sáng kiến kinh nghiệm sử dụng phương pháp tọa độ để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.32 MB, 27 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU TIẾN
s¸ng kiÕn kinh nghiÖm
ĐỀ TÀI: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
Người thực hiện: Trần Mạnh Hân
Tổ chuyên môn : Toán - Tin
NĂM HỌC 2013- 2014
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 1
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong giảng dạy môn toán, ngoài việc giúp học sinh nắm chắc chắn kiến thức cơ
bản thì việc phát huy tính tích cực của học sinh, biết lựa chọn các phương pháp đã học
vào giải các bài toán là điều rất cần thiết. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số là các dạng toán phổ biến và quan trọng trong chương trình phổ thông, thường
gặp trong các đề tuyển sinh đại học – cao đẳng và còn là một chuyên đề hay gặp trong
các đề thi chọn học sinh giỏi ở phổ thông.
Các bài giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số rất đa dạng và phong phú. Cả lý luận
và thực tiễn dạy học đều chứng tỏ chúng rất có hiệu quả trong việc phát triển tư duy cho
học sinh.
Có nhiều phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, việc vận dụng nhìn
chung phụ thuộc rất nhiều vào đặc thù bài toán. Đứng trước bài toán này, học sinh phổ
thông thường lúng túng về phương pháp giải, nên sử dụng phương pháp hàm số, bất đẳng
thức Côsi hay sử dụng Bunhiacopski…Vì vậy việc lựa chọn phương pháp giải toán với
bài toán này rất quan trọng. Trong bài viết này tôi tập trung vào vấn đề:
“SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT”
Việc lựa chọn công cụ hình học vào giải quyết các bài toán về đại số là một cách
nhìn khá mới mẻ. Nội dung chính của phương pháp là nhìn một bài toán đại số theo quan
điểm hình học, khi giải quyết bài toán này đỏi hỏi chúng ta phải tọa độ hóa bài toán đại
số. Như vậy, việc chọn hệ trục tọa độ như thế nào là rất quan trọng. Việc chọn hệ trục tọa
độ hợp lý sẽ giúp cho việc giải quyết bài toán là nhanh gọn, trong sáng.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng một hệ thống bài tập theo độ khó tăng dần nhằm cung cấp cho học sinh
cách ứng dụng phương pháp tọa độ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các tài liệu liên
quan khác,…
- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT Nguyễn
Hữu Tiến.
- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy thực nghiệm, cho kiểm tra thử với
lớp đối chứng.
4. Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm
- Mục lục
- Mở đầu
- Nội dung
- Thực nghiệm sư phạm
- Tài liệu tham khảo
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 2
PHẦN 2: NỘI DUNG
I. CƠ Sở LÍ THUYếT
1. Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong mặt phẳng
a) Định nghĩa:
Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng
' , '
x Ox y Oy
vuông góc với nhau. Trên
,
Ox Oy
lần lượt
chọn các véc tơ đơn vị
,
i j
. Như vậy ta có một hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc
Oxy
.
b) Toạ độ của một điểm và của một véc tơ
- Cho điểm
M
tùy ý trong mặt phẳng
( )
Oxy
. Vì hai véctơ
,
i j
không đồng phẳng nên có một
bộ số
( ; )
x y
duy nhất sao cho:
OM xi yj
. Bộ hai số
( ; )
x y
được hoàn toàn xác định bởi
điểm
M
và được gọi là toạ độ của điểm
M
, ký hiệu
( ; )
M x y
.
- Cho
a
trong mặt phẳng
Oxy
. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm
M
sao cho
OM a
. Gọi
( ; )
x y
là toạ độ của điểm
M
. Khi đó bộ hai số
( ; )
x y
gọi là toạ độ của véc tơ
a
trên hệ trục
Oxy
và ký hiệu là
( ; )
a x y
.
c) Các phép tính véc tơ
Cho hai véctơ
1 2 1 2
( ; ), ( ; )
a a a b b b
và
k
là một số thực.
Các phép tính véctơ như phép cộng, phép trừ, phép nhân véctơ với một số, tích vô hướng hai
véctơ được xác định như sau:
1 1 2 2
1 2
1 1 2 2
( ; )
( ; )
. .
a b a b a b
ka ka ka
a b a b a b
d) Các công thức về độ dài, góc, khoảng cách:
Cho hai véctơ
1 2 1 2
( ; ), ( ; )
a a a b b b
và gọi
là góc tạo bởi hai véctơ đó.
i) Độ dài véctơ:
2 2
1 2
a a a
ii) Khoảng cách giữa hai điểm
( ; ), ( ; )
A A B B
A x y B x y
:
2 2
( ) ( )
B A B A
AB AB x x y y
.
iii) Góc giữa hai véctơ:
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
.
cos
.
.
a a bb
a b
a b
a a b b
.
e) Phương trình đường thẳng
- Phương trình của đường thẳng
d
đi qua điểm
0 0
( ; )
M x y
và nhận véctơ
( ; )
n a b
làm véctơ
pháp tuyến là:
0 0
( ) ( ) 0
a x x b y y
.
- Khoảng cách từ điểm
0 0
( ; )
M x y
đến đường thẳng
: 0
d ax by c
là:
0 0
2 2
( ; )
ax by c
d M d
a b
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 3
f) Phương trình đường tròn
Phương trình đường tròn tâm
( ; )
I a b
, bán kính
R
là:
2 2 2
( ) ( )
x a y b R
.
2. Một số bất đẳng trong hình học
a) Bất đẳng thức véctơ
i)
a b a b a b
- Dấu “=” bên trái xảy ra khi
,
a b
ngược hướng hoặc
0
a
hoặc
0
b
.
- Dấu “=” bên phải xảy ra khi
,
a b
cùng hướng hoặc
0
a
hoặc
0
b
.
ii)
. . .
a b a b a b
- Dấu “=” bên trái xảy ra khi
,
a b
ngược hướng hoặc
0
a
hoặc
0
b
.
- Dấu “=” bên phải xảy ra khi
,
a b
cùng hướng hoặc
0
a
hoặc
0
b
.
b) Bất đẳng thức tam giác:
Với ba điểm
, ,
A B C
bất kì ta luôn có
AB BC AC
. Dấu “=” xảy ra khi
, ,
A B C
theo thứ tự đó thẳng hàng.
Tổng quát: Trong tất cả các đường gấp khúc nối 2 điểm
,
A B
cho trước thì đoạn
thẳng
AB
có độ dài nhỏ nhất.
c) Cho điểm
M
nằm ngoài đường thẳng
d
. Khi đó độ dài đoạn thẳng
MH
(với
H d
) ngắn nhất khi
H
là hình chiếu vuông góc của
M
trên đường thẳng
.
d
II. BÀI TậP
Phương pháp:
+ Biến đổi hàm số cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất về dạng tọa độ để xác định véctơ, các
điểm, các đường có tọa độ từ điều kiện và biểu thức ban đầu.
+ Chuyển bài toán từ dạng đại số về dạng hình học tọa độ, giải bài toán bằng phương
pháp hình học từ đó suy ra kết quả dạng đại số.
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2 2
( ) 1 3 1
f x x x x x
với
x
.
Giải:
Viết lại hàm số dưới dạng:
2 2
2 2
1 3 3 1
( )
2 2 2 2
f x x x
Hàm số xác định trên
. Xét trên hệ trục tọa độ
Oxy
.
Cách 1:
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 4
Chọn
1 3 3 1
; ; ;
2 2 2 2
u x v x
2 2
3 1 1 3
2
2 2 2 2
u v
Khi đó
( ) 2
f x u v u v
Dấu bằng xảy ra khi các véctơ
,
u v
3
( 0)
3 1
k
u kv k
x
.
Vậy
min ( ) 2
f x
khi
3 1
x
.
Cách 2: Gọi
1 3
;
2 2
A
3 1
; , ( , 0)
2 2
B C x
2
2
1 3
2 2
AC x
và
2
2
3 1
2 2
BC x
Nên ta có:
( )
f x AC BC
.
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
2 2
3 1 1 3
2
2 2 2 2
AC BC AB
.
Nên
( ) 2,
f x x
.
Vậy
min ( ) 2
f x
khi
C
là giao điểm của
AB
và trục
Ox
, từ đó
3 1
x
.
Bình luận:
- Nếu như áp dụng phương pháp hàm số thì việc xét sự biến thiên sẽ gặp khó khăn vì để
tìm nghiệm của phương trình
'( ) 0
f x
dẫn tới việc giải phương trình bậc 4.
- Về cách chọn điểm hoặc chọn vectơ trong bài 1:
+ Cách 1: Việc chọn vectơ
,
u v
cần phải khéo léo để sao cho
u v
là một hằng số đồng
thời dấu “=” phải xảy ra.
+ Cách 2: Câu hỏi đặt ra là tại sao lại chọn cặp điểm
1 3 3 1
; , ;
2 2 2 2
A B
mà không
phải cặp điểm khác, mặc dù các biểu thức tính khoảng cách
,
AB BC
không đổi, ta có thể
chọn
1 3 3 1
; , ;
2 2 2 2
A B
thì vẫn thu được
( )
f x AC BC
. Lúc này
A
và
B
nằm cùng
phía so với trục
Ox
. Khi đó để tìm giá trị nhỏ nhất của
AC BC
bài toán sẽ dài hơn
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 5
bằng cách chọn điểm
'
B
đối xứng với
B
qua
Ox
, tức là
3 1
' ;
2 2
B
và khi đó
M
là
giao điểm của
'
AB
và trục
Ox
. Nên ta chọn điểm
3 1
;
2 2
B
.
- Mở rộng bài toán:
+ Thứ nhất: Liệu các hệ số của các biểu thức có phải là bất kì không? Nếu thay
2
1
x x
bởi biểu thức
2
x x
hay
2
1
x x
thì sao?
Trả lời: Do áp dụng công thức khoảng cách hoặc độ dài của một véctơ nên biểu thức dưới
dấu căn phải luôn dương.
+ Thứ hai: Hệ số của
2
x
trong hai biểu thức của hàm số có nhất thiết phải bằng nhau
không? Nếu không thì sao? Ví dụ:
2 2
( ) 1 2 1
f x x x x x
Trả lời: Do khi áp dụng: “Trong tất cả các đường gấp khúc nối 2 điểm
,
A B
cho trước thì
đoạn thẳng
AB
có độ dài nhỏ nhất” cần khoảng cách giữa điểm đầu và cuối là không đổi,
nên cặp điểm
,
A B
phải có dạng
( , ), ( , )
A m n B p q
hoặc
( , ), ( , )
A x m n B x p q
hoặc
( , ), ( , )
A m y n B p y q
hoặc
( , ), ( , )
A x y B x p y q
(trong đó
, , ,
m n p q
là các giá trị
không đổi). Và với điểm
C
bất kì thay đổi thì khi áp dụng công thức khoảng cách để tính
,
AC BC
ta luôn được hệ số của
2
x
là bằng nhau.
+ Thứ ba: Khi thay bằng hàm số
2 2
( ) 1 3 1
f x x x x x
có thể đạt giá trị
lớn nhất hoặc nhỏ nhất hay không?
Trả lời: Do cách chọn điểm mà hàm số
( )
f x
sẽ đạt được giá trị lớn nhất. Nếu như muốn
tìm giá trị lớn nhất của hàm số này ta sẽ chọn
1 3 3 1
; , ;
2 2 2 2
A B
sao cho cùng phía so
với trục
Ox
thì ta có
( )
f x AC BC AB
. Từ đó ta tìm được giá trị lớn nhất của hàm
số trên.
+ Thứ tư: Ta có thể tìm thêm giá trị lớn nhất của hàm số không?
Trả lời: Nếu như giới hạn của biến
x
lại trong một tập
D
thì ta có thể tìm được giá trị lớn
nhất của hàm số đó.
Các vấn đề sẽ lần lượt được áp dụng và trình bày qua các bài toán dưới đây.
Bài 2
: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
2 2 2 2
( ) 2 2 2 2
f x x px p x qx q
, (
,
p q
là hai số cho trước)
Giải:
TH1: Xét
0
p q
Trên mặt phẳng tọa độ
Oxy
xét các điểm
( ; ); ( , )
A x p p B x q q
. Khi đó :
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 6
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
f x x p p x q q OA OB
Rõ ràng có:
OA OB AB
.
Mà
2 2
( ) ( )
AB q p p q
không đổi với mọi vị trí của A và B.
Vậy ta luôn có
2
2
( ) ( )
f x q p p q
.
Dấu "=" xảy ra khi
, ,
A O B
theo thứ tự thẳng hàng.
Ta có
( ; ), ( ; )
OA x p p BO q x q
.
Khi đó
, ,
A O B
theo thứ tự thẳng hàng
p q p p q
x p
x
q x
q p q
.
Do độ dài đoạn
AB
không đổi với mọi vị trí của
,
A B
nên ta có:
2 2
min ( ) ( ) ( )
| |
q p p q
f x f AB p q p q
p q
TH2: Xét
| | | | 0 0.
p q p q
Lúc này
khi
( ) 2 min ( ) 0, 0.
f x x f x x
Vì vậy, với mọi trường hợp ta đều có:
2 2
min ( ) ( ) ( )
f x p q p q
Bài 3: Cho
, , ,
a b c h
là bốn số dương cho trước và
, ,
x y z
là ba số thực thay đổi sao cho
,
ax by cz k
(
k
là số cho trước). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2 2 2 2 2 2
( , , )
f x y z a h x b h y c h z
(1)
Giải:
Trên hệ trục
Ouv
, lấy được các điểm:
( , ), (( ) ; ), ( ) ;
A ah ax B a b h ax by C a b c h ax by cz
Ta có:
2 2 2 2 2 2
; ,
OA a h x AB b h y BC c h z
Vậy
(2)
( ; ; ) ,
f x y z OA AB BC
Và do
OA AB BC
là độ dài đường gấp khúc OABC nối hai điểm cố định
(0;0)
O
và
(( ) ; )
C a b c h k
.
Từ (2) suy ra :
(3)
2 2 2
( ; ; ) ( ) ,f x y z OC k h a b c
Dấu "=" trong (3) xảy ta
, , ,
O A B C
theo
thứ tự thẳng hàng.
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 7
ax ax by ax by cz
ah ah bh ah bh ch
k
x y z
a b c
Như vậy:
2 2 2
; ; ( )
k k k
f k a b c h
a b c a b c a b c
(4)
Từ (3) và (4), ta có:
2 2 2
min ( ; ; ) ( )
f x y z k a b c h
khi
k
x y z
a b c
.
Bài 4
: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :
2 2
( ) 2 2 2 2
f x x x x x
trên miền
1
| 1
2
x x
Phân tích:
Nếu làm như bài 1 thì ta chỉ tìm được giá trị nhỏ nhất mà không tìm được giá trị lớn nhất.
Với bài này ta sử dụng định lí: “Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó”.
Giải:
Viết lại hàm số dưới dạng:
2 2
( ) 1 ( 1) 1 ( 1)
f x x x
Xét hệ trục tọa độ
Ouv
, trên đó xét điểm cố định
(2;2)
N
và điểm chuyển động
(1;1 )
M x
.
Khi
1
1
2
x
ta được
3
0 1
2
x
khi đó
M
giới hạn
trên đoạn thẳng
0 1
M M
với
0 1
3
(1; 0), (1; ).
2
M M
Do:
2 2
1 ( 1) , 1 ( 1)
OM x MN x
Suy ra
( ) .
f x OM MN
Nên
( ) 2.
f x ON
+ Vậy
( )
f x
đạt GTNN bằng 2 khi
, ,
O M N
theo thứ tự thẳng hàng hay
M
là giao điểm
của
ON
và
0 1
M M
. Dễ dàng tìm được
(1;1)
M
hay
0.
x
+ Và
0 1
1 [ ]
[ ;1]
2
max ( ) max ( )
M M M
x
f x OM MN
0 0 1 1
max{ ; } 1 5
OM M N OM M N
.
Vậy
1
[ ;1]
2
max ( ) 1 5
x
f x
khi
1
x
;
1
[ ;1]
2
min ( ) 2
x
f x
khi
0.
x
Bình luận:
- Bài này có thể sử dụng phương pháp hàm số nhờ việc giải phương trình
'( ) 0
f x
không khó như bài 1.
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 8
- Sử dụng phương pháp này có thể giảng dạy phù hợp với chương trình lớp 10, phần hệ
trục tọa độ trong mặt phẳng.
Bài 5: Cho
,
x y
là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2 2
( 1) ( 1) 2
A x y x y y
(trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2006)
Phân tích:
Hai căn thức đầu tiên làm ta nghĩ tới tọa độ các điểm
( 1; ), ( 1; )
M x y N x y
và sử dụng
bất đẳng thức tam giác để đánh giá hai căn thức đầu tiên. Tuy nhiên cần khéo léo chọn để
dấu bằng xảy ra.
Giải:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, xét điểm
( 1; )
M x y
,
( 1; )
N x y
.
Ta được
2 2 2 2
( 1) ( 1)
OM ON x y x y
Do
OM ON MN
nên
2 2 2 2 2
( 1) ( 1) 2 1
x y x y y
Đẳng thức xảy ra khi
, ,
M O N
theo thứ tự thẳng hàng. Từ đó ta được
0.
x
Do đó
2
2 1 2 ( )
A y y f y
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của
( )
f y
trong hai trường hợp:
+ Nếu
2
y
ta được
2
( ) 2 1 2
f y y y
2
2 3
'( ) 1; '( ) 0
3
1
y
f y f y y
y
Bảng biến thiên
Từ đó suy ra:
( ) 2 3, 2.
f y y
Dấu bằng xảy ra khi
3
3
y
.
+ Nếu
2
y
, tương tự ta được
2
( ) 2 1 2 2 5 2 3
f y y y
.
Vậy
2 3
A
với mọi số thực
, .
x y
Khi
3
0,
3
x y
thì
2 3
A
nên giá trị nhỏ nhất của A là
2 3.
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 9
Bình luận: Nếu như chọn cặp điểm
( 1; ), ( 1; )
M x y N x y
thì tuy
2
MN
sẽ nhỏ hơn
2 3
nhưng sẽ không có dấu “=” xảy ra. Vì vậy, việc chọn tọa độ trong bài này phải
hết sức tinh tế.
Bài 6: Với
x
, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2 2 2
( ) 2 2 2 2 ( 3 1) 1 2 ( 3 1) 1
f x x x x x x x
Giải:
Phân tích vế trái:
2 2
2 2
2 2
3 1 3 1
( ) ( 1)
2 2 2 2
f x x x x x x x
Trong mặt phẳng tọa độ, ta xét các điểm
3 1 3 1
( ; ), (1;0), ; , ;
2 2 2 2
M x x A B C
Khi đó:
( )
f x MA MB MC
Nên
( )
f x
nhỏ nhất khi
M
nhìn 3 cạnh
, ,
AB BC AC
của
tam giác
ABC
dưới một góc 120
0
. Dễ thấy tam giác
ABC
đều, tâm
O
nên
( )
f x
đạt giá trị nhỏ nhất khi
M O
hay
0
x
. Và khi đó ta được
min ( ) (0) 3
f x f
.
Chứng minh bài toán phụ:
Cho tam giác
ABC
có ba góc nhọn và điểm
M
tùy ý nằm trong mặt phẳng
( )
ABC
thì
tổng
MA MB MC
nhỏ nhất khi
M
nhìn 3 cạnh
, ,
AB BC CA
dưới một góc 120
0
.
Hướng dẫn: Xét phép quay tâm
A
góc quay 60
0
.
- Biến điểm
M
thành điểm
N
- Biến điểm
C
thành điểm
M
Khi đó, theo tính chất của phép quay và do góc quay bằng
60
0
ta được :
,
AM MN CM NP
.
Vậy tổng
MA MB MC
nhỏ nhất
tổng
BM MN NP
nhỏ nhất
, , ,
B M N P
thẳng hàng.
Nói riêng
, ,
B M N
thẳng hàng mà
0
60
AMN
nên
0
120
AMB
. Tương tự ta cũng được
0
120
BMC CMA
. Từ đó ta được điều phải chứng minh.
Bài 7
: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
2 2 2 2 2 2
( ; ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2)
f x y x y x y x y
trong đó
,
x y
là các số thực. (Trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 1998)
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 10
Phân tích : Trong hàm số
( ; )
f x y
xuất hiện căn bậc hai, gợi chúng ta nghĩ đến công thức
khoảng cách giữa hai điểm.
Giải:
Xét các điểm
( 1;1); (1; 1); ( 2; 2)
A B C
và điểm
( ; )
M x y
trong hệ trục tọa độ vuông góc
Oxy
. Ta có :
2 2
( 1) ( 1)
MA x y
2 2
( 1) ( 1)
MB x y
2 2
( 2) ( 2)
MC x y
Suy ra
( ; )
f x y MA MB MC
Hàm số
( ; )
f x y
đạt giá trị nhỏ nhất
tổng
MA MB MC
đạt giá trị nhỏ nhất
M
nhìn 3 cạnh
, ,
AB BC CA
của tam giác
ABC
dưới một góc 120
0
. Với chú ý
ABC
cân
tại
C
nên
[ ].
M OC
Ta tính
( ; ) :
f x y
Xét ta giác vuông
OMA
có
0
60 , 2
AMO OA
nên
0
6
3
tan 60
OA
OM
Khi đó
1
2 3
M M
OM
x y
. Tức là
1
.
3
x y
Suy ra
1 1
( ; ) 6 2 2
3 3
f
. Vậy GTNN của
( ; )
f x y
là
6 2 2
.
Bài 8: Cho
2 2
1.
a b
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
1 1
P a b b a
Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, chọn
( ; ), 1 ; 1
u a b v b a
Khi đó ta được
2 2
1; 2 .
u a b v a b
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
2 2 2
2 (1 1)( ) ( )
a b a b
, do đó ta được
2 2
v
Từ đó suy ra:
1 1 . . 2 2
P a b b a u v u v
.
Dấu “=” xảy ra
1 1
a b
a b
b a
a b
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 11
Kết hợp với điều kiện ban đầu
2 2
1
a b
ta được
2
2
a b
Vậy
min 2 2
P
khi
2
.
2
a b
Bài 9: Cho
, ,
x y z
là ba số dương và
1
x y z
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
A x y z
x y z
(Trích đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2003)
Giải:
Gọi
1 1 1
; ; ; ; ;
u x v y w z
x y z
Khi đó
1 1 1
;u v w x y z
x y z
Ta có :
2 2 2
2 2 2
1 1 1
; ;u x v y w z
x y z
Khi đó
2 2 2
2 2 2
1 1 1
A x y z u v w
x y z
.
Và
2
2
1 1 1
( )u v w x y z
x y z
Ta có
2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
( ) 81( ) 80( )
x y z x y z x y z
x y z x y z
2
1 1 1
18( ) 80( ) 162 80 82
x y z x y z
x y z
Áp dụng bất đẳng thức
u v w u v w
Ta được
82.
A
Dấu "= " xảy ra khi các véctơ
, ,
u v w
cùng hướng và
1
x y z
hay
1
.
3
x y z
Bài 10: Cho các số thực dương
, ,
a b c
thỏa mãn
.
ab bc ca abc
Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức :
2 2 2 2 2 2
2 2 2
a b b c c a
P
ab bc ca
Giải:
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 12
Ta có
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
P
b a c b a c
Trong hệ trục tọa độ
Oxy
, xét ba véctơ
1 2 1 2 1 2
; ; ; ; ;u v w
b a c b a c
Khi đó ta có
2 2 2 2 2 2
2 2 2
; ;
a b b c c a
u v w
ab bc ca
1 1 1 2 2 2
;u v w
a b c a b c
;
2
1 1 1
3 3
u v w
a b c
Vì
1 1 1
1
ab bc ca abc
a b c
Áp dụng bất đẳng thức
u v w u v w
ta được :
3
P
.
Vì ba véctơ đều khác
0
nên dấu "=" xảy ra khi 3 véctơ
, ,
u v w
cùng hướng và
.
ab bc ca abc
Vậy
min 3
P
khi
3
a b c
.
Bình luận: Đây là dạng của đề thi Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 2000.
Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
2 2 2 2
1 1 16 32 1 1 4 8
( ) 2 4 10
2 2 5 5 2 2 5 5
f x x x x x x x x
Giải:
Ta có :
2 2 2 2
2
2 2 2
16 8 4 8
2. ( ) 2 4 2
5 5 5 5
f x x x x x
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, ta xét các véctơ :
16 8 4 8
( ;2), ( ; ), (4 ;2), ( ; )
5 5 5 5
a x b x c x d x
Ta có :
2 2
2 2
16 8
2 ,
5 5
a x b x
,
2 2
2 2
4 8
( 2) 2 ,
5 5
c x d x
Khi đó :
2
1
( )
2
f x a b c d
1
4 2 2
2
a c b d
Dấu bằng xảy ra khi
,
a c
cùng hướng và
,
b d
cùng hướng, tức là :
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 13
(4 )
2 2
1
16 4
2
5 5
8 8
5 5
x k x
k
a kc
k l
x l x
x
b ld
l
Vậy
min ( ) 4 2 2
f x
khi
2.
x
Bình luận: Trong bài này, việc chọn tọa độ mang ý nghĩa quyết định. Nếu chọn hệ
tọa độ hợp lý thì chúng ta thấy lời giải hết sức gọn gàng. Qua bài toán này, ta cũng nhận
thấy rằng cơ sở trực quan của hình học phần nào đã giảm nhẹ được độ khó của bài toán.
Vận dụng hình học trong bài toán đại số, giúp học sinh đỡ phải tính toán cồng kềnh phức
tạp.
Bài 12
: Cho
, ( 1,2,3 , )
i i
x y i n
là
2
n
số thực thỏa mãn :
1 1
1
n n
i i
i i
x y
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
2 2
1
n
i i
i
P x y
.
Giải:
Xét trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
:
Gọi
k
M
là điểm có tọa độ
1 1
; , 1,2, 3 , .
k k
k i i
i i
M x y k n
Nói riêng điểm
1 1
;
n n
n i i
i i
M x y
mà
1 1
1
n n
i i
i i
x y
nên
n
M
sẽ nằm trên đường thẳng:
1
x y
.
Dễ thấy:
2 2
1 1
2 2
1
1 1 1 1
( 1,2, , )
k k k k
k k i i i i k k
i i i i
M M x x y y x y k n
Gọi
H
là chân đường vuông góc kẻ từ
O
đến đường
thẳng
1
x y
, thì
2
2
OH
.
Khi đó ta luôn có:
1 1 2 1
,
n n
OM M M M M OH
hay
2
2
P
.
Dấu "=" xảy ra
1 2
, , , ,
n
O M M M
theo thứ tự thẳng
hàng và
.
n
M H
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 14
0
1 2
1 2
1 2 1 2
tan 45 1
1
2
n
n
n n
y y y
x x x
x x x y y y
n
Vậy
2
min
2
P khi
1
, ( 1,2, , )
2
i i
x y i n
n
.
Bài 13
: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :
2 2
( ; )
f x y x y
trên miền
( ; ) | 2 8 0; 2 0;2 4 0
x y x y x y x y
.
Giải:
Miền
là miền trong tam giác
ABC
tính cả biên, với
(0;4), ( 4;2), ( 2; 0)
A B C
Gọi
( ; )
M x y
thì
M
sẽ nằm ở miền trong hoặc nằm
trên biên của
ABC
.
Ta có
2 2
OM x y
. Suy ra :
+
( ; )
f x y OM OH
, với
H
là chân đường cao hạ từ
O
xuống
AC
.
2 2
2.0 0 4
4
( ; )
5
2 1
OH d O AC
.
+
( ; ) max ; ; max 4; 20;2 20
f x y OA OB OC
khi
M B
hay
4; 2
x y
.
Vậy
max ( ; ) 2 5
f x y
khi
4; 2
x y
;
4 5
min ( ; )
5
f x y
khi
8 4
;
5 5
x y
.
Bài 14: Cho 4 số thực
, , ,
a b c d
thỏa mãn điều kiện
2 2 2 2
5
a b c d
. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức :
5 2 5 2 5
P a b c d ac bd
Giải:
Nếu gọi
( ; ), ( ; ), (1;2)
M a b N c d P
thì từ điều kiện
2 2 2 2
5
a b c d
ta thấy
, ,
M N P
là
các điểm nằm trên đường tròn tâm
O
bán kính
5
.
Và biểu thức có thể viết thành
2 2 2 2 2 2 2 2
5 5 2 2
2 2
2 2 2 2 2
a b c d a b c d ac bd
P a b c d
2 2 2 2 2 2
1
( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( ) ( )
2
a b c d a c b d
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 15
1
( )
2
MP NP MN
Vế trái là giá trị của chu vi tam giác
MNP
. Sử
dụng tính chất : "Trong các tam giác nội tiếp đường
tròn, tam giác đều có chu vi và diện tích lớn nhất".
Nên
P
đạt giác trị lớn nhất khi tam giác
MNP
đều
và nội tiếp đường tròn bán kính
5
. Khi đó ta được
chu vi
MNP
bằng
3 15
.
Vậy :
3 30
2
P
.
Dấu “ = ” xảy ra khi
1 2 3 2 3 1 2 3 2 3
; , ;
2 2 2 2
M N
.
Tức là
1 2 3 2 3 1 2 3 2 3
, , ,
2 2 2 2
a b c d
Vậy
3 30
max
2
P
khi
1 2 3 2 3 1 2 3 2 3
, , ,
2 2 2 2
a b c d
.
Bài 15: Cho
, , ,
a b c d
là bốn số thực thỏa mãn điều kiện sau :
2 2
2 2
1 2( )
73 14( )
a b a b
c d c d
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức :
2 2
( ) ( )
P a c b d
.
Giải:
Từ điều kiện ta có :
2 2
2 2
( ) ( 1) 1
( 7) ( 7) 25
a a b
c d
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, ta xét các điểm
( ; ), ( ; )
M a b N c d
, thì từ điều kiện ta thấy
,
M N
là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn
tâm
1
(1;1)
O
bán kính 1 và đường tròn tâm
2
(7;7)
O
bán kính 5.
Và ta cũng có
2 2 2
( ) ( ) .
MN a c b d
Nối
1 2
,
O O
cắt đường tròn bé tại
,
G E
và cắt
đường tròn lớn tại
,
F H
. Khi đó tính được tọa
độ các điểm :
2 2 2 2
1 ;1 ; 1 ;1
2 2 2 2
G E
,
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 16
5 2 5 2
7 ;7 ,
2 2
F
5 2 5 2
7 ;7
2 2
H
.
Ta có
1 2 1 2
O O O M MN NO
1 2 1 2
O E EF FO O M MN NO
EF MN
(do
1 1 2 2
;
O E O M FO NO
)
Và
1 1 2 2 1 1 2 2
MN O M O O O N GO O O O H GH
Suy ra
EF MN GH
nên
EF MN GH
nên ta cũng có
2 2 2
EF MN GH
Lại có
2 2 2 2
2(6 3 2) 36(3 2 2); 2(6 3 2) 36(3 2 2)
EF GH
Từ đó suy ra:
36(3 2 2) 36(3 2 2)
P
Vậy
min 36(3 2 2)
P
khi
,
M E N F
hay
5 2 2
7 , 1
2 2
a b c d
max 36(3 2 2)
P
khi
,
M G N H
hay
2 5 2
1 , 7 .
2 2
a b c d
Bài 16
: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
( ) 1 4
y f x x x
trên miền
| 1 4
x x
Phân tích: Bài toán sẽ sử dụng tính chất tương đối của đồ thị hai hàm số liên tục và sử
dụng tính chất miền giá trị của hàm số.
Với
x
, ta đặt
2 2
1
2
(*)
0, 0
1
u x
u v
u v
v x
Tức là, xét trên hệ tọa độ
Ouv
thì
,
u v
thuộc một phần của đường tròn tâm
O
bán kính
2
ở góc phần tư thứ nhất.
Ta sẽ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
( ; )
f u v u v
với điều kiện
(*)
.
Giải:
Gọi
là giá trị tùy ý của hàm số
( )
y f x
trên
miền xác định
. Tức là hệ sau có nghiệm:
1 4
(1)
1 4
x x
x
.
Đặt
1
4
u x
v x
khi đó hệ (1) có nghiệm khi và chỉ
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 17
khi hệ sau có nghiệm :
2 2
2 (2)
0, 0
u v
u v
u v
Với chú ý : Đồ thị hàm số
u v
suy ra từ đồ thị hàm số
0
u v
tịnh tiến lên trên
đơn vị.
Hệ (2) có nghiệm nếu đường thẳng
u v
cắt cung
AB
, tức nó nằm giữa hai đường
thẳng
5
u v
và
5
u v
. Từ đó suy ra
5 5
.
Vậy ta có
max ( ) 5 4
f x x
và
min ( ) 5 1.
f x x
Bình luận:
- Bài này có thể sử dụng phương pháp hàm số nhờ việc giải phương trình
'( ) 0
f x
không khó như bài 1.
- Sử dụng phương pháp này có thể dạy cho học sinh lớp 10.
Bài 17
: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.
2 2
( ) 4 4
f x x x x x
trên miền
| 2 2
x x
.
Phân tích: Khi đặt
2
4 0
y x
thì bài toán trở thành :
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
( , )
f x y x y xy
thỏa mãn
2 2
4
0
x y
y
.
Điều kiện này xác định một nửa đường tròn tâm
O
bán kính 2 lấy phía trên trục hoành.
Giải: Gọi
là giá trị tùy ý của hàm số
( )
y f x
trên
miền
. Tức là hệ sau có nghiệm:
2 2
4 4
(1)
2 2
x x x x
x
Đặt
2
4 ( 0)
y x y
khi đó hệ (1) có nghiệm khi hệ
sau có nghiệm:
2 2
4 (2)
0
x y xy
x y
y
Suy ra :
2
2
( ) 4
( ) 2( ) 4 2 0. (3)
2
x y
x y x y x y
Coi (3) là phương trình bậc hai ẩn
x y
. Phương trình (3) có nghiệm khi
5
' 5 2 0 .
2
Hệ (2) có nghiệm khi ít nhất một trong hai hệ sau có nghiệm :
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 18
2 2
1 5 2
4 (*)
0
x y
x y
y
2 2
1 5 2
4 (**)
0
x y
x y
y
Hệ (*) có nghiệm khi đường
1 5 2
x y
cắt nửa đường tròn, tức nó nằm giữa
hai đường
2 2
x y
và
2
x y
. Ta suy ra:
5
2 1 5 2 2 2 2 2 2.
2
Tương tự, hệ (**) có nghiệm khi
5
2.
2
Kết luận: Hệ (1) có nghiệm khi
5
2 2 2.
2
Vậy:
5
min ( )
2
f x
khi
1 7
2
x
;
max ( ) 2 2 2
f x
khi
2.
x
Bình luận:
Như vậy đối với các bài toán tưởng chừng như quá tầm đối với cách giải thông thường
thì lại thật gọn nhẹ với phương pháp sử dụng, nhìn bài toán đoán đó bằng con mắt hình
học.
Bài 18: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
( ; )
f x y x y
trên miền
2 2 2 2
( ; ) | ( 6) ( 3) 25, ( 4) 25, 2 4, 0, 0
x y x y x y x y x y
Giải: Miền xác định
được biểu diễn bởi miền tô đậm trong hình vẽ.
Gọi
là một giá trị tùy ý của
( ; )
f x y
trên
. Điều này có nghĩa hệ sau có nghiệm:
2 2
2 2
( 6) ( 3) 25,
( 4) 25,
2 4,
0, 0
x y
x y
x y
x y
x y
đồ thị hàm số
x y
cắt miền
.
Giải hệ:
2 2
( 4) 25
2 4
0, 0
x y
x y
x y
suy ra tạo độ
điểm
( 5;2 5 4)
A
.
Đường thẳng
x y
qua
A
khi
4 5
.
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 19
Đường tròn
2 2
( 6) ( 3) 25
x y
cắt trục hoành tại
(2; 0), (10; 0)
B C
Đường thẳng
x y
qua
B
khi
2.
Khi đó:
4 5
x y
và
2
x y
là hai vị trí giới hạn mà đường thẳng
x y
cắt miền
D
. Từ đó suy ra:
max ( ; ) 2
f x y
khi
2; 0
x y
và
min ( ; ) 4 5
f x y
khi
5; 2 5 4.
x y
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Xin đưa ra một số bài tập áp dụng phương pháp tọa độ để quý thầy cô và bạn bè đồng
nghiệp tham khảo, đó là bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và một số bài toán chứng
minh bất đẳng thức.
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
2 2
( ) 2 3 4 6
f x x x x x
khi
1 1.
x
Bài 2: Cho
, , 0
a b c
và
2
a b c
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
P a ab b b bc c c ca a
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
2 2
( ) 4 29 4 5
y f x x x x x
trên
.
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
( ) 1 4
y f x x x
trên miền
| 1 4
x x
.
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
( ) 1 4
y f x x x
trên miền
| 1 4
x x
.
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
( ) 3 6 (3 )(6 )
y f x x x x x
trên miền
| 3 6
x x
.
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
2
( )
y f x x x x
trên miền
| 0 1
x x
.
Bài 8: Cho hàm số
2 2
( ) sin cos ,( 0)
f x A x B x A B
a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên.
b) Chứng minh rằng
2
cos 3 cos 3 1 1 1 3
, , .
2 cos 3 3
x a x a
x a
x
Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
2 2 2 2
( ; ) 2 12 37 6 6 18
f x y x y x y x y x y
Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
2 2
( ; ) ( 6) 100 ( 1) 4
f x y x x
.
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 20
Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 2 2 2
2 2 2 2 ,( )
y x px p x qx q p q
Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 2 2 2
( )
y a x a c x
.
Bài 13: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
2
( ) 1993 1995
f x x x
trên
miền xác định của nó.
Bài 14: Chứng minh rằng
*
, ,x y z
ta có:
2 2 2 2 2 2
3( )
x xy y y yz z z zx x x y z
Bài 15: Chứng minh rằng
, , ,
a b c d
ta có
2 2 2 2 2 2
( ) ( )
a c b d a b c d
.
Bài 16: Chứng minh rằng
,
x y
ta có:
2 2
( )(1 ) 1
2
(1 )(1 )
x y xy
x y
Bài 17: Chứng minh rằng
, , , , ,
a b c x y z
ta có:
a)
2 2 2 2 2 2
.
ax by cz a b c x y z
b)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
a b c x y z a x b y c z
Bài 18: Cho ba số thực
, ,
x y z
đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
x y y z x z
x y y z x z
Bài 19: Chứng minh rằng với mọi số thực
,
a b
ta luôn có
a)
2 2 2 2
2 2 37 6 6 18 5
a b a b a b a b
b)
2 2 2 2
4 2 1 6 18 5
a a a b b b
Bài 20: Chứng minh rằng
, , ,
a b c d
ta
có:
2 2 2 2 2
2 5 2 1 2 1
a a a ab b b bc c
2 2
2 1
c cd d
2
10 26 6 2
d d
Bài 21: Chứng minh rằng
, , , 1
a b c abc
ta có:
2 2 2 2 2 2
3
2
bc ca ab
a b a c b c b a c a c b
(Trích đề thi ĐH Nông nghiệp I năm 2000)
Bài 22: Cho
2 2 2 2
, , , : 1
x y u v u v x y
. Chứng minh rằng:
( ) ( ) 2
u x y v x y
Bài 23: Chứng minh rằng
,
x y
ta có:
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 21
a)
2 2 2 2 2 2
4 cos cos sin ( ) 4 sin sin sin ( ) 2
x y x y x y x y
b)
4 4 2 2
cos cos sin sin 2
x y x y
c)
2 2
sin 2 sin sin 2 sin 3
x x x x
Bài 24: Chứng minh rằng
, 0
a b c
ta có:
( ) ( )
c a c c b c ab
Bài 25: Chứng minh rằng
, ,
a b c
ta có:
2 2 2
( )
a b c abc a b c
.
Bài 26: Chứng minh rằng
2 2
2 2
3
, , :
16
x xy y
x y z
y yz z
ta có:
8.
xy yz zx
Bài 27: Chứng minh rằng
[0;1]
x
ta có:
4 4 4
1 1 2 8
x x x x
.
Bài 28: Cho
n
số thực
1 2
, , ,
n
a a a
. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 3 1 1
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
2
n n n
n
a a a a a a a a
.
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 22
PHẦN 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
1. Mục đích thực nghiệm
Mục đích thực nghiệm là để kiểm chứng khả năng ứng dụng phương pháp tọa độ vào giải
một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.
2. Tổ chức thực nghiệm
a) Hình thức thực nghiệm:
Tổ chức dạy học theo chuyên đề biên soạn theo nội dung đã đề cập ở phần 2. Sau đó cho
học sinh lớp chọn làm thực nghiệm đo kết quả thực nghiệm.
b) Đối tượng thực nghiệm
Chọn lớp thử nghiệm: Chọn 20 em học sinh lớp 10A1 (nhóm 1) và 20 em học sinh còn
lại (nhóm 2) năm học 2013-2014 của trường THPT Nguyễn Hữu Tiến – Hà Nam.
Trong đó nhóm 1 là nhóm thực nghiệm và nhóm 2 là nhóm đối chứng. Chọn học sinh ở 2
nhóm này có lực học khá và tương đương nhau.
3. Nội dung thực nghiệm
Dạy thực nghiệm nội dung: Sử dụng phương pháp tọa độ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
4. Đánh giá kết quả thực nghiệm
a) Đề kiểm tra: Phát phiếu kiểm tra khả năng giải bài tập của học sinh: Thời gian 45’
Bài 1 (3đ): Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
2 2
( ) 4 29 4 5
y f x x x x x
trên
.
Bài 2 (4đ): Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
( ) 1 4
y f x x x
trên miền
| 1 4
x x
.
Bài 3 (3đ): Cho
, , 0
a b c
và
2
a b c
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
P a ab b b bc c c ca a
b) Kết quả kiểm tra
Điểm
Lớp
2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số bài
Nhóm 1 (TN) 0 0 1 4 3 5 1 4 2 20
Nhóm 2 (ĐC) 1 1 2 6 4 4 1 1 0 20
Điểm trung bình:
1 1 2 2
1
1 1
( )
k
k k i i
i
x n x n x x n n x
n n
Trong đó:
:
i
x
là điểm kiểm tra
:
i
n
là tần số của các giá trị
i
x
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 23
:
n
là số học sinh tham gia (
20
n
).
Kết quả thu được:
TN §C
7,05; 5,6
x x
.
5. Kết luận
Dựa trên kết quả thực nghiệm thấy rằng kết quả của nhóm thực nghiệm cao hơn lớp đối
chứng. Số học sinh đạt điểm cao ở nhóm thực nghiệm cũng vượt trội so với nhóm đối
chứng.
Trong thực tế giảng dạy tôi thấy rằng phương pháp này có thể dạy ngay cho học sinh học
lớp 10 – khi đã học xong phần bất đẳng thức (phần đại số) và phương pháp tọa độ trong
mặt phẳng ở một mức độ nào đó (phần hình học).
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 24
PHẦN 4: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
Thực hiện mục đích của đề tài, tôi đã giải quyết được một số vấn đề sau:
1. Học sinh biết áp dụng những điều đã được giới thiệu để giải quyết một số bài
toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số cũng như vận dụng vào chứng minh bất
đẳng thức. Học sinh trung bình khá trở nên nắm vững được phương pháp và biết vận
dụng ở dạng bài tập cơ bản, học sinh khá giỏi có thể sử dụng phương pháp này để giải
quyết một số bài toán trong đề thi đại học và đề thi học sinh giỏi.
2. Ngoài ứng dụng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. Phương pháp tọa độ
còn có nhiều ứng dụng: chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình,
bất phương trình Tôi khuyến khích các em về tìm tòi thêm.
3. Thực nghiệm cho thấy: kết quả ứng dụng của phương pháp là tương đối khả
quan. Học sinh tiếp thu được bài và trình bày chặt chẽ.
Thực tế giảng dạy cho thấy, học sinh rất hào hứng tiếp thu và vận dụng được ý
tưởng của đề tài, học sinh không còn sợ mà trở nên thích thú, ham tìm hiểu về những bài
toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cũng như bài toán chứng minh bất đẳng thức. Nếu khéo
léo chọn hệ trục toạ độ phù hợp, vận dụng phương pháp vectơ và toạ độ thì có thể chuyển
thành bài toán đại số hoặc giải tích và tìm ra lời giải ngắn gọn, phần nào làm sáng tỏ vấn
đề của đề tài.
Tuy nhiên, không phải tất cả các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nào cũng có
thể dùng phương pháp tọa độ. Ngoài phương pháp tọa độ nêu trên thì còn rất nhiều kĩ
thuật, phương pháp để giải đối với bài toán này. Tuy nhiên phương pháp này cho thấy
việc sử dụng phương pháp tọa độ trong hình học vào giải quyết các bài toán đại số là rất
mạnh mẽ, làm cho việc trình bày lời giải trở nên gọn gàng, sáng sủa.
Thông quan bản sáng kiến kinh nghiệm này, tôi mong muốn được đóng góp một
phần nhỏ bé công sức trong việc hướng dẫn học sinh ứng dụng và khai thác phương pháp
tọa độ một cách có hiệu quả khi làm toán, rèn luyện tính tích cực, phát triển tư duy sáng
tạo cho học sinh, gây hứng thú cho các em khi học toán.
Qua nội dung đề tài, tôi mong muốn có sự tìm hiểu sâu hơn nữa về bài toán tìm giá
trị lớn nhất, nhỏ nhất và bài toán chứng minh bất đẳng thức cũng như muốn nghiên cứu
mối quan hệ giữa “Hình học” và “Đại số”.
Tuy nhiên, do thời gian có hạn, trình độ bản thân còn hạn chế, nên tôi rất mong
được sự đóng góp bổ sung của Hội đồng khoa học các cấp và của các đồng nghiệp để
sáng kiến kinh nghiệm của tôi được hoàn chỉnh hơn, đồng thời cũng giúp đỡ tôi tiến bộ
và thành công hơn trong giảng dạy.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
Duy Tiên, tháng 4 năm 2014
Người viết
ThS. Trần Mạnh Hân
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
