Lý thuyết và bài tập hình học không gian – Nguyễn Tất Đỉnh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.61 MB, 64 trang )

ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018

1

CÔNG THỨC LỚP 9-10

Hệ thức lượng trong tam giác vuông : Cho ABC vuông ở A ta có :
 Định lý Pitago : BC 2  AB 2  AC 2
 BA 2  BH .BC ; CA2  CH .CB
 AB. AC = BC. AH


1
1
1


2
2
AH
AB
AC 2

 AH2 = BH.CH

 BC = 2AM
b
c
b
c
 sin B  , cosB  , tan B  , cot B 

a
a
c
b
 b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a =

b
b

,
sin B cos C

 b = c. tanB = c.cot C
2.Hệ thức lượng trong tam giác thường:
* Định lý hàm số Côsin:
a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA
a
b
c
* Định lý hàm số Sin:


 2R
sin A sin B sin C
3. Các công thức tính diện tích.
a/ Công thức tính diện tích tam giác:

1
a.ha
2

1
a.b.c
 p.r 
S = a.b sin C 
2
4R
S

Đặc biệt : * ABC vuông ở A : S 

p.( p  a)( p  b)( p  c) với p 

abc
2

1
AB .AC
2

a2 3
* ABC đều cạnh a: S 
4
b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh
c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng

d/ Diên tích hình thoi : S =

1
(chéo dài x chéo ngắn)
2

d/ Diện tích hình thang : S 

1
(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
2

e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao
2
f/ Diện tích hình tròn : S   .R

BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN

-1-

ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018

2

QUAN HỆ SONG SONG – QUAN HỆ VUÔNG GÓC

A.QUAN HỆ SONG SONG
1. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
ĐL1:Nếu đường thẳng d
không nằm trên mp(P) và
song song với đường
thẳng a nằm trên mp(P)
thì đường thẳng d song
song với mp(P)

ĐL2: Nếu đường thẳng a
song song với mp(P) thì
mọi mp(Q) chứa a mà cắt
mp(P) thì cắt theo giao
tuyến song song với a.

d

d  (P)

d / /a  d / /(P)
a  (P)


a / /(P)

 d / /a
a  (Q)
(P)  (Q)  d


a
(P)

(Q)

a
d

(P)

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng
cắt nhau cùng song song
với một đường thẳng thì
giao tuyến của chúng song
song với đường thẳng đó.

(P)  (Q)  d

 d / /a
(P) / /a
(Q) / /a


d
a
Q
P

2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
ĐL1: Nếu mp(P) chứa
hai đường thẳng a, b cắt
nhau và
cùng song
song với mặt phẳng (Q)
thì (P) và (Q) song
song với nhau.
ĐL2: Nếu một đường
thẳng nằm một trong
hai mặt phẳng song

song thì song song với
mặt phẳng kia.
ĐL3: Nếu hai mặt
phẳng (P) và (Q) song
song thì mọi mặt phẳng
(R) đã cắt (P) thì phải
cắt (Q) và các giao
tuyến của chúng song
song.

a,b  (P)

 (P) / /(Q)
a  b  I
a / /(Q),b / /(Q)


(P) / /(Q)
 a / /(Q)

a

(P)


a
P b I
Q
a
P

Q
R

(P) / /(Q)

(R)  (P)  a  a / / b
(R)  (Q)  b


P
Q

a
b

B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC
1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN

-2-

ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018
ĐL1: Nếu đường thẳng d
vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau a và b
cùng nằm trong mp(P)
thì đường thẳng d vuông
góc với mp(P).

ĐL2: (Ba đường vuông
góc) Cho đường thẳng a
không vuông góc với
mp(P) và đường thẳng b
nằm trong (P). Khi đó,
điều kiện cần và đủ để b
vuông góc với a là b
vuông góc với hình
chiếu a’ của a trên (P).

d  a ,d  b

a ,b  mp(P)  d  mp(P)
a,b caét nhau


d

b
a

P

a

a  mp(P),b  mp(P)
b  a  b  a'

b

a'

P

2. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
ĐL1:Nếu một mặt
phẳng chứa một đường
thẳng vuông góc với
một mặt phẳng khác thì
hai mặt phẳng đó
vuông góc với nhau.
ĐL2:Nếu hai mặt
phẳng (P) và (Q)
vuông góc với nhau thì
bất cứ đường thẳng a
nào nằm trong (P),
vuông góc với giao
tuyến của (P) và (Q)
đều vuông góc với mặt
phẳng (Q).
ĐL3: Nếu hai mặt
phẳng (P) và (Q)
vuông góc với nhau và
A là một điểm trong
(P) thì đường thẳng a
đi qua điểm A và
vuông góc với (Q) sẽ
nằm trong (P)
ĐL4: Nếu hai mặt
phẳng cắt nhau và cùng

vuông góc với mặt
phẳng thứ ba thì giao
tuyến của chúng vuông
góc với mặt phẳng thứ
ba.

Q
a

a  mp(P)
 mp(Q)  mp(P)

a

mp(Q)

(P)  (Q)

(P)  (Q)  d  a  (Q)
a  (P),a  d


P

P
a

P

(P)  (Q)


A  (P)
 a  (P)

A  a
a  (Q)

(P)  (Q)  a

 a  (R)
(P)  (R)
(Q)  (R)


Q

d

a
A

Q

P

Q
a

R

3. KHOẢNG CÁCH
BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN

-3-

ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1
mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc
đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M
và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường
thẳng a ( hoặc trên mp(P))

O

O
H

a

H

P

d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
song song:
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song
với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến

mp(P).
d(a;(P)) = OH

a

O

H

P

O

3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này
đến mặt phẳng kia.
d((P);(Q)) = OH

P

Q

A

a

4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
đó.
d(a;b) = AB

H

b
B

4. GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng a và b
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua
một điểm và lần lượt cùng phương với a và b.

a

a'

b'
b

a

2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với
mặt phẳng (P)
là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P).
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta
nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là 90 0 .

a'

P

3. Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với
hai mặt phẳng đó.
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt
phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm

a
P

b

a

Q
P

BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN

b

Q

-4-

ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018
4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa
giác (H) trong mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu
(H’) của (H) trên mp(P’) thì

S

S'  Scos 

trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’).

C



A

B

3

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

I/ CÁC CÔNG THỨC THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN :

1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG
TRỤ:

a)

Thể tích khối hộp chữ nhật:

b)

Thể tích khối lập phương:

với a là độ dài cạnh

V = B.h
(B: Sđáy ; h: chiều cao)

V = a.b.c
(a,b,c là ba kích thước)
V = a3
(a là độ dài cạnh)

V=

2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:

1
Bh
3

(B: S đáy ; h: chiều cao)
S
C'
A'

3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ
DIỆN

VSABC
SA SB SC

VSA'B 'C ' SA' SB ' SC '

A

B'
C
B

A'

4. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
CỤT:

V

h
( B  B ' B.B ' )
3

B'
C'

A

B

C

5. KHỐI NÓN

1

1
V = Bh=  r 2h
3
3

Sxq =  rl
BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN

-5-

ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018

V =Bh= r2h
6. KHỐI TRỤ

Sxq = 2 rl

V=
7. KHỐI CẦU

4
 r3
3

S= 4 r 2

Chú ý:
1/ Đường chéo của hình vng cạnh a là d = a 2 ,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 ,

a 2  b2  c 2 ,

Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =

a 3
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =
2
3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau (hoặc có đáy là
đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

4

 MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

1/ C/m điểm thuộc mặt phẳng :
 Phương pháp :
Để chứng minh điểm M  mp  ta chứng minh :





M  Đường thẳng a
 M  mp
Đường thẳng a  mp

a

M



2/ Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng :
 Phương pháp : Để tìm giao điểm của đường thẳ ng a và mp  ta thực hiện các bước sau :
Bước 1 : Chọn mặt phẳng phụ  chứa đường thẳng a
( Chú ý : Mặt phẳng  và  dể xác đònh giao tuyến )
a
Bước 2 : Tìm giao tuyến  của  và 
Bước 3 : Gọi I = giao điểm của a và  . Chứng minh I
là giao điểm của đường thẳng a và mp 


M
( Chứng minh : I vừa thuộc đường thẳng a vừa thuộc mp  ) 
3/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng :
BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN

-6-

ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018
 Phương pháp : Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

và
C1 : Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng




ta dùng các cách sau :

 A , B  mp 
 Đường thẳng AB  mp  mp .

 A , B  mp

A
B





C2 : Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và phương của giao tuyến
( Giao tuyến // hoặc vuông góc với một đường thẳng cố đònh cho trước )
Chú ý : Khi tìm phương của giao tuyến ta cân quan tâm đến các đònh lý :
- Nếu a // (P) thì a // với giao tuyến d của mp(P) và mp(Q) đi qua a
- Hai mặt phẳng song song bò cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì các giao tuyến này //
- Hai mặt phẳng cắt nhau cùng // với một đường thẳng thì giao tuyến của hai mạt phẳng
này // với đường thẳng đó .
4/ Chứng minh 3 điểm thẳn g hàng :
A
 Phương pháp : Để chứng minh 3 điểm : A, B, C thẳng hàng
B
Ta chứng minh 3 điểm này cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt  và 
C
A, B, C thuộc giao tuyến của  và  nên thẳng hàng
( )  ( )  AB 


Thường CM như sau:
  C  AB , nên A, B, C thẳng hàng
C  ( )  ( ) 



5/ Chứng minh 3 đường thẳn g đồn g quy :
 Phương pháp : Để chứng minh 3 đường thẳng : a, b, c đồng quy ta thực hiện các bước sau :
Bước 1 : Đặt I = giao điểm của a và b.
Bước 2 : Tìm hai mặt phẳng  và  nào đó sao cho
a
c
b

c = giao tuyến của  và .
 I  mp
 I  đường thẳng c
 I  mp

I

Bước 3 : Chứng minh : 




3 đường thẳng a, b, c cùng đi qua I nên đồng qui.
 Cách khác :
Dùng đònh lý : “Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến này // hoặc

đồng quy’’ Như vậy nếu chúng ta loại trừ được khả năng // thì chúng sẽ đồng quy.
6/ Chứng minh giao tuyến hay (đường thẳn g) cố đònh :
 Phương pháp : Ta chứng minh đường thẳng hay giao tuyến là giao của hai mặt phẳng cố đònh
7/ Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau :
 Phương pháp : Để chứng minh hai đường thẳng chéo nhau ta chứng minh chúng không cùng
nằm trong một mặt phẳng (Thường dùng phương pháp chứng minh bằng phản chứng: Giả sử hai
đường thẳng đó không chéo nhau. Suy luận để suy ra điều vô lý. Vậy hai đường thẳng đó phải //
với nhau)



BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN

-7-

ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018
8/ Chứng minh hai đường thẳng // .
C1 : Dùng các quan hệ song song đã biết trong mặt phẳng.
C2 : Chứng minh chúng phân biệt và cùng // với một đường thẳng thứ ba .
a

a, b phân biệt & a // c, a // c  a // b
b
c

C3 : Dùng đònh lý giao tuyến:
R

a

P

(P) // (Q), (R)  (P)  a, (R)  (Q)  b  a // b
b

Q

C4 : Dùng đònh lý giao tuyến:

(P) // a, (Q) // a, (P )  (Q)  a  a // b

b

a

P

Q

C5 : Dùng đònh lý giao tuyến:

a

P





b

Q

b

Q

a

P

b


a

Q

P

a // b, (P) qua a, (Q) qua b,(P)  (Q)  

  // a,  // b hoặc  trùng với a hoặc b

BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN

-8-

ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018
C6 : Dùng đònh lý giao tuyến:

a

a // (P), (Q) qua a, (P)  (Q)  b  a // b
Q

b

P

9/ Chứng minh đường thẳng // với mặt phẳng .
C1 : CM đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và // với một đường thẳng nằm trong mặt
phẳng.
a

a  (P ) , b  (P ) , a // b ,  a // (P )

b
P

C2 : Dùng hệ quả:
.

a

Q

(P) // (Q), a  (Q)  a // (P )

P

a

C3 : Dùng hệ quả :

H
P
b

a  (P ) , (P)  b, a  b  a //(P )

10/ Chứng minh hai mặt phẳng song song .
C1 : Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau // với mặt phẳng kia.

a, b  (Q) , a cắt b, a // (P) và b // (P)  (P ) //(Q )

P
a
Q

b

BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN

-9-

ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018

C2 : Chứng minh chúng phân biệt và cùng vuông góc với một đường thẳng .
a

P

(P ) , (Q ) phân biệt, (P)  a, (Q)  a  (P ) //(Q )

Q

C3 : Dùng hệ quả: Hai mặt phẳng phân biệt và cùng // với một mặt phẳng thứ ba thì // với nhau .
11/ Chứng minh hai đường thẳng vuông góc .
C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng.
C2 : a  b  góc (a;b)  90o .
C3: Dùng hệ quả:
a

a  (P )
  a  b  (P ) // (Q )
b  (P )

b

P
C4: Dùng hệ quả:
b

a

b // c , a  b  a  c

c

C5 : Dùng hệ quả:
a
b

a song song (P )
  a  b  (P ) //(Q )
b  (P )


P

C6 : Sử dụng đònh lí ba đường vuông góc.

BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN

- 10 -

ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018
C7: Dùng hệ quả:


B

A

C

  AB 
    BC
  AC 

12/ Chứng minh đường thẳn g vuôn g góc mặt phẳng .
C1 : Dùng đònh lý.
a
b

b , c cắt nhau , b, c  (P ) , a  b, a  c  a  (P )

c

P

C2 : Dùng hệ quả:
b

a

a // b , b  (P )  a  (P )

P

C3 : Dùng hệ quả:
Q
a

(P )  (Q)  b 
  a  (P )

a  (Q), a  b 

b

P

C4 : Dùng hệ quả:



( )

( )

( )  ( )  

    (P )
( )  (P ),( )  (P )

P

BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN

- 11 -

ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018
13/ Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc .
C1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông.
 ( )  ( )   , Ox  ( ),Ox   , Oy  ( ),Oy  

Khi đó:



O


x

góc (( );( ))  góc (Ox;Oy)  xOy   : 0    90o

y

 ( )  ( )    90o




C2 : Dùng hệ quả:

a  ( )
  ( )  ( )
a  ( ) 

a



 CÁCH XÁC ĐINH GÓC

1/ Góc của hai đường thẳng

A
a'

a

 = (a; b)

O
b'

1/ Góc của hai mặt phẳng

O



Góc (a,b) = góc (a’,b’) = AOB
Thường chọn điểm O  a hoặc O



b

 Chọn điểm O thuộc giao tuyến của 
và  .
OA  ( )
OB  ( )
và 

OA  
OB  
 Góc ( ,  ) = Góc (OA,OB) = AOB  

 Dựng qua O : 




Chọn điểm O tuỳ ý.
Dựng qua O : a’ // a; b’ // b .



B

b




B

A



Chú ý:
* 0    90o
* Nếu   90o thi chọn góc

( ;  )  180o  

BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN

- 12 -

ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018
1/ Góc của đường thẳng và mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó
trên mặt phẳng
A

 Chọn điểm A thuộc đường thẳng a.
 Dựng qua AB  ( ) tại B.
 Dựng giao điểm O của a và  nếu
chưa có.
( OB là hình chiếu của a trên mặt
phẳng (  ))
 Khi đó: Góc(a;( )) = Góc(OA,OB) =
AOB   .

a


O

B


 KHOẢN G CÁCH

Khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng
M

M


H


H

Dùng MH   : d(M, ) = MH

Khoảng cách giữa hai
đường thẳng song song
 1 //  2

Dùng: MH  ( ), H thc ( ) ta cã: d(M,( )) = MH

Khoảng cách giữa mặt phẳng
và đường thẳng // song song


1

M

 // ( )

M
2

H

H
Chän ®iĨm M trªn  1, dùng MH   2
( H thc  2) ta cã d( 1, 2) = MH


Chän ®iĨm M thc  , dùng MH  
( H thc ( )), ta cã d( ,( )) = MH

BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN

- 13 -

ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018
Khoảng cách giữa hai
Đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song
( ) // (),  chøa trong ( )





M

M

A a

H

a'


Ta cã: d(( ),()) = d( ,( )) = MH
(M thc , MH  ( ), H thc  )

H
B



b

 Dùng mỈt ph¼ng ( ) chøa b & ( ) // a
 Dùng MH  ( ), M thc a, H thc ( )
 Dùng a' trong mỈt ph¼ng ( ), a' // a
®-êng th¼ng a' c¾t ®-êng th¼ng b t¹i B
 Dùng  qua B vµ // MH,  c¾t a t¹i A

Khi ®ã: d(a,b) = d(a,( ))
= d(M,( )) = MH = AB

 a vµ b chÐo nhau

 HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶT BIỆT

1/ Hình chóp tam giác đều
Hình chóp tam giác đều:
S
 Đáy là tam giác đều
 Các mặt bên là những tam giác cân
Đặc biệt: Hình tứ diện đều có:
 Đáy là tam giác đều
 Các mặt bên là những tam giác đều
h

Cách vẽ:
A
 Vẽ trung tuyến AI
C  Vẽ đáy ABC

 Dựng trọng tâm H
 Vẽ SH  (ABC)
H
Ta
có
:

I

B
 SH là chiều cao của hình chóp

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: SAH   .
 Góc mặt bên và mặt đáy là: SIH  

BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN

- 14 -

ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018
2/ Hình chóp tứ giác đều
S

A

D




I

H

B

C

Hình chóp tứ giác đều:
 Đáy là hình vuông
 Các mặt bên là những tam giác cân
Cách vẽ:
 Vẽ đáy ABCD
 Dựng giao điểm H của hai đường chéo
AC & BD
 Vẽ SH  (ABCD)
 Ta có:
 SH là chiều cao của hình chóp

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: SAH   .
 Góc mặt bên và mặt đáy là: SIH  
2/ Hình chóp có một cạn h bên vuông góc với đáy
S



A

 SA  (ABC)
 Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: SBA  
 Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: SCA  

C


B

.

S

 SA


A

B

 (ABCD)

 Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: SBA  
 Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: SCA  
D

 Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là: SDA  


C

BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN

- 15 -

ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018

CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH
A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Thể tích hình hộp chữ nhật:

4. Hình trụ:
S xq  2 Rl

V  abc
..
( Với a, b, c lần lượt
là chiều dài, rộng và
cao của hình hộp)
2. Thể tích hình chóp:
1
+ S: Diện tích đáy
V  S .h
+ h: Chiều cao hình chóp
3
3. Thể tích hình lăng trụ:

V  S.h

V   R 2 .h

5. Hình nón:
1
V   R 2 .h
3

S xq   Rl

6. Mặt cầu:
4

V   R3
3

S  4 R 2

+ S: Diện tích đáy
+ h: Chiều cao hình lăng trụ

CÁC DẠNG BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
I. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:
Dạng 1: Hình chóp có một cạnh bên h vuông góc với mặt đáy B. Khi đó thể tích của hình chóp là:
1
+ B: Diện tích đáy
V  B.h
+ h: Chiều cao hình chóp.
3
Ví dụ: Tính thể tích của khối chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC), SA = a,
tam giác ABC vuông tại B, BC = a; AC = 2a.
Giải:
S
1
1
Ta có thể tích: V  B.h  S ABC .SA
3
3
Trong tam giác vuông ABC, ta có:
AB 

AC 2  BC 2  (2a ) 2  a 2  a 3

a

2a
1
1
3 2
A
C
BA.BC  a.a 3 
a
2
2
2
a
1
1
1 3 2
a3 3
a .a 
Vậy, V  B.h  S ABC .SA  .
(đvtt).
B
3
3
3 2
6
Dạng 2: Biết hình chiếu vuông góc của một đỉnh lên mặt đáy.(hình chiếu của đỉnh S lên mặt đáy là
H)
+ B: Diện tích đáy
+ SH: Chiều cao hình chóp.

1
Khi đó thể tích: V  B.SH
3

Nên S ABC 

Ví dụ: (TN THPT 2008 – lần 1). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên
bằng 2a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích của khối chóp S.ABI theo a.
Giải:
Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC, khi đó SH vuông góc với mặt đáy ABC.
BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN

- 16 -

ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018
1
1
Nên V  B.h  S ABC .SH
3
3
1
1
a2 3
Mà S ABC  AB. AC.sin A  a.a.sin 600 
2
2
4

S

2

2
2
2 2 a
a 3
Ta lại có: AH  AI 
AB 2  BI 2 
a   
3
3
3
3
2
Xét SAH vuông tại S, có:

2a

2a

2a
a

A

C

2

a 3
a
H
a 33
a
I
SH  SA2  AH 2  (2a)2  
 
3
B
 3 
Dạng 3: Biết một mặt bên vuông góc với mặt đáy. Khi đó đường thẳng đi qua một đỉnh của
mặt bên, vuông góc với giao tuyến giữa mặt bên và mặt đáy là đường cao của hình chóp.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SAB vuông góc với mặt đáy (ABC), đáy ABC là tam
giác đều cạnh bằng a và mặt SAB là tam giác vuông cân tại S. Tính thể tích của khối chóp S.ABC
theo a
Giải:
Ta có:  SAB    ABC   AB . Qua S dựng đường thẳng vuông góc với AB và cắt AB tại I,
nên SI vuông góc với mặt đáy (ABC).
1
a
Mà SAB vuông tại S  I là trung điểm của AB.  SI  AB 
S
2
2
1
a2 3
Ta lại có: S ABC  AB. AC.sin A 
2
4

a
Vậy, thể tích của hình chóp S.ABC là:
C
A
2
3
1
1 a 3 a a 3
I
a
V  .S ABC .SI  .
. 
(đvtt).
a
3
3 4 2
24
B
II. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
Dạng 1: Hình lăng trụ có một cạnh bên d vuông góc với mặt đáy B ( dự đoán được nó là hình
lăng trụ đứng). Khi đó thể tích của hình lăng trụ là: V  B.d (B: diện tích đáy; d: là chiều
cao)
Ví dụ: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A ' B ' C ' , có AC  a, BC  2a, ACB  600 và tam
giác ABB ' cân. Tính thể tích của khối lăng trụ theo a.
A'
C'
Giải:
Ta có thể tích của khối lăng trụ là: V  B.h  SABC .BB '
B'
1

1
a2 3
AC.BC.sin C  a.2a.sin 600 
(đvdt).
2
2
2
Lại có ABB ' vuông cân tại B nên BA  BB ' .
Xét ABC , có AB 2  AC 2  BC 2  2. AC.BC.cos C
 AB 2  a 2  (2a) 2  2.a.2a.cos600  3a 2  AB  BB '  a 3

Mà: S ABC 

Vậy: V  S ABC .BB ' 

a

2

2

3

.a 3 

a
A

600

C

2a
B

3

3a
(đvtt).
2

Dạng 2: Biết hình chiếu của một đỉnh xuống mặt đáy.
Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' , có hình chiếu vuông góc của đỉnh A ' xuống mặt đáy
ABC trùng với trung điểm I của đoạnh AB, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên
AA ' với mặt đáy bằng 300 . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho theo a.
Giải:
- 17 BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN

ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018
Ta có thể tích cần tìm là: V  B.h  SABC . A ' I
Mà S ABC 



a2 3
4



Ta lại có: AA ';( ABC )  300  ( AA '; AI )  300 nên IAA '  300
Xét AIA ' vuông tại I, ta có:
A' I
tan A 
 A ' I  tan A. AI
AI
1
3 1
a 3
 tan 300. AB 
. a
2
3 2
6
2
3
a 3 a 3 a
Vậy, V  S ABC . A ' I 
.
 (đvtt).
4
6
8

A'

C'

B'
h

300

a

A

C
I

a

a

B

III. DIỆN TÍCH XUNG QUANH – THỂ TÍCH HÌNH NÓN.

Diện tích xung quanh hình nón: S xq   .r.l , trong đó r là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh.
Diện tích toàn phần hình nón: Stp  S xq  Sday   .r.l   .r 2 .
1
Thể tích khối nón: V   r 2 .h , trong đó r: là bán kính đáy, h: là chiều cao.
3

Ví dụ: Cho hình nón đỉnh S, đường tròn đáy tâm O, bán kính r = a và góc ở đỉnh của hình nón
bằng 600 . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón.
Giải:
Ta có: S xq   .r.l   .r.SA .
S

Xét tam giác ASO vuông tại O, ta có:

AO
r
a
sin S 
 sin 300 
 SA   2a
1
SA
SA
2
2
Nên Sxq   .r.l   .a.SA   .a.2a  2a 

600

h
B

Mà SO  SA2  OA2  (2a) 2  a 2  a 3

O

M

r

A

1
1

a 3 3
Vậy thể tích cần tìm là: V   .r 2 .h   .r 2 .h 
(đvtt
3
3
3

IV. DIỆN TÍCH XUNG QUANH – THỂ TÍCH HÌNH TRỤ
Diện tích xung quanh hình trụ: S xq  2 .r.l , trong đó r là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh.
Diện tích toàn phần hình trụ: Stp  S xq  2.Sday  2 .r.l  2 .r 2 .
Thể tích khối trụ: V   r 2 .h , trong đó r: là bán kính đáy, h: là chiều cao.

BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN

- 18 -

ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018
Ví dụ: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a, và khoảng cách giữa hai đáy bằng a 3 . Tính diện
tích xung quanh và thể tích của hình trụ đã cho theo a.
Giải:
Gọi O,O’ là tâm ở hai đáy của hình trụ (như hình vẽ bên).
O’
B
Từ giả thiết, ta có: OO '  a 3
Khi đó diện tích xung quanh của hình trụ là:
h
S xq  2 .r.l  2 .a.OO '  2 .a.a 3  2 3 a 2 (đvdt).
Thể tích của khối trụ: V   r 2 .h   a 2 .OO '   a3 3 (đvtt).

A
O r

M

V. DIỆN TÍCH XUNG QUANH – THỂ TÍCH MẶT CẦU
Diện tích của mặt cầu: S  4 .R 2 , trong đó R là bán kính mặt cầu.
4
Thể tích khối cầu: V   R 2
3
Đường tròn giao tuyến của S(O;r) và mp(P) có tâm là hình chiếu vuông góc của tâm O lên mp(P)

và bán kính r '  R 2  d  O; mp( P) .
mp(P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;R)  d  O; mp( P)   R .

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA  2a, AC  a 2 và SA
vuông góc với mặt phẳng đáy.
1. Chứng minh trung điểm I của đoạn SC là tâm của mặt cầu (S) đi qua các đỉnh của hình chóp
S.ABC. Tính bán kính của mặt cầu (S) và thể tích của khối cầu.
2. Xác định tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) với mp(ABC).
Giải:
1. Ta có các tam giác SAC, SBC lần lượt vuông tại A, B.
1
nên IA  IB  IS  IC  SC .
S
2
I
Do đó I cách đều các đỉnh S,A,B,C.
2a
Vậy I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC,

a 2
2
A
1
1
a 6
SA2  AC 2 
có bán kính là: R  SC 
2
2
2
B

BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN

- 19 -

C

ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018
2. Đường tròn giao tuyến là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Do ABC vuông cân tại B nên tâm của đường tròn giao tuyến
là trung điểm của đoan AC.
S

Vậy bán kính của đường tròn giao tuyến là: r 

1
a 2

AC 
2
2

A

*O

B
C

B/ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM:
HÌNH CHÓP
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a. Cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy, SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 45 và SC = 2 a 2 . Thể tích khối chóp
S.ABCD bằng:
A.

2a 3
3

B.

a3 2 3
3

C.

a3
3

D.

a3 3
3

D.

a3 3
2

..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..................................................................
Câu 2: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a.
Hai mặt (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích
khối chóp biết SC = a 3 ?
A.

2a 3 6
9

B.

a3 6
12

C.

a3 3
4

.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
......................................................................................................................
Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B với AC
= a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60. Tính
thể tích khối chóp:
a3 6
a3 3
a3 6
a3 6
A.
B.
C.
D.
24
24
8
48
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN

- 20 -

....................................................................................................................
..................................................................................................................

Câu 7: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng SA  (ABCD), SC hợp
với đáy một góc 45 và AB = 3a, BC = 4a. Tính thể tích khối chóp:
10a 3 3
A. 40a 3
B. 10a 3
C.
D. 20a 3
3

.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
Câu 8: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AD = 2a, AB = a. Gọi H là trung
điểm của AD, biết SH  ( ABCD) . Tính thể tích khối chóp biết SA = a 5 .
4a 3
2a 3
2a 3 3
4a 3 3
A.
B.
C.

D.
3
3
3
3

........................................................................................................................
........................................................................................................................
........................................................................................................................
........................................................................................................................
......................................................................
........................................................................................................................
....................................................................................................
Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, G là trọng tâm tam giác ABC, SG
 (ABC). Biết góc giữa SM và mặt phẳng (ABC) bằng 30 0 (với M là trung điểm của BC), BC  2a
9V
và AB = 5a. Tính 3 với V là thể tích khối chóp S.ABC:
a
A. 8 2
B. 8 3
C. 8 5
D. 8 7
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
..........................................................................

BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN

- 22 -

ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................

Câu 10: Cho hình chóp S.ABC. có đáy ABC là tam giác đều cạnh 8a, SA  ( ABC) . Biết góc giữa
5V
hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 45 0 . Tính 3 , với V là thể tích khối chóp S.ABC?
a
A. 280
B. 320
C. 360
D. 400
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
...................................................................................................................
Câu 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = 8a, SA  (ABC).
9V 3
Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 30 0 . Tính,
với V là thể tích khối chóp
a3

S.ABC.
A. 768
B. 769
C. 770
D. 771
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
................................................................................................................
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 8a, SA  (ABCD). Biết góc giữa SC
3V
và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 . Tính
, với V là thể tích khối chóp S ABC . .
512a 3
A. 3
B. 3
C. 2
D. 2
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
......................................................

BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN

- 23 -

ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018
Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = a, SA  (ABC).
Biết thể tích khối chóp S.ABC là

a3 6
(đơn vị thể tích). Tính góc
24

giữa SB và mặt phẳng (ABC).
A. 600
B. 450
C. 300
D. 900
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.........................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, SC = 2a 2 , SA  (ABCD).
Biết góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 30 0 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
a 3 10

a 3 10
a3 5
a3 5
B.
C.
D.
3
5
10
3
......................................................................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.........................................................................................................

A.

Câu 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 8a, SA  (ABC). Biết góc giữa
hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 45 0 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
A. 56a3
B. 64a3
C. 72a3
D. 80a3
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................

...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
Câu 18: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và
SA  (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC.
50V 3
Tính
, với V là thể tích khối chóp A.BCNM
a3
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Lý thuyết và bài tập hình học không gian – Nguyễn Tất Đỉnh

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về