Dạy học định lí toán học theo định hướng phát hiện và giải quyết vấn đề (thể hiện qua dạy học hình học không gian) khoá luận tốt nghiệp đại học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
KHOA TỐN
*****************

ĐẬU THỊ PHÚC

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

DẠY HỌC ĐỊNH LÍ TỐN HỌC THEO ĐỊNH
HƯỚNG PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
(THỂ HIỆN QUA DẠY HỌC HÌNH HỌC KHƠNG GIAN)

VINH, 2012


2

LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, Thạc sĩ
Nguyễn Chiến Thắng đã hướng dẫn khoa học để tác giả hồn thành khóa luận.
Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới ban chủ nhiệm cùng các thầy, cơ khoa
Tốn, Đại học Vinh; Ban giám hiệu cùng các thầy cô giáo trường THPT Lý Tự
Trọng- Thạch Hà - Hà Tĩnh đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập
và thực hiện khóa luận.
Tác giả xin gửi đến tất cả người thân, bạn bè và tập thể HS A 4, A5 K45THPT Lý Tự Trọng lòng biết ơn sâu sắc.
Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ q báu đó!
Khóa luận khơng tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong nhận được các ý
kiến đóng góp của q thầy cơ giáo và các bạn.
Vinh, tháng 4 năm 2012
Tác giả

3

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Sự phát triển xã hội và đổi mới đất nước đang đòi hỏi cấp bách phải nâng cao
chất lượng GD và Đào tạo. Nền kinh tế nước ta đang chuyển từ cơ chế kế hoạch
hóa tập trung sang cơ chế thị trường có sự quản lí của nhà nước. Cơng cuộc đổi
mới này đề ra những yêu cầu mới đổi với hệ thống GD, điều đó địi hỏi chúng ta,
cùng với những thay đổi về nội dung cần có những đổi mới căn bản về phương
pháp dạy học.
Định hướng đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay nhằm phát
huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và độc lập suy nghĩ của HS, địi hỏi HS chủ
động trong q trình phát hiện, giải quyết nhiệm vụ nhận thức dưới sự tổ chức,
hướng dẫn của GV.
Vì vậy phương hướng đổi mới phương pháp dạy học là làm cho HS học tập tích
cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động. Phải làm sao trong mỗi tiết
HS được suy nghĩ nhiều hơn, thảo luận nhiều hơn. Đây chính là thước đo đánh giá
sự đổi mới phương pháp dạy học.
Một số năm gần đây với những tư tưởng chủ đạo được phát biểu dưới nhiều hình
thức khác nhau như “phát huy tính tích cực”, “phương pháp dạy học tích cực”,
“tích cực hóa hoạt động học tập”, “hoạt động hóa người học” và một số phương
pháp dạy học hiện đại đã được đưa vào nhà trường phổ thơng như: dạy học định lí
theo thuyết hoạt động, dạy học phân hóa…Các phương pháp dạy học này đã và
đang đáp ứng được phần lớn những yêu cầu đặt ra. Tuy nhiên, chỉ với một số
phương pháp đã được sử dụng thì vấn đề nâng cao hiệu quả dạy học, phát huy
tính chủ động của HS vẫn chưa được giải quyết một cách căn bản. Vì thế việc
nghiên cứu và vận dụng các xu hướng dạy học có khả năng tác động vào hoạt
động của HS theo hướng tích cực hóa q trình nhận thức là điều thực sự cần thiết.
Một trong những xu hướng mới đang gây sự chú ý cho các nhà nghiên cứu lí

luận dạy học đó là: “Dạy học theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề”.
Về mặt lí luận vận dụng quan điểm này trong dạy học toán ở trường phổ thơng
có thể được coi là một trong những phương pháp dạy học tích cực “thầy giáo tạo


4

ra nhiều tình huống gợi vấn đề thơng qua các câu hỏi mở điều khiển HS phát hiện
vấn đề, HS tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo để giải quyết vấn đề, thơng qua đó
tạo tri thức và rèn luyện kĩ năng”.
Trong dạy học tốn nói chung và đặc biệt là dạy học hình học nói riêng, các
định lí có một vai trị hết sức quan trọng, làm nền tảng cho việc rèn luyện kỹ năng
bộ môn, đặc biệt là khả năng suy luận và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ
chung, và là cơ sở để giải tốn. Do đó làm thế nào để dạy học định lí được hiệu
quả đó là một vấn đề hết sức quan trọng trong dạy học hiện nay.
Vì lí do trên tơi chọn đề tài nghiên cứu của bài khóa luận là: “Dạy học định lí
tốn học theo định hướng phát hiện và giải quyết vấn đề”.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về dạy học định lí theo hướng PH và GQVĐ, vận dụng phương pháp
này vào giảng dạy định lí trong mơn hình học khơng gian ở trường THPT nhằm
nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn, tạo niềm hứng thú, say mê học tập cho HS.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống hóa cơ sở lí luận về dạy học PH và GQVĐ, phân tích đặc trưng
-

của dạy học PH và GQVĐ.
Phân tích các hoạt động liên quan đến dạy học định lí tốn học.
Hệ thống chuẩn kiến thức, kĩ năng của các định lí hình học khơng gian lớp

-

11.
Xây dựng quy trình dạy học định lí theo hướng PH và GQVĐ.
Thử nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của việc dạy học

định lí theo hướng PH và GQVĐ dựa theo quy trình đã đề xuất.
4. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở SGK hiện hành nếu đề xuất được quy trình dạy học định lí giúp HS
phát hiện và GQVĐ thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học hình học, đáp
ứng yêu cầu dạy học hiện nay.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: nghiên cứu tài liệu về đổi mới phương
pháp, đổi mới phương tiện dạy học. Đặc biệt là lí thuyết về dạy học PH và
-

GQVĐ và ứng dụng CNTT.
Phương pháp quan sát: quan sát hoạt động của HS


5

-

Phương pháp thực nghiệm sư phạm: phân tích, xử lí số liệu, đưa ra kết luận
thực nghiệm của hai quá trình dạy học: giữa một là đối tượng thực nghiệm

và một là đối tượng đối chứng.
6. Đóng góp của khóa luận
- Làm rõ vai trị,vị trí của định lí tốn học.
- Hệ thống hoá một số vấn đề liên quan đến dạy học PH và GQVĐ.

- Phân tích, làm rõ các con đường dạy học định lí, ưu điểm và nhược điểm
của mỗi con đường.
- Hệ thống một số vấn đề liên quan đến định lí.
- Hệ thống chuẩn KTKN của các định lí hình học khơng gian 11.
- Xây dựng quy trình dạy học định lí theo định hướng PH và GQVĐ.
7. Cấu trúc của khóa luận
MỞ ĐẦU.
CHƯƠNG 1 - CƠ SỞ LÍ LUẬN
CHƯƠNG 2 - QUY TRÌNH DẠY HỌC ĐỊNH LÍ THEO ĐỊNH HƯỚNG PH
VÀ GQVĐ.
CHƯƠNG 3 – THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM
KẾT LUẬN.


6

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
1.1.1. Cơ sở lí luận
1.1.1.1. Cơ sở triết học
Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình
phát triển. Một vấn đề được gợi cho học sinh học tập chính là một mâu thuẫn giữa
yêu cầu nhiệm vụ nhận thức với kiến thức và kinh nghiệm sẵn có.Tình huống này
phản ánh một cách logic và biện chứng quan hệ bên trong giữa kiến thức cũ, kỹ
năng cũ, kinh nghiệm cũ với những yêu cầu giải thích sự kiện mới hoặc đổi mới
tình thế.
1.1.1.2.

Cơ sở tâm lý

Theo các nhà tâm lý học, con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh
nhu cầu cần tư duy, tức là khi đứng trước một khó khăn về nhận thức cần phải
khắc phục khó khăn đó, một tình huống có vấn đề, phát hiện vấn đề.
1.1.1.3. Cơ sở giáo dục học
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề phù hợp với ngun tắc tình tự giác và
tích cực vì nó khêu gợi được hoạt động học tập mà chủ thể được hướng đích.
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề cũng biểu hiện sự thống nhất giữa giáo
dưỡng và giáo dục là rèn luyện cho học sinh cách thức phát hiện và giải quyết vấn
đề, đồng thời nó góp phần bồi dưỡng cho người học những đức tính cần thiết cưa
người lao động sáng tạo, chủ động, kiên trì vượt khó, tính kế hoạch và thói quen tự
kiểm tra.
1.1.2. Các khái niệm về dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
1.1.2.1. Khái niệm dạy học

• Khái niệm dạy
Dạy là một quá trình hoạt động của giáo viên nhằm thiết kế, tổ chức, điều
khiển, hướng dẫn học sinh cùng nhau tham gia hoạt động trao đổi, thảo luận … để
hoàn thành nhiệm vụ, đồng thời chiếm lĩnh tri thức, kỹ năng, hình thành và phát
triển hoạt động nhận thức của học sinh.

• Khái niệm học


7

Học là quá trình tự biến đổi mình và làm phong phú mình bằng cách chọn nhập
và xử lý thơng tin lấy từ môi trường xung quanh. Theo quan niêm này thì khái
niệm học được hiểu theo nghĩa rất rộng, nó bao gồm các yếu tố: thơng tin từ mơi
trường xung quanh, biết thu thập, xử lý và tự biến đổi bản thân.
Dạy học là sự kết hợp giữa hai hoạt động là hoạt động dạy và hoạt động học.

1.1.2.2. Khái niệm phát hiện
Theo từ điển tiếng việt phát hiện là “tìm thấy cái chưa ai biết” nghĩa là tìm ra cái
mới được nhân loại thừa nhận và dùng được trong phạm vi khoa học và cả phạm
vi loài người.
Phát hiện theo cách hiểu ở đây không phải là mới đối với nhân loại mà là mới
đối với bản thân chủ thể, và thường được dùng trong nhà trường,
Phát hiện trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có thể hiểu theo nghĩa
“tìm thấy cái chính mình chưa biết và có nhu cầu muốn biết”. Dùng theo nghĩa này
để chỉ rõ vai trò của học sinh trong việc tìm tịi, thảo luận, tranh luận để tìm ra tri
thức mới hay nguyên lý mới trên cơ sở kinh nghiệm sẵn có.
1.1.2.3. Khái niệm vấn đề
Vấn đề là một hệ thống câu hỏi, những mệnh đề hoặc các yêu cầu thỏa mãn hai
điều kiện :
- HS chưa giải đáp được câu hỏi đó hoặc chưa thực hiện được hoạt động đó.
- HS chưa được học một quy tắc có tính thuật giải nào để giải đáp câu hỏi đó hay
chưa thực hiện được hoat động dã đặt ra.
1.1.2.4. Khái niệm giải quyết vấn đề
Giải quyết vấn đề là quá trình huy động tri thức, khả năng kinh nghiệm của
mình để thực hiện hoạt động nào đó nhằm làm sáng tỏ một vấn đề.
1.1.2.5. Khái niệm tình huống gợi vấn đề
Tình huống gợi vấn đề, cịn gọi là tình huống vấn đề, là một tình huống gợi ra
cho học sinh những khó khăn về, lí luận hay thực tiễn mà họ cảm thấy cần thiết và
có khả năng vượt qua, nhưng không phải ngay tức khắc nhờ một thuật giải mà
phải trải qua một q trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng
hoạt động hoặc điều chỉnh kến thức sẵn có [1].
1.1.3. Đặc trưng của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có những đặc trưng [5]sau:
- Học sinh được đặt vào một “tình huống gợi vấn đề” chứ không phải là được
thông báo tri thức dưới dạng có sẵn.

8

- Học sinh hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo, tận lực huy động tri
thức và khả năng của mình để phát hiện và GQVĐ chứ khơng phải nghe giảng
một cách thụ động.
- Mục tiêu dạy học không chỉ là làm cho học sinh lĩnh hội kết quả của q trình
PH và GQVĐ mà cịn ở chỗ làm cho họ phát triển khả năng tiến hành những q
trình như vậy. Nói cách khác học sinh học được bản thân việc học.
1.1.4.

Quy trình dạy học PH và GQVĐ

Hạt nhân của dạy học PH và GQVĐ là điều khiển quá trình nghiên cứu của học
sinh, quy trình [5]này chia làm các bước:
B1. Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
+ Đưa học sinh vào tình huống có vấn đề.
+ Giải thích và chính xác hóa tình huống để hiểu đúng VĐ được đặt ra.
+ Phát biểu VĐ và đặt mục tiêu GQVĐ đó.
B2. Giải quyết vấn đề.
- Phân tích VĐ, làm rõ mối liên hệ giũa cái đã biết và cái phải tìm, đề
xuất và thực hiện hướng giải quyết, việc này thường được thực hiện theo sơ
đồ sau:

Gợi vấn đề

Phân tích vấn đề

Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết

Hình thành giải pháp

Giải pháp đúng

Kết thúc


9

- Sau khi đã tìm ra một giải pháp có thể tiếp tục tìm thêm những giải pháp khác,
so sánh chúng với nhau để tìm ra giải pháp hợp lý nhất.
B3. Trình bày giải pháp.
B4. Nghiên cứu sâu giải pháp.
+ Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả.
+ Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hóa, lật
ngược vấn đề… và GQVĐ nếu có thể.
1.1.5.

Những lưu ý trong q trình dạy học PH và GQVĐ

- Quy trình dạy học trên phải được xây dựng trên cơ sở bao quát toàn bộ các
đơn vị kiến thức quy định trong một giờ học, tức là GV phải định rõ vấn đề nhận
thức nào là cơ bản, cho HS phát hiện và GQVĐ (giai đoạn 1 và 2), những vấn đề
còn lại được coi là sự vận dụng (giai đoạn 3) của vấn đề cơ bản đó. Như vậy, tồn
bộ tiến trình giờ học là sự vận động và biến đổi theo 3 giai đoạn của vấn đề cơ bản
ban đầu.
- Bước vận dụng vào tình huống mới (GĐ3) lại trải qua 3 giai đoạn của quy trình
dạy học: phát hiện tình huống mới, giải quyết nó và lại vận dụng nó vào tình
huống mới khác …. Cứ thế tiếp tục cho hết giờ học. Do đó hoạt động vận dụng ở
quy trình dạy học phải thực hiện mệnh đề kép, vừa tìm ra kiến thức mới, vừa rèn

luyện phương thức hoạt động qua việc thực hành lại quy trình dạy học.


10

- Không nên quá cứng nhắc trong việc xây dựng và sử dụng quy trình dạy học,
bởi việc thiết kế nó bị phụ thuộc vào nhiều nội dung, đối tượng nhận thức, trình độ
của GV, phương tiện dạy học.
1.2. Dạy học định lí tốn học
1.2.1. Vị trí của định lí và yêu cầu của dạy học định lí
1.2.1.1. Vị trí của định lí tốn học
Các định lí cùng với các khái niệm toán học tạo thành nội dung cơ bản của mơn
tốn, làm nền tảng cho việc rèn luyện kỹ năng bộ môn, đặc biệt là khả năng suy
luận và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện tư tưởng, phẩm
chất đạo đức.
1.2.1.2 Yêu cầu dạy học định lí tốn học
Việc dạy học định lí tốn học nhằm đạt được các yêu cầu [1]sau:
1. Học sinh nắm được hệ thống định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ
đó có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải
quyết các vấn đề trong thực tiễn.
2. Học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lí, thấy được
chứng minh định lí là một yếu tố quan trọng trong phương pháp làm việc
trên lĩnh vực tốn học.
3. Học sinh hình thành và phá triển năng lực chứng minh toán học, từ chỗ
hiểu chứng minh, trình bày lại được chứng minh, nâng lên đến mức độ
biết cách suy nghĩ để tìm ra chứng minh, theo u cầu của chương trình
phổ thơng.
1.2.2. Các vấn đề liên quan đến định lí
• Cấu trúc định lí
Một định lí là một mệnh đề tốn học đã được hoặc cần được chứng minh, dựa

trên một số hữu hạn các tiên đề và q trình suy luận.
Một định lí thường bắt đầu bằng một việc giới thiệu các điều kiện, tiếp đến là
một kết luận đúng trong các điều kiện đã nêu.
Như vậy mỗi định lí bao giờ cũng có thể chia làm hai phần :
Định lí

Giả thiết

Kết luận

(chứa đựng thơng tin có sẵn)

(suy ra từ những thơng tin có sẵn)


11

Mỗi định lí hình học dù được phát biểu đơn giản hay phức tạp thì bao giờ
cũng chứa đựng phần mang tính dữ kiện (GT) và phần suy diễn (KL). Một định lí
có giả thiết phức tạp, người ta có thể thay đổi vị trí đặt giả thiết để tạo ra cách
phát biểu khác nhưng bản chất của định lí khơng đổi.[4]
•

Chứng minh định lí.
- Khái niệm chứng minh định lí :
“Chứng minh định lí là dùng lập luận để suy từ giả thiết ra kết luận. Lập luận là

nêu những khẳng định và vạch rõ vì sao, căn cứ vào đâu mà có những khẳng định
đó”. [2]
•

Tại sao phải chứng minh định lí hình học
Khi quan sát một hình dù đơn giản hay phức tạp, nhận thức của chúng ta về nó,

bắt đầu từ nhận thức cảm tính rồi phát triển thành nhận thức lí tính. Nghĩa là thực
tế và lí luận liên hệ với nhau. Hình học là mơn học chỉ lấy một số tính chất của các
vật thể làm đối tượng nghiên cứu, do đó hình học vừa là mơn mang tính trực quan
vừa mang tính trừu tượng. Mỗi định lí hình học được hình thành đều dựa trên kết
quả của q trình nghiên cứu đó, do vậy để kiểm tra lại tính đúng đắn và xác thực
của định lí đã có chúng ta cần chứng minh.[4]
- Gợi động cơ chứng minh
Ý cơ bản để gợi động cơ chứng minh là “phải làm cho học sinh thấy rõ rằng
việc kiểm nghiệm những ví dụ riêng lẻ về nguyên tắc không đủ để chứng minh một
mệnh đề khái quát (về tất cả các phần tử của một tập xác định)” [1]
Những lần đầu chứng minh một định lí hay giải một bài tập chứng minh theo yêu
cầu của thầy giáo, HS thường chưa thấy rõ sự cần thiết phải làm việc này. Vấn đề
đặt ra là làm thế nào để HS thấy rõ sự cần thiết phải chứng minh một mệnh đề toán


12

học. Có giải đáp được câu hỏi này thì mới phát huy được tính tự giác, tích cực của
HS trong hoạt động học tập.
Phải cho HS thấy rõ rằng việc kiểm nghiệm những ví dụ riêng lẻ về ngun tắc
khơng đủ để chứng minh một mệnh đề tổng quát, cần cho học sinh thấy rằng
những điều thấy hiển nhiên trên hình vẽ thật ra chỉ là trên một hình vẽ, hay nếu
chịu khó thử thì cũng chỉ là trên một số hình vẽ. Vấn đề đặt ra là với một mệnh đề
tổng qt, ta khơng thể thử trực tiếp nó trên vơ số trường hợp, vì vậy cần phải
chứng minh nó.
- Những phương pháp chứng minh.

* Phương pháp phân tích: đi từ kết luận, từ kết luận tìm các điều kiện cần có để
đi đến kết lận đó.
* Phương pháp tổng hợp: bắt đầu từ giả thiết, tìm những điều đã biết (tiên đề,
định lí, định nghĩa) chọn ra những diều kiện thích hợp, từng bước một suy ra định
lí.
* Phương pháp gián tiếp: mỗi định lí đều có 4 cách biến đổi: định lí, định lí đảo,
định lí phản, định lí phản đảo. Định lí thuận và định lí phản đảo hoặc cùng đúng
hoặc cùng sai. Dựa vào mối liên quan đó, khi định lí thuận khơng chứng minh
được hoặc khó chứng minh, ta có thể chứng minh định lí phản đảo của nó. Nếu
định lí phản đảo đúng thì định lí thuận cũng đúng, vì giả thiết của định lí phản đảo
là mặt trái của kết luận của định lí thuận, và kết luận là mặt trái của giả thiết của
định lí thuận.
Cho nên cách chứng minh này thực ra là: cho mặt trái của kết luận của định lí
thuận là đúng rồi chứng mnh nó mâu thuẫn với giả thiết của định lí thuận.
• Các dạng định lí
Các dạng Định lí

Định lí thuận

Định lí đảo

Định lí phản

Định lí phản đảo


13

• Nhận dạng và thể hiện định lí
Nhận dạng và thể hiện định lí là hai dạng hoạt động theo chiều hướng trái ngược

nhau, có tác dụng củng cố định lí, tạo tiền đề cho việc vận dụng định lí.
1.2.3.

Các con đường dạy học định lí

Trong việc dạy học những định lí tốn học, người ta phân biệt hai con đường: con
đường suy diễn và con đường có khâu suy đoán. Hai con đường này được minh
họa bằng sơ đồ [1]sau:
Con đường có khâu suy đốn

Con đường có khâu suy diễn

Gợi động cơ và phát biểu vấn đề

Dự đoán và phát biểu định lí

Chứng minh định lí

Suy diễn dẫn tới định lí

Phát biểu định lí

Vận dụng định lí để giải quyết vấn đề đặt ra
Sự khác biệt giữa hai con đường đó là ở chỗ: theo con đường có khâu suy đốn
Củng cố định lí
thì việc dự đốn phát hiện trước việc chứng minh dịnh lí, cịn ở con đường có khâu
suy diễn thì hai việc này nhập lại thành một bước.
Việc lựa chọn dạy học định lí theo con đường nào không phải lựa chọn một cách
tùy tiện mà phải dựa vào nội dung của định lí và trình độ của học sinh. Khi học
sinh mới làm quen với mơn hình học, trình độ của học sinh cịn hạn chế thì nên

dạy định lí theo con đường có khâu suy dốn. Về sau trình độ học sinh giỏi hơn
thì có thể dạy định lí theo con đường có khâu suy diễn.


14

Trong các bước ở cả hai khâu suy diễn và suy đốn trên thì phát hiện định lí và
chứng minh định lí là hai bước quan trọng, có nhiều khó khăn, đơi khi địi hỏi học
sinh phải huy động nhiều kiến thức, hay có những định lí lại có nhiều hướng
chứng minh. Do đó học sinh có nhu cầu trao đổi, thảo luận đóng góp ý kiến hay
nói cách khác cần có sự hợp tác để GQVĐ hợp lí, nhanh chóng, nâng cao khả năng
tự khám phá, lĩnh hội tri thức.
Dưới đây chúng ta sẽ đi tìm hiểu sâu từng con đường
1.2.3.1.

Con đường có khâu suy đốn

- B1. Gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực
tiễn hoặc trong nội bộ toán học.
- B2. Dự dốn và phát biểu định lí
Dựa vào những phương pháp nhận thức mang tính suy đốn: quy nạp khơng
hồn tồn, lật ngược vấn đề, tương tự hóa, khái qt hóa một định lí đã biết,
nghiên cứu trường hợp suy biến, xét mối liên hệ và phụ thuộc…
- B3. Chứng minh định lí
Trong đó đặc biệt chú ý đến việc gợi động cơ chứng minh và gợi cho học sinh
thực hiện những hoạt động ăn khớp với những phương pháp suy luận, chứng minh
thông dụng và những quy tắc kết luận logic thường dùng.
Tùy theo yêu cầu của chương trình, trong những trường hợp nhất định, việc chứng
minh một số định lí có thể khơng đặt ra cho chương trình phổ thơng.
- B4. Vận dụng định lí vừa tìm được để giải quyết khép kín vấn đề đặt ra khi gợi

động cơ.
- B5. Củng cố định lí
Bước này sẽ được trình bày chung cho cả hai con đường
Mặc dù tốn nhiều thời gian nhưng con đường có khâu suy đốn có các ưu điểm
sau
+ Khuyến khích tìm tịi, dự đốn, phát hiện vấn đề trước khi GQVĐ, khuyến
khích học tập tri thức tốn học trong q trình nó đang nảy sinh và phát triển chứ
không hạn chế ở việc trình bày lại tri thức tốn học có sẵn.


15

+ Học sinh có ý thức rõ ràng về sự phân biệt và mối liên hệ giữa suy đoán và
chứng minh.
+ Khuyến khích phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu
tượng hóa, khái qt hóa …
Con đường có khâu suy đốn có hai hướng thực hiện.
Hướng 1. Thực nghiệm đến suy luận.
Tiến trình này dựa trên quan điểm cho rằng hoạt động thực nghiệm (quan sát, đo
đạc, mị mẫm, dự đốn). Nghiên cứu thực nghiệm và nghiên cứu lí thuyết có mối
quan hệ biện chứng khơng thể tách rời. Vì thế phát triển khả năng thực nghiệm
cũng có vai trị quan trọng như phát triển các năng lực tư duy, khái niệm suy luận,
trí tưởng tượng …
Dạy học toán ở trường THPT cũng là cơ hội để hình thành và phát triển khả
năng thực nghiệm cho học sinh.
Đặc biệt việc quán triệt quan điểm thực nghiệm trong dạy học định lí thể hiện rõ
nét nhất trong tiến trình dạy học từ thực nghiệm đến suy luận được mô tả qua các
bước sau :
B1: Nghiên cứu thực nghiệm qua các ví dụ, các đối tượng cụ thể (số, hình, đồ thị)
B2: Phỏng đốn (phát hiện một vấn đề )

B3: Bác bỏ hay khẳng định phỏng doán
B4: Phát biểu định lí (nếu mệnh đề phỏng đốn được chứng minh là đúng )
B5: Củng cố và vận dụng định lí
Bước 3 đóng vai trị quan trọng trong sự kết nối biện chứng giữa nghiên cứu thực
nghiệm (b1) và nghiên cứu lí thuyết (suy luận ở b3)
Tuy nhiên, tùy theo trình độ học sinh và đặc điểm của định lí, đơi khi bước 3 được
bỏ qua. Người ta thừa nhận tính đúng dắn của phỏng đốn và trình bày ngay định
lí.
Ví dụ : Dạy học định lí: “Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau và
cùng song song với mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng
(Q)”
B1. Cho học sinh quan sát các mơ hình:


16

Hình lập phương ABCDA’B’C’D’ (H1) làm bằng bìa hoặc gỗ mỏng được, được
cắt thành hai nửa (H2) và (H3).
A

D

A
A

B

B

C

D

C
C

A'

D'

B'
C'

A'

B'

A'

D'

C'
C'

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Cho học sinh quan sát H1 và nhận xét mặt phẳng (ABCD) song song với mặt
phẳng (A’B’C’D’).
Cho học sinh nhận xét tiếp các cặp đường thẳng (AB, AD), (BA, BC ), (CB,
CD) đều có tính chất cắt nhau và song song với mặt phẳng (A’B’C’D’).
GV: Đặt vấn đề cho học sinh : Cần bao nhiêu cặp đường thẳng cắt nhau của mặt
phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng (A’B’C’D’) để mặt phẳng (ABCD) song
song với mặt phẳng (A’B’C’D’)?
Cho HS quan sát 2 hình được cắt ra: ở H2 chỉ còn 2 đường BA, CB cắt nhau và
song song với mặt phẳng (B’A’C’), còn ở H3 chỉ còn 2 đường thẳng AD và DC
cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (A’C’D’).Tuy nhiên vẫn giữ nguyên
các cặp mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’) song song với nhau, (ACD) và (A’C’D’)
song song với nhau.
B2. Phỏng đoán
Từ những quan sát bằng trực quan ở trên, yêu cầu HS đưa ra dự đoán cho vấn
đề được nêu ra. Nghĩa là dự đoán điều kiện để 2 mặt phẳng song song với nhau:
mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nếu (P) chứa 2 đường thẳng cắt nhau
cùng song song với (Q).
GV nhấn mạnh đây chỉ là một phỏng đoán
B3. Chứng minh phỏng đoán.


17

Giả sử mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với
mặt phẳng (Q), cần chứng minh: (P) song song với (Q)
GV nhận xét rằng: khơng thể kiểm tra việc

a
b

(P) và (Q) khơng có điểm chung, vì số điểm
của mặt phẳng là vơ hạn. Do đó ta sẽ chứng

P

minh bằng phản chứng, nghĩa là giả sử chúng
có điểm chung và suy ra mâu thuẫn.
Từ đây học sinh có thể chứng minh được dự
đốn như sau:

Q

Hình 4

Rõ ràng (P ) và (Q) khơng trùng nhau
Giả sử (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến c
{

a // c

b // c

⇒

a // b ⇒ ( P) // (Q)

Như vậy khẳng định phỏng đoán là đúng,
B4. Phát biểu định lí
B5. Củng cố định lí
Yêu cầu HS xét trường hợp nếu bỏ điều kiện hai đường thẳng cắt nhau thì định lí

cịn đúng nữa khơng ?
Nếu bỏ điều kiện cắt nhau thì mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) có thể cắt nhau:
Chẳng hạn mặt phẳng (BCB’C’) và ( A’D’C’B’)
Có thể phát biểu định lí bằng cách tương tự khác như : “Nếu hai mặt phẳng (P)
và (Q) phân biệt và hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng (P) tương ứng song
song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q)”.
- Nhận dạng và thể hiện định lí
Chẳng hạn cho hình chóp SABC, các điểm M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm
các cạnh SA, SB, SC, CA, CB. Các mệnh đề sau đúng hay sai ?
a. Mặt phẳng ( MND) và mặt phẳng ( ABC) song song
b. Mặt phẳng (PQR) và mặt phẳng (SAB ) song song
Hướng 2. Đi từ bài toán đến định lí


18

Tiến trình này được thực hiện theo các bước sau:
B1. Giải các bài tốn
B2. Phát biểu định lí như là kết quả của việc giải quyết các bài toán, (thể chế hóa)
B3. Củng cố và vận dụng định lí.
Ví dụ. Dạy học định lí “gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng (P) và
S’ là diện tích hình chiếu H’ của H lên mặt phẳng (P) thì S’ = S.cos α . Trong đó

α là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)”
B1. Sau khi học sinh học xong góc giữa hai mặt phẳng và cách xác định góc giữa
hai mặt phẳng, GV đưa ra bài toán sau. Bài toán này vừa là cho HS nhận dạng khái
niệm vừa để hình thành định lí.
Bài tốn. Cho hình chóp SABC, có SA vng góc

S

với (ABC).
a. Xác định góc α tạo bởi 2 mặt phẳng (SBC) Và
(ABC) ?
b. Giả sử diện tích tam giác SBC bằng S. Hãy tính

C

A

diện tích của tam giác ABC
H

Yêu cầu học sinh giải bài tốn trên.
Lời giải được mong đợi.

B

Hình 5

a. từ A kẻ đường cao AH của tam giác ABC.

Ta có :

⇒

 BC ⊥ AH

 BC ⊥ SA

BC⊥ (SAH)

⇒ BC ⊥ SH (2)
Mặt khác BC là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc tạo bởi
hai đường thẳng SH và AH
1
b. S ∆SBC = SH. BC
2


19

S∆
ABC

=

1
1
AH.BC = SH.cos α .BC = S ∆SBC .cos α
2
2

Từ bài toán này GV nhận xét: S ∆ABC = S ∆SBC .cos α với α là góc tạo bởi hai
mặt phẳng (SBC) và (ABC)
Ta thấy AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABC)
AB là hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABC)
Suy ra : ∆ABC là hình chiếu của ∆ SBC lên mặt phẳng (ABC)
Và S ∆ABC = S ∆SBC .cos α

Mở rộng khái quát của bài toán trên ta có định lí tổng qt
B2. Phát biểu định lí
B3. Củng cố và vận dụng định lí.
- Nhấn mạnh giả thiết, kết luận của định lí.
- Vận dụng định lí vào giải các bài tốn tính diện tích của một đa giác thuộc một
mặt phẳng khi biết diện tích hình chiếu của nó lên một mặt phẳng và biết góc giữa
hai mặt phẳng đó.
1.2.3.2.

Con đường suy diễn.

B1. Gợi động cơ học tập định lí.
B2. Xuất phát từ những tri thức toán học đã biết dùng suy diễn logic dẫn tới định
lí.
B3. Vận dụng định lí.
B4. Củng cố định lí.
Qua hai con đường dạy học định lí trên, có 3 tiến trình để dạy học định lí. Thơng
Các tiến trình dạy học định cơ,
thường các tiến trình có thể bắt đầu bằng pha tạo động lí ta có thể tóm tắt các

tiến trình như sau ([2]):

Thực nghiệm đến suy luận

Bài tốn đến định lí

Suy diễn

Tạo động cơ.

Tạo động cơ.

Tạo động cơ.

Nghiên cứu thực nghiệm.

Giải các bài tốn.

Phát biểu định lí.

Phỏng đốn.

Phát biểu định lí.

Bác bỏ hay khẳng định
phỏng đốn.

Củng cố, vận dụng.

Chứng minh hay cơng
nhận định lí.

Phát biểu định lí.
Củng cố, vận dụng.

Củng cố, vận dụng.


20

Về ưu điểm và nhược điểm của mỗi tiến trình.
• Tiến trình “thực nghiệm đến suy luận”
- Ưu điểm:
* HS thấy được con đường nảy sinh định lí, nói cách khác HS học được cách phát
hiện định lí.
* Tạo được động cơ đưa vào định lí và nhu cầu phải chứng minh: chính nhu cầu
giải quyết các mâu thuẫn nảy sịnh khi tiến hành các phỏng đoán hay nhu cầu tìm
hiểu chân lí của mệnh đề phóng đốn sẽ tạo động cơ cho chứng minh.
* Tạo điều kiện hình thành hay củng cố cho HS các quy tắc kiểm nghiệm sau:
+ Một phản ví dụ là đủ chứng minh một mệnh đề tốn học là sai.
+ Các ví dụ dù nhiều bao nhiêu cũng không đủ để khẳng định một mệnh đề
toán học là đúng.
+ Ghi nhận thực nghiệm chỉ cho phép dự đốn chứ khơng cho phép khẳng
định tính đúng sai của một mệnh đề.
* HS được làm quen dần với hoạt động nghiên cứu khoa học, phát triển ở họ các
phẩm chất tư duy độc lập, sáng tạo, phê phán …khả năng thực nghiệm.
- Nhược điểm:
Mất nhiều thời gian và cơng sức của GV và HS, địi hỏi GV phải có khả năng
quản lí giờ học khơng cịn theo kiểu truyền thống (nhất là các pha tranh luận đi
dến phỏng đốn).
• Tiến trình “bài tốn đến định lí”
- Ưu điểm:
* Định lí xuất hiện tự nhiên như két quả của hoạt động giải tốn, nói cách khác tri
thức mới không được cho một cách trực tiếp, mà nảy sinh trong q trình giải các
bài tốn.


21

* Phù hợp với quan điểm: học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, HS có

nhiều thuận lợi để hoạt động tích cực và tự giác, hơn nữa nếu tạo được tình huống
có vấn đề thì dễ tạo động cơ và gây hứng thú cho HS. Đặc biệt, khi kết quả của
việc tạo tình huống gợi vấn đề là các bài toán mà ta mong muốn HS giải quyết để
đi đến định lí, thì ta cũng đã tạo cơ hội để HS học cách phát hiện định lí.
-

Nhược điểm:

* Khó có cơ hội phát triển ở HS khả năng thực nghiệm (quan sát, dự đoán…),
những khả năng cần thiết cho nghiên cứu tốn học.
* Khó tạo điều kiện hình thành hay củng cố ở HS các quy tắc kiểm nghiệm như đã
nêu ở trên, nhất là đối với HS khi đã làm quen với bước đầu suy luận và chứng
minh.
• Tiến trình “suy diễn”
- Ưu diểm:
* Ngắn gọn, tiết kiệm thời gian.
* GV dễ làm chủ tiến trình lên lớp, dễ quản lí giờ học.
-

Nhược điểm:

* Khó tạo động cơ và khó gây hứng thú học tập cho HS, hạn chế khả năng phát
triển năng lực tư duy tích cực, độc lập và sáng tạo của họ.
* Không phát triển ở HS các khả năng thực nghiệm, những khả năng cần thiết
cho hoạt động nghiên cứu tốn học.
* Khơng tạo điều kiện hình thành hay củng cố ở HS các quy tắc kiểm nghiệm như
đã nêu trên, nhất là đối với HS mới bước đậu làm quen với suy luận và chứng
minh.
* Định lí xuất hiện khơng tự nhiên, có tính áp đặt, tri thức mới được cho trực tiếp,
do vậy HS không hiểu được nguồn gốc nảy sinh, cũng như vai trò, ý nghĩa của tri

thức mới.[2]


22

CHƯƠNG 2: QUY TRÌNH DẠY HỌC ĐỊNH LÍ TỐN HỌC THEO
ĐỊNH HƯỚNG PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1. Vấn đề học tập hình học khơng gian trong nhà trường THPT
2.1.1. Đặc điểm của hình học khơng gian trong nhà trường THPT
Trong chương trình mơn tốn ở trường THPT, hình học không gian được
nghiên cứu bằng ba phương pháp chủ yếu là phương pháp tiên đề, phương pháp
Véctơ, và phương pháp tọa độ. Với các khái niệm cơ bản đó là điêm, đường thẳng,
mặt phẳng, và bốn tiên đề được thừa nhận trong hình học phẳng.
Dựa trên ba khái niệm cơ bản, các kết quả đã được công nhận trong hình
học phẳng, và bốn tiên đề trong hình học phẳng, hàng loạt các khái niêm, các mơ
hình, các định lý và các hệ quả quan trọng ra đời, nhằm tập trung giải quyết các
mối quan hệ hình học. Giống như trong hình học phẳng, quan hệ trong hình học
khơng gian cũng được chia làm hai loại: Quan hệ định tính và quan hệ định lượng.
- Quan hệ định tính có ba loại: Quan hệ liên thuộc, quan hệ song song, quan hệ
vng góc.
- Quan hệ định lượng bao gồm: khoảng cách, góc, diện tích xung quanh, thể tích.
Như vậy, các mối quan hệ trong hình học khơng gian ở trường THPT là tương đối
phong phú và đa dạng, các mối quan hệ hình học mà học sinh đã học ở cấp II trở
thành một bộ phận của kiến thức mà họ sẽ phải học trong chương trình THPT.
Điều này thể hiện các ưu thế của môn học này trong việc phát triển tư duy cho học
sinh, nhưng đồng thời cũng thấy được những khó khăn về nhận thức mà học sinh
sẽ gặp phải khi học nội dung này.
2.1.1. Vai trò của hình học khơng gian trong nhà trường THPT
Hình học không gian là một bộ phận cấu thành của môn tốn trong trường THPT,
do vây có vai trị quan trọng góp phần hồn thiện những u cầu của mơn tốn

trong việc phát triển nhân cách của học sinh. Tuy nhiên, với những ưu thế riêng
biệt của mình, hình học khơng gian có vai trị quan trong trong việc giúp học sinh
những yếu tố sau:


23

- Hình thành và phát triển những biểu tượng khơng gian gần gũi với cuộc sống
hằng ngày, góp phần quan trọng trong việc bồi dưỡng thẩm mỹ toán học.
- Phát triển trí tưởng tượng khơng gian, tư duy loogic và tư duy sáng tạo.
- Nâng cao năng lực chứng minh các định lý toán học cho học sinh.
Do vậy, dạy học hình học khơng gian cần chú ý các đặc điểm trên để có thể khai
thác chúng một cách hiệu quả.
2.2.

Khai thác ứng dụng của CNTT trong dạy học hình học khơng gian
Trong hoạt động tốn học có những thao tác tốn rất nhiều thời gian, mà hiệu

quả của việc phát triển tư duy cho người học không cao như: Việc tính tốn, vẽ
hình, kiếm tra lại một số thuộc tính của hình vẽ bằng khảo sát, đo đạc… đơi khi do
kỹ năng thao tác thực hành mà các kết quả lại khơng được chính xác, có thể đưa
tới những kết luận sai lầm.
Ngày nay, với sự phát triển của CNTT, chúng ta có nhiều phần mềm khai thác
trong dạy học tốn, giúp khắc phục những khó khăn như : Cabri, Geometer
Sketchpad, maple, powerpoint … cho phép tạo ra những hình ảnh trực quan, sinh
động, đa dạng.
- Phần mềm Geometer Sketchpad.
Phần mềm này có thể thực hiện được nhiều thao tác đặc biệt mà các phương tiện
trực quan khác khó có thể thực hiện được, chẳng hạn :
+ Với việc xác định tọa độ điểm, ta có thể đưa vào các phép tốn định lượng như

đo chiều dài, đo góc, tính tỉ số …Các thao tác này giúp ích rất nhiều trong tính
chính xác của chứng minh.
+ Việc chúng ta có thể tạo vết cho một đối tượng hay dựng mơt quỹ tích cho một
điểm là cơng cụ khá mạnh để dự đốn quỹ tích cho các bài tốn quỹ tích trong
khơng gian.
+ Với các mơ hình khơng gian phức tạp, với nhiều bước dựng chúng ta có thể
cho xuất hện lần lượt từng bước dựng một cách tuần tự bằng các nút điều khiển,
thao tác này giúp ích rất nhiều trong các bài tốn dựng hình.
- Phần mềm cabri 3D.


24

Cabri 3D là một trong các phần mềm hữu dụng và phù hợp trong dạy học
hình học khơng gian. Ngồi việc thay đổi dễ dàng các vị trí, kích thước của hình
vẽ mà vẫn bảo tồn các cấu trúc của đối tượng hình học thì cabri 3D cịn cho phép
tạo ra các chuyển động của đối tượng theo một quy luật nào đó, đồng thời có thể
để lại vết giúp thuận lợi cho việc giải bài tốn quỹ tích.
Bên cạnh đó cabri 3D cịn có thể kiểm tra các mối quan hệ giữa các đối
tượng như song song, vng góc, liên thuộc một cách chính xác, nó cho phép
thực hiện một số chức năng tính tốn như: đo khoảng cách giữa 2 đối tượng, đo
đội dài đoạn thẳng, cung tròn, chu vi hình trịn, diện tích hình phẳng, thể tích, đo
góc …
- Powerpoint:
Ngày nay, với sự tiến bộ vượt bậc của khoa học kỹ thuật đặc biệt là sự ra
đời của máy vi tính đã làm cho q trình nhận thức của học sinh trở nên đơn giản
hơn thông qua những bài giảng điện tử mà giáo viên đã chuẩn bị. Việc sử dụng
máy vi tính ngày nay khơng cịn xa lạ với giáo viên. Tuy nhiên, để soạn giảng
được một bài học có ứng dụng cơng nghệ thơng tin đòi hỏi người giáo viên phải sử
dụng thành thạo máy vi tính và biết một số phần mềm để sử dụng trong quá trình

dạy học.
Việc thực hiện các bài soạn giảng điện tử bằng Powerpoint cho thấy sự cần
thiết bởi nó đáp ứng được yêu cầu giáo dục như:
- Tạo sự hứng thú học tập cho học sinh bởi khả năng đối thoại trực tiếp.
- Tiết kiệm thời gian và chi phí trong giảng dạy.
- Tiện lợi khi cần tăng thêm lượng kiến thức, đưa thêm những nội dung mới hay
mở rộng trong tiết giảng.
- Giảm thiểu sự vất vả của giáo viên trong giờ lên lớp.
- Thuận tiện trong việc hỗ trợ cho các hoạt động (trong các chủ đề của môn học)
nhằm truyền đạt kỹ năng, kiến thức và thái độ
ngành, nghề cho học sinh.
Ví dụ : Dạy học định lí “Nếu hai mặt phẳng cắt
nhau (P) và (Q) lần lượt đi qua hai đường thẳng

Q

P

d
a
b

Hình 6


25

song song thì giao tuyến của chúng cùng phương với phương của hai đường
thẳng”
Hoạt động 1: cho hai đường thẳng a,b song song với nhau và hai mặt phẳng bất kỳ

cắt nhau (P) và (Q) lần lượt chứa chúng, Gọi d là giao tuyến của (P) và (Q).
- GV : Hãy cho biết mối quan hệ giữa a,b và d?
- HS rất dễ mắc sai lầm cho rằng a,b và d chỉ song song với nhau.
- GV sử dụng chức năng động của cabri 3D cho một mặt phẳng chuyển dộng để
các em quan sát.
Khi đó các em dễ dàng nhận thấy nếu (P) chuyển động thì d có thể trùng với b
hoặc nếu (Q) chuyển động thì d có thể trùng với a.

Q
d
a

Hình 7

Q

P

P
b

d

a

b

Hình 8

- GV yêu cầu HS gạt bỏ những dấu hiệu không bản chất để phát biểu định lí.

- GV có thể sử dụng cabri 3D để khẳng định tính đúng đắn của dự đốn của HS.
Thường thì những định lí này khơng q khó đối với HS, việc sử dụng cabri 3D
chỉ nhằm minh họa và khắc sâu kiến thức cho HS mà thôi.