Sử dụng phương pháp biến phân để tìm năng lượng và hàm sóng trong một số bài toán cơ học lượng tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
======

ĐẶNG THỊ HUỆ

SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP BIẾN PHÂN

ĐỂ TÌM NĂNG LƢỢNG VÀ HÀM SÓNG
TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN
CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

HÀ NỘI, 2017


LỜI CẢM ƠN
Luận văn thạc sĩ khoa học chuyên ngành Vật lí lí thuyết và Vật lí toán
với đề tài “Sử dụng phƣơng pháp biến phân để tìm năng lƣợng và hàm
sóng trong một số bài toán cơ học lƣợng tử” là kết quả của quá trình cố
gắng không ngừng của bản thân và được sự giúp đỡ, động viên khích lệ của
các thầy cô, bạn bè đồng nghiệp và người thân. Vì vậy qua trang viết này em
xin gửi gửi lời cảm ơn tới những người đã giúp đỡ em trong thời gian học tập
- nghiên cứu khoa học vừa qua.
Em xin tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với T.S Trần Thái Hoa
đã trực tiếp tận tình hướng dẫn cũng như cung cấp tài liệu thông tin khoa học
cần thiết cho luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lí trường Đại
học sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian em
học tập ở trường. Em xin chân thành cảm ơn lãnh đạo trường Đại học sư

phạm Hà Nội 2, khoa Vật lí trường Đại học sư phạm Hà nội 2 và đặc biệt thầy
trưởng khoa Vật lí T.S Nguyễn Văn Thụ tạo điều kiện thuận lợi tối đa cho em
hoàn thành tốt công việc nghiên cứu khoa học của mình.
Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn gia đình, cảm ơn lãnh đạo và các
đồng nghiệp trường THPT Triệu Thái, cùng các bạn học viên lớp cao học
K19 Vật lí lí thuyết và Vật lí toán đã luôn động viên giúp đỡ tạo điều kiện
cho em trong quá trình học tập và thực hiện Luận văn.
Hà Nội, ngày 16 tháng 05 năm 2017
TÁC GIẢ

Đặng Thị Huệ


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ với đề tài “Sử dụng phƣơng pháp
biến phân để tìm năng lƣợng và hàm sóng trong một số bài toán cơ học
lƣợng tử” là công trình của cá nhân tôi, không sao chép của bất cứ ai.
Mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các
thông tin trích dẫn trong luận văn đều có nguồn gốc rõ ràng.
Tôi xin chịu mọi trách nhiệm về nghiên cứu của mình !
Hà Nội, ngày 16 tháng 05 năm 2017
Ngƣời cam đoan

Đặng Thị Huệ


MỤC LỤC
PHẦN I. MỞ ĐẦU .......................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................... 2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................... 2
4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu ............................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu................................................................................ 2
6. Cấu trúc của luận văn ..................................................................................... 3
PHẦN II. NỘI DUNG ..................................................................................... 3
CHƢƠNG 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ PHÉP TÍNH BIẾN PHÂN
........................................................................................................................... 4
1.1. Phương pháp biến phân trong các bài toán với biên gắn chặt .................... 4
1.1.1. Mở đầu ............................................................................................. 4
1.1.2. Các tính chất của biến phân ............................................................. 5
1.1.3. Phương trình Euler........................................................................... 6
x1

1.1.4. Những phiếm hàm dạng

 F ( x, y , y ,..., y , y ' , y ' ,..., y ' )dx ...... 11
1

2

n

1

2

n

x0

1.1.5. Những phiếm hàm phụ thuộc vào các đạo hàm cấp cao hơn ........ 13
1.1.6. Những phiếm hàm phụ thuộc vào hàm của nhiều biến độc lập .... 15
1.2. Các bài toán biến phân với biên động ....................................................... 18
1.2.1. Bài toán đơn giản nhất với biên động ............................................ 18
1.2.2. Bài toán với biên động đối với phiếm hàm dạng .......................... 21
1.3. Các điều kiện đủ của cực trị ...................................................................... 25
1.3.1. Trường các đường cong cực trị ..................................................... 25
1.3.2. Hàm E (x, y, p, y’) ......................................................................... 26
1.3.3. Biến đổi phương trình Euler về dạng chính tắc ............................. 29
1.4. Các bài toán biến phân về cực trị vướng................................................... 31


1.4.1. Ràng buộc dạng  ( x, y1, y2 ,..., yn )  0 ........................................... 31
1.4.2. Ràng buộc dạng  ( x, y1,..., yn , y '1,..., y 'n )  0 ................................ 35
CHƢƠNG 2: GIỚI THIỆU VỀ CÁC PHƢƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG ..... 39
2.1. Lý thuyết nhiễu loạn.................................................................................. 39
2.1.1. Nhiễu loạn dừng khi không có suy biến ........................................ 39
2.1.2. Nhiễu loạn khi có suy biến ............................................................ 43
2.2. Phương pháp các phép biến đổi chính tắc................................................. 45
2.3. Phương pháp Ritz ...................................................................................... 49
CHƢƠNG 3: SỬ DỤNG CÁC PHƢƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG ĐỂ GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN LƢỢNG TỬ ............................................................. 53
Bài 1. ................................................................................................................ 53
Bài 2. ................................................................................................................ 55
Bài 3. ................................................................................................................ 59
PHẦN III. KẾT LUẬN ................................................................................. 69
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 70


1

PHẦN I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý đã, đang và ngày càng phát triển để trở thành môn khoa học
quan trọng trong thế giới hiện đại. Để nghiên cứu, khảo sát các quá trình vật
lý, xử lý các bài toán vật lý đòi hỏi phải tính toán các phép toán rất phức tạp,
tốn nhiều thời gian và công sức.
Trong cơ học lượng tử việc giải phương trình Schodinger để tìm năng
lượng và hàm sóng về nguyên tắc thì ta hoàn toàn tìm được. Tuy nhiên, trong
thực tế với nhiều trường hợp thì việc giải phương trình này gặp rất nhiều khó
khăn và giải nó rất phức tạp.
Ta đã biết trạng thái của hệ lượng tử có thể được mô tả bởi nghiệm của
phương trình

H  E .

(1.1)

Ở đây, H là toán tử Hamilton (không phụ thuộc thời gian) và E là năng
lượng của hệ. Nghiệm chính xác của phương trình chỉ có thể tìm được trong
một số tương đối nhỏ các trường hợp đơn giản nhất (trường Coulomb, trường
đàn hồi, trường điện từ đều… ) tương ứng với các hệ lí tưởng hóa phương
trình (1.1) có thể cho. Sự phức tạp của việc giải phương trình này phụ thuộc
vào dạng của thế năng và số chiều không gian trong bài toán cần giải.
Phần lớn các bài toán của cơ học lượng tử dẫn tới những phương trình
rất phức tạp về dạng toán học và không thể giải được nghiệm chính xác. Do
đó, khi nghiên cứu các hệ thực, nói chung phương trình (1.1) không cho
nghiệm chính xác.
Bởi vậy phải ứng dụng những phương pháp gần đúng để giải bài toán.
Do đó, người ta đi tìm nghiệm của phương trình Schrodinger bằng các

phương pháp gần đúng, các hàm riêng và trị riêng, lí thuyết nhiễu loạn…


2

Trong đó việc sử dụng phương pháp biến phân giúp ích rất nhiều trong việc
giải một số bài toán cơ học lượng tử.
Phép tính biến phân bắt đầu phát triển từ năm 1696 và trở thành một
ngành toán học độc lập, có những phương pháp nghiên cứu riêng, sau sự ra
đời của các tác phẩm nghiên cứu cơ bản của Euler. Đã có rất nhiều công trình,
đề tài khoa học nghiên cứu về vấn đề này và đã thu được những kết quả rất
tốt.
Trong luận văn này, tôi nghiên cứu ứng dụng phép tính biến phân vào
việc tìm năng lượng và hàm sóng trong một số bài toán lượng tử. Và đây
chính là lí do tôi chọn đề tài “Sử dụng phương pháp biến phân để tìm năng
lượng và hàm sóng trong một số bài toán cơ học lượng tử” làm luận văn tốt
nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu khai thác và sử dụng phép tính biến phân vào việc tìm năng
lượng và hàm sóng trong một số bài toán lượng tử.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số cơ sở lý thuyết về phép tính biến phân.
Nghiên cứu về ứng dụng phép tính biến phân trong Vật lý và trong cơ
học lượng tử.
4. Đối tƣợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Môn cơ học lượng tử và các ứng dụng của phép
tính biến phân trong việc giải một số bài toán lượng tử.
Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán cơ học lượng tử về việc tìm năng
lượng và hàm sóng của hạt.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu

Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Các ứng dụng toán để giải các bài toán cơ học lượng tử.


3

6. Cấu trúc của luận văn
Đề tài “Sử dụng phương pháp biến phân để tìm năng lượng và hàm
sóng trong một số bài toán cơ học lượng tử” có kết cấu gồm 3 phần: phần
thứ nhất là phần mở đầu, phần thứ hai là phần nội dung và phần thứ ba là
phần kết luận.
Trong đó thì phần nội dung được chia làm 3 chương, nội dung của từng
chương như sau:
Chương 1. Giới thiệu tổng quan về phép tính biến phân.
Chương 2. Giới thiệu về các phương pháp gần đúng
Chương 3. Sử dụng các phương pháp gần đúng để giải một số bài toán lượng
tử
PHẦN II. NỘI DUNG
Chƣơng 1. Giới thiệu tổng quan về phép tính biến phân
1.1. Phương pháp biến phân trong các bài toán với biên gắn chặt
1.2. Các bài toán biến phân với biên động và một vài bài toán khác
1.3. Các điều kiện đủ của cực trị
1.4. Các bài toán biến phân về cực trị vướng
Chƣơng 2. Giới thiệu về các phƣơng pháp gần đúng
2.1. Lý thuyết nhiễu loạn
2.2. Phương pháp các phép biến đổi chính tắc
2.3. Phương pháp Ritz
Chƣơng 3. Sử dụng các phƣơng pháp gần đúng để giải một số bài toán
lƣợng tử

4

CHƢƠNG 1
GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ PHÉP TÍNH BIẾN PHÂN
1.1. Phƣơng pháp biến phân trong các bài toán với biên gắn chặt
1.1.1. Mở đầu
Bên cạnh các bài toán cần thiết phải xác định các cực trị, cực đại và cực
tiểu của hàm số z = f(x) nào đó, trong nhiều bài toán vật lý thường phải tìm
giá trị cực đại và cực tiểu của một loại đại lượng đặc biệt gọi là các phiếm
hàm.
Người ta gọi là phiếm hàm những đại lượng biến thiên mà các giá trị
của nó được xác định phụ thuộc vào một hay một vài hàm số. Chẳng hạn, độ
dài l của một cung của đường cong nối hai điểm cho trước, diện tích S của
một mặt nào đó là một phiếm hàm. Momen quán tính, momen tĩnh học, các
tọa độ của trọng tâm của một mặt hay của đường cong thuần nhất nào đó là
các phiếm hàm.
Trong tất cả các ví dụ trên, chúng ta thấy đặc trưng của phiếm hàm là
quan hệ tương ứng giữa hàm số với số, trong khi đó hàm số z = f(x) cho quan
hệ tương ứng giữa số với số.
Phép tính biến phân nghiên cứu các phương pháp tìm các giá trị cực đại
và cực tiểu của các phiếm hàm. Những bài toán đòi hỏi nghiên cứu các phiếm
hàm về mặt cực đại hay cực tiểu được gọi là các bài toán biến phân.
Nhiều quy luật cơ học và Vật lý học dẫn tới điều khẳng định là: Một
phiếm hàm nào đó trong quá trình khảo sát cần phải đạt cực đại hay cực tiểu.
Những quy luật đó thường được gọi là những nguyên lý biến phân của cơ học
hay vật lý học. Nguyên lý tác dụng tối thiểu, định luật bảo toàn năng lượng,
định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn khối lượng, nguyên lý
Fecma về quang học… là những nguyên lý biến phân hoặc những hệ quả đơn
giản nhất của chúng.

5

Ảnh hưởng lớn đến sự phát triển của phép tính biến phân là các bài
toán sau đây: Bài toán về đường đoản thời, bài toán về đường trắc địa, bài
toán cùng chu vi.
1.1.2. Các tính chất của biến phân
a, Ta có định nghĩa về phiếm hàm phụ thuộc vào nhiều hàm số và
phiếm hàm phụ thuộc vào hàm nhiều biến độc lập.
Ta gọi số gia hay biến phân  y của đối thức y(x) của phiếm hàm

v[ y ( x)] là hiệu giữa hai hàm:  y = y (x) – y1 (x). Trong đó giả thiết rằng hàm
y(x) thay đổi tùy ý trong một lớp hàm nào đó.
b, Phiếm hàm v[ y ( x)] liên tục tại y = y0 (x) theo nghĩa lân cận cấp k
nếu với mọi số dương  bất kì luôn tìm được số   0 sao cho:
v[ y( x)]  v[ y0 ( x)   .

Khi:
y ( x)  y0 ( x)   ,
y , ( x)  y0, ( x)   ,
y ( k ) ( x)  y0( k ) ( x)   .

Ở đây ta hiểu ngầm rằng hàm y(x) lấy trong lớp hàm mà phiếm hàm

v[ y ( x)] xác định.
c, Phiếm hàm L [y(x)] được gọi là phiếm hàm tuyến tính nếu nó thỏa
mãn điều kiện: L c. y  x   c. L  y  x  (c là hằng số tùy ý) và điều kiện:

L  y1  x   y2  x   L  y1  x   L  y2  x  .

d, Nếu số gia của phiếm hàm:

v  v[y( x)   y]  v[y( x)] ,
có thể biểu diễn dưới dạng

v  L[y( x), y]   ( y( x), y) max  y .


6
Ở đây L[y( x), y] là phiếm hàm tuyến tính đối với  y , max  y là giá
trị lớn nhất của  y và  ( y( x), y)  0 khi max  y  0, thì phần tuyến tính
của số gia của phiếm hàm đối với  y , tức là L[y( x), y] , gọi là biến phân của
phiếm hàm và kí hiệu là  v .
Như vậy, biến phân của phiếm hàm là phần chính tuyến tính của số gia
của phiếm hàm đối với  y .
e, Biến phân của phiếm hàm v[y( x)] bằng:


v[y( x)   y]  0


Định nghĩa: Phiếm hàm v[y( x)] đạt cực đại trên đường cong
y  y0  x  nếu giá trị của phiếm hàm v[y( x)] trên đường cong lân cận bất kì

của y  y0  x  không lớn hơn so với v[y0 ( x)] , tức là
v  v[y( x)] - v[y0 ( x)]  0 .

Nếu

v  0 , đồng thời

v  0 chỉ khi y  x   y0  x  thì ta nói rằng

phiếm hàm đạt cực đại chặt trên đường cong y  y0  x  .
Tương tự có định nghĩa về sự đạt cực tiểu của phiếm hàm trên đường
cong y  y0  x  . Trong trường hợp này

v  0 trên mọi đường cong lân cận

của đường cong y  y0  x  .
f, Định lý: Nếu phiếm hàm v[y( x)] có biến phân đạt cực đại hay cực
tiểu khi y  y0  x  , ở đây y0 (x) là điểm trong của miền xác định của phiếm
hàm, thì tại y  y0  x  có:  v  0 . [12]
1.1.3. Phƣơng trình Euler
Chúng ta nghiên cứu cực trị của phiếm hàm:
x1

v[ y ( x)]   F ( x, y( x), y , ( x))dx,
x0


7

trong đó, các điểm biên của các đường cong có thể nhận bị gắn chặt:





y  x0   y0 và y  x1   y1 . Hàm số F x, y, y’ giả thiết ba lần khả vi.

Chúng ta đã biết rằng điều kiện cần của cực trị là biến phân của phiếm
hàm bằng 0. Bây giờ ta áp dụng định lý cơ bản này vào phiếm hàm đang xét.
Ta giả thiết rằng phiêm hàm đạt cực trị trên đường cong hai lần khả vi
y  y  x  . Lấy một đường cong có thể nhận bất kì lân cận với y = y (x) giả sử

y  y( x) , kết hợp đường cong y = y(x) và y  y( x) vào một họ đường cong
một tham số:
y( x, )  y  x     y  x  – y  x  .

Khi  = 0 ta nhận được đường cong y = y (x)
Khi  = 1 ta có y  y( x) .
Như chúng ta đã biết, hiệu y (x) – y (x) gọi là biến phân của hàm y (x)
và kí hiệu là  y .
Biến phân  y trong các bài toán biến phân đóng vai trò như số gia của
biến độc lập

x trong các bài toán nghiên cứu cực trị của hàm f (x).

Biến phân  y  y  x  – y  x  là một hàm số của x, hàm này có thể lấy
vi phân một lần hay một vài lần, đồng thời phần (  y )’ = y ' (x) – y’(x) =  y ' ,
tức là đạo hàm của biến phân bằng biến phân của đạo hàm. Như vậy chúng ta
xét họ y = y (x,  ), ở đây y (x,  ) = y (x) +  y , khi  = 0 sẽ là đường cong
trên đó phiếm hàm đạt cực trị, còn khi  = 1 là đường cong lân cận có thể
nhận nào đó, hay thường gọi là đường cong so sánh.
Nếu xét các giá trị của phiếm hàm:
x1

v[y ( x)]   F ( x, y( x), y , ( x))dx,
x0

8
chỉ trên các đường cong của họ y = y (x,  ) thì phiếm hàm sẽ trở thành hàm
của 

v [y (x,  )] =  (  ).
Vì giá trị của tham số  xác định đường cong của họ y = y (x,  ) và do
đó xác định giá trị của phiếm hàm v [y (x,  )]. Hàm số  (  ) này đạt cực đại
khi  = 0, vì khi  = 0 ta nhận được y = y (x) và phiêm hàm theo giả thiết đạt
cực trị so với các đường cong lân cận có thể nhận bất kì và nói riêng, so với
các đường cong lân cận thuộc họ y = y (x,  ). Như đã biết, điều kiện cần của
cực trị của hàm  (  ) khi  = 0 là đạo hàm của nó bằng 0 khi  = 0:

 ' (0) = 0.
Vì
x1

 (  ) =  F (x, y (x,  ), y x' (x,  )) dx,
x0

nên
x1


x0 

 '( )    Fy





y ( x, )  Fy '
y '( x, )  dx .




Ở đây:

F ( x, y ( x, ), y '( x, )),
y

Fy ' 
F ( x, y ( x, ), y '( x, )).
y '
Fy 

Hay vì:



y( x, ) 
[y( x)   y]   y ,


và




y '( x, ) 
[y '( x)   y ']   y ',




9

Ta nhận được:
x1

 '( )    Fy ( x, y( x, ), y '( x, )) y  F ' y ( x, y( x, ), y '( x, )) y 'dx ,
x0
x1

 '(0)    Fy ( x, y( x), y '( x)) y  Fy ' ( x, y ( x), y '( x)) y 'dx .
x0

Như chúng ta đã biết,  '(0) gọi là biến phân của phiếm hàm và kí hiệu
là  v . Điều kiện cần của cực trị của phiếm hàm v chính là biến phân của nó
bằng 0,  v = 0. Đối với phiếm hàm
x1

v[ y ( x)]   F ( x, y( x), y , ( x))dx,
x0

điều kiện này có dạng
x1

  F  y  F  y 'dx  0 .

y

y'

x0

Tích phân số hạng thứ hai từng phần và chú ý rằng  y '  ( y)' , ta có:
x1

d
Fy ' ) ydx .
dx

 v   Fy ' y  x   ( Fy 
x1

0

x0

Nhưng

 y x x  y( x0 )  y( x0 )  0 và  y x x  y( x1 )  y( x1 )  0,
0

1

do tất cả các đường cong có thể nhận trong bài toán đơn giản đang xét đều đi
qua các điểm biên cố định. Vì vậy:
x1

 v   ( Fy 
x0

d
Fy ' ) ydx .
dx

Như vậy, điều kiện cần của cực trị dẫn tới dạng:
x1

 (F

y

x0



d
Fy ' ) ydx  0.
dx


10

Đồng thời, nhân tử thứ nhất: Fy 

d
Fy ' là hàm liên tục cho trước trên

dx

đường cong y(x) mà phiếm hàm đạt cực trị, còn nhân tử thứ hai  y , do sự lựa
chọn tùy ý đường cong so sánh y = y ( x) , sẽ là một hàm tùy ý thỏa mãn các
điều kiện chung là: bằng không ở điểm biên x = x0 và x = x1, liên tục và khả
vi một hay một vài lần,  y và  y ' nhỏ về giá trị tuyệt đối.
Để đơn giản điều kiện trên, ta sử dụng bổ đề sau:
Bổ đề cơ bản của phép tính biến phân: Nếu với mỗi hàm liên tục  ( x) có:
x1

 ( x) ( x)dx  0 .
x0

Ở đây ( x) là hàm liên tục trên đoạn [x0, x1] thì ( x) = 0 cũng trên đoạn đó.
Bây giờ ta sử dụng bổ đề cơ bản để đơn giản điều kiện cần nêu trên của
cực trị của phiếm hàm đơn giản v[ y ( x)] :
x1



  F

y



x0

d


Fy '    ydx  0 .
dx 

Tất cả các điều kiện của bổ đề được thỏa mãn: trên đường cong phiếm
d


hàm đạt cực trị, nhân tử  Fy  Fy '  là hàm liên tục, còn biến phân  y là
dx 


hàm bất kì có đặt những điều kiện giới hạn đã xét trong bổ đề cơ bản. Vì vậy:
d


F

Fy '  = 0 trên đường cong y = y(x), nơi phiếm hàm khảo sát đạt cực
 y
dx 


trị, tức là y = y(x) là nghiệm của phương trình vi phân cấp hai:

Fy 

d
Fy ' = 0,
dx

hay viết dưới dạng:
Fy  Fxy '  Fyy ' y ' Fy ' y ' y "  0 .


11

Phương trình này gọi là phương trình Euler. Đường cong tích phân của
phương trình Euler y  y  x, C1, C2  được gọi là đường cong cực trị. Phiếm
hàm:
x1

v[y (x)]   F ( x, y ( x), y , ( x))dx,
x0

chỉ có thể đạt cực trị trên các đường cong cưc trị. Để tìm đường cong trên đó
phiếm hàm v[ y ( x)] đạt cực trị, ta tích phân phương trình Euler và xác định
hai hằng số tùy ý chứa trong nghiệm tổng quát của phương trình này từ điều
kiện biên: y(x0) = y0, y(x1) = y1. Phiếm hàm chỉ có thể đạt cực trị trên các
đường cong cưc trị thỏa mãn các điều kiện này. Song để phân tích xem chúng
có thực sự là cực trị hay không, đồng thời là cực đại hay cực tiểu, cần phải sử
dụng các điều kiện đủ của cực trị. [12]
x1

1.1.4. Những phiếm hàm dạng

 F ( x, y , y ,..., y , y ' , y ' ,..., y ' )dx .
1

2

n

1

2

n

x0

Để nhận được điều kiện cần của cực trị của phiếm hàm v có dạng tổng
quát hơn:

x1
v  y1 , y2 ,, yn    F ( x, y1 , y2 ,..., yn , y '1 , y '2 ,..., y 'n )dx ,
x0
với các giá trị biên cho trước của các hàm:
y1  x0   y10 , y2  x0   y20 ,, yn  x0   yn0 ,
y1  x1   y11, y2  x1   y21,, yn  x1   yn1,

chúng ta sẽ chỉ biến đổi một trong những hàm yj(x) (j = 1, 2,…, n), còn các
hàm còn lại giữ nguyên. Khi đó phiếm hàm v[y1, y2,…,yn] trở thành phiếm
hàm chỉ phụ thuộc vào một hàm biến đổi, ví dụ, vào yj(x):
v  y1, y2 ,, yn   v  y j  ,


12

mà ta đã xét trong 1.1.2. Như vậy, hàm số mà trên đó phiếm hàm đạt cực trị
luôn luôn thỏa mãn phương trình Euler:

Fyi 

d
Fy ' i = 0.
dx

Vì lí luận đó ứng dụng cho bất kì hàm số yi (i = 1, 2,…, n) nào nên ta sẽ
nhận được một hệ thống phương trình vi phân cấp hai:

Fyi 

d
Fy ' i = 0 (i = 1, 2,…, n).
dx

Nói chung, hệ thống này sẽ xác định một họ đường cong tích phân 2n
tham số trong không gian x, y1, y2,…, yn. Đó là họ đường cong cực trị của bài
toán biến phân đang xét.
Nói riêng, nếu phiếm hàm chỉ phụ thuộc vào hai hàm số y(x) và z(x):
x1

v[ y ( x), z ( x)]   F ( x, y, z, y ', z ')dx .
x0

y  x0   y0 , z  x0   z0 , y  x1   y1, z  x1   z1,

tức là xác định bằng cách chọn các đường cong không gian
y  y  x, z  z  x .

Khi đó nếu cố định z(x) và chỉ đổi dạng hàm y(x) chúng ta sẽ biến đổi
đường cong của chúng ta sao cho hình chiếu của nó trên mặt xOz không thay
đổi, tức là, đường cong luôn giữ nguyên trên mặt trụ chiếu z  z  x  .
Tương tự cố định y(x) và biến đổi z(x) chúng ta sẽ đổi dạng đường cong
sao cho nó luôn nằm trên mặt trụ chiếu y  y  x  . Khi đó ta nhận được hệ
hai phương trình Euler:

Fy 

d
d
Fy ' = 0 và Fz  Fz ' = 0. [12]
dx
dx


13

1.1.5. Những phiếm hàm phụ thuộc vào các đạo hàm cấp cao hơn
Chúng ta nghiên cứu cực trị của phiếm hàm
x1

v[y( x)]   F ( x, y( x), y '( x),..., y n ( x))dx .
x0

Ở đây F là hàm khả vi n+2 lần theo tất cả các biến và giả thiết rằng các
điều kiện có dạng:
y(x0) = y0, y’(x0) = y’0,…, y(n-1)(x0) = y0(n-1) ,
y(x1) = y1, y’(x1) = y’1,…, y(n-1)(x1) = y1(n-1),
tức là ở các điểm biên không những chỉ cho các giá trị của hàm số mà cả giá

trị của các đạo hàm đến cấp n – 1 của nó. Giả sử cực trị của phiếm hàm đạt
trên đường cong y = y(x) khả vi 2n lần và giả sử y  y( x) là phương trình của
đường cong so sánh nào đó cũng khả vi 2n lần.
Ta xét họ một tham số:

y( x, )  y( x)  [ y( x)  y( x)] hay y( x, )  y( x)   y .
Khi  = 0 thì y( x, )  y( x) và khi  = 1 thì y( x, )  y( x) .
Nếu chỉ xét các giá trị của phiếm hàm v  y  x  trên các đường cong
của họ y(x) = y( x, ) thì phiếm hàm sẽ trở thành hàm của tham số  và đạt
cực trị khi  = 0; vì vậy

d
v[y ( x)]
 0 . Đạo hàm này gọi là vi phân của
d
 0

phiếm hàm v và kí hiệu là  v :
 d x1

(n)
v  
F
(
x
,
y
(
x
,


),
y
'(
x
,

),...,
y
(
x
,

)
dx


 d x0
 0
x1

  Fy y  Fy ' y ' Fy '' y '' ...  Fy( n )  y ( n ) )dx .
x0

Ta tích phân từng phần số hạng thứ hai ở vế phải một lần:


14

x1

 F  y ' dx   F  y 
y'

y'

x0

x1
x0

x1

d
Fy ' ydx ,
dx
x0



số hạng thứ ba hai lần:
x1

x

x

1
1
d2

d



F

y
''
dx

F

y
'

F

y

Fy '' ydx,
2
x y ''

 y ''  x0  dx y '' 
dx

 x0 x0
0

x1

và số hạng cuối cùng n lần:
x

x1

x

1
1
x
dn
d
( n 1)  1
( n 2) 
n

x Fy( n ) y dx   Fy( n ) y  x0   dx Fy( n ) y  x  ...  (1) x dxn Fy( n ) ydx.
0
0
0

(n)

Lưu ý các điều kiện biên, khi x = x0 và khi x = x1 các biến phân
 y   y '   y ''  ...   y ( n1)  0 , kết quả nhận được:
n


d

d2
n d
 v    Fy  Fy '  2 Fy ''  ...  (1) n Fy( n )   ydx .
dx
dx
dx

x0 
x1

Vì trên đường cong phiếm hàm đạt cực trị, ta có:
x1



 x    Fy 
x0




d
d2
dn
Fy '  2 Fy ''  ...  (1)n n Fy( n )   ydx  0.
dx
dx
dx


Với hàm  y chọn tùy ý và vi phân nhân tử thứ nhất dưới dấu tích phân
là hàm liên tục của x cũng trên đường cong y  y  x  đó, nên theo bổ đề cơ
bản, nhân tử thứ nhất phải đồng nhất bằng không:

Fy 

d
d2
dn
Fy '  2 Fy ''  ...  (1)n n Fy( n ) = 0.
dx
dx
dx
x1

Như vậy, nếu phiếm hàm v[y( x)]   F ( x, y( x), y '( x),..., y n ( x))dx đạt
x0

cực trị trên đường cong y  y  x  thì y(x) phải là nghiệm của phương trình:

Fy 

d
d2
dn
Fy '  2 Fy ''  ...  (1)n n Fy( n ) = 0.
dx
dx
dx

15

Phương trình vi phân cấp 2n này mang tên là phương trình Euler –
Poisson, còn các đường cong tích phân của nó gọi là các đường cong cực trị
của bài toán biến phân đang xét. Nghiệm tổng quát của phương trình này chứa
2n hằng số tùy ý, mà nói chung có thể xác định từ 2n điều kiện biên:
y  x0   y0 , y’ x0   y’0 ,, y ( n1)  x0   y0( n1) ;
y  x1   y1 , y’ x1   y’1,, y ( n1)  x1   y1( n1) .

[12]

1.1.6. Những phiếm hàm phụ thuộc vào hàm của nhiều biến độc lập
Chúng ta nghiên cứu cực trị của phiếm hàm:

z z 
v[ z ( x, y )]   F  x, y, z, , dxdy .
x y 

D

Đồng thời, các giá trị của hàm z  x, y  được cho trước trên biên C của
miền D, tức là, cho trước chu tuyến C trong không gian mà các mặt có thể
nhận luôn đi qua nó.
Để đơn giản ta kí hiệu:

z
z
 p,  q và coi như hàm F ba lần khả vi.
x

y

Mặt z  z  x, y  trên đó phiếm hàm đạt cực trị, sẽ giả thiết là hai lần khả vi.
Ta lại xét một họ mặt một tham số:

z  z( x, y, )  z( x, y)   z.
Ở đây:  z  z ( x, y)  z ( x, y) . Đặc biệt, khi   0 ta có mặt z = z (x, y),
trên đó phiếm hàm đạt cực trị, khi   1 ta có mặt có thể nhận nào đó:

z  z ( x, y) . Trên các hàm của họ z ( x, y, ) phiếm hàm v trở thành hàm của 
phải đạt cực trị khi   0 ; vì vậy, đạo hàm của v  z ( x, y, ) theo  khi   0
gọi là biến phân của phiếm hàm và kí hiệu nó là  v ta sẽ có:

 

F
(
x
,
y
,
z
(
x
,
y
,

),
p

(
x
,
y
,

),
q
(
x
,
y
,

)

dxdy


  D
 0

v  


16

  [Fz z  Fp p  Fq q]dxdy.
D

Trong đó:

z ( x, y, ) = z ( x, y)   z ,

p( x, y, ) 

z ( x, y, )
 p( x, y)   p,
x

q( x, y, ) 

z ( x, y, )
 q( x, y )   q .
y

Vì



Fp z  Fp  z  Fp p,

x
x


Fq z  Fq  z  Fq q,

y
y

nên

 ( F

p

D




  p  Fq q)dxdy    Fp z  Fq z dxdy 
x
y

D 



D  x Fp  x Fq  zdxdy.

 

Ở đây

 


Fp  là đạo hàm riêng toàn phần theo x. Khi tính nó ta xem y
x

là cố định, nhưng vẫn tính đến sự phụ thuộc của z, p, q vào x:


z
p
q
Fp   Fpx  Fpz  Fpp  Fpq .

x
x
x
x
Và tương tự:


z
p
q
Fq   Fqy  Fqz  Fqp
 Fqq .

y
y
y
y
Theo công thức Green đã biết:


17

 N M 
D  x  y dxdy  C ( Ndy  Mdx) ,

ta nhận được:






  x F  z  y F  zdxdy   ( F dy  F dx) z  0.
p

q

p

D

q

C

Tích phân này bằng 0 bởi vì trên chu tuyến C biến phân  z  0 do tất
cả các mặt có thể nhận đều chỉ đi qua một chu tuyến không gian C . Vì vậy:






[F  p  F  q]dxdy    x F   y F  zdxdy,
p

q

p

D

q

D

Và điều kiện cần của cực trị:

[F  z  F  p  F  q]dxdy 0,
z

p

q

D

sẽ viết được dưới dạng:


  F

z

D






Fp   Fq    zdxdz  0.

x
y


Vì biến phân  z là tùy ý, còn nhân tử thứ nhất là hàm liên tục, nên theo
bổ đề cơ bản, trên mặt z  z  x, y  mà phiếm hàm đạt cực trị, ta có:

Fz 



Fp   Fq  = 0.

x
y

Vì vậy, z  x, y  là nghiệm của phương trình:

Fz 



Fp   Fq  = 0.

x
y

Phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp 2 mà hàm z  x, y  cần thỏa
mãn này mang tên phương trình Ôtrôgratsky. [12]


18

1.2. Các bài toán biến phân với biên động
1.2.1. Bài toán đơn giản nhất với biên động
Khi nghiên cứu phiếm hàm
x1

v   F ( x, y, y ')dx ,
x0

ta giả thiết rằng các điểm biên (x0, y0) và (x1, y1) gắn chặt. Bây giờ, giả sử rằng
một hay cả hai điểm biên có thể xê dịch. Khi đó lớp các đường cong có thể
nhận được mở rộng ra. Ngoài ra các đường cong so sánh có các điểm biên
chung với đường cong khảo sát, có thể lấy các đường cong với các điểm biên
xê dịch.
Vì vậy, nếu cực trị trong bài toán với điểm biên xê dịch đạt trên đường
cong y  y  x  nào đó thì cực trị càng phải đạt trên lớp hẹp hơn bao gồm các

đường cong có các điểm biên chung với đường cong y  y  x  và vì vậy, nó
cần phải thực hiện điều kiện cơ bản, cần thiết để đạt cực trị là: hàm y(x) phải
là nghiệm của phương trình Euler:

Fy 

d
Fy '  0.
dx

Như vậy, các đường cong y  y  x  , trên đó phiếm hàm đạt cực trị
trong bài toán với biên động, phải là các đường cong cực trị.
Nghiệm tổng quát của phương trình Euler chứa hai hằng số tùy ý. Để
xác định hai hằng số tùy ý đó cần có hai điều kiện. Trong bài toán với biên
gắn chặt, các điều kiện đó là:
y  x0   y0 và y  x1   y1 .

Trong bài toán với biên động, một hay cả hai điều kiện này không có
nên để nhận được các hằng số tùy ý trong nghiệm tổng quát của phương trình
Euler ta xuất phát từ điều kiện cần cơ bản của cực trị là  v = 0.


19

Vì trong bài toán với biên động, cực trị chỉ đạt trên các nghiệm y = y(x,
C1, C2) của phương trình Euler, nên sau này, có thể chỉ xét giá trị của phiếm
hàm trên các hàm của họ này. Khi đó phiếm hàm v  y  x, C1, C2  trở thành
hàm của các tham số C1 và C2, của các cận tích phân x0, x1 và biến phân của
phiếm hàm trùng với vi phân của hàm này. Để đơn giản ta sẽ coi rằng một
trong những điểm biên, ví dụ (x0, y0) được gắn chặt, còn điểm biên (x1, y1) có

thể dịch chuyển và đi qua điểm ( x1  x1, y1  y1 ) , hay như thường kí hiệu
trong phép tính biến phân:
( x1   x1, y1   y1 ) .

Các đường cong có thể nhận y = y(x) và y = y(x) +  y sẽ coi là lân cận
nhau nếu môđun của biến phân  y và  y ' và môđun của số gia  x1 và  y1 là
nhỏ.
Các đường cong cực trị đi qua điểm (x0, y0) lập nên một chùm đường
cong cực trị y = y(x, C1). Phiếm hàm v  y  x, C1  trên các đường cong của
chùm này trở thành hàm của C1 và x1. Nếu những đường cong của chùm y =
y(x, C1) ở lân cận các đường cong cực trị, không cắt nhau thì v  y  x, C1  có
thể xem như hàm đơn của x1 và y1, bởi vì cho x1 và y1 là xác định được đường
cong cực trị của chùm, hơn nữa, xác định được giá trị của phiếm hàm.
Chúng ta tính biến phân của phiếm hàm v  y  x, C1  trên các đường
cong cực trị của chùm y = y(x, C1) khi dịch chuyển các điểm biên từ vị trí (x1,
y1) đến vị trí ( x1   x1, y1   y1 ) . Vì phiếm hàm v trên các đường cong của
chùm trở thành hàm của x1 và y1 nên biến phân của nó trùng với vi phân của
hàm này. Ta tách phần chính tuyến tính theo  x1 và  y1 từ số gia v :

v 

x1  x1



x0

x1

F ( x, y   y, y '  y ')dx   F ( x, y, y ')dx

x0


20

x1  x1

=



x1

F ( x, y   y, y '  y ')dx   [(F(x,y + y, y '  y ')  F ( x, y, y ')]dx. (1.2.1)

x0

x0

Ta biến đổi số hạng đầu tiên của vế phải nhờ định lý giá trị trung bình:
x1  x1



F ( x, y   y, y '  y ')dx  F

x  x1  x1

  x1 ,

x1

trong đó 0    1.
Theo tính liên tục của hàm F ta có:
F x x  x  F ( x, y, y ') x x  1 .
1

1

1

Ở đây 1  0 khi  x1  0 và  y1  0 .
Như vậy:
x1  x1



F ( x, y   y, y '  y ')dx  F ( x, y, y ') x x  x1  1 x1.
1

x0

Số hạng thứ hai của vế phải (1.2.1) biến đổi bằng cách khai triển hàm
dưới dấu tích phân theo công thức Taylor:
x1

x1

x0

x0

 F ( x, y   y, y '  y ')dx   F ( x, y, y ')dx
x1

  [Fy ( x, y, y ') y  Fy ' ( x, y, y ') y ']dx  R1 .
x0

Ở đây R1 là vô cùng bé bậc cao hơn so với  y hay  y ' . Khi đó phần
tuyến tính:
x1

 ( F  y  F  y ')dx ,
y

y'

x0

có thể biến đổi bằng cách tích phân từng phần số hạng thứ hai của hàm dưới
dấu tích phân, đưa tới dạng: