Chuyen de HHKG tong hop

Hình học không gian: Trần Đình Nam
Hình học không gian
Bài 1.[Đại học Quốc Gia HCM D 2000]: Cho ABC đều cạnh a.
Trên đờng thẳng (d) vuông góc (ABC) tại A, lấy điểm MA.
Gọi H, K lần lợt là trực tâm các ABC, MBC.
1. Chứng minh rằng: MC(BHK).
2. Chứng minh rằng: HK(MBC).
Lời giải
1. Chứng minh: MC(BHK):
Có BHAC, BHAM.
BH(MAC)BHMC.
Mà MCBKMC(BHK).
Vậy câu 1 đợc chứng minh.
2. Có MC(BHK)MCHK.
Gọi N là trung điểm BCBCAN, BCMNBC(AMN).
Mà HAN, KMNHK(AMN)HKBCHK(MBC).
Vậy câu 2 đợc chứng minh.
Bài 2.[Học viện Quân Y 2001]: Cho 2 nửa mp(P)(Q) theo (d).
Trên tia Ax(d) ở trong (P), lấy điểm M mà AM=b>0.
Trên tia Bt(d) ở trong (Q), lấy điểm N mà BN=
b
a
2
.
1. Tính d(A, (BMN)).
2. Tính MN theo a, b. Tìm b theo a để MN min.
Lời giải
1. Tính khoảng cách d(A, (BMN)):
1
A
B

C
M
N
H
K
Hình học không gian: Trần Đình Nam
Kẻ AHBM. Có (P)(Q) theo giao tuyến (d), NB(d)NB(P).
NBAH. Mà AHMBAH(BMN)AH=d(A, (BMN)).
Trong AMN có:
22
22
22222
ba
ba
a
1
b
1
AB
1
AM
1
AH
1
+
=+=+=
.
Vậy
.
ba

ab
))BMN(,A(d
22
+
=
2. Trong AMN: MN
2
=AM
2
+AN
2
=
=AM
2
+AB
2
+BN
2
=a
2
+b
2
+
.
b
a
2
4
Vậy
2

4
22
b
a
baMN
++=
.
Có
.3aMNa3
b
a
.b2a)
b
a
b(aMN
2
2
4
22
Cosi
2
4
222
=+++=
3aMinMN
=
, đạt tại
abab
b
a

b
0b,a
44
2
4
2
= ==
>
.
Vậy b=a thì MN đạt min và
3aMinMN
=
.
Bài 3.[Đại học Thuỷ Sản 2001]: Cho tứ diện S.PQR có các góc
ở S vuông. Gọi A, B, C lần lợt là trung điểm PQ, QR, RP.
1. CMR: các mặt của S.ABC là các tam giác bằng nhau.
2. Tính thể tích S.ABC khi SP=a, SQ=b, SR=c>0.
Lời giải
1. Có AC=SB=
2
QR
.
BC=SA=
2
PQ
.
AB=SC=
2
PR
.

SAC=ASB=CBS=BCACâu 1 đợc chứng minh.
2. Tính V
S.ABC
: Có
.V
4
1
VS
4
1
S
PQR.SABC.SPQRABC
==
Mà
.
24
abc
V
6
abc
SR.SQ.
2
1
.SP
3
1
S.SP
3
1
V

ABC.SSQRPQR.S
====
2
A
N
B
M
H
Q
P
(d)
S
P
Q
R
A
B
C
Hình học không gian: Trần Đình Nam
Bài 4.[Đại học Hồng Đức 2001]: Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=2a, SA(ABCD).
1. Chứng minh rằng: tgSBD=4tgBSD.
2. Kẻ AB

SB, AD

SD. Chứng minh rằng: SC(AB

D

).
Lời giải
1. Chứng minh: tgSBD=4tgBSD:
Đặt =SBD, =BSD.
Có SAB=SADSB=SD.
SBD cân ở SBSO=/2.
Trong BSO có:

SO
BO
2
tg,
BO
SO
tg
=

=
Có
.
2
a
OAOB2aBD
===
Trong SAO có:
2
a3
2
a
a4OASASO

2
222
=+=+=
3
1
2
tg,3
a
2
.
2
a3
tg
=

==
.
===

=



=
tg4tg
4
3
8
9
.

3
2
9
1
1
3
2
2
tg1
2
tg2
tg
2
đpcm.
2. Chứng minh rằng: SC(AB

D

):
Có BCAB, BCSABC(SAB)BCAB

.
Mà AB

SBAB

(SBC)AB

SC.
Tơng tự, ta có: AD

SCSC(AB

D

)đpcm.
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
diện tích
3
, góc nhỏ 2 đờng chéo đáy là 60
0
, các cạnh
bên nghiêng đều với đáy góc 45
0
, kẻ SH(ABCD).
1. CMR: H là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABCD.
3
S
A
B
C
D
O
B

D

Hình học không gian: Trần Đình Nam
2. Tính thể tích S.ABCD.
Lời giải

1. CMR: H là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABCD:
Có SH(ABCD)SAH=SBH=SCH=SDH=45
0
.
SHA=SHB=SHC=SHDHA=HB=HC=HD.
Vậy H là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABCD.
2. Có
.SH
3
3
S.SH
3
1
V
ABCDABCD.S
==
Có HBC đều S
HBC
=
.HB
4
3
2
Mà
4
3
S
4
1
S

ABCDHBC
==
.
.1HB
4
3
HB
4
3
2
==
Trong SHB có
.1HBSH
HB
SH
45tg
0
===
Vậy
.
3
1
V
ABCD.S
=
Bài 6.[Đại học Thuỷ Sản 2000]: Cho ABC vuông ở C. Trên
đờng thẳng (d)(ABC) ở A, lấy điểm SA. Gọi AD, AE
lần lợt là 2 đờng cao của SAB, SAC.
1. Chứng minh rằng: A, B, C, D, E thuộc 1 mặt cầu.
2. Chứng minh rằng: DESB, DEAE.

Lời giải
1. Chứng minh rằng: A, B, C, D, E thuộc 1 mặt cầu:
Có ACB=ADB=90
0
.
Ta sẽ CM: AEB=90
0
.
Có BCAC, BCSA.
BC(SAC)BCAE.
4
S
A
B
C
D
H
60
0
S
A
B
D
E
Hình học không gian: Trần Đình Nam
Mà AESCAE(SBC).
AEBEAEB=90
0
.
Do đó, 3 điểm C, D, E cùng nhìn AB dới góc vuông.

Vậy A, B, C, D, E cùng thuộc mặt cầu đờng kính AB.
2. CMR: DESB, DEAE: Có AE(SBC)AEDE.
Có SBAD, SBAESB(ADE)SBDE.
Vậy bài toán đợc chứng minh.
Bài 7. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.
1. Tính thể tích ABCD.
2. Gọi O là trung điểm của đờng cao DH. Tính OA và
Chứng minh rằng: OA, OB, OC đôi một vuông góc.
3. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD.
Lời giải
1. Tính thể tích ABCD:
Có ABCD là tứ diện đềuH là tâm tam giác đều ABC.
Trong ABC có:
.
3
a
2
3a
.
3
2
AM
3
2
AH,
4
3a
S
2
ABC

====
Trong ADH có: DH
2
=AD
2
-AH
2
=a
2
-
.
3
2a
DH
3
a2
3
a
22
==
Vậy
.
12
2a
4
3a
.
3
2a
.

3
1
S.DH
3
1
V
32
ABCABCD
===
2. Tính OA và chứng minh: OA, OB, OC đôi một vuông góc:
Trong AOH có OA
2
=OH
2
+AH
2
=
.
2
a
3
a
)
3
2a
.
2
1
(
22

2
=+

.
2
a
OA
=
Tơng tự:
.
2
a
OCOB
==
Trong OAB có: OA
2
+OB
2
=a
2
=AB
2
AOB=90
0
.
Tơng tự: BOC=COA=90
0
đpcm.
3. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD:
5

C