BỘ CÂU HỎI VÀ ĐÁP ÁN ÔN THI ĐẦU VÀO CAO HỌC NGÀNH PP VÀ LL DẠY HỌC TOÁN CỦA TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ TỔNG HỢP SÁT THEO ĐỀ THI CÁC NĂM

Tài liệu ôn thi cao học

LL & PP dạy học bộ môn Toán

Câu 1. Theo R. Marzano, dạy học khái niệm, định lý được tiến hành như thế nào? Áp dụng vào dạy
học định nghĩa vectơ pháp tuyến trong hình học 10?
Trả lời
Theo R. Marzano, dạy học khái niệm, định lý được tiến hành qua ba bước:
 Xây dựng ý nghĩa cho kiến thức
 Tổ chức kiến thức
 Lưu giữ tri thức

a) Bước 1: Xây dựng ý nghĩa cho kiến thức: là dùng những gì đã biết để giải thích cho cái đang
học. Học tập kiến thức thông báo là tạo mối liên hệ giữa kiến thức mới (cái đang học) và kiến
thức cũ (cái đã biết). Người ta có nhiều cách để xây dựng ý nghĩa cho kiến thức thông báo. Ta cần
chú ý đến hai cách sau đây:
o Phương pháp K – W – L (K-W-L strategy Donna Ogle 1980)
Bước 1 (Known): Hỏi HS đã biết những gì có liên quan đến chủ đề sắp học (nhằm gợi lại
những kiến thức cũ làm cơ sở cho điều sắp học)
Bước 2 (Want): Yêu cầu HS liệt kê những gì muốn biết về chủ đề mới (làm dự đoán về
nội dung bài mới). Sau đó GV thu hẹp đề tài nghiên cứu (nếu cần).
Bước 3 (Learn): Hỏi HS xem các em đã vừa học điều gì (vừa củng cố lại các kiến thức vừa
chính xác hóa lại các kiến thức nếu các em hiểu sai)
o Phương pháp đưa ra ví dụ và phản ví dụ
Bước 1: GV đưa ra ví dụ (thuộc ngoại diên của khái niệm muốn hình thành cho HS) và
phản ví dụ (ví dụ về các đối tượng không thuộc ngoại diên khái niệm muốn hình thành cho HS)
để HS thử thử xác định các thuộc tính đặc trưng cho khái niệm đang xây dựng, HS nghĩ ra một
“mẫu” (mô hình) mà chứa đựng các thuộc tính đặc trưng đã xác lập, và dùng ví dụ, phản ví dụ để
thử kiểm tra xem có hợp với các mẫu đó không.
Bước 2: Sau một loạt ví dụ và phản ví dụ được HS đưa ra, GV cho HS thời gian suy ngẫm
về “mẫu” mà họ tạo ra.

Bước 3: Một loạt ví dụ và phản ví dụ được đưa ra tiếp để HS kiểm tra lại “mẫu” mà họ đã
thử lập ra hoặc những ý nghĩa cần thiết. Sau đó HS có thể trao đổi các “mẫu” với nhau.
Bước 4: GV yêu cầu HS tự tìm ví dụ và phản ví dụ để kiểm tra lại lần cuối cùng.
Bước 5: Mẫu (khái niệm) được đặt tên và HS xây dựng định nghĩa.
Bước 6: Cuối cùng HS giải thích lý do mà họ đưa ra trong quá trình xây dựng khái niệm.
b) Bước 2: Tổ chức kiến thức thông báo: là trình bày kiến thức theo chủ quan của người học và

cái gì là quan trọng, cái gì không quan trọng rồi thể hiện bằng sơ đồ, ký hiệu,…của thông tin đó.
Khi tổ chức kiến thức thông báo cần chú ý đến yếu tố tổng quát của thông tin.
Ví dụ: Thay vì “Hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau khi AB = A’B’, BC = B’C’ và CA = C’A’,
ta nên đọc lại: “Hai tam giác bằng nhau khi chúng có ba cạnh bằng nhau từng đôi một”.
c) Bước 3: Lưu giữ kiến thức thông báo: bằng nhiều cách
 Kết hợp nói, đọc, viết nhiều lần về thông tin đó.
 Liên kết với các thức đã biết, xác định rõ kiến thức nào cốt lõi, kiến thức nào có thể suy
ra từ các kiến thức khác, kiến thức nào nên sử dụng các bảng tra cứu (không cần ghi nhớ)

Trang 1


Tài liệu ôn thi cao học

LL & PP dạy học bộ môn Toán

Áp dụng: Dạy học phần: “Định nghĩa véc tơ pháp tuyến của đường thẳng” hình học 10.

a) Bước 1: Xây dựng kiến thức
o Phương pháp K – W – L.
GV hỏi các câu hỏi sau:
 Các em hãy nêu những gì đã biết về vectơ chỉ phương của đường thẳng? HS phát biểu
định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng và tính chất. GV hỏi tiếp thế những vectơ vuông

góc với vectơ chỉ phương nó có tên là gì? GV mời HS phát biểu định nghĩa vectơ pháp tuyến của
đường thẳng.
 Các em hãy liệt kê hay nêu những điều mà các em muốn biết về vectơ pháp tuyến
trong bài học hôm nay?
 Sau khi nghiên cứu xong phần vectơ pháp tuyến, GV hỏi: “Các em vừa học những gì về
vectơ pháp tuyến?”
o Phương pháp ví dụ và phản ví dụ
Bước 1: GV vẽ hình gồm có đường thẳng có vectơ chỉ phương 𝑢
⃗ và các vectơ khác trong
đó có những vectơ vuông góc với vectơ chỉ phương 𝑢
⃗ . HS dựa vào hình vẽ tự tìm ra những tính
chất của các vectơ khác đối với vectơ chỉ phương 𝑢
⃗ . Từ đó HS tự đưa ra ví dụ và phản ví dụ bằng
cách vẽ thêm những vectơ. Nếu HS cho đúng là vectơ pháp tuyến thì GV lấy làm ví dụ, ngược lại là
phản ví dụ.
e
d

a

Δ

f

c
b

Bước 2: HS suy ngẫm: Đó là những vectơ vuông góc với vectơ chỉ phương 𝑢
⃗
Bước 3: GV gợi ý

Câu hỏi: Góc của nó với VTCP 𝑢
⃗ là bao nhiêu?
Phải khác vectơ ⃗0
GV vẽ thêm một số vectơ để làm ví dụ và phản ví dụ
e
d

a

Δ

f

c
b
g
h

Trang 2


Tài liệu ôn thi cao học

LL & PP dạy học bộ môn Toán

Bước 4: GV yêu cầu HS cho ví dụ và phản ví dụ lần cuối.
Bước 5: HS mô tả, phát biểu định nghĩa và khái niệm được đặt tên
Mô tả: Khác vectơ không và vuông góc với….
Định nghĩa: Vectơ pháp tuyến là…
Bước 6 : HS giải thích lý do đưa ra định nghĩa như vậy.

b) Bước 2: Tổ chức kiến thức: Có thể hướng dẫn HS lập những sơ đồ sau đây:

Định nghĩa

n≠0
n ≠ u , với u là VTCP của Δ

n là VTPT của đường thẳng Δ

Tính chất

k n là VTPT của Δ (k ≠ 0)
Δ có vô số VTPT
Đường thẳng được xác định khi biết 1 điểm và VTPT

c) Bước 3: Lưu giữ kiến thức: Học thuộc định nghĩa, nhớ mối quan hệ vuông góc với vectơ chỉ
phương
Câu 2. Theo R. Marzano, dạy học kiến thức quy trình được tiến hành như thế nào? Áp dụng vào
𝒇(𝒙)
𝒉(𝒙)
dạy học giải bất phương trình 𝒈(𝒙) > 𝒌(𝒙)
Trả lời
Dạy học kiến thức quy trình

Dạy học kiến thức quy trình (tri thức phương pháp) bao gồm: Xây dựng mô hình, điều chỉnh
mô hình, nhâp tâm kiến thức qui trình (thành kĩ xảo)
a) Xây dựng mô hình
Trong dạy học toán, có hai kĩ thuật sau đây thường được dùng để xây dựng mô hình:
 Dùng lời: GV có thể dùng lời để mô tả mô hình của mình.
Ví dụ: “Hãy xem, bước 1 tôi làm như sau, bước 2 tôi làm như sau,…” Khi GV suy nghĩ và

đọc các thuật giải, cách giải, hướng giải như vậy HS có thể nắm được qui trình thực hiện.
 Dùng sơ đồ (a flow chart) mang tính chất cấu trúc hơn, phương pháp này khá trực
quan.
Ví dụ: Sơ đồ cho việc đọc tọa độ một điểm cực trị của đồ thị của một hàm số.

Đọc tọa độ điểm cực trị
Tìm điểm cực trị
Đọc hoành độ

Đọc tung độ

Kết luận
Trang 3


Tài liệu ôn thi cao học

LL & PP dạy học bộ môn Toán

b) Điều chỉnh mô hình
Sau khi HS hình dung sơ bộ một mô hình cho kiến thức qui trình, GV cần làm cho HS nắm
sâu hơn bằng cách phân tích và cho ví dụ dẫn dắt HS kiểm chứng lại mô hình, phát hiện ra những
lỗi lầm và giúp các em khắc phục được những khó khăn đó. Ở giai đoạn này, ta không buộc HS
làm nhanh hay chậm, mà chủ yếu trải qua những tình huống khác nhau, sau đó có thể áp dụng
được mô hình.

c) Nhập tâm kiến thức qui trình
Để nhập tâm kiến thức qui trình, HS giải luyện tập đến khi có thể vận dụng một cách thành
thạo. Đối với thuật giải (al-go-rit) có thể đạt đén trình độ tự động hóa. Đối với các lại khác dù cho
có nắm được hoàn hảo nhưng phải có suy nghĩa mới có thể thực hiện tốt được.

Khi đã nhập tâm ta không còn chú ý đến nó nữa, chỉ còn học thêm tri thức mới có thể thực
hiện tốt được.
𝒇(𝒙)

𝒉(𝒙)

Áp dụng vào dạy học giải bất phương trình 𝒈(𝒙) > 𝒌(𝒙) (𝟏)

a) Xây dựng mô hình
o Dùng lời
 Đưa về một vế
 Quy đồ mẫu số + Phân tích tử và mẫu ra thành thừa số
 Lập bảng xét dấu
 Kết luận nghiệm
o Sơ đồ
Đưa về một vế

Quy đồng mẫu số

Phân tích tử số ra thừa số

Phân tích mẫu số ra thừa số

Lập bảng xét dấu

Kết luận

b) Điều chỉnh mô hình
 Cho ví dụ áp dụng
 Phân tích lỗi sau đây:

 (1) ⇔ 𝑓(𝑥). 𝑘(𝑥) > ℎ(𝑥). 𝑔(𝑥)


𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)

ℎ(𝑥)

> 𝑔(𝑥) ⇔ 𝑓(𝑥) > ℎ(𝑥)

c) Nhập tâm: Cho nhiều bài tập áp dụng

Trang 4


Tài liệu ôn thi cao học

LL & PP dạy học bộ môn Toán

Câu 3. Cho biết các bước phân tích lỗi. Hãy phân tích lỗi của của một học sinh khi giải bài toán
sau: “𝒙𝟐 > 𝟏 ⇔ 𝒙 > ±𝟏”
Trả lời
Các bước phân tích lỗi:
 Xác định lỗi trong quá trình lập luận
 Nguyên nhân dẫn đến lỗi
 Hướng khắc phục và ngăn ngừa lỗi
Hãy phân tích lỗi của của một học sinh khi giải bài toán sau: “𝐱 𝟐 > 𝟏 ⇔ 𝐱 > ±𝟏”
o Xác định lỗi trong quá trình lập luận
o

𝑥 < −1
𝑥2 > 1 ⇔ [
𝑥>1

o

𝑥 2 > 1 ⇔ |𝑥| > 1
-1

1

o Nguyên nhân dẫn đến lỗi
 Học sinh quen với việc giải phương trình x 2 = 1 ⇔ x = ±1 áp dụng máy móc qua giải
BPT
 Học sinh chưa hiểu được cách giải BPT bậc 2 có dạng 𝑎x 2 + bx + c > 0 . Trong trường
hợp này x 2 > 1 ⇔ x 2 − 1 > 0
o Hướng khắc phục và ngăn ngừa lỗi
o Nhấn mạnh cho học sinh biết |𝑥| > 1 ≠ |𝑥| = 1
o

𝑥 2 − 1 > 0 phải xác định dấu của tam thức bậc 2 và kết luận tập nghiệm

Câu 4. Hãy nêu ra vai trò của phép phân tích trong hình thành khái niệm toán học cho HS. Cho ví
dụ minh họa
Trả lời
Vai trò của phép phân tích trong hình thành khái niệm

Nhận biết các thuộc tính và các thành phần là hết sức cần thiết trong việc hình thành khái
niệm.
Chẳng hạn như trong môn giải tích khái niệm trường được định nghĩa có độ phức tạp nội

tại cao; vì vậy để hiểu thấu đáo một khái nhiệm trong môn học này cần phải tiến hành phân tích
định nghĩa để rút ra các thuộc tính bản chất của khái niệm. Khi phân tích định nghĩa một khái

niệm trong môn giải tích cần phải:
 Chỉ ra các thuộc tính bản chất của khái niệm;
 Chỉ ra đặc điểm của tập xác đinh, tập giá trị, ý nghĩa hình học (đặc điểm đồ thị) của khái
niệm, ý nghĩa vật lý (nếu có)…
 Từ ý nghĩa khác nhau của khái niệm chỉ ra khả năng vận dụng khái niệm.
Nhờ đó GV có thể xây dựng một hệ thống ví dụ, phản ví dụ và bài tập để củng cố, luyện tập
vận dụng khái niệm và tìm khả năng vận dụng khái niệm.
Ví dụ minh họa: Phân tích khái niệm giới hạn của hàm số
SGK Đại số và giải tích 11 [20,tr.117-118] đã định nghĩa khái niệm giới hạn của hàm số như
sau:

Trang 5


Tài liệu ôn thi cao học

LL & PP dạy học bộ môn Toán

“Cho hàm số 𝑓(𝑥) xác định trên một khoảng K, có thể trừ điểm 𝑎 ∈ 𝐾. Ta nói hàm số 𝑓(𝑥) có
giới hạn là L (hay dần tới L), khi x dần tới a, nếu mọi dãy số (𝑥𝑛 )(𝑥𝑛 ∈ 𝐾, 𝑥𝑛 ≠ 𝑎, ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ ) sao
cho khi lim 𝑥𝑛 = 𝑎 thì lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝐿”
Ta có thể tóm tắt định nghĩa trên như sau:
𝑑𝑒𝑓

lim 𝑓(x) = 𝐿 ⇔ ∀(𝑥𝑛 )(𝑥𝑛 ∈ 𝐾, 𝑥𝑛 ≠ 𝑎, ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ ), lim 𝑥𝑛 = 𝑎 ⇒ lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝐿

𝑥→𝑎

Do đó khái niệm giới hạn của hàm số được xây dựng theo quan điểm tĩnh; tức là hàm số
𝑓(𝑥) có giới hạn là L khi x dần tới a là một đối tượng có tính chất:
∀(𝑥𝑛 )(𝑥𝑛 ∈ 𝐾, 𝑥𝑛 ≠ 𝑎, ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ ) sao cho lim 𝑥𝑛 = 𝑎 thì lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝐿
Để xem xét một hàm số 𝑓(𝑥) có giới hạn là L khi x dần tới a hay không ta phải qua một quá
trình:
Bước 1: 𝐶ℎ𝑜 (𝑥𝑛 ) 𝑙à 𝑑ã𝑦 𝑏ấ𝑡 𝑘ỳ 𝑣ớ𝑖 (𝑥𝑛 ∈ 𝐾, 𝑥𝑛 ≠ 𝑎, ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ ) và có lim 𝑥𝑛 = 𝑎
Bước 2: Lập dãy số 𝑓(𝑥𝑛 ) và xét lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝐿
Bước 3: Nếu lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝐿 thì kết luận lim f  x n   L
xa

Nếu dãy 𝑓(𝑥𝑛 ) không có giới hạn thì ta kết luận 𝑓(𝑥) không có giới hạn là L khi x dần tới a.
Qua phân tích trên ta thấy rằng khái niệm gới hạn của hàm số được định nghĩa thông qua
khái niệm giới hạn của dãy không phải là một khái niệm quá khó hiểu đối với người mới bắt đầu
học. Nó khắc phục được những khó khăn về nhân thức của khái niệm này do định nghĩa bằng
ngôn ngữ "𝜀, 𝛿"tạo ra.
Trong hình thành khái niệm giới hạn của hàm số, các sách giáo khoa thường đi theo con
đường qui nạp. Từ một hay vài ví dụ về một hàm số có giới hạn, sử dụng khái quát hóa để đi đến
định nghĩa khái niệm. Tuy nhiên, theo chúng tôi, chúng ta có thể dùng ví dụ và phản ví dụ để hình
thành khái niệm giới hạn của hàm số như sau:
Đầu tiết GV cho hai bài tập sau đây để kiểm tra bài cũ:
Bài 1: Cho hàm số 𝑓(𝑥) =
lim 𝑥𝑛 = 1

𝑥 2 −1
𝑥−1

. Gọi (𝑥𝑛 ) là một dãy bất kỳ sao cho 𝑥𝑛 ≠ 1 với ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ và

Chứng minh rằng dãy số 𝑓(𝑥𝑛 ) có giới hạn là 2

Bài 2: Cho hàm số
𝑛ế𝑢 𝑥 < 0
𝑓(𝑥) = { 𝑥
𝑥 + 1 𝑛ế𝑢 𝑥 > 0
𝑛
a. Cho dãy số (𝑥𝑛 ) với 𝑥𝑛 = 𝑛2 +1 . Tính lim 𝑥𝑛 và lim 𝑓(𝑥𝑛 )
b. Cho dãy số (𝑥𝑛 ) với 𝑥𝑛 =

1−2𝑛
𝑛2

. Tính lim 𝑥𝑛 và lim 𝑓(𝑥𝑛 )

Sao khi chỉnh sửa các sai sót của HS, GV chỉ ra sự khác biệt:
Đối với bài 1: hàm số 𝑓(𝑥) có tính chất ∀(𝑥𝑛 ) ( 𝑥𝑛 ≠ 1, ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ ), lim 𝑥𝑛 = 1 ⇒ lim 𝑓(𝑥𝑛 ) =
2. Vì có tính chất này nên người ta nói rằng 𝑓(𝑥) có giới hạn là 2 khi x dần tới 1.
Đối với Bài 2:
𝑛

Nếu 𝑥𝑛 = 𝑛2 +1 (𝑥𝑛 ≠ 0) thì lim 𝑥𝑛 = 0 và lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 0
Nếu 𝑥𝑛 =

1−2𝑛
𝑛2

(𝑥𝑛 ≠ 0) thì lim 𝑥𝑛 = 0 và lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 1

Do đó, 𝑓(𝑥) không có tính chất ∀(𝑥𝑛 ) ( 𝑥𝑛 ≠ 0, ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ ) nếu lim 𝑥𝑛 = 0 thì 𝑓(𝑥𝑛 ) có cùng
một giới hạn. Trong trường hợp này, người ta nói rằng hàm số 𝑓(𝑥) không có giới hạn khi x dần
tới 0.

GV cũng cần chỉ ra sự khác biệt trên đồ thị hàm số.
Cuối cùng, GV khái quát hóa và phát biểu định nghĩa giới hạn của hàm số.
Trang 6


Tài liệu ôn thi cao học

LL & PP dạy học bộ môn Toán

GV có thể nêu thêm cho HS một số phát biểu gần đúng và có tính trực giác là: lim f  xn   L
xa

nếu các giá trị của hàm số 𝑓(𝑥) dần tới L khi x dần tới a.
Ngoài ra, GV cần chỉ rõ cho HS những điều sau đây
 Tập xác định: Hàm số có giới hạn là L khi x dần tới a có thể không nhất thiết phải xác
định tại 𝑥 = 𝑎
 Tập giá trị: có thể 𝑓(𝑎) không xác định. Nếu 𝑓(𝑎) xác định thì có thể 𝑳 = 𝒇(𝒂) và cũng
có thể 𝑳 ≠ 𝒇(𝒂) (tức là L không nhất thiết phải bằng 𝑓(𝑎)).
Để cho HS thấy rõ các điều trên và nắm được vững khái niệm giới hạn của hàm số, GV dùng
sơ đồ để biểu thị những khả năng có thể xảy ra khi một hàm số có giới hạn với tập xác định và tập
giá trị của nó và dùng nhiều ví dụ và phản ví dụ để minh họa chẳng hạn như những ví dụ và phản
ví dụ sau đây:
a) Hàm số 𝑓(𝑥) =

𝑥 2 −4
𝑥−2

b) Hàm số 𝑓(𝑥) = {

không xác định tại 𝑥 = 2 nhưng lim f  x   4

x 2

3𝑥 + 4 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≠ 1
xác định tại 𝑥 = 1 nhưng lim f  x   f 1
x 1
2
𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 1

c) Hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2 xác định tại 𝑥 = 3 và lim f  x   f  3  11
x 3

d) Hàm số 𝑓(𝑥) = √𝑥 không có gới hạn khi x dần tới 0 vì không có khoảng K nào chứa 0 mà
𝑓(𝑥) xác định với mọi 𝑥 ∈ 𝐾\{0}
2𝑥 + 1 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≥ 1
e) Hàm số 𝑓(𝑥) = {
không có giới hạn khi x dần tới 1. Vì
3𝑥 − 1 𝑘ℎ𝑖 𝑥 < 1
𝑛+1

𝑛+1

𝑛+1

𝑛
𝑛−1

𝑛
𝑛−1

𝑛

𝑛−1

𝑛

𝑛

𝑛

Dãy (
Dãy (

) có lim (
) có lim (

f) Hàm số 𝑓(𝑥) =
1

𝑥+2
𝑥

) = 1 thì lim 𝑓 (
) = 1 thì lim 𝑓 (

)=3
)=2
1

1

không có giới hạn khi x dần tới 0 vì nếu dãy (𝑛) có lim (𝑛) = 0 mà

lim 𝑓 (𝑛) không tồn tại
Ngoài ra, để giúp HS nắm được đặc điểm đồ thị của hàm số khi x dần tới a, GV cũng cần nêu
ra các đặc điểm của đồ thị và các bài tập nhận biết hàm số có giới hạn hay không có giới hạn
thông qua đồ thị của chúng.
Câu 5. Hãy nêu ra vai trò của phép phân tích trong dạy học định lý? Cho ví dụ minh họa?
Trả lời
Vai trò của phép phân tích trong dạy học định lý
Phân tích định lý là biết “phân tích giả thiết và kết luận” của định lý: đâu là giả thiết, đâu là
kết luận của định lý, sự liên hệ giữa giả thiết và kết luận, phân tích các bước chứng minh trong
định lý. Ngoài ra, ta phân tích định lý để tìm các khả năng ứng dụng của định lý.
Ví dụ minh họa
Nhờ phân tích, chúng ta có thể hiểu rõ định lý về mối liên hệ giữa giới hạn một bên và giới
hạn hàm số trong SGK Đại số và Giải tích 11.
“Định lí: Điều kiện ắt có và đủ để lim f  xn   L là lim f  xn  , lim f  xn  đều tồn tại và
xa

x a

x a

bằng L”
Khái niệm giới hạn hàm số được định nghĩa (tóm tắt): lim f  xn   L khi và chỉ khi
xa

∀(𝑥𝑛 )(𝑥𝑛 ≠ a ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ ) , nếu lim 𝑥𝑛 = 𝑎 thì lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝐿

Trang 7

Tài liệu ôn thi cao học

LL & PP dạy học bộ môn Toán

Khái niệm giới hạn một bên được định nghĩa (tóm tắt) như sau:
1) lim f  xn   L ∀(𝑥𝑛 ), 𝑥𝑛 > 𝑎 ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ , nếu lim 𝑥𝑛 = 𝑎 thì lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝐿
x a

2) lim f  xn   L ∀(𝑥𝑛 ), 𝑥𝑛 < 𝑎 ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ , nếu lim 𝑥𝑛 = 𝑎 thì lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝐿
x a

 Để hiểu rõ được bản chất định lí trên, ta cần phân biệt các tập hợp, 𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 , 𝑣à 𝑆 sau đây:
𝑆1 = {(𝑥𝑛 ): 𝑥𝑛 > 𝑎 ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ và lim 𝑥𝑛 = 𝑎} gồm các dãy số (𝑥𝑛 ) 𝑐ó lim(𝑥𝑛 ) = 𝑎 nhưng
các số hạng của dãy đều lớn hơn a
𝑆2 = {(𝑥𝑛 ): 𝑥𝑛 < 𝑎 ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ và lim 𝑥𝑛 = 𝑎} gồm các dãy số (𝑥𝑛 ) 𝑐ó lim(𝑥𝑛 ) = 𝑎 nhưng
các số hạng của dãy đều nhỏ hơn a
𝑆3 = {(𝑥𝑛 ): 𝑥𝑛 ≠ 𝑎 ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ , ∃𝑛 𝑥𝑛 > 𝑎 và lim 𝑥𝑛 = 𝑎} gồm các dãy số (𝑥𝑛 ) 𝑐ó lim(𝑥𝑛 ) =
𝑎 nhưng các số hạng của dãy dao động qua lại a
𝑆 = {(𝑥𝑛 ), : 𝑥𝑛 ≠ 𝑎 ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ và lim 𝑥𝑛 = 𝑎} gồm các dãy số (𝑥𝑛 ) 𝑏ấ𝑡 𝑘ỳ 𝑐ó lim(𝑥𝑛 ) = 𝑎 và
các số hạng của dãy đều khác a
Do đó 𝑆 = 𝑆1 ∪ 𝑆2 ∪ 𝑆3
 Ý nghĩa của định lí: Nếu lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝐿 với ∀(𝑥𝑛 ) ∈ 𝑆1 ∪ 𝑆2 𝑡ℎì lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝐿 với ∀(𝑥𝑛 ) ∈
𝑆3 , hay nếu lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝐿 với ∀(𝑥𝑛 ) ∈ 𝑆1 ∪ 𝑆2 𝑡ℎì lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝐿 với ∀(𝑥𝑛 ) ∈ 𝑆
 Công dụng: Tính được các bài toán cóa dạng như lim f  xn  , trong đó 𝑓(𝑥) được cho như
x2

sau:
2𝑥 + 1 𝑘ℎ𝑖 𝑥 > 1
𝑓(𝑥) = {
4𝑥 − 3 𝑘ℎ𝑖 𝑥 < 1

Câu 6. Để nhận ra một dạng - mẫu, người ta có thể sử dụng mô hình nào? Áp dụng: Hãy tìm các
dạng mẫu của khái niệm cấp số nhân?
Trả lời
Mô hình nhận biết dạng mẫu
 Để nhận biết một dạng mẫu, ta có thể sử dụng mô hình nhận biết một dạng – mẫu sau
đây:

Quan sát và phân tích tìm các mối liên hệ

Phát hiện dạng - mẫu

Diễn tả dạng - mẫu bằng lời hay ký hiệu
 Có 3 dạng mẫu: Dạng mẫu số, dạng mẫu hàm số, dạng mẫu logic
Ví dụ: Dạy học khái niệm cấp số nhân và tính đạo hàm của hàm số 𝐲 = 𝐬𝐢𝐧(𝐜𝐨𝐬(𝐬𝐢𝐧𝐱)) bằng
phân tích để nhận biết dạng mẫu.
Trang 8


Tài liệu ôn thi cao học

LL & PP dạy học bộ môn Toán

Dạy học khái niệm cấp số nhân (Nhận biết dạng mẫu số)
GV: Xét dãy số 1, 2, 4, 8, 16, 32, … Hãy cho biết ba số hạng tiếp theo của dãy trên là gì? Tại
sao?
HS trả lời: 64, 128, 256, vì ta có 𝑢2 = 𝑢1 . 2, 𝑢3 = 𝑢2 . 2, 𝑢4 = 𝑢3 . 2, … Số hạng kề sau bằng
bằng số hạng đứng kề trước nhân cho một số không đổi là 2.
GV: Hãy cho thêm một ví dụ khác tương tự như dãy trên và các dãy số trên được viết theo
quy luật gì?
Sau khi học sinh cho thêm ví dụ, GV khái quát hóa và đi đến khái niệm cấp số nhân.

Dạy học khái niệm cấp số nhân (Nhận biết dạng mẫu hàm số)
Để tính được đạo hàm của hàm số 𝑦 = sin(cos(𝑠𝑖𝑛𝑥)), HS phải nhận ra được dạng – dạng
mẫu của hàm số trên là 𝑦 = sin 𝑢 (𝑣ớ𝑖 𝑢 = cos(sin 𝑥)) . Do đó 𝑦 ′ = cos 𝑢 . 𝑢′ =
cos(cos(𝑠𝑖𝑛𝑥)) (cos(sin 𝑥))′
Để trính đạo hàm của 𝑦 = cos(sin 𝑥), học sinh lại phải nhận ra dạng mẫu của hàm số này
là 𝑦 = cos 𝑢 (𝑣ớ𝑖 𝑢 = sin 𝑥). Do đó 𝑦 ′ = − sin 𝑢 . 𝑢′ = − sin(sin 𝑥) (sin 𝑥)′ = − sin(sin 𝑥) . cos 𝑥
Cuối cùng (sin(cos(𝑠𝑖𝑛𝑥)))′ = − cos(cos(sin 𝑥)) . sin(sin 𝑥) . cos 𝑥

Trang 9


Tài liệu ôn thi cao học

LL & PP dạy học bộ môn Toán

Câu 7. Để khái quát hóa, người ta có thể thực hiện theo qui trình nào? Áp dụng.
Trả lời
Qui trình khái quát hóa
Quan sát "Cái riêng"
Kiểm chứng và ứng dụng vào tình
huống mới hay giới thiệu khái niệm mới

Phân tích tìm các mối quan hệ

Khái quát hóa: Tìm ra "Cái chung"

Sơ đồ khái quát hóa từ cái riêng
Quy trình hành động khi tiến hành khái quát hóa như sau với chủ thể hành động:
Bước 1: (Quan sát) quan sát một hay một số sự vật, hiện tượng cụ thể hay đơn nhất.
Bước 2: (Phân tích): Tiến hành phân tích hay so sánh để tìm các mối liên hệ, tìm những đặc

điểm của sự vật hay hiện tượng.
Bước 3: (Khái quát hóa) chỉ ra đặc điểm chung có tính khái quát.
Bước 4: (Kiểm chứng) tiến hành kiểm chứng hay xem xét lại đưa ra khái niệm mới hay vận
dụng vào tình huống mới.
Áp dụng
Bước 1: Xem xét bài toán giải phương trình 𝑥 2 = 2√2𝑥 + 3 + 3 (1) với lời giải như sau:
Đặc 𝑢 = √2𝑥 + 3
2
u=x
Ta có {𝑢2 = 2𝑥 + 3 lấy vế trừ theo vế ta được: u2 − x 2 = 2(x − u) ⇔ {
u
= −x − 2
𝑥 = 2𝑢 + 3
Trường hợp 1: 𝑢 = 𝑥 hay √2𝑥 + 3 = 𝑥 ⇔ 𝑥 = 3

Trường hợp 2: 𝑢 = −𝑥 − 2 hay √2𝑥 + 3 = −𝑥 − 2 (𝑣𝑛)
Vậy 𝑥 = 3 là nghiệm của phương trình (1)
Bước 2: Phân tích mối quan liên hệ: Chú ý mối quan hệ giữa số 2 và số 3 trong phương trình
trên
Bước 3: Khái quát hóa thành dạng toán tổng quát 𝑥 2 = 𝑎√𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑏 (𝐼)
2
Đặc 𝑢 = √2𝑥 + 3 Ta đưa về hệ {𝑢2 = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑥 = 𝑎𝑢 + 𝑏

Bước 4:
Áp dụng 1: Giải phương trình 𝑥 2 − 2𝑥 − 1 = 3√3𝑥 − 1 (𝐼𝐼). Đặt 𝑡 = 𝑥 − 1 ta đưa dạng
(II) về dạng (I): 𝑡 2 = 3√3𝑥 + 2 + 2
3

Áp dụng 2: Giải phương trình 𝑥 3 = 𝑎 √𝑎𝑥 + 𝑏. Cụ thể giải phương trình: 𝑥 3 =

3√3𝑥 − 2 − 2
3

Đặc 𝑢 = √3𝑥 − 2
3
Ta có {𝑢3 = 3𝑥 − 2 ⇒ u3 − x 3 = 3(x − u) ⇒ (x − u)(𝑥 2 + 𝑥𝑢 + 𝑢2 + 3) = 0 ⇒ x = 𝑢 ⇔
𝑥 = 3𝑢 − 2
𝑥=1
Trang 10


Tài liệu ôn thi cao học

LL & PP dạy học bộ môn Toán

Câu 8. Trong dạy học ĐL, khái quát hóa có thể sử dụng ở những khâu nào? Cho ví dụ minh họa
Trả lời
Trong dạy học định lí, khái quát hóa có thể sử dụng ở những khâu sau đây:
 Khái quát hóa để hình thành giả thuyết (nêu ra một dự đoán)
 Từ việc xem xét một trường hợp đặc biệt, ta hình thành một giả thuyết (có tính khái
quát). Sau đó, kiểm chứng để đi đến một định lý mới.
 Trong dạy học định lý, ta có thể dùng qui nạp để khái quát hóa thành giả thuyết.
 Khái quát hóa từ việc chứng minh một định lý: Từ phương pháp chứng minh định lý,
khái quát hóa định lý
 Khái quát hóa kết luận định lý
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Chứng minh định lý Pitago (minh họa ý 2 và 3)
Xét tam giác ABC vuông tại A
2

⃗⃗⃗⃗⃗ 2 = (𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ 2 − 2𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ 2 = 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ 2 − 2|𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ | cos(𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ) + 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ 2
Ta có: 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ 2 = ⃗⃗⃗⃗⃗
hay 𝐵𝐶
𝐴𝐶 2 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 2 ⇒ 𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐶 2 + 𝐴𝐵 2
Khái quát hóa: Trong một tam giác vuông bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương
hai cạnh góc vuông
Đối với góc A bất kỳ ta có định lí sin: 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐. cos 𝐴
Ví dụ 2: Chứng minh định lý Sin (minh họa ý 1)
Chứng minh định lí sin:
𝑎
𝑏
𝑐
=
=
= 2𝑅
sin 𝐴 sin 𝐵 sin 𝐶

Xét tam giác ABC vuông hoặc đều thì đẳng thức đúng
Vậy nếu xét tam giác ABC bất kỳ thì định lí có đúng không? (Khái quát hóa hình thành giả
thuyết)

Trang 11


Tài liệu ôn thi cao học

LL & PP dạy học bộ môn Toán

Câu 9. Hãy nêu qui trình cho việc thực hiện so sánh. Hãy sử dụng biểu đồ Ven hay Ma trận để so
sánh định nghĩa VTCP và VTPT của đường thẳng trong mặt phẳng?
Trả lời
Qui trình so sánh
Bước 1: Xem xét các thuộc tính của hai đối tượng, hai khái niệm.
Bước 2: Liệt kê những điểm giống nhau của hai đối tượng được nghiên cứu.
Bước 3: Liệt kê những điểm khác nhau.
Bước 4: Tóm tắt những điểm giống nhau và khác nhau.
Theo Marzano để thực hiện sự so sánh người ta dùng theo các bước sau đây:
 Chọn đối tượng cần được so sánh
 Chọn các thuộc tính của đối tượng để làm cơ sở cho việc so sánh
 Giải thích các đối tượng giống và khác nhau như thế nào theo thuộc tính đã chọn
Nói cách khác để thực hiện so sánh ta càng trả lời câu hỏi sau đây:
1. Cái gì cần được so sánh?
2. Cái gì về chúng cần so sánh?
3. Chúng giống và khác nhau ở điểm nào?
Áp dụng: So sánh định nghĩa VTCP và VTPT của đường thẳng trong mặt phẳng?
Định nghĩa VTCP: Vectơ 𝑢
⃗ được gọi là VTCP của đường thẳng ∆ nếu 𝑢

⃗ ≠ ⃗0 và giá của vectơ 𝑢
⃗
song song hoặc trùng với đường thẳng ∆
Định nghĩa VTPT: Vectơ 𝑛⃗ được gọi là VTPT của đường thẳng ∆ nếu 𝑛⃗ ≠ ⃗0 và 𝑛⃗ vuông góc
với VTCP của đường thẳng ∆
Dùng Ma trận
Thuộc tính
Điều kiện vectơ
Ràng buộc giá của vectơ với
đường thẳng ∆

VTCP

VTPT

𝑢
⃗ ≠ ⃗0

𝑛⃗ ≠ ⃗0

Giá của vectơ 𝑢
⃗ song song hoặc
trùng với đường thẳng ∆

Giá của vectơ 𝑛⃗ vuông góc với
đường thẳng ∆
n

u

Hình ảnh
Δ

Hướng của vectơ

Không ràng buộc về hướng

Δ

Không ràng buộc về hướng

Trang 12


Tài liệu ôn thi cao học

LL & PP dạy học bộ môn Toán

Dùng biểu đồ Ven

u≠0,n≠0
VTCP của đường
thẳng Δ

Xét vị trí tương đối
của giá của vectơ
và đường thẳng Δ

Giá của u song song
hoặc trùng với đường

thẳng Δ

VTPT của
đường thẳng Δ
Giá của u vuông góc
với đường thẳng Δ

u

n

Δ
Δ

Trang 13


Tài liệu ôn thi cao học

LL & PP dạy học bộ môn Toán

Câu 10. Trong hình thành khái niệm, hành động so sánh, khái quát hóa được thực hiện trong
những khâu nào? Cho ví dụ inh họa
Trả lời
So sánh trong hình thành khái niệm
 - Trong quá trình hình thành khái niệm thì hành động so sánh và khái quát hóa luôn
xảy ra liền sau quá trình phân tích, có như vậy mới giúp học sinh phân loiạ những đối tượng đang
tác động thuộc hay không thuộc ngoại diên của khái niệm.
 Từ đó tới khái quát hóa dẫn đến hình thành khái niệm
Ví dụ minh họa

Trong dạy học khái niệm hai vectơ bằng nhau, giáo viên cho hình ảnh sau:Trong dạy học
khái niệm hai vectơ bằng nhau, GV cho hình ảnh sau:
d1
a1

d2

a2
e1

b1

e2
b2

c1
c2

f1
f2

 Học sinh phân tích và tiến hành so sánh để phân tích rõ ràng hai nhóm đối tượng như
trên.
 Nhờ sự hướng dẫn gợi ý học sinh khái quát hóa lên và tự lĩnh hội được khái niệm hai
vectơ bằng nhau.
 Giáo viên chính xác hóa lại khái niệm

Trang 14

Tài liệu ôn thi cao học

LL & PP dạy học bộ môn Toán

Câu 11. Deese đã quan niệm về mối liên hệ giữa động cơ, nhu cầu và mục tiêu như thế nào? Từ
quan niệm của Deese hãy đưa ra một qui trình gợi động cơ học tập cho học sinh? Áp dụng.
Trả lời:
Quan niệm của Deese
Theo Deese (1958), động cơ là một sự thoi thúc làm cho con người (hay con vật) tích cực.
Deese cho rằng động cơ có ích nhất hai thành phần là: Nhu cầu và mục tiêu (goal). Gần như mọi
nhu cầu điều có mục tiêu nào đó nhằm thỏa mãn nhu cầu đó.
Qui trình động cơ học tập cho học sinh
Bước 1: Tạo nhu cầu học tập cho học sinh
Bước 2: xác định mục tiêu (mục đích) học tập (của tiết, của chương)
Qui trình dạy học có gợi động cơ học tập
Bước 1: Gợi động cơ học tập
 Tạo nhu cầu học tập
 Xác định mục tiêu (mục đích) của học sinh
Bước 2: Tiến hành hoạt động dạy học nhằm chiếm lĩnh mục tiêu dạy học
 Thực hiện các hành động dạy học (Theo các yêu cầu hành động của thầy)
Áp dụng
Ví dụ 1: Gợi động cơ học tập khi dạy khái niệm “Phép tịnh tiến”
Bước 1: Tạo nhu cầu học tập cho học sinh
 Khi đẩy cánh cửa trượt sao cho chốt cửa đi từ vị trí A đến vị trí B, theo hướng từ A
đến B và với độ dài AB. Việc làm đó là ta đang áp dụng phép biến hình. Phép biến
hình đó là gì?
Bước 2: Xác định mục tiêu của tiết học
 Trong toán học việc di chuyển một điểm theo một hướng và khoảng cách cho trước
ta gọi là tịnh tiến.
Ví dụ 2: Tạo động cơ học tập cho học sinh khi dạy bài “Sự liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn

điệu”
Bước 1: Tạo nhu cầu học tập cho học sinh
 Giáo viên: Hãy xét tính đơn điệu của hàm số: y = x 3 + x
 Nếu dùng định nghĩa để giải bìa toán trên thì ta tốn rất nhiều thời gian vậy liệu có
một cách khác để giải nhanh và tiện lợi hơn hay không?
Bước 2: Xác định mục tiêu của tiết học
 Các nhà toán học đã có cách làm rất tiện lợi là sử dụng “Dấu của đạo hàm để xét
tính đơn điệu của kàm số”. Tiết học này ta sẽ tìm ra cách giải đó

Trang 15


Tài liệu ôn thi cao học

LL & PP dạy học bộ môn Toán

Câu 12. Bản chất của dạy học niêu vấn đề? Thế nào là tình huống nêu vấn đề? Ba điều kiện của tình
huống có vấn đề là gì? Hãy xác định tình huống có vấn đề khi dạy học?
Trả lời:
Bản chất của dạy học nêu vấn đề
Bản chất cảu dạy học nêu vấn đề là đưa ra trước cho học sinh những tình huống có vấn đề,
những điều kiện bảo đảm việc giải quyết các vấn đề đó và những chỉ dẫn nhằm tạo ra cho học
sinh hoạt động tích cực, tận lực tập trung để giải quyết vấn đề.
Bằng con đường đó không những giúp học sinh tiếp thu được kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo mới
mà học sinh còn được rèn luyện năng lực tự nhận thức phát triển thư duy sáng tạo và tư duy
khoa học
Thế nào là tình huống có vấn đề
Là những tình huống tạo ra cho học sinh những khóa khăn về lí luận hay thực tiễn mà họ
cần thiết và có khả năng vượt qua nhưng không phải ngay tưc khắc mà nhờ một quy tắc có tính
chất thuật giải, mà phải trãi qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng

hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có.
Ba điều kiện của tình huống có vấn đề
Tồn tại một vấn đề: Tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tế và trình độ nhận thức,
chủ thể phải ý thức được một khó khăn trong tư duy hoặc hành động mà vốn hiểu biết sẵn có
không thể vượt qua. Nói cách khác, phải tồn tại một vấn đề mà học sinh chưa giải quyết được,
chưa có một quy tắc có tính chất thuật toán để giải đáp câu hỏi này sinh ra trong tình huống đó.
 Gợi nhu cầu nhận thức: Nếu một vấn đề mà học sinh không có nhu cầu giải quyết vấn
đề thì đây chưa phải là một tình huống có vấn đề. Trong tình huống có vấn đề, học sinh có một
“câu hỏi”, một sự “ngạc nhiên”, một “điều trăn trở” cần được giải quyết, tức là được chủ thể chấp
nhận. tình huống có vấn đề gây được cảm xúc, hứng thú và lòng mong muốn, sẵn sàng hoạt động
tích cực để giải quyết vấn đề.
 Gây niềm tin ở khả năng: Nếu một vấn đề tuy hấp dẫn, nhưng nếu học sinh cảm thấy
nó vượt quá xa so với khả năng của họ thì họ cũng không sẵn sàn giải quyết vấn đề. Cần làm cho
học sinh thấy rõ tuy họ chưa có ngay lời giải, nhưng đã một số kiến thức, kĩ năng liên quan đến
vấn đề đặt ra và nếu họ tích cực suy nghĩ thì có hy vọng giải quyết vấn đề đó. Tình huống có vấn
đề luôn đặt ra cho học sinh một niềm tin ở khả năng giải quyết vấn đề.
Xây dựng tình huống có vấn đề
a) Nếu bài toán đặt vấn đề mà cách giải quyết dẫn đến việc hình thành kiến thức mới.
Ví dụ: Để dẫn dắt học sinh nắm được quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số liên tục trên
đoạn [𝑎; 𝑏]. Giáo viên có thể cho học sinh giải bài toán sau:
Tìm GTLN và GTNN của hàm số 𝒚 = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝒎 trên [−𝟏; 𝟐].
o Đầu tiên GV yêu cầu học sinh lập bảng biến thiên của hàm số
x

-1

+

y'

1

1

2

2

0

-

0

2
+
m + 26

m+1
y
m-1

m-1
1

o

Tìm GTLN bằng cách so sánh giá trị cực đại 𝑦 (− 2) = 𝑚 + 1 và giá trị 𝑦(2) = 𝑚 + 26

o

Tìm GTNN chỉ cần so sánh giá trị cực tiểu 𝑦 ( ) = 𝑚 − 1 và giá trị 𝑦(−1) = 𝑚 − 1

1
2

Trang 16


Tài liệu ôn thi cao học
o

LL & PP dạy học bộ môn Toán

Sau đó ta có thể cho học sinh giải quyết tiếp bài toán: “Tìm GTLN và GTNN của hàm
số 𝑦 = 1 + 4𝑥 − 𝑥 2 ” trên đoạn [−1; 3]

Cuối cùng tổ chức cho học sinh tìm ra quy luật sau đây
Bước 1: Tìm giá trị của hàm số tại 𝑥0 trên đoạn [𝑎; 𝑏] mà tại đó hàm số đạo hàm triệt tiêu
hay không xác định
Bước 2: 𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏), 𝑓(𝑥0 )
Bước 3: Cho học sinh so sánh các giá trị trên và kết luận
b) Lợi dụng kiến thức cũ để đặt vấn đề, dẫn đến kiến thức mới
Ví dụ: Để dẫn dến định lí hàm số sin trong lượng giác, giáo viên kiểm tra kiến thức cũ của
học sinh: Xác định hệ thức giữa các cạnh 𝑎, 𝑏, 𝑐 của một tam giác vuông và sin 𝐴 , sin 𝐵 , sin 𝐶 (𝐴 =
𝑏
𝑐
𝑎
900 ) trong tam giác đó 𝑏 = 𝑎 sin 𝐵 , 𝑐 = 𝑎 sin 𝐶 hay sin 𝐵 = sin 𝐶 = sin 𝐴 = 2𝑅, với 2𝑅 = 𝑎 là đường
kính của đường tròn ngoại tiếp với tam giác.

Ở đây xuất hiện một vấn đề là hệ thức này có còn đúng với trường hợp thường có A là
góc nhọ hay góc tù hay không?
Học sinh đưa ra giả thuyết rằng hệ thức đó vẫn đúng, rồi kiểm tra lại giả thuyết bằng
chứng minh cho mỗi trường hợp với A là góc nhọn hay A là góc tù.
Ví dụ:
c) Bằng công tác thực hành (Làm mô hình, hình vẽ, đo đạc, tính toán, …) đặt vấn đề dẫn đến
kiến thức mới

sin x
(x tính bằng radian), GV cho HS tính tỉ số bằng radian và giảm
x 0
x
sin x
 1 (x tính bằng radian) sau đó chứng minh giả thuyết
về 0 để đi dến giả thuyết lim
x 0
x
Ví dụ: Khi dạy về lim

từ

𝜋
2

này.

Trang 17


Tài liệu ôn thi cao học

LL & PP dạy học bộ môn Toán

Câu 13. Trình bày một mô hình dạy học có thể sử dụng dạy học khám phá khái niệm, định lý và cho
biết nếu dạy như vậy thì GV có thể phát triển năng lực tư duy nào cho HS?
Trả lời
Mô hình dạy học có thể sử dụng dạy học khám phá khái niệm, định lý:

Dạy học khái niệm bằng cách cho ví dụ và phản ví dụ
o Qui trình
Hoạt động của thầy giáo (a)
1a. Gợi động cơ học tập

Hoạt động của HS (b)
1b. Hành động theo yêu cầu của thầy

2a. Đưa ra ví dụ và phản ví dụ để yêu cầu HS chỉ 2b. Quan sát liệt kê những điểm khác nhau
ra những tính chất khác biệt của ví dụ và
của ví dụ và phản ví dụ (Quan sát và so
phản ví dụ
sánh)
3a. Các ví dụ trên được gọi là … được gọi là …
Một cách tổng quát, khi nào …được gọi là ….? 3b. Phát biểu định nghĩa khái niệm
4a. Chính xác hóa định nghĩa và yêu cầu HS lập
lại định nghĩa.
4b. Nhắc lại định nghĩa
o Nhận định về mô hình
 Hình thành khái niệm theo con đường trên, giáo viên tạo cơ hội cho HS phân tích,
so sánh chỉ ra các đặc điểm khác biệt của cacs ví dụ và phản ví dụ, khái quát hóa để cuối
cùng tự phát biểu định nghĩa khái niệm

 Đối với một số khái niệm khó, GV nên đưa ra thêm một số câu hỏi để từ định nghĩa
học sinh rút ra những tính chất cần chú ý thêm của khái niệm.
o Ví dụ minh họa: Dạy học khái niệm hai vectơ bằng nhau
Hoạt động của thầy giáo (a)

Hoạt động của HS (b)

1a. Gợi động cơ học tập
1b. Cần tìm điều kiện để hai vectơ bằng nhau
là gì?
Chúng ta đã biết hai đoạn thẳng được gọi là
bằng nhau nếu độ dài của chúng bằng nhau.
Vậy đối với hai vectơ thì điều kiện trên còn
đúng không?
2a. Đưa ra ví dụ và phản ví dụ để yêu cầu HS chỉ 2b. Liệt kê các điểm giống nnhau và khác
nhau của các cặp vectơ trong cột ví dụ và
ra những tính chất khác biệt của ví dụ và
phản ví dụ
phản ví dụ
Cho học sinh quan sát ví dụ và phản ví dụ
Ví dụ
u1

Phản ví dụ
v1

u3

Ví dụ
- Có cùng phương

v3
u4
v4
u2

u5

v2

v5

Phản ví dụ
- Không
phương

cùng

- Có độ dài bằng
nhau
- Không có độ dài
bằng nhau
- Có cùng hướng
- Không cùng hướng
Trang 18


Tài liệu ôn thi cao học

LL & PP dạy học bộ môn Toán

3a. Mỗi cặp vectơ trong cột ví dụ trong cột ví dụ
3b. Phát biểu định nghĩa khái niệm:
trên được gọi là hai vectơ bằng nhau.
Một cách tổng quát, hai vectơ thỏa mãn điều
kiện gì thì được gọi là hai vectơ bằng nhau? Hai vectơ bằng nhau có cùng phương, cùng
hướng, cùng độ dài
4a. Điều kiện cùng hướng đã bao gồm điều kiện
4b. Phát biểu định nghĩa bằng kí hiệu
cùng phương nên ta có định nghĩa.
Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng
cùng hướng và cùng độ dài.
Nếu 𝑎 và 𝑏⃗ bằng nhau ta viết 𝑎 = 𝑏⃗ . Hãy
phát biểu định nghĩa bằng cách kí hiệu.

𝑑𝑒𝑓
𝑎, 𝑏⃗
𝑐ù𝑛𝑔 ℎướ𝑛𝑔
𝑎 = 𝑏⃗ ⇔ {
|𝑎| = |𝑏⃗|

Mô hình dạy học có thể sử dụng dạy học khám phá định lý:

Dạy học khám phá định lý có khâu nêu giả thuyết
o Qui trình
Hoạt động của thầy giáo (a)
1a. Gợi động cơ

Hoạt động của HS (b)
1b. Hành động theo yêu cầu của thầy

2a. Yêu cầu HS quan sát, xem các trường hợp 2b. Phân tích tìm các mối liên hệ
riêng, tìm các mối liên hệ?
3a. Yêu cầu học sinh đưa ra giả thuyết (Dự 3b. Nêu giả thuyết (Dự đoán)
đoán): Em có thể phát biểu điều gì … về?;
Từ … em có thể nêu một dự đoán về …?...
4a. Chỉnh sửa và kết luện về giả thuyết mà lớp 4b. Đề xuất cách kiểm chứng và thực hiện việc
kiểm chứng
cần kiểm chứng. Yêu cầu HS tìm cách kiểm
chứng giả thuyết
5a. Yêu cầu HS xem xét và đánh giá tính đắng 5b. Kết luận về tính đúng sai của giả thuyết để
của giả thuyết
chấp nhận hay bác bỏ
6a. Kết luận, phát biểu định lý, chỉ ra công 6b. Nhận biết được tầm quan trọng của định lý
dụng, tầm quan trọng của định lý, …
o Nhận định về mô hình
 Mô hình này có thể sử dụng khi khâu đưa ra giả thuyết không quá mất thời gian.
Chẳng hạn, với sự hướng dẫn của GV, HS có thể đưa ra được giả thuyết. Khi dạy học định
lý về phương trình mặt cầu: “Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, mặt cầu (𝑆) có tâm 𝐼(𝑎; 𝑏; 𝑐) và có
bán kính R có phương trình (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 + (𝑧 − 𝑐)2 = 𝑅 2 ” (Sách giáo khoa Hình
học 12 Cơ bản)
 Giáo viên có thể gợi ý học sinh đưa ra giả thuyết như sau:
 Nhắc lại phương trình đường tròn: GV yêu cầu học sinh nhắc lại phương trình
của đường tròn tâm có tâm 𝐼(𝑎; 𝑏) và có bán kính R và nhấn mạnh rằng trong mặt phẳng
𝑂𝑥𝑦, nếu biết tâm và bán kính ta có thể viết được phương trình đường tròn
 Hình thành giả thuyết. GV gợi ý: “Bằng cách tương tự, trong hệ trục tọa độ 𝑂𝑥𝑦𝑧
em hãy dự đoán xem phương trình mặt cầu (𝑆) có tâm 𝐼(𝑎; 𝑏; 𝑐) và có bán kính R có
phương trình tổng quát là gì?”
 Cuối cùng GV hướng dẫn HS kiểm chứng giả thuyết và cho áp dụng
Trang 19

Tài liệu ôn thi cao học

LL & PP dạy học bộ môn Toán

 Khi vận dụng, GV cần lưu ý học sinh là giả thuyết cần phải được kiểm chứng mới
khẳng định được tính đúng sai của nó.
o Ví dụ minh họa:

Trang 20


Tài liệu ôn thi cao học

LL & PP dạy học bộ môn Toán

Câu 14. Hãy sử dụng sơ đồ biểu thị mối liên hệ giữa các khái niệm “Giá trị hàm số”, “Giới hạn hàm
số” và “Hàm số liên tục”
Trả lời
Dùng sơ đồ
Xét hàm số f (x) tại x = a

Tồn tại giới hạn

Không tồn tại giới hạn
lim f (x)

lim f (x) = L

x→a

x→a

f (x) không xác định tại x = a

f (x) xác định tại x = a

L = f (a)

L ≠ f (a)

f (x) Không liên tục tại x = a
(f (x) gián đoạn tại x = a)

f (x) liên tục tại x = a

Sơ đồ biểu thị các mối liên hệ giữa giá trị của hàm số, khái niệm giới hạn của hàm số, hàm số liên tục

Dùng biểu đồ ven

A

C

B

Quan hệ giữa tập hợp các hàm số có giới hạn, xác định và liên tục tại x0

A là tập các hàm số có giới hạn là L khi x tiến về x0

B là tập các hàm số xác định tại x0
C là tập các hàm số liên tục tại x0

Trang 21


Tài liệu ôn thi cao học

LL & PP dạy học bộ môn Toán

Câu 15. Phân tích một khái niệm trong môn Giải tích, hãy cho biết các kết quả thu được là gì? Áp
dụng phân tích định nghĩa khái niệm sau đây.
Trả lời:
Phân tích một khái niệm trong môn Giải tích
 Chỉ ra dấu hiệu đặc trưng
 Chỉ ra đặc điểm của tập xác định
 Chỉ ra đặc điểm của giá trị
 Chỉ ra ý nghĩa khác nhau (Đặc điểm đồ thị), đặc biệt là ý nghĩa hình học
 Chỉ ra mối quan hệ hoawcj so sánh với các khái niệm đã học
 Chỉ ra khả năng ứng dụng
Áp dụng: Phân tích khái niệm giới hạn hàm số tại một điểm
 Khái niệm giới hạn hàm số

lim f  x   L xn  xn  x0 ,  N *  1 và lim xn  x0  lim f  xn   L
def

x  x0

*
 Dấu hiệu đặc trưng ( xn ),( xn  x0 , n  N ) bất kỳ và lim xn  x0  lim f  xn   L

 Đặc điểm tập xác định 1  Nếu lim f  x   L thì f  x  không nhất thiết phải thuộc
x  x0

tập xác định của hàm số  x0  K hay x0  K 
 Minh họa
y

y

L

y

L

L

f(x)

f(x)

f(x)

O

x0

f  x  xác định tại x0 và
 lim f  x   L

x  x0

O

x

x0

O

x

f  x  không xác định tại x0
và  lim f  x   L

x0

x

f  x  không liên tục tại x0

x  x0

lim f (x) = L
x→x0

f (x) không xác định tại x0

f (x) xác định tại x0

L ≠ f (x0)

L = f (x0)

Trang 22


Tài liệu ôn thi cao học

LL & PP dạy học bộ môn Toán

Câu 16. Phát triển nhận thức của tư duy toán học sơ cấp đến toán học cao cấp?
Tall (1995) đã lý giải sự phát triển của tư duy toán học từ THSC đến THCC như sau:
 Sự phát triển tư duy trong toán học sơ cấp có thể được xem như là sự phát triển theo hai
tuyến và chúng xảy ra đồng thời.
o Tuyến thứ nhất, sự phát triển được xây dựng thông qua một loại tri giác các đối tượng
của thế giới bên ngoài. Tri giác thế giới bao gồm nghiên cứu hình dạng và không gian, cuối cùng
dẫn đến môn hình học.
o Tuyến thứ hai, sự phát triển tư duy toán học chính là bắt đầu từ hành động với đối
tượng. hành động trên đối tượng như đếm, được biểu diễn bởi kí hiệu và phát triển thành toán
học kí hiệu (số học và đại số). Sự phản ánh trên tri giác và hành động dẫn đến toán học theo tiên
đề.

Chuyển đổi sang
toán học cao cấp

Hình học suy diễn
Euclid

Giải tích

Đại số cao cấp

Hình học giải tích

Đại số

Lượng giác

Số học

Hình học

Toán học
sơ ấp
Hành động trên
đối tượng

Tri giác đối tượng

Tương tác với môi
trường

Hành động và đối tượng trong việc xây dựng các cấu trúc tri thức toán học (D. Tall)
Theo Tall, sự chuyển đổi đến tư duy toán học cao cấp bao gồm sự chuyển đổi cấu trúc tri
giác khái niệm trong toán học sơ cấp có những tính chất mà có thể được xác định bằng hành động
trên chúng hay tri giác chúng. Trong khi đó các khái niệm của toán học cao cấp có những tính
chất chỉ được xác định thông qua định nghĩa và bản chất của khái niệm tự nó được tạo nên bởi
những tính chất được rút ra bằng suy diễn. Từ nhận định trên của Tall, ta có thể rút ra rằng, trong
học tập các khái niệm toán học cao cấp phương pháp phân tích cần được sử dụng đúng mức để

tìm các yếu tố cấu thành của khái niệm, của định lý cũng như phát hiện ra các mối liên quan giữa
các yếu tố đó.
F.Engels đã viết về sự khác nhau của bản chất của toán học sơ cấp và toán học cao cấp như
sau: “Toán học sơ cấp, tức là toán học về những số không đổi, tự vận động, ít ra là về toàn bộ,
trong những giới hạn của logic hình thức; còn toán học các biến, mà phần quan trọng nhất là tính
những đại lượng vô cùng bé, thì căn bản chỉ là áp dụng phép biện chứng vào các mối quan hệ
toán học mà thôi”. Như vậy, tư duy biện chứng là một phần của tư duy toán học cao cấp.

Trang 23


Tài liệu ôn thi cao học

LL & PP dạy học bộ môn Toán

Câu 17. Hãy lý giải đặc điểm các khái niệm trong môn giải tích có tính phức tạp nội tại cao? Tại
sao?
Trả lời
Mỗi khái niệm của môn Giải tích thường có liên quan ít nhiều với các khái niệm của toán
học sơ cấp, và không thể hiểu được các khái niệm của Giải tích nếu không hiểu được ý nghĩa của
các khái niệm của toán học sơ cấp.
Ngoài ra, các khái niệm của môn Giải tích thương có liên quan với nhiều khái niệm khác nó.
Chẳng hạn khái niệm đạo hàm liên quan mật thiết đến khái niệm hàm số, khái niệm hàm số có
liên quan đến khái niệm đối số, khái niệm đối số có liên quan đến khái niệm số…
Hàng loạt mối liên hệ này tạo nên một hệ thống các ý tưởng có mối quan hệ tương hỗ với
nhau, mối tư tưởng kết hợp ít nhiều khái niệm sơ cấp hơn để tạo thành một cơ cấu rộng hơn mà
nội tại của nó có tính phức tạp hơn. Để hiểu thế nào là phép tính vi phân, ta cần xem khái niệm
hàm số như là một đối tượng: phép tính vi phân tạo ra một hàm số mới từ một hàm số đã cho.
Do dó, mỗi khái niệm có độ phức tạp cao hơn chỉ có thể được hiểu trong một hệ thống cùng
với nhiều khái niệm khác. Chính tính phức này của khái niệm làm cho học sinh khó nắm đươch

đầy đủ ý nghĩa của các khái niệm trong môn Giải tích.
Câu 18. Sự liên hệ giữa các khái niệm trong môn Giải tích?
Trả lời
Các khái niệm trong môn Giải tích trong nhà trường phổ thông được xây dựng trên các khái
niệm cơ sở: hàm số, dãy số, giới hạn, liên tục. Các khái niệm này có mối “liên hệ liên hoàn” với
nhau: khái niệm hàm số thì liên quan đến tập xác định, tập giá trị; dãy số là một hàm; giới hạn của
dãy số là cơ sở để xây dựng lhais niệm hàm số liên tục và khái niệm đạo hàm; khái niệm nguyên
hàm là cơ sở để xây dựng khái niệm tích phân
Hàm số

Giới hạn của dãy số

Giới hạn của hàm số
khi x → a

Đạo hàm

Nguyên hàm

Tích phân

Hàm số liên tục tại x0

Giới hạn của hàm số
khi x → a+
hay khi x → a-

- Giới hạn vô cực
- Giới hạn ở vô cực

- Tiệm cận xiên
- Tiệm cận đứng
- Tiệm cận ngang

Sơ đồ phát triển các khái niệm trong môn giải tích

Trong thực tiễn, giáo viên hay cả một cuốn sách có những sai soat về kiến thức do không
chú ý đến đặc điểm này. Chẳng hạn, trong sách giáo khao Đại số và Giải tích 11(chỉnh lí năm
2000) có những bài tập về giới hạn của dãy số như:

Trang 24


Tài liệu ôn thi cao học

LL & PP dạy học bộ môn Toán

3
 0;
x  n  2

 Tính lim

 Tính lim n
x 





n2  1  n2  2 ,

Ở đây, cả hai biểu thức un 

3
và vn  n
n2





n 2  1  n 2  2 đều không là số hạng tổng

quát của dãy số, vì u n không xác định khi n = 2 và vn không xác định khi n=1.
Câu 19. Sự liên hệ giữa giải tích và đại số
Trả lời
Các vấn đề nghiên cứu trong Giải tích thương liên quan ít nhiều đến Đại số như: biến đổi
đông nhất, phân tích một đa thức thành thừa số thường được dùng trong tính giới hạn, tìm tiệm
cận, tính tích phân; quy tắc xét dấu tam thức, nhị thức làm cơ sở cho việc xét dấu đạo hàm bậc
nhất, đạo hàm bậc hai (trong khảo sát hàm số); nhiều bài toán trong giải tích có thể quy về bài
toán đại số. Chẳng hạn, bài toán tìm tọa đọ giao điểm của hai đồ thị (C ) : y  f  x  và

 L  : y  g  x  quy về giải phương trình f  x   g  x 
Sự liên hệ giữa một số bài toán trong môn Giải tích và Đại số

Bài toán Giải tích
Tìm tham số m sao cho hàm số f(x) đồng biến
trên khoảng (a;b).
Tìm tham số m sao cho hàm số f(x) nghịch

biến trên khoảng (a;b).

Bài toán Đại số
Tìm tham số m sao cho f   x   0 hoặc

f   x   0 với mọi x   a; b 
Tìm tham số m sao cho f   x   0 hoặc

f   x   0 với mọi x   a; b 

Tìm tham số m sao cho hàm số

f  x   ax3  bx 2  cx  d , hay hàm số

y

ax  bx  c
có cực đại và cực tiểu.
ex  d
2

Tìm m sao cho đồ thị (C ) : y  f  x  cắt đồ thị

 L  : y  g  x  tại n điểm mà hoành độ thỏa

mãn tính chất  .

Tìm tham số m sao cho tam thức bậc hai có
hai nghiệm phân biệt.

Tìm tham số m sao cho phương trình
f  x   g  x  có n nghiệm thỏa mãn điều kiện

.

Ngược lại, nghiên cứu phương trình và bất phương trình thực chất là nghiên cứu hàm số.
Do đó, ta có thể quy nhiều bài toán phương trình và bất phương trình về bài toán Giải tích. Nhờ
đó, nhiều vấn dề trong đại số có thể được giải quyết nhanh hơn hay dễ dàng hơn nếu dùng công
cụ giải tích.
Ví dụ 4.1, 4.2, 4.3 (trang 37, 38, 39)
Khi dạy môn giải tích, GV cần cho HS ôn lại các kiến thức đại số có liên quan, rèn luyện kỹ
năng chuyển đổi các bài toán đại số sang bài toán giải tích và ngược lại

Trang 25