u trong quỏ trỡnh h c t p, nghiờn c u v c
trong cu c s ng h ng ng y. M t nh toỏn h c ó núi: Toỏn h c c xem
nh l m t khoa h c ch ng minh.
Trong cỏc mụn h c ph thụng toỏn h c c coi nh l m t mụn h c
c b n, l n n t ng cỏc em phỏt huy c n ng l c b n thõn, gúp ph n
t o i u ki n cỏc em h c t t cỏc mụn khoa h c t nhiờn khỏc. V y d y
nh th n o h c sinh khụng nh ng n m c hc ki n th c c b n m t cỏch
cú h th ng m ph i c nõng cao phỏt tri n cỏc em cú h ng thỳ say
mờ h c t p l m t cõu h i m m i th y cụ luụn t ra cho mỡnh.
Tuy nhiờn h c t t mụn toỏn thỡ ng i giỏo viờn ph i bi t ch t l c
n i dung ki n th c, ph i i t d n khú, t c th n tr u t ng v
phỏt tri n th nh t ng quỏt giỳp h c sinh cú th phỏt tri n t duy toỏn h c,
l m cho cỏc em tr nờn yờu thớch toỏn h n t ú cỏc em cú ý th c h c t p
m b o yờu c u c a th i i m i.
b. C s th c ti n:
L m t giỏo viờn d c phõn cụng gi ng d y l p 6A, 6C v i nhi u
i t ng h c sinh khỏ gi i, cỏc em cú t duy nh y bộn v nhu c u hi u
bi t ng y c ng cao, l m th n o phỏt huy c h t kh n ng c a cỏc
em ú l trỏch nhi m c a m i ng i giỏo viờn. Qua gi ng d y ch ng

trỡnh toỏn l p 6 tụi nh n th y t i v phộp chia h t l m t t i th t lý
thỳ, phong phỳ a d ng khụng th thi u mụn s h c l p 6.
GV: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên
3
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010
Vi c gi i b i toỏn chia h t l m t d ng toỏn hay, v i mong mu n
cung c p cho cỏc em m t s ph ng phỏp gi i cỏc b i toỏn v chia h t, giỳp
cỏc em l m b i t p t t h n nh m tớch c c hoỏ ho t ng h c t p, phỏt
tri n t duy, do ú trong n m h c n y tụi ch n t i: M t s ph ng
phỏp gi i cỏc b i toỏn v chia h t trong t p N th c hi n trong ch ng
trỡnh toỏn l p 6.
2. M c ớch nghiờn c u:
- Cỏc ph ng phỏp th ng dựng gi i cỏc b i toỏn v phộp chia h t.
- Rốn k n ng v n d ng ki n th c khi gi i b i toỏn v phộp chia h t.
- C ng c v h ng d n h c sinh l m b i t p.
3. Nhi m v nghiờn c u:
- Nhi m v khỏi quỏt: Nờu nh ng ph ng phỏp gi i b i toỏn chia h t
theo ch ng trỡnh m i.
- Nhiờm v c th :
- Tỡm hi u th c tr ng h c sinh.
- Nh ng ph ng phỏp th c hi n.
- Nh ng chuy n bi n sau khi ỏp d ng.
- B i h c kinh nghi m.
4. i t ng nghiờn c u.
- t i nghiờn c u qua cỏc ti t d y v phộp chia h t trong t p N,
trong SGK toỏn 6 t p 1, qua nh h ng i m i ph ng phỏp d y toỏn 6.
- i t ng kh o sỏt: HS l p 6A, 6C tr ng THCS Cao Viờn.
5. Ph ng phỏp nghiờn c u:
- Ph ng phỏp nghiờn c u t i li u SGK, sỏch tham kh o.
- Ph ng phỏp ki m tra, th c h nh.

- Ph ng phỏp phỏt v n, m tho i nghiờn c u v n .
- T ng k t kinh nghi m c a b n thõn v c a ng nghi p khi d y ph n
phộp chia h t.
GV: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên
4
§Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm N¨m häc 2009 - 2010
PH N TH HAIẦ Ứ
N I DUNGỘ
I. TH C TR NG C A V N NGHIÊN C UỰ Ạ Ủ Ấ ĐỀ Ứ .
I.1. c i m tình hình l pĐặ đ ể ớ :
L p 6A, 6C có s l ng h c sinh không ng u v m t nh n th cớ ố ượ ọ đồ đề ề ặ ậ ứ
gây khó kh n cho giáo viên trong vi c l a ch n ph ng pháp phù h p.ă ệ ự ọ ươ ợ
Nhi u h c sinh có ho n c nh khó kh n do ó vi c u t v th i gian về ọ à ả ă đ ệ đầ ư ề ờ à
sách v b h n ch v nh h ng không nh n nh n th c v s phátở ị ạ ế à ả ưở ỏ đế ậ ứ à ự
tri n t duy c a các em. a s các em hay tho mãn trong h c t p, các emể ư ủ Đ ố ả ọ ậ
cho r ng ch c n h c thu c lòng các ki n th c trong SGK l . Chính vìằ ỉ ầ ọ ộ ế ứ à đủ
v y m các em ti p thu ki n th c m t cách th ng, không t m y mò,ậ à ế ế ứ ộ ụ độ ự à
khám phá ki n th c m i, h u h t các em u h p t p khi gi i các b i t pế ứ ớ ầ ế đề ấ ấ ả à ậ
d ng n y.ạ à
VD: L i gi i c a em Lê Th Thu - L p 6Aờ ả ủ ị ớ
(B i 85 trang 36 – SGK NXBGD – 2002)à
Áp d ng tính ch t chia h t xét xem t ng (560 + 18 + 3) có chia h t choụ ấ ế ổ ế
7 không?
HS gi i:ả
Ta có 560 chia h t cho 7ế
18 không chia h t cho 7ế
3 không chia h t cho 7ế
nên (560 + 18 + 3) không chia h t cho 7.ế
L i gi i úng: ờ ả đ
Ta có 560

M
7
(18 + 3)
M
7
Suy ra (560 + 18 + 3)
M
7
GV: Vò ThÞ Lan Trêng THCS Cao Viªn
5
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010
(H c sinh m c sai l m do ch a hi u rừ tớnh ch t chia h t: N u trong
m t t ng cú 2 s h ng khụng chia h t cho 1 s thỡ ch a th k t lu n c
t ng ú cú chia h t cho s ú hay khụng)
Qua m t th i gian tụi ó ti n h nh i u tra c b n v thu c k t
qu nh sau:
+ L p 6A: S em l i h c b i, l i l m b i t p chi m kho ng 50%,
s h c sinh n m c ki n th c v bi t v n d ng v o b i t p chi m
kho ng 30%.
+ L p 6C: S em l i h c b i, l i l m b i t p chi m kho ng 85%,
s h c sinh n m c ki n th c v bi t v n d ng v o b i t p chi m
kho ng 10%.
I.2. Nguyờn nhõn:
Nguyờn nhõn c a v n trờn l do cỏc em ch a cú ý th c t giỏc h c
t p, ch a cú k ho ch th i gian h p lý t h c nh , h c cũn mang tớnh
ch t l y i m, ch a n m v ng hi u sõu ki n th c toỏn h c, khụng t ụn
luy n th ng xuyờn m t cỏch h th ng, khụng ch u tỡm tũi ki n th c m i
qua sỏch nõng cao, sỏch tham kh o, cũn hi n t ng d u d t khụng ch u h c
h i b n bố, th y cụ. ng tr c th c tr ng trờn tụi th y c n ph i l m th
n o kh c ph c tỡnh tr ng trờn nh m nõng cao ch t l ng h c sinh, l m

cho h c sinh thớch h c toỏn h n. V y tụi thi t ngh t i c a tụi nghiờn
c u v v n n y l b c i ỳng n v i tỡnh tr ng v s c h c c a h c
sinh hi n nay.
II. BI N PH P GI I QUY T V N NGHIấN C U.
t c hi u qu khi gi i cỏc b i toỏn núi chung v gi i cỏc
b i toỏn v chia h t núi riờng, tụi ó rốn cho h c sinh ghi nh khỏi ni m,
cụng th c, nh ngh a, quy t c ỏp d ng gi i m t s b i toỏn d ng n y.
GV: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên
6
§Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm N¨m häc 2009 - 2010
II.1. TR C TIÊN H C SINH PH I N M V NG NH NGH A ƯỚ Ọ Ả Ắ Ữ ĐỊ Ĩ
T NH CH T, D U HI U CHIA H T.Í Ấ Ấ Ệ Ế
1. nh ngh a:Đị ĩ Cho hai s t nhiên a v b (bố ự à
≠
0), n u có s t nhiên xế ố ự
sao cho b.x = a thì ta nói a chia h t cho b v ta có phép chia h t a: b = x.ế à ế
2. Tính ch t c a quan h chia h t.ấ ủ ệ ế
+ S 0 chia h t cho mo s b ố ế ị ố
≠
0.
+ S a chia h t cho a v i m i a ố ế ớ ọ
≠
0.
+ N u a chia h t cho bv b chia h t cho c thì a chia h t cho c.ế ế à ế ế
+ N u a chia h t cho b v b chia h t cho a thì a = b.ế ế à ế
+ N u a chia h t cho b v a chia h t cho c m (b, c) =1 thì a chia h tế ế à ế à ế
cho b.c
+ N u a .b chia h t cho m v (b, m) = 1 thì a chia h t cho m.ế ế à ế
+ N u a.b chia h t cho m v m l s nguyên t thì a chia h t cho mế ế à à ố ố ế
ho c b chia h t cho m.ặ ế

+ N u a chia h t cho m v b chia h t cho n thì a.b chia h t cho m.nế ế à ế ế
+ N u a chia h t cho m v b chia h t cho m thì (aế ế à ế
±
b) chia h t cho m.ế
+ N u a chia h t cho m v b không chia h t cho m thì (aế ế à ế
±
b) không
chia h t cho m.ế
+ N u a chia h t cho m thì ế ế
n
a
chia h t cho m (nế
∈
N).
+N u a chia h t cho b thì ế ế
n
a
chia h t ế
n
b
(n
∈
N).
3. Các d u hi u chia h t.ấ ệ ế
a. D u hi u chia h t cho 2:ấ ệ ế
M t s chia h t cho 2 ộ ố ế
⇔
ch s t n cùng c a s ó l s ch n.ữ ố ậ ủ ố đ à ố ẵ
b. D u hi u chia h t cho 5:ấ ệ ế
M t s chia h t cho 5 ộ ố ế

⇔
ch s t n cùng c a s ó b ng 0 ho c 5.ữ ố ậ ủ ố đ ằ ặ
GV: Vò ThÞ Lan Trêng THCS Cao Viªn
7
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010
c. D u hi u chia h t cho 3(ho c 9).
Mụt s chia h t cho 3 (ho c 9)

t ng cỏc ch s c a s ú chia h t
cho 3 (ho c 9).
Chỳ ý: M t s chia h t cho 3 (ho c 9) d bao nhiờu thỡ t ng cỏc ch
s c a nú chia 3 (ho c 9) d b y nhiờu v ng c l i.
d. D u hi u chia h t cho 4(ho c 25).
M t s chia h t cho 4 (ho c 25)

hai ch s t n cựng c a s ú
chia h t cho 4 (ho c 25).
e. D u hi u chia h t cho 8 (ho c125).
M t s chia h t cho 8 (ho c 125)

ba ch s t n cựng c a s ú
chia h t cho 8 (ho c 125).
f. D u hi u chia h t cho 11.
M t s chia h t cho 11

hi u gi a t ng cỏc ch s h ng l v cỏc
ch s h ng ch n (t trỏi sang ph i) chia h t cho 11.
Sau khi h c sinh ó n m ch c c lý thuy t thỡ vi c v n d ng lý
thuy t v o gi i b i t p l vụ cựng quan tr ng, do v y ng i giỏo viờn khụng
ch n thu n cung c p l i gi i m quan tr ng h n l d y cho cỏc em bi t

suy ngh tỡm ra con ng h p lý gi i b i toỏn nh nh toỏn h c Pụlia
ó núi Tỡm c cỏch gi i m t b i toỏn l m t i u phỏt minh . Tuy
nhiờn khi gi i b i t p d ng n y tụi khụng mu n d ng l i nh ng b i t p
SGK m tụi mu n gi i thi u thờm m t s b i t p i n hỡnh v m t s
ph ng phỏp gi i cỏc b i t p ú.
II.2. PH NG PH P GI I C C B I TO N V CHIA H T
1. Ph ng phỏp 1 : D a v o nh ngh a phộp chia h t.
ch ng minh s a chia h t cho s b (b

0) ta bi u di n a d i d ng
tớch, trong ú cú 1 th a s b ng b (ho c chia h t cho b).
GV: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên
8
§Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm N¨m häc 2009 - 2010
B i 1à : Cho n
∈
N, ch ng minh r ng (5n)ứ ằ
100
chia h t cho 125ế
Gi i ả : Ta có : (5n)
100
= 5
100
. n
100
=
3 97 100 97 100
5 .5 . 125.5 . 125n n= M
V y (5n)ậ
100

chia h t cho 125.ế
B i 2à : Ch ng minh s ứ ố
abcabc
chia h t cho 143.ế
Gi i:ả Ta có:
abcabc
= 1001.
abc
= 7.11.13.
abc
=143.(7
abc
)
M
143.
V y ậ
abcabc
chia h t cho 143.ế
B i 3à : Ch ng minh r ng: ứ ằ
2 3 99 100
(5 5 5 ... 5 5 )S = + + + + +
chia hết cho 6.
Giải: Ta có
2 3 99 100
2 3 4 99 100
3 99
3 99
3 99
(5 5 5 ... 5 5 )
(5 5 ) (5 5 ) ... (5 5 )

5(1 5) 5 (1 5) ... 5 (1 5)
5.6 5 .6 ... 5 .6
6.(5 5 ... 5 ) 6
S = + + + + +
= + + + + + +
= + + + + + +
= + + +
= + + + M
2. Ph ong pháp 2ư : D a v o tính ch t c a quan h chia h tự à ấ ủ ệ ế .
* Dùng tính ch t chia h t c a m t t ng, hi u.ấ ế ủ ộ ổ ệ
- ch ng minh a chia h t cho b Để ứ ế
≠
0 ta bi u di n s a d i d ng m tể ễ ố ướ ạ ộ
t ng c a nhi u s h ng r i ch ng minh t t c các s h ng ó u chia h t choổ ủ ề ố ạ ồ ứ ấ ả ố ạ đ đề ế
b.
- ch ng minh a không chia h t cho b Để ứ ế
≠
0 ta bi u di n s a d iể ễ ố ướ
d ng m t t ng c a nhi u s h ng r i ch ng minh có m t s h ng khôngạ ộ ổ ủ ề ố ạ ồ ứ ộ ố ạ
chia h t cho b còn t t c các s h ng còn l i u chia h t cho b.ế ấ ả ố ạ ạ đề ế
B i 1à : Ch ng minh r ng: T ng c a 3 s l liên ti p chia h t cho 3ứ ằ ổ ủ ố ẻ ế ế
nh ng không chia h t cho 6.ư ế
Gi iả : G i 3 s l liên ti p l : 2n+1; 2n+3 ; 2n+5 (nọ ố ẻ ế à
∈
N)
GV: Vò ThÞ Lan Trêng THCS Cao Viªn
9
§Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm N¨m häc 2009 - 2010
T ng c a 3 s ó l : a = (2n+1) + (2n+3) + (2n+5) = 6n+ 9 = 6n + 6 +ổ ủ ố đ à
3

Suy ra a chia h t cho 3 (vì 3 s h ng c a a u chia h t cho 3).ế ố ạ ủ đề ế
M t khác: 6n ặ
M
6 v 6 à
M
6
nh ng 3 không chia h t cho 6ư ế
Do ó a không chia h t cho 6.đ ế
V y t ng c a 3 s l liên ti p chia h t cho 3 nh ng không chia h tậ ổ ủ ố ẻ ế ế ư ế
cho 6.
B i 2à : Tìm s t nhiên n sao cho:ố ự
a. n + 2 chia h t cho n – 1.ế
b. 2n + 7 chia h t cho n+1.ế
Gi iả : C n c v o tính ch t chia h t c a m t t ng (hi u) ta có th rútă ứ à ấ ế ủ ộ ổ ệ ể
ra ph ng pháp chung gi i d ng n y d a v o nh n xét sau:ươ để ả ạ à ự à ậ
N u A ế
M
B thì (mA + nB) ho c (mA - nB) ặ
M
B (m, n)
a) Vì (n + 2)
M
(n – 1) suy ra [(n+ 2) – (n – 1)}]
M
(n – 1)
Hay 3
M
(n – 1)
Do ó (n – 1) đ
∈

(3) = {1 ; 3}Ư
+ N u n – 1 = 1 thì n = 2ế
+ N u n – 1 = 3 thì n = 4ế
V y v i n = 2; 4 thì (n+2) ậ ớ
M
(n – 1)
b) Vì (2n + 7)
M
(n + 1) suy ra [( 2n + 7) – 2(n + 1)]
M
(n + 1)
hay 5
M
(n + 1)
Do ó (n+ 1) đ
∈
(5) = {1 ; 5}Ư
+ N u n+ 1 = 1 thì n = 0ế
+ N u n + 1 = 5 thì n = 4ế
GV: Vò ThÞ Lan Trêng THCS Cao Viªn
10
§Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm N¨m häc 2009 - 2010
V y v i n = 0; 4 thì (2n + 7) ậ ớ
M
(n + 1)
B i 3à : Ch ng minh t ng c a 3 s t nhiên liên ti p luôn chia h t choứ ổ ủ ố ự ế ế
3.
Gi iả : G i 3 s t nhiên liên ti p l : n; n + 1; n + 2ọ ố ự ế à
T ng c a 3 s t nhiên ó l : n + (n + 1) + (n + 2) = (n + n + n) + (1 + 2)ổ ủ ố ự đ à
= 3n + 3 chia h t cho 3 ế (Tính ch t chia h t c a m t t ng).ấ ế ủ ộ ổ

T b i t p n y giáo viên có th a ra tình hu ng:ừ à ậ à ể đư ố Có ph i t ngả ổ
c a n s t nhiên liên ti p luôn chia h t cho n không? Qua ó g i cho h củ ố ự ế ế đ ợ ọ
sinh trí tò mò a ra tình hu ng có v n c n gi i quy t. Sau ó giáo viênđư ố ấ đề ầ ả ế đ
g i ý cho h c sinh qua b i t p sau:ợ ọ à ậ
B i 4à : T ng c a 4 s t nhiên liên ti p có chia h t cho 4 hay không?ổ ủ ố ự ế ế
Gi iả : G i 4 s t nhiên liên ti p l : n; n + 1; n + 2; n + 3ọ ố ự ế à
T ng c a 4 s t nhiên liên ti p ó l : n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3)ổ ủ ố ự ế đ à
= (n + n + n + n) + (1+ 2 +3)
= 4n + 6
Ta có: 4n chia h t cho 4ế
6 không chia h t cho 4ế
Suy ra (4n + 6) không chia h t cho 4ế
V y t ng c a n s t nhiên liên ti p ch a ch c chia h t cho n.ậ ổ ủ ố ự ế ư ắ ế
* Dùng tính ch t chia h t c a m t tích.ấ ế ủ ộ
a
1
. ch ng minh s a chia h t cho s b (bĐể ứ ố ế ố
≠
0) ta có th bi u di n sể ể ễ ố
b d i d ng 1 tích b = m.n ướ ạ
+ N u (m, n) = 1 thì tìm cách ch ng minh aế ứ
M
m v a à
M
n lúc ó a đ
M
m.n
t c l aứ à
M
b

GV: Vò ThÞ Lan Trêng THCS Cao Viªn
11
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010
+ N u (m, n)

1 thỡ ta bi u di n s a th nh tớch a = a
1
a
2
r i ch ng
minh a
1
M
m; a
2
M
n thỡ a
1
a
2
M
m.n t c l a
M
b
B i 5 : Ch ng minh r ng tớch c a 2 s ch n liờn ti p luụn chia h t cho
8.
Gi i : G i 2 s ch n liờn ti p l : 2n, 2n + 2.
Tớch c a 2 s ch n liờn ti p l : 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1).
Vỡ n v n+ 1 khụng cựng tớnh ch n l nờn n.(n+ 1)
M

2.
M 4 chia h t cho 4 nờn 4n.(n+1)
M
(4.2)
Hay 4n.(n+1)
M
8.
Suy ra 2n.(2n + 2)
M
8.
V y tớch c a 2 s ch n liờn ti p luụn chia h t cho 8
B i 6 : Tỡm cỏc s t nhiờn cú 2 ch s g p 9 l n ch s h ng n v
c a nú.
Gi i : G i s ph i tỡm l
ab
= 10a + b (1
,a b
9)
Theo b i ta cú 10a + b = 9b hay 10a = 8b
Suy ra 5a = 4b (1)
Suy ra 4b
M
5 m (4, 5) = 1 nờn b
M
5
Vỡ (1
b

9) nờn b = 5
Thay b = 5 v o (1) ta c a = 4.

V y s ph i tỡm l 45.
* V n d ng d u hi u chia h t liờn quan n cỏc s nguyờn t , cỏc
s nguyờn t cựng nhau.
+ N u tớch ab
M
m m (b, m) =1 thỡ a
M
m.
+ N u a
M
m; a
M
n v (m, n) =1 thỡ a
M
mn.
+ N u a
n
M
p (p l s nguyờn t ) thỡ a
M
p.
GV: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên
12
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010
B i 7 : Cho a, b l cỏc s t nhiờn, n

0, bi t a
n
M
7.

Ch ng minh r ng: (a
2
+ 98b)
M
49
Gi i : Ta cú a
n
M
7; m 7 l s nguyờn t nờn a
M
7.
Suy ra a
2
M
7
2
hay a
2
M
49
M t khỏc: 98b
M
49 nờn (a
2
+ 98b)
M
49 (tớnh ch t chia h t c a m t
t ng).
3. Ph ng phỏp 3 : V n d ng d u hi u chia h t cho 2; 3; 5; 9; 11;
ho c cú th xột ch s t n cựng khi ch ng minh chia h t cho 2, cho5,

cho 10.
B i 1 : Cho n

N .Ch ng minh A = (3
4 1n+
+7)
M
10
Gi i : Ta cú :
4
3
n
cú t n cựng l 1
(3
4 1n+
+7) =
4
3
n
.3+ 7
=
1.3 7 3 7 0 10X Y Z+ = + = M
V y A
M
10
B i 2 : Tỡm cỏc ch x v y
41 5x yM
2; 3; 5
Gi i :
41 5x yM

2 v 5 thỡ y = 0 (1)
41 5x yM
3 thỡ (4+1+x+5+y)
M
3

(10 + x + y)
M
3
Hay x + y = 2; 5 ; 8 (2)
T (1) v (2) suy ra x = 2; 5 ; 8
V y v i x = 2; 5; 8 v y = 0 thỡ
41 5x yM
2; 3; 8
4. Ph ng phỏp 4 : Dựng nh lý v phộp chia cú d .
ch ng minh n chia h t cho p ta xột m i tr ng h p v s d khi
chia n cho p (cú th cú s d l m t trong cỏc s t 0 n p-1)
B i 1 : Ch ng minh r ng :
GV: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên
13
§Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm N¨m häc 2009 - 2010
a) Tích c a 3 s t nhiên liên ti p luôn chia h t cho 3ủ ố ự ế ế
b) Tích c a 4 s t nhiên liên ti p luôn chia h t cho 4.ủ ố ự ế ế
Gi iả :
a) G i 3 s t nhiên liên ti p l : n; n+ 1; n+ 2ọ ố ự ế à
Tích c a 3 s t nhiên liên ti p l : n(n + 1)(n + 2).ủ ố ự ế à
M t s t nhiên khi chia cho 3 có th nh n m t trong các s d sau: 0;ộ ố ự ể ậ ộ ố ư
1; 2
+ N u r = 0 thì n chia h t cho 3ế ế
⇒

n(n + 1)(n + 2) chia h t cho 3ế
+ N u r = 1 thì n = 3k + 1 (k l s t nhiên).ế à ố ự
⇒
n + 2 = 3k + 1+ 2 = (3k + 3) chia h t cho 3ế
⇒
n(n + 1)(n + 2) chia h t cho 3.ế
+ N u r = 2 thì n = 3k + 2 (k l s t nhiên)ế à ố ự
⇒
n + 1 = 3k + 2+ 1 = (3k + 3) chia h t cho 3ế
⇒
n(n + 1)(n + 2) chia h t cho 3.ế
V y n(n + 1)(n + 2) chia h t cho 3 v i m i n l s t nhiên.ậ ế ớ ọ à ố ự
b) Ch ng minh t ng t ta có: n(n + 1)(n +2)(n+ 3) chia h t cho 4 v iứ ươ ự ế ớ
m i n l s t nhiên.ọ à ố ự
Sau khi gi i xong b i t p n y giáo viên cho h c sinh nêu b i t p n yả à ậ à ọ à ậ à
d ng t ng quát.ở ạ ổ
Giáo viên kh c sâu cho h c sinhắ ọ : Tích c a n s t nhiên liên ti p luônủ ố ự ế
chia h t cho n.ế
Chú ý: Ph ng pháp n y s d ng khi ch ng minh 1 bi u th c có ch aươ à ử ụ ứ ể ứ ứ
bi n chia h t cho các s t nhiên có 1 ch s . Khi ch ng minh 1 bi u th cế ế ố ự ữ ố ứ ể ứ
chia h t cho các s t nhiên có 2 ch s tr nên ta không s d ng ph ngế ố ự ữ ố ở ử ụ ươ
pháp n y vì ph i xét nhi u tr ng h p i v i s d .à ả ề ườ ợ đố ớ ố ư
5. Ph ng pháp 5ươ : V n d ng nguyên lý irichlê.ậ ụ Đ
GV: Vò ThÞ Lan Trêng THCS Cao Viªn
14