DE THI HSG THANH HOA 2006-2007

SỞ GD&ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12-THPT
Năm học: 2006-2007
Đề chính thức Môn thi: Toán học
(Thời gian:180 phút-không kể thời gian giao đề)
Câu I.(7đ)
1.Khảo sát:
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
2.Tìm m để đường thẳng: (2-m)x-y+1=0 cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến tại
A,B tới đồ thị song song với nhsu.
3.CMR phương trình:
2 2
1 ( 1) 9x x x x+ + = + −
có đúng hai nghiệm phân biệt.
Câu II.(5đ)
1.Áp dụng khai triển nhị thức NIWTƠN
(
)
100
2
x x+
, chứng minh rằng:
99 100 198 199
1 1 1 1

0 1 99 100
100 101 ... 199 200 0
100 100 100 100
2 2 2 2
C C C C
       
− + − + =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
2.Cho
0
sin 2
2 2
n
nx
I dx
a cos x
π
=
−
∫
,
n N
∈
.Tìm a để
, ,
2006 2007 2008
I I I
theo thứ tự đó lập thành cấp số
cộng.

Câu III.(7đ)
1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn: (C):
2 2
4 6 3 0x y x y+ − + − =
tâm I và đường thẳng
(d):x+by-2=0.CMR: (d) và (C) luôn cắt nhau tại hai điểm P,Q với mọi b.Tìm b để tam giác PIQ có diện
tích lớn nhất.
2.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm A(2;0;0),B(0;8;0),C(0;0;3) và N thoả mãn:
ON OA OB OC= + +
uuur uuur uuur uuur
.Một mặt phẳng (P) thay đổi cắt các đoạn OA,OB,OC,ON lần lượt tại A’,B’,C’,N’.
Hãy xác định toạ độ điểm N’ sao cho:
2007
' ' '
OA OB OC
OA OB OC
+ + =
.
Câu IV.(1đ)
Tìm tập hợp các điểm M trong không gian có tổng bình phương các khoảng cách mặt của một tứ diện đều
ABCD cho trước bằng một số dương k không đổi.
..............................................................................HẾT..................................................................................
Họ và tên thí sinh:.............................................. Số báo danh:....................................