Bài giảng Sức bền vật liệu ThS. Lê Đức Thanh ĐH Bách Khoa TPHCM

Bài giảng sức bền vật liệu

Nội dung môn học: Sức bền vật liệu
Kiến thức
cơ bản

Kỹ thuật
Cơ sở

Các Môn chuyên
ngành

Sức bền
vật liệu

Chương 1. Các khái niệm cơ bản
Chương 2. Lý thuyết về nội lực
Chương 3. Kéo nén đúng tâm
Chương 4&5. Trạng thái ứng suất và thuyết bền
Chương 6. Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang
Chương 7. Uốn phẳng thanh thẳng
Chương 8. Chuyển vị của dầm chịu uốn
Chương 9. xoắn thuần túy thanh thẳng
Chương 10.Thanh chịu lực phức tạp
Chương 11&12.Ổn định thanh thẳng chịu nén đúng tâm.Uốn ngang uốn dọc đồng thời
Bài tập lớn viết tay10% (mỗi SV làm 01 đề bài gồm 04 sơ đồ theo phân công), Kiểm tra
giữa kỳ 10% .Thí nghiệm 20%,Thi cuối kỳ 60%.(Thí nghiệm tiên quyết viết tay).
Chú ý điểm cuối kỳ không được nhỏ hơn 3 điểm
Tài liệu tham khảo:
-Đỗ kiến Quốc và các tác giả, NXB Đại học quốc gia Tp.Hồ chí Minh
-Bùi trọng Lựu và các tác giả NXB Đại học và THCN

-Nguyễn y Tô và các tác giả NXB Đại học và THCN
-Lê ngọc Hồng NXB Khoa học kỹ thuật
-Vũ đình Lai và các tác giả NXB Giao thông vận tải
-Phạm ngọc Khánh và các tác giả NXB Xây dựng
-Lê hoàng Tuấn-Bùi công Thành, NXB Đại học Bách KhoaTp.Hồ chí Minh.
Và các tác giả khác

Chương 1 : Những khái niệm cơ bản

1

GV:Lê đức Thanh (cập nhật 01/2017)


Bi ging sc bn vt liu
Chng 1

CC KHI NIM C BN
I.KHI NIM - I TNG - NHIM V V C IM CA MễN HC SC
BN VT LIU (SBVL)
Sc bn vt liu l mụn hc k thut c s nghiờn cu s chu lc v bin dng ca vt
liu, t ú a ra phng phỏp tớnh toỏn bn, cng v n nh cỏc b phn ca
cụng trỡnh v chi tit mỏy, gi chung l vt th khi chu tỏc dng ca ngoi lc.
1. i tng ca mụn hc -Hỡnh dng vt th c nghiờn cu
SBVLnghiờn cu vt th thc (cụng trỡnh, chi tit mỏy ) cú bin dng di tỏc
dng ca cỏc nguyờn nhõn ngoi,(ti trng, nhit , lp rỏp cỏc chi tit ch to khụng
chớnh xỏc)
Vt th thc s dng trong k thut c chia ra ba dng c bn:
a. Khi:
Cú kớch thc theo ba phng tng ng: ờ p, múng mỏy...

H. 1.1 Vt th dng khi

H. 1.2 Vt th dng tm v

b. Tm v v:
Vt th mng cú kớch thc theo mt phng rt
nh so vi hai phng cũn li; tm cú dng phng,
v cú dng cong: sn nh, mỏi v.

H. 1.3 Trc thanh v mt ct ngang

c. Thanh
Vt th di cú kớch thc theo mt phng rt ln so vi hai phng cũn li: nh thanh
dn cu, ct in, trc mỏy SBVL nghiờn cu thanh, v h thanh.
Thanh c biu din bng trc thanh v mt ct
ngang A vuụng gúc vi trc thanh (H.1.3).
Trc thanh l qu tớch ca trng tõm mt ct ngang.
a)
Cỏc loi thanh (H.1.4):
+Thanh thng, hay cong: cú trc thanh thng, hay
c)
b)
cong,
+H thanh: thanh góy khỳc (phng hay khụng gian)
H. 1.4 Caực daùng truùc thanh
2. Nhim v: SBVL l mụn hc k thut c s,
nghiờn cu tớnh cht chu lc ca vt liu, a ra cỏc phng phỏp tớnh khi vt th
chu cỏc tỏc dng ca nhng nguyờn nhõn ngoi, nhm tha món yờu cu:
Chng 1 : Nhng khỏi nim c bn

2

GV:Lờ c Thanh (cp nht 01/2017)

d)


Bài giảng sức bền vật liệu

an toàn và tiết kiệm vật liệu.
 Vật thể làm việc được an toàn khi thỏa được các điều kiện sau:
- Điều kiện bền : không bị phá hoại (nứt gãy, sụp đổ…).trong quá trình chịu lực
- Điều kiện cứng: biến dạng và chuyển vị nằm trong một giới hạn cho phép.
- Điều kiện ổn định : bảo toàn hình thức biến dạng ban đầu.
 Thường, kích thước của vật thể lớn thì khả năng chịu lực cũng tăng và do đó độ an
toàn cũng được nâng cao; tuy nhiên, vật liệu phải dùng nhiều hơn nên nặng nề và tốn kém
hơn. Kiến thức của SBVL giúp giải quyết hợp lý mâu thuẫn giữa yêu cầu an toàn và tiết
kiệm vật liệu.
 Ba bài toán cơ bản của SBVL:
+ Kiểm tra các điều kiện bền, cứng, ổn định.
+ Định kích thước, hình dáng hợp lý của công trình hay chi tiết máy.
+ Định giá trị của các nguyên nhân ngoài (tải trọng, nhiệt độ…) cho phép tác dụng lên
công trình.
3. Đặc điểm:
 SBVL là môn khoa học thực nghiệm: Để đảm bảo sự tin cậy của các phương pháp
tính, môn học kết hợp chặt chẽ giữa nghiên cứu thực nghiệm và suy luận lý thuyết.
Nghiên cứu thực nghiệm nhằm phát hiện ra tính chất ứng xử của các vật liệu với các
dạng chịu lực khác nhau, làm cơ sở đề xuất các giả thiết đơn giản hơn để xây dựng lý
thuyết.

Thí nghiệm kiểm tra các lý thuyết tính toán đã xây dựng
Trong nhiều trường hợp, phải làm thí nghiệm trên mô hình công trình thu nhỏ trước
khi xây dựng hoặc thử tải công trình trước khi sử dụng.
 SBVL khảo sát nội lực (lực bên trong vật thể) và biến dạng của vật thể ( Cơ Lý
Thuyết khảo sát cân bằng tỉnh học và chuyển động của vật thể được xem là rắn tuyệt
đối).
 SBVL cũng sữ dụng các kết quả của Cơ Lý Thuyết để xét sự cân bằng giữa các lực
tác dụng lên một bộ phận của công trình hay một chi tiết máy.
II. NGOẠI LỰC- CÁC LOẠI LIÊN KẾT- PHẢN LỰC LIÊN KẾT
1.Ngoại lực

Tải trọng

a) Định nghĩa: Ngoại lực là lực tác động
từ môi trường hoặc vật thể bên ngoài lên vật
thể đang xét.
Ngoại lực bao gồm: Tải trọng và phản lực.

Phản lực

H. 1.5 Tải trọng và phản lực
 Tải trọng: Là những lực chủ động đã biết
trước (vị trí, phương và độ lớn) thường được
quy định bởi các quy phạm thiết kế hoặc tính toán theo kích thước của vật thể.

Chương 1 : Những khái niệm cơ bản

3

GV:Lê đức Thanh (cập nhật 01/2017)

Bài giảng sức bền vật liệu

 Phản lực: Là những lực thụ động (phụ thuộc vào tải trọng), phát sinh tại vị trí liên kết
vật thể đang xét với các vật thể khác
b) Phân loại

q

Theo hình thức phân bố: Ngoại lực chia ra:

+Lực phân bố:
Tác dụng liên tục trên bề mặt một thể tích, hay một
diện tích của vật thể (như trọng lượng bản thân, áp lực
nước lên thành bể...)
Lực phân bố thể tích có thứ nguyên là lực/thể tích, hay
h
[Lực/L3].
Lực phân bố diện tích có thứ nguyên là lực/diện tích,
hay [Lực/L2].
G
Nếu lực phân bố trên một dải hẹp thì thay lực phân bố
diện tích bằng lực phân bố đường với cường độ lực có
thứ nguyên là lực/chiều dài, hay [Lực/L] (H.1.6).
H. 1.6 Các loại lực phân bố
Lực phân bố đường là loại lực thường gặp trong
SBVL.Ký hiệu : q (kN/m,N/m…)
Lực phân bố có thể hằng số, hay biến thiên trong miền tác dụng
+Lực tập trung:

Tác dụng tại một điểm của vật thể, thứ nguyên [P].Thực tế, khi diện tích truyền lực bé
có thể coi như lực truyền qua một điểm
+ Mômen (ngẩu lực) có thứ nguyên là lực x chiều dài hay: [P x L]
(Lực tập trung, mômen tập trung là những lực qui ước từ bài toán thực tế đưa về sơ đồ
tính).
c) Theo tính chất tác dụng: Ngoại lực được phân ra
 Tải trọng tĩnh: biến đổi chậm hay không đổi theo thời gian, bỏ qua gia tốc chuyển
động (bỏ qua lực quán tính khi xét cân bằng).Áp lực đất lên tường chắn, trọng lượng của
công trình là các lực tĩnh…
Tải trọng động: lực thay đổi nhanh theo thời gian, gây ra chuyển động có gia tốc lớn
(rung động do một động cơ gây ra, va chạm của búa xuống đầu cọc…).Với lực động thì
cần xét đến sự tham gia của lực quán tính .
2. Liên kết phẳng, phản lực liên kết, và cách xác định
Các loại liên kết phẳng và phản lực liên kết:
Một thanh muốn duy trì hình dạng, vị trí ban đầu khi chịu tác động của ngoại lực thì nó
phải được liên kết với vật thể khác hoặc với đất.
a) Gối di động (hay gọi là liên kết thanh, liên kết đơn):

Chương 1 : Những khái niệm cơ bản

4

GV:Lê đức Thanh (cập nhật 01/2017)


Bài giảng sức bền vật liệu

Ngăn cản một chuyển vị thẳng và phát sinh một phản lực R theo phương của liên kết
(H.1.7a)
b) Gối cố định (Liên kết khớp, khớp, bản lề):

Ngăn cản chuyển vị thẳng theo phương bất kỳ
và phát sinh phản lực R cũng theo phương
đó.Phản lực R thường được phân tích ra hai
thành phần V và H vng góc trong mặt phẳng
(H.1.7b), tương đương 2 liên kết đơn
c) Ngàm:

M

H

H

R

V

a)

b)

V
c)

Ngăn cản tất cả chuyển vị thẳng và chuyển vị
H. 1.7 Liên kết và phản lực liên kết
xoay. Phản lực phát sinh trong ngàm gồm ba
thành phần V, H và M (H.1.7c), tương đương 3 liên kết đơn .
Cách xác định phản lực:
Giải phóng các liên kết, thay bằng các phản lực tương ứng, các phản lực được xác

định từ điều kiện cân bằng tĩnh học giữa tải trọng và phản lực.
Bài tốn phẳng có ba phương trình cân bằng độc lập, được thiết lập ở các dạng khác
nhau như sau:
1.  X  0;  Y  0;  MO  0 (2 phương X, Y khơng song song)
2.  M A  0;  M B  0;  MC  0 ( 3 điểmA, B, C khơng thẳng hàng)
3.  X  0;  M A  0;  M B  0 (phương AB khơng vng góc với X)
Bài tốn khơng gian có sáu phương trình cân bằng độc lập, thường có dạng:

 X  0; Y  0;  Z  0;  M /

Ox

 0;

M /

Oy

 0;

M /

Oz

0

Chú ý:
Muốn cố định một thanh trong mặt phẳng cần tối thiểu 3 liên kết tương đương liên kết
đơn, để chống lại 3 chuyển động tự do. Nếu đủ liên kết và bố trí hợp lý 3 phản lực sẽ tìm
được từ 3 phương trình cân bằng tỉnh học. Bài tốn được gọi là tĩnh định. Nếu số liên kết

tương đương lớn hơn 3 (pt cân bằng độc lập tuyến tính) gọi là bài tốn siêu tỉnh.
III. CÁC DẠNG CHỊU LỰC VÀ BIẾN DẠNG CƠ BẢN - CHUYỂN VỊ
1. Biến dạng của vật thể:
Trong thực tế, sự chịu lực của một thanh có thể phân tích ra các dạng chịu lực cơ bản:
-Thanh bị kéo (nén):Trục thanh sẽ dãn dài (hay co ngắn) (H.1.8a,b). Lực tác dụng đặt
dọc theo chiều trục thanh (có thể song song hoặc trùng trục thanh)
-Thanh bị uốn: Trục thanh sẽ bị cong (H.1.8e) Lực tác dụng vng góc với trục
thanh.
-Thanh bị xoắn: Trục thanh vẫn thẳng nhưng đường sinh trên bề mặt trở thành
đường xoắn ốc (H1.8.d).Lực tác dụng nằm trong mặt phẳng vng góc với trục thanh.
Chương 1 : Những khái niệm cơ bản

5

GV:Lê đức Thanh (cập nhật 01/2017)


Bi ging sc bn vt liu

Khi chu ct, hai phn ca thanh cú xu hng trt i vi nhau (H1.8.c).
2. Bin dng ca phõn t:
Nu tng tng tỏch mt
phõn t hỡnh hp t mt thanh
chu lc thỡ s bin dng ca nú
trong trng hp tng quỏt cú
th phõn tớch ra hai thnh phn
c bn:
Phõn t trờn H.1.9a dx ch
thay i chiu di, khụng thay
i gúc.

P

P

P

2P

a)

P

P
c)

T1

P

T2

T1

b)

T2

d)

Bin dng di tuyt i
theo phng x : dx.
Bin dng di tng i
theo
phng x : x
dx
a)

d
x



e)

Hỡnh 1.8 Caực daùng chũu lửùc cụ baỷn

dx
dx

Phõn t trờn H.1.9b ch cú thay i gúc, khụng thay i chiu
di
Bin dng gúc hay gúc trt, ký hiu l : thay i ca
gúc vuụng ban u
3.Chuyn v:

b)
H. 1.9 Cỏc bin
dng c bn

Khi vt th b bin dng, cỏc im trong vt th núi chung b
thay i v trớ. chuyn di t v trớ c ca im A sang v trớ
mi A c gi l chuyn v di. Gúc hp bi v trớ ca mt

on thng AC trc v trong khi bin dng ACca vt
th c gi l chuyn v gúc (H.1.10).

P1

VI. Cỏc gi thit

P3
A

Khi gii bi toỏn SBVL, ngi ta chp nhn mt s
gi thit nhm n gin hoỏ bi toỏn nhng c gng m
bo s chớnh xỏc cn thit phự hp vi yờu cu thc t.
(õy l phng phỏp t duy k thut)



A



C
C

P4

P2
H. 1.10

1) Gi thit v vt liu
Vt liu c coi l liờn tc, ng nht, ng hng v n hi tuyn tớnh.

Chng 1 : Nhng khỏi nim c bn

6

GV:Lờ c Thanh (cp nht 01/2017)


Bài giảng sức bền vật liệu

Ta tưởng tượng lấy một phân tố bao quanh một điểm trong vật thể. Nếu cho phân tố
bé tùy ý mà vẫn chứa vật liệu thì ta nói vật liệu liên tục tại điểm đó.
Giả thiết về sự liên tục của vật liệu cho phép sử dụng các phép tính của toán giải tích
như giới hạn, vi phân, tích phân....Trong thực tế, ngay cả với vật liệu được coi là hoàn
hảo nhất như kim loại thì cũng có cấu trúc không liên tục.
 Vật liệu đồng nhất :
Tính chất cơ học tại mọi điểm trong vật thể là như nhau.

Lực

 Vật liệu đẳng hướng :
Tính chất cơ học tại một điểm theo các phương đều như
nhau.
 Tính chất đàn hồi của vật thể là khả năng khôi phục lại
hình dạng ban đầu của nó khi ngoại lực thôi tác dụng.

H. 1.11 Đàn hồi tuyến tính

Nếu quan hệ giữa ngoại lực và biến dạng là bậc nhất, thì vật liệu được gọi là đàn hồi
tuyến tính (H.1.11).
Giả thiết vật liệu đàn hồi tuyến tính làm giảm bớt sự phức tạp của bài toán SBVL.
2) Giả thiết về sơ đồ tính
Khi tính toán, người ta thay vật thể thực bằng sơ đồ tính (H1.12).
q
a)

b)
H. 1.12 Sơ đồ tính

3) Giả thiết về biến dạng và chuyển vị
Vật thể có biến dạng và chuyển vị bé so với kích thước ban đầu của vật  Có thể
khảo sát vật thể hoặc các bộ phận của nó trên hình dạng ban đầu (tính trên sơ đồ không
biến dạng của vật thể).
Giả thiết này xuất phát điều kiện biến dạng và chuyển vị lớn nhất trong vật thể phải
nằm trong một giới hạn tương đối nhỏ.
Hệ quả:
Khi vật thể có chuyển vị bé và vật liệu đàn hồi tuyến tính thì có thể áp dụng nguyên lý
cộng tác dụng như sau:
Một đại lượng do nhiều nguyên nhân đồng thời gây ra sẽ bằng tổng đại lượng đó do từng
nguyên nhân gây ra riêng lẻ. (H.1.13)

Chương 1 : Những khái niệm cơ bản

7

GV:Lê đức Thanh (cập nhật 01/2017)


Bài giảng sức bền vật liệu

P1

P1
B

A

P2

P2
A

B

B

A

B(P2)

Hình a

y

yB(P1)

yB(P1+P2)
Hình b

Hình c

Chuyển vị y tại đầu thanh B do lực P1 và P2 gây ra có thể phân tích như sau:
yP1 , P2   y1 P1   yP2 
Nguyên lý cộng tác dụng biến bài toán phức tạp thành các bài toán đơn giản dễ giải
quyết hơn.Vì vậy, thường được sữ dụng trong SBVL.

Chương 1 : Những khái niệm cơ bản

8

GV:Lê đức Thanh (cập nhật 01/2017)


Bài giảng sức bền vật liệu

Chương2

LÝ THUYẾT NỘI LỰC
I. KHÁI NIỆM VỀ NỘI LỰC - P. PHÁP KHẢO SÁT- ỨNG SUẤT
1- Khái niệm về nội lực:
Xét một vật thể chịu tác dụng của ngoại lực và ở trạng thái cân bằng (H.2.1).Trong vật
thể giữa các phân tử luôn có các lực tương tác giữ cho vật thể có hình dáng nhất định. Khi có
ngoại lực tác dụng, các phân tử của vật thể có thể dịch lại gần nhau hoặc tách xa nhau. Lúc
đó, lực tương tác giữa các phân tử của vật thể phải thay đổi để chống lại các dịch chuyển này.
Sự thay đổi của lực tương tác giữa các phân tử trong vật thể được gọi là nội lực.

Một vật thể không chịu tác động nào từ bên ngoài thì được gọi là vật thể ở trạng thái tự
nhiên và nội lực của nó được coi là bằng không.
2- Khảo sát nội lực bằng phương pháp mặt cắt
Xét vật thể chịu lực cân bằng,để tìm nội lực tại 1 điểm C trong vật thể (H.2.1),Tưởng
tượng một mặt phẳng  cắt qua C và chia vật thể thành hai phần A và B; hai phần này sẽ tác
động lẫn nhau bằng hệ lực phân bố trên toàn diện tích mặt tiếp xúc theo định luật lực và phản
lực.Nếu tách riêng phần A thì hệ lực tác động từ phần B vào A phải cân bằng với ngoại lực
ban đầu (H.2.2).Hệ lực phân bố nầy chính là nội lực trên mặt cắt đang xét.
3.Ứng suất:
Xét một phân tố diện tích A bao quanh điểm khảo sát C trên mặt cắt  có phương pháp
tuyến v. Gọi  p là vector nội lực tác dụng trên A.

P2

τν

P4

P1
A

c
B

B
B

Pi

A

P3
Pn
H2.1 Vật thể chịu lực cân bằng

ơν

Hình 2.3 Các thành phần ứng suất

Ta định nghĩa ứng suất toàn phần tại điểm khảo sát là :

P1
P2
P3

p

A

A

P

p d p

A  0  A
dA

p  lim

Thứ nguyên của ứng suất là [lực]/ [chiều dài]2
Thí dụ: (N/cm2, kN/m2…,(1MN/m2 = 1MPa=10daN/cm2)
H2.2 Nội lực trên mặt cắt
Ứng suất toàn phần p có thể phân ra hai thành phần:
+ Thành phần ứng suất pháp v có phương pháp tuyến của mặt phẳng 
+ Thành phần ứng suất tiếp v nằm trong mặt phẳng  (H.2.3).
Các đại lượng này liên hệ với nhau theo biểu thức:

pv2   v2   v2

(2.1)
Ứng suất là một đại lượng cơ học đặc trưng cho mức độ chịu đựng của vật liệu tại một
điểm; ứng suất vượt quá một giới hạn nào đó thì vật liệu bị phá hoại. Do đó, việc xác định
ứng suất là cơ sở để đánh giá độ bền của vật liệu, và chính là một nội dung quan trọng của
môn SBVL.

Chương 2: Lý thuyết về nội lực

GV: Lê đức Thanh 01/2017)

1


Bài giảng sức bền vật liệu

Thừa nhận (Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh)
- Ứng suất pháp v chỉ gây ra biến dạng dài. (Thay đổi chiều dài)
- Ứng suất tiếp v chỉ gây ra biến góc. (Thay đổi góc vuông)
II. CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA THANH &
CÁCH XÁC ĐỊNH

1. Các thành phần nội lực:
Xét một thanh, đặc trưng bởi mặt cắt ngang A (hay còn gọi là tiết diện) và trục thanh.
Ở đây ta chưa thể xác định ứng suất ở mỗi điểm trên mặt cắt ngang nhưng hợp lực của hệ
nội lực có thể xác định được (vì tổng hợp lực của nội lực phải cân bằng với tổng hợp lực của
ngoại lực).
Gọi hợp lực của các nội lực
Mx
phân bố trên mặt cắt ngang của
Mz
N
z
Qx
thanh là R,với R có điểm đặt và
phương chiều chưa biết.
Z
x
Qy
x
Đặt một hệ trục tọa độ Descartes
R
/
My
R
vuông góc ngay tại trọng tâm mặt
y
y
cắt ngang, Oxyz, với trục z trùng
Các thành phần nội lực
pháp tuyến mặt cắt (qui ước theo
phương trục thanh,) còn hai trục x, y nằm trong mặt cắt ngang của thanh (sau nầy sẽ được xác

định rõ hơn)
Luc R
có phương bất kỳ
Momen M

Dời R về trọng tâm 0 của mặt cắt ngang  

Khi đó, có thể phân tích R ra ba thành phần theo ba trục:
+ Nz theo phương trục z (  mặt cắt ngang) gọi là lực dọc (làm thanh dãn ra, co lại)
+ Qx,và Qy theo phương trục x, hay y (nằm trong mặt cắt ngang) gọi là lực cắt. (vì cắt ngang
thanh)
Mômen M cũng được phân ra ba thành phần xoay quanh 3 trục :
+ Mômen Mx quay quanh trục x gọi là mômen uốn.(Lực tác động  mp(yoz)) làm cho thanh bị
cong trong mp(yoz))
+ Mômen My quay quanh trục y gọi là mômen uốn. (Lực tác động  mp (xoz) làm cho thanh
bị cong trong mp (xoz)
+ Mômen Mz quay quanh trục z gọi là mômen xoắn. (Lực tác động  mp (xoy) làm cho
thanh vặn quanh trục z
Sáu thành phần này được gọi là các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang
2- Cách xác định:
Sáu thành phần nội lực trên một mặt cắt ngang được xác định từ sáu phương trình cân bằng
độc lập của phần vật thể được tách ra, trên đó có tác dụng của ngoại lực ban đầu Pi và các
nội lực.
Phương trình cân bằng hình chiếu các lực trên các trục tọa độ: trong đó:
Pix, Piy, Piz - là hình chiếu của lực Pi xuống các trục x, y, z.
Các phương trình cân bằng mômen đối với các trục tọa độ ta có: với:
mx(Pi), my(Pi),mz (Pi) các mômen của các lực Pi đối với các trục x,y, z.

Chương 2: Lý thuyết về nội lực

GV: Lê đức Thanh 01/2017)

2

z


Bài giảng sức bền vật liệu
n

 M / Ox  M x   mx ( Pi )  0  M x

n

 Z  0  N z   Piz  0  N z

i 1

i 1

Y  0  Qy 
 X  0  Qx 

n

n

 0  Qy

 M / Oy  M y   m y ( Pi )  0  M y

 Pix  0  Qx

 M / Oz  M z   mz ( Pi )  0  M z

P
i 1

iy

i 1
n

n

i 1

i 1

3. Liên hệ giữa nội lực và ứng suất:
Các thành phần nội lực liên hệ với các thành phần ứng suất như sau:
- Lực dọc là tổng các ứng suất pháp
- Lực cắt là tổng các ứng suất tiếp cùng phương với nó
- Mômen uốn là tổng các mômen gây ra bởi các ứng suất đối với trục x hoặc y
- Mômen xoắn là tổng các mômen của các ứng suất tiếp đối với trục z
III. BÀI TOÁN PHẲNG (thường gặp)
Trường hợp bài toán phẳng (ngoại lực nằm trong một mặt phẳng (thí dụ mặt phẳng y0z), chỉ
còn ba thành phần nội lực nằm trong mặt phẳng y0z là : Nz , Qy ,và Mx
 Qui ước dấu các thành phần nội lực (H.2.5)
- Lực dọc Nz  0 khi gây kéo đoạn thanh đang xét (có chiều hướng ra ngoài mặt cắt)

-Lực cắt Qy  0 khi làm quay đoạn thanh đang xét theo chiều kim đồng hồ.
- Mômen uốn Mx  0 khi thớ bên dưới thanh bị dãn ra (phía dương của trục y) hay thớ dưới
bị kéo, Và nếu ngược lại là âm. (xét thanh có trục nằm ngang)
P1
P2
A
Pi

P3

Mx > 0

Mx > 0
Nz >o

O

O

Nz >o
Qy > 0

P4
B

Qy > 0

Pn

Hình 2.5: Chiều dương các thành phần nội lực

Mx  0

Mx  0
Mx  0

Mx  0
Mômen M x  0 ,Thanh bị
cong xuống phía dưới

Mômen M x  0 ,Thanh bị
cong lên phía trên

 Cách xác định:
Dùng 3 phương trình cân bằng tỉnh học, xét cân bằng phần A (hay phần B) bên trái hay bên
phải của mặt cắt để tìm nội lực.
Từ phương trình  Z = 0  Nz

Y=0

Qy

 M/0 = 0  Mx

Thí dụ 1. Xác định các thành phần nội lực (hay là nội lực) tại K của thanh thẳng AC chịu tải
trọng phân bố đều q trên đoạn AD và lực tập trung P hợp với phương đứng góc 600 (vị trí của
điểm K cho trên hình vẽ). Cho : q = 4kN/m, a = 1m; Mo = 2qa2.
Chương 2: Lý thuyết về nội lực

GV: Lê đức Thanh 01/2017)

3


Bài giảng sức bền vật liệu

=600
q

1
k
1

A
HA

D
1,5a

VA

=600

M = 2qa2

P = 2qa

C

HB

A

VC

a

a

P = 2qa
Mx
k

q
1,5a

VB

D

Nz

Qy

H. 2.6b

Giải. (Tính toán tất cả bằng chữ trước, cuối cùng mới áp dụng số)
a) Tính các phản lực tại gối tựa:
Giải phóng các liên kết và thay vào đó bằng các phản lực liên kết VA, HA, VC. (giả sử các
phản lực có chiều như hình vẽ)
Viết các phương trình cân bằng tỉnh học khi xét cân bằng thanh AC

Z

 0 H A  (2qa cos60 0 )  0  H A  3qa  6,928kN

3
9
a  q a  2qa 2  V A x 2a  0  V A  qa  9kN
2
4
a
1
 M A  0  qa  2  Pcos60 0 . a - 2qa 2  VC x2a  0  VC   4 qa  1kN

M C  0

2qa  cos 60 0 

Dấu (+ ) cho biết phản lực HA, VA cùng chiều đã chọn ban đầu
Dấu (- ) cho biết phản lực VC ngược chiều đã chọn ban đầu.
b)Tính nội lực tại K:
Thực hiện mặt cắt 1-1 qua K chia thanh AC làm hai phần. Xét cân bằng của phần bên trái
mặt cắt. Giả sử đặt nội lực theo chiều dương qui ước như hình (H.2.6b) :

Z  0  N

z

 H B  2qa. cos 30 0  0  N z  0

1
qa  1kN
4
a
15
 M O1  0  M x  VB  1,5a  qa.a  qa  2  0  M x  8 qa 2  7,5kNm

Y

 0 VB  qa.a  P cos 60 0  Q y  0  Q y 

Các nội lực đều dương cùng chiều đã chọn.Tại mặt cắt 1-1 Mx dương thanh bị cong xuống
phía dưới (phía bên dưới thanh bị kéo),lực cắt dương từ trên hướng xuống
Nếu xét cân bằng phần phải của thanh, đặt nội lực theo chiều dương qui ước ta tìm được nội
lực như sau.(Vc đặt đúng chiều vừa tính)

Z  0  Nz  0

 Y  0 VC  Q y  0  Q y 
M

M = 2qa2

Mx
Nz

1
qa  1kN
4

15
 0   M x  VC  0,5a  2qa  0  M x  qa 2  7,5kNm
O1
8

Qy

1
k
1

2

0,5a

C
VC

Thí dụ 2. (tham khảo thêm)
Cho thanh gãy khúc phẳng ABCDKE chịu tải trọng phân bố đều q trên đoạn ABC và CDK,
lực tập trung P = qa tác dụng tại B và D và momen tập trung M=qa2 đặt tại nút C
Chương 2: Lý thuyết về nội lực

GV: Lê đức Thanh 01/2017)

4


Bài giảng sức bền vật liệu

a) Tính các phản lực tại A và E.
b) Xác định các nội lực tại mặt cắt 1-1(cho trên hình vẽ)
qa

qa2

q

C
1 B
B A
A

1
B
A

qa

B
A

A

a

E
K
B
V

AE

a

HA
a

VA

K
B
A

D
B
A

a

a) Chọn các phản lực có chiều như hình vẽ

M A  0

 qa - a  2qa 2  qa 2  qa 2  2qa 2  V E  2a  0  VE 

 Ngang  0
M E  0

5
qa

2

H A  2qa  qa  0  H A  3qa
 2qa 2  qa 2  qa 2  V A  2a  H A  a  0  V A 

1
qa
2

b) Thực hiện mặt cắt 1-1
Xét đoạn ABC (bên trái) H.1a
Chọn chiều các nội lực như hình vẽ.Tìm các nội lực bằng các pt cân bằng

Z

1
 0 N z   qa (hằng số và ngược với chiều đã chọn) , Nz hướng vào mặt cắt. Nz nén
2

trong đoạn AC

 Ngang  0 Q  2qa  qa  3qa  0  Q  0 (Tại mặt cắt 1-1)
 M 0  0  3qa  2a  qa  2qa  M  0  M  3qa
y

y

2

2

2

x

x

(Mx cùng chiều đã chọn , do đó thanh chịu kéo phía bên phải thanh ABC
Xét đoạn CDKE (bên phải) H.1b
 Ngang  0 Qy  0 (Tại 1-1)

 Đung

 0  N z  qa  2qa 

5qa
1
 0  N z   qa ( ngược chiều đã chọn).
2
2

Vậy Nz hướng vào mặt cắt, lực dọc chịu nén

M 0  0

5
 qa  2a  qa 2  2qa 2  qa 2  M x  0  M x  3qa 2
2

Chương 2: Lý thuyết về nội lực

GV: Lê đức Thanh 01/2017)

5


Bài giảng sức bền vật liệu

qa2

Nz

qa

Mx

q
0
B
A

Qy

Qy
a

qa

K
B

A

D
B
A

Nz
q
a

H1.a

Mx

C
B
A

E
K
5B
qa
2A

H1.b

3qa

a

a

1
qa
2

Nhân xét:
Từ hai thí dụ trên ta thấy:Tại một mặt cắt giá trị nội lực trong thanh là như nhau. Do đó khi
tìm nội lực tại một điểm ta xét cân bằng bên nào của mặt cắt cũng được. Thường chọn bên
nào các số hạng trong phương trình cân bằng ít hơn
IV. BIỂU ĐỒ NỘI LỰC (BÀI TOÁN PHẲNG)
Thường các nội lực trên các mặt cắt ngang của một thanh không giống nhau. Ở đây ta muốn
biết trong suốt chiều dài thanh nội lực tại mặt cắt nào có giá trị lớn nhất và qui luật của nội
lực đó phân bố thế nào.
1.Định nghĩa:
Biểu đồ nội lực (BĐNL) là đồ thị biểu diễn sự biến thiên của các nội lực theo vị trí của
các mặt cắt ngang. Hay gọi là măt cắt biến thiên.
Nhìn vào BĐNL có thể xác định vị trí mặt cắt nào có giá trị nội lực lớn nhất và trị số nội lực
tại mặt cắt ấy, củng như qui luật phân bố của nội lực
2. Cách vẽ BĐNL- Phương pháp giải tích:
Để vẽ biểu đồ nội lực (theo p.p.giải tích) ta tính nội lực trên từng mặt cắt ngang. ở một vị trí
bất kỳ của từng đoạn có hoành độ z so với một gốc nào đó mà ta chọn trước ứng với từng
đọan.(mỗi đoạn phải ngang qua một lực:(q, P, M).
Mặt cắt ngang chia thanh ra thành 2 phần. Xét sự cân bằng của một phần (trái, hay phải), viết
biểu thức giải tích của nội lực theo z của đoạn xét
Vẽ đường biểu diễn trên hệ trục toạ độ có trục hoành song song với trục z của thanh (còn gọi
là đường chuẩn),tung độ của biểu đồ nội lực sẽ được diễn tả bởi các đoạn thẳng vuông góc
các đường chuẩn.
Tóm tắt các bước như sau:
 Tính phản lực (nếu cần)

 Phân đoạn (mỗi đoạn phải phải qua một lực)
Viết biểu thức giải tích (nội lực theo z) cho từng đoạn
 Chọn hệ trục và vẽ (nhớ qui ước chiều Qy và Mx trên trục tung)
Chương 2: Lý thuyết về nội lực

GV: Lê đức Thanh 01/2017)

6


Bài giảng sức bền vật liệu

Thí dụ 3.
Vẽ BĐNL của thanh (dầm) console như (H.2.7)
Giải
Xét mặt cắt ngang 1-1 có hoành độ z so với gốc A, ta có
(0zl)
Biểu thức giải tích của lực cắt và mômen uốn tại mặt cắt
1-1 được xác định từ việc xét cân bằng phần phải của thanh:
(vì xét bên trái ta chưa biết các phản lực tại ngàm A)

Z  0  N  0
Y  0  Q  P  0  Q  P
 M O  0 M  P(l  z)  0  M
y

1

1

P

K

A

B

L
Qy

1
K

N

P
B

L-z

M

1

Qy

y

x

z

x

  P(l  z )

Cho z biến thiên từ 0 đến l, ta sẽ được biểu đồ nội lực như M Pl
trên H.2.7.
Qui ước:

Hình 2.7

- Biểu đồ lực cắt Qy tung độ dương vẽ phía trên trục hoành.
- Biểu đồ mômen uốn Mx tung độ dương vẽ phía dưới trục hoành.
Nhận xét: Tại đầu tự do (B) Mx bằng không (nếu không có momen tập trung M0)
Thí dụ 4. Vẽ BĐNL của thanh đơn giản chịu tải phân bố đều q như (H.2.8a).
Giải
Tính các phản lực: Bỏ các liên kết tại C và B, thay bằng các phản lực như H.28a.
Z = 0  HC =0.
Do đối xứng  VC  VB 

ql
(hợp lực của lực phân bố ql hướng xuống)
2

Xác định Nội lực: thực hiện mặt cắt ngang 1-1 qua K có hoành độ là z: 0  z  l ).
Mặt cắt 1-1 chia thanh làm hai phần.
q
HC

Xét cân bằng của phần bên trái CK (H.2.8b)
C
K
Từ các phương trình cân bằng ta suy ra
z

 Z  0  N z  0

ql
l

 qz  q(  z )
 Y  0  Q y 
2
2


ql
qz 2
qz

M
/
O

0

M

z



(l  z )

1
x
2
2
2


Qy là hàm bậc nhất theo z, Mx là hàm bậc 2 theo z.
Cho z biến thiên từ 0 đến l ta vẽ được các biểu đồ nội
lực (H 2.8).
Chú ý:
+ Khi z = 0(tại gối tựa C)  Qy = ql/2 , Mx = 0
+ Khi z = l (tại gối tựa B) Qy = - ql/2 , Mx = 0
+Tìm Mx, cực trị bằng cách cho đạo hàm dMx / dz =0,

Chương 2: Lý thuyết về nội lực

1

Mx

z 1
Qy

VC
Qy

VC=ql/2

VB=ql/2

L

VC=ql/2

Nz

y
+

VB=ql/2

ql2/8
Mx
H.2.8

GV: Lê đức Thanh 01/2017)

7


Bài giảng sức bền vật liệu

l
 ql

qz


0

z

 2
2
HA  0 ;
dMx / dz =0  
2
ql
 M
x,max 

8
Từ các BĐNL, của thí dụ nầy ta nhận thấy:
 Lực cắt Qy có giá trị lớn nhất ở mặt cắt sát gối tựa,
 Mômen uốn Mx có giá trị cực đại ở giữa dầm, vị trí Qy=0 và phía dưới bị kéo,
và Mx= 0 tại hai gối tựa biên.
Thí dụ 5.
Vẽ BĐNL của thanh đơn giản chịu lực tập trung P như (H.2.9a).
Giải
Phản lực: Tìm các thành phần phản lực tại các gối từ các phương trình cân bằng tỉnh học ta
được:

H A  0 ;VA 

Pb
; VB  Pa
l

l

Nội lực: Tải trọng có phương vuông góc với trục thanh nên lực dọc Nz trên mọi mặt cắt
ngang có trị số bằng không.
Phân đoạn: Vì tính liên tục của các hàm số giải tích biểu diển các nội lực nên phải tính nội
lực trong từng đoạn của thanh; trong mỗi đoạn phải không có sự thay đổi đột ngột của ngoại
lực. (trong bài nầy xét hai đoạn AC và CB)
Đoạn AC: Xét mặt cắt 1-1 qua điểm K1 trong đoạn AC và cách gốc A(chọn) một đoạn z1 (
0  z1  a ).
Khảo sát cân bằng của phần bên trái ta được các biểu thức giải tích của nội lực:
Pb P (l  a )

Q y  V A  l 
l

M  V .z  Pb z  P (l  a ) z
A 1
1
1
 x
l
l

a
A
a)

Z1

P

K
1(a)
1
C
1

b
2 K
2

Z2

B

2

z l
 Đoạn CB: Xét mặt cắt 2-2 qua điểm K2 .Trong
VA
VB
đoạn CB cách gốc A một đoạn z2
1 Mx
Mx
2
(a  z2  l ).
b) VA
l-z
VB c)
1

z1
Tính nội lực trên mặt cắt 2-2 bằng cách xét phần bên
Qy
Qy
phải (đoạn K2B). Ta được
Pb
Qy
Pa
d)
l
+
Q y  VB  
l
Pa
(b)
Pab
Pa
l
M x  VB (l  z 2 ) 
(l  z 2 )
l
l
e)
Từ (a) và (b) vẽ được các biểu đồ nội lực như
Mx
H. 2.9
H.2.9d,e.
Trường hợp đặc biệt :
Nếu a=b = L/ 2, (lực đặt giữa thanh) khi đó mômen cực đại tại giữa thanh và có giá trị là :
Mmax = PL/4

Chú ý cần nhớ (từ các bài thí dụ cơ bản trên ta thấy)
 Mômen luôn vẽ về phía thớ chịu kéo của thanh
Chương 2: Lý thuyết về nội lực

GV: Lê đức Thanh 01/2017)

8


Bài giảng sức bền vật liệu

 Lực tập trung thường hướng vào điểm lõm của biểu đồ Mx
 Biểu đồ Mx luôn hứng tải trọng phân bố đều q
Thí dụ 6 :
Vẽ BĐNL của thanh đơn giản có M0 tập trung
a
đặt tại C như (H.2.10a).
V A  VB 

M0

Mo
, chiều phản lực như H.2.10a.
l

Nội lực:
Đoạn AC: Dùng mặt cắt 1-1 cách gốc A một
đoạn z1 ; (0  z1  a ).Xét cân bằng của đoạn
AK1 bên trái mặt cắt K1  các nội lực như sau
Mo


Q y1  V A   l
(c)

M  V z   M o z
A 1
1
 x1
l
Đoạn CB: Dùng mặt cắt 2-2 trong đoạn CB
cách gốc A một đoạn z2 với (a  z2  l ) .
Xét cân bằng phần bên phải của mặt cắt K2 
các biểu thức nội lực trên mặt cắt 2-2 là:

z2

1 K1

A

K2

2

l – z2

C

z1

a)

2

1

VA
Mx

K1 1

A

z1

b)

e)

c)

2

l – z2

Qy

Qy

Qy

VB

2

1

VA
d)

Mx

B

-

VB
Mo / l

Mo
l

a

Mx
Mo (l - a)
l

H. 2.10

Mo

Qy 2  VB   l

M  V (l  z )  M o (l  z )
B
2
2
 x 2
l

BĐNL được vẽ từ các biểu thức (c), (d) của nội lực trong hai đoạn (H.2.10d-e).
Trường hợp đặc biệt:
Mômen tập trungMo đặt tại mặt cắt sát gối tựa A,hay B (H.2.11).
Qy và Mx sẽ được xác định ứng với a = 0, b=0 và BĐNL vẽ như H.2.11
M0
a)

M0
B

b)
l
VA=M0/L

M0/L
c) M0

B

a)
VB=M0/L
Qy

o
Momen kéo bên dưới

Mx

l
VA=M0/L
b) M0/L
H. 2.11

VB=M0/L
+

c) M0
o
Momen kéo bên trên

Qy
Mx

Nhận xét qua 3 thí dụ cơ bản trên:
a) Tại mặt cắt có lực tập trung, trên biểu đồ lực cắt nơi đó có bước nhảy.
Tung độ của bước nhảy bằng trị số lực tập trung. Chiều bước nhảy theo chiều lực tập
trung nếu ta vẽ từ trái sang phải.
Chương 2: Lý thuyết về nội lực

GV: Lê đức Thanh 01/2017)

9


Bài giảng sức bền vật liệu

b) Tại mặt cắt có mômen tập trung, biểu đồ mômen uốn nơi đó có bước nhảy.
Trị số của bước nhảy bằng trị số mômen tập trung. Chiều bước nhảy theo chiều mômen
tập trung nếu ta vẽ từ trái sang phải.
c) Tại các gối tựa biên và đầu tự do Momen bằng không.
d) Đường cong Momen luôn hứng tải trọng
e) Tại mặt cắt có Qy = 0 Momen đạt cực trị
g) Phương trình Mx lớn hơn Qy một bậc
Từ ba bài toán cơ bản nầy ta sẽ tìm được nội lực cho nhiều bài toán khác
Thí dụ 7:
Vẽ BĐNL của thanh có đầu thừa
Giải

MA  0

qa  3a  2qa  a  RB  2a  0  RB 

5
qa
2

MB  0

1

qa  a  2qa  a  RA  2a  0  RA  qa
2
Đoạn AB: Dùng mặt cắt 1-1(K1) cách gốc A một đoạn z1 ;(0  z1  2a ).
Xét cân bằng của phần bên trái AK1  các nội lực như sau
Qy1   RA  qz1
q
Mx


qz1
A
K1
z1
 Mx1   RAz1 
Qy
2

Z
A

1

K1

Z1

Đoạn CB: Dùng mặt cắt 2-2(K2) cách gốc A một đoạn z2
;(2a z2 3a ).
Xét cân bằng của đoạn CK2 bên phải mặt cắt K2  các
nội lực như sau

2a
q

Z2
P = qa

q

K2
5 B
qa
2

Mx

-

Dựa vào các biểu thức giải tích ta vẽ được
biểu đồ như trên
Nhận xét:Bài thí dụ nầy giống hai bài thí
dụ 2 và 3 cộng lại (cộng từng tung độ)
Kiểm chứng các nhận xét :
Khảo sát đoạn z bao quanh một điểm K
có tác dụng lực tập trung P0,mômen tập
trung M0 (H.2.12b).
Viết các phương trình cân bằng 
Y = 0  Q1 + P0 – Q2 = 0  Q2 – Q1 = P0

3

qa
2

C
qa2/8
P0
M0

P0
M1

M0
z

z

Q1

K

z

H. 2.12

(a)

M/K = 0  M1 +M0 - M2 + Q1 z - Q2 z =0
2

Chương 2: Lý thuyết về nội lực

qa

qa2

0

Qy 3a-z2

a
+

+

P = qa


Q y1  qa


M x1  qa  (3a  z 2 )

C

2

GV: Lê đức Thanh 01/2017)

10

M2
Q2


Bài giảng sức bền vật liệu

Bỏ qua vô cùng bé bậc một Q1 z , Q2 z ,  M2 - M1 = M0
2

(b)

2

Biểu thức (a) đã kiểm chứng nhận xét về bước nhảy của biểu đồ lực cắt.
Biểu thức (b) đã kiểm chứng nhận xét về bước nhảy của biểu đồ mômen.
V. LIÊN HỆ VI PHÂN GIỮA NỘI LỰC (Mx, Qy) VÀ TẢI TRỌNG PHÂN BỐ q TRONG
THANH THẲNG
Xét một thanh chịu tải trọng bất kỳ. Tải trọng tác dụng trên thanh này là lực phân bố
theo chiều dài có cường độ q(z) có chiều dương hướng lên
q(z)

M0
q(z)>0

Mx+dMx

Mx
Qy

z

Qy+dQy

dz

dz

Khảo sát đoạn thanh vi phân dz, giới hạn bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2. Nội lực trên mặt cắt 1-1
là Qy và Mx. Nội lực trên mặt cắt 2-2 so với 1-1 đã thay đổi một lượng vi phân và trở thành
Qy + dQy; Mx + dMx.Vì dz là rất bé nên có thể
1 qz
xem tải trọng là phân bố đều trên đoạn dz. Viết
q0
A
các phương trình cân bằng:
B
1)Tổng hình chiếu các lực theo phương đứng
1
z
Y = 0  Qy + q(z)dz – (Qy + dQy) = 0
q
L
q0 L
VA= 0
L
V
q( z) 

dQ y
dz

B=

6

(2.4)

qz
M

Đạo hàm của lực cắt bằng cường độ của lực
A
phân bố vuông góc với trục thanh.
2) Tổng mômen của các lực đối với trọng tâm VA= q0 L
6
mặt cắt 2-2 ta được:
M/02=0

Qy dz  q( z)  dz 

dz
 M x  (M x  dM x )  0
2

Bỏ qua lượng vô cùng bé bậc hai


dM x
 Qy
dz

q( z) 

VA= q0 L
dz 2
2

x

z

Qy

+
VB=

-

6

q0 L
3

(2.5)
Mmax

Đạo hàm của mômen uốn tại một mặt cắt bằng
lực cắt tại mặt cắt đó

xx

d2 M x

 q( z)
(2.6)
dz 2
Đạo hàm bậc hai của mômen uốn tại một điểm chính là bằng cường độ của tải trọng phân
bố tại điểm đó.
Từ (2.4) và (2.5)



Có thể viết từ (2.4)và (2.5) như sau :
Chương 2: Lý thuyết về nội lực

GV: Lê đức Thanh 01/2017)

11

3


Bài giảng sức bền vật liệu

QPh  QTr  dientichq( z )Trai  Phai M Ph  M Tr  dientichQ y

TraiPhai

Qua liên hệ vi phân ta biết được qui luật phân bố các biểu đồ trong từng đoạn
Thí dụ8:

Vẽ BĐNL cho thanh đơn giản AB chịu tác dụng của tải phân bố bậc nhất như hình bên
Phản lực: Giải phóng liên kết, đặt các phản lực tương ứng ở các gối tựa, xét cân bằng của
toàn thanh,
1
l
1
B  0  VAl   qol   VA  qol
2
3
6
1
 Y  0  VB  3 qol

M

X = 0  HA = 0,

Nội lực: Cường độ của lực phân bố ở mặt cắt 1-1 cách gốc A một đoạn z cho bởi:
q(z)= q0 z
l

Dùng mặt cắt 1-1 và xét sự cân bằng của phần bên trái .

Y = 0 

Qy  VA  q( z)

M/01=0

Mx 

q l q z2
z
 o  o
2
6
2l

qol
ql
q z3
z z
z  q( z)  
 o z o
6
2 3
6
6l

(e)
(g)

Từ (e) và (g) ta vẽ được biểu đồ lực cắt và mômen cho dầm đã cho. Các biểu đồ này có tính
chất như sau.
Biểu đồ lực cắt Qy có dạng bậc 2.
Tại vị trí z = 0, q(z) = 0 nên ở đây biểu đồ Qy đạt cực trị: (Qy)z = 0 = Qmax = qol 6
Biểu đồ mômen uốn Mx có dạng bậc 3.
Tại vị trí z  l
(M x )

z

l

3 ; Qy = 0. Vậy tại đây Mx đạt cực trị:
 M max 

3

qol2
9 3

Nhận xét:
Tại A: q=0 hàm Qy đạt cực trị, có tiếp tuyến nằm
ngang (dùng vẽ dạng lồi lõm đường cong)
Thí dụ 9:
Vẽ BĐNL cho thanh có hai đoạn chịu lực như hình vẽ

M=

2

q
C

A

qL

Phản lực: Giải phóng liên kết, xét cân bằng toàn 2

thanh, suy ra phản lực liên kết tại A và C là:
qL
 VB
HC= 0 , V A 
(Hai phản
qL
2
2
lực ngược chiều)
Nội lực: (thanh có 2 đoạn)
Đoạn AB: Mặt cắt 1-1, gốc tại A

qL2

B

qL

P = 2qL
L

2L
L

3qL
2 +

- qL
2

-

qL2

2

qL2

2

(0  z1  L), xét cân bằng phần trái
qL2
8
Chương 2: Lý thuyết về nội lực

GV: Lê đức Thanh 01/2017)

12


Bài giảng sức bền vật liệu

qL

Q


1

Mx

2

A
Qy
M   qL  Z
Z1
qL
1
 1
2
2
Đoạn BC:
M
Mặt cắt 2-2, gốc A (L  z2  3L) và
x xét cân bằng phần bên phải
Mx

q

Qy

C

qL

3L-Z2

2

qL


Q2   q3L  z2  

2


2
 M  qL 3L - z   q3L  z2 
2
2

2
2

Chú ý các bước nhảy của biểu đồ lực cắt và biểu đồ momen
Thí du 11:
z3
Vẽ biểu đồ nội lực của khung phẳng chịu
qL2
P= qL
tải trọng như trên H.2.16
M0 =
2

2

Giải: Tính phản lực liên kết

A

Xét cân bằng của toàn khung dưới tác
dụng của tải trọng ngoài và các phản lực
liên kết giả sử có chiều như hình vẽ. Dùng
các phương trình cân bằng ta suy ra:

z2
2

2

B

3
C

3

q

L
1

z1

q

1
D HD = qL

VC =

7
qL
8

X  0  H A  qL

L
L
13
qL
2 VD =
2
8
L
L
L 3
1
7
  VC  L  qL   q
 qL   qL  L  0  VC  qL
2
2
2 2
4
8

 MD  0
M

2

C

0

  VA  L  qL 

3L
L
L 3
3
13
q
 qL   qL  L  0  VA  qL
2
2
2 2
4
8

Kiểm tra lại phản lực:
13
3
7
qL  qL  qL  qL  0
8
2
8
Thực hiện 3 mặt cắt cho 3 đoạn DB, AB, và BC

Từ Y  0  VC  VD  0

 

Đoạn DB: dùng mặt cắt 1-1 gốc tại D và xét cân bằng đoạn DK1 ta được:

Chương 2: Lý thuyết về nội lực

GV: Lê đức Thanh 01/2017)

13


Bài giảng sức bền vật liệu


13
 N1  8 qL


Q1  qL  qz1

2
 M1  qLz1  qz1

2


(0  z1  L)

Nz
Mx

Đoạn AB: dùng mặt cắt 2-2gốc tại A và xét cân bằng đoạn AK2
ta được:

N  0
2


Q
 2   qL  qz 2

2
M 2   qLz 2  qz 2

2


P= qL
q
A
Z2

Mx
Nz

K2
Qy

L
 )

Qy
K1

q
D

(0  z2

VD =

Z1

HD = qL
13
qL
8

2

Đoạn BC: dùng mặt cắt 3-3 và xét cân bằng CK3 (gốc tại A)




N3  0



3
 7
Q3  q L  z 3   qL
2
 8

2

3


L

z

3 
3

M  7 qL

 L  z3    2
3

8
2

2
 








(

3L
L
 Z3 
)
2
2

Nz
Qy

C
K3
1,5L-Z3 VC = 7 qL
8

qL
+

8

qL
-

q

Mx

-

3
qL
2

Nz

-

7
qL
8

Qy

+

qL

2

3
qL
2

5qL2
8

2
3qL2
8
qL
8

B

qL

2

2

13
qL
8

qL
5qL2
8

qL2
2

M

Mx
X

3qL2
8
89qL2
128

Kiểm tra cân bằng nút
(rất cần thiết để kiểm tra lại các biểu đồ vẽ có đúng không)

Chương 2: Lý thuyết về nội lực

GV: Lê đức Thanh 01/2017)

14


Bài giảng sức bền vật liệu

 Đối với khung, có thể kiểm tra kết quả bằng việc xét cân bằng các nút. Nếu tách nút ra
khỏi hệ thì phải đặt vào nút các ngoại lực tập trung (nếu có) và các nội lực tại các mặt cắt,
giá trị và chiều được lấy từ biểu đồ nội lực vừa vẽ.
Sau khi đặt các lực trên, nếu tính đúng các nội lực ở các nút thì nút sẽ cân bằng, nghĩa là
các phương trình cân bằng được thỏa mãn. Ngược lại, nếu các phương trình không thỏa mãn
thì các nội lực tính sai.
Ta dễ dàng thấy các phương trình cân bằng thỏa mãn:
 X = 0 ,  Y = 0 ;  M/B = 0
Hay có thể dùng bất cứ mặt cắt nào qua khung để kiểm tra các phương trình cân bằng luôn
thỏa mãn (Mặt cắt chỉ chia khung làm 2 phần )

(Như vậy biểu đồ nội lực chắc chắn đúng)
CÁCH VẼ BIỂU ĐỒ NHANH
1. Phương pháp vẽ từng điểm (dựa vào các nhận xét và liên hệ vi phân)
Dựa trên các liên hệ vi phân, ta định dạng các BĐNL tùy theo dạng tải trọng đã cho và từ
đó ta xác định số điểm cần thiết để vẽ biểu đồ.
Trên 1 đoạn thanh
 Lực phân bố q = 0  Q = hằng số, M = bậc nhất.
 Lực phân bố q = hằng số  Q = bậc nhất, M = bậc hai.
……………………………………………………………………………….
 Nếu biểu đồ có dạng hằng số, chỉ cần xác định P = qL
M = qL2
q
một điểm bất kỳ.
 Nếu biểu đồ có dạng bậc nhất, cần tính nội
B
D
A
lực tại hai điểm đầu và cuối đoạn thanh.
C
17
 Nếu biểu đồ có dạng bậc hai trở lên thì cần ba
qL
15
qL
8
giá trị tại điểm đầu, điểm cuối và tại nơi có cực
L
L
3L
8

trị, nếu không có cực trị thì cần biết chiều lồi
9
lõm của biểu đồ theo dấu của đạo hàm bậc
qL
8
K
hai.Đoạn thanh có lực phân bố q hướng xuống
+
sẽ âm, nên bề lõm của biểu đồ mômen hướng
qL
- 15
lên.Ngược lại, nếu q hướng lên sẽ dương nên bề
qL
8
lõm của biểu đồ mômen hướng xuống.
qL2
1 2
Như vậy ta có thể vẽ biểu đồ nội lực bằng:
qL
8
a) phương pháp giải tích (căn bản)
b) phương pháp vẽ điểm dựa vào liên hệ vi
phân và các bước nhảy kết hợp với mặt cắt
9 2
8

qL

Thí dụ 12:
225

qL2  1,76qL2
Vẽ BĐNL trong thanh chịu tải trọng Như hình
128
trên (p.p vẽ điểm và liên hệ vi phân)
-Phản lực liên kết
15
15
 M B  0   qL2  qL2  2 qL2  VD  4 L  0  VD  8 qL
Chương 2: Lý thuyết về nội lực

GV: Lê đức Thanh 01/2017)

15


Bài giảng sức bền vật liệu

9
17
D  0   5qL2  qL2  qL2  VB  4 L  0  VB 
qL
2
8
-Nội lực (bài nầy có 3 đoạn)
Đoạn AB:
q = 0  Qy = hằng số, Mx = bậc nhất.
Thực hiện bước nhảy xuống qL đoạn này Qy là hằng số
Mx trong đoạn này sẽ là bậc nhất vẽ về phía trên (Momen âm)
A B
M B  M A   Luccat

 0  (qL  L)  qL2

M

Đoạn BC:
q =0  Qy = hằng số , Mx = bậc1,
Vẽ bước nhảy có tung độ bằng giá trị lực cắt.
17
17
9
QPB  qL  QTB  qL  qL  qL
8
8
8
Lực cắt dương phía trên là 9/8qL.
Momen bậc1cần hai điểm để vẽ. Giá trị tại B là -qL2, Tìm giá trị tại C như sau:
9
1
M C  M B   B C   qL2  qL  L  qL2
8
8
Đoạn CD:
q hằng số  Qy = bậc1, Mx = bậc 2
Qy = bậc1cần hai điểm . Điểm đầu có giá trị là
9/8qL và điểm cuối có giá trị là 15/8qL đúng bằng bước nhảy của lực cắt tại D
Hay có thể tính như sau:
9
17
QD  QC  Cq  D   qL  (3qL)   qL
8

8
Mx là đường bậc 2 cần ba điểm để vẽ. Điểm tại C có được do thực hiện bước nhảy qL2 theo
chiều kim đồng hồ,(1/8qL2+qL2= 9/8qL2).Tại D có Mx =0,
Giá trị của Mx tại K cực trị do Qy = 0 .Tính như sau:
9
1 9
9
225 2
M K  M C   C  K  qL2   qL  L 
qL  1,76qL2
8
2 8
8
128
Chỉ cần nối ba điểm bằng đường cong bậc hai có bề lõm sao cho hứng lấy lực q.
2. Cách áp dụng nguyên lý cộng tác dụng
Khi thanh chịu tác dụng nhiều loại tải trọng, ta có thể vẽ biểu đồ nội lực trong thanh do từng
tải trọng riêng lẻ gây ra rồi cộng đại số lại để được kết quả cuối cùng.
Đường bậc 1+ đường bậc 2 thành đường bậc 2…

Thí dụ 13 : Dùng phương pháp cộng tác dụng vẽ biểu đồ .Từ đó suy ra phản lực tại A và
B.Bài nầy có 3 tải trọng xem như 3 bài toán cơ bản cộng lại.

Chương 2: Lý thuyết về nội lực

GV: Lê đức Thanh 01/2017)

16

Bài giảng sức bền vật liệu

M0 = 2qL2

M0 = qL2

q

B

A
L
M0 = 2qL2

M0 = qL2

q

A

A

B

A


L

L

L

qL

B

B

2

-

2qL

-

qL2

2qL

2

qL

qL

2

8

M0 = 2qL2
q

M0 = qL2
B

A

qL2
qL
3qL
Phản lực tại B: RB    2qL  qL
2 
2
2

Phản lực tại A:

qL
2

MC =
3qL
2

C
C
C2

1

C3

Chương 2: Lý thuyết về nội lực

qL2
B

RA = 

qL
qL
 2qL  qL  
2
2

Momen tại C (giữa dầm)

L

A

qL

+

+

2qL2

x

qL2
8

 qL2 

qL2
2



13qL2
8

Chú ý: Tại giữa nhịp doạn C2C3 luôn luôn bằng
qL2
. Vận dụng điều nầy để giải bài toán ngược
8

khi biết biểu đồ Mx là đường bậc 2. Hay dùng tính
diện tích ABC3
qL2 qL2 13qL2
CC3  qL 


2
8
8

2

GV: Lê đức Thanh 01/2017)

17