Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN XUÂN LAI

VỀ SỰ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CỦA ĐA THỨC
VI PHÂN ĐỐI VỚI HÀM PHÂN HÌNH

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 62 46 01 02

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN-NĂM 2017


Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên

Người hướng dẫn khoa học:
1. Tiến sĩ. Vũ Hoài An
2. GS.TSKH. Hà Huy Khoái

Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tại:
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên
Vào hồi....giờ....ngày....tháng....năm 2017

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

- Thư viện Quốc gia
- Trung tâm học liệu - Đại học Thái nguyên
- Thư viện Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái nguyên


1

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Vấn đề phân bố giá trị của hàm phân hình là một trong những bài toán trung
tâm của giải tích phức. Trong lĩnh vực đó, những kết quả về phân bố giá trị của
hàm và đạo hàm có vai trò quan trọng. Năm 1967, Hayman đưa ra giả thuyết
sau đây:
Giả thuyết Hayman. Nếu một hàm nguyên f thỏa mãn f n (z) f (z) = 1
với n là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ C, thì f là hằng.
Hayman đã đặt ra câu hỏi tương tự cho hàm phân hình. Vấn đề trên thu hút sự
chú ý của nhiều nhà toán học. Năm 2006, Giả thuyết Hayman đã được X.C.Nevo
- Sh.Pang - L.Zalcman giải quyết cho hàm phân hình.
Giả thuyết Hayman làm nảy sinh vấn đề nhận giá trị của đạo hàm bậc cao của
hàm nguyên, hàm phân hình.
Một trong những ứng dụng sâu sắc của lý thuyết phân bố giá trị do Nevanlinna
xây dựng là vấn đề xác định duy nhất cho các hàm phân hình khác hằng qua
điều kiện ảnh ngược của ít nhất 5 điểm phân biệt (4 điểm) mà được gọi là Định
lý 5 điểm (Định lý 4 điểm) của Nevanlinna.
Năm 1977, F.Gross đưa ra một ý tưởng mới là xét ảnh ngược của các tập hợp
điểm trong C ∪ {∞} . Ông đưa ra hai câu hỏi sau:
i) Tồn tại hay không tập S của C ∪ {∞} để với bất kỳ các hàm phân hình
khác hằng f, g thỏa mãn điều kiện Ef (S) = Eg (S) ta có f = g?
ii) Tồn tại hay không hai tập Si , i = 1, 2 của C ∪ {∞} để với bất kỳ các hàm
phân hình khác hằng f, g thỏa mãn điều kiện Ef (Si ) = Eg (Si ), i = 1, 2 ta có

f = g?
Năm 1982 F. Gross và C.C. Yang chứng tỏ tập S = {z ∈ C |z + ez = 0} là tập
U RSE . Năm 1998, G.Frank và M.Reinders đã chứng minh định lí sau:
Định lí C. Với mọi số nguyên n ≥ 11, c = 0, c = 1 tập hợp
SF R =

z ∈ C|

(n − 1)(n − 2) n
n(n − 2) n−2
z − n(n − 2)z n−1 +
z
+c=0
2
2

là URS cho các hàm phân hình.
Năm 2000, H.Fujimoto đã tổng quát hóa Định lí C cho các hàm nguyên, hàm
phân hình trong trường hợp tính bội, không tính bội là tập U RS .
Năm 2009, X. Bai, Q. Han và A. Chen đã cải tiến kết quả của H.Fujimoto. Năm
1995, P. Li và C.C. Yang đã đưa ra giả thuyết λM = 6, λE = 4, Hà Huy Khoái


2

đưa ra giả thuyết rằng λM = 7, ở đó kí hiệu
λM = inf #(S)|S là U RSM ,

λE = inf #(S)|S là U RSE .

Ở đó #(S) là lực lượng của tập S .
Cho đến nay số phần tử ít nhất của U RSM đã được thiết lập là 11.
Đối với đạo hàm của hàm phân hình, Giả thuyết Hayman và vấn đề nhận giá trị
của đa thức vi phân đã nảy sinh vấn đề xác định duy nhất. M.L. Fang và X.H.Hua,
C.C. Yang và X.H.Hua đã giải quyết đối với hàm nguyên, S.S.Bhoosnurmath –
R.S.Dyavanal giải quyết đối với hàm phân hình.
Định lí G. Cho f, g là hai hàm phân hình khác hằng trên C và n, k là
các số nguyên dương với n > 3k + 8. Nếu (f n )(k) và (g n )(k) nhận 1CM
thì hoặc f = c1 ecz , g = c2 e−cz , ở đó c1 , c2 và c là ba hằng số thỏa mãn
(−1)k (c1 c2 )n (nc)2k = 1 hoặc f = tg, với t là hằng số sao cho tn = 1.
Trong những năm gần đây, Giả thuyết Hayman được đặt ra nghiên cứu cho các
hàm phân hình p-adic. Năm 2008, J. Ojeda đã nhận được kết quả sau:
Định lí H. Cho f là hàm phân hình trên K, n > 2 là một số nguyên và a
∈ K− {0}. Khi đó nếu f n (z) f (z) = a với mọi z ∈ K thì f là hằng.
Năm 2011, Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An đã tổng quát hóa kết quả của J.Ojeda
cho đa thức vi phân kiểu f n ((f )(k) )m . Vũ Hoài An- Lê Thị Hoài Thu đã xét vấn
đề này trong trường hợp p-adic nhiều biến. A.Escassut và J.Ojeda đã xem xét
Định lí H trong trường hợp n = 2.
Nhằm góp phần hoàn thiện Giả thuyết Hayman trên trường p−adic và vấn đề
nhận giá trị và duy nhất của Lý thuyết Nevanlinna, chúng tôi chọn tên luận án
:"Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình".
Luận án đặt ra các vấn đề nghiên cứu sau đây:
Vấn đề 1: Thiết lập một tương tự Giả thuyết Hayman cho các đa thức vi phân
trong trường hợp p-adic (đa thức vi phân p−adic.)
Vấn đề 2: Thiết lập định lý duy nhất đối với các đa thức vi phân p− adic.
Vấn đề 3: Thiết lập lớp hàm phân hình có tập xác định duy nhất với số phần tử
bé hơn 11.
2. Mục tiêu luận án
2.1. Chứng minh một tương tự của Giả thuyết Hayman đối với đa thức vi phân
p-adic dạng (f n )(k) và đa thức vi phân p-adic nhiều biến của các hàm nguyên

dạng (P n (f ))(k) , ở đó P (f ) là đa thức kiểu Fecmart-Waring.
2.2. Thiết lập định lý về sự xác định duy nhất đối với đa thức vi phân p-adic
dạng (f n )(k) , và đa thức vi phân p-adic nhiều biến kiểu Fermat-Waring.
2.3. Chỉ ra một lớp hàm phân hình mà tập xác định duy nhất có số phần tử bé
hơn 11; xây dựng tập xác định duy nhất với 9 phần tử cho lớp hàm Weiestrass
elliptic; đưa ra công thức hiện cho một đa thức duy nhất mạnh bậc 6.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Luận án nghiên cứu Giả thuyết Hayman, Định lí Nevanlinna p-adic và các tương
tự của nó, hàm phân hình, đa thức vi phân p−adic nhiều biến của các hàm


3

nguyên dạng (P n (f ))(k) .
4. Phương pháp và công cụ nghiên cứu
Công cụ để giải quyết ba vấn đề nêu trên là các kiểu định lý chính thứ hai của
lý thuyết Nevanlinna và các tương tự p−adic của nó (Bổ đề 1.2.7) để đưa ra ước
lượng giữa hàm đặc trưng, hàm đếm của hàm phân hình, các kiểu Bổ đề Borel
p−adic cho đa thức vi phân nhiều biến của các hàm nguyên (Bổ đề 2.2.5).
5. Ý nghĩa khoa học của luận án
Luận án góp phần hoàn thiện và làm sâu sắc, phong phú thêm Lý thuyết phân
bố giá trị của Nevanlinna, Giả thuyết Hayman của đạo hàm bậc cao đối với hàm
phân hình, đa thức vi phân nhiều biến và ứng dụng vào bài toán về tập xác định
duy nhất đối với hàm nguyên, hàm phân hình trên trường không Acsimet.
6. Cấu trúc và kết quả của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án gồm ba chương :
Chương 1: Chúng tôi trình bày kết quả nghiên cứu đối với Vấn đề 1, Vấn đề
2. Kết quả là hai định lí 1.2.9, 1.3.7. Kết quả đã được đăng trong bài báo xuất
bản 2012, Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp.
Chương 2: Chúng tôi nghiên cứu Vấn đề 1, Vấn đề 2 cho đa thức vi phân nhiều

biến trên trường không Acsimet. Kết quả chính là các Định lý 2.2.12, Định lý
2.3.3, Ví dụ 2.3.4, Ví dụ 2.3.5. Đây là các ví dụ về đa thức duy nhất, nó khác với
đa thức duy nhất được xây dựng bởi H.X.Yi, G.Frank-M.Reinder và H.Fujimoto.
Các kết quả này đã được đăng trong bài báo đã xuất bản năm 2017, Complex
Variables and Elliptic Equations.
Chương 3: Trong chương này chúng tôi trình bày kết quả nghiên cứu Vấn đề
3. Chúng tôi chỉ ra lớp hàm phân hình có tập xác định duy nhất với số phần tử
bé hơn 11, xây dựng tập xác định duy nhất có 9 phần tử cho lớp hàm Weiestrass
elliptic, và đưa ra công thức hiện cho đa thức duy nhất mạnh bậc 6.
Nội dung của chương được viết trong bài báo(đang chờ nhận đăng). Kết quả
chính là Định lý 3.2.9, Định lí 3.3.3, Định lý 3.3.5, Định lý 3.3.6. Các kết quả
này góp phần trả lời chưa chọn vẹn giả thuyết của Hà Huy Khoái là: số phần tử
ít nhất của tập xác định duy nhất thiết lập được là 7.


4

Chương 1

Vấn đề nhận giá trị và duy nhất với tác
động bội của không điểm và cực điểm
đối với đa thức vi phân dạng (f n)(k)
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu vấn đề duy nhất và Giả thuyết Hayman
cho hàm phân hình p−adic. Nội dung của chương này được viết trong bài báo:
Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp, xuất bản 2012, và Tạp chí Khoa học
và Công nghệ Việt Nam, xuất bản 2017.
1.1. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ

Định nghĩa 1.1.1. Hàm chỉnh hình f trên K được gọi là một hàm nguyên.
Hàm f trên K, được gọi là hàm phân hình nếu f = ff12 , với f1 và f2 là các hàm

nguyên trên K không có không điểm chung.
Định nghĩa 1.1.2. Cho f là hàm nguyên trên K và a ∈ K, ta gọi hàm đếm
không điểm của f − a (hay hàm đếm không điểm của hàm f tại a) tính cả bội
trên đĩa Dr = {z ∈ K : |z| ≤ r} là hàm, xác định
r

1
1
N (r,
)=
f −a
ln ρ

1
n(x, f −a
)

x

0

dx,

1
ở đó n(r, f −a
) là số nghiệm của phương trình f (z) = a, tính cả bội, trên đĩa
Dx = {z ∈ K : |z| ≤ x} .
Với l là một số nguyên dương, cố định số thực ρ0 với 0 < ρ0 ≤ r, đặt
r

1
1
Nl (r, ) =
f
ln ρ

x
ρ0

1
ở đó nl (r, f −a
)=

|z|≤r min

1
nl (x, f −a
)

µaf (z), l .

dx,


5

Giả sử k là số nguyên dương. Định nghĩa hàm µf,k) từ K vào N xác định bởi
µf,k) (z) =

và

nk) (r,
nl,k) (r,

0
nếu µ0f (z) > k
µ0f (z) nếu µ0f (z) ≤ k,

1
)=
f −a

1
)=
f −a

µf −a,k) (z),
|z|≤r

min µf −a,k) (z), l .
|z|≤r

Định nghĩa

r

1
1
Nk) (r,
)=
f −a

ln p

1
)
nk) (x, f −a

x

dx.

ρ
1
) = Nk) (r, f1 ).
Nếu a = 0, thì đặt Nk) (r, f −a
Với với 0 < ρ0 < ρ ≤ r, đặt

Nl,k) (r,

1
1
)=
f −a
ln p

r
ρ0

1
)
f −a

dx,
x

nl,k) (r,

Tương tự ta định nghĩa:
N(k (r,

1
1
), Nl,(k (r,
)
f −a
f −a

Định nghĩa 1.1.3. Cho f là hàm phân hình và a ∈ K, ta gọi hàm đếm không
điểm của f − a, tính cả bội, trên đĩa Dr = {z ∈ K : |z| ≤ r}, xác định bởi
N (r,

1
1
1
) = N (r,
) và đặt N (r, f ) = N (r, ).
f −a
f1 − af2
f2

Tương tự đối với các hàm phân hình khác hằng trên K ta định nghĩa
Nl (r,

1
1
1
1
1
), Nk) (r,
), Nl,k) (r,
), N(k (r,
), Nl,(k (r,
).
f −a
f −a
f −a
f −a
f −a

Định nghĩa 1.1.4. Ta gọi hàm xấp xỉ của f, xác định bởi công thức
m(r, f ) = max 0, log |f |r .

Định nghĩa 1.1.5. Ta gọi hàm đặc trưng của hàm f, xác định bởi công thức
T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ).


6

1.2. Giả thuyết Hayman đối với hàm phân hình trên trường không
Acsimet

Trong phần này chúng tôi nghiên cứu vấn đề nhận giá trị của các hàm phân hình

p−adic dạng (f n )(k) . Trong mục này chúng tôi đã thiết lập được các bổ đề sau:
Bổ đề 1.2.4. Cho f là hàm phân hình khác hằng trên K và n, k là các số
nguyên dương, n > k và giả sử a là cực điểm của f . Khi đó
(f n )(k) (z) =

ϕk (z)
,
(z − a)np+k

ở đó ϕk (z) là hàm phân hình trong lân cận của a,
p = µ∞
f (a),

ϕk (a) = 0.

Bổ đề 1.2.5. Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên K và n, k là các số
nguyên dương, n > k và a, b là cực điểm và không điểm của f, tương ứng.
Khi đó
hk (z)
(f n )(k) (z)
=
, ở đó p = µ∞
1.
f (a), hk (a) = 0;
f n−k (z)
(z − a)pk+k
(f n )(k) (z)
2.
= (z − b)(m−1)k Sk (z), ở đó m = µ0f (b), Sk (b) = 0.
n−k

f
(z)
Bổ đề 1.2.6. Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên K và n, k là các số
nguyên dương, n ≥ k + 1. Khi đó
T (r, f ) ≤ T (r, (f n )(k) ) + O(1),

trong trường hợp đặc biệt (f n )(k) là khác hằng.
Bổ đề 1.2.7. Cho f là hàm phân hình khác hằng trên K và n, k là các số
nguyên dương, n ≥ k + 2, a ∈ K, a = 0. Khi đó
1
n−k−2
T (r, f ) ≤ N1 (r, n (k)
) − log r + O(1).
n+k
(f ) − a

Bổ đề 1.2.8. Cho f là hàm phân hình khác hằng trên K và a ∈ K, a = 0. Giả
sử mỗi không điểm (tương ứng, cực điểm) của f có bội ít nhất là s (tương
ứng, l). Khi đó
1 1
1
n − ( + ) T (r, f ) ≤ N1 (r, n
) − log r + O(1).
s l
f −a

Từ các bổ đề trên ta nhận được định lý sau tương tự Giả thuyết Hayman đối
với hàm phân hình p−adic
Định lý 1.2.9. Cho f là hàm phân hình trên K, thoả mãn điều kiện
(f n )(k) (z) = 1, với mọi z ∈ K và n là các số nguyên dương, k là số nguyên

không âm. Nếu n ≥ k + 2, thì f là hàm hằng.


7

Hệ quả 1.2.10. Cho f là hàm phân hình trên K, thoả mãn điều kiện
(f n ) (z) = 1 với mọi z ∈ K và với số nguyên dương n. Khi đó f là hàm
hàm hằng, nếu n ≥ 3.
1.3. Vấn đề duy nhất đối với hàm phân hình trên trường không Acsimet

Trong phần này nghiên cứu vấn đề duy nhất cho hàm phân hình p−adic dạng
(f n )(k) . Kết quả thu được là Định lý 1.3.7. Trước hết ta cần các bổ đề sau.
Bổ đề 1.3.1. Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng K. Nếu Ef (1) =
Eg (1), thì có một trong ba hệ thức sau đây xảy ra:
1
1
1. T (r, f ) ≤N1 (r, f ) + N1,(2 (r, f ) + N1 (r, ) + N1,(2 (r, ) + N1 (r, g) + N1,(2 (r, g)
f
f
1
1
+ N1 (r, ) + N1,(2 (r, ) − log r + O(1),
g
g
và tương tự bất đẳng thức đối với T (r, g);
2. f ≡ g;
3. f g ≡ 1.
Bổ đề 1.3.2. Cho f và g là các hàm phân hình khác hằng trên K. Nếu
E f (1) = E g (1) thì một trong ba trường hợp sau đây là đúng.
1

1
1
1. T (r, f ) ≤ N2 (r, f ) + N2 (r, ) + N2 (r, g) + N2 (r, ) + 2(N1 (r, f ) + N1 (r, ))
f
g
f
1
+ N1 (r, g) + N1 (r, ) − 2log r + O(1),
g
Bất đẳng thức tương tự cũng đúng cho T (r, g);
2. f g = 1;
3. f ≡ g .
Bổ đề 1.3.3. Cho f là hàm phân hình khác hằng K và n, k là các số nguyên
dương, n > 2k. Khi đó
1. (n − 2k)T (r, f ) + kN (r, f ) + N (r, n1 (k) ) ≤ T (r, (f n )(k) ) + O(1);
(f )
f n−k
2. N (r, n1 (k) ) ≤ kT (r, f ) + kN1 (r, f ) + O(1).
(f )
f n−k
Từ các bổ đề trên, ta có tương tự Định lý Yang C.C- Hua X.H.
Định lý 1.3.4. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên K. Giả
sử mỗi không điểm (tương ứng, cực điểm) của f, g có bội ít nhất là l (tương
ứng, s) và n là số nguyên dương, k là số nguyên không âm thỏa mãn n ≥
3k + 4( 1s + 1l ) và E(f n )(k) (1) = E(gn )(k) (1). Khi đó f = αg với αn = 1, α ∈ K.


8

Định lý sau đây là mở rộng Định lý 2.6 của Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An(trong

"Value distribution problem for p-adic meromorphic functions and their derivatives", Ann. Fac. Sc. Toulouse, Vol. XX, Special Issue, pp. 135-149, (2011) )
cho đạo hàm cấp cao của hàm phân hình p−adic.
Định lý 1.3.5. Cho f, g là hai hàm phân hình khác hằng trên K. Giả sử
mỗi không điểm (tương ứng, cực điểm) của f, g có bội ít nhất là s(tương ứng,
l), n là số nguyên dương, k là số nguyên không âm, n ≥ 9k + 7( 1s + 1l ) và
E (f n )(k) (1) = E (gn )(k) (1). Khi đó f = αg với αn = 1, α ∈ K.
Định lý 1.3.6. Cho f, g là hai hàm phân hình khác hằng trên K. Giả sử
mỗi không điểm (tương ứng, cực điểm) của f, g có bội ít nhất là s (tương
ứng, l).
α
hoặc f = βg, với
1. Nếu n > 4( 1s + 1l ), và Ef n (1) = Egn (1) thì f =
g
αn = β n = 1.
α
2. Nếu n > 7( 1s + 1l ), và E f n (1) = E gn (1) thì f =
hoặc f = βg, với
g
αn = β n = 1.
Định lý 1.3.7. Cho f, g là hai hàm phân hình khác hằng trên K. Giả sử
mỗi không điểm (tương ứng, cực điểm) của f, g có bội ít nhất là s (tương
ứng l), và n là số nguyên dương, k là số nguyên không âm. Khi đó
1. f = cg, với cn = 1, c ∈ K nếu một trong hai điều kiện sau đây thỏa mãn
(i) E(f n )(k) (1) = E(gn )(k) (1), và n ≥ 3k + 4( 1s + 1l ), k > 0;
(ii) E (f n )(k) (1) = E (gn )(k) (1), và n ≥ 9k + 7( 1s + 1l ), k ≥ 0.
c
2. f = cg hoặc f = với cn = 1, c ∈ K nếu một trong hai điều kiện sau
g
đây thỏa mãn
(i) Ef n (1) = Egn (1) và n ≥ 4( 1s + 1l );

(ii) E f n (1) = E gn (1) và n ≥ 7( 1s + 1l ).
Kết luận của Chương 1
Chúng tôi đã đưa ra và chứng minh được một số định lý về vấn đề nhận giá
trị và duy nhất đối với hàm phân hình p−adic dạng (f n )(k) , (g n )(k) . Các kết quả
này là tương tự Giả thuyết Hayman và Định lý của C.C.Yang - X.H.Hua cho
đạo hàm cấp cao của hàm phân hình. Chúng tôi thu được Định lý 1.2.9, Hệ quả
1.2.10 và Định lý 1.3.7. Cụ thể là:
1. Chứng minh được Vấn đề nhận giá trị của hàm phân hình siêu việt trên
trường p− adic dạng (f n )(k) .
2. Chứng minh được Vấn đề xác định duy nhất đối với đa thức vi phân dạng
n
(f )(k) theo bội của không điểm và cực điểm của f để tìm được điều kiện giữa
n và k .


9

Chương 2

Vấn đề nhận giá trị và duy nhất đối với
đa thức vi phân nhiều biến trên trường
không Acsimet
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu vấn đề 1, vấn đề 2. Nội dung của chương
được viết trong bài báo: Complex Variables and Elliptic Equations, xuất bản
năm 2017.
Kết quả chính của chương này là Định lí 2.2.12, Định lí 2.3.3, Bổ đề 2.2.5. Định
lí 2.2.12 cho ta một tương tự của Giả thuyết Hayman đối với đa thức vi phân
nhiều biến. Định lí 2.3.3 là kết quả của Vấn đề duy nhất đối với đa thức vi phân
nhiều biến.
2.1. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ

Trong chương này, ta ký hiệu K là trường đóng đại số đặc số 0, đầy đủ với chuẩn
không tầm thường, không Acsimet ký hiệu bởi | . | và Pn (K) là không gian xạ
ảnh n chiều trên K.
Định nghĩa 2.1.1. Đường cong chỉnh hình từ K vào Pn (K) là ánh xạ
f : K → Pn (K)
z → (f1 (z) : · · · : fn+1 (z)),

trong đó fj , 1
K. Ta gọi

j

n + 1, là các hàm nguyên không có không điểm chung trên

(f1 , . . . , fn+1 ) : K → Kn+1 \{0}
là một biểu diễn rút gọn của f, và được ký hiệu là f˜ = (f1 , ..., fn+1 ).

Định nghĩa 2.1.2. Cho đường cong chỉnh hình f từ K đến Pn (K) với biểu
diễn rút gọn f˜ = (f1 , ..., fn+1 ). Ta gọi f là không suy biến tuyến tính nếu ảnh
của f không chứa trong mọi siêu phẳng của Pn (K), nghĩa là không tồn tại dạng
tuyến tính L của biến z1 , ..., zn+1 sao cho L(f˜) = 0.


10

Định nghĩa 2.1.3. Cho q, n là các số nguyên dương với q ≥ n + 1. Ta nói rằng
các siêu mặt H1 , ..., Hq của Pn (K) nằm ở vị trí tổng quát nếu n+1
i=1 Hji = ∅,
với mỗi tập con {j1 , ..., jn+1 } ⊂ {1, ..., q}.

Định nghĩa 2.1.4. Ta gọi q đa thức của n + 1 biến (q ≥ 1) là các đa thức ở
vị trí tổng quát nếu n + 1 đa thức bất kì trong đó không có không điểm chung
trong Kn+1 − {0}.
Bây giờ xét q dạng tuyến tính của n + 1 biến ở vị trí tổng quát:
Li = Li (z1 , ..., zn+1 ) = αi,1 z1 + αi,2 z2 + · · · + αi,n+1 zn+1 , i = 1, 2, ..., q.
Giả sử d, k, m, s ∈ N, m < s, giả sử ai , bi ∈ K, ai , bi = 0. Định nghĩa q − 1 đa
thức thuần nhất bậc s:
s−m m
Pi (z1 , ..., zn+1 ) = Lsi+1 − ai Li+1
L1 + bi Ls1 , i = 1, ..., q − 1.
Cho các hàm nguyên f1 , ..., fn+1 , đặt
d
P (f1 , ..., fn+1 ) = P1d (f1 , ..., fn+1 ) + P2d (f1 , ..., fn+1 ) + · · · + Pq−1
(f1 , ..., fn+1 ).
(2.1)
n
Cho H là siêu mặt của P (K), xác định bởi phương trình F = 0. Giả sử rằng
ảnh của f không chứa trong H. Ta định nghĩa hàm đặc trưng của f xác định
bởi
Tf (r) = log ||f ||r , ở đó ||f ||r = max |fi |r ,
1≤i≤n+1

ở đó với hàm nguyên f, ký hiệu |f |r là lớn nhất của |f (z)| trên {|z| ≤ r}. Tập
1
1
Nf (H, r) = N (r,
), Nk,f (H, r) = Nk (r,
).
F (f˜)
F (f˜)

Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên K và nếu a ∈ K ∪ ∞, ta nói
rằng f và g nhận giá trị a IM (không tính bội) nếu f và g nhận giá trị a tại
cùng một điểm. Nếu f và g nhận giá trị a tại cùng một điểm và có cùng bội, thì
ta nói rằng f và g nhận a CM (tính bội).
2.2. Vấn đề nhận giá trị và tương tự Giả thuyết Hayman đối với đa
thức vi phân nhiều biến của các hàm nguyên không Acsimet

Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu vấn đề nhận giá trị đối với đa thức vi phân
của các hàm nguyên trên trường không Acsimet. Kết quả thu được Định lí 2.2.12.
Chúng tôi đã thiết lập được bổ đề kiểu Borel dưới đây:
Bổ đề 2.2.5. Cho d, n, k ∈ N∗ , qi ∈ N và cho zid−qi Di (z1 , z2 , ..., zn+1 ) là đa
thức thuần nhất bậc d ở vị trí tổng quát, 1 ≤ i ≤ n+1 sao cho fid−qi Di (f1 , ..., fn+1 ) ≡
0. Giả sử rằng
n+1

fid−qi Di (f1 , ..., fn+1 )](k) = 0.

[
i=1


11

Khi đó có khẳng định dưới đây:
d−qi
1. Nếu n+1
Di (f1 , ..., fn+1 ) ≡ 0, d ≥ n2 + n + k − 1 +
i=1 fi

n+1

i=1 qi ,

thì

d−q

f1d−q1 D1 (f1 , ..., fn+1 ), ..., fn+1n+1 Dn+1 (f1 , ..., fn+1 )

là phụ thuộc tuyến tính trên K.
d−qi
2. Nếu n+1
Di (f1 , ..., fn+1 ) ≡ 0 và d ≥ n2 − 1 +
i=1 fi

n+1
i=1 qi , n

> 1, thì

f1d−q1 D1 (f1 , ..., fn+1 ), ..., fnd−qn Dn (f1 , ..., fn+1 )

là phụ thuộc tuyến tính trên K.
Tiếp theo chúng tôi đưa ra các bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.6. Cho d, n, k ∈ N∗ thoả mãn d ≥ n2 +n+k −1. Giả sử ai ∈ K, i =
1, ..., n + 1 là các hằng số khác không và f1 , . . . , fn+1 là các hàm nguyên khác
d ](k) = 0. Khi đó có sự
hằng trên K thoả mãn [a1 f1d + a2 f2d + · · · + an+1 fn+1
phân tích chỉ số {1, ..., n + 1} = ∪Iv sao cho
i. Mỗi Iv chứa ít nhất trong 2 chỉ số;
ii. Với mỗi j, i ∈ Iv ; fi = cij fj , ở đó cij là các hằng số khác không.

Bổ đề 2.2.7. Cho n, n1 , n2 , ..., nq , q ∈ N∗ , a1 , ..., aq , c ∈ K, c = 0 và q ≥
2+ qi=1 nni . Khi đó có phương trình hàm (f −a1 )n1 (f −a2 )n2 ...(f −aq )nq = cg n
vô nghiệm đối với các hàm phân hình khác hằng (f, g).
Bổ đề 2.2.8. Cho s, m ∈ N∗ , và s ≥ 2m + 8. Giả sử f1 , f2 , g1 , g2 là các hàm
nguyên trên K, không đồng nhất không, và thoả mãn điều kiện
f1s − af1s−m f2m + bf2s = c
f1
là hằng số khác không.
f2
Bổ đề 2.2.9. Cho s, m ∈ N∗ , thoả mãn s ≥ 2m + 8 và giả sử a1 , b1 , a2 , b2 , c ∈
K, là các hằng số khác không. Giả sử f1 , f2 , g1 , g2 là các hàm nguyên trên K,
f1
g1
sao cho
và
là các hàm phân hình khác hằng, thoả mãn điều kiện
f2
g2

ở đó a, b, c ∈ K là các hằng số khác không. Khi đó

f1s + a1 f1s−m f2m + b1 f2s = c(g1s + a2 g1s−m g2m + b2 g2s ).

(2.8)

Khi đó có khẳng định dưới đây:
b1
.
cb2
2. Nếu mỗi m ≥ 3, hoặc m = 2 và s là số lẻ, thì g1 = lf1 , g2 = hf2 , ở đó

1
b1 s−m m
a1
l s = , hs =
,l
h =
.
c
cb2
ca2
Định lý 2.2.10. Cho P (f1 , ..., fn+1 ) được xác định như trong (2.1), ở đó
f1 , ..., fn+1 là độc lập tuyến tính trên K. Giả sử rằng d ≥ q 2 − 3q + k + 2,
s ≥ 2m + 8, và m ≥ 3, hoặc m = 2 và s là số lẻ. Khi đó P (k) (f1 , ..., fn+1 )
nhận mọi giá trị a ∈ K.

1. Nếu m ≥ 2, thì g2 = hf2 , ở đó hs =


12

Định lý 2.2.11 Cho P (f1 , ..., fn+1 ) được xác định như trong (2.1), ở đó
f1 , ..., fn+1 là độc lập tuyến tính trên K. Giả sử rằng d ≥ q 2 − 2q, s ≥ 2m + 8,
và m ≥ 3, hoặc m = 2 và s là số lẻ. Khi đó P (f1 , ..., fn+1 ) nhận mọi giá trị
a ∈ K.
Định lý 2.2.12. Cho P (f1 , ..., fn+1 ) được xác định như trong (2.1) , ở đó
f1 , ..., fn+1 là độc lập tuyến tính trên K. Giả sử rằng s ≥ 2m + 8 và m ≥ 3,
hoặc m = 2, s là số lẻ. Khi đó P (k) (f1 , ..., fn+1 ) nhận mọi giá trị a ∈ K nếu
một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:
1. k > 0 và d ≥ q 2 − 3q + k + 2;
2. k = 0 và d ≥ q 2 − 2q.

Sau đây chúng tôi đưa ra một tương tự Giả thuyết Hayman cho họ các hàm
nguyên trên K.
Hệ quả 2.2.13. Cho P (f1 , ..., fn+1 ) được xác định như trong (2.1), ở đó
f1 , ..., fn+1 là các hàm nguyên trên K. Giả sử rằng s ≥ 2m + 8 và m ≥ 3,
hoặc m = 2 và s là số lẻ, k là số nguyên không âm và một trong hai điều
kiện sau đây thỏa mãn:
1. k > 0 và d ≥ q 2 − 3q + k + 2;
2. k = 0 và d ≥ q 2 − 2q.
Giả thiết thêm rằng P (k) (f1 , ..., fn+1 ) không nhận một giá trị a = 0 nào đó
của K. Khi đó f1 , ..., fn+1 phụ thuộc tuyến tính trên K.
2.3. Vấn đề duy nhất đối với đa thức vi phân nhiều biến kiểu FermatWaring

Trong phần này chúng tôi nghiên cứu Vấn đề duy nhất đối với đa thức vi phân
của các hàm nguyên kiểu Fermat-Waring. Từ các bổ đề ở phần 2.2 và Định lý
2.2.10, ta nhận được định lý sau.
Định lý 2.3.1. Cho P (f1 , ..., fn+1 ) và P (g1 , ..., gn+1 ) được xác định như trong
(2.1), ở đó (f1 , ..., fn+1 ), (g1 , ..., gn+1 ) là hai hệ (n+1) các hàm nguyên là độc
d d
lập tuyến tính. Giả sử rằng k là số nguyên dương, s ≥ 2m + 8, b2d
i = bj bl với
i = j và i = l, i, j, l ∈ {1, ..., q − 1} và m = 2, s là số lẻ và q ≥ n + 1, hoặc
m ≥ 3, và q ≥ n + 2.
Khi đó
1. Tồn tại hằng số khác không α ∈ K, sao cho gi = αfi , i = 1, ..., n + 1, nếu
(k)
P (f1 , ..., fn+1 ) và P (k) (g1 , ..., gn+1 ) nhận 0 CM và d ≥ 4q 2 − 10q + k + 5.
2. Tồn tại hằng số khác không α ∈ K, sao cho gi = αfi , i = 1, ..., n + 1,
sd
α = 1, nếu P (k) (f1 , ..., fn+1 ) và P (k) (g1 , ..., gn+1 ) nhận 1 CM và d ≥ 4q 2 −
10q + k + 6.

Định lý 2.3.2. Cho P (f1 , ..., fn+1 ) và P (g1 , ..., gn+1 ) được xác định như trong
(2.1), ở đó (f1 , ..., fn+1 ), (g1 , ..., gn+1 ) là hai hệ (n+1) các hàm nguyên là độc


13

d d
lập tuyến tính. Giả sử rằng s ≥ 2m + 8, b2d
i = bj bl với i = j và i = l, i, j, l ∈
{1, ..., q − 1} và m = 2, s là số lẻ và q ≥ n + 1, hoặc m ≥ 3, và q ≥ n + 2.
Khi đó
1. Tồn tại hằng số khác không α ∈ K, sao cho gi = αfi , i = 1, ..., n + 1, nếu
P (f1 , ..., fn+1 ) và P (g1 , ..., gn+1 ) nhận 0 CM, và d ≥ 4q 2 − 12q + 8.
2. Tồn tại hằng số khác không α ∈ K, sao cho αsd = 1, gi = αfi , i =
1, ..., n + 1, nếu P (f1 , ..., fn+1 ) và P (g1 , ..., gn+1 ) nhận 1 CM , và d ≥ 4q 2 −
10q + 6.

Định lý 2.3.3. Cho P (f1 , ..., fn+1 ) và P (g1 , ..., gn+1 ) được xác định như trong
(2.1), ở đó (f1 , ..., fn+1 ), (g1 , ..., gn+1 ) là hai hệ (n+1) các hàm nguyên độc
d d
lập tuyến tính. Giả sử rằng k là số nguyên không âm, s ≥ 2m + 8, b2d
i = bj bl
với i = j và i = l, i, j, l ∈ {1, ..., q − 1} và m = 2, s là số lẻ và q ≥ n + 1, hoặc
m ≥ 3 và q ≥ n + 2. Khi đó
1. gi = αfi , i = 1, · · · , n + 1, với α ∈ K, α = 0 nếu một trong hai điều kiện
sau thỏa mãn:
(i) Nếu P (k) (f1 , ..., fn+1 ) và P (k) (g1 , ..., gn+1 ) nhận 0 CM, k > 0 và d ≥
4q 2 − 10q + k + 5;
(i) Nếu P (f1 , ..., fn+1 ) và P (g1 , ..., gn+1 ) nhận 0 CM, và d ≥ 4q 2 − 12q + 8.
2. gi = αfi , i = 1, · · · , n + 1, với αsd = 1, α ∈ K, nếu P (k) (f1 , ..., fn+1 ) và

P (k) (g1 , ..., gn+1 ) nhận 1 CM , và d ≥ 4q 2 − 10q + k + 6.
Ví dụ 2.3.4. Lấy
D1 (z1 , z2 ) = (z213 − z211 z12 + z113 )8 + ((z1 + z2 )13 − (z1 + z2 )11 z12 + 2z113 )8 ,

và

Q1 (z) = (z 13 − z 11 + 1)8 + ((z + 1)13 − (z + 1)11 + 2)8 .

Khi đó
1. D1 (z1 , z2 ) thỏa mãn giả thiết của Định lí 2.3.3.
2. Q1 (z) là đa thức duy nhất mạnh đối với M(K).
Ví dụ 2.3.5. Lấy
D2 (z1 , z2 ) = (z214 − z211 z13 + z114 )8 + ((z1 + z2 )14 − (z1 + z2 )11 z13 + 2z114 )8 ,

và

Q2 (z) = (z 14 − z 11 + 1)8 + ((z + 1)14 − (z + 1)11 + 2)8 .

Khi đó
1. D2 (z1 , z2 ) thỏa mãn giả thiết của Định lí 2.3.3.
2. Q2 (z) là đa thức duy nhất mạnh đối với M(K).
Kết luận Chương 2
Chúng tôi nghiên cứu Vấn đề nhận giá trị và duy nhất cho đa thức vi phân
nhiều biến của các hàm nguyên trên trường đóng đại số, đặc số 0, đầy đủ, không


14

Acsimet. Kết quả là đã thiết lập và chứng minh được định lý về nhận giá trị và
tương tự Giả thuyết Hayman cho đa thức vi phân nhiều biến, định lý duy nhất

cho đa thức vi phân kiểu Fermat-Waring. Đó là Định lý 2.2.12, Định lý 2.3.3. Ví
dụ 2.3.4, Ví dụ 2.3.5 là các đa thức duy nhất mạnh.


15

Chương 3

Tác động của bội không điểm, cực
điểm lên lực lượng của tập xác định
duy nhất đối với hàm phân hình phức
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu Vấn đề 3. Chúng tôi thiết lập tập xác
định duy nhất với số phần tử bé hơn 11 của các hàm phân hình có bội của không
điểm, cực điểm lớn hơn 1. Nội dung của chương này được viết trong bài báo
(đang chờ nhận đăng). Kết quả chính của chương này là Định lý 3.2.9, Định lí
3.3.3, Định lý 3.3.5, Định lý 3.3.6, Định lí 3.3.8.
3.1. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ

Định nghĩa 3.1.1. Hàm chỉnh hình f trên toàn mặt phẳng phức C được gọi
là một hàm nguyên.
Hàm f được gọi là hàm phân hình trên C nếu f = ff21 , với f1 và f2 là các hàm
nguyên trên C không có không điểm chung.
Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên C. Với mỗi a ∈ C, ta định nghĩa
hàm νfa : C → N xác định bởi
nếu f (z) = a
nếu f (z) = a với bội d,

0
d

νfa (z) =

và đặt νf∞ = ν 01 , và định nghĩa hàm ν af : C → N xác định bởi ν af (z) =
f

min

νfa (z), 1

0
, và tập ν ∞
f = ν 1 . Thì
f

r

1
N (r,
)=
f −a

(
0

νfa (z) − νfa (0))

|z|≤t

1
N (r, f ) = N (r, ).

f

dx
− νfa (0) log r;
x


16

r

N (r,

1
)=
f −a

ν af (z) − ν af (0))

(
|z|≤t

0

dx
− ν af (0) log r;
x

1
N (r, f ) = N (r, ).

f
a
Giả sử m là số nguyên dương. Với mỗi a ∈ C ∪ {∞} , ta định nghĩa hàm νf,m)
từ C ∪ {∞}đến N xác định bởi

0
νfa (z)

a
νf,m)
(z) =

nếu νfa (z) > m
nếu νfa (z) ≤ m,

∞
Và đặt νf,m)
= ν 01 m) , và định nghĩa hàm ν af,m) : C ∪ {∞} → N xác định bởi
f,

ν af,m) (z)

a
0
= min νf,m)
(z), 1 , và tập ν ∞
f,m) = ν 1 m) .
f,

Ta định nghĩa hàm đếm Nm) (r,

bởi

1
1
f −a ), Nm) (r, f ), N m) (r, f ), N m) (r, f −a )

xác định

r

1
)=
Nm) (r,
f −a

a
a
νf,m)
(z) − νf,m)
(0))

(
|z|≤t

0

dx
a
− νf,m)
(0) log r;

x

1
Nm) (r, f ) = Nm) (r, ).
f
r

1
N m) (r,
)=
f −a

ν af,m) (z) − ν af,m) (0))

(
0

|z|≤t

dx
− ν af,m) (0) log r;
x

1
N m) (r, f ) = N m) (r, ).
f
a
Tương tự ta định nghĩa νf,(m
, ν af,(m xác định bởi
a

νf,(m
(z)

=

0
νfa (z)

nếu νfa (z) < m
nếu νfa (z) ≥ m,

∞
Và đặt νf,(m
= ν 01 ,(m , và định nghĩa hàm ν af,(m : C ∪ {∞} → N xác định bởi
f

0
ν af,(m (z) = min ν af,(m (z), 1 , và tập ν ∞
f,(m = ν 1 ,(m .
f

Ta cũng định nghĩa tương tự các hàm đếm
N(m (r,

1
1
), N(m (r, f ), N (m (r, f ), N (m (r,
).
f −a
f −a

17

3.2. Tác động của bội không điểm, cực điểm lên lực lượng của tập
xác định duy nhất đối với hàm phân hình phức

Trong mục này chúng tôi nghiên cứu sự tác động của bội không điểm, cực điểm
cho hàm phân hình phức. Kết quả thu được là Định lý 3.2.9.
Định nghĩa 3.2.1. Một đa thức khác hằng P (z) ∈ C[z] được gọi là đa thức
duy nhất cho các hàm phân hình trên C nếu với mọi cặp hàm phân hình f, g
khác hằng trên C thỏa mãn P (f ) = P (g), ta có f = g.
Tương tự, ta định nghĩa đa thức khác hằng P (z) ∈ C[z] được gọi là đa thức
duy nhất mạnh cho các hàm phân hình, nếu với bất kỳ cặp f, g là các hàm phân
hình khác hằng trên C và hằng số c = 0 thỏa mãn P (f ) = cP (g), ta có f = g.
Đa thức duy nhất (tương ứng, duy nhất mạnh) đối với các hàm phân hình viết
tắt là U P M (tương ứng, SU P M ).
Ký hiệu M(C) là trường các hàm phân hình trên C, với f ∈ M(C) và S ⊂
C {∞}, ta định nghĩa
(z, νfa (z)) : z ∈ C .

Ef (S) =
a∈S

Trong trường hợp ν af (không tính bội) ta kí hiệu E f (S)(ảnh ngược của S ).
Giả sử m là một số nguyên dương hoặc ∞, ta định nghĩa
a
(z, νf,m)
(z)) : z ∈ C .

Ef,m) (S) =
a∈S

Chú ý rằng, nếu m = ∞ thì Ef,∞) (S) = Ef (S) và nếu m = 1, thì Ef,1) (S) ⊂
E f (S).
Giả sử F là tập con khác rỗng của M(C). Hai hàm f, g của F nói là nhận S,
tính bội, (nhận S CM ), nếu Ef (S) = Eg (S) và nhận S, không tính bội, (nhận
S IM), nếu E f (S) = E g (S).
Cho tập S ⊂ C ∪ {∞} và f, g là hai hàm phân hình khác hằng (hàm nguyên).
Nếu Ef (S) = Eg (S) kéo theo f = g với hai hàm phân hình (hàm nguyên) khác
hằng f, g thì S gọi là tập xác định duy nhất đối với hàm phân hình (hàm nguyên)
viết tắt là U RSM (U RSE ).
Một tập S ⊂ C ∪ {∞} gọi là tập xác định duy nhất đối với hàm phân hình(hàm
nguyên) không tính bội (U RSM − IM ) (U RSE − IM ), nếu E f (S) = E g (S)
kéo theo f = g .
Một tập S ⊂ C ∪ {∞} gọi là U RSMm) (U RSEm) ) nếu với bất kì hai hàm phân
hình (hàm nguyên) f, g thoả mãn điều kiện Ef,m) (S) = Eg,m) (S) kéo theo f = g.
Cho một tập con S = {a1 , a2 , · · · , aq } ⊂ C các giá trị phân biệt, ta xét đa thức
tổng quát ở dạng dưới đây
R(z) = (z − a1 )(z − a2 ) . . . (z − aq )
(3.1)


18

Giả sử đạo hàm của R(z) có k không điểm phân biệt d1 , d2 , ..., dk với bội
q1 , q2 , ..., qk tương ứng. Giả sử rằng
R(di ) = R(dj ), 1 ≤ i < j ≤ q.

(3.2)

Bổ đề 3.2.4. Cho R(z) là một đa thức ở dạng (3.1) thỏa mãn điều kiện
(3.2). Khi đó R(z) đa thức duy nhất nếu và chỉ nếu
k

ql qm >
1≤l
ql
i=1

Trong trường hợp đặc biệt bất đẳng thức luôn đúng với mỗi k ≥ 4. Khi k = 3
và max {q1 , q2 , q3 } ≥ 2 hoặc k = 2, min {q1 , q2 } ≥ 2 và q1 + q2 ≥ 5 thì bất đẳng
thức cũng xảy ra.
Bổ đề 3.2.5. Với mỗi hàm phân hình khác hằng f, thì
N (r,

1
1
) ≤ N (r, ) + N (r, f ) + S(r, f ).
f
f

Bổ đề 3.2.6. Giả sử f, g là hai hàm phân hình khác hằng và m là số nguyên
dương hoặc ∞. Tập
1
F ” G”
1
−
F = ,G = ,L =

f
g
F
G
0
0
. Khi đó
= νg,m)
Giả sử rằng L ≡ 0 và νf,m)

1
1
N (r, L) ≤ N(2 (r, f ) + N(2 (r, g) + N(m+1 (r, ) + N(m+1 (r, )+
f
g
1
1
+ N (r, ; f = 0) + N (r, ; g = 0).
f
g

Bổ đề 3.2.7. Giả sử f là hàm phân hình khác hằng. Khi đó
1
1
1
1
1
1.N (r, ) − N 1) (r, ) ≤ N (r, );
f
2

f
2
f
1
1
1
1
1
1
2. N (r, ) + N (3 (r, ) − N 1) (r, ) ≤ N (r, f1 );
f
2
f
2
f
2
1
1
1
1
1
1
3. N (r, ) + N (m (r, ) − N 1) (r, ) ≤ N (r, f1 ); khi m ≥ 4 hoặc ∞
f
2
f
2
f
2
Bổ đề 3.2.8. Cho R(z) là đa thức ở dạng (3.1) thỏa mãn điều kiện (3.2) và

q ≥ 5 và giả sử có hai hàm phân hình khác hằng f và g sao cho
1
c0
=
+ c1
R(f ) R(g)

với hai hằng số c0 (= 0) và c1 . Nếu k ≥ 3 hoặc k = 2, min {q1 , q2 ≥ 2} thì
c1 = 0.


19

Định lý 3.2.9. Cho f và g là hai hàm phân hình (tương ứng, hàm nguyên) và
m là số nguyên dương, hoặc ∞. Giả sử R(z) là đa thức duy nhất mạnh ở dạng
(3.1) thỏa mãn điều kiện (3.2) với R (z) = qz m1 (z−d2 )m2 . . . (z−dk )mk . Giả sử
rằng q ≥ 5, k ≥ 3, hoặc k = 2 và min{m1 , m2 } ≥ 2, và Ef,m) (S) = Eg,m) (S),
và mọi không điểm, cực điểm của f và g bội ít nhất là s, l, tương ứng. Giả
sử rằng một trong các điều kiện dưới đây là thỏa mãn:
4 4
4
1. q > 2k − 2 + + ( tương ứng, q > 2k − 2 + ) khi m ≥ 3 hoặc ∞;
s l
s
9
3 4
3 4
2. q > 2k − + + (tương ứng, q > 2k − + ) khi m = 2;
2 s 2l
2 s

4 6
4
3. q > 2k + + (tương ứng, q > 2k + ) khi m = 1.
s l
s
Khi đó f = g .
3.3. Tập xác định duy nhất với số phần tử bé hơn 11 của các hàm
phân hình có bội của không điểm, cực điểm lớn hơn 1

Chúng tôi đưa ra lớp đa thức dưới đây (tương tự kiểu đa thức của Banerjee).
Cho n, p là số nguyên dương và giả sử a, b ∈ C là các hằng số khác không. Ta
đặt
p

P (z) = (n + p + 1)
i=0

(−1)i
p
z n+p+1−i bi
(i )
n+p+1−i

Ở đó

p

Q(z) = (n + p + 1)
i=0

+ a = Q(z) + a (3.20)

(−1)i
p
(i )
z n+p+1−i bi
n+p+1−i

.

Giả sử rằng
p

i=0

p
(−1)i
i n+p+1−i

bn+p+1 = −2

(3.21)

Nhận xét 3.3.1. Ta có đa thức
P (z) = (n + p + 1)z n (z − b)p ,

và có không điểm tại 0 bội n.
Bổ đề 3.3.2.
số nguyên.

(−1)i
p
p
i=0 i n+p+1−i

không là số nguyên, khi n ≥ 3, p ≥ 2 là các

Định lý 3.3.3. Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng (tương ứng,
hàm nguyên) và P (z) là một đa thức ở dạng (3.20) thỏa mãn điều kiện
(3.21). Giả sử rằng P (f ) = cP (g), c = 0 và mọi không điểm (tương ứng, cực


20

điểm) của f và g có bội ít nhất là s (tương ứng, l) và np > p + n. Khi đó
f = g , nếu một trong điều kiện dưới đây thỏa mãn:
1. n > 1s + 1l (tương ứng, n > 1s ) khi a = 1
2. n > p + 1s + 1l (tương ứng, n > p + 1s ) và p > 1 + 1l .
Từ định lý này, ta có hệ quả sau chỉ ra sự tồn tại đa thức duy nhất mạnh bậc
6 có chỉ số đạo hàm là 2.
Hệ quả 3.3.4. Đa thức P (z) ở dạng (3.20) thỏa mãn điều kiện (3.21) là đa
thức duy nhất mạnh bậc 6.
Định lý 3.3.5. Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng (tương ứng,
hàm nguyên) trên C và P (z) là đa thức có dạng (3.20) thỏa mãn điều kiện
(3.21) và m là số nguyên dương, hoặc ∞. Giả sử rằng Ef,m) (S) = Eg,m) (S)
và mọi không điểm (tương ứng, cực điểm) của f và g có bội ít nhất là s
(tương ứng, l ) và p > 1 + 1l , np > p + n. Khi đó f = g , nếu một trong điều
kiện của hệ (I) và một trong điều kiện của hệ (II) dưới đây thỏa mãn
(I)
1. n + p > 2k − 3 + 4s + 4l ( tương ứng, n + p > 2k − 3 + 4s ) khi m ≥ 3 hoặc

∞;
2. n + p > 2k − 25 + 4s + 2l9 (tương ứng, n + p > 2k − 52 + 4s ) khi m = 2;
3. n + p > 2k − 1 + 4s + 6l (tương ứng, n + p > 2k − 1 + 4s ) khi m = 1.
(II)
4. n > 1s + 1l (tương ứng, n > 1s ) khi a = 1;
5. n > p + 1s + 1l (tương ứng, n > m + 1s ) khi a = 1.
Kí hiệu Fs,l là lớp hàm phân hình có các không điểm và cực điểm với bội
tương ứng ít nhất là s, l. Khi đó ta nhận được định lý dưới đây:
Định lý 3.3.6. Cho P(z) là đa thức thỏa mãn điều kiện (3.21) với tập
nghiệm là S . Khi đó S là tập xác định duy nhất cho Fs,l , nếu một trong các
điều kiện sau đây được thỏa mãn:
1. #(S) = 7 và 1s + 1l ≥ 34 .
2. #(S) = 8 và 1s + 1l ≥ 54 .
3. #(S) = 9 và 1s + 1l ≥ 32 .
4. #(S) = 10 và 1s + 1l ≥ 74 .
5. #(S) = 11 và 1s + 1l ≥ 2.
Hệ quả 3.3.7. Cho P (z) là đa thức bậc 9 thỏa mãn điều kiện (3.21) với
tập nghiệm là S . Khi đó S là tập xác định duy nhất cho lớp hàm phân hình
Weiestrass elliptic.
Từ định lý này ta còn nhận được kết quả sau:


21

Định lý 3.3.8. Cho P (z) là đa thức bậc 7 thỏa mãn điều kiện (3.21) với tập
nghiệm là S , d là số nguyên d ≥ 2, và Ef d (S) = Egd (S). Khi đó f = ξg, ở đó
ξ d = 1.
Từ Định lý 3.3.5 ta rút ra nhận xét sau.
Nhận xét 3.3.9. Theo Định lý 3.3.5, 3.5.6 lấy m = ∞, s = l = 1, k = 2, ta
có tập duy nhất đối với hàm phân hình (tương ứng, hàm nguyên) với 11 (tương

ứng, 7) phần tử. Đây là lớp của tập U RS là một dạng khác của H.Fujimoto.
Kết luận của chương 3
Chúng tôi thiết lập được tập xác định duy nhất với 9 phần tử cho các lớp hàm
Weiestrass elliptic, chỉ ra lớp đa thức duy nhất mạnh có bậc 6. Tìm được lớp
hàm phân hình có tập xác định duy nhất có số phần tử là 11 và tập 7 phần tử
với bội không điểm và cực điểm ít nhất là 2, và một kết quả tương tự Fujimoto.
Cụ thể là:
Định lý 3.2.9, Định lí 3.3.3, Hệ quả 3.3.4, Định lý 3.3.5, Định lý 3.3.6, Hệ quả
3.3.7, Định lí 3.3.8 và Nhận xét 3.3.9.


22

Kết luận và kiến nghị
Luận án nghiên cứu vấn đề xác định một số lớp hàm phân hình có tập xác
định duy nhất với số phần tử bé hơn 11, có sự tác động của bội không điểm,
cực điểm của các hàm phân hình, định lí duy nhất đối với các đa thức vi phân
p−adic. Mục tiêu của luận án là thiết lập một số tập xác định duy nhất và lớp
đa thức duy nhất mạnh trong các trường hợp trên.
Các kết quả chính của luận án
1. Chứng minh một tương tự của Giả thuyết Hayman đối với đa thức vi phân
p−adic dạng (f n )(k) và đa thức vi phân p−adic nhiều biến của các hàm nguyên
dạng (P n (f ))(k) , ở đó P (f ) là đa thức kiểu Fermat-Waring.
2. Thiết lập định lý về sự xác định duy nhất đối với đa thức vi phân p-adic
dạng (f n )(k) , và đa thức vi phân p-adic nhiều biến kiểu Fermat-Waring.
3. Chỉ ra một lớp hàm phân hình mà tập xác định duy nhất có số phần tử bé
hơn 11; xây dựng tập xác định duy nhất với 9 phần tử cho lớp hàm Weiestrass
elliptic; đưa ra công thức hiện cho một đa thức duy nhất mạnh bậc 6.
Các kết quả này là mở rộng của Định lý 4 điểm, Định lý 5 điểm của Nevanlinna
và theo hướng trả lời câu hỏi của F.Gross.

23

Danh mục Công trình của tác giả đã
công bố liên quan đến luận án
1. Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai (2012), "A uniqueness theorem for linearly
non-degenerate p -adic holomorphic curves", Interactions between real and
complex analysis, International Advisory Board of the 20th International
Conference on Finite or Infinite Dimensional Complex Analysis and Applications, pp. 142-151.
2. Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai (2012), "Value sharing
problem and Uniqueness for p-adic meromorphic functions", Annales Univ.
Sci. Budapest., Sect. Comp. 38 , pp. 71-92.
3. Nguyễn Xuân Lai (2017), "Vấn đề nhận giá trị và duy nhất đối với đa thức
vi phân của hàm phân hình p−adic", Tạp chí Khoa học và Công nghệ Việt
Nam, tập 12, số 1, tr. 1-5.
4. Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai (2017), "Value -sharing
and uniqueness problems non-Archimedean differential polynomials in several variables", Complex Variables and Elliptic Equations, pp. 1-17.
5. Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai, "Strong Uniqueness for
polynomials of degeree 6 and Unique range sets for powers of meromorphic
functions", Preprint.