Mat cau mat non mat tru giai chi tiet HAY

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

Bán toàn bộ tài liệu Toán 12 với 3000 Trang rất
công phu của Tiến Sĩ Hà Văn Tiến. Tài liệu có
giải chi tiết rất hay, phân dạng đầy đủ dùng để
luyện thi THPT Quốc Gia 2018
Lớp 12+Luyện Thi THPT Quốc Gia 2018 trọn bộ
giá 200 ngàn

Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc
Gia + Ấn phẩm Casio 2018 của
ĐH Sƣ Phạm TPHCM
Thanh toán bằng mã thẻ cào Vietnam mobile gửi mã
thẻ cào+số seri+Mail qua số điện thoại

mình sẽ gửi toàn bộ cho bạn. đây là một phần trích
đoạn tài liệu của Tiến Sĩ Hà Văn Tiến

Trang 1

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Chuyên đề 1

Năm học: 2017 - 2018

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT
TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Chủ đề 1.1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Chủ đề 1.2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Chủ đề 1.3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Chủ đề 1.4. ĐƢỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Chủ đề 1.5. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Chuyên đề 2

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT
TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

CHỦ ĐỀ 2.1. SỰ TƢƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
CHỦ ĐỀ 2.2. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Chủ đề 2.3 - ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƢỜNG CONG

Chuyên đề 3

Phƣơng trình, Bất PT mũ và logarit

Trang 2

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

Chủ đề 3.1 LŨY THỪA
Chủ đề 3.2. LOGARIT
Chủ đề 3.3 HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

Chủ đề 3.4. PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ
Chủ đề 3.5. PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT

Chuyên đề 4

Nguyên hàm Tích phân - Ứng dụng

( 410 câu giải chi tiết )

Chủ đề 4.1. NGUYÊN HÀM
Chủ đề 4.2. TÍCH PHÂN
Chủ đề 4.3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Chuyên đề 5

SỐ PHỨC

Chủ đề 5.1. DẠNG ĐẠI SỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC
Chủ đề 5.2. PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP SỐ PHỨC

CHỦ ĐỀ 5.3 TẬP HỢP ĐIỂM

Trang 3

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Chuyên đề 6

Năm học: 2017 - 2018

BÀI TOÁN THỰC TẾ

6.1. LÃI SUẤT NGÂN HÀNG
6.2 BÀI TOÁN TỐI ƢU

Chuyên đề 7

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

CHỦ ĐỀ 7.1. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
CHỦ ĐỀ 7.2. QUAN HỆ VUÔNG GÓC. VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Chủ đề 7.3. KHOẢNG CÁCH – GÓC
CHỦ ĐỀ 7.4. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Chủ đề 7.5. MẶT CẦU – MẶT NÓN – MẶT TRỤ

Chuyên đề 8

TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

8.1 : TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
8.2 : PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU

8.3: PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
8.4: PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG
8.5: VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI
8.6: GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
Chuyên đề 7. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN
Chủ đề 7.5. MẶT CẦU – MẶT NÓN – MẶT TRỤ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. MẶT NÓN

Trang 4

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Hình 1

Hình 2

1/ Mặt n n tr n oay
Trong m t ph ng  P  , cho 2 đ

Năm học: 2017 - 2018

ng th ng d ,  c t nhau tại O và ch ng tạo thành góc  với

00    900 . Khi quay mp  P  ung quanh tr c  với góc  hông thay đ i đ
oay đ nh O hình 1 .

 Ng i ta th ng gọi t t m t nón tr n oay là m t nón.

ng th ng  gọi là tr c, đ ng th ng d đ c gọi là đ

c gọi là m t nón tr n

ng sinh và góc 2  gọi là góc

đ nh.

2/ Hình n n tr n oay
Cho OIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đ ng gấp h c OIM tạo thành một hình,
gọi là hình nón tr n oay gọi t t là hình nón hình 2 .

ng th ng OI gọi là tr c, O là đ nh, OI gọi là đ ng cao và OM gọi là đ ng sinh của hình
nón.
 Hình tr n tâm I , bán ính r  IM là đáy của hình nón.
3/ C ng thức i n t ch và thể t ch của hình n n
Cho hình nón có chiều cao là h , bán ính đáy r và đ ng sinh là l thì có
 Diện tích ung quanh S xq   .r.l

Diện tích toàn phần hình nón Stp

 Diện tích đáy hình tr n

Sð   .r

 Thể tích hối nón Vnon 

1

1
Sð .h   .r 2 .h .
3
3

2

4/ T nh chất:
 TH1 Nếu c t m t nón tr n oay b i mp( P) đi qua đ nh thì có các tr
+ Nếu mp( P) c t m t nón theo 2 đ
+ Nếu mp( P) tiếp

Sxq

Sð .

ng h p sau ảy ra

ng sinh  Thiết diện là tam giác cân.

c với m t nón theo một đ

ng sinh. Trong tr

ng h p này, ng

là m t ph ng tiếp diện của m t nón.
 TH2 Nếu c t m t nón tr n oay b i mp (Q ) h ng đi qua đ nh thì có các tr
+ Nếu mp(Q ) vuông góc với tr c hình nón  giao tuyến là một đ

i ta gọi đó

ng h p sau ảy ra

ng tr n.

+ Nếu mp(Q ) song song với 2 đ

ng sinh hình nón  giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.

+ Nếu mp(Q ) song song với 1 đ

ng sinh hình nón  giao tuyến là 1 đ

ng parabol.

II. MẶT TRỤ

Trang 5

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

1/ Mặt trụ tr n oay
Trong mp  P  cho hai đ

ng th ng  và l song song nhau, cách nhau

một hoảng r . Khi quay mp  P  quanh tr c cố đ nh  thì đ

∆

ng

r l
A
th ng l sinh ra một m t tr n oay đ c gọi là m t tr tr n oay hay
gọi t t là m t tr .
D

ng th ng  đ c gọi là tr C.

ng th ng l đ c gọi là đ ng sinh.

hoảng cách r đ c gọi là bán ính của m t tr .
2/ Hình trụ tr n xoay
hi quay hình ch nh t ABCD ung quanh đ ng th ng ch a một
B
cạnh, ch ng hạn cạnh AB thì đ ng gấp h c ABCD tạo thành một
r
hình, hình đó đ c gọi là hình tr tr n oay hay gọi t t là hình tr .
C

ng th ng AB đ c gọi là tr C.

oạn th ng CD đ c gọi là đ ng sinh.


ộ dài đoạn th ng AB  CD  h đ c gọi là chiều cao của hình tr .
 Hình tr n tâm A , bán ính r  AD và hình tr n tâm B , bán ính r  BC đ c gọi là 2 đáy của
hình tr .

hối tr tr n oay, gọi t t là hối tr , là phần hông gian giới hạn b i hình tr tr n oay ể cả
hình tr .
3/ C ng thức t nh i n t ch và thể t ch của hình trụ
Cho hình tr có chiều cao là h và bán ính đáy bằng r , hi đó

 Diện tích ung quanh của hình tr

S xq  2 rh

 Diện tích toàn phần của hình tr

Stp  S xq  2.SÐay  2 rh  2 r 2

 Thể tích hối tr

V  B.h   r 2 h

4/ T nh chất:
 Nếu c t m t tr tr n oay có bán ính là r b i một mp   vuông góc với tr c  thì ta đ
đ

c

ng tr n có tâm trên  và có bán ính bằng r với r c ng chính là bán ính của m t tr đó.

 Nếu c t m t tr tr n oay có bán ính là r b i một mp   hông vuông góc với tr c  nh ng
c t tất cả các đ ng sinh, ta đ c giao tuyến là một đ ng elíp có tr nh bằng 2r và tr c lớn
2r
bằng
, trong đó  là góc gi a tr c  và mp   với 00    900 .
sin 
 Cho mp   song song với tr c  của m t tr tr n oay và cách  một hoảng d .
+ Nếu d  r thì mp   c t m t tr theo hai đ
+ Nếu d  r thì mp   tiếp

ng sinh  thiết diện là hình ch nh t.

c với m t tr theo một đ

ng sinh.

+ Nếu d  r thì mp   hông c t m t tr .

III. MẶT CẦU
Trang 6

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

1/ Đ nh nghĩa
T p h p các điểm M trong hông gian cách điểm O cố đ nh một hoảng R gọi là m t cầu tâm O ,

bán ính R , í hiệu là S O; R  . hi đó S O; R   M | OM  R
2/ V tr tƣơng đối của m t điểm đối v i mặt cầu
Cho m t cầu S O; R  và một điểm A bất ì, hi đó
 Nếu OA  R  A  S O; R  . hi đó OA gọi là bán ính m t cầu. Nếu OA và OB là hai bán
ính sao cho OA  OB thì đoạn th ng AB gọi là một đ
m t cầu.
 Nếu OA  R  A nằm trong m t cầu.
 Nếu OA  R  A nằm ngoài m t cầu.



ng ính của

B
O
A

hối cầu S O; R  là t p h p tất cả các điểm M sao cho OM  R .

A

A

3/ V tr tƣơng đối của mặt ph ng và mặt cầu

Cho m t cầu S O; R  và một mp  P  . Gọi d là hoảng cách t tâm O của m t cầu đến mp  P  và

H là hình chiếu của O trên mp  P   d  OH .
 Nếu d  R  mp  P  c t m t cầu S O; R  theo giao tuyến là đ

ng tr n nằm trên mp  P  có

tâm là H và bán ính r  HM  R 2  d 2  R 2  OH 2 hình a .
 Nếu d  R  mp  P  hông c t m t cầu S O; R  hình b .
 Nếu d  R  mp  P  có một điểm chung duy nhất. Ta nói m t cầu S O; R  tiếp
Do đó, điều iện cần và đủ để mp  P  tiếp

c với m t cầu S O; R  là d O,  P    R hình c .

d

Hình a

c mp  P  .

d=

Hình b

Hình c

4/ V tr tƣơng đối của đƣ ng th ng và mặt cầu
Cho m t cầu S O; R  và một đ

ng th ng  . Gọi H là hình chiếu của O trên đ

th ng  và d  OH là hoảng cách t tâm O của mdt cầu đến đ
 Nếu d  R   hông c t m t cầu S O; R  .

ng

ng th ng  . hi đó
d=

 Nếu d  R   c t m t cầu S O; R  tại hai điểm phân biệt.
 Nếu d  R   và m t cầu tiếp
đ

ng th ng  tiếp

c nhau tại một điểm duy nhất . Do đó điều iện cần và đủ để

c với m t cầu là d  d O,    R .

Đ nh l Nếu điểm A nằm ngoài m t cầu S O; R  thì

Trang 7

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

 Qua A có vô số tiếp tuyến với m t cầu S O; R  .


ộ dài đoạn th ng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.
ng tr n nằm trên m t cầu S O; R  .

 T p h p các điểm này là một đ
5/ Di n t ch và thể t ch mặt cầu

4
Thể tích m t cầu VC   R 3 .
3

Diện tích m t cầu SC  4 R 2 .

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
I. Mặt cầu ngoại tiếp hối đa i n
1/ C c h i ni m cơ ản
 Trục của đa gi c đ y là đ ng th ng đi qua tâm đ ng tr n ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông
góc với m t ph ng ch a đa giác đáy.
 Bất ì một điểm nào nằm trên tr c của đa giác thì cách đều các đ nh của đa giác đó.
 Đƣ ng trung trực của đoạn th ng là đ ng th ng đi qua trung điểm của đoạn th ng và vuông
góc với đoạn th ng đó.
 Bất ì một điểm nào nằm trên đ ng trung tr c thì cách đều hai đầu m t của đoạn th ng.
 Mặt trung trực của đoạn th ng là m t ph ng đi qua trung điểm của đoạn th ng và vuông góc với
đoạn th ng đó.
 Bất ì một điểm nào nằm trên m t trung tr c thì cách đều hai đầu m t của đoạn th ng.
2/ Tâm và n nh mặt cầu ngoại tiếp hình ch p
 Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình ch p là điểm cách đều các đ nh của hình chóp. Hay nói cách hác,
nó chính là giao điểm I của tr c
và
hình chóp.
 B n nh là hoảng cách t I đến các đ nh của hình chóp.
3/ C ch c đ nh tâm và n nh mặt cầu của m t số hình đa i n cơ ản
a/ Hình h p chữ nh t, hình l p phƣơng.

- Tâm trùng với tâm đối ng của hình hộp ch nh t hình l p ph ng .
 Tâm là I , là trung điểm của AC ' .
- B n nh bằng nửa độ dài đ ng ch o hình hộp ch nh t hình l p ph ng .
AC '
A
B
A
 Bán ính R 
.
2
D

C

I

A’

I
B’
C’

C’

D’

b/ Hình lăng trụ đứng c đ y n i tiếp đƣ ng tr n.

An

t hình lăng tr đ ng A1 A2 A3 ... An . A A A ... A , trong đó có 2 đáy
'
1

A1 A2 A3 ... An và A A A ... A nội tiếp đ
'
1

'
2

'
3

'
n

'
2

'
3

'
n

A1

ng tr n  O  và O '  . L c đó,

A2

m t cầu nội tiếp hình lăng tr đ ng có
- Tâm: I với I là trung điểm của OO ' .
-B n

nh: R  IA1  IA2  ...  IAn' .

A3
I
A’n

A’1

O’
A’2

c/ Hình ch p c c c đ nh nhìn đoạn th ng nối 2 đ nh c n lại ƣ i 1 g c vu ng.
Trang 8

O

A’3

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
- Hình chóp S. ABC có SAC  SBC  900 .
+ Tâm: I là trung điểm của SC .

SC
+ Bán ính R 
 IA  IB  IC .
2
- Hình chóp S. ABCD có

S

S

I
I

SAC  SBC  SDC  900 .
A
+ Tâm: I là trung điểm của SC .
SC
+ Bán ính R 
 IA  IB  IC  ID .
2
d/ Hình ch p đều.
Cho hình chóp đều S. ABC...
- Gọi O là tâm của đáy  SO là tr c của đáy.
- Trong m t ph ng ác đ nh b i SO và một cạnh bên,

ch ng hạn nh mp  SAO  , ta vẽ đ

Năm học: 2017 - 2018

A

C

C

B

B

S
∆
M

ng trung tr c của cạnh SA

là  c t SA tại M và c t SO tại I  I là tâm của m t cầu.
- Bán ính
SM SI
Ta có SMI SOA 

 Bán ính là
SO SA

SM .SA SA2
R  IS 

 IA  IB  IC  ...
SO
2SO
e/ Hình ch p c cạnh ên vu ng g c v i mặt ph ng đ y.

D

I
A

B
C

Cho hình chóp S. ABC... có cạnh bên SA  đáy  ABC... và đáy ABC... nội tiếp đ
đ

ng tr n tâm O . Tâm và bán ính m t cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC... đ

- T tâm O ngoại tiếp của đ
- Trong mp  d , SA , ta d ng đ

ng tr n đáy, ta vẽ đ

D

O

c trong

c ác đ nh nh sau

ng th ng d vuông góc với mp  ABC... tại O .

ng trung tr c  của cạnh SA , c t SA tại M , c t d tại I .

 I là tâm m t cầu ngoại tiếp hình chóp
và bán ính R  IA  IB  IC  IS  ...
- Tìm bán ính:
Ta có MIOB là hình ch nh t.
t MAI vuông tại M có

S
d
M

I

∆

2

R  AI  MI 2  MA2 

 SA 
AO 2    .
 2 

f/ Hình ch p h C.
- D ng tr c  của đáy.

O

A

B

- D ng m t ph ng trung tr c   của một cạnh bên bất ì.
-      I  I là tâm m t cầu ngoại tiếp hình chóp.
- Bán ính

hoảng cách t I đến các đ nh của hình chóp.

g/ Đƣ ng tr n ngoại tiếp m t số đa gi c thƣ ng gặp.
Trang 9

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278

C


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

hi ác đ nh tâm m t cầu, ta cần ác đ nh tr c của m t ph ng đáy, đó chính là đ ng th ng vuông
góc với m t ph ng đáy tại tâm O của đ ng tr n ngoại tiếp đáy. Do đó, việc ác đ nh tâm ngoại O
là yếu tố rất quan trọng của bài toán.

O

O

Hình vuông O là giao
điểm 2 đ ng ch o.

O

Hình ch nh t O là giao
điểm của hai đ ng ch o.

∆ đều O là giao điểm của 2
đ ng trung tuyến trọng tâm .

O
O

∆ vuông O là trung điểm
của cạnh huyền.

∆ th ng O là giao điểm của hai
đ ng trung tr c của hai cạnh ∆.

II. KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP.
Cho hình chóp S. A1 A2 ... An thoả mãn điều iện tồn tại m t cầu ngoại tiếp . T ô
ầ
ì
ó
ệ
e
ớ :
Bƣ c 1: ác đ nh tâm của đ ng tr n ngoại tiếp đa giác đáy. D ng  tr c đ
giác đáy.
Bƣ c 2: L p m t ph ng trung tr c ( ) của một cạnh bên.

, ểx

ị

ng tr n ngoại tiếp đa
S



Lú

ó:

I

- Tâm O của m t cầu   mp( )  O
- Bán kính: R  SA   SO  . Tuỳ vào t ng tr

O

ng h p.

D
A

C

H

L

ý: Kỹ ă x
ị
ụ
.
B
1. Trục đƣ ng tr n ngoại tiếp đa gi c đ y: là đ ng th ng đi qua tâm đ ng tr n ngoại tiếp đáy và
vuông góc với m t ph ng đáy.
Tính chất: M   : MA  MB  MC

M
Suy ra: MA  MB  MC  M  
2. C c ƣ c c đ nh trục:
- B ớc 1 ác đ nh tâm H của đ ng tr n ngoại tiếp đa giác đáy.
- B ớc 2 Qua H d ng  vuông góc với m t ph ng đáy.
A
VD: M số
ợ
ệ
C
H
A. Tam giác vuông
B. Tam giác đều
B
C. Tamgiác bất ì


B

H

C

B

Trang 10
H

B

C Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278
C


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

3. Lƣu ý: Kỹ ă

ồ

S

d

SMO đồng dạng với SIA 

Năm học: 2017 - 2018

M

SO SM
.

SA
SI

4. Nh n ét quan trọng:
 MA  MB  MC
M , S : 
 SM là tr c đ
 SA  SB  SC

O
I

A

ng tr n ngoại tiếp ABC .

5. Ví dụ: Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Dạng 1: Chóp có các điểm cùng nhìn một đoạn dưới một góc vuông.
 SA   ABC 
Ví dụ: Cho S . ABC : 
.T e

ABC

B


 BC  AB  gt 
ề bài: 
 BC  SA  SA   ABC  

 BC  (SAB)  BC  SB
T

ó B và A ì SC d ới m t góc vuông
 nên B và A cùng nằm trên m t m t cầ ó
ng kính là SC.
Gọi I là
ểm SC  I là tâm MCNT khối chóp S. ABC và bán kính R  SI .
Dạng 2: Chóp có các cạnh bên bằng nhau.
Ví dụ: C
ì
ó
ều S. ABC .
+ Vẽ SG   ABC  thì G là â
+ Trên m t ph ng  SGC  , vẽ

ng tròn ngo i ti p ABC .
ng trung tr c c a SC ,

ng này cắt

SG t i I thì I là tâm m t cầu ngo i ti p S. ABC và bán kính R  IS .
+ Ta có SGC

SKI  g  g  

SG SC
SC.SK SC 2

 R

SK SI
SG
2SG

Dạng 3: Chóp có một mặt bên vuông góc với đáy.
Ví dụ: Cho hình chóp S. ABC ó
ều. Gọi H , M lầ l ợ là

ABC là tam giác vuông t i A . M t bên  SAB    ABC  và SAB
ểm c a AB, AC .

Ta có M là â

ng tròn ngo i ti p ABC (do MA  MB  MC ).

D ng d1 là trụ

ng tròn ngo i ti p ABC ( d1 qua M và song song SH ).

Gọi G là â

ng tròn ngo i ti p SAB và d 2 là trụ

ng tròn ngo i

ti p SAB , d 2 cắt d1 t i I  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S. ABC

 Bán kính R  SI . Xét SGI  SI  GI 2  SG 2 .

Trang 11

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
MẶT CẦU
Câu 1.

Cho một m t cầu có diện tích là S , thể tích hối cầu đó là V . Tính bán kính R của m t cầu.
A. R 

Câu 2.

3V
.
S

B. R 

S
.

3V

C. R 

D. R 

Cho m t cầu S (O; R) và điểm A cố đ nh với OA  d . Qua A , ẻ đ
m t cầu S (O; R) tại M . Công th c nào sau đây đ
A.

Câu 3.

4V
.
S

2R 2  d 2 .

d 2  R2 .

B.

V
.
3S

ng th ng  tiếp

c với

c dùng để tính độ dài đoạn th ng AM ?

R 2  2d 2 .

C.

D.

d 2  R2 .

Một hình hộp ch nh t có ba ích th ớc là a, b, c . Gọi ( S ) là m t cầu đi qua 8 đ nh của hình
hộp ch nh t đó. Tính diện tích của hình cầu ( S ) theo a, b, c .

Câu 4.

A.  (a 2  b2  c2 ) .

B. 2 (a 2  b2  c2 ) .

C. 4 (a 2  b2  c2 ) .

D.


2

( a 2  b2  c 2 ) .

Một hình hộp ch nh t có ba ích th ớc là a, b, c . Gọi ( S ) là m t cầu đi qua 8 đ nh của hình
hộp ch nh t đó. Tâm của m t cầu ( S ) là

A. một đ nh bất ì của hình hộp ch nh t.
B. tâm của một m t bên của hình hộp ch nh t.
C. trung điểm của một cạnh của hình hộp ch nh t.
D. tâm của hình hộp ch nh t.

Câu 5.

Cho m t cầu S (O; R) và đ

 tiếp

B. d  R .

C. d  R .

D. d  R .

Cho đ

ng tr n (C ) và điểm A nằm ngoài m t ph ng ch a (C ) . Có tất cả bao nhiêu m t cầu

ch a đ

ng tr n (C ) và đi qua A ?

A. 2.
Câu 7.

ng th ng

c với S (O; R) hi th a mãn điều iện nào trong các điều iện sau ?

A. d  R .
Câu 6.

ng th ng  . Biết hoảng cách t O tới  bằng d .

B. 0.

D. vô số.

C. 1.

Cho hai điểm A, B phân biệt. T p h p tâm nh ng m t cầu đi qua A và B là
A. m t ph ng trung tr c của đoạn th ng AB . B. đ ng th ng trung tr c của AB .
C. m t ph ng song song với đ ng th ng AB . D. trung điểm của đoạn th ng AB .

Câu 8.

Cho m t cầu S (O; R) và m t ph ng ( ) . Biết hoảng cách t O tới ( ) bằng d . Nếu d  R
thì giao tuyến của m t ph ng ( ) với m t cầu S (O; R) là đ

ng tr n có bán ính bằng bao

nhiêu?
A.

Rd .

B.

R2  d 2 .

Trang 12

C.

R2  d 2 .

D.

R 2  2d 2 .

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
Câu 9.

Năm học: 2017 - 2018

T điểm M nằm ngoài m t cầu S (O; R) có thể ẻ đ
A. Vô số.

Câu 10. Một đ

B. 0.

C. 1.

ng th ng d thay đ i qua A và tiếp

chiếu của M lên đ

c bao nhiêu tiếp tuyến với m t cầu ?
D. 2.

c với m t cầu S (O; R) tại M . Gọi H là hình

ng th ng OA . M thuộc m t ph ng nào trong nh ng m t ph ng sau đây?

A. M t ph ng qua H và vuông góc với OA .

B. M t ph ng trung tr c của OA .

C. M t ph ng qua O và vuông góc với AM .

D. M t ph ng qua A và vuông góc với OM .

Câu 11. Một đ

ng th ng thay đ i d qua A và tiếp

chiếu của M lên đ
A.

c với m t cầu S (O; R) tại M . Gọi H là hình

ng th ng OA . ộ dài đoạn th ng MH tính theo R là:

R
.
2

B.

R 3
.
3

C.

2R 3
.
3

D.

3R 3
.
4

1
22
Câu 12. Thể tích của một hối cầu là 113 cm3 thì bán kính nó là bao nhiêu ? lấy  
)
7
7

A. 6 cm .

Câu 13.

B. 2 cm .

C. 4 cm .

D. 3cm .

hinh hí cầu của nhà Mông–gôn–fie Montgolfier ng i Pháp phát minh ra hinh hí cầu
dùng hí nóng. Coi hinh hí cầu này là một m t cầu có đ ng ính 11m thì diện tích của m t
hinh hí cầu là bao nhiêu? lấy  
A. 379, 94 (m2 ) .

Câu 14. Cho hình l p ph

22
và làm tr n ết quả đến ch số th p phân th hai .
7

B. 697,19 (m2 ) .

C. 190,14 cm .

D. 95, 07 (m2 ) .

ng ABCD. A ' B ' C ' D ' có độ dài mỗi cạnh là 10 cm . Gọi O là tâm m t cầu đi

qua 8 đ nh của hình l p ph

ng. hi đó, diện tích S của m t cầu và thể tích V của hình cầu là

A. S  150 (cm2 );V  125 3 (cm3 ) .

B. S  100 3 (cm2 );V  500(cm3 ) .

C. S  300 (cm2 );V  500 3 (cm3 ) .

D. S  250 (cm2 );V  500 6 (cm3 ) .

Câu 15. Cho đ
đ

ng tr n (C ) ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a , chiều cao AH . Quay

ng tr n (C )

ung quanh tr c AH , ta đ

c một m t cầu. Thể tích của hối cầu t

ng ng

là:
A.

 a3 3
54

Câu 16. Cho đ
đ

.

B.

4 a 3
.
9

C.

4 a 3 3
.
27

D.

4 a 3
.
3

ng tr n (C ) ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a , chiều cao AH . Quay

ng tr n (C )

ung quanh tr c AH , ta đ

c một m t cầu. Thể tích của hối cầu t

ng ng

là:
A.

4 a 3 3
.
27

B.

4 a 3
.
9

C.

 a3 3
54

.

D.

4 a 3
.
3

Câu 17. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC  2a và B  300 . Quay tam giác vuông này quanh
tr c AB , ta đ

c một hình nón đ nh B . Gọi S1 là diện tích toàn phần của hình nón đó và S2 là

diện tích m t cầu có đ

ng ính AB . hi đó, t số

Trang 13

S1
là:
S2
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
A.

S1
 1.
S2

B.

S1 1
 .
S2 2

Năm học: 2017 - 2018

C.

S1 2
 .
S2 3

S1 3
 .
S2 2

D.

MẶT NÓN
Câu 18. Cho hình nón có thiết diện qua tr c là một tam giác đều cạnh 2a , diện tích ung quanh là S1
và m t cầu có đ

ng ính bằng chiều cao hình nón, có diện tích S2 . h ng đ nh nào sau đây là

h ng đ nh đ ng ?
A. 2S2  3S1 .

B. S1  4S2 .

C. S2  2S1 .

D. S1  S2 .

Câu 19. Cho hình nón có thiết diện qua tr c là một tam giác đều cạnh 2a , có thể tích V1 và hình cầu có
đ

ng ính bằng chiều cao hình nón, có thể tích V2 . hi đó, t số thể tích

A.

V1 2
 .
V2 3

B.

V1
 1.
V2

C.

V1 1
 .
V2 2

V1
bằng bao nhiêu?
V2
V1 1
 .
V2 3

D.

Câu 20. Tính diện tích ung quanh của hình tr biết hình tr có bán ính đáy a và đ
B. 2 a 2 3 .

A. 2 a 2 .

ng cao là a 3 .

D.  a 2 3 .

C.  a 2 .

Câu 21. Một hình nón có thiết diện qua tr c là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a .
Tính diện tích ung quanh của hình nón.
A.

 a2 2
4

.

B.

 a2 2
2

.

C.  a

2

2 a 2 2

D.
.
3

2.

Câu 22. Thiết diện đi qua tr c của hình nón đ nh S là tam giác vuông cân SAB có cạnh cạnh huyền
bằng a 2 . Diện tích toàn phần Stp của hình nón và thể tích V của hối nón t

ng ng đã cho

là
A. Stp 

 a 2 (1  2)
2

 a3 2

;V 

C. Stp   a (1  2);V 
2

.

12

 a3 2
6

.

B. Stp 
D. Stp 

Câu 23. Cho hình nón tr n oay có đ nh là S , O là tâm của đ
góc gi a đ

 a2 2
2

;V 

 a 2 ( 2  1)
2

 a3 2
4

 a3

;V 

ng tr n đáy, đ

.

12

.

ng sinh bằng a 2 và

ng sinh và m t ph ng đáy bằng 60 . Diện tích ung quanh S xq của hình nón và
0

thể tích V của hối nón t
A. S xq   a 2 ;V 

 a3 6
12

C. S xq   a 2 2;V 
Câu 24. Một hình nón có đ

ng ng là

 a3 6
4

B. S xq 

.

 a2
2

;V 

D. S xq   a 2 ;V 

.

ng ính đáy là 2a 3 , góc

 a3 3
12

 a3 6
4

.
.

đ nh là 1200 . Tính thể tích của hối nón đó

theo a .
A. 3 a 3 .

C. 2 3 a 3 .

B.  a 3 .
Trang 14

D.  a 3 3 .

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

Câu 25. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB  a và AC  3a . Tính độ dài đ
sinh l của hình nón, nh n đ

c hi quay tam giác ABC ung quanh tr c AB .

B. l  2a .

A. l  a .

ng

C. l  3a .

D. l  2a .

MẶT TRỤ
Câu 26. Cho một hình tr có bán ính đáy R , chiều cao h và thể tích V1 ; một hình nón có đáy trùng
với một đáy của hình tr , có đ nh trùng với tâm đáy c n lại của hình tr

hình vẽ bên d ới và

có thể tích V2 .
h ng đ nh nào sau đây là h ng đ nh đ ng ?

h

R

B. V1  2V2 .

A. V2  3V1 .

C. V1  3V2 .

D. V2  V1 .

Câu 27. Tính thể tích V của hối tr có bán ính đáy R , chiều cao là h .
A. V   R2 h .

B. V   Rh 2 .

C. V   2 Rh .

D. V  2 Rh .

Câu 28. Một hình tr có bán ính đáy a , có thiết diện qua tr c là một hình vuông. Tính diện tích ung
quanh của hình tr .
B. 2 a 2 .

A.  a 2 .

Câu 29. Tính diện tích toàn phần của hình tr có bán ính đáy a và đ
A. 2 a 2





3 1 .

D. 4 a 2 .

C. 3 a 2 .

B.  a 2 3 .



ng cao a 3 .



C.  a 2 1  3 .





D. 2 a 2 1  3 .

Câu 30. Tính thể tích của hối tr biết bán ính đáy của hình tr đó bằng a và thiết diện đi qua tr c là
một hình vuông.
A. 2 a 3 .

B.

2 3
a .
3

C. 4 a 3 .

D.  a 3 .

Câu 31. Tính thể tích của hối tr biết chu vi đáy của hình tr đó bằng 6 (cm) và thiết diện đi qua tr c
là một hình ch nh t có độ dài đ
A. 48 (cm3 ) .

ng ch o bằng 10 (cm) .

B. 24 (cm3 ) .

C. 72 (cm3 ) .

D. 18 3472 (cm3 ) .

Câu 32. Trong hông gian, cho hình ch nh t ABCD có AB  1 và AD  2 . Gọi M, N lần l
trung điểm của AD và BC . Quay hình ch nh t đó ung quanh tr c MN, ta đ

t là

c một hình tr .

Tính diện tích toàn phần Stp của hình tr đó.
A. Stp  6 .

B. Stp  2 .

C. Stp  4 .

D. Stp  10 .

Câu 33. T một tấm tôn hình ch nh t ích th ớc 50cm 240cm, ng i ta làm các thùng đ ng n ớc
hình tr có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau em hình minh họa d ới đây

Trang 15

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

- Cách 1 G tấm tôn ban đầu thành m t ung quanh của thùng.
- Cách 2 C t tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi g mỗi tấm đó thành m t ung
quanh của một thùng.
Kí hiệu V1 là thể tích của thùng g đ
đ

c theo cách 2. Tính t số

V1
.
V2

A.

V1
 1.
V2

V1
 2.
V2

B.

c theo cách 1 và V2 là t ng thể tích của hai thùng g

C.

V1 1
 .
V2 2

D.

V1
 4.
V2

D.

a 2
.

4

VẬN DỤNG THẤP
Câu 34. Tính bán ính của m t cầu ngoại tiếp hình t diện đều cạnh a .
A.

a 3
.
2

B.

a 6
.
2

C.

a 6
.
4

Câu 35. Tính bán ính của m t cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S. ABC , biết các cạnh đáy có độ
dài bằng a , cạnh bên SA  a 3 .
A.

2a 3
.
2

B.

3a 3
.
2 2

C.

a 3
.
8

D.

3a 6
.
8

Câu 36. Tính bán ính của m t cầu ngoại tiếp hình chóp t giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng
2a .

A.

2a 14
.
7

B.

2a 7

.
2

C.

2a 7
.
3 2

D.

2a 2
.
7

Câu 37. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, m t bên SAB là tam giác
đều và nằm trong m t ph ng vuông góc với m t ph ng đáy. Tính thể tích V của hối cầu ngoại
tiếp hình chóp đã cho.
A. V 

5
.
3

B. V 

5 15
.
18

C. V 

4 3
.
27

D. V 

5 15
.
54

Câu 38. Một hình lăng tr tam giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Tính bán ính m t cầu
ngoại tiếp hình lăng tr đó.
A.

a 39
.
6

B.

a 12
.
6

C.

2a 3
.

3

D.

4a
.
3

Câu 39. Cho hình tr có bán ính đáy là R , thiết diện qua tr c là một hình vuông. Tính thể tích hối
lăng tr t giác đều nội tiếp trong hình tr đã cho theo R .
A. 4R 3 .

B. 2 2R3 .

Trang 16

C. 4 2R3 .

D. 8R 3 .

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

Câu 40. Cho hình tr có bán ính đáy là 4 cm, một m t ph ng hông vuông góc với đáy và c t hai m t
đáy theo hai dây cung song song AB, A ' B ' mà AB  A ' B '  6cm hình vẽ . Biết diện tích t
giác ABB ' A ' bằng 60 cm2. Tính chiều cao của hình tr đã cho.

A. 6 2 cm.

B. 4 3 cm.

C. 8 2 cm.

D. 5 3 cm.

Câu 41. Cho hình tr tr n oay có hai đáy là hai hình tr n O; R  và O '; R  . Tồn tại dây cung AB
ng tr n (O ) sao cho O ' AB là tam giác đều và m t ph ng (O ' AB) h p với m t

thuộc đ

ph ng ch a đ

ng tr n (O ) một góc 600 . hi đó, diện tích ung quanh S xq hình tr và thể tích

V của hối tr t

ng ng là

4 R 2
2 R3 7
A. S xq 
.
;V 
7
7

C. S xq 

3 R 2
7

;V 

6 R 2 7
3 R 3 7
B. S xq 
.
;V 
7
7

2 R3 7
.
7

D. S xq 

3 R 2 7
 R3 7
.
;V 
7
7

Câu 42. Cho một hình tr tr n oay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đ nh liên tiếp A, B nằm trên
đ

ng tr n đáy th nhất của hình tr , hai đ nh c n lại nằm trên đ

ng tr n đáy th hai của hình

tr . M t ph ng ( ABCD) tạo với đáy hình tr góc 45 . Diện tích ung quanh S xq hình tr và
0

thể tích V của hối tr là
A. S xq 
C. S xq 

 a2 3
3

 a2 3
4

3 2a 3
.
;V 
8

B. S xq 

3 3a 3
.
16

D. S xq 

;V 

 a2 2
3

 a2 3
2

3 2a 3
.
;V 
32
;V 

3 2a 3
.
16

Câu 43. Cho hình tr có thiết diện qua tr c là hình vuông ABCD cạnh 2 3 cm với AB là đ
của đ

ng tr n đáy tâm O . Gọi M là điểm thuộc cung AB sao cho ABM  600 .

ng ính
hi đó, thể

tích V của hối t diện ACDM là:
A. V  6 3 (cm3 ) .

B. V  2 3 (cm3 ) .

C. V  6 (cm3 ) .

D. V  3(cm3 ) .

Câu 44. Một hình nón có chiều cao h  20 cm, bán ính đáy r  25 cm. Một thiết diện đi qua đ nh có
hoảng cách t tâm của đáy đến m t ph ng ch a thiết diện là 12cm. Tính diện tích thiết diện
đó.
A. 450 2 cm2.

B. 500 2 cm2.

C. 500 cm2.

D. 125 34 cm2.

Câu 45. Cho hình l p ph ng ABCD. A’B’C’D’ có cạnh là a . Hãy tính diện tích xung quanh S xq và thể
tích V của khối nón có đ nh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình
vuông A’B’C’D’ .

A. S xq 
C. S xq 

 a2 5
2

 a2 3
2

;V 

;V 

 a3
12

 a3
6

 a2 5

.

B. S xq 

.

D. S xq   a 2 5;V 

Trang 17

4

;V 

 a3

.

4

 a3
4

.

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

Câu 46. Thiết diện đi qua tr c của hình nón đ nh S là một tam giác vuông cân có cạnh cạnh huyền
bằng a 2 .

ng tr n đáy hình nón, sao cho mp  SBC  tạo với m t

ẻ dây cung BC của đ

ph ng ch a đáy hình nón một góc 600 . Diện tích tam giác SBC tính theo a là:
a2 2
A.
.
3

a2 2
B.
.
6

a2 3
C.
.
2

Câu 47. Cho hình nón tr n oay có đ nh là S , O là tâm của đ
góc gi a đ

a2 6
D.
.
3

ng tr n đáy, đ

ng sinh bằng a 2 và

ng sinh và m t ph ng đáy bằng 60 . Gọi I là một điểm trên đ
0

hình nón sao cho t số

SI 1
 .
OI 3

ng cao SO của

hi đó, diện tích của thiết diện qua I và vuông góc với tr c

của hình nón là
A.

 a2 2
18

.

B.

 a2
9

.

Câu 48. Cho hình nón đ nh S với đáy là đ

C.

 a2
18

.

D.

 a2
36

.

ng tr n tâm O bán kính R . Gọi I là một điểm nằm trên

m t ph ng đáy sao cho OI  R 3 . Giả sử A là điểm nằm trên đ

ng tr n (O; R) sao cho

OA  OI . Biết rằng tam giác SAI vuông cân tại S . hi đó, diện tích ung quanh S xq của hình

nón và thể tích V của hối nón là
A. S xq   R 2 2;V 
C. S xq 

 R2 2
2

 R3

;V 

3

B. S xq  2 R 2 ;V 

.

 R3
6

D. S xq   R 2 ;V 

.

Câu 49. Một hình nón đ nh S có bán ính đáy bằng a 3 , góc

2 R 3
.
3

2 R 3
.
3

đ nh là 1200. Thiết diện qua đ nh của

hình nón là một tam giác. Diện tích lớn nhất Smax của thiết điện đó là bao nhiêu ?
A. Smax  2a 2 .

B. Smax  a 2 2 .

C. Smax  4a 2 .

D. Smax 

9a 2
.
8

VẬN DỤNG CAO
Câu 50. Bán kính r của m t cầu nội tiếp t diện đều cạnh a là

A. r 

a 6
.
12

B. r 

a 6
.
8

C. r 

a 6
.
6

D. r 

a 6
.
4

Câu 51. Chiều cao của hối tr có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu có bán ính R là
A. R 3 .

B.

R 3

.
3

C.

4R 3
.
3

D.

2R 3
.
3

Câu 52. Cho hình nón có chiều cao h . Tính chiều cao x của hối tr có thể tích lớn nhất nội tiếp trong
hình nón theo h .

A. x 

h
.
2

B. x 

h
.
3

Trang 18

C. x 

2h
.
3

D. x 

h
.
3

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

Câu 53. Cho hình nón đ nh O , chiều cao là h . Một hối nón hác có đ nh là tâm của đáy và có đáy là
là một thiết diện song song với đáy của hình nón đ nh O đã cho hình vẽ . Tính chiều cao x
của hối nón này để thể tích của nó lớn nhất, biết 0  x  h .
O

h
x

A. x 

h
.
3

B. x  h 3 .

C. x 

2h
.
3

D. x 

h 3
.
3

Câu 54. Cho một hình nón có bán ính đáy là R , chiều cao là 2R , ngoại tiếp một hình cầu S (O; r ) .
Khi đó, thể tích của hối tr ngoại tiếp hình cầu S (O; r ) là
A.



16 R 3



5 1

3

.

B.

4 R 3
.
1 2 5

C.

16 R 3

1  5 

3

.

D.

4 R 3
.
2 5 1

Câu 55. Trong số các hình tr có diện tích toàn phần đều bằng S thì bán kính R và chiều cao h của
hối tr có thể tích lớn nhất là
A. R 

S
1 S
;h 
.
2
2 2

B. R 

S
;h 
4

S
.
4

C. R 

2S
2S
;h  4
.
3
3

D. R 

S

S
;h  2
.
6
6

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ RÈN LUYỆN (CÓ HƢỚNG DẪN)
Câu 56. Thiết diện qua tr c của một hình nón tr n oay là một tam giác vuông cân có điện tích bằng
2a 2 . hi đó thể tích của hối nón bằng

A.

2 2 a 3
3

B.

Câu 57. Cho hình l p ph
tr có hai đ
bằng
A. S   a

 a3
3

C.

Câu 58. Một hình l p ph

2 a 3

3

t ngoại tiếp các hình vuông ABDC và A'B'C'D'.

B. S   a

2

2

C. S 

 a2 2
2

D. S 

hi đó S

 a2 2
4

ng có diện tích m t ch o bằng a 2 2 . Gọi V là thể tích hối cầu và S là diện

tích m t cầu ngoại tiếp hình l p ph

3 3 2 a 5
A. S .V 
2

D.

ng ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a . Gọi S là diện tích ung quanh của hình

ng tr n đáy lần l

2

4 2 a 3
3

ng nói trên. hi đó tích S.V bằng

3 2 a 5
B. S .V 
2

3 2 a 5
C. S .V 
2

3 6 2 a 5
D. S .V 
2

Câu 59. Cho hình hộp ch nh t ABCD.A'B'C'D' có AB  a, BC  a 3, AA '  a 5 . Gọi V là thể tích
hình nón sinh ra hi quay tam giác AA'C quanh tr c AA'. hi đó V bằng
Trang 19

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
A. V 

2 a 3 5
3

B. V 

 a3 5
3

C. V 

Năm học: 2017 - 2018

4 a 3 5
3

D. V 

4 a 3 3
5

Bán toàn bộ tài liệu Toán 12 với 3000 Trang rất
công phu của Tiến Sĩ Hà Văn Tiến. Tài liệu có
giải chi tiết rất hay, phân dạng đầy đủ dùng để
luyện thi THPT Quốc Gia 2018
Lớp 12+Luyện Thi THPT Quốc Gia 2018 trọn bộ

giá 200 ngàn

Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc
Gia + Ấn phẩm Casio 2018 của
ĐH Sƣ Phạm TPHCM
Thanh toán bằng mã thẻ cào Vietnam mobile gửi mã
thẻ cào+số seri+Mail qua số điện thoại

mình sẽ gửi toàn bộ cho bạn. đây là một phần trích
đoạn tài liệu của Tiến Sĩ Hà Văn Tiến

Trang 20

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278