Sử dụng hàm Green để giải một số bài toán truyền nhiệt

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN VẬT LÝ
-----oOo-----










VÕ THỊ CẨM LOAN
Lớp DH5L



KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGÀNH VẬT LÝ
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM
GREEN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
TRUYỀN NHIỆT

Giảng viên hướng dẫn: Th.S HỒ XUÂN HUY





Long Xuyên, 5-2008



LỜI CẢM ƠN
********


Trước tiên cho tôi được gởi lời cảm ơn chân thành
nhất tới Ban Giám Hiệu Trường Đại Học An Giang,
Ban Chủ Nhiệm Khoa sư Phạm, hội Đồng Khoa Học và
Đào Tạo Khoa sư Phạm Trường Đại Học An Giang, đã
tạo điều kiện để tôi được làm khoá luận, đã quan tâm và
đôn đốc tôi trong quá trình làm khoá luận này.
Xin cảm ơn sâu sắc nhất tới các thầy cô trong Tổ
Bộ Môn Vật Lý. Đặ
t biệt là giáo viên hướng dẫn Thạc
Sĩ Hồ Xuân Huy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi
hoàn thành khoá luận này.
MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU .......................................................................................Trang 1
1. Lý do chọn đề tài...................................................................................Trang 1
2. Mục đích nghiên cứu.............................................................................Trang 1

3. Đối tượng nghiên cứu ...........................................................................Trang 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................Trang 1
5. Phương pháp nghiên cứu.......................................................................Trang 2
6. Giả thuyết khoa học ..............................................................................Trang 2
7. Phạm vi nghiên cứu...............................................................................Trang 2
8. Đóng góp của khóa luận........................................................................Trang 2
9. Cấu trúc khóa luận ................................................................................Trang 2
PHẦN II: NỘI DUNG..................................................................................Trang 3
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI .............................................Trang 3
1.1 Lý luận về bài tập vật lý......................................................................Trang 3
1.2 Bài toán biên .......................................................................................Trang 6
1.3 Khái niệm toán tử, hàm riêng, trị riêng...............................................Trang 8
1.4 Phương pháp tách bi
ến......................................................................Trang 11
1.5 Phương pháp biến thiên tham số.......................................................Trang 15
CHƯƠNG II: XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN ....................Trang 17
2.1 Khái niệm hàm Green, tính đối xứng của hàm Green.......................Trang 17
2.2 Xây dựng phương pháp hàm Green ..................................................Trang 20
2.3 Hàm riêng, trị riêng cho hàm Green .................................................Trang 21
2.4 Hàm điều hòa. Biễu diễn Green ........................................................Trang 23
CHƯƠNG III: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN ĐỂ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRUYẾN NHIỆT .....................................Trang 27
3.1 Thiết lập phương trình truyền nhiệt ..................................................Trang 27
3.2 Bài toán biên phụ thuộc thời gian .....................................................Trang 30
3.2.1 Phương pháp tách biến Fourier cho bài toán truyền nhiệt .............Trang 30
3.2.2 Phương pháp hàm Green cho bài toán truyền nhiệt.......................Trang 33
3.2.3 Bài toán truyền nhi
ệt trong miền tròn ............................................Trang 35
3.3 Bài toán biên truyền nhiệt dừng ........................................................Trang 38
PHẦN III: KẾT LUẬN..............................................................................Trang 45

PHỤ LỤC 1...................................................................................................Trang 46
PHỤ LỤC 2...................................................................................................Trang 48











- 1-
PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương pháp toán lý là một học phần rất quan trọng trong chương trình đào tạo
giáo viên THPT. Giúp cho sinh viên làm quen dần với phương pháp toán học hiện đại
trong vật lý, hiểu rõ hơn bản chất của quá trình truyền sóng và quá trình truyền nhiệt
trong vật chất. Học phần này có liên quan đến nhiều môn học khác: điện và từ, điện
động lực, nhiệt động lực, vật lý thống kê, cơ học l
ượng tử,… Việc nghiên cứu học phần
này là cơ sở nghiên cứu các môn học khác. Vì thế việc nghiên cứu nó gặp nhiều khó
khăn. Bên cạnh đó học phần này có nhiều dạng bài tập, mỗi dạng lại có nhiều phương
pháp giải đòi hỏi sinh viên phải lựa chọn phương pháp giải phù hợp với mỗi dạng.
Cụ thể là bài tập phần truyền nhiệt có các phương pháp giải như
: phương pháp
tách biến Fourier, phương pháp biến đổi Laplace, phương pháp hàm Green, hàm Bessel
... Mỗi phương pháp đều có ưu điểm và hạn chế riêng.
Đối với một số dạng bài tập nhiều chiều, khi giải bằng phương pháp biến đổi

Fourier, phương trình Laplace, ... thì việc tìm nghiệm gặp khó khăn và giải rất phức tạp,
trong khi đó nếu dùng phương pháp hàm Green thì việc tìm nghiệm của bài toán là đơn
giản hơn nhiều, phương pháp hàm Green là phươ
ng pháp không giải trực tiếp phương
trình vi phân mà tìm hàm Green thông qua việc giải phương trình khác để tìm hàm
Green. Rồi biểu diễn nghiệm cần tìm thông qua hàm Green. Phương pháp hàm Green là
một phương pháp khó, tuy nhiên nó lại được áp dụng hiệu quả vào việc giải các bài toán
biên nhiều chiều. Nhưng các sách lý thuyết thường không đề cặp đến phương pháp này,
hoặc đề cặp quá ít, làm cho sinh viên gặp khó khăn trong việc áp dụng phương pháp này
vào bài tập. Yêu cầu bổ sung một phương pháp giải hiệu qu
ả cho bài toán truyền nhiệt
là rất cần thiết.
Với những lý do trên chúng tôi chọn đề tài : “Sử dụng phương pháp hàm Green
để giải một số bài toán truyền nhiệt”.
2. Mục đích nghiên cứu
• Tìm hiểu các bài toán truyền nhiệt.
• Cơ sở toán học cho phương pháp hàm Green.
• Dùng phương pháp hàm Green để tìm nghiệm của bài toán truyền
nhiệt.
3. Đối tượng nghiên cứu
• Cơ sở lý lu
ận về bài tập vật lý.
• Cơ sở toán học cho phương pháp hàm Green.
• Các bài tập truyền nhiệt .
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cứu cơ sở toán học cho việc xây dựng hàm Green.
• Xây dựng phương pháp hàm Green để tìm nghiệm của bài toán
truyền nhiệt.
• Giải một số bài toán truyền nhiệt bằng phương pháp hàm Green.

- 2-
5. Phương pháp nghiên cứu
• Đọc sách và tham khảo tài liệu.
• Phương pháp toán học.
• Phương pháp phân tích.
• Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu dùng phương pháp hàm Green thì có thể tìm được nghiệm của bài toán truyền
nhiệt.
7. Phạm vi nghiên cứu
• Các bài toán truyền nhiệt ứng với các điều kiện biên.
8. Đóng góp của khóa luận
• Có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên.
• Góp phần nâng cao kết quả học tập học phần phương pháp toán
lý cho sinh viên.
9. Cấu trúc của khoá luận: gồm
Phần I: Mở đầu.
Phần II : Nội dung nghiên cứu.
Chương I: Cơ sở lý luận của đề tài.
Chương II: Xây dựng phương pháp hàm Green.
Chương III: Sử dụng phương pháp hàm Green để giải một số bài
toán truyền nhiệt.
Ph
ần III: Kết luận

- 3-
PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
1.1 LÝ LUẬN VỀ BÀI TẬP VẬT LÝ:
1.1.1 Khái niệm về bài tập vật lý
Bài tập vật lý là một yêu cầu đặt ra cho người học, được người học giải
quyết dựa trên cơ sở các lập luận logic, nhờ các phép tính toán, các thí
nghiệm, dựa trên các kiến thức về khái niệm, định luật và các thuyết vật lý.
1.1.2 Vai trò và tác dụng của bài tập vật lý
Xét về mặt phát triển tính tự lực của ngườ
i học và nhất là rèn luyện kỷ
năng vận dụng kiến thức đã lĩnh hội được thì vai trò của bài tập vật lý trong
quá trình học tập có một giá trị rất lớn. Bài tập vật lý được sử dụng ở nhiều
khâu trong quá trình dạy học.
- Bài tập là một phương tiện nghiên cứu hiện tượng vật lý. Trong quá trình
dạy học vật lý người học được làm quen với bả
n chất của các hiện tượng vật
lý bằng nhiều cách khác nhau như: Kể chuyện, biểu diễn thí nghiệm, làm bài
thí nghiệm, tiến hành tham quan. Ở đây tính tích cực của người học và do đó
chiều sâu và độ vững chắc của kiến thức sẽ lớn nhất khi “tình huống có vấn
đề” được tạo ra, trong nhiều trường hợp nhờ tình huống này có thể làm xuất
hiện một kiểu bài tập mà trong quá trình gi
ải người học sẽ phát hiện lại quy
luật vật lý chứ không phải tiếp thu quy luật dưới hình thức có sẵn.
- Bài tập là một phương tiện hình thành các khái niệm. Bằng cách dựa vào
các kiến thức hiện có của người học, trong quá trình làm bài tập, ta có thể

cho người học phân tích các hiện tượng vật lý đang được nghiên cứu, hình
thành các khái niệm về các hiện tượng vật lý và các đại lượng vật lý.
-
Bài tập là một phương tiện phát triển tư duy vật lý cho người học. việc
giải bài tập làm phát triển tư duy logic, sự nhanh trí. Trong quá trình tư duy
có sự phân tích và tổng hợp mối liên hệ giữa các hiện tượng, các đại lượng
vật lý đặc trưng cho chúng.
- Bài tập là một phương tiện rèn luyện kỷ năng vận dụng các kiến thức của
người học vào thực tiễn. Đối vớ
i việc giáo dục kỹ thuật tổng hợp bài tập vật
lý có ý nghĩa rất lớn. Những bài tập này là một trong những phương tiện
thuận lợi để người học liên hệ lý thuyết với thực hành, học tập với đời sống.
Nội dung của bài tập phải đảm bảo các yêu cầu sau:
+ Nội dung của bài tập phải gắn với tài liệu thuộc chương trình đang h
ọc.
+ Hiện tượng đang được nghiên cứu phải được áp dụng phổ biến trong
thực tiển.
+ Bài tập đưa ra phải là những vấn đề gần với thực tế.
+ Không những nội dung mà còn hình thức của bài tập cũng phải gắn với
các điều kiện thường gặp trong cuộc sống. Trong các bài tập đó không có
sẵn dữ kiện mà phải tìm dữ kiện cầ
n thiết ở các sơ đồ, bản vẽ kỷ thuật, ở các
sách báo tra cứu hoặc từ thí nghiệm.

- 4-
- Bài tập về hiện tượng vật lý trong sinh hoạt hằng ngày cũng có một ý
nghĩa to lớn. Chúng giúp cho người học nhìn thấy khoa học vật lý xung
quanh chúng ta, bồi dưỡng cho người học khả năng quan sát. Với các bài tập
này, trong quá trình giải, người học sẽ có được kỷ năng, kỷ xảo vận dụng
các kiến thức của mình để phân tích các hiện tượng vật lý khác nhau trong

tự nhiên, trong kỷ thuật và trong đời số
ng, đặc biệt có những bài tập khi giải
đòi hỏi người học phải sử dụng kinh nghiệm trong lao động, sinh hoạt và sử
dụng những kết quả quan sát thực tế hằng ngày.
- Bài tập vật lý là một phương tiện để giáo dục người học, nhờ bài tập vật
lý ta có thể giới thiệu cho người học biết sự xuất hiện những tư tưởng, quan
đ
iểm tiên tiến, hiện đại, những phát minh, những thành tựu của nền khoa
học trong và ngoài nước. Tác dụng giáo dục của bài tập vật lý còn thể hiện ở
chổ: chúng là phương tiện hiệu quả để rèn luyện đức tính kiên trì, vượt khó,
ý chí và nhân cách của người học. Việc giải bài tập vật lý có thể mang đến
cho người học niềm phấn khởi sáng tạo, tăng thêm sự yêu thích bộ môn,
tăng cườ
ng hứng thú học tập.
- Bài tập vật lý cũng là phương tiện kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức
và kỷ năng, kỷ xảo của người học. Đồng thời nó cũng là công cụ giúp người
học ôn tập, đào sâu, mở rộng kiến thức.
1.1.3 Cơ sở định hướng giải bài tập vật lý
1.1.3.1 Hoạt động giải bài tập vật lý
−
Mục tiêu cần đạt tới khi giải một bài toán vật lý là tìm được
câu trả lời đúng đắn, giải đáp được vấn đề đặt ra một cách có căn cứ
khoa học chặt chẽ. Quá trình giải một bài toán thực chất là tìm hiểu
điều kiện của bài toán, xem xét hiện tượng vật lý được đề cập và dựa
trên kiến thức vật lý toán để nghĩ tới mối liên hệ có th
ể có của cái đã
cho và cái cần tìm sao cho có thể thấy được cái phải tìm có mối liên hệ
trực tiếp hoặc gián tiếp với cái đã cho, từ đó đi đến chỉ rõ được mối
liên hệ tường minh trực tiếp của cái phải tìm chỉ với cái đã biết nghĩa
là đã tìm được lời giải đáp cho bài toán đặt ra.

− Hoạt động giải bài toán vật lý có hai phần việc cơ b
ản quan
trọng là:
1. Việc xác lập các mối liên hệ cơ bản cụ thể dựa trên sự vận
dụng kiến thức vật lý vào điều kiện cụ thể của bài toán đã cho.
2. Sự tiếp tục luận giải, tính toán đi từ mối liên hệ đã xác lập
được đến kết luận cuối cùng của việc giải đáp vấn đề đượ
c đặt ra trong
bài toán đã cho.
− Sự nắm vững lời giải của một bài toán vật lý phải thể hiện ở
khả năng trả lời được câu hỏi: việc giải bài toán này cần xác lập được
mối liên hệ nào? Sự xác lập các mối liên hệ cơ bản này dựa trên sự
vận dụng kiến thức vật lý nào? Vào điều kiện cụ thể nào của bài toán?
−
Đối với bài tập định tính, ta không phải tính toán phức tạp
nhưng vẫn cần có suy luận logic từng bước để đi đến kết luận cuối
cùng.

- 5-
1.1.3.2 Phương pháp giải bài tập vật lý
Xét về tính chất của các thao tác tư duy khi giải các bài tập
vật lý người ta thường sử dụng hai phương pháp sau:
− Phương pháp phân tích: theo phương pháp này điểm xuất
phát là các đại lượng cần tìm. Người giải phải tìm xem đại lượng chưa
biết này có liên quan gì tới đại lượng vật lý khác, và khi biết được sự
liên hệ này thì biểu diễn nó thành những công thức tương ứng, cứ
làm
như thế cho đến khi nào biểu diễn được hoàn toàn đại lượng cần tìm
bằng những đại lượng đã biết thì bài toán đã được giải xong. Như vậy,
phương pháp này thực chất là đi phân tích một bài toán phức tạp thành

những bài tập đơn giản hơn, rồi dựa vào những quy tắc tìm lời giải mà
lần lượt giải các bài tập đơn giản này, từ đó đi đế
n lời giải cho bài toán
phức tạp trên.
− Phương pháp tổng hợp: theo phương pháp này suy luận
không bắt đầu từ đại lượng cần tìm mà bắt đầu từ đại lượng đã biết, nó
nêu trong đề bài. Dùng công thức liên hệ các đại lượng này với các đại
lượng chưa biết, ta đi dần đến công thức cuối cùng, trong đó chỉ có
một đại lượng chưa biết là đại lượ
ng cần tìm.
Nhìn chung, việc giải bài tập vật lý phải dùng chung hai phương
pháp phân tích và tổng hợp. Phép giải bắt đầu bằng phân tích các điều
kiện của bài toán để hiểu đề bài và phải có sự tổng hợp kèm theo ngay
để kiểm tra lại mức độ đúng đắn của các sự phân tích ấy. Muốn lập kế
hoạch giải phải đi sâu phân tích nội dung vật lý của bài tập, tổng hợp
nhữ
ng dữ kiện đã cho với những quy luật vật lý đã biết ta mới xây
dựng được lời giải và kết quả cuối cùng.
1.1.3.3 Các bước chung của giải bài toán vật lý
Từ phân tích về thực chất hoạt động giải bài toán, ta có đưa ra
một cách khái quát các bước chung của tiến trình giải của một bài toán
vật lý và các hoạt động chính trong các bước, đó là:
Bước 1:
− Tìm hiểu đề bài
− Đọ
c ghi ngắn gọn các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm.
− Mô tả lại tình huống đã nêu trong đề bài, vẽ hình minh họa.
− Nếu đề bài yêu cầu thì phải dùng đồ thị hoặc làm thí nghiệm
để thu được các dữ liệu cần thiết.
Bước 2: Xác lập những mối liên hệ cơ bản của các dữ liệu xuất

phát và cái phải tìm.
− Đối chiếu với các dữ liệu xuất phát và cái ph
ải tìm, xem xét
bản chất vật lý của những tình huống đã cho để nghĩ đến các kiến
thức, các định luật, các công thức có liên quan.
− Xác lập các mối liên hệ cơ bản, cụ thể của các dữ liệu xuất
phát và của cái phải tìm

- 6-
− Tìm kiếm lựa chọn các mối liên hệ tối thiểu cần thiết sao cho
thấy được mối liên hệ của cái phải tìm với các dữ liệu xuất phát, từ đó
có thể rút ra được cái cần tìm.
Bước 3: Rút ra kết quả cần tìm.
Từ các mối liên hệ cần thiết đã xác lập, tiếp tục luận giải, tính
toán để rút ra kết quả cần tìm.
Bước 4: Kiểm tra xác nhận k
ết quả, để có thể xác nhận kết quả
cần tìm cần kiểm tra lại việc giải theo một hoặc một số cách sau:
− Kiểm tra xem có tính toán đúng chưa.
− Kiểm tra xem thứ nguyên có phù hợp không.
− Giải bài toán theo cách khác xem có cùng kết quả không.
Tuy nhiên, trong nhiều bài tập không nhất thiết phải tách bạch
một cách cứng nhắc giữa bước 2 và bước 3. Tùy từng bài toán mà ta
có thể kết hợp hai bước đó thành m
ột trong tiến trình luận giải.
1.1.3.4 Lựa chọn bài tập vật lý
Vấn đề lựa chọn bài tập vật lý góp phần không nhỏ vào việc
nâng cao chất lượng học tập môn vật lý của người học và việc lựa
chọn bài tập phải thỏa mãn các yêu cầu sau:
− Các bài tập phải đi từ dễ đến khó, đơn giản đến phức tạp, giúp

người học nắm đượ
c phương pháp giải các bài tập điển hình.
− Hệ thống bài tập cần bao gồm nhiều thể loại bài tập
− Lựa chọn các bài tập nhằm kích thích hứng thú học tập và
phát triển tư duy của người học.
− Các bài tập nhằm cũng cố, bổ sung và hoàn thiện tri thức cụ
thể đã học, cung cấp cho người học những hiểu biết về thự
c tế, kỹ
thuật có liên quan với kiến thức lý thuyết.
− Lựa chọn các bài tập điển hình nhằm hướng dẫn cho người
học vận dụng kiến thức đã học để giải những loại bài tập cơ bản, hình
thành phương pháp chung để giải các loại bài tập đó.
− Lựa chọn các bài tập sao cho có thể kiểm tra được mức độ
nắm v
ững tri thức của người học.
1.2 Bài toán biên
Xét phương trình vi phân tuyến tính có dạng
)()()(...)()()(
1
1
1
10
xFyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx

yd
xayL
nn
n
n
n
n
=++++=
−
−
−
(1.2.1)
Trong đó: a
0
(x), a
1
(x),…,a
n
(x) là các hàm liên tục trong khoảng
bxa ≤≤
và
0)(
0
≠xa trong khoảng
bxa ≤≤
.Cách chung để giải phương trình (1.2.1) là: trước hết
giải phương trình thuần nhất cấp n là L(y)=0, thu được một tập nghiệm cơ bản {y
1
(x),
y

2
(x),…, y
n
(x)}, nghiệm tổng quát y
c
của phương trình thuần nhất là một tổ hợp tuyến
tính của tập nghiệm cơ bản:

- 7-
y
c
= C
1
y
1
(x)+C
2
y
2
(x)+…+C
n
y
n
(x), (1.2.2)
trong đó: C
1
, C
2, …,
C
n

là các hằng số tùy ý.
Tiếp theo tìm bất cứ nghiệm riêng y
p
nào của phương trình vi phân không thuần
nhất L(y) = F(x). Để giải phương trình này, ta thường dùng phương pháp hệ số bất định
hoặc phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm riêng . Khi đó nghiệm tổng quát
của phương trình (1.2.1) sẽ là y = y
c
+ y
p
.
Trong các bài toán ứng dụng , nghiệm phương trình vi phân (1.2.1) đòi hỏi phải
thỏa mãn các điều kiện bổ sung nào đó. Số điều kiện này trong hầu hết các ứng dụng
bằng cấp cao nhất của phương trình.Ví dụ, đối với phương trình vi phân cấp 2:
0)()()(
21
2
2
0
=++ xa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
,
bxa ≤≤
(1.2.3)
bị lệ thuộc bởi điều kiện bổ sung tại x = a có dạng :

,)(,)(
/
βα
== ayay với
α
,
β
là các hằng số.
Phương trình vi phân với điều kiện bổ sung được xem như là một bài toán cho
trước giá trị ban đầu. Bài toán giá trị ban đầu thường có nghiệm duy nhất. Khi phương
trình vi phân (1.2.3) bị hạn chế bởi hai điểm khác nhau, tức là x = a và x = b phương
trình có dạng :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≠+=+
≠+=+
0,)()(
0,)()(
2
22
2
21
/
2221
2
12
2

11
/
1211
ccaycayc
ccaycayc
β
α
(1.2.4)
Trong đó:
α
,,,,
22211211
cccc
và
β
là các hằng số
Điều kịên bổ sung (1.2.4) được gọi là
điều kiện biên
.
Phương trình vi phân (1.2.3) với điều kiện biên (1.2.4) được gọi là
bài toán biên
.
Nghiệm của bài toán biên phụ thuộc vào điều kiện biên . Bài toán biên không chỉ có
một nghiệm mà nó có vô số nghiệm. Điều kiện biên có dạng
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+++

=+++
β
α
)()()()(
)()()()(
/
2423
/
2221
/
1413
/
1211
aycaycbycbyc
bycbycaycayc

Trong đó: c
ij
, i= 1,2, j=1,2,3,4 và
α
,
β
là các hằng số; được gọi là điều kiện biên
hỗn hợp.
Bài toán biên hỗn hợp thường khó giải. Xét phương trình tuyến tính cấp 1:
( ) ( ) ( ). (1.2.5)
dy
Ly pxy qx
dx
=+ =

Để giải phương trình (1.2.5), trước hết giải phương trình thuần nhất:
( ) ( ) 0 (1.2.6)
dy
Ly pxy
dx
=+ =

Để thu được nghiệm tổng quát y
c
. Ta có thể tách biến phương trình (1.2.6) có
dạng:

- 8-
( ) (1.2.7)
dy
pxdx
y
=−

Đặt:
∫
=
x
dpxP
0
)()(
ξξ
với
( ) (1.2.8)

dP
px
dx
=

Tích phân (1.2.7) thu được
CxPCxPCxPy
eCeCyeeee
CxP
==⇒==⇒
+−=
−−+−
1
)(
1
)()(ln
,
)(ln
y

Vậy nghiệm tổng quát của (1.2.6) là
)(
1
xP
C
eCy
−
=
Dùng phương pháp biến thiên hằng số và giả thiết một nghiệm riêng có dạng
)(

)(
xP
p
exuy
−
=
, trong đó C
1
ở trong nghiệm tổng quát đã được thay thế bằng hàm chưa
biết u(x), nghiệm giả định này có đạo hàm là
)()(
))(()(
xPxP
p
e
dx
du
xpexu
dx
dy
−−
+−=
Thay y
p
và
dx
dy
p
vào phương trình không thuần nhất (1.2.5) ta có
∫

==⇒=⇒=+
−
x
PxP
p
p
deqxuuxqe
dx
du
xqyxp
dx
dy
0
)()(
.)()()()()(
ξξ
ξ

Suy ra nghiệm riêng
∫
−
=
x
PxP
p
deqey
0
)()(
.)(
ξξ

ξ

Nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.5) có dạng
() ()
1
0
( ) (1.2.9)
x
Px P
Cp
yy y e C q e d
ξ
ξξ
−
⎡⎤
=+= +
⎢⎥
⎣⎦
∫

1.3 Khái niệm toán tử, hàm riêng, trị riêng:
1.3.1.Toán tử
:
Toán tử
là một qui tắc toán học dùng để biến đổi một hàm này sang
hàm khác có cùng bản chất:

(1.3.1)
Trong đó toán tử
^

A
được kí hiệu bằng chữ có mũ, còn qui tắc tác
dụng của nó được viết dưới dạng một phép nhân
ψ
với
^
A
và được gọi là
“toán tử
^
A
tác dụng lên hàm
ψ
cho hàm
ϕ
”
^
ψ ϕ
=A


- 9-
Để làm sáng tỏ ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1
: Toán tử toạ độ hay toán tử nhân

^
A
=
^

x
=
x


() () ()
^
x xxxx
ϕψψ
==
(1.3.2)
Ví dụ 2
: Toán tử vi phân

^
^
,==
dd
A
dx dx


() () ()
^
dd
x xx
dx dx
ϕψψ
==
(1.3.3)

Ví dụ 3
: Toán tử Laplace:

222
2
222
x yz
∂ ∂∂
∇= + +
∂ ∂∂


() ()
222
2
222
xx
x yz
ψ ψψ
ϕψ
∂ ∂∂
=∇ = + +
∂ ∂∂
(1.3.4)

Vì các hàm
ψ
và
ϕ
ở trong biểu thức (1.3.1) nói chung là những hàm phức

cho nên các toán tử trong trường hợp tổng quát cũng là những toán tử phức.
Trong số tất cả những toán tử có thể có ta chỉ xét một lớp quan trọng những
toán tử, đó là những toán tử tuyến tính.
Tóan tử
^
A
được gọi là một toán tử tuyến tính nếu nó thoả mãn đòi hỏi
sau:

()
^^^
1122 1122
ψ ψψψ
+= +A CC CACA
(1.3.5)
trong đó
12
,
ψ ψ
là hai hằng số tuỳ ý, còn
12
,CC
là những hằng số phức tuỳ
ý.
Từ định nghĩa (1.3.5) ta thấy tính chất tuyến tính của toán tử
^
A

biểu thị nguyên lí chồng chất trạng thái. Thật vậy theo định nghĩa về toán tử
(1.3.1) ta có:

^^
11 2 2
,
ψ ϕψϕ
= =AA
, nên (3.5) trở thành:
()
^^ ^
1 1 2 2 11 22 11 2 2
ψ ψϕϕ ψψϕ
+ =+ = + =CA CA C C AC C


- 10-
Nghĩa là
ϕ
là tổ hợp tuyến tính của hai hàm
12
,
ϕ ϕ
. Hay nói cách
khác, kết quả tác dụng của một toán tử tuyến tính lên một hàm là tổ hợp
tuyến tính của hai hàm
12
,
ψ ψ
thì bằng tổ hợp của những kết quả tác dụng
của toán tử đó lên mỗi hàm riêng biệt.
Rõ ràng rằng các toán tử

^
x
;
^
d
dx
và
2
∇
trong các thí dụ (1), (2),
(3) là những toán tử tuyến tính. Còn toán tử chứa tác dụng lấy căn số (hay
toán tử
) không phải là toán tử tuyến tính. Tất cả các toán tử dùng trong
phương trình vật lý toán là những toán tử tuyến tính ; do đó về sau này khi
nói đến toán tử là ta ngụ ý nói đến các toán tử tuyến tính.
1.3.2 Hàm riêng, trị riêng và phương trình trị riêng của toán tử.
Nói chung khi cho toán tử A tác dụng lên hàm
()
xΨ
thì ta được hàm
số
() ()
xx
ψϕ
≠
. (Với
( )
x
là tập hợp biến số nào đó). Nhưng cũng có trường
hợp ta lại được chính hàm số đó nhân thêm với một hằng số. Tức là:

^
A
( )
xΨ
= A
( )
xΨ

Khi đó ta nói
( )
xΨ
là hàm riêng của toán tử
^
A
và phương trình trên
gọi là phương trình trị riêng của toán tử
^
A
. còn A được gọi là trị riêng ứng
với hàm riêng
( )
xΨ
của toán tử
^
A
.
Một toán tử có thể có nhiều hàm riêng và mỗi hàm riêng thì ứng với
một trị riêng ( cũng có thể có trường hợp một trị riêng ứng với nhiều hàm
riêng, trường hợp này gọi là trị riêng có suy biến), nên ta đánh chỉ số để

phân biệt các phương trình trị riêng và được viết như sau:
^
A
() ( )
xuAxu
nnn
=

Trong đó
( )
xu
là hàm riêng ứng với trị riêng
n
A
(n = 1;2;3;4;5…). Số
trị riêng có thể có là hữu hạn hay vô hạn; có thể là gián đoạn hay liên tục.
Để tìm hàm riêng và trị riêng của một toán tử, ta phải giải phương
trình trị riêng của một toán tử đó.
Thí dụ: Cho toán tử
^
A
=
()
x
i
∂
∂
−
. Hãy tìm hàm riêng và trị riêng của
toán tử

^
A
, biết rằng hàm riêng tuần hoàn trong khoảng
()
L,0.
Gọi
n
A và
( )
xu
n
là trị riêng và hàm riêng tương ứng của toán tử
^
A

thì phương trình trị riêng của toán tử
^
A
là:

- 11-
()
nn
n
uA
x
u
i =
∂
∂

−
( ta không viết đối số tọa độ để khỏi rờm rà)
xiA
u
u
n
n
n
∂=
∂

.lnln CxiAu
nn
==⇒

xiA
n
n
Ceu =⇒
Với C là hằng số được xác định từ điều kiện chuẩn hóa.
Vì hàm số tuần hoàn trong khoảng
( )
L
,0
nên ta có
() ( )
Luu
nn
=
0. Tức

là:
1=⇒=
LiALiA
nn
eCeC

( )
π
nLA
LA
n
n
2
1cos
=⇒
=⇒

Từ đó ta được
L
n
A
n
π
2
= . ( n= 0;2;3;…).
Ta thấy A
n
có giá trị gián đoạn theo số nguyên n.
Còn hàm riêng tương ứng với A
n

là:
()
x
L
ìn
n
Cexu
π
=
.
1.4. Phương pháp tách biến
Phương pháp tách biến nhằm xây dựng một nghiệm
µ
của phương trình đạo hàm
riêng cho trước thông qua các hàm có biến số ít hơn. Nói cách khác, ta phỏng đoán rằng
µ
có thể được viết dưới dạng tổng hoặc tích của các hàm có biến số ít hơn và tách
nhau, thay nó vào phương trình đạo hàm riêng để chọn các hàm đó phải đảm bảo
µ

thực sự là nghiệm phương trình. Kỹ thuật này sẽ được minh họa trong các ví dụ sau.
Ví dụ 1: Cho U
⊂ ℜ
n
là một miền bị chặn với biên trơn. Ta xét bài toán giá trị
biên-ban đầu đối với phương trình truyền nhiệt
trong U
( )
∞×
,0

trên
[
)
∞×∂
,0
U

( )
1.4.1

trênU
{ }
0
=×
t

Ở đây g: U
ℜ→
là hàm cho trước. Ta giả định tồn tại một nghiệm có dạng
() ()()
xwtvtx =,
µ

( )
0; ≥∈ tUx
;
( )
1.4.2

Có nghĩa là, ta xem nghiệm của
( )
1.4.1
như là tích của hai hàm số với các biến
( )
1,......., n
x xxU=∈
và biến t
[ ]
T,0∈
tách ra với nhau.
Bây giờ ta đi tìm v và w. Để làm điều đó ta tính
0
0
t
g
µµ
µ
µ
−∆ =
⎧
⎪
=
⎨
⎪
=
⎩

- 12-
() ()( )

xwtvtx
t
,
, =
µ
,
( ) ( ) ( )
xwtvtx ∆=∆ ,
µ

Từ đó
( ) ( )
0, ,
t
x txt
µµ
=−∆=
( ) ( )
xwtv
,

( ) ( )
vt wx−∆

Nếu và chỉ nếu
()
()
()
()
xw

xw
tv
tv ∆
=
,

( )
1.4.3

Với mọi x
U∈
và t >0 sao cho v
( )
t
, w
( )
t
≠
0. Chú ý rằng vế trái của
( )
1.4.3
chỉ
phụ thuộc vào t và vế phải chỉ phụ thuộc vào x. Điều này chỉ xảy ra khi chúng là hằng
số, tức là:
()
()
()
()
xw
xw

tv
tv ∆
==
µ
,
( t
Ux ∈≥ ,0
).
Khi đó
/
v
µν
=
(1.4.4)
ww
µ
=∆
(1.4.5)
Ta giải các phương trình này để tìm các hàm chưa biết w,v và hằng số
µ
.
Trước hết, để ý rằng, nếu
µ
đã biết, nghiệm của (1.4.4) là v=de
t
µ
với d là hằng
số tùy ý. Vì thế, ta chỉ cần nghiên cứu phương trình (1.4.5).
Ta nói rằng
λ

là một giá trị riêng của toán tử -
∆
trong U ( với điều kiện biên
bằng 0) nếu tồn tại một hàm
0≠w
thõa mãn
trong U
trên
U∂
.
Ta gọi hàm
w
là hàm riêng tương ứng, ta đặt
λµ
−=
để tìm
wde
t
λ
µ
−
−=
(1.4.6)
Thỏa mãn

trong U
( )
∞×
,0
(1.4.7)

trên
[
)
∞×∂
,0
U

với điều kiện ban đầu
( )
dw
=
0.,
µ
. Do đó hàm
µ
được xác định bởi (1.4.6) thỏa
mãn (1.4.1), với điều kiện
dwg =
. Tổng quát hơn, nếu
n
λλ
,.....,
1
là các giá trị riêng ,
n
ww ,......,
1
là các hàm riêng tương ứng và
m
dd ,....,

1
là các hằng số, thì
⎩
⎨
⎧
=
=∆−
0w
ww
λ
⎩
⎨
⎧
=
=∆−
0
0
µ
µµ
t

- 13-

k
t
m
k
k
wed
k

λ
µ
−
=
∑
=
1
(1.4.8)
Thỏa mãn các điều kiện ban đầu
( )
=0.,
µ
k
k
k
wd
∑
∞
=
=
1
µ
. Nếu ta có thể tìm
được
,.....,
1
wm
v.v. sao cho
gwd
k

k
k
=
∑
∞
=1
trong U (1.4.9)
Với các hằng số thích hợp
,.......,
21
dd
khi đó
k
t
k
k
wed
k
λ
µ
−
∞
=
∑
=
1
(1.4.10)
Sẽ là nghiệm của bài toán (1.4.1).
Đây là một công thức biểu diễn nghiệm rất đẹp, nhưng nó dựa vào:
Khả năng tìm các giá trị riêng, các hàm riêng và các hằng số thỏa mãn (1.4.9)

Chuỗi (1.4.10) hội tụ theo một nghĩa thích hợp nào đó.
Ví dụ 2: Tiếp theo ta sử dụng kỹ thuật tách biến để tìm nghiệm của phương trình
môi trường tổ ong.
( )
0=∆−
γ
µµ
t
trong
( )
∞×ℜ ,0
n
(1.4.11)
Trong đó nghiệm
0≥
µ
và 1>
γ
là hằng số. Đây là một phương trình khuếch tán
phi tuyến, với tốc độ khuếch tán của mật độ
µ
phụ thuộc vào chính
µ
.
Như ở ví dụ trứơc, ta tìm một nghiệm dạng
() ()()
xwtvtx =,
µ

( )

0; ≥ℜ∈ tx
n
(1.4.12)
Thế vào
( )
1.6.11
, ta được
()
()
( )
()
xw
xw
tv
tv
γ
γ
µ
∆
==
,
(1.4.13)
Với hằng số
µ
nào đó và với
n
x ℜ∈∀
, t
0≥
sao cho

() ()
.0, ≠tvxw

Ta giải phương trình vi phân thường đối với v và tìm được
()()
λ
λµγ
−
+−=
1
1
1 tv
, với hằng số
0>
λ
nào đó.Để tìm w ta xét phương trình
đạo hàm riêng
( )
uww =∆
γ
(1.4.14)
Ta dự đoán rằng nghiệm w có dạng
α
xw =
với hằng số
α
sẽ được xác định
sau. Khi đó

- 14-

()
( )
2
2
−
−=−=∆−
αλα
γ
αγαγ
xnxuwuw
(1.4.15)
Vì vậy, để (1.4.14) thỏa mãn trong
n
ℜ
, trước hết ta đòi hỏi rằng
2−=
αγα
và từ
đó
1
2
−
=
γ
α
(1.4.16)
Tiếp theo, từ (1.4.15) dễ thấy rằng cần đặt
()
02
>−+= n

αγαγµ
(1.4.17)
Tóm lại, với mỗi
0
>
λ
hàm
()()
α
γ
λγµ
xut
−
+−=
1
1
1

Thỏa mãn phương trình
( )
1.4.11
, các tham số
µα
,
được xác định bởi (1.4.16),
(1.4.17).
Trong các ví dụ trên, sự tách biến được thực hiện dựa vào tính thuần nhất phi
tuyến tương thích với hàm
µ
có dạng tích (1.4.12). Ở trường hợp khác, ta sẽ tìm

nghiệm, trong đó các biến được tách dưới dạng một tổng các hàm số.
Ví dụ 3: Xét phương trình Hamilton- Jacobi.
()
0=+ DuH
t
µ
trong
( )
∞×ℜ ,0
n
(1.4.18)
Và tìm một nghiệm
µ
có dạng
() () ( )
xwtvtx +=,
µ

).0,( ≥ℜ∈ tx
n

Khi đó
() ( )()( ) ( )( )
xDwHtvtxDuHtx
t
+=+=
,
,,0
µ

Nếu và chỉ nếu
()()()
tvxDwH
,
−=

( )
,0, >ℜ∈ tx
n

Với hằng số
µ
nào đó. Vì thế, nếu
()
µ
=DwH

Với
,R∈
µ
thì
() ()
butxwtx +−=,
µ

Sẽ thõa mãn
( )
0== DuH
t
t

µ
với hằng số b nào đó. Đặc biệt, nếu chọn
()
xaxw .=
với
n
a ℜ∈
và đặt
( )
aH=
µ
, tìm được nghiệm
()
btaHxa =−=
.
µ
.
Dựa vào tích phân đầy đủ và hàm bao tìm được nghiệm.

- 15-
1.5. Phương pháp biến thiên tham số:
Để trực tiếp thu được nghiệm của phương trình
2
2
()
du
fx
dx
=
, ta xét bài toán

không thuần nhất tổng quát:
() ()Lu f x
=

Xác định trong khoảng a <x < b, phụ thuộc vào hai điều kiện thuần nhất, trong đó
L là toán tử Sturm –Liouville có dạng
.
ddu
Lpq
dx dx
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠

Khi p = 1, q = 0 ta được toán tử của phương trình truyền nhiệt trong trạng thái
dừng
2
2
du
L
dx
=

Phương trình vi phân thường không thuần nhất luôn có thể giải bằng phương pháp
biến thiên tham số, nếu biết hai nghiệm của phương trình không thuần nhất
1
()ux
và
2

()ux
. Theo phương pháp biến thiên tham số, nghiệm riêng của phương trình
() ()Lu f x
=
được tìm dưới dạng
11 2 2
uuv uv=+

Khi đó
1
v
và
2
v
là hàm phụ thuộc vào x chưa được xác định. Phương trình vi
phân gốc có một hàm chưa biết, vì rằng có một bậc tự do thêm vào là du/dx. Nếu
1
v
và
2
v
là hằng số thì
12
12
du dudu
vv
dx dx dx
=+

Vì

1
v
và
2
v
không phải là hằng số nên
12
12
0
dv dv
uu
dx dx
+=

Vi phân
() ()Lu f x
=
được thoã mãn nếu
112 2
().
dv du dv du
p pfx
dx dx dx dx
+=

Phương pháp biến thiên tham số tạo ra hai phương trình vi phân cho các hàm
chưa biết
1
/dv dx
và là:

- 16-
122
21
12
211
21
12
;
dv fu fu
du du
dx c
pu u
dx dx
dv fu fu
du du
dx c
pu u
dx dx
−−
==
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
−−
==
⎛⎞
−
⎜⎟

⎝⎠

Trong đó
21
12
du du
cpu u
dx dx
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
, hằng số c tuỳ thuộc vào việc lựa chọn
1
u

và
2
u
.
Nghiệm tổng quát
() ()Lu f x=
được cho bởi
11 2 2
uuv uv= +
, ở đây
1
v
và
2

v

được xác định bởi tích phân của
1
/dv dx
và
2
/dv dx
ở trên.
Ta định nghĩa
Wronskian
w là đại lượng
21
12
du du
Wu u
dx dx
=−

Nó thoả mãn phương trình vi phân cơ bản
22
21 21
12 12
22
//
du du du du
dW dp dx dp dx
uu uu W
dx dx dx p dx dx p
⎛⎞

=−=− −=−
⎜⎟
⎝⎠

Trong đó, các phương trình vi phân thuần nhất
1
() 0L u
=
và
2
()0L u =
được
dùng đến. Giải phương trình trên suy ra
/Wcp
=
hay là
pWc
=
.
Tiểu kết :
Trong chương này chúng tôi đã nêu lên khái niệm về bài tập vật lý, tầm quan
trọng của bài tập vật lý. Trình bày các cơ sở toán học cơ bản, cần thiết cho việc xây
dựng phương pháp hàm Green.

- 17-
CHƯƠNG II: XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP
HÀM GREEN
2.1. Khái niệm hàm Green. Tính đối xứng của hàm Green
Để đưa vào khái niệm hàm Green, chúng ta bắt đầu với các toán tử vi phân cấp 2
có dạng đồng nhất với hàm Green. Mọi toán tử vi phân cấp 2 có dạng
)1.1.2()()()()(
21
2
2
0
yxa
dx
dy
xa
dx
yd
xayL
x
++=

Các toán tử liên hợp đồng dạng với nó là:
)2.1.2()()]()(2[)()(
)(])([])([)(
21
/
0

2
2
0
*
210
2
2
*
yxa
dx
dy
xaxa
dx
yd
xayL
yxayxa
dx
d
yxa
dx
d
yL
x
x
+−+=⇒
+−=

Cho hai hàm u(x) và v(x) là hai hàm liên tục tùy ý cùng với đạo hàm cấp 1 và cấp
2 của nó. Dùng hai toán tử (2.1.1) và (2.1.2) để xác định đồng nhất thức Lagrange của
hai hàm u(x) và v(x) như sau

)3.1.2()],([)()(
*
vuP
dx
d
vuLuvL
xx
=−

Trong đó
)4.1.2()()()()(),(
/
0010
uvxa
dx
dv
xavuxa
dx
du
xavuP
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
⎥
⎦
⎤

⎢
⎣
⎡
+=

Được gọi là hàm song tuyến.
Đồng nhất thức Lagrange của 2 hàm khả vi u(x) và v(x) được xác định trên miền
{}
bxaxI ≤≤= /
. Tích phân đồng nhất thức (2.1.3) ta có đồng nhất thức các hàm
Green.
[]
)5.1.2(,),()]()([
*
∫
=−
b
a
b
a
xx
vuPdxvuLuvL

Trong đó
[]
)()]()()()([)()]()()()([
)()]()()()([)()]()()()([),(
/
0
/

01
/
0
/
0
/
01
/
0
auavaaavaaavauaaauaa
bubvbabvbabvbubabubavuP
b
a
+−+−
−+−+=

Định nghĩa tích hàm của đồng nhất thức Green:
∫
=
b
a
xx
dxuvLuLv )6.1.2(.)())(,(

Tích phân từng phần tích hàm thu được
+= ))(,())(,(
*
vLuuLv
xx
các hạng thức trên biên.

- 18-
Sử dụng đồng nhất thức Green cho thích hợp để tìm nghiệm phương trình với biên
ở hai điểm như sau
)7.1.2(
)(;)(
);()(
2211
⎩
⎨
⎧
==
=
gyBgyB
xfyL
x

Trong đó: L
x
là toán tử tuyến tính cho bởi (2.1.1); g
1
; g
2
là các hằng số và B
1
, B
2

là các toán tử biên tuyến tính dạng Robin:
bx

ax
xy
dx
xdy
yB
xy
dx
xdy
yB
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
)(
)(
)(
;)(
)(

)(
222
111
βα
βα
(2.1.8)
Sử dụng đồng nhất thức Green để giải bài toán biên Dirichlet
12
( ) ( ); (2.1.9)
() () 0, () () 0(2.1.10)
x
L yfx
By ya By yb
=
== ==

Để giải phương trình này, đổi biến x trong phương trình (2.1.1) và (2.1.5) thành
biến mới
ξ
và viết đồng nhất thức Green theo biến mới
[]
)11.1.2(,))(),(()]()()()([
*
∫
=−
b
a
b
a
vuPdvLuuLv

ξξξξξ
ξξ

Trong phương trình (2.1.11), biến
ξ
được dùng như một biến giả của phép lấy
tích phân và vì thế các toán tử
*
ξξ
LvàL
là toán tử đạo hàm đối với
ξ
.
Để giải phương trình (2.1.9) với điều kiện (2.1.10), đặt u(
ξ
) = y(
ξ
) là nghiệm
của phương trình (2.1.9) với x thay bằng
ξ
và u thay bằng y trong đồng nhất thức
Green. Như vậy, đồng nhất thức Green (2.1.11) thay
)()(
ξ
ξ
fyL =
ta có
∫∫
=−
b

a
b
a
b
a
vyPdvLydfv )12.1.2())](),(([)()()()(
*
ξξξξξξξ
ξ

Trong đó:
[]
)()]()()()([)()]()()()([
)()]()()()([)()]()()()([),(
/
0
/
01
/
0
/
0
/
01
/
0
ayavaaavaaavayaaayaa
bybvbabvbabvbybabybavyP
b
a

+−+−
−+−+=

(2.1.13)
Chọn v(
ξ
) = G
*
(
ξ
;x) là hàm Green thỏa mãn điều kiện
)14.1.2(,),());((
**
baxxGL ≤≤−=
ξξδξ
ξ

Nó là phương trình liên hợp với đạo hàm trong
*
ξ
L
(đạo hàm theo biến
ξ
),
)(
ξδ
−x
là hàm Delta Dirac có tính chất

- 19-

∫
+=
−=
=−
εξ
εξ
ξξδξ
x
x
xydxy )15.1.2()()()(

Thay v(
ξ
)=G
*
(
ξ
;x) vào đồng nhất thức Green (2.1.12),rút gọn thành
)16.1.2());(),(());(),(()()()();(
***
xaGayPxbGbyPxydfxG
b
a
∫
−=−
ξξξ

Nghiệm y(x) trong bài toán (2.1.9) có thể thu được bằng kết quả của tích phân
(2.1.16) . Chúng ta sẽ nghiên cứu kỹ hơn tích phân (2.1.16). Hàm f(
ξ

) đã cho từ
phương trình (2.1.9), hàm G
*
(
ξ
;x) thu được từ việc giải phương trình (2.1.14) có dạng
).());((
**
ξδξ
ξ
−=
xxGL
Theo điều kiện (2.1.10) ta có
)17.1.2(0);(][,0);(][
);()]()([);()]()([)];(),([
***
2
***
1
*/
0
*/
0
*
====
−=
== ab
b
a
xGGBxGGB

xaGayaaxbGbybaxGyP
ξξ
ξξ
ξξ

Điều kiện biên này được gọi là điều kiện biên liên hợp. Từ đó ta có nghiệm của
(2.1.16) là
)18.1.2()();()(
*
∫
=
b
a
dfxGxy
ξξξ

Trong đó G
*
(
ξ
;x) là hàm Green thỏa mãn phương trình
baxxGL ≤≤−=
ξξδξ
ξ
),());((
**
, với các điều kiện biên
)19.1.2(0);(][,0);(][
***
2

***
1
==== xbGGBxaGGB

Như vậy, để tìm nghiệm của phương trình (2.1.9), ta đi tìm hàm Green G
*
(
ξ
;x) .
Đó chính là phương pháp tìm nghiệm mới, được gọi là phương pháp hàm Green.
Nhằm mục đích xây dựng phương pháp hàm Green ta đưa ra 2 hàm Green G và
hàm Green liên kết G
*
thỏa mãn các toán tử L
x
và L
*
x
cho bởi phươnng trình (2.1.20) và
(2.1.21) sau:
)21.1.2(),();(
)20.1.2(),();(
**
bxaxxGL
bxaxxGL
x
x
≤≤−=
≤≤−=
ξδξ

ξδξ

Với các điều kiện biên
0);(][,0);(][
***
2
***
1
==== xbGGBxaGGB

Trong các phương trình trên, các vi phân lấy theo biến x các toán tử
( L
x
, B
1
, B
2
) có dạng liên hợp của nó là (
*
2
*
1
*
,,
BBL
x
), điều kiện biên liên hợp được
chọn là
0),(
*

=
b
a
GGP
. Hàm Green cho bởi phương trình (2.1.20) và (2.1.21) thỏa
mãn quan hệ đối xứng
G
*
(x;
ξ
) = G(
ξ
;x) (2.1.22)

- 20-
Để chứng minh tính đối xứng trên, nhân phương trình (2.1.20) với G
*
(x;t) và sau
đó thay biến
ξ
trong phương trình (2.1.21) bằng biến t, rồi nhân phương trình (2.1.21)
với G
*
(x;
ξ
) ta thu được:
)();();(
)();();(
**
txtxGLxG

xxGLtxG
x
x
−=
−=
δξ
ξδξ
(2.1.23)
Trừ hai phương trình trên và sau đó tích phân từ a đến b ta thu được đồng nhất
thức Green
)24.1.2(0);();()]();()();([
))];(();());(();([],[
***
*****
=−=−−−=
=−=
∫
∫
ξξδξξδ
ξξ
tGtGtxxGxtxG
txGLxGxGLtxGGGP
b
a
b
a
xx
b
a

Từ đó suy ra (2.1.22), và gọi là tính chất đối xứng của hàm Green. Như vậy
nghiệm của bài toán Dirichlet (2.1.18) có dạng
)25.1.2()();()();()(
*
dxxfxGdfxGxy
b
a
b
a
∫∫
==
ξξξξ

2.2. Xây dựng phương pháp hàm Green
Xét phương trình truyền nhiệt tổng quát có nguồn nhiệt, điều kiện biên thuần nhất:

2
2
2
(,) 0
(0, ) 0, ( , ) 0 (2.1)
(,0) ()
uu
aQxtxl
tx
ut ult
ux x
ϕ
⎧
∂∂

=+ <<
⎪
∂∂
⎪
⎪
==
⎨
⎪
=
⎪
⎪
⎩

Bước 1:
Áp dụng phương pháp tách biến Fourier và phương pháp mở rộng hàm
riêng ta chọn nghiệm có dạng
∑
∑
∞
=
∞
=
=
=
1
1
sin)(),(
sin)(),(
n
n

n
n
l
xn
tqtxQ
l
xn
tutxu
π
π

Bước 2:
Thay vào phương trình (2.1), tìm nghiệm:
Phương trình truyền nhiệt
)()(
)(
2
tqtu
l
an
dt
tdu
nn
n
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
+
π
.
Nghiệm có dạng :

- 21-

∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+=

t
t
l
an
n
t
l
an
t
l
an
nn
deqeeutu
0
222
)()0()(
ττ
πππ

Dựa vào điều kiện ban đầu tìm hàm u
n
(0)
∫
∑
=⇒
=
∞
=
l
n

n
n
d
l
n
l
u
l
xn
ux
0
1
sin)(
2
)0(
sin)0()(
ξ
πξ
ξϕ
π
ϕ

∑
∞
=
=
1
sin)(),(
n
n

l
xn
tqtxQ
π

∫
=⇒
l
n
d
l
n
Q
l
tq
0
sin),(
2
)(
ξ
πξ
τξ

Cuối cùng ta thu được
∑
∫
∞
⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
−
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
1
0
2
sin)(
2
),(
t
l
an
l
ed
l
n

l
txu
π
ξ
πξ
ξϕ


l
xn
ded
l
n
Q
l
e
t
t
l
an
l
t
l
an
π
τξ
πξ
τξ
ππ
sinsin),(

2
00
22
⎥
⎥
⎦
⎤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∫∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−

Đổi thứ tự giữa tổng và tích phân ta thu được
ξτ
ππξ
τξ
ξ
ππξ
ξϕ
τ
π
π
dde
l
xn
l
n
l
Q
de
l
xn
l
n
l
txu
n
t
l
an
lt

n
t
l
an
l
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∑
∫∫
∑
∫
∞
=

−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∞
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
1
)(
00
1
0
2
2
sinsin
2
),(
sinsin
2
)(),(

Bước 3
: Đưa ra hàm Green
∑
∞
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
1
)(
2
sinsin
2
),;,(
n
t
l
an
e
l
xn
l
n

l
txG
τ
π
ππξ
τξ

Như vậy để tìm nghiệm của phương trình ta đi tìm hàm Green. Đó chính là
phương pháp tìm nghiệm mới được gọi là phương pháp hàm Green.
2.3 Hàm riêng, trị riêng cho hàm Green
Xét phương trình vi phân không thuần nhất Sturm_ Liouville tổng quát:
L(u) = f(x)