Sử dụng phần mềm mathematica giải một số bài toán nhiễu loạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
======

PHẠM TUẤN ANH

SỬ DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN NHIỄU LOẠN
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN THÁI HOA

HÀ NỘI, 2017


LỜI CẢM ƠN

Trước hết tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc của
mình tới TS. Trần Thái Hoa – Người thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn
và giúp đỡ tôi rất nhiều trong thời gian vừa qua.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với các thầy cô giáo trong khoa Vật
lý trường ĐHSP Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức cho tôi trong hai năm
học tạo tiền đề cho tôi hoàn thành bản luận văn này.
Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè và cơ
quan nơi tôi công tác đã động viên và giúp đỡ tôi trong thời gian vừa
qua.

Hà Nội, tháng 6 năm 2017

Tác giả

Phạm Tuấn Anh


LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là học viên Phạm Tuấn Anh - Cao học K19 Trường
ĐHSP Hà Nội 2.
Tôi xin cam đoan đề tài: “Sử dụng phần mềm Mathematica giải
một số bài toán nhiễu”, là kết quả nghiên cứu của riêng tôi, đề tài không
trùng với kết quả của các tác giả khác. Nếu có gì không trung thực tôi
xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học.

Hà Nội, tháng 6 năm 2017
Tác giả

Phạm Tuấn Anh


Mục lục
Mở đầu

1

1. Lý do chọn đề tài................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu..........................................................................2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.........................................................................2
4. Đối tượng nghiên cứu.........................................................................2
5. Phương pháp nghiên cứu....................................................................2

Chương 1: Một vài nét về phần mềm mathematica

3

1.1 Giới thiệu sơ bộ về phần mềm Mathematica.................................3
1.2 Giao diện tương tác của Mathematica.............................................3
1.3 Các tính năng của Mathematica........................................................4
Chương 2: Lí thuyết nhiễu loạn dừng

8

2.1 Giới thiệu về lí thuyết nhiễu loạn....................................................8
2.1.1 Nhiễu loạn dừng khi không có suy biến...............................9
2.1.2 Nhiễu loạn khi có suy biến...................................................12
2.2 Các bổ chính của năng lượng và hàm sóng...................................14
2.2.1 Bổ chính bậc 1 cho năng lượng.............................................14
2.2.2 Bổ chính bậc 2 cho năng lượng và hàm sóng.......................16
2.2.3 Bổ chính bậc 3 cho năng lượng và hàm sóng.......................18
Chương 3: Xây dựng chương trình bằng phần mềm mathematica để
chạy một số bài toán nhiễu loạn
19
3.1 Bài toán 1........................................................................................19
3.2 Bài toán 2........................................................................................26
3.3 Bài toán 3........................................................................................33


Kết luận

37

Tài liệu tham khảo

38


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong cơ học lượng tử việc giải phương trình Schrodinger để tìm năng
lượng và hàm sóng về nguyên tắc thì ta hoàn toàn tìm được. Tuy nhiên,
trong thực tế với nhiều trường hợp thì việc giải phương trình này gặp rất
nhiều khó khăn và giải nó rất phức tạp.
Ta đã biết trạng thái dừng của một hệ được mô tả bằng nghiệm của
phương trình Schrodinger dừng:
ˆ   .
H

(1)

Ở đây, Hˆ là toán tử Hamilton và E là năng lượng của hệ. [1], [2]
Nghiệm chính xác của phương trình chỉ có thể tìm được trong một số
tương đối nhỏ các trường hợp đơn giản nhất (trường colomb, trường đàn
hồi, trường điện từ đều, ….) tương ứng với các hệ lý tưởng hóa phương
trình (1) có thể cho. Sự phức tạp của việc giải phương trình này phụ
thuộc vào dạng của thế năng và số chiều không gian trong bài toán cần
giải.
Phần lớn các bài toán của cơ học lượng tử dẫn tới những phương trình
rất phức tạp về dạng toán học, và không thể giải được nghiệm chính xác.
Do đó, khi nghiên cứu các hệ thực nói chung thì phương trình (1) không

cho nghiệm chính xác.
Bởi vậy phải ứng dụng những phương pháp gần đúng để giải bài toán,
một trong những phương pháp đó là đi tìm một cách giải gần đúng các
hàm riêng và trị riêng của nó – còn được gọi là lí thuyết nhiễu loạn mà
nội dung cơ bản là: đưa các bài toán phức tạp này về những bài toán đơn
giản có thể tìm nghiệm chính xác sau đó tìm những hiệu chỉnh tương
ứng.
Vì vậy, do có sự xuất hiện của máy tính điện tử nên các phương pháp
giải gần đúng bằng số các bài toán cơ học lượng tử có tầm rất quan
trọng. Cụ thể, việc đưa máy tính vào để nghiên cứu các quá trình tính
toán trong vật lí, sử dụng các công cụ tính toán sẽ giúp cho việc xử lý
các bài toán vật lí được nhanh chóng và thuận tiện. [7]


2

Để đáp ứng nhu cầu đó thì việc ứng dụng phần mềm toán học
Mathematica là công cụ rất hữu ích, một giải pháp tối ưu đối với bậc đại
học. Phần mềm dễ học, dễ sử dụng, độ chính xác cao, đáp ứng được
nhu cầu của đa số giáo viên, giảng viên trong công tác giảng dạy.
Năm 1988, hãng Wolfram cho ra đời phầm mềm Mathematica phiên
bản đầu tiên. Mathematica là ngôn ngữ tích hợp đầy đủ nhất các tính
toán kỹ thuật, [6], [7] là dạng ngôn ngữ dựa trên nguyên lý xử lý các số
liệu đặc trưng. Dựa vào khả năng mô hình hóa và mô phỏng,
Mathematica không những ứng dụng trong toán học, kỹ thuật, vật lý mà
còn mở rộng ứng dụng trong nhiều lĩnh vực phức tạp khác. Hiện nay,
Mathematica được cải tiến và hoàn thiện qua nhiều phiên bản, phiên bản
mới nhất là Mathematica 11.0.1.
Trong bài viết này, tôi muốn nhấn mạnh việc sử dụng phần mềm toán
học chạy số [5] - Mathematica - như một công cụ để giải quyết các bài

toán nhiễu loạn. Vì vậy, tôi chọn đề tài “Sử dụng phần mềm
Mathematica giải một số bài toán nhiễu loạn” làm luận văn tốt nghiệp
của mình.
2. Mục đích nghiên cứu


Lí thuyết nhiễu loạn;

 Tìm hiểu cách sử dụng phần mềm Mathematica vào việc giải một
số bài toán nhiễu loạn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
 Tập trung tư liệu, nghiên cứu lý thuyết;
 Lập trình bằng Mathematica để giải các bài toán nhiễu loạn.
4. Đối tượng nghiên cứu
 Cơ học lượng tử;
 Lí thuyết nhiễu loạn trong cơ học lượng tử.
5. Phương pháp nghiên cứu


3

 Đọc và tìm hiểu các phần mềm chạy số đặc trưng, ngôn ngữ lập
trình Mathematica, lí thuyết nhiễu loạn;
 Sử dụng các phần mềm toán học chạy số để giải một số bài toán
nhiễu loạn.


4

Chương 1

Một vài nét về phần mềm Mathematica
1.1 Giới thiệu sơ bộ về phần mềm Mathematica
Mathematica là ngôn ngữ tích hợp đầy đủ các tính toán kỹ thuật, là
dạng ngôn ngữ dựa trên nguyên lý xử lý các dữ liệu tượng trưng.
Khởi thủy của nguyên lý này là ngôn ngữ LIPS – ngôn ngữ nghiên
cứu trí tuệ – nghiên cứu các vấn đề như xử lý tiếng nói tự nhiên,
các hệ chuyên gia, các vấn đề logic trong kĩ thuật robot, điều khiển
và tự động hóa. [7]
Thế hệ ngôn ngữ giải tích đầu tiên đó là Macsyms, Reduce… ra đời
từ những năm 60 của thế kỉ XX. Các ngôn ngữ này chủ yếu dùng cho
các bài toán vật lý năng lượng cao. Nhược điểm của chúng là chủ
yếu được định hướng chạy trên các máy tính lớn.
Thế hệ thứ hai là ngôn ngữ Maple so với thế hệ trước có ưu điểm là
chạy nhanh hơn và chấp nhận bộ nhớ nhỏ hơn, [6] bổ sung nhiều
khả năng đại số, đồ thị hơn và nó có thể chạy trên máy tính cá nhân.
Thế hệ thứ ba của dạng ngôn ngữ này chính là các ngôn ngữ
Mathematica và MatLab, trong đó Mathematica có ưu điểm vượt
trội về giao diện thân thiện, khả năng vẽ đồ thị siêu việt cũng như
khả năng xử lý dữ liệu không thua kém các môi trương ngôn ngữ tính
toán khác. [7]
Nhờ khả năng siêu việt của mình, Mathematica không chỉ được ứng
dụng trong các lĩnh vực vật lý, kỹ thuật tính toán mà còn mở rộng
trong các lĩnh vực phức tạp khác như khoa học xã hội, sinh học, …
Phiên bản đầu tiên của Mathematica được phát hành 23/6/1988. Bản
2.0 được phát hành năm 1991. Hiện nay, bản mới nhất của
Mathematica là bản 11.0.1.
1.2 Giao diện tương tác của Mathematica


5

Mathematica đưa ra một giao diện rất thân thiện với người dùng
được đặt tên là bản ghi (Notebook - thường được gọi tắt là nb). Các
bản ghi là dạng cửa sổ biểu diễn một lượt sử dụng Mathematica bao
gồm đầy đủ các ghi chép cả về chương trình nguồn, cả về kết quả
thực hiện trên cùng một bản ghi và được ghi lại dưới dạng file riêng
của Mathematica có đuôi là .nb.
Các bản ghi được tổ chức thành các ô (cells) một cách có trật tự và
thứ bậc. Ta có thể nhóm một ô lại sao cho chỉ thấy ô đầu của nhóm ô
đó (với số nhóm lồng tùy ý).
Mathematica còn đưa ra một giao diện phụ là các bảng lệnh trong
mục Palettes và các nút lệnh Button. Người sử dụng rất đơn giản chỉ
cần nhấp chuột và có thể tùy biến theo ý mình.
1.3 Các tính năng của Mathematica
1.3.1 Khả năng tính toán
a.

Khả năng tính toán bằng số

Mathematica cho phép tính một cách trực tiếp giống như dùng một
calculator với độ chính xác bất kỳ một biểu thức nào bằng cách viết biểu
thức cần tính và bấm tổ hợp phím Shift + Enter. Mathematica có khả
năng chấp nhận các dữ liệu lớn bất kỳ và xử lý nó trong thời gian vài
giây rất nhanh. [5]
Ví dụ, ta có thể tính biểu thức sau đây nhanh chóng:
8100 =
2037035976334486086268445688409378161051468393665936250636
140449354381299736336706183397376.
50!=
3041409320171337804361260816606476884437764156896051200000

0000000.
b. Khả năng tính toán với biến tượng trưng


6

Mathematica cho phép giải các phương trình hay tính toán các biểu thức
mà kết quả hay nghiệm được biểu diễn bằng các biến tượng trưng. Như
tính tích phân bất định, nguyên hàm theo biến chữ x.


=



x  1 x  adx







1
x  a a 8  3 x  8x  6x 3/2  3a 2Log  x  x  a  .
12

1.3.2 Khả năng đồ họa của phần mềm Mathematica
Mathematica cho phép vẽ tất cả các dạng đồ thị có thể có của một hàm
số với cấu trúc lệnh đơn giản nhất như đồ thị hai chiều, đồ thị 3 chiều,

đồ thị mật độ, đồ thị đường viền…
Ví dụ, vẽ đồ thị của hàm số cos2x+sin2x trong đoạn [ - 10, 10], ta sử
dụng lệnh sau:
Plot[Cos[2x] + Sin[2x], {x, - 10, 10}] (hình vẽ 1.1)
1.5

1.0

0.5

10

5

5

10

0.5

1.0

1.5

Hình 1.1
Hay ta có thể dùng lệnh sau đây để vẽ đồ thị ba chiều của hàm số
sin  x  y 2  khi x và y nằm trong đoạn [ - 3, 3] và [ - 2, 2] (hình1.2).

Plot3D[Sin[x+y2], {x, - 3, 3}, {y, - 2, 2}]

7

Hình1.2
1.4 Một số hàm thông dụng của mathematica
Trong Mathematica

Biểu thức toán

Sqrt[x]

x

Log[x]

Ln(x)

Sin[x]

Sin(x)

Cos[x]

Cos(x)

Tan[x]

Tan(x)

ArcSin[x]

Arcsin(x)

Log[a, b]

Logab

Exp[x]

ex

Mod[n, m]

Số dư của

Factoria[n], n!

n!

FactorInteger

Phân tích ra thừa số nguyên số của n

Abs[x]

Giá trị tuyệt đối của x

n
m

8

xy

xy

x1/n

n

x

x*y hoặc x y

x.y

Pi

Π

Sum[Function, {i,
imax}]

imin, Tính tổng

D[f(x), x]

Tính đạo hàm

Intergrate[f(x), x]

Tính nguyên hàm

Intergrate[f(x), {x, a, b}]

Tính tích phân xác định

Solve[f(x)==0, x]

Giải phương trình

Solve[fi==0, f==0, {x, y}]

Giải hệ phương trình

Plot[f(x), {x, a, b}]

Vẽ đồ thị

Plot3D[f(x), {x, a, b}]

Vẽ đồ thị 3D

Limit[f(x), x

Tính giới hạn

x0]

DSolve[equation, y, x]

Giải phương trình vi phân với biến độc
lập x

DSolve[equation_list,
y_list, x]

Giải một list các phương trình vi phân

DSolve[equation, y, {x1, Giải phương trình đạo hàm riêng
x2, …}]
IdentityMatrix[n]

Tạo ma trận đơn vị cấp n


9

Chương 2
Lí thuyết nhiễu loạn dừng
2.1 Giới thiệu về lí thuyết nhiễu loạn
Bài toán trong cơ học lượng tử là giải phương trình Schrodinger




H   ,

 h2 2

r 
  U  r, t     E.

 2m


Để tìm nghiệm E và  . Nghiệm chính xác của phương trình chỉ có thể
tìm được trong một số tương đối nhỏ các trường hợp đơn giản nhất. Sự
phức tạp của việc giải phương trình phụ thuộc vào dạng của thế năng và
số chiều không gian trong bài toán cần giải. Phần lớn các bài toán của cơ
học lượng tử dẫn tới những phương trình phức tạp về dạng toán học, và
không thể giải được chính xác. Do đó phải ứng dụng những phương
pháp gần đúng hàm riêng và trị riêng của nó. Hiện nay, do sự xuất hiện
máy tính điện tử, [1] các phần mềm tính số nên các phương pháp giải
gần đúng bằng số các bài toán cơ học lượng tử có tầm rất quan trọng.
Một trong các phương pháp tính gần đúng, đó là dựa vào các nghiệm
chính xác của hệ lí tưởng hóa, hiệu chỉnh các nghiệm đó để được
nghiệm gần đúng của hệ thực, trong các điều kiện mà hệ thực có thể coi
như không khác nhiều so với hệ lí tưởng.
Phương pháp tính các hiệu chỉnh như thế, dưới các điều kiện đặt ra được
gọi là lí thuyết nhiễu loạn.
Ta đặt điều kiện hạn chế cho bài toán nhiễu loạn. Trước hết ta xét lý
thuyết nhiễu loạn cho các bài toán có phổ gián đoạn:


H  l   l .


(l = 1, 2, 3…)

(2.1)






Giả sử toán tử H có thể tách làm 2 thành phần: H  H0  V


Trong đó: H 0 là toán tử Hamilton của bài toán đã lý tưởng hóa


và V được gọi là toán tử hiệu chính nhỏ hay toán tử nhiễu loạn.

(2.2)


10



Khi V là nhỏ nghĩa là các mức năng lượng và hàm sóng trong bài toán
nhiễu loạn sẽ gần với các giá trị tương ứng của bài toán không nhiễu
loạn, ta đặt:




V   W.

(2.3)
Với  là một thông số nhỏ, không thứ nguyên. Mặt khác, giả sử khi


biết các nghiệm  0 và l (l = 1, 2, 3…) của phương trình cho hàm riêng


và trị riêng của toán tử H 0 :




H0 l  E l l ,

(l = 1, 2, 3…)

(2.4)

đã được giải chính xác và giả thuyết các l này đã được trực chuẩn:

   dq  
*

l

l

ll'

.

(l, l’ = 1, 2, 3…)

(2.5)


Với các điều kiện hạn chế đó, việc giải phương trình: H    sẽ quy
về việc giải phương trình sau để tìm  l và  l :
 
 
 H 0   W   l  l  l .
(2.6)




Để tìm  l và  l chúng ta giải phương trình (2.6) bằng cách hiệu chỉnh

cho 0 l và l (l = 1, 2, 3, …) và sau khi hiệu chỉnh ta sẽ thu được  l và
 l gần đúng cấp nào đó, và các giá trị hiệu chỉnh đó sẽ cho nghiệm

đúng với (2.1), (2.4) hay (2.6).
Khi ta xét bài toán nhiễu loạn dừng sẽ có 2 trường hợp xảy ra:
+ Trường hợp bài toán lí tưởng không có suy biến
+ Trường hợp bài toán lí tưởng có suy biến
2.1.1 Nhiễu loạn dừng khi không có suy biến
Chúng ta nghiên cứu trường hợp mức năng lượng 0 l (l = 1, 2, 3, …) của
hệ lý tưởng không bị suy biến, nghĩa là ứng với một giá trị năng lượng
 0 l (l = 1, 2, 3, …) chỉ có một hàm riêng l và xem xét mức  0 l sẽ thay

đổi như thế nào khi có nhiễu loạn. [1], [2], [3]
Giả sử sau khi hiệu chỉnh cho 0 l và l ta thu được năng lượng  l và
hàm sóng l nghiệm đúng (2.6).


11



Lấy hệ hàm riêng 1 , 2 ,... của H 0 làm cơ sở và khai triển:
 l   C n n .

(2.7)

n

Như vậy, việc tìm  l đưa về việc tìm các Cn (n = 1, 2, 3, …) tức là hàm
sóng trong 0 - biểu diễn.
Thay (2.7) vào (2.6) ta được:

 
 H 0   W   Cn n  l  Cn l , (n = 1, 2, 3, …)

 n
n



 


  Cn H 0   W  l  l  Cn n .


n
n



Nhân *m vào bên trái 2 vế rồi lấy tích phân theo các biến số không gian
ta có:

 
*

  n Cn  H0   W n dq   ml n Cn n


*
m



  Cn 0n  *m n dq   Cn  *m Wn dq  l  Cn  *m n dq
n

n

n



  Cn 0n mn    Cn  *m Wm dq  l  Cn  mn ,
n

mà

n

C 

n mn

n

 Cm ,

n



 Cm 0m    Cn  *m W n dq  lCm
  l  

(2.8)

n

0
m

 Cm   Cn Wmn .

 m, n  1, 2,3

n

Với



Wmn   *m W n dq.

(2.9)


Wmn : là phần tử  m, n  ma trận  W  của toán tử nhiễu loạn W trong 0

- biểu diễn. Hệ phương trình (2.8) hoàn toàn tương đương với phương
trình (2.6). Nó chính là phương trình Schrodinger trong biểu diễn năng
lượng.
a. Khi   0


12

Ta có: W  0 khi đó phương trình (2.6) trở về phương trình (2.4) và




H  H0 ,  l   l0  l .

khi đó:

Từ (2.8)  l  0m  Cm  0. (m, l = 1, 2, 3, …)

(2.10)

C m  ml ,
Nghiệm của (2.10) là: l   0l .

(2.11)

Cm  ml , suy ra từ (2.4) trong 2 trường hợp:

m  l  Cm  0,


Nếu m  l    C    .
 n n l
l



b. Khi  nhỏ

n

Các giá trị  l xê dịch khỏi giá trị  0l và các Cm sẽ lệch ra khỏi các giá
trị C0m . Ta hi vọng độ lệch này sẽ nhỏ. Muốn vậy, ta khai triển Cm và  l

(m, l = 1, 2, 3, …) theo chuỗi lũy thừa của  :
1
0
2  2

Cm  Cm  Cm   Cm  ...

1
0
2  2

l  l  l   l  ...

(2.12)
Trong đó các giá trị tỉ lệ với  k là hiệu chỉnh bậc k tương ứng của Cm và
 l . Thay (2.12) vào (2.8) ta có:



0
l



 0m  l    2l   ... C0m  Cm   2Cm   ...
1



2

1



   Wmn C0n  Cn    2Cn   ... .
n

1

2

2



(m, l = 1, 2, 3…)

(2.13)
So sánh các hệ số của lũy thừa  với 2 vế của (2.13). Trước hết với hệ
số của  0 :
(m, l = 1, 2, 3, …)
 0l  0m  C0m  0,
(2.14)
0

C m  0  m  1
 C0m  ml .
 0
0


Cm  C1  m  1

Thay C0m  ml và C0n  nl vào (2.13) ta có


13



0
l



 0m  l    2l   ...  ml  Cm   2Cm   ...
1

2



1

2





   Wmn nl  Cn    2Cn   ... .
n

1

2

(m, l = 1, 2, 3, …)
(2.15)

Giả sử m=l

           ... 1  C    C   ...
          C          C     C    ...
  W    C    C   ....
1

1

l

1

1

l

ln

1

l

l

2

l

3

2

l

l

2

2

l

1
n

nl

l

3

2

l

2

2

2

1

l

l

1

2

l

l

2
n

(l = 1, 2, 3…)

n

Ta thu được phương trình:
l1  Wll ,
  2
a 
1
1
1
l  l Cl    Wln Cl  ,
n

b
3  1C 2   2C1  W C 2  ,
n ln l
c
l
l
ll
l
 l

d
l 4  l 3Cl1  l 2Cl 2   l1Cl 3   Wln Cl 3 .  

n
Giả sử m  l



0
l



(2.16)

 0m  l    2l   ... Cm  Cm    2Cm   ...
1

2



1

2

3





  0l  0m  Cm    l0  0m  Cm   l Cm 
1

2

1

3
1
2
2
1
 2  0l  0m  Cm   l Cm   l Cm   ...







  Wmn nl  Cn   Cn  ... .
n

1

2

 2

1

(m, l = 1, 2, 3)

Ta thu được hệ phương trình:
 0l  0m  Cm1  Wml ,
a' 



 0l  0m  Cm2  l1Cl1   Wmn Cn1 ,

 b' 
n
 0
 3
1  2 
 2  1
 2
0
c' 

 l   m  Cm  l Cm  l Cm   Wmn Cn ,
n

'
4
1
3
2
2
 0l  0m  Cm   l Cm   l Cm   l 3Cm1   Wmn Cn3 .  d 

n

(2.17)

Như vậy với cách biểu diễn thành các chuỗi như ở (2.12) ta thu được

hệ phương trình (2.16) và (2.17), về nguyên tắc thì 2 hệ phương trình


14

này sẽ cho ta các bổ chính ở các bậc khác nhau của năng lượng và hàm
sóng.
2.1.2 Nhiễu loạn khi có suy biến
a. Sự giảm độ suy biến khi có nhiễu loạn.
Xét trường hợp có suy biến tức là với một giá trị của năng lượng thì
có nhiều hàm riêng khác nhau. Giả sử mức năng lượng El0 bị suy biến S
lần (tức là có S hàm sóng (  11,  12,  13, …  1S). Khi đó để làm gần
đúng cấp 0 của hàm sóng ta lấy tổ hợp tuyến tính của các hàm  lk (k = 1,
2, 3….S) tương ứng với các mức năng lượng El0 [1], [2], [4]
s

l   a k lk .

(2.18)

k l

Trong đó  lk thỏa mãn phương trình Schodinger:


H0 lk  El0lk . (l = 1, 2, …, k = 1, 2, 3…S)
^

Thay (2.18) vào thương trình H l  El ta được:


 

H


w
 0
  a k lk  E l  a k lk .

 k l
k l
s

s

Nhân vào hai vế của phương trình trên với *lm (m = 1, 2, 3….s) sau
đó tích phân theo các biến không gian:
^

*
*
 lm  a k lk H dq   lma k El  a k lk dq
k

k

^

  a k  *lk H lk dq   a k E lmk .
k

k

^

Ta đặt H mk   *lm H lkdq, suy ra
  a k H mk   a k E l mk
k
s

k

  a k (H mk  E lmk )  0.
k l

(m = 1, 2, 3…s) (2.19)


15

Phương trình (2.19) là phương trình đại số bậc 1 tuyến tính thuần
nhất bậc nhất với ẩn a1, a2, …as. Hệ phương trình có ẩn s. Để phương
trình có nghiệm không tầm thường thì các định thức của hệ phương trình
phải bằng 0:
H13
 H11  E1  H12
H12
 H12  E1  H 23

H1S

HS1

HSS  E1

H 2S

H S3

HS2

= 0.

(2.20)

Khai triển định thức trên ta thu được phương trình bậc S đối với giá trị
chưa biết 1 . Phương trình này được gọi là phương trình thế kỉ, nó có s
nghiệm. Nếu s nghiệm thực của (2.20) khác nhau thì mức  0l suy biến
bội s của bài toán không nhiễu sẽ tách ra làm s mức  lk khác nhau.
Từ phương trình (2.20) sẽ cho ta nghiệm  l . Giả sử tìm được các nghiệm
11 , 12 , 13 , 1p

Thay  li (i = 1, 2, 3, …, p) vào (2.19) ta được:

  
H mk   *lm Hlk dq   *lm  H 0  V lk dq






 H mk   *lm Hlk dq   *lm Vlk dq
 H mk  0mk  Vmk .

Trong các a i tìm được ta thay vào phương trình (2.18) ta tìm được gần
đúng cấp không của hàm sóng  l .
Như vậy trong phép gần đúng cấp không ta tìm được: li ,  l (i = 1, 2, 3,
…., p, p<b. Việc khử suy biến.
Chúng ta biết rằng với bài toán không nhiễu, mức năng lượng  0l suy
biến tách ra thành p  s mức 11 , 12 , 13 ,...1p với p là hằng số,
11 , 12 ,...1p độc lập tuyến tính với nhau. [2]


16

Thành thử nhiễu loạn khi đã khử bớt độ suy biến, từ độ suy biến bội s
bây giờ chỉ còn bội suy biến (s - p). Độ suy biến này ta phải hiểu là
trong p mức năng lượng 11 , 12 , 13 ,...1p sẽ có một vài mức suy biến với
bội nhỏ hơn hoặc bằng (s - p) sao cho tổng số bội của các mức bị suy
biến bội (s - p) đến các mức còn lại. Điều này cho phép chúng ta lặp lại
phương pháp cho các mức suy biến để tiếp tục khử suy biến.
Quá trình đó có thể tiến hành đến khi khử hết suy biến thì dừng lại, lúc
này bài toán trở về bài toán không suy biến.
2.2 Các bổ chính của năng lượng và hàm sóng
2.2.1 Bổ chính bậc 1 cho năng lượng
Từ (2.16) theo phương trình (a) l1  Wll  l1  Wll  Vll . [1], [4]
Bổ chính bậc 1 cho năng lượng:


l   Wll  Vll   *l  q  V l q dq.
1

Năng lượng gần đúng cấp 1 là: l  0l  l1  0l  Vll .

(2.21)
(2.22)

Từ (2.17) theo phương trình (a’) suy ra:
Cm 
1

Wml
Wml
Vml
1


C



.
m
0l  0m
0l  0m 0l  0m

(2.23)

Do đó, phép gần đúng cấp 1 của hàm sóng có thể viết:









 l    Cm m  Cl0  Cl  l   C0m  Cm m
1

m

1

V
 l  Cl l   0 ml 0 m .
m l l   m
1

m 1

1

(2.24)

Vì C0l  1 và C0m  0 . Ở đây, Cl1 là chưa biết, ta sẽ xác định Cl1 từ điều
kiện chuẩn hóa của  l có xét đến điều kiện (2.12) và bỏ qua các đại

lượng tỉ lệ với  2


17

2



2
l

V
dq   l  Cl l   0 ml 0 m dq  1
ml l   m
1


Vml*
1 * *
* 
1


C




l

l
m

0
0



ml l
m


1
 

Vml
1
  1   C l l   0
m  dq
0
ml l   m













 1  C      dq 
V
 1  C   
  dq 
  

 1  Cl 
1

*

1

l

1

*

l



1



l

*
l

ml

ml

 1  Cl 

*
l

0
l

0
m

m

*
Vml
* dq 

0
0  l l
ml l   m

*
Vml
Vml
*  dq  1.
0
0  0
0  m m
ml l   m ml l   m



*
Vml
Vml
Trong đó:  0
loại bỏ vì có bậc 2
0  0
0
m l l   m m l l   m

 
*
l

m

dq  0, và  *mldq  0.



Vậy ta có: 1  Cl1

 1  C    1,
*

1
l

2



 *
 l dq  1  Cl 1  Cl  Cl  1.
2

1

1

1

(2.25)

Có thể coi Cl1 là thực, vì vậy Cl1  0 .
Thành thử trong phép gần đúng cấp 1 của hàm sóng
Vml
m .
0

ml   m

 l  l  

0
l

được viết:

(2.26)

Trên đây, ta đã tìm được bổ chính bậc 1 cho năng lượng và hàm sóng do
đó trong phép gần đúng cấp 1 năng lượng và hàm sóng được biểu diễn
như ở phương trình (2.22) và (2.26).
Với bài toán này, ta có thể tìm được bổ chính bậc 2 và bậc 3 của hàm
sóng và năng lượng.


18

2.2.2 Bổ chính bậc 2 cho năng lượng và hàm sóng
Để tìm bổ chính bậc 2 cho năng lượng và hàm sóng, xuất phát từ hệ
phương trình (2.16) theo phương trình (b)
l   l Cl    Wln Cn 
2

1

1

1

n

 l   Wln Cn  l Cl  .
 2

1

1

1

n

Ta đã biết Cl1 =0 nên l 2   Wln Cn1
n

 2

 l
2

2

V
V  Vln
  Cl Wnl  nl0
  0 ln 0 .
0

n l
n  l l   n
n l l   n
1



( Vln  Vln* do tính hecmit của toán tử V )
 2

Vậy bổ chính bậc 2 cho năng lượng:  l
2

2

V
  0 ln 0 .
n l l   n

(2.27)

Khi đó trong phép gần đúng cấp 2 của năng lượng được viết:
2

V
l    Vll   0 ln 0 .
n  l l   n
0
l

(2.28)

Trong phép gần đúng cấp 2 hàm sóng đươc viết:



     C   C    C   
     1   C       C    C    .
 l   Cl0  Cl    2Cl
2

2

l

1

2

l

2

2

l

l

ml

ml
1
m

1
m

0
m

2

2
m

2

2
m

m

m

Trong phương trình này ta thấy l , Cm1 đã biết,  2Cm2 được xác định
từ hệ phương trình (2.17) theo phương trình (b’)


19

Cm  
2

 C  W
1
n

ml

1

1

0l  0m

 C  W

  2Cm    2

1
n

ml

2

 l Cm
1

mn

1

(2.29)

0l  0m

V V

 2

  Cm 
2

 l Cm

mn



0
l

ml
0
n



nl

mn

 



0
l

0
m

Vll Vml



 

0
l





0 2
m

.

Ta cần xác định Cl 2 , tương tự như phép gần đúng cấp 1, ta dùng
phương pháp chuẩn hóa hàm  ta có:



 l dq 1
2





 2

  1   Cl


2



  1   2Cl


     C
l

2



*

ml

1
m



 2

2



  C m m dq  1
2



*l   Cm   2Cm  *m
ml

1

2

*



1
2  2
2  2
 1   Cl l   Cm   Cm m  dq  1
ml









2

*

2

1   2Cl

2

2

2*

2

l

 1   2Cl    2Cl
2






  C     C      
 1   C    C      C    C     C    C  

 1   2Cl





l

2 *

  Cm   2Cm 
1

1
m

ml

   2 Cm  1
1

2

 2 2 R lCl   2 2Cl     2 Cm
2

1

ml

 Cl   
2

1
1
Cm

2 ml

2

*

ml

ml

2

2

2

2

2
m

*

1
m

2

1
m

2

2
m

2
m

*
m

m


20

 1   2Cl    2Cl
2

2 *

   2 Cm  1
1

2

ml

 2 2 R lCl   2 2Cl     2 Cm
2

2

1

2

ml

 Cl   
2

2
1
1
Cm .

2 ml

Bổ chính cấp 2 của hàm sóng là:
 l     2Cm m   2Cl l
2

2

2

ml

2

 2

 l

Vnl Vmn
Vll Vml m
1
Vml
  0



l .


m
2
0
0
0
0
0
0
0
2










ml ml  l
ml     
m l
l
m
n  l
m
l
m

Mà ta đã biết Wln 

0l  0n
.
h

Vậy bổ chính cấp 2 của hàm sóng được viết là:
 2

l

2

V
V V
VV 
1
  2 nl mn m   ll2 ml 2m  l  2 ml 2 .
2 ml h Wml
m  l m  l h Wln Wlm

m  l h Wln

Như vậy trong phép gần đúng cấp 2 hàm sóng có dạng:
 l   l0   l    l
1

2

Vml
V V
m   2 nl mn m
m  l hWlm
m  l m  l h Wln Wlm

  l   l0  

2

V
VV 
1
  ll2 ml 2m  l  2 ml 2 .
2 m l h Wml
m  l h Wln

2.2.3 Bổ chính bậc 3 cho năng lượng và hàm sóng
Từ hệ phương trình (2.16) theo phương trình (c)