Khảo sát một bài toán không chỉnh khoá luận tốt nghiệp

Mục lục
Mục lục

1

Danh mục ký hiệu

3

Danh mục hình ảnh

4

Lời nói đầu

5

1

Kiến thức chuẩn bị

9

1.1

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3

Một số định lý quan trọng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2

3

Chỉnh hoá một bài toán không chỉnh

16

2.1

Giới thiệu lại bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2

Nghiệm của bài toán (1) - (4)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3

Các kết quả chính của việc chỉnh hoá bài toán (1) - (4) . . . . . . . . . .

19

2.3.1

Chỉnh hoá bài toán (1) - (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.3.2

Tính ổn định của (2.7) - (2.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3.3

Đánh giá sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Ví dụ minh hoạ

33

3.1

Mô phỏng hoá dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.2

Quá trình tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.3

Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Kết luận và kiến nghị

43

1


2

Tài liệu tham khảo

44

Phụ lục

47


3

Danh mục ký hiệu
1. N = {1, 2, 3, ...} là tập hợp các số tự nhiên.
2. R là tập hợp các số thực.
3. C là tập hợp các số phức.
4. L2 (Ω) là tập hợp họ các hàm f : Ω → K(K = C hoặc K = C) có lũy thừa bậc 2
của môđun khả tích Lebesgue trên Ω.
5. ∆u là khai triển Laplace dạng 3 chiều của hàm u.
6. δz u là đạo hàm riêng theo biến z của hàm u.
7. (g, h)|z=0 là g và h tại giá trị z = 0.
8. H 1 (Ω) là không gian chứa tất cả các hàm trong L2 (Ω) khả vi tới cấp 1.
9. ∂Ω là biên của miền giới hạn Ω.
10. H01 (Ω) là không gian chứa tất cả các hàm trong H 1 (Ω) mà vết của chúng bị triệt
tiêu trên ∂Ω.
11. ||·||X là chuẩn cảm sinh trong không gian X .
12. |||·|||X là chuẩn supremum trong không gian X .
13. C([0, c], X, ||·||X ) là không gian các ánh xạ liên tục đi từ [0, c] vào X với chuẩn
||·||X .

14. C([0, c], X, |||·|||X ) là không gian các ánh xạ liên tục đi từ [0, c] vào X với chuẩn
|||·|||X .

15. D(A) là miền xác định của A.

16. ·, ·

H

là tích vô hướng trên H .


4

Danh sách hình vẽ
3.1

Hình minh hoạ cho hàm U (x, y, c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Hình minh hoạ nghiệm chính xác với lưới M × N × K = 101 × 101 × 101 40

3.3

uα với ε = 1.0 × 10−1 , α(ε) = εt , t = 1.0 × 10−1 . . . . . . . . . . . . . .

40

3.4

uα với ε = 1.0 × 10−2 , α(ε) = εt , t = 1.0 × 10−1 . . . . . . . . . . . . . .

40

3.5

uα với ε = 1.0 × 10−4 , α(ε) = εt , t = 1.0 × 10−1 . . . . . . . . . . . . . .

41

uα với ε = 1.0 × 10−6 , α(ε) = εt , t = 1.0 × 10−1
ε 0.05
3.7 uα với ε = 1.0 × 10−2 , α(ε) =
. . . .
ln ε
ε 0.05
3.8 uα với ε = 1.0 × 10−4 , α(ε) =
. . .
ln ε
ε 0.05
3.9 uα với ε = 1.0 × 10−6 , α(ε) =
. . . .
ln ε
ε 0.05
3.10 uα với ε = 1.0 × 10−8 , α(ε) =
. . . .
ln ε

3.6

39

. . . . . . . . . . . . . .

41

. . . . . . . . . . . . . .

41

. . . . . . . . . . . . . .

42

. . . . . . . . . . . . . .

42

. . . . . . . . . . . . . .

42


5

Lời nói đầu
Bài toán phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic với điều kiện biên Cauchy là một
bài toán đặt không chỉnh theo định nghĩa của Haramard [8] nghĩa là, nghiệm của bài
toán này là không tồn tại; ngay cả khi nghiệm của bài toán tồn tại thì nghiệm đó cũng
không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu dạng Cauchy. Một ví dụ cho tính không chỉnh của
bài toán nói trên là bài toán được tác giả Faker Bin Belgacem xét trong bài báo [4]. Mặc
dù tính không chỉnh của bài toán trên gây ra sự khó khăn trong việc tính toán số, nhưng
bài toán phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic với dữ liệu Cauchy là bài toán được
ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật như là các bài toán truyền sóng

âm, bài toán truyền sóng thuỷ động lực học và bài toán sóng điện từ (xem trong bài báo
[10], [11]). Ngoài ra, hầu hết các bài toán này đều được xét trong miền không gian 3
chiều (3D) với nguồn không thuần nhất. Trong thực tế, hàm nguồn còn phụ thuộc vào
hàm u chưa biết. Do đó, bài toán nêu trên cần được khảo sát và chỉnh hoá.
Trong khoá luận này, chúng tôi chứng minh chi tiết lại các bổ đề, định lý được nêu
trong bài báo [23], đồng thời hệ thống lại một số các kiến thức liên quan. Cụ thể, chúng
tôi khảo sát bài toán như sau
Cho a, b, c > 0 và Ω = (−a, a) × (−b, b) là một hình chữ nhật trong R2 với biên ∂Ω.
Chúng ta tìm một hàm u thoả mãn
∆u = f (u, x, y, z), (x, y, z) ∈ Ω × [0, c],

(1)

u(x, y, z) = 0, (x, y, z) ∈ Ω × [0, c],

(2)

g ε − u(·, ·, 0)

+

hε − ∂z u(·, ·, 0) ≤ ε,

(3)

trong đó ∆ là toán tử Laplace dạng ba chiều, ∂z là đạo hàm riêng theo biến z , f là một
hàm cho trước phụ thuộc vào biến u chưa biết, hai hàm g ε và hε là hai hàm được cho
trong không gian L2 (Ω) với

·

là chuẩn trong L2 (Ω), ε là sai số nhiễu của (g ε , hε ) so

với dữ liệu Cauchy chính xác
(g, h) = (u, ∂z u)|z=0 .

(4)


6

Trong suốt khoá luận này, chúng tôi sẽ sử dụng những kí hiệu dưới đây. Không gian
Sobolev H m (Ω) là không gian chứa tất cả các hàm trong L2 (Ω) khả vi đến cấp s với
s ≤ m. H01 (Ω) là không gian chứa tất cả các hàm trong H 1 (Ω) mà vết của chúng bị triệt

tiêu trên ∂Ω. Chúng ta sẽ dùng kí hiệu C([0, c], L2 (Ω)), |||·||| cho các ánh xạ liên tục
đi từ [0, c] đến L2 (Ω) trong không gian Banach, trong đó |||·||| là chuẩn supremum.
Đặt λmn và ψmn là giá trị riêng và vectơ riêng tương ứng của toán tử A := −∆ được
xác định trên miền D(A) ⊂ H01 (Ω), với
λmn =

π
2

m
a

2

+

n
b

2

, ψmn = sin

mπ(x + a)
nπ(y + b)
sin
2a
2b

(5)

với mọi (m, n) ∈ N2 . Sau đây, chúng tôi ký hiệu khai triển Fourier của các hàm v =
v(x, y), w = w(x, y, z), f = f (w, x, y, z) và ∂z wˆmn (z) lần lượt là vˆmn = κ v, ψmn ,
wˆmn (z) = κ w(·, ·, z), ψmn , fˆmn (w, z) = f (w(·, ·, z), ·, ·, z) và κ ∂z w(·, ·, z), ψmn , trong

đó κ = ||ψmn ||−2 = 1/(ab).
Sử dụng phương pháp tách biến, ta có nghiệm chính xác của bài toán (1) - (4) là
+∞ +∞

ˆ mn (g, h, z) + Jˆmn (u, z) ψmn (x, y),
G

u(x, y, z) =

(6)

m=1 n=1

trong đó
Gmn (g, h, z) =

ezλmn
2

gmn +

hmn
λmn

+

e−zλmn
2

gmn −

hmn
λmn

,

(7)

z

1
Jmn (u, z) =
2λmn

e(z−s)λmn − e(s−z)λmn fˆmn (u, s)ds.

(8)

0

Chúng ta có thể thấy rằng Gmn (g, h, z) và Jmn (u, z) trong (7) và (8) tăng nhanh theo
biến λmn vì sự tăng mạnh về giá trị của hàm ezλmn . Do đó, việc tính toán số liệu của (6)
- (8) trong thực tế còn nhiều hạn chế, kể cả khi hệ số khai triển Fourier (gmn , hmn , fmn )
tiến nhanh về 0. Bài toán Cauchy đối với các phương trình elliptic là không chỉnh theo
định nghĩa của Hadamard, nghĩa là một sự biến đổi nhỏ trong dữ liệu Cauchy đã có thể
gây ra một sự sai khác rất lớn trong kết quả nghiệm của u(x, y, z) với z ∈ [0, c]. Việc
không ổn định trên tỉ lệ thuận với khoảng cách từ z đến biên z = 0. Vì vậy, rất khó
để giải quyết bài toán trên bằng cách sử dụng các phương pháp số đảo ngược cổ điển.
Để khắc phục tình trạng không chỉnh này, các phương pháp chỉnh hoá được đề xuất để
chỉnh hoá cho bài toán là thật sự cần thiết.


7

Trước đây, đã có nhiều nghiên cứu về bài toán Cauchy cho các hình thức cụ thể của
phương trình elliptic (1). Trong trường hợp không có hàm ban đầu, nghĩa là f = 0,
bài toán trên được gọi là bài toán Cauchy cho phương trình Laplace (xem [5], [6]). Với
f = −k 2 u (k là hằng số), (1) tiêu biến thành phương trình Helmholtz thuần nhất; đã

được nghiên cứu rộng rãi và nhiều kết quả liên quan đến các phương pháp định chế đã

được điều tra, ví dụ: nghiên cứu gần đây của Reginska và nhóm của cô [14], [15].
Gần đây, Nguyễn et al. [21] đã xét phương trình (1) trong không gian 2 chiều cho
phương trình Helmholtz đã được sửa đổi (hoặc phương trình Yukawa) với một hàm
nguồn thuần nhất, nghĩa là hàm nguồn là dạng f = k 2 u + r (r là một hàm). Sau đó, Trần
et al. [17] đã mở rộng kết quả của nhóm [21] để giải quyết bài toán trong mô hình 3D
cho phương trình Helmholtz, tức là phương trình (1) với hàm nguồn f = ±k2u + r kết
hợp với điều kiện biên Dirichlet và Neumann thuần nhất.
Các phương trình nói trên cũng được tổng quát hóa thành các giả thiết trừu tượng, ví
dụ [7], [21], [22] đã đề xuất nhiều sơ đồ chỉnh hoá cho phương trình toán tử. Trong [7],
Elden et al. đã áp dụng phương pháp chặt cụt để có được nghiệm ổn định và xử lý bài
toán xấp xỉ bằng phương pháp Krylov. Trong [22], các tác giả đề xuất một phương pháp
biến đổi bằng cách xây dựng mới những hàm hạch bị chặn để thay thế các đại lượng
không bị chặn của phần tử đại diện nghiệm và thu được các ước lượng sai số khác nhau
tương ứng với một số điều kiện tiên nghiệm của nghiệm chính xác.
Trong quá trình tìm hiểu, có rất ít kết quả về bài toán Cauchy cho các phương trình
elliptic phi tuyến trong không gian ba chiều. Trong khoá luận này, chúng tôi xem xét
bài toán (1) - (4) trong trường hợp hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschitz
∃K > 0, ∀u, v ∈ L2 (Ω), ∀z ∈ R, ||f (w, z) − f (v, z)||≤ K||w − v||.

(9)

Trong bài luận này, ngoài việc dùng phương pháp tựa giá trị biên để chính hoá cho
bài toán (1) - (4), chúng tôi còn dùng máy tính để khảo sát tính hiệu quả của phương
pháp chỉnh hoá được dùng để giải quyết tính không chỉnh của bài toán thông qua các
bài toán trong phần ví dụ minh hoạ.
Khoá luận này được trình bày qua các chương
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này trình bày một số kiến thức cần thiết như các định nghĩa,
định lý, mệnh đề liên quan đến các không gian hàm.
Chương 2: Chỉnh hóa một bài toán phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic với dữ

8

liệu Cauchy
Chương này trình bày việc chỉnh hoá bài toán (1) - (4), tính tồn tại nghiệm
duy nhất và tính ổn định của nghiệm chỉnh hoá.
Chương 3: Ví dụ minh họa
Chương này đưa ra các mô phỏng dữ liệu, thủ tục tính toán và ví dụ để minh
hoạ cho bài toán.


9

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương 1, chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cần thiết cho khoá luận này.

1.1

Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian vectơ trên trường K (với K = R
hoặc K = C) và ánh xạ ·

X

: X → R. Ta nói ·

X

là một chuẩn trên X , nếu nó

có các tính chất sau
i) x
ii) tx

X

≥ 0, với mọi x ∈ X và x

X

iii) x + y

= |t| x
X

X,

≤ x

X

X

= 0 khi và chỉ khi x = 0,

với mọi t ∈ K, với mọi x ∈ X ,

+ y

X,

với mọi x, y ∈ X .

Không gian vectơ X cùng với chuẩn ·
và ký hiệu là (X, ·

X

được gọi là không gian định chuẩn

X ).

Định nghĩa 1.1.2. Cho (X, ·

X)

là một không gian định chuẩn, dãy {xn }+∞
n=1

trong X được gọi là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0 cho trước, tồn
tại một số nguyên dương Nε (phụ thuộc vào ε) sao cho xm − xn

X

< ε, với mọi

m, n ≥ Nε .

Định nghĩa 1.1.3. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach
nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ về một phần tử thuộc X .
Cho Ω là một tập đo được Lebesgue và một độ đo dương µ.


10

Định nghĩa 1.1.4. Họ các hàm f : Ω → K có lũy thừa bậc p (1 ≤ p < +∞) của
môđun khả tích Lebesgue trên Ω, nghĩa là
|f (z)|p dµ < ∞
Ω

được gọi là không gian Lp (Ω).
Ta có các Bất đẳng thức quan trọng sau:
¨ lder). Nếu f, g là các hàm đo được, xác
Định lý 1.1.5 (Bất đẳng thức Ho

định trên tập đo được Lebesgue Ω và p, q là hai số thực thỏa mãn 1 < p < +∞,
1 1
+ = 1 thì
p q



 p1 

|f (z) g (z)| dµ ≤ 

|f (z)|p dµ 

Ω

 1q
|g (z)|q dµ ·
Ω

Ω

Định lý 1.1.6 (Bất đẳng thức Minkowski). Nếu f, g là các hàm đo được, xác
định trên tập đo được Lebesgue Ω và p là số thực thỏa mãn 1 ≤ p < +∞ thì

 p1 
 p1 
 p1
|f (z) + g (z)|p dµ ≤ 


Ω

|f (z)|p dµ + 
Ω

|g (z)|p dµ ·
Ω

Trong không gian hàm Lp (Ω), 1 ≤ p ≤ +∞, các hàm bằng nhau hầu khắp nơi được
xem là như nhau. Ta có định lý sau khẳng định rằng không gian hàm Lp (Ω) là không
gian tuyến tính định chuẩn
Định lý 1.1.7. Không gian Lp (Ω), 1 ≤ p ≤ +∞ cùng với các phép toán cộng các

hàm và phép nhân vô hướng một hàm với một số là một không gian vectơ định
chuẩn, với chuẩn được cho như sau

f

p

 p1

|f (z)|p dµ , với 1 ≤ p < +∞,

= 
Ω

f

∞

= ess sup |f (z)| , với p = +∞.
z∈ Ω

Định lý 1.1.8. Không gian Lp (Ω) với các chuẩn ·
như trong định lý 1.1.7 là các không gian Banach.

p

và ·

∞

được định nghĩa


11

Cho (X, d) là một không gian metric, một ánh xạ f : X → X được gọi là một ánh xạ
Lipschitz nếu tồn tại một hằng số không âm α sao cho
d(f (x), f (y)) < αd(x, y), với mọi x, y ∈ X.

(1.1)

Hằng số α nhỏ nhất thoả mãn (1.1) được gọi là hằng số Lipschitz đối với f , kí hiệu là
L. Nếu L < 1 thì ta nói f là ánh xạ co, nếu f = 1 thì ta nói f là ánh xạ không dãn.

Khái niệm không gian mêtric đầy đủ: Không gian mêtric X gọi là đầy đủ nếu cho
một dãy xn gồm các phần tử sao cho nếu n, m càng lớn thì xn và xm càng gần nhau
(tính chất này được gọi là tính chất Cauchy) thì tồn tại một phần tử x trong X sao cho
xn càng ngày càng gần với x (tính chất này gọi là hội tụ về x).

Định lý 1.1.9. Định lý ánh xạ co: Cho không gian mêtric đầy đủ X. Cho f : X →
X . Nếu tồn tại 0 ≤ α < 1 sao cho với mọi x, y ∈ X ta có d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y).

Khi đó tồn tại duy nhất x0 thỏa mãn f (x0 ) = x0 , và nếu ta xét dãy xn như sau
x1 = f (x0 ), xn = f (xn−1 ) với mọi n ∈ N, n ≤ 2 thì xn hội tụ về x.

1.2

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.2.1. Cho H là một không gian vectơ tuyến tính . Ánh xạ · , ·

H

:

H × H → K (với K = R hoặc K = C) được gọi là tích vô hướng trên H nếu

i) x, y

H

= y, x

ii) x + y, z
iii) αx, y
iv) x, x

H

H

H

H,

= x, z

= α x, y

với mọi x, y ∈ H ,

H
H,

+ y, z

H,

với mọi x, y, z ∈ H ,

với mọi x, y ∈ H , với mọi α ∈ K,

≥ 0, với mọi x ∈ H và x, x

H

= 0 khi và chỉ khi x = 0.

x, y được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y .

Không gian vectơ tuyến tính H cùng với tích vô hướng · , ·

H

được gọi là không

gian tiền Hilbert.
Hơn nữa, khi K = R thì · , ·
Bây giờ, chúng ta đặt x

H

H

là một dạng song tuyến tính xác định dương.

=

không gian định chuẩn. Chuẩn ·
·, ·

H

trên H .

x, x.
H

H,

với mọi x ∈ H . Thì (H, ·

H)

là một

này là chuẩn cảm sinh bởi tích vô hướng


12

Định nghĩa 1.2.2. Cho H là một không gian tiền Hilbert với tích vô hướng · , ·

H

và chuẩn cảm sinh ·

là

H.

Khi đó, ta gọi H là không gian Hilbert nếu (H, ·

H)

không gian Banach.
Chúng ta có thể thấy, không gian L2 ((−a, a) × (−b, b)) với tích vô hướng cho bởi
b

công thức f, g

L2 ((−a,a)×(−b,b))

a

|f (x, y)g(x, y)|dxdy với mọi f, g ∈ L2 ((−a, a) ×

=
−b −a

(−b, b)) là một không gian Hilbert.

Định nghĩa 1.2.3. Không gian C([0, T ], L2 (Ω)) gồm tất cả những hàm liên tục
u : [0, T ] → L2 (Ω) với chuẩn
||u||C([0,T ],L2 (Ω)) = sup ||u(t)||X < ∞.
t∈[0,T ]

Định nghĩa 1.2.4. Không gian C k ([0, T ], L2 (Ω)), k ∈ N là không gian bao gồm
tất cả các hàm u : [0, T ] → L2 (Ω) khả vi liên tục tới cấp k .
Từ đây, nếu không có sự nhầm lẫn thì chúng ta hiểu H là một không gian Hilbert
được định nghĩa như trong (1.2.1) và (1.2.2). Ta có mệnh đề như sau
Mệnh đề 1.2.5.

i) | x, y

H|

≤

x

H

H,

y

với mọi x, y ∈ H (Bất đẳng thức

Cauchy - Schwarz),
2

H

ii) x ± y

2
H

= x

iii) x + y

2
H

+ x−y

+ y
2
H

2
H

± 2Re x, y

=2 x

2
H

+2 y

H,

với mọi x, y ∈ H ,

2
H,

với mọi x, y ∈ H (Đẳng thức hình bình

hành).
Định nghĩa 1.2.6. Hai vectơ x, y ∈ H được gọi là trực giao với nhau nếu x , y

H

=

0 và ký hiệu là x⊥y . Một họ các vectơ S = {xi }i∈I ⊂ H được gọi là hệ trực giao

trong H nếu các phần tử trong S trực giao với nhau từng đôi một. Ta nói S là hệ
trực chuẩn nếu mọi phần tử thuộc S đều có chuẩn bằng 1.
Ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.2.7. Mọi họ các vectơ gồm các vectơ khác vectơ không và là hệ trực
giao trong H đều là hệ độc lập tuyến tính.
Định lý 1.2.8 (Đẳng thức Pythagore). Nếu {x1 , x2 , . . . , xn } là một hệ trực
giao trong H thì
2

n

xi
i=1

n

=
H

xi
i=1

2
H.


13

Từ đây ta có
Định lý 1.2.9. Cho {x1 , x2 , . . . , xn } là một hệ trực chuẩn gồm n vectơ của H .
Khi đó, mỗi phần tử x ∈ H có hình chiếu trực giao lên không gian vectơ con sinh
bởi {x1 , x2 , . . . , xn } là

n

x, xi xi .

y=
i=1

Định lý 1.2.10 (Trực giao hóa Gram-Schmidt). Cho {xn }n∈N là một hệ độc
lập tuyến tính trong H . Khi đó tồn tại một hệ trực chuẩn {en }n∈N sao cho
Lin {e1 , e2 , . . . en , . . .} = Lin {x1 , x2 , . . . xn , . . .}.
+∞

Định lý 1.2.11. Cho {xn }n∈N là một hệ trực giao trong H . Khi đó, chuỗi
+∞

hội tụ nếu và chỉ nếu chuỗi

2
H

xn
n=1

hội tụ trong R và

2

+∞

+∞

=

xn
n=1

xn

n=1

xn

2
H.

n=1

H

Ngoài ra, nếu {xn }n∈N là một hệ trực chuẩn trong H thì
2

+∞

αn xn
n=1

+∞

|αn |2 .

=
n=1

H

Định nghĩa 1.2.12. Hệ trực chuẩn {xn }n∈N trong H được gọi là một cơ sở trực
chuẩn của H nếu không gian vectơ sinh bởi hệ này trù mật trong H .

Ta có định lý:
Định lý 1.2.13. Cho {xn }n∈N là một hệ trực chuẩn trong H . Khi đó, các mệnh
đề sau là tương đương
i) {xn }n∈N là cơ sở trực chuẩn.
+∞

ii) Với mọi x ∈ H , ta có x =

x, xn
n=1

H

xn .

+∞

iii) Với mọi x, y ∈ H , ta có x, y

H

=

x, xn
n=1

iv) Với mọi x ∈ H , ta có x

2
H

+∞

| x, xn

=
n=1

2
H|

H

y, xn

H.

(Đẳng thức Parseval).


14

1.3

Một số định lý quan trọng khác

Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số định lý của giải tích hàm nhiều biến.
¨ nwall). Nếu u, k : [α, +∞) → [0, +∞) thoả
Định lý 1.3.1 (Bất đẳng thức Gro

mãn

t

u(t) ≤ a +

k(s)u(s)ds, ∀t ≥ α, a ≥ 0
α

thì

t

u(t) ≤ aeα

k(s)ds

, ∀t ≥ α.

Định lý 1.3.2 (Định lý Green). (xem trong [2]) Cho C là đường cong đơn đóng,
trơn từng khúc, hướng dương trong mặt phẳng và cho D là miền bị chặn bởi C .
Nếu P và Q có đạo hàm riêng liên tục trên một miền mở chứa D thì
∂Q ∂P
−
∂x
∂y

P dx + Qdy =
C

dA.

D

Tiếp theo đây, chúng ta sơ lược về một số lý thuyết liên quan đến việc chỉnh hóa bài
toán không chỉnh theo định nghĩa của Hadamard.
Cho X, Y là những không gian định chuẩn và ánh xạ K : X −→ Y (tuyến tính hoặc
không tuyến tính). Phương trình Kx = y được gọi là chỉnh (well-posed) nếu thỏa mãn
i) Tính tồn tại: với mọi y ∈ Y , có ít nhất một x ∈ X sao cho Kx = y ,
ii) Tính duy nhất: với mọi y ∈ Y , có nhiều nhất một x ∈ X sao cho Kx = y ,
iii) Tính ổn định: nghiệm x phụ thuộc liên tục vào y , nghĩa là với mọi dãy (xn ) ⊂ X
thỏa Kxn −→ Kx (n −→ ∞) thì xn −→ x (n −→ ∞).
Bài toán không thỏa ít nhất một trong các tính chất trên gọi là bài toán không chỉnh.
Về mặt toán học, việc tồn tại nghiệm có thể đạt được bằng cách mở rộng không gian
nghiệm. Nếu bài toán có nhiều hơn một nghiệm thì thường là thông tin về nghiệm bị
thiếu và bằng những thông tin bổ sung ta sẽ thu được nghiệm duy nhất. Yêu cầu quan
trọng nhất là sự ổn định nghiệm, bởi vì nếu thiếu điều này thì dù một sai số nhỏ của dữ
liệu cũng có thể dẫn đến một sai số lớn của nghiệm. Điều này làm cho chúng ta không
thể nào tính được nghiệm (dù là xấp xỉ), bởi mọi dữ liệu có được do đo đạc đều phải đi
kèm với sai số.


15

Hầu hết các bài toán ngược trong thực tế đều không chỉnh do không thỏa tính chất
ổn định của nghiệm và dẫn tới nghiệm tính được (trên dữ liệu bị nhiễu) thường "khác
xa" với nghiệm chính xác. Để khắc phục điều này, người ta xét bài toán khác, "tương
tự" bài toán gốc, sao cho đó là bài toán chỉnh, đồng thời nghiệm của bài toán chỉnh xấp
xỉ với nghiệm của bài toán gốc.
Việc làm đó được gọi là chỉnh hóa. Phương pháp chỉnh hóa càng tốt nếu sai số của

nghiệm thu được so với nghiệm của bài toán gốc càng nhỏ.


16

Chương 2

Chỉnh hoá một bài toán không chỉnh
Trong chương 2, chúng tôi trình bày lại việc tìm nghiệm của bài toán, chứng minh
nghiệm đó không chỉnh theo định nghĩa Haramard [8] và chỉnh hoá bài toán bằng
phương pháp tựa giá trị biên (quasi-boundary value).

2.1

Giới thiệu lại bài toán

Cho a, b, c > 0 và Ω = (−a, a) × (−b, b) là một hình chữ nhật trong R2 với biên ∂Ω.
Chúng ta tìm một hàm u thoả mãn:
∆u = f (u, x, y, z),

(x, y, z) ∈ Ω × [0, c],

u(x, y, z) = 0,

(x, y, z) ∈ Ω × [0, c],

g ε − u(·, ·, 0)

+

hε − ∂z u(·, ·, 0) ≤ ε,

trong đó ∆ là toán tử Laplace dạng ba chiều, ∂z là đạo hàm riêng theo biến z , f là một
hàm cho trước phụ thuộc vào biến u chưa biết sao cho f thoả mãn điều kiện Lipschitz
(9), hai hàm g ε và hε là hai hàm được cho trong không gian L2 (Ω) với chuẩn · trong
L2 (Ω), ε là sai số nhiễu của (g ε , hε ) so với dữ liệu Cauchy chính xác
(g, h) = (u, ∂z u)|z=0 .

Trong suốt khoá luận này, chúng tôi xét tích vô hướng f, g với mọi f, g ∈ L2 (Ω),
Ω = [−a, a] × [−b, b] như sau
b

a

f, g =

f (x, y).g(x, y)dxdy.
−b −a

Tiếp sau đây chúng tôi sẽ đi tìm nghiệm chính xác của bài toán (1) - (4).

(2.1)


17

2.2

Nghiệm của bài toán (1) - (4)

Áp dụng phương pháp tách biến, ta có
∆u = f (u, x, y, z).

Lấy tích vô hướng 2 vế với ψmn được nêu ở (5) ta thu được
uxx , ψmn (·, ·) + uyy , ψmn (·, ·) + uzz , ψmn (·, ·) = f (u, ·, ·, z), ψmn (·, ·) .

(2.2)

Xét
d2
uzz , ψmn (·, ·) = 2 u(·, ·, z), ψmn (·, ·) = umn (z),
dz
b

uxx , ψmn (·, ·)

(2.3)

a

=

uxx (x, y, z)ψmn (x, y)dxdy
−b −a
b

a

=

uxx (x, y, z) sin

nπ(y + b)
mπ(x + a)
sin
dxdy
2a
2b

−b −a
2

b

a

mπ
= −
2a

u(x, y, z) sin

mπ(x + a)
nπ(y + b)
sin
dxdy
2a
2b

−b −a

2

b

a

mπ
= −
2a

u(x, y, z)ψmn (x, y)dxdy
−b −a
2

= −

mπ
2a

u(·, ·, z), ψmn (·, ·)
2

mπ
= −
2a
b

uyy , ψmn (·, ·)

(2.4)

umn (z),

a

=

uyy (x, y, z)ψmn (x, y)dxdy
−b −a
b

a

=

uyy (x, y, z) sin

mπ(x + a)
nπ(y + b)
sin
dxdy
2a
2b

−b −a
2

b

a

nπ
= −
2b

u(x, y, z) sin
−b −a

mπ(x + a)
nπ(y + b)
sin
dxdy
2a
2b


18
b

2

a

nπ
= −
2b

u(x, y, z)ψmn (x, y)dxdy
−b −a
2

nπ
2b

= −

u(·, ·, z), ψmn (·, ·)
2

nπ
= −
2b

(2.5)

umn (z),

trong đó umn (z) = u(·, ·, z), ψmn (·, ·) .
Từ (2.3), (2.4), và (2.5), (2.2) trở thành
−

mπ
2a

2

nπ
2b

umn (z) −

2

umn (z) + umn (z) = fˆmn (u, z)

hay
−λ2mn umn (z) + umn (z) = fˆmn (u, z),

(2.6)

trong đó fˆmn (u, z) = f (u(·, ·, z), ·, ·, z), ψmn (·, ·) .
Giải phương trình vi phân (2.6), ta thu được nghiệm
z

eλmn z
umn (z) =
2λmn

fˆmn (u, s)
eλmn z
ds
+
2
eλmn s

0

−

z

e−λmn z
2λmn

gˆmn +

e−λmn z
fˆmn (u, s)
ds
+
2
e−λmn s

ˆ mn
h
λmn

gˆmn −

ˆ mn
h
.
λmn

0

Suy ra
+∞ +∞

u(x, y, z) =

(Gmn (g, h, z) + Jmn (u, z))ψmn (x, y),
m=1 n=1

trong đó
Gmn (g, h, z) =

eλmn z
2

gˆmn +

ˆ mn
h
λmn

+

e−λmn z
2

gˆmn −

ˆ mn
h
,
λmn

z

Jmn (u, z)

1
=
2λmn

e(z−s)λmn − e(s−z)λmn fˆmn (u, s)ds,
0

fˆmn (u, z)

=

f (u(·, ·, z), ·, ·, z), ψmn (·, ·) ,

gˆmn
ˆ mn
h

=

g, ψmn (·, ·) ,

=

h, ψmn (·, ·) .

Bước tiếp theo, chúng tôi sẽ đề xuất nghiệm chỉnh hoá cho bài toán (1) - (4).

19

2.3

Các kết quả chính của việc chỉnh hoá bài toán (1) - (4)

2.3.1

Chỉnh hoá bài toán (1) - (4)

Cho T là một hằng số với T ≥ c. Với mỗi tham số chỉnh hoá α > 0 phụ thuộc vào ε,
chúng tôi xây dựng một hàm uε,α thoả mãn
+∞ +∞
α

α
(u, z))ψmn (x, y)
(Gαmn (g, h, z) + Jmn

u (x, y, z) =

(2.7)

m=1 n=1

trong đó
Gαmn (g, h, z) =

e−(T −z)λmn
hmn

gmn +
−T
λ
mn )
λmn
2(αλmn + e
z

1
α
Jmn
(uα , z) =
2λmn

+

e−zλmn
2

gmn −

hmn
,(2.8)
λmn

e−(T −z+s)λmn
− e(s−z)λmn fmn (uα , s)ds,
−T
λ
mn

αλmn + e

(2.9)

0

với mọi (x, y, z) ∈ Ω × [0, T ]. Ở đây, α > 0 là tham số chỉnh hoá phụ thuộc vào ε.
Trước khi đi vào các kết quả chính, chúng tôi xét một số bổ đề quan trọng như sau
Bổ đề 2.3.1. Cho p ≥ 0, q > 0 và q ≥ p ta có
D p
e−pλ
≤ B(α ln ) q −1
−qλ
α
αλ + e

với mọi λ > 0 và α ∈ (0, D), trong đó B = max{1, q}, D = min{1, q}.
Chứng minh. Xem phần phụ lục trang 47.
Bổ đề 2.3.2. Cho φ, ϕ, σ, ς ∈ L2 (Ω) và ω, v ∈ C([0, T ], L2 (Ω)) tuỳ ý. Khi đó ta có
các bất đẳng thức sau đây
|Gαmn (ϕ, ς, z) − Gαmn (φ, σ, z)|2 ≤ C1 (α ln

D −2z
) T (|ϕmn − φmn |2 +|ςmn − σmn |2 )
α

(2.10)

và
α

α
|Jmn
(w, z) − Jmn
(v, z)|2
z

≤

z
λ2mn

e−2(T −z+s)λmn
+ e2(s−z)λmn |fmn (ω, s) − fmn (v, s)|2 ds,
−T
λ
2
mn
(αλmn + e
)

(2.11)

0

trong đó C1 = B 2 max 1, λ−2
min

với λmin là giá trị nhỏ nhất của λmn được nêu

trong (5), B, D được đề cập đến trong bổ đề (2.3.1) và K là hằng số Lipschitz

trong (9).


20

Chứng minh.
Ta có
Gαmn (ϕ, ς, z) − Gαmn (φ, σ, z)
=

e−(T −z)λmn
ςmn
ϕmn +
−T
λ
mn
λmn
2(αλmn + e
)
−

+

e−zλmn
2

e−(T −z)λmn
σmn
φ
+

mn
λmn
2(αλmn + e−T λmn )

−

ϕmn −
e−zλmn
2

ςmn
λmn
φmn −

σmn
λmn

ϕˆmn − φˆmn
2

e−(T −z)λmn
+ e−zλmn
αλmn + e−T λmn

=

+

e−(T −z)λmn
− e−zλmn

αλmn + e−T λmn

ςˆmn − σ
ˆmn
.
2λmn

Do đó, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta thu được
Gαmn (ϕ, ς, z) − Gαmn (φ, σ, z)

2

e−2(T −z)λmn
+ e−2zλmn
αλmn + e−T λmn

≤

2

|ˆ
ςmn − σ
ˆmn |
|ϕˆmn − φˆmn |2 +
2
λmn

.

(2.12)

Áp dụng bổ đề 2.3.1 với p = T − z và q = T , ta được
D
e−2(T −z)λmn
+ e−2zλmn ≤ 2B 2 α ln
−T
λ
mn
α
αλmn + e
−2zλmn

do e

≤1≤

D
α ln
α

− Tz

D
≤ B α ln
α

− 2z
T

, ∀α ∈ (0, D),

(2.13)

− Tz

trong đó B và D được định nghĩa ở 2.3.1.
Do đó, (2.12) trở thành
Gαmn (ϕ, ψ, z) − Gαmn (φ, σ, z)

2

≤ 2B 2

D
α ln
α

≤ C1

D
α ln
α

− 2z
T

2

|ˆ
ςmn − σ
ˆmn |

|ϕˆmn − φˆmn |2 +
2
λmn

,

hay
Gαmn (ϕ, ψ, z) − Gαmn (φ, σ, z)

2

− 2z
T

|ϕˆmn − φˆmn |2 +|ˆ
ςmn − σ
ˆmn |2 ,

(2.14)
trong đó C1 = B 2 max{1, λ−2
min }.


21

Bên cạnh đó, để chứng minh (2.11), bằng cách thế w và v vào (2.9), ta thu được
z

e−(T −z+s)λmn
− e(s−z)λmn fˆmn (wα , s)ds

−T
λ
mn
αλmn + e

1
=
2λmn

α
α
Jˆmn
(wα , z) − Jˆmn
(v α , z)

0

z

1
−
2λmn
0

z

=

e−(T −z+s)λmn
− e(s−z)λmn fˆmn (v α , s)ds

αλmn + e−T λmn

e−(T −z+s)λmn

1
2λmn

αλmn

+ e−T λmn

− e(s−z)λmn (fˆmn (wα , s) − fˆmn (v α , s))ds.

0

Do đó
α
α
Jˆmn
(wα , z) − Jˆmn
(v α , z)
z

e−(T −z+s)λmn
− e(s−z)λmn
−T
λ
mn
αλmn + e

z
≤
4λ2mn
0

2

z

2

|fˆmn (wα , s) − fˆmn (v α , s)|2 ds

e−2(T −z+s)λmn
+ e2(s−z)λmn |fˆmn (wα , s) − fˆmn (v α , s)|2 ds.
(αλmn + e−T λmn )2

z
≤
2λ2mn
0

Từ đó ta có
α
α
Jˆmn
(wα , z) − Jˆmn
(v α , z)
z

z

≤

λ2mn

2

e−2(T −z+s)λmn
+ e2(s−z)λmn |fˆmn (wα , s) − fˆmn (v α , s)|2 ds.
(αλmn + e−T λmn )2

0

(2.15)
Kết hợp (2.14) và (2.15) ta được điều phải chứng minh.
2.3.2

Tính ổn định của (2.7) - (2.9)

Định lý 2.3.3. Với mỗi α ∈ (0, D) và φ, σ ∈ L2 (Ω), bài toán (2.7) - (2.9) kết hợp
với dữ liệu (φ, σ) có nghiệm duy nhất wα ∈ C([0, T ], L2 (Ω)). Hơn nữa, nếu v α là
nghiệm chính xác ứng với dữ liệu (ϕ, ς) ∈ L2 (Ω) × L2 (Ω), thì khi đó
α

α

||w (z) − v (z)||≤ Q1

D

α ln
a

−2z
T

(||ϕ − φ||+||ς − σ||),

trong đó Q1 là một hằng số dương, bài toán (2.7) - (2.9) là bài toán chỉnh.
Chứng minh.
Việc chứng minh định lý được chia làm các bước như sau

(2.16)


22

- Bước 1: Chứng minh bài toán (2.7) - (2.9) có nghiệm duy nhất.
- Bước 2: Chứng minh tính ổn định của nghiệm của bài toán (2.7) - (2.9).
Bước 1.
Xét hàm số
+∞ +∞
α
ˆ αmn (φ, σ, z) + Jˆmn
(w, z) ψmn ,
G

F [w](z) =

(2.17)

m=1 n=1

ˆ α và Jˆα được định nghĩa bởi (2.8) và
trong đó w ∈ C [0, T ], L2 (Ω) và z ∈ [0, T ], G
mn
mn

(2.9). Bằng phương pháp quy nạp, chúng tôi sẽ chứng minh
l

(Qz)2l
|||w − v|||,
1.3.5... (2l − 1)

l

∀l ∈ N, ||F [w](z) − F [v](z)||≤

(2.18)

với mọi w, v ∈ C([0, T ], L2 (Ω)), Q không phụ thuộc vào l.
Sử dụng (2.11), ta được
||F [w](z) − F [v](z)||2 = ||J α (w, s) − J α (v, s)||2
z

≤

e−2(T −z+s)λmn
+ e2(s−z)λmn |fˆmn (w, s) − fˆmn (v, s)|2 ds

−T
λ
2
mn
(αλmn + e
)

z
λ2mn
0

2B 2 z
D
≤ 2
α ln
λmn
α

||w(s) − v(s)||2 ds
0

z

≤ Q2 z

z

− 2T
z

||w(s) − v(s)||2 ds ≤ (Qz)2 |||w − v|||2 ,
0

trong đó
D
),
α
= 2B 2 K 2 λ−2
min ,

Q =
C2
|||·|||

(2.19)

C2 /(α ln

(2.20)

là chuẩn supremum trong C([0, T ]L2 (Ω)).

(2.21)

Như vậy, (2.18) đúng với l = 1. Bây giờ giả sử (2.18) đúng với l = k , k ∈ N, k ≥ 1,
chúng tôi sẽ chứng minh (2.18) cũng đúng với l = k + 1. Thật vậy, theo giả thiết quy
nạp, chúng tôi thu được kết quả sau
||F k+1 [w](z) − F k+1 [v](z)||2 =

F [F k [w]](z) − F [F k [v]](z)

2

z

≤ Q2 z

||F k [w](s) − F k [v](s)||2 ds
0


23
z
2

≤ Q z

(Qs)2k
|||w − v|||2 ds
1.3.5... (2k − 1)

0

(Qz)2k+2
|||w − v|||2 .
≤
1.3.5...(2k − 1)(2k + 1)

Suy ra, (2.18) đúng với l = k + 1. Như vậy, (2.18) đúng với mọi l ∈ N.

(QT )2l
(QT )2l
= 0 nên tồn tại l0 > 0 sao cho
< 1. Khi đó F l0
1.3.5... (2l − 1)
l→+∞ 1.3.5... (2l − 1)

Do lim

là ánh xạ co. Áp dụng định lý điểm bất động trong không gian Banach, phương trình
F l0 [w] = w có nghiệm duy nhất là wα ∈ C([0, T ], L2 (Ω)). Hơn nữa, ta có F (F l0 (wα )) =
F (wα ) hay F l0 (F (wα )) = F (wα ). Áp dụng tính duy nhất của điểm bất động ta suy

ra F (wα ) = wα . Nói cách khác, bài toán (2.7) - (2.9) có nghiệm duy nhất wα thuộc
C([0, T ], L2 (Ω)).

Bước 2. Chứng minh tính ổn định
Trong bước này, chúng tôi chứng minh tính ổn định nghiệm của bài toán (2.7) - (2.9)
thông qua đánh giá (2.16). Bằng việc thay thế (ϕ, ς) bởi (φ, σ) trong (2.7), sau đó lấy
tích vô hướng với ψmn , chúng tôi thu được
v α (z) , ψmn

α
ˆ αmn (ϕ, ς, z) + Jˆmn
= G
(wα , z) ,

wα (z) , ψmn

ˆ α (φ, σ, z) + Jˆα (v α , z) .

= G
mn
mn

Khi đó
+∞ +∞
α

v (x, y, z) =

α
ˆ αmn (ϕ, ς, z) + Jmn
G
(wα , z) ψmn (x, y),

(2.22)

ˆ α (φ, σ, z) + J α (v α , z) ψmn (x, y).
G
mn
mn

(2.23)

m=1 n=1
+∞ +∞

wα (x, y, z) =
m=1 n=1

Do đó
+∞ +∞
α

ˆ αmn (φ, σ, z) − G
ˆ α (ϕ, ς, z)
G
mn

α

w (x, y, z) − v (x, y, z) =
m=1 n=1

α
α
+Jmn
(wα , z) − Jmn
(v α , z) ψmn (x, y)
+∞ +∞

ˆ α (φ, σ, z) − G
ˆ α (ϕ, ς, z) ψmn (x, y)
G
mn
mn

=

m=1 n=1

+∞ +∞
α
α
Jˆmn
(wα , z) − Jˆmn
(v α , z) ψmn .

+
m=1 n=1

(2.24)


24

Từ (2.24) suy ra
+∞ +∞
α

α

2

||w (z) − v (z)||

ˆ α (φ, σ, z) − G
ˆ α (ϕ, ς, z)
G
mn
mn

=
m=1 n=1

2
α
α
+ Jˆmn
(wα , z) − Jˆmn
(v α , z)
+∞ +∞

ˆ αmn (φ, σ, z) − G
ˆ αmn (ϕ, ς, z)
G

≤ 2

2

m=1 n=1
+∞ +∞

+2

2
α
α
(wα , z) − Jˆmn
(v α , z) .

Jˆmn

m=1 n=1

Dùng bổ đề 2.3.2 và đẳng thức Parseval, ta được
+∞ +∞

ˆ αmn (ϕ, ς, z) − G
ˆ αmn (φ, σ, z)
G

2

≤ C1

m=1 n=1

D
α ln
α

− 2z
T

2

||ϕ − φ||+||ς − σ||

. (2.25)

Sử dụng kết quả của bổ đề 2.3.1 với p = T − z + s, q = T ta có
e−2(T −z+s)λmn
αλmn + e−T λmn

2

+e

2(s−z)λmn

≤ 2B

2

D
α ln
α

− 2(z−s)
T

, ∀α ∈ (0, D).

(2.26)

Do đó, kết hợp 2.26 với kết quả ở (2.11) trong bổ đề 2.3.2 ta được
+∞ +∞
α
α
|Jˆmn

(wα , z) − Jˆmn
(v α , z)|2
m=1 n=1
+∞ +∞

≤
m=1 n=1
+∞ +∞

≤
m=1 n=1

2B 2 z
≤
λ2min
2B 2 z
≤
λ2min

z

e−2(T −z+s)λmn

z
λ2mn

(αλmn

0

2
+ e−T λmn )

z

2B 2 z
λ2mn

D
α ln
α

− 2(z−s)
T

+ e2(s−z)λmn |fˆmn (wα , s) − fˆmn (v α , s)|2 ds

|fˆmn (wα , s) − fˆmn (v α , s)|2 ds

0

z

D
α ln
α

− 2(z−s)
T

||f (wα (s), s) − f (v α (s), s)||2 ds

0
z

D
α ln
α
0

− 2(z−s)
T

K 2 ||wα (s) − v α (s)||2 ds.

(2.27)


25

Từ (2.25) và (2.27), suy ra
||wα (z) − v α (z)||2 ≤ C3

− 2z
T

D
α ln
α

(||ϕ − φ||+||ς − σ||)2

z

+C4 c

(2.28)

− 2(z−s)
T

D
α ln
α

α

α

2

||w (s) − v (s)|| ds,

0

trong đó C3 = 2C1 , C4 = 2C2 , C1 được định nghĩa ở bổ đề 2.3.2 và C2 được định nghĩa
bởi (2.20). Bất đẳng thức (2.28) được viết lại như sau
2z
T

D
α ln
α

||wα (z) − v α (z)||2 ≤ C3 (||ϕ − φ||+||ς − σ||)2
z

D
α ln
α

+C4 c

2s
T

||wα (s) − v α (s)||2 ds.

0

(2.29)
Áp dụng bất đẳng thức Gro¨nwall ta được
D
α ln
α

2z
T

||wα (z) − v α (z)||2 ≤ C3 eC4 z ||ϕ − φ||+||ς − σ||

Do đó
||wα (z) − v α (z)||≤ Q1

trong đó Q1 =

D
α ln
α

2

.

− Tz

(||ϕ − φ||+||ς − σ||),

C3 eC4 T .

Phần chứng minh định lý 2.3.4 đến đây là kết thúc.
2.3.3

Đánh giá sai số

Định lý 2.3.4. Giả sử bài toán (1) - (4) có nghiệm chính xác duy nhất u ∈
C([0, c], H01 (Ω))∩C 1 ([0, c], L2 (Ω)); với mỗi ε ∈ (0; D) và (g ε , hε ) thoả mãn (3), nghiệm

chỉnh hoá uε,α ∈ C([0, c], L2 (Ω)) được xây dựng từ bài toán (2.7) - (2.9) tương ứng
với dữ liệu Cauchy (g ε , hε ). Tham số chỉnh hoá α = α(ε) được chọn phụ thuộc vào

ε sao cho
ε
< ∞,
ε→0 α(ε)

lim α(ε) = 0 và lim

ε→0

(2.30)

thì ta có các kết quả sau
(1) Nếu u thoả mãn
+∞ +∞

c

e2(c−s)λmn |fmn (u, s)|2 ds < ∞
m=1 n=1 0

(2.31)