Đáp án đề thi HSG huyện môn Toán

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH.
NĂM HỌC 2008-2009. MÔN THI: Toán (Thời gian làm bài 150 phút)
Câu Ý Nội dung
Điểm
1
(2,5đ)
1.1
(0,75đ)
Giải, xác định đúng điều kiện:
2 2
;
2 2
x x
−
< ≥
⇔
2 2 2
4 4 2 1 2 2 1. 7 7x x x x+ + + − − − +
= 0
2
( 2) ( 2 1 7) 0x x⇔ + + − − =
2
2
2 0
2
2
2 1 7 0
2
x
x
x

x
x
x
= −

+ =

 
⇔ ⇔ ⇔ =
=

 
− − =




= −


(Thỏa mãn)
0,25
0,25
0,25
1.2
(1.0đ)
Điều kiện :
2
2
2 2

4 0 (1)
16 0 (2)
4 1 0 (3)
2 3 0 (4)
x
x
x
x y y

− ≥

− ≥


+ ≥


+ − − ≥

Từ (2)
⇔
(x
2
– 4)(x
2
+ 4)
2
0 4 0x≥ ⇔ − ≥
kết hợp với (1) và (3) suy ra x = 2
Thay vào (4): y

2
– 2y + 1
0≥
; Đúng với mọi giá trị của y.
Thay x = 2 vào phương trình và giải đúng, tìm được y = 1,5
Vậy nghiệm của phương trình: (x = 2; y = 1,5)
0.5đ
0,5
1.3
(0,75đ)
Biến đổi đưa được pt về dạng: (x
2
– 2y
2
– 5)(x
2
+ y
2
+1) = 0
⇔
x
2
– 2y – 5 = 0
⇔
x
2
= 2y
2
+ 5
⇔

x lẻ
Đặt x = 2k + 1 ; ( k
Z∈
)
⇔
4k
2
+ 4k +1 = 2y
2
+ 5
⇔
2y
2
= 4k
2
+ 4k – 4
⇔
y
2
= 2(k
2
+ k – 1)
⇔
y chẵn
Đặt y = 2n; (n
Z∈
)
⇔
4n
2

= 2(k
2
+ k – 1)
⇔
2n
2
+ 1 = k(k + 1) (*)
Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá trị chẵn (Vì k và
k + 1 là hai số nguyên liên tiếp)
⇔
(*) vô nghiệm
⇔
pt đã cho vô nghiệm
0,25
0,25
0,25
2
(2,0đ)
2.1
(1,0đ)
Để
18n
+
và
41n
−
là hai số chính phương
2
18n p⇔ + =
và

( )
2
41 ,n q p q− = ∈ N
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
18 41 59 59p q n n p q p q⇒ − = + − − = ⇔ − + =
Nhưng 59 là số nguyên tố, nên:
1 30
59 29
p q p
p q q
− = =
 
⇔
 
+ = =
 
Từ
2 2
18 30 900n p+ = = =
suy ra
882n
=
Thay vào
41n
−
, ta được
2 2
882 41 841 29 q− = = =
.

Vậy với
882n =
thì
18n +
và
41n −
là hai số chính phương
0,5
0,5
2.2
(1,0đ)
Gọi số cần tìm là :
10ab a b= +
(a, b là số nguyên và a khác 0)
Theo giả thiết:
10a b a b+ = +
là số nguyên, nên
ab
và b là các số chính phương,
do đó: b chỉ có thể là 1 hoặc 4 hoặc 9
Ta có:
( )
2 2
10 10 2 2 5a b a b a b a a b b a b a+ = + ⇔ + = + + ⇔ − =

( )
2 5 b a⇔ − =
(vì
0a ≠
)

0,5
Do đó
a
phải là số chẵn:
2a k=
, nên
5 b k− =
Nếu
1 8 81 8 1 9b a= ⇒ = ⇒ = + =
(thỏa điều kiện bài toán)
Nếu
4 6 64 6 4 8b a= ⇒ = ⇒ = + =
(thỏa điều kiện bài toán)
Nếu
9 4 49 4 9 7b a= ⇒ = ⇒ = + =
(thỏa điều kiện bài toán)
0, 5
3
3,25đ)
3.1
(1,0)
d
d
'
D
B
A
L
I
E

N
P
H
O
M