Điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu qua dưới vi phân suy rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ NHÀN

ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO NGHIỆM HỮU HIỆU
CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU QUA DƯỚI
VI PHÂN SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2015


✐

▲ê✐ ❝❛♠ ➤♦❛♥

❚➠✐ ①✐♥ ❝❛♠ ➤♦❛♥ r➺♥❣ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❧➭ tr✉♥❣

t❤ù❝ ✈➭ ❦❤➠♥❣ trï♥❣ ❧➷♣ ✈í✐ ❝➳❝ ➤Ò t➭✐ ❦❤➳❝✳ ❚➠✐ ❝ò♥❣ ①✐♥ ❝❛♠ ➤♦❛♥ r➺♥❣ ♠ä✐ sù

❣✐ó♣ ➤ì ❝❤♦ ✈✐Ö❝ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➲ ➤➢î❝ ❝➯♠ ➡♥ ✈➭ ❝➳❝ t❤➠♥❣ t✐♥ trÝ❝❤

❞➱♥ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ ➤➢î❝ ❝❤Ø râ ♥❣✉å♥ ❣è❝✳

❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❤➳♥❣ ✹ ♥➝♠ ✷✵✶✺

◆❣➢ê✐ ✈✐Õt ❧✉❐♥ ✈➝♥

❚r➬♥ ❚❤Þ ◆❤➭♥

ờ

ợ tự ệ t t trờ ọ s ọ

ớ sự ớ ọ ủ P ỗ

t ợ ử ờ s s ế t

ờ ớ

ọ ủ ì P ỗ ờ t tì ớ tr sốt

q trì ứ ủ t ồ tờ t ũ t

t tr ọ rờ ọ s ọ

t ọ ề ệ ể t t

ũ ử ờ ế ì tr ớ ọ

ộ ú ỡ t tr q trì ọ t

tể tr ỏ ữ tế sót t rt ợ

sự ỉ t tì ủ t ồ ệ

t

ờ ết

r ị


✐✐✐

▼ô❝ ❧ô❝

▲ê✐ ❝❛♠ ➤♦❛♥

✐

▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥

✐✐

▼ô❝ ❧ô❝

✐✐✐

▼ë ➤➬✉

✶

✶

✸

➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ❋r✐t③ ❏♦❤♥ ❝❤♦ ❝ù❝ t✐Ó✉ ②Õ✉
✶✳✶

❈➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❜æ trî

✷

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✸

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✸

✶✳✶✳✶✳

❉➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣

✶✳✶✳✷✳

❈➳❝ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❈❧❛r❦❡✲❘♦❝❦❛❢❡❧❧❛r✱ ❈❧❛r❦❡✱ ▼✐❝❤❡❧✲P❡♥♦t

✶✳✶✳✸✳

❉➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ❝❤Ý♥❤ q✉②✱ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ tè✐

t❤✐Ó✉

✶✳✷

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ❋r✐t③ ❏♦❤♥ ❝❤♦ ❝ù❝ t✐Ó✉ P❛r❡t♦ ②Õ✉

✼

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✶✵

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✶✸

➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ tè✐ ➢✉ ❑❛r✉s❤✲❑✉❤♥✲❚✉❝❦❡r

✷✹

✷✳✶

➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ❑❛r✉s❤✲❑✉❤♥✲❚✉❝❦❡r

✳

✳

✳

✳

✷✹

✷✳✷

➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤ñ ❝❤♦ ❝ù❝ t✐Ó✉ P❛r❡t♦ ②Õ✉ ✳

❑Õt ❧✉❐♥

✳

✳

✳

✳

✳

✳

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✷✽

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✸✵

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✸✶


✶

▼ë ➤➬✉

✶✳ ▲ý ❞♦ ❝❤ä♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥
◆➝♠ ✶✾✾✹✱ ❉❡♠②❛♥♦✈ ❬✺❪ ➤➲ ➤➢❛ r❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ❝♦♠♣➝❝

❧å✐✳ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♥➭② ❧➭ ♠ét tæ♥❣ q✉➳t ❤♦➳ ❝ñ❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❧å✐ tr➟♥ ✈➭ ❧â♠ ❞➢í✐ ✭①❡♠

❬✻❪✮✳

❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ➤ã♥❣✱ ❦❤➠♥❣ ❧å✐ ✈➭ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ①✃♣ ①Ø

➤➢î❝ ➤Ò ①✉✃t ❜ë✐ ❏❡②❛❦✉♠❛r ✈➭ ▲✉❝ tr♦♥❣ ❬✾❪ ✈➭ ❬✶✵❪✳

❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥

s✉② ré♥❣ ❧➭ tæ♥❣ q✉➳t ❤♦➳ ❝ñ❛ ♠ét sè ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ➤➲ ❜✐Õt ❝ñ❛

❈❧❛r❦❡ ❬✹❪✱ ▼✐❝❤❡❧✲P❡♥♦t ❬✶✼❪✱ ▼♦r❞✉❦❤♦✈✐❝❤ ❬✶✽❪✳ ▼ét ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ❋r✐t③ ❏♦❤♥

❝❤♦ ❝ù❝ t✐Ó✉ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ ➤❛ ♠ô❝ t✐➟✉ ❞➢í✐ ♥❣➠♥ ♥❣÷ ❏❛❝♦❜✐❛♥

①✃♣ ①Ø ➤➢î❝ ➤➢❛ r❛ ❜ë✐ ▲✉❝ ❬✶✷❪✳

➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ tè✐ ➢✉ ❋r✐t③ ❏♦❤♥ ❝❤♦ ❝ù❝ t✐Ó✉

②Õ✉ ❞➢í✐ ♥❣➠♥ ♥❣÷ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ➤➢î❝ ➤➢❛ r❛ ❜ë✐ ❉✉tt❛✲ ❈❤❛♥❞r❛ ❬✼✱✽❪

❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ➤❛ ♠ô❝ t✐➟✉ ✈í✐ ❝➳❝ r➭♥❣ ❜✉é❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝✳ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥

❝❤♦ ❝ù❝ t✐Ó✉ ②Õ✉ ✈➭ ❝ù❝ t✐Ó✉ P❛r❡t♦ ➤➢î❝ ➤➢❛ r❛ ❜ë✐ ▲✉✉ ❬✶✺❪ ✈í✐ ❝➳❝ r➭♥❣ ❜✉é❝

➤➻♥❣ t❤ø❝✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✈➭ r➭♥❣ ❜✉é❝ t❐♣✳

❉ù❛

✭✷✵✶✹✮

tr➟♥

➤➲

➤Þ♥❤

t❤✐Õt

❧Ý

❧❐♣

▲❥✉st❡r♥✐❦

❝➳❝

➤✐Ò✉

♠ë

❦✐Ö♥

ré♥❣

tè✐

➢✉

❝ñ❛

❝❤♦

❏✐♠Ð♥❡③✲◆♦✈♦

❝ù❝

t✐Ó✉

P❛r❡t♦

✭✷✵✵✷✮✱

②Õ✉

❝ñ❛

❉✳❱✳▲✉✉

❜➭✐

t♦➳♥

tè✐ ➢✉ ➤❛ ♠ô❝ t✐➟✉ ❝ã r➭♥❣ ❜✉é❝ ➤➻♥❣ t❤ø❝✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✈➭ r➭♥❣ ❜✉é❝ t❐♣ ❞➢í✐

♥❣➠♥ ♥❣÷ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ✭❝♦♥✈❡①✐❢✐❝❛t♦r✮✳ ➜➞② ❧➭ ➤Ò t➭✐ ➤❛♥❣ ➤➢î❝ ♥❤✐Ò✉

t➳❝ ❣✐➯ tr♦♥❣ ✈➭ ♥❣♦➭✐ ♥➢í❝ q✉❛♥ t➞♠ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✳ ❈❤Ý♥❤ ✈× t❤Õ ❡♠ ❝❤ä♥ ➤Ò t➭✐ ✿

➇➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ✈➭ ➤ñ ❝❤♦ ♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ➤❛ ♠ô❝ t✐➟✉ q✉❛

❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣➈✳

✷✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉


✷
❙➢✉ t➬♠ ✈➭ ➤ä❝ t➭✐ ❧✐Ö✉ tõ ❝➳❝ s➳❝❤✱ t➵♣ ❝❤Ý t♦➳♥ ❤ä❝ tr♦♥❣ ♥➢í❝ ✈➭ q✉è❝ tÕ

❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ tè✐ ➢✉ ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ✈Ð❝ t➡✳

◗✉❛ ➤ã✱ t×♠ ❤✐Ó✉ ✈➭

♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ò ✈✃♥ ➤Ò ♥➭②✳

✸✳ ▼ô❝ ➤Ý❝❤ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥
▲✉❐♥ ✈➝♥ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ✈➭ ➤ñ ❝❤♦ ♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ❞➢í✐ ♥❣➠♥

♥❣÷ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ tr♦♥❣ ❜➭✐ ❜➳♦ ❝ñ❛ ❉✳ ❱✳ ▲➢✉ ➤➝♥❣ tr♦♥❣ t➵♣ ❝❤Ý ❏♦✉r♥❛❧

♦❢ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❱♦❧✳ ✶✻✵ ✭✷✵✶✹✮✱ ♣♣✳ ✺✶✵✲✺✷✻✳

✹✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥
▲✉❐♥ ✈➝♥ ❜❛♦ ❣å♠ ♣❤➬♥ ♠ë ➤➬✉✱ ✷ ❝❤➢➡♥❣✱ ❦Õt ❧✉❐♥ ✈➭ ❞❛♥❤ ♠ô❝ ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ö✉

t❤❛♠ ❦❤➯♦

❈❤➢➡♥❣ ✶✿ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ❋r✐t③ ❏♦❤♥ ❝❤♦ ❝ù❝ t✐Ó✉ ②Õ✉
❚r×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ✈Ò ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ✈➭ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥

❋r✐t③ ❏♦❤♥ ❝❤♦ ❝ù❝ t✐Ó✉ P❛r❡t♦ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ➤❛ ♠ô❝ t✐➟✉ ❝ã r➭♥❣ ❜✉é❝

➤➻♥❣ t❤ø❝✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✈➭ r➭♥❣ ❜✉é❝ t❐♣ ✈í✐ ❝➳❝ ❤➭♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✳

❈❤➢➡♥❣ ✷✿ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ tè✐ ➢✉ ❑❛r✉s❤✲❑✉❤♥✲❚✉❝❦❡r
❚r×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ❑❛r✉s❤✲❑✉❤♥✲❚✉❝❦❡r ❝❤♦

❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ➤❛ ♠ô❝ t✐➟✉ ❝ã r➭♥❣ ❜✉é❝ ➤➻♥❣ t❤ø❝✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✈➭ r➭♥❣ ❜✉é❝

t❐♣ ✈í✐ ❝➳❝ ❤➭♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❞➢í✐ ♥❣➠♥ ♥❣÷ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ✈í✐

❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt ✈Ò tÝ♥❤ ❧å✐ s✉② ré♥❣✱ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ tè✐ ➢✉ trë t❤➭♥❤ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥

➤ñ tè✐ ➢✉✳


✸

❈❤➢➡♥❣ ✶

➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ❋r✐t③ ❏♦❤♥ ❝❤♦ ❝ù❝ t✐Ó✉ ②Õ✉

❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ✶ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ✈Ò ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥

s✉② ré♥❣ ✈➭ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ❋r✐t③ ❏♦❤♥ ❝❤♦ ❝ù❝ t✐Ó✉ P❛r❡t♦ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉

➤❛ ♠ô❝ t✐➟✉ ❝ã r➭♥❣ ❜✉é❝ ➤➻♥❣ t❤ø❝✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✈➭ r➭♥❣ ❜✉é❝ t❐♣ ❞➢í✐ ♥❣➠♥

♥❣÷ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣✳ ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ tr×♥❤ ❜➭② tr♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ➤➢î❝ t❤❛♠

❦❤➯♦ tr♦♥❣ ❬✾❪✱ ❬✶✹❪✳

✶✳✶

❈➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❜æ trî

✶✳✶✳✶✳

❈❤♦

❉➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣

f

❧➭ ❤➭♠ ❣✐➳ trÞ t❤ù❝ ♠ë ré♥❣ ➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥

❤➭♠ t❤❡♦ ♣❤➢➡♥❣ ❉✐♥✐ ❞➢í✐ ✈➭ tr➟♥

v ∈ Rn

f−

t➵✐

t➵✐

x¯

x¯

f

❝ñ❛

t➵✐

x¯ ∈ Rn

f − (¯
x; v) := lim inf

f (x + tv) − f (¯
x)
,
t

f + (¯
x; v) := lim sup

f (¯
x + tv) − f (¯
x)
.
t

t↓0

f

f+

✳ ◆❤➽❝ ❧➵✐ r➺♥❣ ➤➵♦

t❤❡♦ ♣❤➢➡♥❣

➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❤➢ s❛✉✿

t↓0

◆Õ✉

✈➭

Rn

f + (¯
x; v) = f − (¯
x; v)

✱ t❤× ❣✐➳ trÞ ❝❤✉♥❣ ➤ã ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➵♦ ❤➭♠ ❝ñ❛ ❤➭♠

t❤❡♦ ♣❤➢➡♥❣

v

✈➭ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭

f (¯
x; v)

✳ ❍➭♠

♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ➤➵♦ ❤➭♠ t❤❡♦ ♣❤➢➡♥❣ ❝ñ❛ ♥ã t➵✐

❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t t➵✐

x¯

✈í✐ ➤➵♦ ❤➭♠ ❋rÐ❝❤❡t

∇f (¯
x)

f

x¯
t❤×

❣ä✐ ❧➭ ❦❤➯ ✈✐ t❤❡♦ ♣❤➢➡♥❣

t❤❡♦ ♠ä✐ ♣❤➢➡♥❣✳ ◆Õ✉

f

f (¯
x; v) = ∇f (¯
x, v) .

❧➭

✹

f

❚❤❡♦ ❬✾❪ ❤➭♠

∂∗ f (¯
x)

✮ t➵✐

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❝ã ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ tr➟♥

x¯ ∈ Rn

♥Õ✉

∂ ∗ f (¯
x)

✭❤❛②

(∂∗ f (¯
x)) ⊆ Rn

f − (¯
x; v) ≤ sup

inf

(∀v ∈ Rn ),

ξ, v

(∀v ∈ Rn ) .

ξ∈∂∗ f (¯
x)
▼ét t❐♣ ➤ã♥❣

♥Õ✉

∂ ∗ f (¯
x)

❚❤❡♦

∂ ∗ f (¯
x) ⊆ Rn

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ❝ñ❛

➤å♥❣ t❤ê✐ ❧➭ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ tr➟♥ ✈➭ ❞➢í✐ ❝ñ❛

❬✽❪

❤➭♠

∂ ∗ f (¯
x) ⊆ Rn

t➵✐

f
x¯

➤➢î❝

♥Õ✉

✭❤❛② ❞➢í✐

✮ ❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣ ✈➭

ξ, v

ξ∈∂ ∗ f (¯
x)

f + (¯
x; v) ≥

∂ ∗ f (¯
x)

❣ä✐

❧➭

∂ ∗ f (¯
x)

❝ã

❞➢í✐

✈✐

♣❤➞♥

s✉②

ré♥❣

❜➳♥

f

t➵✐

x¯

❝❤Ý♥❤

f

t➵✐

x¯

✳

q✉②

tr➟♥

❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣ ✈➭

f + (¯
x; v) ≤ sup

(∀v ∈ Rn ).

ξ, v

ξ∈∂ ∗ f (¯
x)

✭✶✳✶✮

❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✶
❈❤♦ ❤➭♠

f :R→R



 x,

f (x) := x4 − 4x3 + 4x2 ,



0,
➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐

❦❤✐

x ∈ Q ∩ [0; +∞[,
x ∈ Q ∩ ]−∞; 0],

❦❤✐

,

tr♦♥❣ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ❦❤➳❝

tr♦♥❣ ➤ã

Q

❧➭ t❐♣ ❝➳❝ sè ❤÷✉ tû✳ ❑❤✐ ➤ã


 v,
+
f (0; v) =
 0,

❦❤✐

v ≥ 0,

❦❤✐

v < 0,

f − (0; v) = 0 (∀v ∈ R).
❚❐♣

{0; 1}

❧➭ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ❜➳♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② tr➟♥ ❝ñ❛

♥ã ❝ò♥❣ ❧➭ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ tr➟♥ ❝ñ❛

ré♥❣ ❞➢í✐ ❝ñ❛

❚❤❡♦

❬✾❪✱

f

t➵✐

♥Õ✉

f

t➵✐

x¯

✳ ❚❐♣

{0}

f

t➵✐

x¯

✱ ❝❤♦ ♥➟♥

❧➭ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉②

x¯

✳

①➯②

r❛

➤➻♥❣

t❤ø❝

tr♦♥❣

✭✶✳✶✮

t❤×

∂ ∗ f (¯
x)

➤➢î❝

❣ä✐

❧➭

❞➢í✐

✈✐

♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ❝❤Ý♥❤ q✉② tr➟♥✳ ❱í✐ ♠ét ❤➭♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥



r ớ Pt ữ ớ s rộ ủ

x

f

t

ữ ớ ột st ị í q tr t

ĩ r ớ r ột ớ s rộ í q

f

tr ú ý r ế

tr t

x

ó ột ớ s rộ í q

tì ó ũ ớ s rộ í q tr t

x

ó ó ợ ớ s rộ tr t

x

í ụ
ét

f :RR

ợ ị ở


x2 cos ,
x
f (x) =
0,
ó

f

t

x = 0

t ứ

x = 0.

f

t

f

x Q

t

tí t

x Q

t

Q

Q

ế

t

{0}

r



t

x

{0}





{0} [; ]




ớ s



Q

ế ớ ỗ

f (x) f (
x) t ]0, 1[ ,
ợ ọ tự ồ tr





x

ột trị tự ở rộ

ọ tự ồ t

ớ

[; ]

ớ s rộ ủ

rộ í q tr ủ

ế

f

f

ị tr t

xQ

Q

f

Q Rn

ợ

f (tx + (1 t)
x) f (
x).

tự ồ t

s rộ ớ ồ tr ột t ồ

f

tự ồ t ỗ

r ỉ r r ế

x

t

Q

xQ f


ọ tự tế



tụ tự ồ ó ột ớ

tì ớ ỗ

f (x) f (y) (n) f (y),
f





{; }

ế

x = 0,

f + (0; v) = f (0; v) = 0, (v R)

Pt ủ

f



x, y Q



lim ( (n) , x y) 0.

n

ó ột ớ s rộ í q tr t

x

tì t ó ệ ề s



ệ ề
sử

f

ó ột ớ s rộ í q tr

f (
x) t x f

tự ồ



t

x Q t t ồ Q ó
x Q, f (x) f (
x) f (
x), , x x 0.

ứ
ì

f

x

tự ồ t

t

Q

ớ ỗ

xQ

tỏ

f (x) f (
x)

t ó

f + (
x; x x) 0.
tí í q tr ủ ớ s rộ

f (
x)

ớ ỗ

xQ

tỏ

f (x) f (
x)

t ó

, x x = f + (
x; x x) 0.

sup
f (
x)



ừ ó t ó ề ứ

tự ở rộ

tr

Q

f

ó ột ớ s rộ ớ ồ

ợ ọ ồ tệ ớ tr

(n) f (x),
trị tự ở rộ

ồ tệ t

x

f

Q

ế ớ ỗ

x, y Q



lim (n) , y x 0 f (y) f (x).

n

ó ột ớ s rộ

t

(n) conv f (
x),

Q

ế ớ ỗ

xQ

f (
x)

t

x

ợ ọ

t ó

lim (n) , x x 0 f (x) f (
x).

n

tr ó í ệ ồ

í ụ

f (x)

f, g : R R

x, khi x 0,
f (x) :=
1 x, khi x > 0,
2


khi x Q,

x,
g(x) :=
2x,
khi x (R\Q) ], 0] ,


1
khi x (R\Q) [0, [ .
2 x,



ó ột ớ s rộ ủ

ồ tệ t t

1
2; 2

g(0) =


K



g

Q=R



f

t

f (0) =

1
2; 1



ột ớ s rộ ớ ủ

ồ tệ ớ t t

ột ó ồ ó tr

Rn

f

g



t

Q=R





K := { Rn : , x 0, x K}


ó

ự

sử

fk

(f1 , ..., fm )

ọ ồ

T f

K

K

ủ





f : Q Rn Rm

ó ột ớ s rộ

tệ ớ t

ồ tệ t

x

tr

Q

x

t



fk (
x)

Q

t



x



f =

f

ợ

K

ế ớ ỗ





ó tế tế r ủ t

C Rn

t ột ể

x C

ợ ị ĩ t ứ ở

K(C, x) := {v Rn : vn v, tn 0

s

x + tn vn C, n} ,

T (C, x) := {v Rn : xn C, xn x, tn 0 , vn v
s

ó t ợ ủ

A(C, x) =

C

t

x C

xn + tn vn C, n} .



v Rn : > 0, : [0, ] Rn

s

=v .
(0) = x, (t) C, t ]0, ] , , (0) = lim (t)(0)
t
t0

ó tế r ủ

C

t

x

N (C, x) = { Rn : , v 0 v T (C, x)} .
ú ý r ó

T (C, x)



T (C, x)



N (C, x)

T (C, x) K(C, x)



rỗ ó ồ

r

trờ

ợ

C

ồ

tì

N (C, x) =
T (C, x) =

K(C, x)





ớ rr r Pt

t sẽ t r ớ rr r

Ptề ớ s rộ


✽

¯
f : Rn → R

❈❤♦ ❤➭♠

x

❞➢í✐ t➵✐

❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥ t➵✐ ➤✐Ó♠

x∈X

✳

f

◆Õ✉

t❤× ❞➢í✐ ➤➵♦ ❤➭♠ tr➟♥ ❈❧❛r❦❡ ✲ ❘♦❝❦❛❢❡❧❧❛r ❝ñ❛

f

t➵✐

❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝

x

t❤❡♦

v

➤➢î❝

①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐✿

f ↑ (x, v) = lim sup inf [f (x + tv ) − f (x )] /t,
x →f x v →v
t↓0

tr♦♥❣ ➤ã

◆Õ✉

f

t➵✐

x

f

x → fx

♥❣❤Ü❛ ❧➭

x →x

❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ t➵✐

t❤❡♦

v

x

✈➭

f (x ) → f (x) .

t❤× ❞➢í✐ ➤➵♦ ❤➭♠ ❞➢í✐ ❈❧❛r❦❡✲❘♦❝❦❛❢❡❧❧❛r ❝ñ❛

➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐

f ↓ (x, v) = lim inf sup [f (x + tv ) − f (x )] /t.
x → f x v →v
t↓0

◆Õ✉

f

❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ t➵✐

x

t❤×

x → fx

tr♦♥❣ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ tr➟♥ trë t❤➭♥❤

❉➢í✐ ❣r❛❞✐❡♥t s✉② ré♥❣ tr➟♥ ✈➭ ❞➢í✐ ❝ñ❛

f

t➵✐

x

x →x

✳

➤➢î❝ ❝❤♦ ❜ë✐

∂ ↑ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v ≤ f ↑ (x, v) , ∀v ∈ X ,
∂ ↓ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v ≥ f ↓ (x, v) , ∀v ∈ X .
◆Õ✉

♠ç✐

f ↑ (x, 0) > −∞

t❤×

∂ ↑ f (x)

❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❦❤➠♥❣ rç♥❣✱ ❧å✐✱ ➤ã♥❣ ❝ñ❛

Rn

✈➭ ✈í✐

v ∈ Rn ,
f ↑ (x, v) =

sup

x∗ , v .

x∗ ∈ ∂ ↑ f (x)
❚➢➡♥❣ tù✱ ♥Õ✉

f ↓ (x, 0) < ∞

Rn

v ∈ Rn ,

✈➭ ✈í✐ ♠ç✐

t❤×

∂ ↓ f (x)

f ↓ (x, v) =
◆Õ✉

f

❧➭ ▲✐♣s❝❤✐t③ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ t➵✐

x

❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❦❤➠♥❣ rç♥❣✱ ❧å✐✱ ➤ã♥❣ ❝ñ❛

inf↓

x∗ ∈ ∂ f (x)

x∗ , v .

t❤×

f ↑ (x; v) = f o (x, v) , f ↓ (x; v) = fo (x, v) ,
tr♦♥❣ ➤ã✱

f o (x, v) = lim sup [f (x + tv) − f (x )] /t,
x →x
t↓0

fo (x, v) = lim inf [f (x + tv) − f (x )] /t.
x →x
t↓0




f

t s rộ tr ớ r ủ

v

t

x

t

ớ s rộ r ợ ị ở

o f (x) = {x X : x , v f o (x, v) , v X} .
ữ

f o (x, v) =

f

ó ế

ủ

f

t

x

max

o

x f (x)

x , v ,

st ị t

x

tì

x , v .

min

o

x f (x)

o f (x)

ớ s rộ

ở ì

f (x, v) f o (x, v) ,
ớ ỗ

fo (x, v) =

vX

tự ế

f + (x, v) fo (x, v) .

f

st ị t

ớ Pt ủ

f

t

x

x

tì t tr

t ứ ợ ở

f (x, v) = sup lim sup 1 [f (x + z + v) f (x + z)] ,
zX

0

f (x, v) = inf lim inf 1 [f (x + z + v) f (x + z)] .
zX

0

ó ớ Pt ợ ị ở

f (x) := x Rn : f (x, v) x , v , v Rn .
t tr ớ Pt

tế tí ữ

f (x, v) =
ó

f (x)

f (x)
max

x , v ,

f (x, v) =

f + (x, v) f (x, v)

í ụ

f : R2 R

f (x, .)

ị ở

f (x, y) = |x| |y| .

x , v .

min

x f (x)

ũ ột ớ s rộ ủ





t ồ

x f (x)

f (x, v) f (x, v)

ị ĩ

f (x, .)

f

t

ớ ỗ

x

ở ì

v Rn .

ớ



ó

f (0) = {(1, 1) , (1, 1)} .
ột ớ s rộ ủ

f

t ó

f (0) = o f (0) = co ({(1, 1) , (1, 1) , (1, 1) , (1, 1)}) .
ú ý r

co ( f (0)) f (0) = o f (0) .



ớ s rộ í q ớ s rộ tố tể

õ r từ ị ĩ t t ớ s rộ tr ớ

t ì tr ú t sẽ trì ề ệ ề tí t

tố tể ủ ớ s rộ tr ớ

rớ t t trì

ệ ớ s rộ í q tr ớ



f : Rn R

f (x) Rn

t

x

ợ ọ ó ột ớ s rộ í q tr

ế

f (x)

t ó ớ ỗ

f + (x, v) =

v Rn ,

x , v .

sup
x f (x)



tự



f (x) Rn

f

t

ợ

x

ế

ọ



ó

f (x)

ột





s

t ó ớ ỗ

f (x, v) =
õ r

ớ

inf

x f (x)

rộ

í

f

t

x

ớ

v Rn .

x , v .

ỗ ớ s rộ í q tr ớ ủ

ớ s rộ ủ

q

f

t

x

ột



r ệ ề s ú t sẽ trì ố ệ ữ tí tí

í q

ệ ề


f : Rn R

t

x0



f

t t

x0

ế ỉ ế

f

t

ó ột ớ s rộ í q tr í q


✶✶
❞➢í✐ t➵✐

x0 ✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤
◆Õ✉

f

❧➭ ❦❤➯ ✈✐ ●➞t❡❛✉① t➵✐

{f (x0 )}

x0

t❤× ♥ã ❦❤➯ ✈✐ t❤❡♦ ♣❤➢➡♥❣ ✈➭ ➤➵♦ ❤➭♠ ●➞t❡❛✉①

f

✈➭ ❧➭ ♠ét ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ❝❤Ý♥❤ q✉② tr➟♥ ✈➭ ❞➢í✐ ❝ñ❛

◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ♥Õ✉

f

❦❤➯ ✈✐ t❤❡♦ ♣❤➢➡♥❣ t➵✐

x0

✈➭ ♥Õ✉

v ∈ Rn

s✉② ré♥❣ ❝❤Ý♥❤ q✉② tr➟♥ ✈➭ ❞➢í✐ t❤× ✈í✐ ♠ç✐

f (x0 , v) = f − (x0 , v) =
= f + (x0 , v) =

∂ ∗ f (x0 )

t➵✐

x0

✳

❧➭ ♠ét ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥

✳

inf
∗

x∗ ∈∂ f (x)

x∗ , v

x∗ , v .

sup
x∗ ∈∂ ∗ f (x)

❉♦ ➤ã

∂ ∗ f (x0 )

❚❛ ♥ã✐ r➺♥❣

❧➭ t❐♣ ♠ét ♣❤➞♥ tö ✈➭ ✈× ✈❐②

∂ ∗ f (x)

✈➭

❦❤➯ ✈✐ ●➞t❡❛✉① t➵✐

C (x)

C (x)

tr♦♥❣

Rn

s❛♦ ❝❤♦

❧➭

✷

✳

f

t➵✐

x

C (x) ⊂ ∂ ∗ f (x) ,

❧➭ ♠ét ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ✭tr➟♥✴❞➢í✐✮ ❝ñ❛

❑ý ❤✐Ö✉ t❐♣ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣

x

x0

❧➭ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ tè✐ t❤✐Ó✉ ✭tr➟♥✴❞➢í✐✮ ❝ñ❛

♥Õ✉ ❦❤➠♥❣ tå♥ t➵✐ ♠ét t❐♣ ➤ã♥❣

C (x) = ∂ ∗ f (x)

f

∂ ∗ f (x)

f

❝ñ❛

t➵✐

x

f

t➵✐

✳

Ext (∂ ∗ f (x))

✳

▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✶✳✸
●✐➯ sö r➺♥❣
✭❞➢í✐✮

f : Rn → R ❝ã ♠ét ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ❝❤Ý♥❤ q✉② ❝♦♠♣➝❝ tr➟♥

∂ ∗ f (x) t➵✐ x✳

❑❤✐ ➤ã

Ext (co (∂ ∗ f (x))) ❧➭ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ❝❤Ý♥❤

q✉② tr➟♥ ✭❞➢í✐✮ tè✐ t❤✐Ó✉ ❞✉② ♥❤✃t ❝ñ❛

f

t➵✐

x✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤
❈❤♦

A ⊂ Rn

✈í✐ ♠ç✐

❝ã ♠ét ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ❝❤Ý♥❤ q✉② tr➟♥ ❝ñ❛

v ∈ Rn ,
f + (x, v) =

sup

x∗ , v = sup x∗ , v .

x∗ ∈∂ ∗ f (x)

x∗ ∈A

◆➟♥ ❆ ❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ➤ã♥❣ ✈➭ ❜Þ ❝❤➷♥ ❝ñ❛

Rn

✈í✐

co (∂ ∗ f (x)) = co (A) .
❑❤✐ ➤ã✱

Ext (co (∂ ∗ f (x))) = Ext (co (A)) .

f

t➵✐

x

✳ ❑❤✐ ➤ã✱



ú t ỉ r r

Ext (co ( f (x))) A.
t ể t ó

Ext (co (A)) Ext (A) .
ó

Ext (co ( f (x))) = Ext (co (A)) Ext (A) A.
ở ì

A

t ó t ó

Ext (co ( f (x))) A.
t ở ì

tr ủ

f (x)

ột ớ s rộ í q tr

Ext (co ( f (x)))
f

x

t

ó

ũ



ớ



Ext (co ( f (x)))

tố tể tr t ủ

f

t



s

rộ

í

q



ớ s rộ í q

ứ t tự trờ ợ

f



ớ s rộ í q ớ

ó

v Rn

f

ó

ữ tụ t

x

í q tr t

x

ế ớ ỗ



f + (x, v) = f (x, v) .
tự

f

í q ớ t

x

ế ớ ỗ

v Rn



f (x, v) = f (x, v) .

ú ý r ế

f : Rn R

v Rn f + (., v) [f (., v)]


st ị tr

Rn

ế ớ ỗ

ử tụ tr ớ tì ớ ỗ

x Rn



v Rn ,
f + (x, v) = f o (x, v) = f (x, v) f (x, v) = fo (x, v) = f (x, v) ,


ế

f

í q tr ớ t

f (x, 0) >

ồ ó ủ

Rn

ế

ớ ỗ

f

x



í q tr t

x

tì

v Rn ,

f + (x, v) = f (x, v) =

sup
x f (x)

x , v .

f (x)

rỗ


✶✸
❉♦ ➤ã✱

∂ ↑ f (x)

tù✱ ♥Õ✉

f ↓ (x, 0) < ∞

❝ñ❛

Rn

❧➭ ♠ét ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ❝❤Ý♥❤ q✉② tr➟♥ ❝ñ❛

✈➭ ✈í✐ ♠ç✐

✈➭

f

❝❤Ý♥❤ q✉② ❞➢í✐ t➵✐

∂ ↓ f (x)

✈í✐ ♠ç✐

∂ ↓ f (x)

inf

x∗ ∈∂ ↓ f (x)

x∗ , v .

❧➭ ▲✐♣s❝❤✐t③ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr➟♥

Rn

f

t➵✐

x

✳

x

✱ t❤×

v ∈ Rn ,
x ∈∂ f (x)

❝ñ❛

f

✈➭ ❝❤Ý♥❤ q✉② tr➟♥ t➵✐

f + (x, v) = f ↑ (x, v) = f o (x, v) = ∗ max
o
❉♦ ➤ã✱

✳ ❚➢➡♥❣

❦❤➳❝ rç♥❣✱ ❧å✐✱ ➤ã♥❣

❧➭ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ❝❤Ý♥❤ q✉② ❞➢í✐ ❝ñ❛

f : Rn → R

◆Õ✉

t❤×

x

t➵✐

v ∈ Rn ,
f − (x, v) = f ↓ (x, v) =

❈❤♦ ♥➟♥

x

f

Ext (∂ o f (x))

t➵✐

x

x∗ , v .

❧➭ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ❝❤Ý♥❤ q✉② tè✐ t❤✐Ó✉ tr➟♥ ❞✉② ♥❤✃t

✳ ❈❤ó ý r➺♥❣✱ ♥Õ✉

f

❧➭ ❧å✐ t❤×

❝❤Ý♥❤ q✉② tè✐ t❤✐Ó✉ tr➟♥ ❞✉② ♥❤✃t ❝ñ❛

f

Ext (∂f (x))

t➵✐

❧➭ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣

x

✱ tr♦♥❣ ➤ã

∂f (x) := {x∗ ∈ X ∗ : f (y) − f (x) ≥ x∗ , y − x , ∀y ∈ Rn }
❧➭ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❧å✐ ❝ñ❛

✶✳✷

f

t➵✐

x

✳

➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ❋r✐t③ ❏♦❤♥ ❝❤♦ ❝ù❝ t✐Ó✉ P❛r❡t♦ ②Õ✉

P❤➬♥ ♥➭② tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ❋r✐t③ ❏♦❤♥ ❝❤♦ ❝ù❝ t✐Ó✉ ②Õ✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣

❞➢í✐ ♥❣➠♥ ♥❣÷ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ❝❤Ý♥❤ q✉② tr➟♥ ✈➭ ❜➳♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② tr➟♥✳ ❳Ðt

❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ➤❛ ♠ô❝ t✐➟✉ ✭P✮ s❛✉✿



min f (x),





 g (x) ≤ 0,

h (x) = 0,




 x ∈ C,

f g h

tr♦♥❣ ➤ã

❝♦♥ ❝ñ❛

✱

Rn

✱

t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ tõ

✳ ❑❤✐ ➤ã

✱

✈➭♦

Rr Rm Rl C
✱

✱

❀

❧➭ ♠ét t❐♣

f = (f1 , ..., fr ) g = (g1 , ..., gm ) h = (h1 , ..., hl )

f1 , ..., fr g1 , ..., gm h1 , ..., hl
✱

Rn

✱

✱

✱ tr♦♥❣ ➤ã

❧➭ ♥❤÷♥❣ ❤➭♠ ❣✐➳ trÞ t❤ù❝ ♠ë ré♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥


✶✹

Rn
❝ã

x, y ∈ Rn

✳ ❱í✐

♥❣❤Ü❛

✱ t❛ ✈✐Õt

x≤y

♥Õ✉

xi ≤ yi , (i = 1, ..., n)

✳ ◆❤➢ ✈❐②

gi (x) ≤ 0 (i = 1, ..., m)

❧➭

✱

(j = 1, ..., l)

✳

➜➷t

✈➭

h(x) = 0

❝ã

♥❣❤Ü❛

❧➭

I = {1, ..., m} J = {1, ..., r} L = {1, ..., l}
✱

✱

✳

g(x) ≤ 0

hj (x) = 0

✱

❈❤ó ý r➺♥❣

➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ❞➢í✐ ♥❣➠♥ ♥❣÷ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈í✐ r➭♥❣ ❜✉é❝

t❐♣ ❤♦➷❝ r➭♥❣ ❜✉é❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ➤➲ ➤➢î❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜ë✐ ❉✉tt❛✲❈❤❛♥❞r❛ ❬✼✱✽❪

✈➭ ❝ã r➭♥❣ ❜✉é❝ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✈➭ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ➤➲ ➤➢î❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜ë✐ ▲✉✉ ❬✶✺❪✳

❑Ý ❤✐Ö✉

M

❧➭ t❐♣ ❝❤✃♣ ♥❤❐♥ ➤➢î❝ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭P✮✿

M := {x ∈ C : g(x) ≤ 0, h(x) = 0} ,
✈➭

I(¯
x) := {i ∈ I : g(¯
x) = 0} ,
H := {x ∈ Rn : h(x) = 0} .
▼ë ré♥❣ ❝ñ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý ▲❥✉st❡r♥✐❦ ❝æ ➤✐Ó♥ ❝ñ❛ ❏✐♠Ð♥❡③✲◆♦✈♦ tr♦♥❣ ❬✶✶❪ sÏ ➤➢î❝

sö ❞ô♥❣ ➤Ó ❞➱♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ tè✐ ➢✉✳

▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✷✳✶

[11]

●✐➯ sö r➺♥❣

x¯ ∈ H ∩ C ❀

✭❛✮

C

❧➭ t❐♣ ❧å✐ ✈➭

✭❜✮

h

❧✐➟♥ tô❝ tr♦♥❣ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ ❝ñ❛

❋rÐ❝❤❡t ❧➭

x¯

✈➭ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t t➵✐

x¯

✈í✐ ➤➵♦ ❤➭♠

∇h(¯
x)❀

✭❝✮ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② ✭❘❈✮ s❛✉ ➤➞② ➤ó♥❣✿

0∈

γj ∇hj (¯
x) + N (C, x¯) ⇒ γ1 = ... = γl = 0.
j∈L

❑❤✐ ➤ã✱

A(H ∩ C; x¯) = T (H ∩ C; x¯) = (ker ∇h(¯
x)) ∩ T (C; x¯)
= cl [(ker ∇h(¯
x)) ∩ cone(C − x¯)] ,
tr♦♥❣ ➤ã

cl ❦Ý ❤✐Ö✉ ❜❛♦ ➤ã♥❣✳


✶✺
◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✷✳✶
◆Õ✉

C = Rn h
✱

t❤✉é❝ ❧í♣

C1

tr♦♥❣ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ ❝ñ❛

x¯

✈➭

∇h1 (¯
x), ..., ∇hr (¯
x)

❧➭

➤é❝ ❧❐♣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✱ t❤× ♠Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✷✳✶ trë t❤➭♥❤ ➤Þ♥❤ ❧ý ▲❥✉st❡r♥✐❦ ❝æ ➤✐Ó♥✳ ❚❤❐t

✈❐②✱ ❦❤✐ ➤ã ➳♥❤ ①➵

➤ó♥❣ ✈➭ t❛ ❝ã

∇h(¯
x)

❧➭ t♦➭♥ ➳♥❤✱

T (C; x¯) = Rn

✱ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② ✭❘❈✮

ker ∇h(¯
x) = T (C; x¯).

➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✭❘❈✮ sÏ ➤➢î❝ ♠✐♥❤ ❤ä❛ ❜ë✐ ✈Ý ❞ô s❛✉✳

❱Ý ❞ô ✶✳✷✳✶
❈❤♦

h R3 → R2
✿

✈➭

C ⊂ R3

➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❤➢ s❛✉

h := (h1 , h2 )

(¯
x, y¯, z¯) = 0,

✱

h1 (x, y, z) = x + 2y + z,
h2 (x, y, z) = 2x + 4y − z,
C := {(x, y, z) : −1 ≤ x ≤ 0, −1 ≤ y, z ≤ 1} .
❑❤✐ ➤ã

∇h1 (0, 0, 0) = (1, 2, 1) ∇h2 (0, 0, 0) = (2, 4, −1) T (C; 0) = −R+ ×
✱

R × R N (C; 0) = R+ × {0} × {0}
✱

✱

✈➭ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✭❘❈✮ t❤á❛ ♠➲♥✳ ❚❤❐t ✈❐② ♥Õ✉

0 ∈ γ1 ∇h1 (0) + γ2 ∇h2 (0) + N (C; 0),
❝ã ♥❣❤Ü❛ ❧➭

(0, 0, 0) ∈ (γ1 + 2γ2 , 2γ1 + 4γ2 , γ1 − γ2 ) + R+ × {0} × {0} ,

❦❤✐ ➤ã t❛ s✉② r❛

γ1 = γ2 = 0

✳ ❉♦ ➤ã✱ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✭❘❈✮ ➤ó♥❣

◆❤➽❝ ❧➵✐ r➺♥❣ ➤✐Ó♠

x¯ ∈ M

❜➭✐ t♦➳♥ ✭P✮ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét sè

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❝ù❝ t✐Ó✉ P❛r❡t♦ ②Õ✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝ñ❛

δ>0

s❛♦ ❝❤♦ ❦❤➠♥❣ tå♥ t➵✐

x ∈ M ∩ B (¯
x; δ)

t❤á❛ ♠➲♥

(∀k ∈ J) ,

fk (x) < fk (¯
x)
tr♦♥❣ ➤ã

B (¯

x; δ)

❧➭ ❤×♥❤ ❝➬✉ ♠ë ❜➳♥ ❦Ý♥❤

δ

t➞♠

x¯

✳

●✐➯ t❤✐Õt s❛✉ ➤➞② ❧➭ ❝➬♥ t❤✐Õt ➤Ó ❞➱♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ❝❤♦ ♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉

②Õ✉✳



tết
ồ t ột ỉ số

t

x





ớ

s

ỗ

rộ

gi (i
/ I (
x))

sJ

s

k J, k = s


í

tụ t

q

fs



ó ột ớ s rộ tr

i I (
x)



tr

fk (
x)







fk

gi (
x)

gi



t

x

ó

tt

fs (
x)





ớ







x



r sở ị ý str s rộ ủ é t ứ

ề ệ ự tể Prt ế ị ủ P

ị ý
sử

x ự tể Prt ế ị ủ P sử r tt

tết ủ ệ ề tết ú sử

gi (i I (
x))

st ị t

x

fk (k J)



ó ệ s ó ệ

v Rn
k , v < 0 (k J),

sup



k conv fk (
x)

sup

i , v < 0 (i I(
x)),



i conv gi (
x)

hj (
x), v = 0 (j L),



v T (
x; C).



ứ
ỉ r r ữ ề ệ s ó ệ

v Rn



fs (
x; v) < 0,

x; v) < 0 (k J; k = s),
fk+ (



gi+ (
x; v) < 0 (i I(
x)),



hj (
x), v = 0 (j L),
v T (
x; C).






✶✼
●✐➯ sö ♥❣➢î❝ ❧➵✐ r➺♥❣ ❤Ö ✭✶✳✻✮ ✲ ✭✶✳✶✵✮ ❝ã ♠ét ♥❣❤✐Ö♠

v0 ∈ Rn .

❑❤✐ ➤ã✱

v0 ∈ (ker∇h(¯
x)) ∩ T (C; x¯).

➳

♣ ❞ô♥❣ ♠Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✷✳✶ t❛ s✉② r❛

(ker∇h(¯
x)) ∩ T (C; x¯) = A(H ∩ C; x¯).
❉♦ ➤ã✱

∃δ > 0

✈➭

γ : [0, δ] → Rn

s❛♦ ❝❤♦

γ (0) = x¯, γ (t) ∈ H ∩ C
γ (0) = lim
t↓0

(∀t ∈ ]0, δ]) ,

γ (t) − γ (0)
= v0 .
t

✭✶✳✶✶✮

◆❤➢ ✈❐②✱

γ (t) ∈ C

h (γ (t)) = 0

✈➭

(∀t ∈ ]0, δ]).

✭✶✳✶✷✮

❚õ ✭✶✳✶✶✮ t❛ s✉② r❛

γ (t) − γ (0) o (t)
+
→ v0
t
t

✈➭

γ (t) − γ (0)
→ v0
t

❦❤✐

t ↓ 0,

tr♦♥❣ ➤ã

❱×

fs

o (t)
→0
t
x¯

❧➭ ▲✐♣s❝❤✐t③ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ t➵✐

t↓0

= lim inf
= lim inf

fs (¯
x+(γ(t)−¯
x))−fs (¯
x)
t

= lim inf

fs (γ(t))−fs (¯
x)
t

p

tp ∈ 0, p1

t↓0

t↓0

t↓0

fs (¯
x+tv0 )−fs (¯
x)
t
fs (x
¯+t( γ(t)−γ(0)
+ o(t)
x)
t
t ))−fs (¯
t

t↓0

lim inf

t ↓ 0.

✱ ♥➟♥ tõ ❬✸✱ tr✳✷✽✻❪ t❛ s✉② r❛

x; v0 ) = lim inf

fs− (¯

❱× ✈❐②✱ ✈í✐ ♠ç✐ sè tù ♥❤✐➟♥

❦❤✐

✱ tå♥ t➵✐

< 0.
1
p

≤δ

s❛♦ ❝❤♦

fs (γ (t)) − fs (¯
x)
fs (γ (tp )) − fs (¯
x)
= lim
< 0.
p→+∞
t
tp

❉♦ ➤ã✱ tå♥ t➵✐ sè tù ♥❤✐➟♥

N1

s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐

p ≥ N1 ,

fs (γ (tp )) < fs (¯
x) .

✭✶✳✶✸✮


✶✽
❱×

fk

❧➭ ▲✐♣s❝❤✐t③ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ t➵✐

fk+ (¯
x; v0 ) = lim sup

x¯

✱ ❝❤♦ ♥➟♥ tõ ✭✶✳✶✶✮ ✈í✐

fk x¯ + t

γ(t)−γ(0)
t

p→+∞

❉♦ ➤ã✱ tå♥ t➵✐ sè tù ♥❤✐➟♥

o(t)
t

t❛ ❝ã

− fk (¯
x)

t

t↓0

= lim

+

∀k ∈ J, k = s

sup
t∈]o, p1 [

fk (γ (t)) − fk (¯
x)
< 0.
t

N2 (≥ N1 )

fk (γ (t)) < fk (¯
x)

✳ ❱× ✈❐② ✈í✐ ♠ä✐

s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐

∀k ∈ J, k = s,

p ≥ N2 , t ∈ 0, p1 ,

t❛ ❝ã

fk (γ (tp )) < fk (¯
x) .
❚➢➡♥❣ tù✱ tå♥ t➵✐ ♠ét sè tù ♥❤✐➟♥

N3 (≥ N2 )

s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐

✭✶✳✶✹✮

∀i ∈ I (¯
x) , p ≥ N3 ,

t❛ ❝ã

gi (γ (tp )) < 0.

❉♦ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ ❝ñ❛ ❤➭♠

✈í✐ ♠ä✐

gi (i ∈
/ I (¯
x))

∀i ∈
/ I (¯
x) , p ≥ N4 ,

✱ tå♥ t➵✐ sè tù ♥❤✐➟♥

✭✶✳✶✺✮

N4 (≥ N3 )

s❛♦ ❝❤♦

t❛ ❝ã

gi (γ (tp )) < 0
❑Õt ❤î♣ ✭✶✳✶✷✮ ✲ ✭✶✳✶✻✮✱ t❛ s✉② r❛ ✈í✐ ♠ä✐

✭✶✳✶✻✮

∀p ≥ N4 ,

fk (γ (tp )) < fk (¯

x)

(∀k ∈ J),

gi (γ (tp )) < 0 (∀i ∈ I),
h (γ (tp )) = 0,
γ (tp ) ∈ C.
➜✐Ò✉ ♥➭② ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt

x¯

❧➭ ❝ù❝ t✐Ó✉ P❛r❡t♦ ②Õ✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝ñ❛ ✭P✮✳

❚õ ❣✐➯ t❤✐Õt ✭✶✳✷✳✶✮ t❛ s✉② r❛ r➺♥❣ ❤Ö ✭✶✳✷✮ ✲ ✭✶✳✺✮ ❦❤➠♥❣ t➢➡♥❣ t❤Ý❝❤✳

✷

❚õ ➤ã t❛ s✉② r❛ ➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

➜➷t

λk conv ∂ ∗ fk (¯
x) +

D (¯
x) :=
k∈J

µi conv ∂ ∗ gi (¯
x) +

i∈I(¯
x)

γj ∇hj (¯
x)
j∈L

+N (C; x¯) : λk ≥ 0(∀k ∈ J), µi ≥ 0, (∀i ∈ I(¯
x)),
γj ∈ R (∀j ∈ L) , (λ, µ, γ) = (0, 0, 0) ,




tr ó

ề

= (k )kJ , à = (ài )iI(x) , = (j )jL
ệ



rt





ự

tể

Prt

ế

ị



ủ

P

ớ

ữ ớ s rộ ợ t ể s

ị ý
sử r

x

ự tể Prt ế ị ủ P tết ủ

ị ý t ó tồ t

à
(,

) = (0, 0) Rl

s

k conv fk (

x) +

0 cl

k 0 (k J) , à

i 0 (i I (
x))

kJ

à
i conv gi (
x) +

j hj (
x) + N (C; x) .
jL

iI(
x)

ứ
ỉ r r

0 clD (
x) .



sử ợ

0
/ clD (
x) .
ó t

D (
x)

t ồ rờ

rỗ ồ ó t ụ ị ý t

D (
x)



{0}

ệ q tồ t

v0 Rn , v0 = 0

s

sup , v0 < 0.



D(
x)


ị

ý



ệ

t

tí



ó





ọ

k = 1, p = 0, (p J, p = k), ài = 0 (i I(
x)), = 0



0 = N (C; x)

từ t s r

sup

k , v0 < 0 (k J).

i , v0 < 0 (i I(
x)).



k conv fk (
x)
tự tr t ó

sup
i conv gi (
x)


✷✵
❚❛ ❝❤Ø r❛

∇hj (¯
x), v0 = 0
❚❤❐t

✈❐②

❝➳❝❤ ❧✃②

♥Õ✉

✭✶✳✷✷✮

❧➭

s❛✐✱

t❤×

(∀j ∈ L) .

∇hj0 (¯
x), v0 = 0

✈í✐

✭✶✳✷✷✮

j0

♥➭♦

➤ã

∈ L

✳

❇➺♥❣

ξs ∈ ∂ ∗ fs (¯
x) , λs = 1, λk = 0 (∀k ∈ J, k = s) , µi = 0(∀i ∈ I(¯
x)),

γj = 0 (∀j ∈ L, j = j0 ) , 0 = ζ ∈ N (C; x¯),

tõ ✭✶✳✶✾✮ t❛ s✉② r❛

ξs , v0 + γj0 ∇hj0 (¯
x), v0 < 0.

✭✶✳✷✸✮

❚❛ ❝❤ó ý r➺♥❣

| ξs , v0 | < +∞
❈❤♦

♥Õ✉

γj0

✈➭

∇hj0 (¯
x), v0 > 0

➤ñ ❧í♥ ♥Õ✉

∇hj0 (¯
x), v0 < 0

| ∇hj0 (¯
x), v0 | < +∞.

✱ ❝ß♥

γj0 < 0

✈í✐ ❣✐➳ trÞ t✉②Öt ➤è✐ ➤ñ ❧í♥

✱ t❛ sÏ ➤✐ ➤Õ♥ ♠ét ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ✭✶✳✷✸✮✳ ❉♦ ✈❐②✱ ✭✶✳✷✷✮ ❧➭

➤ó♥❣✳

❚✐Õ♣ t❤❡♦✱ t❛ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣

v0 ∈ T (C; x¯).
❚❤❐t ✈❐②✱

♥Õ✉ ✭✶✳✷✹✮ ❦❤➠♥❣ ➤ó♥❣ t❤× sÏ

❇➺♥❣ ❝➳❝❤ ❝❤♦

I(¯
x)), γ = 0

∃η0 ∈ N (C; x¯)

✭✶✳✷✹✮

s❛♦ ❝❤♦

α>0

t❛ ❝ã

αη0 ∈ N (C; x¯)

✈➭

λs ξ0 , v0 + α η0 , v0 < 0.
η0 , v0 > 0

✳

λk = 0 (∀k ∈ J, k = s) , λs > 0, ξs ∈ ∂ ∗ fs (¯
x) , µi = 0(∀i ∈

✱ ✈í✐

❱×

(η0 , v0 ) > 0

✈í✐

α

✭✶✳✷✺✮

➤ñ ❧í♥ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢î❝ ♠ét ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ✭✶✳✷✺✮✳ ❉♦ ➤ã

η0 , v0 ≤ 0, (∀η ∈ N (C; x¯)).
❈❤ó ý r➺♥❣

T (C; x¯)

❧➭ ♠ét ♥ã♥ ❧å✐ ➤ã♥❣✳ ❚õ ➤ã t❛ ❝ã

v0 ∈ N 0 (C; x¯) = T 00 (C; x¯) = T (C; x¯).
❑Õt ❤î♣ ✭✶✳✷✵✮ ✲ ✭✶✳✷✷✮ ✈➭ ✭✶✳✷✹✮ t❛ s✉② r❛ ❤Ö ✭✶✳✻✮ ✲ ✭✶✳✶✵✮ ❝ã ♠ét ♥❣❤✐Ö♠

v0 ,

✈➭ ❝ò♥❣ ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❤Ö ✭✶✳✷✮ ✲ ✭✶✳✺✮✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✶✳ ❱×


✷✶
(n)

✈❐② ✭✶✳✶✽✮ ➤ó♥❣ ✈➭ ❞♦ ➤ã tå♥ t➵✐

(n)

0, ηi

(n)

(n)

λk ≥ 0, ξk ∈ conv∂ ∗ fk (¯
x) (∀k ∈ J) , µi
(n)

∈ conv∂ ∗ gi (¯
x) (∀i ∈ I (¯
x)) , γj

∈ R (∀j ∈ L)

✈➭

ζ (n) ∈ N (C; x¯)

≥

✈í✐

(n)

λ(n) , µI(¯x) , γ (n) = (0, 0, 0)

(n) (n)

(n) (n)

0 = lim

n→∞

s❛♦ ❝❤♦

µi ηi

λk ξk +
k∈J

(n)

γj ∇hj (¯
x) + ξ (n) ,

+

✭✶✳✷✻✮

j∈L

i∈I(¯
x)

tr♦♥❣ ➤ã

(n)

λ(n) = λk

(n)

k∈J

(n)

, µI(¯x) = µi

(n)

i∈I(¯
x)

, γ (n) = γj

j∈L

.

❇ë✐ ✈×

(n)

λ(n) , µI(¯x) , γ (n) = (0, 0, 0) ,
t❛ ❝ã t❤Ó ①❡♠ ♥❤➢

(n)

(λ(n) , µI(¯x) , γ (n) ) = 1 (∀n) .
❑❤➠♥❣ ♠✃t tÝ♥❤ tæ♥❣ q✉➳t ❝ã t❤Ó ❣✐➯ sö

✈í✐

¯ ≥ 0, µ
λ
¯I(¯x) ≥ 0, γ¯ ∈ Rl

✈➭

(n)
¯ µ
λ(n) , µI(¯x) , γ (n) → λ,
¯I(¯x) , γ¯

¯ µ
(λ,
¯I(¯x) , γ¯ ) = 1

✳

❇ë✐ ✈×

clA + clB ⊆ cl(A + B),
✈➭ tõ ✭✶✳✷✻✮ t❛ s✉② r❛

¯ k clconv∂ ∗ fk (¯
λ
x) +

0∈
k∈J

µ
¯i clconv∂ ∗ gi (¯
x)
i∈I(¯
x)

γ¯j ∇hj (¯
x) + N (C; x¯)

+
j∈L

¯ k conv∂ ∗ fk (¯
λ
x) +

⊆ cl
k∈J

µ
¯i conv∂ ∗ gi (¯
x) +

γ¯j ∇hj (¯
x) + N (C; x¯).
j∈L

i∈I(¯
x)

✭✶✳✷✼✮

❚❛ ❝ã ✭✶✳✷✼✮ ➤ó♥❣ ✈í✐

¯ µ

λ,
¯ = (0, 0)

✳ ❚❤❐t ✈❐② ♥Õ✉

¯ µ
λ,
¯ = (0, 0)

t❤×

γ¯ = 0

✳

❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ❦Õt ❤î♣ ✈í✐ ✭✶✳✷✼✮ t❛ ➤✐ ➤Õ♥ ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② ✭❘❈✮✳

❉♦ ➤ã

¯ µ
λ,
¯ = (0, 0)

✳ ❙✉② r❛ ➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

✷