TOA DO TRONG KHONG GIAN CUC HAY giai chi tiet

TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1 LÝ THUYẾT
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm
r r r
gốc O. Gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy , Oz . Hệ ba trục như vậy gọi là
hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.
rr rr r r
r2 r 2 r 2
Chú ý:
i  j  k  1 và i. j  i.k  k . j  0 .
2. Tọa độ của vectơr
r
r r
r
a) Định nghĩa: u   x; y; z  � u  xi  y j  zk
r
r
b) Tính chất: Cho a  (a1 ; a2 ; a3 ), b  (b1 ; b2 ; b3 ), k ��
r r
 a �b  (a1 �b1 ; a2 �b2 ; a3 �b3 )
r
 ka  (ka1 ; ka2 ; ka3 )
�a1  b1
r r
�
a2  b2
 ab � �
�a  b
�3 3
r

r
r
r
 0  (0;0;0), i  (1;0;0), j  (0;1;0), k  (0;0;1)
r r r
r
r
r
 a cùng phương b (b �0)  a  kb (k ��)
a1  kb1
�
a
a a
�
��
a2  kb2
� 1  2  3 , (b1 , b2 , b3 �0)
b1 b2 b3
�
a3  kb3
�
r r
rr
 a.b  a1.b1  a2 .b2  a3 .b3
 a  b � a1b1  a2b2  a3b3  0
r2
r
2
2
2

 a  a1  a2  a3
 a  a12  a22  a22
rr
a1b1  a2b2  a3b3
a.b
r r
r r r
 cos(a , b )  r r 
(với a , b �0 )
2
2
2
2
2
2
a .b
a1  a2  a3 . b1  b2  b3
3. Tọa độ của điểm
uuuu
r
r
r
r
a) Định nghĩa: M ( x; y; z ) � OM  x.i  y. j  z.k
(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

 M � Oxy  � z  0; M � Oyz  � x  0; M � Oxz  � y  0
 M �Ox � y  z  0; M �Oy � x  z  0; M �Oz � x  y  0 .
b) Tính chất: Cho A( xA ; y A ; z A ), B( xB ; yB ; z B )
uuu

r
 AB  ( xB  x A ; yB  y A ; z B  z A )
Chú ý:

 AB  ( xB  x A ) 2  ( yB  y A ) 2  ( z B  z A ) 2
�x  x y  yB z A  z B �
;
 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB : M � A B ; A
�
� 2
2
2 �
 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC :
�x  x  x y  yB  yC z A  z B  zC �
G �A B C ; A
;
�
3
3
3
�
�
 Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD :
�x  x  x  xD y A  yB  yC  yD z A  z B  zC  zC �
G �A B C
;
;
�
�
4

4
4
�
4. Tích có hướng của hai vectơ
r
r
a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a  (a1 ; a2 ; a3 ) , b  (b1 ; b2 ; b3 ) . Tích có hướng


r r
r
r
�
a
của hai vectơ a và b, kí hiệu là �
�, b �, được xác định bởi
�a2 a3 a3 a1 a1 a2 �
r r
�
a, b �
;
;
�  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 
�
� �
b
b
b
b
b

b
2
3
3
1
1
2
�
�
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính
r r chất:
r
r r
r
 [ a , b ]  a;
[a , b ]  b
r r
r r
�  �
�
a
,
b
b
 �
� � �, a �
r
r r
r r

r r
r
r
�
�
�
�
�
i
,
j

k
;
j
,
k

i
;
k
�, i �
� j
� �
� �
r r
r r
r r
 [a, b]  a . b .sin  a , b  (Chương trình nâng cao)
r r

r r
r
 a, b cùng phương � [a, b]  0 (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)
c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chươngrtrình
cao)
r nâng
r r r
r
 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, b và c đồng phẳng  [a, b].c  0
uuu
r uuur
 Diện tích hình bình hành ABCD :
SY ABCD  �
AB, AD �
�
�
u
u
u
r
u
u
u
r
1
S ABC  �
AB, AC �
 Diện tích tam giác ABC :
�
�

2
uuu
r uuur uuur
VABCD. A ' B ' C ' D '  [ AB, AD]. AA�
BCD :
 Thể tích khối hộp ABCDA����
r uuur uuur
1 uuu
VABCD  [ AB, AC ]. AD
 Thể tích tứ diện ABCD :
6
Chú ý:
– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính
góc giữa hai đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ
diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các
vectơ cùng phương.
r r
rr
a  br� a.b  0
r
r r r

a va�
b
cu�
n
g
ph�
�

ng
�
a
, b  0
r r r
r r r
a, b, c �
o�
ng pha�
ng �  a, b .c  0
5. Một vài thao tác sử dụng máy tính bỏ túi (Casio Fx570 Es Plus, Casio Fx570 Vn Plus, Vinacal 570
Es Plus )
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A  x A ; y A ; z A  , B  xB ; y B ; z B  , C  xC ; yC ; z C  , D  xD ; y D ; z D 
uuur
w 8 1 1 (nhập vectơ AB )
uuur
q 5 2 2 2 (nhập vectơ AC )
uuur
q 5 2 3 1 (nhập vectơ AD )
uuu
r uuur
C q53q54= (tính �
AB, AC �
�
�)
uuur uuur uuur
C q53q54q57q55= (tính [ AB, AC ]. AD )
uuu
r uuur uuur
Cqc(Abs) q53q54q57q55= (tính [ AB, AC ]. AD )

C1a6qc(Abs) q53q54q57q55=
1 uuur uuur uuur
(tính VABCD  [ AB, AC ]. AD
6


2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.
Câu 5.

r
r
r
r
r
Gọi  là góc giữa hai vectơ a và b , với a và b khác 0 , khi đó cos  bằng
rr
rr
rr
r r
a.b
a.b
a.b
ab

A. r r .
B. r r .
C. r r .
D. r r .
a.b
a.b
a.b
a.b
r
r
Gọi  là góc giữa hai vectơ a   1; 2;0  và b   2;0; 1 , khi đó cos  bằng
2
2
2
A. 0.
B. .
C.
.
D.  .
5
5
5
r
r
r
Cho vectơ a   1;3; 4  , tìm vectơ b cùng phương với vectơ a
r
r
r
r

A. b   2; 6; 8  .
B. b   2; 6;8  .
C. b   2;6;8  .
D. b   2; 6; 8  .
r
r
Tích vô hướng của hai vectơ a   2; 2;5  , b   0;1; 2  trong không gian bằng
A. 10.
B. 13.
C. 12.
D. 14.
Trong không gian cho hai điểm A  1; 2;3 , B  0;1;1 , độ dài đoạn AB bằng
A.

Câu 6.

Câu 7.

C. 10.
D. 12.
8.
rr r
uuuu
r
Trong không gian Oxyz , gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, khi đó với M  x; y; z  thì OM bằng
r r r
r r r
r r r
r r r
A.  xi  y j  zk .

B. xi  y j  zk .
C. x j  yi  zk .
D. xi  y j  zk .
r
r
r r
Tích có hướng của hai vectơ a  (a1 ; a2 ; a3 ) , b  (b1 ; b2 ; b3 ) là một vectơ, kí hiệu �
a, b �
�
�, được
xác định bằng tọa độ
A.  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .
B.  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .
C.

Câu 8.

Câu 9.

B.

6.

 a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .

D.

 a2b2  a3b3 ; a3b3  a1b1; a1b1  a2b2  .

r

r
rr
Cho các vectơ u   u1 ; u2 ; u3  và v   v1 ; v2 ; v3  , u.v  0 khi và chỉ khi
A. u1v1  u2 v2  u3v3  1 .
B. u1  v1  u2  v2  u3  v3  0 .
C. u1v1  u2 v2  u3v3  0 .
r
r
Cho vectơ a   1; 1; 2  , độ dài vectơ a là

D. u1v2  u2v3  u3v1  1 .

A.

C.  6 .

6.

B. 2.

D. 4.

Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên trục Ox sao cho M không trùng với gốc tọa
độ, khi đó tọa độ điểm M có dạng
A. M  a;0;0  , a �0 . B. M  0; b;0  , b �0 . C. M  0;0; c  , c �0 . D. M  a;1;1 , a �0 .
Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên mặt phẳng  Oxy  sao cho M không trùng với
gốc tọa độ và không nằm trên hai trục Ox, Oy , khi đó tọa độ điểm M là ( a, b, c �0 )
A.  0; b; a  .
B.  a; b;0  .
C.  0;0; c  .

D.  a;1;1
r
r
r
r
Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho a   0;3; 4  và b  2 a , khi đó tọa độ vectơ b có thể là
A.  0;3; 4  .

B.  4;0;3 .

C.  2;0;1 .

r r
r
r
�
u
Câu 13. Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u và v , khi đó �
�, v �bằng
r r
r r
r r
r r
rr
r r
A. u . v .sin u , v .
B. u . v .cos u , v .
C. u.v.cos u, v .

 

 

 

D.  8;0; 6  .
rr
r r
D. u.v.sin u, v .

 


r
r
r
Câu 14. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a   1; 1; 2  , b   3;0; 1 , c   2;5;1 , vectơ
ur r r r
m  a  b  c có tọa độ là
A.  6;0; 6  .
B.  6;6;0  .
C.  6; 6;0  .
D.  0;6; 6  .

3 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 8.1
1
A

2

B

3
A

4
C

5
A

6
D

7
A

8
C

9
A

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B D A C C A A D A B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B D D C A A C A A D A B A C D A A B B D

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
A A B C A B D A A D A B B A B
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.
Câu 5.

r
r
r
r
r
Gọi  là góc giữa hai vectơ a và b , với a và b khác 0 , khi đó cos  bằng
rr
rr
rr
r r
a.b
a.b
a.b
ab
A. r r .

B. r r .
C. r r .
D. r r .
a.b
a
.
b
a.b
a.b
r
r
Gọi  là góc giữa hai vectơ a   1; 2;0  và b   2;0; 1 , khi đó cos  bằng
2
2
2
A. 0.
B. .
C.
.
D.  .
5
5
5
r
r
r
Cho vectơ a   1;3; 4  , tìm vectơ b cùng phương với vectơ a
r
r
r

r
A. b   2; 6; 8  .
B. b   2; 6;8  .
C. b   2;6;8  .
D. b   2; 6; 8  .
r
r
Tích vô hướng của hai vectơ a   2; 2;5  , b   0;1; 2  trong không gian bằng
A. 10.
B. 13.
C. 12.
D. 14.
Trong không gian cho hai điểm A  1; 2;3 , B  0;1;1 , độ dài đoạn AB bằng
A.

Câu 6.

Câu 7.

C. 10.
D. 12.
8.
rr r
uuuu
r
Trong không gian Oxyz , gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, khi đó với M  x; y; z  thì OM bằng
r r r
r r r
r r r
r r r

A.  xi  y j  zk .
B. xi  y j  zk .
C. x j  yi  zk .
D. xi  y j  zk .
r
r
r r
Tích có hướng của hai vectơ a  (a1 ; a2 ; a3 ) , b  (b1 ; b2 ; b3 ) là một vectơ, kí hiệu �
a, b �
�
�, được
xác định bằng tọa độ
A.  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .
B.  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .
C.

Câu 8.

6.

B.

 a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .

D.

 a2b2  a3b3 ; a3b3  a1b1; a1b1  a2b2  .

r
r

rr
Cho các vectơ u   u1 ; u2 ; u3  và v   v1 ; v2 ; v3  , u.v  0 khi và chỉ khi


A. u1v1  u2 v2  u3v3  1 .

B. u1  v1  u2  v2  u3  v3  0 .

C. u1v1  u2 v2  u3v3  0 .

D. u1v2  u2v3  u3v1  1 .

GIỚI THIỆU
8 CHUYÊN ĐỀ TRỌN CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12
Giải chi tiết
** Quà tặng : Bộ 50 đề thi minh họa THPT – đáp án chi tiết **

200.000đ cả bộ 8 chuyên đề file Word
NẠP THẺ ĐIỆN THOẠI hoặc chuyển khoản ok
HƯỚNG DẪN CÁCH XEM CẢ BỘ TÀI LIỆU
Nhấn giữ phím Ctrl

+

Bấm chuột Trái vào đường link để mở chuyên đề

CHUYÊN ĐỀ

8
CHUYÊN

ĐỀ

Nhấn giữ Ctrl + Click chuột trái vào đường
link gạch chân dưới để XEM bản PDF đầy đủ

1. Khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số ứng dụng của đạo />hàm
( 400 câu giải chi tiết )


2. Khảo sát và vẽ đồ thị

hàm số ứng dụng của đạo

/>
hàm
( 180 câu giải chi tiết )
3.Phương trình, Bất PT mũ

và logarit
( 349 câu giải chi tiết )
4. Nguyên hàm Tích phân

LUYỆN
THI THPT
(200.000đ)
(2331 câu hỏi
giải chi tiết )

( 410 câu giải chi tiết )

/> />
5. Số Phức
( 195 câu giải chi tiết )

/>
6. Lãi suất + bài tập
( 72 câu giải chi tiết )

/>
7. HH không gian bộ lớp 11
( 290 câu giải chi tiết )
8. HH tọa độ không gian
( 435 câu giải chi tiết )

/> />
CAM KẾT!
- Chế độ chữ : Times New Roman.
- Công thức toán học Math Type Để các thầy cô chỉnh sửa, làm chuyên đề ôn thi,
NHCH…
- Các đáp án A,B,C,D đều căn chỉnh chuẩn
- File không có màu hay tên quảng cáo.
- Về thanh toán: nếu không yên tâm ( sợ bị lừa ): tôi sẽ gửi trước 1 file word chuyên đề
nhỏ bất kì mà thầy cô yêu cầu trong bản PDF xem trước bên dưới.
Điện thoại hỗ trợ : 0912 801 903 Cảm ơn các thầy cô đã quan tâm
Zalo: 0988 360 309
Hoặc nhắn tin “ Xem 8 chuyên đề 12 + địa chỉ gmail của thầy cô” chúng tôi sẽ
gửi 8 chuyên đề bản PDF vào mail để thầy cô tham khảo

8 CHUYÊN ĐỀ TRỌN CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11
Giải chi tiết

200.000đ cả bộ 8 chuyên đề file Word
NẠP THẺ ĐIỆN THOẠI hoặc chuyển khoản ok
HƯỚNG DẪN CÁCH XEM CẢ BỘ TÀI LIỆU
Nhấn giữ phím Ctrl

+

Bấm chuột Trái vào đường link để mở chuyên đề

Giữ phím Ctrl và bấm chuột vào
đường link gạch chân bên dưới để
xem tài liệu

STT

TÊN TÀI LIỆU

1

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PTLG

/>
2

TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

/>

3

DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN

/>
4

GIỚI HẠN

/>
5

ĐẠO HÀM

/>
6

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG

/>
7

QUAN HỆ SONG SONG

/>
QUAN HỆ VUÔNG GÓC

/>
KHOẢNG CÁCH

/>
8

- Công thức toán học Math Type Để các thầy cô chỉnh sửa, làm chuyên đề ôn thi, Ngân
hàng câu hỏi …
- Các đáp án A,B,C,D đều căn chỉnh chuẩn
- File không có màu hay tên quảng cáo.


- Về thanh toán: nếu không yên tâm ( sợ bị lừa ): tôi sẽ gửi trước 1 file word chuyên đề
nhỏ bất kì mà thầy cô yêu cầu trong bản xem trước .
Điện thoại hỗ trợ : 0912 801 903Cảm ơn các thầy cô đã quan tâm
Zalo: 0912 801 903
Nếu Thầy cô chưa xem được nhắn tin “ Xem trọn bộ 11 + địa chỉ gmail của
thầy cô” chúng tôi sẽ gửi chuyên đề vào mail để thầy cô xem tham khảo trước
khi mua tài liệu.
Ngoài ra chúng tôi còn rất nhiều tài liệu 11, 12 khác để thầy cô tham khảo và rất
nhiều quà tặng đi kèm


9 CHUYÊN ĐỀ HHKG NÂNG CAO
Giải chi tiết

200.000đ cả bộ 9 chuyên đề file Word
NẠP THẺ ĐIỆN THOẠI hoặc chuyển khoản ok
Nhấn giữ phím Ctrl

STT

+

Bấm chuột Trái vào đường link để mở chuyên đề

TÊN TÀI LIỆU

Giữ phím Ctrl Bấm vào đường
link gạch chân bên dưới để xem tài
liệu

1

CHỦ ĐỀ 1_KHỐI ĐA DIỆN {26 Trang}
Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 7-11}

/>iew?usp=sharing

2

CHỦ ĐỀ 2_THỂ TÍCH KHỐI CHÓP {59 Trang}
Tặng 10 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 12-21}

/>iew?usp=sharing

3

CHỦ ĐỀ 3_THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ {34 />JiEpOQTzZlQVc0Z2xGTmJrVkk/vie
w?usp=sharing
Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017

(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 22-26}
CHỦ ĐỀ 456_NÓN TRỤ CẦU {56 Trang}
/>Tặng 10 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
w?usp=sharing
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 27-36}

4

5

CHỦ ĐỀ 7_KHOẢNG CÁCH {68 Trang}
Tặng 12 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 37-49}

/>ew?usp=sharing

6

CHỦ ĐỀ 8_GÓC {21 Trang}
Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 50-54}

/>w?usp=sharing

7

CHỦ ĐỀ 9_CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CÁC KHỐI LỒNG NHAU {29 Trang}
JiEpOQTzZlbGNqckR0YzhBOEk/vie
w?usp=sharing
Tặng 8 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017

(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 55-63}

Điện thoại hỗ trợ : 0912 801 903Cảm ơn các thầy cô đã quan tâm
Zalo: 0912 801 903


Nếu Thầy cô chưa xem được nhắn tin “ Xem bộ HHKG NÂNG CAO + địa chỉ
gmail của thầy cô” chúng tôi sẽ gửi chuyên đề vào mail để thầy cô xem tham
khảo trước khi mua tài liệu.
Ngoài ra chúng tôi còn rất nhiều tài liệu 11, 12 khác để thầy cô tham khảo và rất
nhiều quà tặng đi kèm

MUA NHIỀU KHUYẾN MÃI NHIỀU...