Bài giảng Vật lý 1 ThS. Lê Quang Nguyên ĐH Bách Khoa TPHCM

Nội dung: Mô tả chuyển động

Các khái niệm căn bản

Động học chất điểm
Áp dụng

Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen


• Vectơ vị trí:

4. Chuyển động ném xiên
5. Chuyển động tròn đều

Thay đổi hệ quy chiếu

1. Vị trí, độ dịch chuyển

1. Vị trí và độ dịch chuyển
2. Vận tốc
3. Gia tốc

6. Cộng vận tốc và gia tốc

1. Vị trí, độ dịch chuyển (tt)
Quỹ đạo

Chất điểm

• Δ‫ݎ‬Ԧ ≠ quãng đường Δs !! Quãng đường có độ dài Δs

r (t ) = x (t ) i + y (t ) j + z (t ) k

Đơn vị: mét (m)
• Độ dịch chuyển trong
khoảng thời gian Δt:

z

‫ݎ‬Ԧ(t+Δt)
y

∆r = r ( t + ∆t ) − r ( t )
x

• Δ‫ݎ‬Ԧ hướng từ vị trí đầu
đến vị trí cuối.

Vectơ

Vị trí ‫ݎ‬Ԧ(t)

Hệ quy chiếu

Δ‫ݎ‬Ԧ

Vô hướng

• Nếu chất điểm đi một

vòng kín và trở lại vị trí
ban đầu thì:
− Δ‫ݎ‬Ԧ = 0,
− nhưng Δs ≠ 0.

‫ݎ‬Ԧ(t)
z

‫ݎ‬Ԧ(t+Δt)
y

x


2a. Vận tốc trung bình
• Vận tốc trung bình
trong thời gian Δt:
∆r
vtb =
∆t

2b. Vận tốc tức thời
• Vận tốc tức thời lúc t:

‫ݒ‬Ԧ tb
Δ‫ݎ‬Ԧ

(m/s)

∆r dr

=
∆t →0 ∆t
dt

Đạo hàm của r theo t

∆r = r ( t + ∆t ) − r ( t )

v = lim

‫ݎ‬Ԧ(t)
z

• là dịch chuyển trung
bình/một đơn vị thời
gian.
∆s
• ‫ݒ‬Ԧ tb ≠ tốc độ trung bình =
∆t

‫ݎ‬Ԧ(t+Δt)
y

x

Quãng đường đi trung bình/một đơn vị thời gian

2b. Vận tốc tức thời (tt)

• Trong hệ Descartes:

dx
dy
dz
vx = , v y = ,vz =
dt
dt
dt

Δ‫ݎ‬Ԧ

Δ‫ݎ‬Ԧ

• ‫ݒ‬Ԧ tiếp tuyến quỹ đạo,
hướng theo chiều chuyển
động.

3a. Gia tốc

Δ‫ݎ‬Ԧ

‫ݎ‬Ԧ(t)
‫ݎ‬Ԧ(t+Δt)

‫ݒ‬Ԧ(t)

• Gia tốc trung bình:
dr
v =

Độ lớn của vận

tốc tức thời

=

dt

ds
dt

(m s )

= Tốc độ tức thời

∆v
atb =
∆t
• Gia tốc tức thời:

Δ‫ݒ‬Ԧ
‫ݎ‬Ԧ(t)
z

∆v dv
=
∆t →0 ∆t
dt

x

dv

dv x
dv
, a y = y , az = z
dt
dt
dt

m s
2
=
m
s
 s




a = lim
v=

ds
dt

ax =

‫ݎ‬Ԧ(t+Δt)

‫ݒ‬Ԧ(t+Δt)

y

‫ݒ‬Ԧ(t+Δt)

Ý nghĩa: độ biến thiên vận tốc/một đơn vị thời gian


Câu hỏi 1
• Trong trường hợp nào sau đây vật có gia
tốc bằng không?
a) Vật có tốc độ không đổi.
b) Vật có vận tốc không đổi.
c) Vật có quỹ đạo cong.

3b. Gia tốc tiếp tuyến và pháp tuyến-1
‫ݑ‬n
R
ܽԦn

‫ݑ‬t
ܽԦt
ܽԦ

R: bán kính cong quỹ đạo
ut: vectơ đơn vị tiếp tuyến, hướng theo chiều
chuyển động
un: vectơ đơn vị pháp tuyến, hướng về phía
lõm của quỹ đạo

3b. Gia tốc tiếp tuyến và pháp tuyến-2

3b. Gia tốc tiếp tuyến và pháp tuyến-3
Quỹ đạo

Chiều chuyển động

a = an + at
v2
an = un
R

≠0khi‫ݒ‬Ԧ thay
đổi phương

dv
at = ut
dt

≠0khi‫ݒ‬Ԧ thay
đổi độ lớn

an

an

an

an luôn hướng về phía lõm quỹ đạo, = 0 khi quỹ đạo thẳng
theo chiều chuyển động: v tăng
at luôn tiếp tuyến quỹ đạo

ngược chiều chuyển động: v
giảm


Câu hỏi 2
• Một chất điểm chuyển động với tốc độ tăng
dần. Trong trường hợp nào sau đây vectơ
vận tốc và gia tốc song song nhau?
a) quỹ đạo tròn
b) quỹ đạo thẳng
c) quỹ đạo parabol
d) tất cả đều sai

4. Chuyển động ném xiên - 2
g=

0=

dv x
dt

dv x = 0
v x = v0 x = const

dv
dt

−g=

4. Chuyển động ném xiên - 1

v0
• Ném một trái banh
trong trường trọng
θ
lực đều.
• Gia tốc trái banh là
g
g, không đổi và
hướng
thẳng
xuống.
v0: vận tốc ban đầu
• Nếu bỏ qua lực cản
của không khí thì
θ: góc ném
quỹ đạo luôn luôn
là một parabol.

4. Chuyển động ném xiên - 3
v x = v0 cosθ

dv y
dt

Trục y hướng lên

dx = v0 cosθ dt

dv y = − gdt

x

vy

t

0y

0

∫v

dx
= v0 cosθ
dt

dv y = − g ∫ dt

v y = v0 y − gt

∫x

t

dx = ∫ v0 cosθ dt

0

0

x = x0 + ( v0 cosθ ) t


4. Chuyển động ném xiên - 4
v y = v0 sinθ − gt

4. Ném xiên – Tóm tắt
Nếu biết:
• gia tốc và
• điều kiện ban đầu

ax = 0

dy
= v0 sinθ − gt
dt

ay = − g

dy = ( v0 sinθ − gt ) dt
y

v y = v0 sinθ − gt

t

∫y dy = ∫0 ( v sinθ − gt )dt
0

0

1
y = y0 + ( v0 sinθ ) t − gt 2
2

x = x0 + ( v0 cosθ )t
y = y0 + ( v0 sinθ ) t − 12 gt 2

Trả lời BT1(a)

Bài tập 1
Một viên đá được ném
từ nóc một tòa nhà với
góc 30°, vận tốc 20
m/s. Chiều cao tòa nhà
là h = 45 m. Tìm:
(a) Thời gian chuyển
động cho tới khi viên
đá chạm đất.
(b) Tốc độ của viên đá
ngay trước lúc chạm
đất.

Tích phân để tìm:
• vận tốc và
• vị trí lúc t bất kỳ

v x = v0 cosθ

• Lúc t = T , khi viên đá chạm đất thì y = −h:

y (T ) = y0 + ( v0 sinθ )T − 12 gT 2 = −h

• Suy ra thời gian bay T:
T=

1
v0 sinθ +
g 

2

( v0 sinθ )

• Trả lời: T = 4,22 s

+ 2 gh 



Trả lời BT1(b)

5. Chuyển động tròn đều

• Vận tốc có các thành phần:
v x = v0 cosθ
v y = ( v0 sinθ ) − gt

• Lúc t = T = 4,22 s:
v=

2

2

( v0 cosθ ) + ( v0 sinθ − gT )

• Suy ra: v = 35,8 m/s
• Minh họa.

Câu hỏi 3
• Phát biểu nào sau đây mô tả chính xác gia
tốc của một chất điểm chuyển động tròn
đều?
a) không đổi và luôn vuông góc vận tốc.
b) không đổi và luôn song song vận tốc.
c) có độ lớn không đổi và luôn vuông góc
vận tốc.
d) có độ lớn không đổi và luôn song song
vận tốc.

‫ݒ‬Ԧ

• Chuyển động đều: tốc
độ không đổi.
• Gia tốc tiếp tuyến bằng
không:
dv
v = const ⇒ at =
=0
dt

• Gia tốc toàn phần = gia
tốc hướng tâm:

ܽԦ
R

v2
a = an = un
R

6a. Vận tốc tương đối – 1
• Xét hqc K’ tịnh tiến
(không quay), vận
tốc ܸ so với hệ K.
• Vào lúc t:
– ‫ݎ‬Ԧ và ‫ݎ‬′ là vị trí
chất điểm trong K
và K’.
– ܴ là vị trí của K’
đối với K.

ܸ

K’
ܴ

‫ݎ‬′
‫ݎ‬Ԧ

K

r = r′ + R


6a. Vận tốc tương đối – 2
• Ta có:
r = r′ + R
• Lấy đạo hàm theo thời
gian:

v′ = v − V

• Lấy đạo hàm công thức cộng vận tốc theo t:
‫ݒ‬Ԧ
a = a′ + A

‫ݒ‬′
ܸ

dr dr ′ dR
=
+
dt dt dt
v = v′ + V

6b. Gia tốc tương đối

vM/K

• Khi K’ có vận tốc không đổi thì ‫ܣ‬Ԧ = 0:

⇒ a = a′

= v M/K’ + vK’/K

vM/K’ = v M/K + vK/K’

Bài tập 2
Một xe ôtô chuyển động về phía đông với tốc
độ 50 km/h.
Trời đang mưa, các hạt mưa rơi thẳng đứng
so với mặt đất. Vệt nước mưa ở cửa bên của
xe hợp một góc 60° so với phương thẳng
đứng.
Hãy tìm vận tốc của các hạt mưa so với
(a) xe ôtô,
Xe: hqc K’
(b) mặt đất.
Đất: hqc K

•

•
•
•
•

Trả lời BT2
Trong hqc gắn với xe
vận tốc các hạt mưa
hợp một góc 60° so với

phương thẳng đứng.
Vận tốc của xe nằm
ngang so với mặt đất.
Vận tốc của mưa so với
mặt đất: v = v′ + V
v thẳng đứng,
⇒ Tam giác bên là
vuông.

60°

v’

V

v


Trả lời BT2 (tt)
• Từ tam giác vuông:
v=

v' =

V
tan60°
V
sin60°

• Vậy:

• v = 28,9 km/h; v’ = 57,7
km/h

60°

v’

v

V


Nội dung

Động lực học chất điểm

1. Các định luật Newton
2. Hai loại hệ quy chiếu
3. Hệ quy chiếu không
quán tính và lực quán
tính.

Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen


Isaac Newton
(1642-1727)

1b. Định luật 2 Newton

1a. Định luật 1 Newton
• Nếu lực toàn phần tác
động lên một chất điểm
bằng không thì vận tốc
của chất điểm không
đổi.
− Chất điểm đang đứng
yên sẽ tiếp tục đứng
yên.
− Chất điểm chuyển động
sẽ tiếp tục chuyển động
thẳng đều.

• Lực toàn phần tác động lên một chất điểm
bằng tích của khối lượng và gia tốc của vật.

Ftot = ma

ma = m

1 N = 1 kg.m s 2

dv d ( mv )
=
dt
dt

• Định luật này còn có thể viết dưới dạng:
Ftot =

Các định luật Newton

dp
dt

p = mv

là động lượng của chất điểm


1c. Định luật 3 Newton
• Hai chất điểm luôn
tương tác với nhau
bằng những lực có
cùng độ lớn và ngược
chiều nhau.

Câu hỏi 1
Một con ruồi va chạm với kính chắn gió của
một xe buýt đang chạy nhanh.
(a) Đối tượng nào chịu lực va chạm mạnh
hơn?
(b) Đối tượng nào chịu gia tốc lớn hơn?

1
F
F’

F = −F ′

2

F: do 2 tác động lên 1
F’: do 1 tác động lên 2

Bài tập 1
Hai vật khối lượng m1 and
m2, với m1 > m2, được đặt
tiếp xúc nhau trên một mặt
ngang không ma sát. Một
lực F không đổi, nằm ngang
tác động lên m1 .
(a) Tìm gia tốc của hệ hai
vật.
(b) Tìm độ lớn lực tiếp xúc
giữa hai vật.

Trả lời câu 1(a)
N1
F

F
m1

m2

m1

m1g

N2
m2

a

m2g

mhệ × gia tốc = tổng các ngoại lực lên hệ

( m1 + m2 ) a = F + m1 g + m2 g + N1 + N2

Vectơ!


Trả lời câu 1(a) (tt)
• F là lực duy nhất tác động
lên hệ trên phương ngang.
• Áp dụng định luật 2
Newton trên trục x cho hệ
hai vật:

Trả lời câu 1(b) - 1
N1
F

F

m1

F21

m2

Ftot ,x = ( m1 + m2 ) ax

m1g
x

F = ( m1 + m2 ) a

m1 × gia tốc của vật 1 = tổng các lực lên vật 1
m1a1 = F + m1 g + N1 + F21

F
a=
m1 + m2

a1 = a vì hai vật chuyển động cùng nhau

Trả lời câu 1(b) - 2
• F21 là lực tiếp xúc do m2
tác động lên m1.
• Dùng định luật 2 Newton
trên trục x cho m1:
F − F21 = m1a
F21 = F − m1a = F − m1
F21 = m2

m1

F
m1 + m2

Trả lời câu 1(b) - 3
N2
F21

F
m1

F12

m2

m2
x

F
m1 + m2

F

Lực F không
tác động lên
vật 2!

m2g

m2 × gia tốc của vật 2 = tổng các lực lên vật 2

m2a2 = m2 g + N2 + F12
a2 = a vì hai vật chuyển động cùng nhau


Trả lời câu 1(b) - 4
• F12 là lực tiếp xúc do m1
tác động lên m2.
• Dùng định luật 2 Newton
trên trục x cho m2:
F12 = m2a

F12 = m2

Bài tập 1 – mở rộng
• Nếu lực F tác động lên vật m2 thì lực tiếp xúc
giữa hai vật sẽ thay đổi thế nào?
F12
m1

m2
x

F
m1 + m2

• F12 = F21, phù hợp với định
luật 3 Newton.

Bài tập 2
Một người cân một con cá

khối lượng m bằng cân lò xo
treo ở trần thang máy.
(a) Chứng tỏ rằng khi thang
máy tăng tốc lên trên hoặc
xuống dưới, cân lò xo có các
số đo khác so với trọng lượng
thực của con cá.
(b) Tìm số đo trên cân khi
con cá nặng 40.0 N và thang
máy có gia tốc 2.0 m/s2.

sức căng = số đo

• Định luật Newton 2 cho con
cá trên phương y hướng lên
ma y = T − mg
T
T

mg

y

Trả lời BT 2 (a)

• Số đo của cân lò xo chính là
sức căng T:
a

T = ma y + mg = mg  y + 1 

 g

• Thang máy tăng tốc lên trên
nên ay > 0: T > mg

a
T

mg

a cũng là gia
tốc của cá


y

Trả lời BT 2 (a) (tt)
• Tương tự như trên khi gia tốc
hướng xuống:
a

T = ma y + mg = mg  y + 1 
 g


• Khi thang máy tăng tốc lên trên ay = 2m/s2:

a
T

 2.0m s 2

T = 40N 
+ 1  = 48.2N
2
 9.8 m s


• Khi thang máy tăng tốc xuống dưới ay =
−2m/s2 :

• Thang máy tăng tốc xuống dưới
nên ay < 0:
mg

T < mg

Trả lời BT 2 (b)

BT 2 – mở rộng 1
• Xác định chiều chuyển động của thang máy
trong từng trường hợp.

 2.0m s 2 
T = 40N  1 −
= 31.8N
2 
9.8
m
s




BT 2 – mở rộng 2
• Nếu dây thang máy đột ngột đứt, cân chỉ bao
nhiêu?


a
N

BT 2 – mở rộng 3

Bài tập 3

Khi thang máy tăng tốc lên
trên hay xuống dưới với
gia tốc 2 m/s2, cân chỉ bao
nhiêu? Einstein có khối
lượng 65 kg.
Số đo trên cân = lực vuông
góc do Einstein nén lên cân

mg

= phản lực vuông góc N do
cân tác động lên Einstein

Hệ hai vật treo hai bên một
ròng rọc được gọi là một

máy Atwood.
Hãy tìm độ lớn gia tốc của
hai vật và sức căng dây khi
hệ chuyển động.
• Ròng rọc nhẹ ⇒ sức căng
ở hai nhánh bằng nhau.
• Dây nhẹ ⇒ sức căng ở hai
đầu mỗi dây bằng nhau.

Trả lời BT 3 -1

T

T
T

Trả lời BT 3-2
T

• Dùng định luật 2 Newton
cho m2 và m1 trên trục y:
m2a2 y = m2 g − T
m1a1 y = m1 g − T
• Hai vật nối với nhau nên có
cùng độ lớn gia tốc:
a2 y = a1 y
• Nhưng gia tốc ngược chiều:
a2 y = −a1 y ≡ a

T

• Chúng ta có:

m2
a2
T

m2a = m2 g − T

(1) × m1

−m1a = m1 g − T

(2) × m2

m2g

⇒ 0 = 2m1m2 g − ( m1 + m2 )T
a1
m1

y

⇒T =

2m1m2
g
m1 + m2

⇒a=

m2 − m1
g
m1 + m2

• Thay T vào (1), ta thu được:
m2a = m2 g −

m1g

+

2m1m2
g
m1 + m2


Trả lời BT 3-3
m − m1
a = a2 y = 2
g
m1 + m2
• Nếu m2 > m1
− a > 0: ܽԦଶ hướng xuống
− m2 đi xuống
• Nếu m2 < m1
− a < 0: ܽԦଶ hướng lên
− m2 đi lên

Bài tập 3 – mở rộng

a2

• Điều gì xảy ra:
• a) khi hai vật có khối lượng bằng nhau?
• b) m1 >> m2?

m2
a2
a1
m1

y

a1

Bài tập 4
Hệ số ma sát trượt
giữa vật m2 và mặt
bàn là μ.
Hãy tìm độ lớn gia tốc
của hai vật.
• Ma sát trượt ngược
chiều chuyển động,
• ma sát trượt = hệ
số ma sát × phản
lực vuông góc từ
mặt bàn

Trả lời BT 4
• Dùng định luật 2 Newton

cho vật 2 trên trục x và y:
F cosθ − T − µ N = m2a2 x
F sinθ + N − m2 g = m2a2 y = 0
• và trên trục y cho vật 1:
T − m1 g = m1a1 y
• Do được nối với nhau, có
cùng độ lớn gia tốc:
a2 x = a1 y ≡ a

N

F
θ

T
f

m2g
y
x
T

m1g


Trả lời BT 4 (tt)

Bài tập 5

• Ta có ba phương trình với ba ẩn số T, N, a:

F cosθ − T − µ N = m2a

(1)

F sinθ + N − m2 g = 0

(2) ×μ

T − m1 g = m1a

(3)

+

⇒ F ( cosθ + µ sinθ ) − ( µm2 + m1 ) g = ( m1 + m2 ) a
a=

F ( cosθ + µ sinθ ) − ( µm2 + m1 ) g
m1 + m2

Một phi công khối lượng m
thực hiện một vòng nhào
lộn thẳng đứng có bán kính
2,70 km với vận tốc 225
m/s.
Hãy tìm lực do phi công tác
động lên ghế ngồi ở đỉnh và
đáy của vòng tròn.
Lực do phi công tác động
lên ghế ngồi = phản lực từ

ghế lên phi công

Trả lời BT 5
• Chuyển động là tròn đều
nên có gia tốc hướng
tâm.
• Định luật 2 Newton trên
phương pháp tuyến ở
đáy vòng tròn:
v2
man = m = Nb − mg
R
• và ở đỉnh:
v2
man = m = Nt + mg
R

Trả lời BT 5 (tt)
• Từ hai phương trình trên ta suy ra:
Nt
an

mg
un

un Nb
an
mg



v2 
Nb = mg  1 +
Rg 


 v2

−1
Nt = mg 
 Rg 
2

(225m / s )
v2
=
= 1,91
Rg 2,70 × 103 m 9,80m / s 2

(

Nb = 2,91mg
Nt = 0,91mg

)(

)


2. Hai loại hệ quy chiếu - 1

2. Hai loại hệ quy chiếu - 2

• Thí nghiệm con lắc Foucault.
• Nhận xét:
− Lẽ ra con lắc phải dao động trong mặt
phẳng xác định bởi vị trí ban đầu của nó
và phương thẳng đứng,
− bởi vì không có lực nào tác động theo
phương vuông góc với mặt phẳng này.
− Tuy nhiên trên thực tế con lắc vừa dao
động vừa quay quanh phương thẳng
đứng!

3a. Hệ quy chiếu không quán tính – 1
• K’ tịnh tiến gia tốc A
trong hqc quán tính K .
• Gia tốc của chất điểm
trong hai hqc thỏa:
a = a′ + A
• Trong K:
ma = Ftot = ma′ + mA
• Suy ra:
ma′ = Ftot − mA

z’

Hệ quy chiếu

• quán tính
• các định luật Newton

nghiệm đúng
• không quán tính
• các định luật Newton
không nghiệm đúng

3a. Hệ quy chiếu không quán tính – 2

A
y’

x’

Hệ quy chiếu

• quán tính
• có vận tốc không đổi so
với một hqc quán tính

z

y
x

K’ là hqc không
ma′ ≠ Ftot !
quán tính

• không quán tính
• chuyển động có gia tốc đối
với một hqc quán tính

3b. Lực quán tính

Bài tập 7

• Trong một hqc không quán tính tịnh tiến với
gia tốc ‫ܣ‬Ԧ:
ma′ = Ftot − mA
• Định nghĩa lực quán tính:

Một quả cầu nhỏ khối lượng m được treo
thẳng đứng trong một toa xe lửa.
Khi xe chuyển động sang phải với gia tốc A đối
với mặt đất,
Tìm góc lệch của dây treo so với phương
thẳng đứng?

Fqt = −mA

• Suy ra:
ma′ = Ftot + Fqt

Định luật 2 trong
hqc không quán tính

Trả lời BT 7 – hqc xe

Trả lời BT 7 – hqc mặt đất

• Xe là hqc không quán
Gia tốc xe ‫ܣ‬Ԧ
tính,
y
• trong đó quả cầu có gia
tốc bằng không:
θ
θ
ma′ = 0 = mg + T − mA
ܶ
–m‫ܣ‬Ԧ
• Trên trục x và y:
x
0 = T sinθ − mA
0 = T cosθ − mg

A
⇒ tanθ =
g

m݃Ԧ

• Mặt đất là hqc quán tính,
• trong đó quả cầu có gia
tốc bằng ‫ܣ‬Ԧ:
mA = mg + T
• Trên trục x và y:
mA = T sinθ
0 = T cosθ − mg
⇒ tanθ =

A
g

Gia tốc xe ‫ܣ‬Ԧ
y
θ

θ
ܶ
x

m݃Ԧ
Không có lực
quán tính!


Nội dung
1.
2.
3.
4.

Công và năng lượng

Công và công suất
Động năng
Thế năng
Cơ năng

Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen


1a. Công của lực không đổi
• Công là năng lượng cơ học
do một lực tác động trao đổi
với vật.
• Công do lực không đổi thực
hiện trong dịch chuyển Δ‫ݎ‬Ԧ:
W = F ⋅ ∆r = F ∆r cosθ

1b. Công của một lực thay đổi
‫ܨ‬Ԧ
θ
Δ‫ݎ‬Ԧ
‫ܨ‬Ԧ

Joule ( J ) = N.m
• W = 0 khi lực vuông góc với
độ dịch chuyển.

Δ‫ݎ‬Ԧ

• Trong dịch chuyển nhỏ
lực ‫ܨ‬Ԧ coi như không đổi.
• Công do ‫ܨ‬Ԧ thực hiện
trong dịch chuyển nhỏ:
dW = F ⋅ dr
• Công thực hiện trong

dịch chuyển từ P1 tới P2:

P2

d‫ݎ‬Ԧ
‫ܨ‬Ԧ

P1
d‫ݎ‬Ԧ

P2

W = ∫ F ⋅ dr
P1

‫ܨ‬Ԧ không đổi


1c. Công suất
• Công suất là công thực hiện trong một giây.
• Công do một lực bất kỳ thực hiện trong một
dịch chuyển nhỏ:
dW = F ⋅ dr
• Dịch chuyển diễn ra trong thời gian dt, do
đó công suất của lực là:

P=

dW
dr

=F⋅
dt
dt

P = F ⋅v

Watt ( W ) = J/s

Bài tập 1
P2
Đưa vật m lên một mặt
nghiêng độ cao h và góc
h
P1
nghiêng θ. Hệ số ma sát
θ
trượt giữa vật và mặt
nghiêng là μ.
Nhìn trên xuống
Tìm công của trọng lực,
P2
phản lực vuông góc và
lực ma sát khi quỹ đạo là:
(b) (a)
(a) một đường thẳng.
(b) một nửa đường tròn.
P1

Trả lời bài tập 1 – 1
• Phản lực vuông góc với

mọi quỹ đạo trên mặt
nghiêng: WN = 0
• Công của trọng lực:
P2

P2

P1

P1

ܰ
h
m݃Ԧ

Wmg = ∫ mg ⋅ dr = mg ⋅ ∫ dr

∫

P2

P1

dr = ∆r ⇒ Wmg = mg ⋅ ∆r

Δ‫ݎ‬Ԧ
d‫ݎ‬Ԧ

Wmg = −mg∆y = −mgh < 0 : lực cản

• Ma sát ݂Ԧ ngược chiều
d‫ݎ‬Ԧ:
dW f = f ⋅ dr = − f dr

θ

• Trong mọi trường hợp:

Trả lời bài tập 1 – 2

y

da
݂Ԧ

h

θ

W f = − f ∫ dr = − fd < 0

• Chiều dài quỹ đạo:
h
da =
sinθ
db = π R

R =?

d‫ݎ‬Ԧ

R

݂Ԧ


Bài tập 1 – Ghi nhớ

Bài tập 2

WN = 0
y hướng lên

Wmg = −mg∆y

Không phụ thuộc
đường đi
d : chiều dài
quãng đường

Wms = − fmsd

Trả lời bài tập 2
• Công của lực lò xo
trong
một
dịch
chuyển nhỏ:

d‫ݔ‬Ԧ

dW = −kx ⋅ dx

k
dW = −kxdx = − d x 2
2
• Do đó:

( )

x

k 2
W = − ∫ d x2
2 x1

( )

k
W = − x22 − x12
2

(

x1

x2

Bài tập 3

‫ݔ‬Ԧ

–k‫ݔ‬Ԧ

0

Một vật được đặt trên
một mặt ngang không
ma sát, nối với lò xo
có độ đàn hồi k.
Kéo vật từ vị trí x1
đến vị trí x2 (so với
khi lò xo không co
dãn).
Tìm công do lực đàn
hồi thực hiện.

)

Không phụ thuộc đường đi!!

Một trạm thăm dò
khối lượng m được
phóng từ Trái Đất để
đi vào quỹ đạo Sao
Hỏa.
Tìm công thực hiện
bởi lực hấp dẫn từ
Mặt Trời.
Khối lượng Mặt Trời
M.

Quỹ đạo Sao Hỏa

Quỹ đạo Trái Đất

r1: khoảng cách MT - TĐ
r2: khoảng cách MT - SH


Trả lời câu 3
• Công sơ cấp:

1d. Lực bảo toàn

‫ݑ‬௥

‫ݑ‬ఏ

d‫ݎ‬Ԧ

dW = F ⋅ dr
dW = −Fdr = −G

Mm
dr
r2

r
θ

r2

dr
W = −GMm∫ 2
r
r1

x

Tọa độ cực r, θ

• Do đó:
1 1
W = GMm − 
 r2 r1 

‫ܨ‬Ԧ

F = −Fur
dr = drur + rdθ uθ

không phụ thuộc
đường đi!!

• Lực bảo toàn ⇔ công không phụ thuộc
đường đi.
− Trọng lực đều, lực hấp dẫn và lực đàn hồi
của lò xo là các lực bảo toàn.
− Lực ma sát không phải là lực bảo toàn.
• Lực bảo toàn ⇔ W = 0 khi đường đi khép

kín.
− đối với trọng lực chẳng hạn, khi quỹ đạo
khép kín thì y1 = y2, Δy = 0, W = 0.

2b. Định lý động năng

2a. Động năng
• Động năng là dạng năng lượng gắn liền với
chuyển động.
• Động năng của một chất điểm khối lượng m
chuyển động với vận tốc v là:
1
K = mv 2
2

Đơn vị Joule (J)

vdt ⋅ m

dv
= Ftot ⋅vdt = dr
dt

mv ⋅ dv = Ftot ⋅ dr = dW

tot

dv 2 = dv 2 = 2v ⋅ dv
1
⇒ v ⋅ dv = dv 2

2

 mv 2 
m 2
dv = d 
 = dWtot
2
2



Độ biến thiên động năng = công toàn phần
dK = dWtot
ΔK = Wtot


Trả lời bài tập 4

Bài tập 4

• Định luật Newton 2
trên phương pháp
tuyến tại A cho ta:

Một vật khối lượng m
trượt không ma sát, vận
tốc ban đầu bằng không,
từ đỉnh một máng trượt
như hình vẽ.
Tìm chiều cao tối thiểu

hmin để vật không bị rơi
khỏi máng trượt ở A.

v 2A
m = mg + N A
R
• Để vật không bị rơi
khỏi máng trượt tại A
ta phải có: N A ≥ 0
• Suy ra:
v 2A ≥ gR

Trả lời bài tập 4 (tt)

1
2

ܰ h −2R

mv 2A − 0 = mg ( h − 2R )

v 2A = 2 g ( h − 2R )
2
A

v ≥ gR

(2)
(1)

m݃Ԧ

2R

Từ (1) và (2):
2 g ( h − 2R ) ≥ gR
5
hmin = R
2

⇒ 2 gh ≥ 5 gR

m݃Ԧ
‫ݑ‬n

(1)

Bài tập 4 – mở rộng

S

KA −KS = Wmg

ܰA

5
h≥ R
2

• Khi h = hmin, tìm phản

lực vuông góc tại C.
• Trả lời: NC = 6mg
• N lớn như thế rất
nguy hiểm.
• Để giảm N, các máng
trượt tròn thường
được thiết kế lệch một
chút khỏi mặt phẳng
thẳng đứng.

C


3a. Thế năng - 2

3a. Thế năng - 1
y2

• Công của lực bảo toàn:
W = mgy1 − mgy2

W = −GMm

Công của lực bảo toàn = độ giảm thế năng

−k‫ݔ‬Ԧ
x1
r1

kx2/2,

• mgy,
–GMm/r đều
là các hàm của vị trí.

x x2

ܹଵ→ଶ = ܷଵ − ܷଶ = ܷ + ‫ܥ‬

r2

ଵ

− ܷ+‫ܥ‬

ଶ

Thế năng được xác định sai khác một hằng số

ܷ = ଵଶ݇‫ ݔ‬ଶ + ‫ܥ‬

đơn vị thế năng: J

U2 −U1= ΔU : độ biến thiên
U1 −U2=−ΔU : độ giảm

3b. Tìm hằng số C - 1

Nếu U là thế năng thì U + C cũng là thế năng

‫݉ܯ‬
+‫ܥ‬
‫ݎ‬

Wbảo toàn =−ΔU
dWbảo toàn =−dU

‫ܨ‬Ԧ௚

3a. Thế năng - 3

ܷ = −‫ܩ‬

Độ giảm thế năng

y1

1 
1
−  −GMm 
r1 
r2 

ܷ = ݉݃‫ ݕ‬+ ‫ܥ‬

Công của lực bảo toàn: ܹଵ→ଶ = ܷଵ − ܷଶ

m݃Ԧ

k

k
W = x12 − x22
2
2

U: thế năng

U = mgy + C

y hướng lên

Chọn gốc thế năng ở vị trí y0 ⇔Đặ tU(y0) = 0
U( y0 ) = mgy0 + C ≡ 0

trọng lực đều

⇒ C = −mgy0

lực hấp dẫn

U = mgy − mgy0

lực đàn hồi lò xo

Nếu gốc thế năng ở vị trí y0 = 0 ⇒ C = 0


3b. Tìm hằng số C - 2
U = −G

Mm
+C
r

3b. Tìm hằng số C - 3
Đặt U(r0) = 0

Chọn gốc thế năng ở khoảng cách r0
Mm
Mm
U(r0 ) = −G
+C ≡0 ⇒C = G
r0
r0
U = −G

Mm
Mm
+G
r
r0

Nếu gốc thế năng ở r0 =∞ ⇒ C = 0

4a. Cơ năng – 1
Lực bảo toàn:

Wtot = −∆U

Định lý động năng: Wtot = ∆K

∆K = −∆U ⇒ ∆ ( K + U ) = 0

cơ năng E
Khi lực là bảo toàn thì cơ năng cũng bảo toàn:
ΔE = Δ(K + U) = 0

U = 12 kx 2 + C

Chọn gốc thế năng ở vị trí x0 ⇔Đặ tU(x0) = 0
U( x0 ) = 12 kx02 + C ≡ 0
⇒ C = − 12 kx02
U = 12 kx 2 − 12 kx02

Nếu gốc thế năng ở vị trí x0 = 0 ⇒ C = 0

4a. Cơ năng – 2
Wtot = Wbảo toàn + Wkhông bảo toàn =−ΔU + Wkhông bảo toàn
Định lý động năng: Wtot = ΔK
ΔK = −ΔU + Wkhông bảo toàn ⇒ Δ(K + U) = Wkhông bảo toàn
ΔE = Δ(K + U) = Wkhông bảo toàn
Nếu mọi lực đều bảo toàn: Wkhông bảo toàn = 0
thì cơ năng cũng bảo toàn: ΔE = 0