KHOANG CACHGOC CUC HAY giai chi tiet

Chủ đề 7.3. KHOẢNG CÁCH – GÓC
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là MH ,
với H là hình chiếu của M trên đường thẳng a .
Kí hiệu: d ( M ,a) = MH .

M

a



H
M

② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( a ) là MH , với
H là hình chiếu của M trên mặt phẳng ( a ) .

(

H



)

Kí hiệu: d M , ( a ) = MH .
③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng
cách từ một điểm bất kì thuộc đường này đến đường kia.

d ( a,b) = d ( M ,b) = MH

b
a

M
H



( M �a)

④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( a ) song song với

a

M

nhau là khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến
mặt phẳng ( a ) :

H



d�

a,( a ) �
=d�
M ,( a ) �
= MH ( M �a)
�
�
�
�
⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ
A
một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

d�
=d�
a,( b) �
=d�
A, ( b) �
= AH a �( a ) , A �a
( a ) , ( b) �
�
�
�
�
�
�

(

B

a

)



H

K

⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
- Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a,b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy gọi
là đường vuông góc chung của a,b . IJ gọi là đoạn vuông góc chung của a,b .
c
a
I
a
I


J

J
b

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai
đường thẳng đó.
b

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng

a. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d cho trước
Các bước thực hiện:
Bước 1. Trong mặt phẳng ( M ,d) hạ MH ^ d với H �d .
Bước 2. Thực hiện việc xác định độ dài MH dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, tứ giác,
đường tròn, …



M

a

M
a

A

d

d

H

A

M

I

K

H K

 Chú ý:
 Nếu tồn tại đường thẳng a qua A và song song với d thì:
d ( M ,d) = d ( A,d) = AK

( A �d) .
d ( M ,d)
MI
=
 Nếu MA �d = I , thì:
AI
d ( A,d)
b. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( a )

.

� a 10�
S���0;0; ���
�� 2 ��

O




Các bước thực hiện:

O

d

H

Bước 1. Tìm hình chiếu H của O lên ( a ) .

H



- Tìm mặt phẳng ( b) qua O và vuông góc với ( a ) .
- Tìm D = ( a ) �( b) .
- Trong mặt phẳng ( b) , kẻ OH ^ D tại H.

 H là hình chiếu vuông góc của O lên ( a ) .

A

Bước 2. Khi đó OH là khoảng cách từ O đến ( a ) .

O

I


 Chú ý:

 Chọn mặt phẳng ( b) sao cho dễ tìm giao tuyến với ( a ) .
 Nếu đã có đường thẳng d ^ ( a ) thì kẻ Ox / / d cắt ( a ) tại H.

(

) ( )
d ( O,( a ) )
OI
=
Nếu OA cắt ( a ) tại I thì:
AI
d ( A,( a ) )

 Nếu OA/ / ( a ) thì: d O,( a ) = d A, ( a ) .




2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
 Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a,b
- Dựng mặt phẳng ( a ) chứa a và vuông góc với b tại B.

 AB là đoạn vuông góc chung.

O

A

H

K

b

 Trường hợp a  b:
- Trong ( a ) dựng BA  a tại A.

H



B

a
A

K


 Trường hợp a và b không vuông góc với nhau.
Cách 1: (Hình a)
- Dựng mp ( a ) chứa a và song song với b.
- Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM  () tại M
- Từ M dựng b// b cắt a tại A.
- Từ A dựng AB / / MM �cắt b tại B.

 AB là đoạn vuông góc chung.
Cách 2: (Hình b)

b

B

M

A

M'

a



- Dựng mặt phẳng ( a ) ^ a tại O, ( a ) cắt b tại I

b'

(Hình a)

- Dựng hình chiếu vuông góc b của b lên ( a )
- Trong mp ( a ) , vẽ OH  b tại H.
- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B
- Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A.
 AB là đoạn vuông góc chung.
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a,b

Cách 1. Dùng đường vuông góc chung:
- Tìm đoạn vuông góc chung AB của a,b .

a

A

b
B
b'

O

H

I
(Hình b)

- d ( a,b) = AB

(

)
Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b. Khi đó: d ( a,b) = d ( ( a ) , ( b) )

Cách 2. Dựng mặt phẳng ( a ) chứa a và song song với b. Khi đó: d ( a,b) = d b,( a )
Cách 3.

3. Phương pháp tọa độ trong không gian
a) Phương trình mặt phẳng ( MNP ) đi qua 3 điểm M ( xM ;yM ;zM ) ,N ( xN ;yN ; zN ) ,P ( xP ;yP ; zP ) :
u
r uuuu
r uuur
+ Mặt phẳng ( MNP ) đi qua điểm M ( xM ;yM ;zM ) có vtpt n = MN �MP = ( A;B;C) có dạng:
A ( x - xM ) + B ( y - yM ) +C ( z - zM ) = 0 � Ax + By +Cz + D = 0

+ Khoảng cách từ một điểm I ( xI ;yI ;zI ) đến mặt phẳng ( MNP ) :
IH = d ( I ,(MNP )) =

AxI + ByI + CzI + D

uuuu
r uuur uuu
r
MN �MP .MI
Công thức tính nhanh: d ( I ,(MNP )) =
uuuu
r uuur
MN �MP

(

A2 + B 2 +C 2

)

uuur uuu
r uuur
AB �CD .AC
AB
,
CD
d
AB
,

CD
=
b) Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
là: (
uuur uuu
r
)
AB �CD

(

uuur uuu
r
AB .CD
r
c) Góc giữa hai đường thẳng AB,CD theo công thức: cos( AB,CD ) = uuur uuu
AB . CD

)


d) Góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( MNP ) :
uu
r uuur uuur
uu
r uuuu
r uuur
( ABC ) có vecto pháp tuyến n1 = AB �AC ; ( MNP ) có vtpt n2 = MN �MP , khi đó:
uu
r uu

r
n1.n2
A1A2 + B1B2 + C 1C 2
� ( ABC ) ,( MNP ) ;
cos ( ABC ) , ( MNP ) = uu
r uu
r =
A12 + B12 +C 12 . A22 + B22 + C 22
n1 . n2

(

(

)

e) Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ( MNP ) :

u
r uuuu
r uuur
r uuur
Tính u = AB và ( MNP ) có vtpt n = MN �MP , thì: sin AB,( MNP )

(

)

)

ru
r
u.n
= r u
r � AB, ( MNP ) ;
u.n

(

)

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
KHỐI CHÓP ĐỀU (Thầy Bùi Anh Tuấn)
Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 600
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
a
a
3a
3a
A .
B. .
C.
.
D.
.
2
4
4
2
Câu 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Góc

giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng GC
và SA bằng:
a
a 5
a 5
a 2
A.
B. .
C.
.
D.
.
5
5
10
5
Câu 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.
Góc giữa đường thẳng BG với mặt phẳng (ABCD) bằng:
A. arctan

85
.
17

B. arctan

10
.
17

C. arcsin

85
.
17

D. arccos

85
.
17

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.
Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
A. arccos

330
.
110

B. arccos

33
11

C. arccos

3
.
11

D. arccos

33
22

Câu 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SA = a 3 . M là trung điểm của cạnh
BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SDM) với (SBC) bằng:
A.

arctan

2 11 .
110

B.

arctan

110 .
11

C.

arctan

2 110 .
33

D.

arctan

2 110 .
11

Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc, AB = a, AC = a 2 và diện tích tam
giác SBC bằng
A.

a 330
.
33

a2 33
. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
6

B.

a 330
.
11

C.

a 110
.
33

D.

2a 330
.
33


Câu 7. Cho hình chóp tam giác S . ABC có SA vuông góc với mặt đáy, tam giác ABC vuông cân tại B,
BA = BC = a , góc giữa mp ( SBC ) với mp ( ABC ) bằng 600 . Gọi I là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác SBC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI với BC .
A.

a 3
.
4

B.

a 3
.
2

C.

a 2
.
3

D.

a 6
.
2

Câu 8. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, góc OCB bằng 300 , góc ABO bằng 600
và AC = a 6 . Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM. Tính góc giữa hai đường thẳng
CM và OA.
A. arctan

93
.
6

B. arctan

31
.
3

B. arctan

93
.
3

D. arctan

31
.
2

Câu 9. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, góc OCB bằng 300 , góc ABO bằng 600
và AC = a 6 . Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM. Tính góc giữa hai mặt phẳng
(OCM) và (ABC).
A. arcsin

1
35

B. arcsin

34
35

C. arcsin

14
35

D. arcsin

3
7

Câu 10. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Góc giữa đường thẳng AC và mp(OBC)
bằng 600 , OB = a , OC = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh OB. Góc giữa đường thẳng OA
với mặt phẳng (ACM bằng:
3
1
3

1
A. arcsin
.
B. arcsin
.
C. arcsin
.
D. arcsin
.
4 7
7
2 7
2 7
Câu 11. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Góc giữa đường thẳng AC và

mp(OBC ) bằng 600 , OB  a , OC  a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh OB . Tính góc giữa
hai mặt phẳng  AMC  và  ABC  bằng:
A. arcsin

3
32
1
34
.
B. arcsin
.
C. arcsin
.
D. arcsin
.

35
35
35
35
KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI MẶT ĐÁY

Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ABCD vuông tại A và B. Biết AD  2a ,
AB  BC  SA  a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, gọi M là trung điểm của AD. Tính
khoảng cách h từ M đến mặt phẳng  SCD  .
A. h 

a 6
.
6

B. h 

a 6
.
3

C. h 

a 3
.
6

D. h 

a

.
3

Câu 13. Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB  a, OC  a 3 . Cạnh OA
vuông góc với mặt phẳng (OBC), OA  a 3 , gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách h
giữa hai đường thẳng AB và OM.
A. h 

a 5
.
5

B. h 

a 3
.
2

C. h 

a 15
.
5

D. h 

a 3
.
15

Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
 ABCD  , SA  2a . Gọi F là trung điểm SC, tính góc  giữa hai đường thẳng BF và AC.


A.   600 .

B.   900 .

C.   300 .

D.   450 .

Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy và
SA  2a . Gọi M là trung điểm của SC. Tính côsin của góc  giữa đường thẳng BM và mặt
phẳng  ABC  .
A. cos  

21
.
7

B. cos  

5
.
10

C. cos  

7

.
14

D. cos  

5
.
7

Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và
SA  a . Tính góc  giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SDC  .
A.   900 .

B.   600 .

C.   300 .

D.   450 .

�  1200 . Các mặt
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc BAD
phẳng  SAB  và  SAD  cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm SD, thể tích khối
chóp S.ABCD là
A. h 

a 228
.
38

a3 3

. Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng  SBC  theo a.
3

B. h 

a 228
.
19

C. h 

2 5a
.
5

D. h 

2 5a
.
19

�  1200 . Các mặt
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh 2a, góc BAD
2 3a 3
phẳng  SAB  và  SAD  cùng vuông góc với mặt đáy. Thể tích khối chóp S.ABCD là
.
3
Hãy tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.

A. h 

2 5a
.
5

B. h 

a 3
.
2

C. h 

a 6
.
2

D. h 

a 6
.
3

Câu 19. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB  a . Hai mặt phẳng  SAB 
a 2
và  SAC  cùng vuông góc với mặt đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  là
.
2
Tính góc  tạo bởi hai đường thẳng SB và AC.
A.   450 .

B.   900 .
C.   300 .
D.   600 .

D. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 3.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C A A B D A B C B D A A C B A B A B D C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A D C A C A A D A A C A B A B D B A D B
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
A A C D B A A A B C A D C A B A C A C A
61 62 63
A D C


II –HƯỚNG DẪN GIẢI
KHỐI CHÓP ĐỀU (Thầy Bùi Anh Tuấn)
Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 600
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
a
a
3a
3a
A .
B. .
C.
.
D.

.
2
4
4
2
Hướng dẫn giải
S
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra G là hình chiếu
của S trên mặt phẳng (ABC). Gọi I là trung điểm của BC
suy ra góc giữa (SBC) với (ABC) là góc SIG.
Tam giác ABC đều cạnh bằng a nên GI =

1a 3 a 3
=
.
3 2
6

� = 600 , suy ra
Theo bài SIG

A
a
3
a
� =
SG = GI .tan SIG
tan600 = .
6

2
G
�AG �(SBC ) = I
�
�
Vì � AI
nên d(A,(SBC )) = 3.d(G,(SBC )) .
B
�
=3
�
� GI
Gọi H là hình chiếu của G trên (SBC) ( H thuộc đoạn thẳng SI). Suy ra
GS .GI
d (G ,(SBC )) = GH =
GS 2 +GI

2

H
C

I

a 3
.
a
a
= 22 6 2 = , suy ra
a

a
4
+
4 12

3a
.
4
[Cách 2] Phương pháp thể tích.
d(A,(SBC )) = 3.d(G,(SBC )) =

1 1
a3 3
GI
a 3
a2 3
0 a
Ta có: VS. ABC = . .aa
,
,
suy
ra
.
. .sin60 . =
SI =
=
SDSBC =
3 2
2
24

cos600
3
6
S
a3 3
z
3V
3a
Vậy d(A;(SBC )) = S.ABC = 28 = .
SDSBC
4
a 3
6
[Cách 3] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với I �O ,
Ox �IA,Oy �IC;Oz/ / GS. (Hình vẽ).
y
�
�
A
a 3
�
x
;0;0�
�
Khi đó, A �
,
C
�
�

�
�
2
�
�
G
I
�
�a �
� �
a
3
a
�
�
C�
0; ;0�
; S � ;0; �
, suy ra
�
�
�
�2 �
� �
�
2�
�6
�
B

�uur � a �
uur �
a 3
�
�
�
IA =�
;0;0
0; ;0�
, IC = �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2 �
�
�

uur uu
r uur
�
�
IC

,
IS
.IA
�
uu
r �
�
�
a 3 a�
�
� = 3a
�
�
IS =�
;0;
d
(
A
,(
SBC
))
=
,
suy
ra
.
uur uu
r
�
�

�
�
�
�
2�
4
�6
IC
,
IS
�
�
�
�
Câu 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Góc
giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng GC
và SA bằng:
� a 10��
a
a 5
a 5
A.
B. .
C.
.
D. S����0;0; ���.
� 2�
5
5
10

Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và BC. Gọi H là hình chiếu của G lên đường
thẳng đi qua A và song song với CG. GK là đường cao của tam giác GHS.
a 3
Khi đó, d(GC, SA) = d(GC,(SAH )) = GK . Ta có: AG =
;
3

�
� = 60 � SG = AG.tan60 = a, GH = AM = a , suy ra
,(ABC )) = SAG
( SA
2
0

d(GC,SA) = GK =

0

GS.GH
2

GS +GH

2

=

a 5

.
5
z

S

S

K

K

y

x

H

A

C
G

M
B

H
C

A

G

N
B

[Cách 2] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với G �O , Ox �GA,Oy/ / NC,Oz �GS (Hình vẽ).
�
�
�a 3 a �
�
uuu
r� a 3 a �
uur
a 3
�
�
�
�
�
�
�
�
A
;0;0
C
;
;0
S
0;0;

a
GC
;
;0
�
�
�
(
)
GS
0;0;
a
Khi đó, �
, �
;
, suy ra
(
), �
�
�
�,
� �
�
�
�
�3
�
� 6 2 �
� 6 2 �
�

uuu
r uuu
r uur
�
GC, AS�
.GS
�
uuu
r� a 3
�
�
�
�
� =a 5
�
�
AS �
;0;
a
d
(
SA
,
GC
)
=
suy ra
uuu
r uuu
r

�
�
�
�
�
� 3
5
�
�
GC
,
AS
�
�
�
�


Câu 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.
Góc giữa đường thẳng BG với mặt phẳng (ABCD) bằng:
85
10
85
.
B. arctan
.
C. arcsin
.
17
17

17
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi M là trung điểm CD, kẻ GK song song với SO và
cắt OM tại K, suy ra K là hình chiếu của G trên mp(ABCD),
�
� .
,(ABCD) = GBK
suy ra BG

A. arctan

(

Ta có: AO =

85
.
17

S

)

a 2
a 10
1
a 10
, SO =
, GK = SO =

,
2
2
3
6

2
a
a 34
vì OK = OM nên OK = , suy ra BK =
.
3
3
6

G
A

D
O

B

�
� = GK = 85 .
tan BG
,(ABCD) = tanGBK
BK
17
[Cách 2] Phương pháp tọa độ.

(

D. arccos

)

K

M
C

� a 2 �
�
�
0;;0�
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với Ox �OC,Oy �OD,Oz �OS . Khi đó, B �
,
�
�
�
�
2
�
�
�
� a 10 �
�
a 2 a 2 a 10 �
�

�
�
�
G�
;
;
S
0;0;
�
�
;
�
�.
�
� �
�
�
6
6 �
2 �
�6
�
�
uuu
r�
a 2 2a 2 a 10 �
a 2
a 2 r
�
�

�
;
;
=
1
;4;
5
=
.n ,
Suy ra BG �
�
�
� 6
�
3
6 �
6
�6

(

)

uur � a 10 �
a 10
a 10 r
�
�
OS �
0;0;

=
0;0;1
=
.k .
�
(
)
�
�
� 2
�
2 �
2
�
rr
n.k
5
17
85
�
�
�
sin(BG
,(ABCD)) = r r =
� cos(BG
,(ABCD)) =
� tan(BG
,(ABCD)) =
.
22

22
17
n. k

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.
Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
330
33
.
B. arccos
110
11
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình

A. arccos

C. arccos

3
.
11

D. arccos

33
22

Gọi M là trung điểm CD. Gọi E = BD �AM , suy ra GE / / SA . Suy ra (�
BG,SA) = (�

BG,GE ) .
1
a 3
Vì G, E lần lượt là trọng tâm tam giác SCD và ACD nên GE = SA =
.
3
3
Kẻ GK song song với SO và cắt OM tại K,
suy ra K là hình chiếu của G trên mp(ABCD)

Ta có: AO =

1
a 10
a 2
a 10
2a 2
, SO =
, GK = SO =
. BE =
.
2
2
3
6
3


2
a

a 34
a 11
Vì OK = OM nên OK = , suy ra BK =
.
� BG =
3
3
6
3
Xét tam giác BEG , có BE =
GE =

2a 2
,
3

S

a 3
a 11
, BG =
,
3
3

BG 2 +GE 2 - BE 2
33
.
=
2BG.GE

11
[Cách 2] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz,
với Ox �OC,Oy �OD,Oz �OS .
� =
suy ra cosBGE

G

� a 2 �
�
�
�
0;
;0
Khi đó, B �
�
�
�
�
2
�
�

A

E

O

�
a 2 a 2 a 10 �
�
�
G�
;
;
�
;
�
�
�
�
6
6 �
�6

D
K

B

M
C

� a 10 �
� �a 2
�
�
�

�
�
S�
0;0;
A
;0;0
�
�
, �
,
�
�
�
�
�
�
2 � �
�
� 2
�
uuu
r�
a 2 2a 2 a 10�
a 2
a 2 r
�
�
�
;
;

=
1
;4;
5
=
.n ,
suy ra BG �
�
�
� 6
�
3
6 �
6
�6

(

)

rr
n
.k
�
uuu
r�
r
a 2 a 10 � a 2
a 2
�,SA) = r r = 3 .

�
AS �
;0;
=
1
;0;
5
=
.
k
cos(
BG
�
.
Suy
ra
�
�
�
2 �
2
11
�2
� 2
n. k

(

)

Câu 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SA = a 3 . M là trung điểm của cạnh
BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SDM) với (SBC) bằng:
A.

arctan

2 11 .
110

B.

arctan

110 .
11

C.

arctan

2 110 .
33

D.

arctan

2 110 .
11

Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, Gọi E = AC �DM suy ra E là trọng tâm tam giác BCD. Gọi
I là hình chiếu của O lên mặt phẳng (SBC), I thuộc đường thẳng SM, suy ra hình chiếu H của E

CH 2
= .
CI
3
�, EK )
SDM ),(SBC ) = (HK
Kẻ HK ^ SM tại K  HK / /CM  , khi đó (�
lên mặt phẳng (SBC) nằm trên đoạn thẳng CI và

(

Ta có: SO = SA2 - OA2 =

)

a 110
a 10 EH = 2OI = 2 SO.OM
=
,
.
2
2
3
3 SO +OM
33

2

1
a
�, EK )
� = 2 110
SDM ),(SBC ) = tan(HK
HK = CM = . Suy ra tan (�
= tan HKE
3
6
11
[Cách 2] Phương pháp thể tích.

(

)

d(C,(SDM ))
SDM ),(SBC ) suy ra sinj =
Đặt j = (�
.
d(C,SM )

(

)


3VC.SDM

a
Ta có d(C;SM ) = CM = , d(C;(SDM )) =
SSDM
2
VS.CDM

S

1
a3 10
= .SO.SDCDM =
.
3
24

Tam giác SDM có SM =

a 11
a 5
, DM =
2
2

và SD = a 3 , suy ra SD SDM =
suy ra d(C,(SDM )) =
suy ra sinj =

a2 51
,
8

I

3VC.SDM
a 10
=
SSDM
51

d(C,(SDM )) 2 10
=
d(C,SM )
51

H

K

A

2 110
.
11
D
[Cách 3]Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với Ox �OC,Oy �OB,Oz �OS .

B

O

M

� tanj =

C

� a 2 �
�
z
�
�
0;
;0
Khi đó, D �
,
�
�
�
�
2
�
�
S
�
� � a 10 �
� �a � �
�
a 2 a 2 �
a

�
�
�
�
�
�
�
M�
;
;0
S
0;0;
B
0;
;0
;
C
;0;0
�
�
�
�
;
,
�
�
�
�
�
�

� �
�
�
�
�2 �
�
�4
�
4
2 �
2
�
� �
� �
uuuu
r �
r
a 2 3a 2 �
a 2
a 2u
�
�
�
DM
=
;
;0
=
1
;3;0

=
.
x
�
(
)
suy ra
,
�
�4
� 4
�
4
4
�
�
�
uuur �
a 2 a 2 a 10 �
�
SM = �
;
;
�
�
�
�
4
2 �
�4

�
A
r
a 2
a 2u
O
=
1;1;- 2 5 =
. y.
4
4
E
uuu
r �
� a
D
a a �
ar
C
�
BC = � ;- ;0�
= ( 1;- 1;0) = .u ;
�
�
� 2
2 2 �
2
� a
u
r u

r
uur �
a
a 10 �
ar r
�
SC = �
;0;
=
1
;0;
10
=
.
v
n
=
[
x
,
y
] = - 6 5;2 5;- 2 và
�
,
�
�
�
2
2 �
2

�
� 2
rr
n.k
r
r r
11
2 110
k = [u, v] = 10; 10;- 1 . Suy ra cosj = r r =
� tanj =
.
51
11
n. k

(

B

)

(

(

)

)

(

)

M
x

y


GIỚI THIỆU

8 CHUYÊN ĐỀ TRỌN CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12
Giải chi tiết
** Quà tặng : Bộ 50 đề thi minh họa THPT – đáp án chi tiết **

200.000đ cả bộ 8 chuyên đề file Word
NẠP THẺ ĐIỆN THOẠI hoặc chuyển khoản ok
HƯỚNG DẪN CÁCH XEM CẢ BỘ TÀI LIỆU

Nhấn giữ phím Ctrl

+

CHUYÊN ĐỀ

Bấm chuột Trái vào đường link để mở chuyên đề

Nhấn giữ Ctrl + Click chuột trái vào đường link
gạch chân dưới để XEM bản PDF đầy đủ

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm
số ứng dụng của đạo hàm

8 CHUYÊN
ĐỀ LUYỆN
THI THPT

( 400 câu giải chi tiết )
2. Khảo sát và vẽ đồ thị

đ

(200.000 )

hàm số ứng dụng của đạo

(2331 câu hỏi
giải chi tiết )

/>
/>
hàm
( 180 câu giải chi tiết )
3.Phương trình, Bất PT mũ

và logarit

/>
( 349 câu giải chi tiết )

4.

Nguyên hàm Tích phân
( 410 câu giải chi tiết )

5. Số Phức
( 195 câu giải chi tiết )
6. Lãi suất + bài tập
( 72 câu giải chi tiết )
7. HH không gian bộ lớp 11
( 290 câu giải chi tiết )
8. HH tọa độ không gian
( 435 câu giải chi tiết )

/>
/>
/>
/>
/>
CAM KẾT!
- Chế độ chữ : Times New Roman.
- Công thức toán học Math Type Để các thầy cô chỉnh sửa, làm chuyên đề ôn thi,
NHCH…
- Các đáp án A,B,C,D đều căn chỉnh chuẩn
- File không có màu hay tên quảng cáo.


- Về thanh toán: nếu không yên tâm ( sợ bị lừa ): tôi sẽ gửi trước 1 file word chuyên đề
nhỏ bất kì mà thầy cô yêu cầu trong bản PDF xem trước bên dưới.
Điện thoại hỗ trợ : 0912 801 903 Cảm ơn các thầy cô đã quan tâm

Zalo: 0988 360 309
Hoặc nhắn tin “ Xem 8 chuyên đề 12 + địa chỉ gmail của thầy cô” chúng tôi sẽ
gửi 8 chuyên đề bản PDF vào mail để thầy cô tham khảo

8 CHUYÊN ĐỀ TRỌN CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11
Giải chi tiết

200.000đ cả bộ 8 chuyên đề file Word
NẠP THẺ ĐIỆN THOẠI hoặc chuyển khoản ok
HƯỚNG DẪN CÁCH XEM CẢ BỘ TÀI LIỆU

Nhấn giữ phím Ctrl

STT

1

+

Bấm chuột Trái vào đường link để mở chuyên đề

TÊN TÀI LIỆU

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PTLG

2

TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

3

DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN

Giữ phím Ctrl và bấm chuột vào
đường link gạch chân bên dưới để
xem tài liệu
/>
/>
/>

GIỚI HẠN

/>
5

ĐẠO HÀM

/>
6

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG

/>
7

QUAN HỆ SONG SONG

/>
QUAN HỆ VUÔNG GÓC

/>
4

8

KHOẢNG CÁCH

/>
- Công thức toán học Math Type Để các thầy cô chỉnh sửa, làm chuyên đề ôn thi, Ngân
hàng câu hỏi …
- Các đáp án A,B,C,D đều căn chỉnh chuẩn
- File không có màu hay tên quảng cáo.
- Về thanh toán: nếu không yên tâm ( sợ bị lừa ): tôi sẽ gửi trước 1 file word chuyên đề
nhỏ bất kì mà thầy cô yêu cầu trong bản xem trước .
Điện thoại hỗ trợ : 0912 801 903Cảm ơn các thầy cô đã quan tâm
Zalo: 0912 801 903
Nếu Thầy cô chưa xem được nhắn tin “ Xem trọn bộ 11 + địa chỉ gmail của thầy
cô” chúng tôi sẽ gửi chuyên đề vào mail để thầy cô xem tham khảo trước khi
mua tài liệu.
Ngoài ra chúng tôi còn rất nhiều tài liệu 11, 12 khác để thầy cô tham khảo và rất
nhiều quà tặng đi kèm


9 CHUYÊN ĐỀ HHKG NÂNG CAO
Giải chi tiết

200.000đ cả bộ 9 chuyên đề file Word
NẠP THẺ ĐIỆN THOẠI hoặc chuyển khoản ok
Nhấn giữ phím Ctrl

STT

+

Bấm chuột Trái vào đường link để mở chuyên đề

TÊN TÀI LIỆU

Giữ phím Ctrl Bấm vào đường link
gạch chân bên dưới để xem tài
liệu

1

CHỦ ĐỀ 1_KHỐI ĐA DIỆN {26 Trang}
Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 7-11}

/>usp=sharing

2

CHỦ ĐỀ 2_THỂ TÍCH KHỐI CHÓP {59 Trang}
Tặng 10 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 12-21}

/>usp=sharing

3

CHỦ ĐỀ 3_THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ {34 Trang}
Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 22-26}

/>usp=sharing

4

CHỦ ĐỀ 456_NÓN TRỤ CẦU {56 Trang}
Tặng 10 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 27-36}

/>usp=sharing

5

CHỦ ĐỀ 7_KHOẢNG CÁCH {68 Trang}
Tặng 12 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 37-49}

/>usp=sharing

6

CHỦ ĐỀ 8_GÓC {21 Trang}
Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 50-54}

/>usp=sharing

7

CHỦ ĐỀ 9_CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI
LỒNG NHAU {29 Trang}

/>

Tặng 8 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 55-63}

usp=sharing

Điện thoại hỗ trợ : 0912 801 903Cảm ơn các thầy cô đã quan tâm
Zalo: 0912 801 903
Nếu Thầy cô chưa xem được nhắn tin “ Xem bộ HHKG NÂNG CAO + địa chỉ
gmail của thầy cô” chúng tôi sẽ gửi chuyên đề vào mail để thầy cô xem tham
khảo trước khi mua tài liệu.
Ngoài ra chúng tôi còn rất nhiều tài liệu 11, 12 khác để thầy cô tham khảo và rất
nhiều quà tặng đi kèm

MUA NHIỀU KHUYẾN MÃI NHIỀU...