CONG PHA TOAN 2CHUONG 3QUAN HE VUONG GOC

Đây là trích 1 phần tài liệu gần
1000 trang của cuốn “Công Phá
Toán Tập 2”
Quý Thầy Cô mua trọn bộ File
Word “Công Phá Toán Tập 2”
200k thẻ cào Vietnam mobile liên
hệ số máy 0937351107
Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc
Gia + Ấn phẩm Casio 2018 của
ĐH Sư Phạm TPHCM


CHỦ ĐỀ 8: VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
r rr

Cho các véc tơ tùy ý a, b, c và k , l ��.
1. Cộng véc tơ:

uuu
r r uuur r

uuur

r

r

Lấy điểm O tùy ý trong không gian, vẽ OA  a, AB  b, thì OB  a  b
uuuu

r uuuu
r uuur

Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm M , N , K bất kỳ thì MN  MK  KN
r

r

r

r

2. Trừ véc tơ: a  b  a  (b)
uuuu
r uuur uuuur

Quy tắc ba điểm: MN  KN  KM .
uuur

uuu
r uuur

Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có: AC  AB  AD .
uuuu
r uuu
r uuur

uuuu
r

B C D ta có AC �
Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A����
.
 AB  AD  AA�

3. Tích véc tơ:
r

r

Tích của véc tơ a với một số thực k là một véc tơ. Kí hiệu là k .a
r

+) Cùng hướng với a nếu k  0 .
r

+) Ngược hướng với a nếu k  0 .
r

r

+) k .a  k . a .
uuu
r uuu
r

uur

Hệ quả: Nếu I là trung điểm của A, B, O tùy ý thì OA  OB  2OI .
4. Tích vô hướng của hai véc tơ.

rr

r r

r r

+) Định nghĩa: a.b  a . b .cos  a, b  .
r

r

rr

+) Hệ quả: a  b � a.b  0 .
r2

rr

r2

+) a  a.a  a .
AB 2  AC 2  BC 2
+) Với ba điểm A, B, C ta có AB. AC 
.
2

r r

ur

r

+) Quy tắc hình chiếu: Cho hai véc tơ a, b . Gọi a�là hình chiếu vuông góc của a trên đường
r
r r ur r
thẳng chứa b thì: a.b  a�
.b .


r rr

5. Định nghĩa: Ba véc tơ a, b, c gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm trên một
mặt phẳng.
6. Các định lý:
r r

r rr

r

r

r

a) Cho a, b không cùng phương: a, b, c đồng phẳng � m, n ��: c  ma  nb ( với m, n xác định
duy nhất).
r rr

r

b) Nếu ba véc tơ a, b, c không đồng phẳng thì mọi véc tơ x đều được biểu diễn dưới dạng:
r
r
r
r
x  ma  nb  kc với m, n, k xác định duy nhất.
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN.
Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh AB và G là trộng tâm cảu tam giác BCD .
uuur r uuur r uuur ur
ur r r
uuuu
r
Đặt AB  b, AC  c, AD  d . Phân tích véc tơ MG theo d , b, c .
uuuu
r

1r
6

1 r 1 ur
3
3

uuuu
r

1 r 1 r 1 ur
6
3
3

A. MG   b  c  d .
C. MG   b  c  d .

uuuu
r 1r
6
uuuu
r

1 r 1 r 1 ur
6
3
3

D. MG   b  c  d .
Lời giải

Đáp án A

1 r 1 ur
3
3

B. MG  b  c  d .


uuuu
r 1 uuur uuuu
r uuuu

r 1 1 uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur
MG  MB  MC  MD  . AB  MA  AC  MA  AD
3
3 2
3
3
1 uuur 2 uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur 2 � 1 uuur � 1 uuur 1 uuur
 AB  MA  AC  AD  AB  . �
 AB � AC  AD
6
3
3
3
6
3 �2
3
�3
1 uuur 1 uuur 1 uuur
1 r 1 r 1 ur
  AB  AC  AD   b  c  d
6
3
3
6
3
3
Ví dụ 2. Cho tứ diện đều ABCD , M và N theo thứ tự là trung điểm của cạnh AB và CD . Mệnh đề nào





sau đây sai?.
uuur

uuur

uuur



 



uuuu
r 1 uuur uuur
AD  BC .
2
uuuu
r uuuu
r
uuuu
r r
D. MC  MD  4MN  0 .

uuur



B. MN 

A. AC  BD  AD  BC .

uuur uuur uuur uuur
uuuur
C. AC  BD  AD  BC  4 NM .



Lời giải:
Đáp án D

uuur uuur

uuur

uuur

uuur uuur

uuur uuur

uuuu
r uuuu
r uuur

uuur uuur

A.Đúng vì: AC  BD   AD  DC    BC  CD   AD  BC .

uuuu
r uuuu
r uuur

B. Đúng vì: AC  BD   AM  MN  ND    BM  MN  NC 

uuuu
r uuuu
r uuuu
r
uuur uuur
uuuu
r
 2MN  AM  BM  ND  NC  2MN
uuur uuur uuur uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuu
r uuur
uuuur
C.Đúng vì: AC  BD  AD  BC  2 AN  2 BN  2 AN  BN  2 NA  NB  4 NM .



 











Vậy D sai
uuu
r uuur
Ví dụ 3. Cho tứ diện đều ABCD có tam giác BCD đều, AD  AC . Giá tri của cos  AB, CD  là:
A.

1
.
2

B. 0 .

1
2

C.  .
Lời giải:

Đáp án B

D.

3

.
2


Gọi N là trung điểm của CD . Tam giác đều BCD nên BN  CD . Tam giác ACD cân tại A nên
AN  CD ta có:
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
AB.CD
AB.CD  AN  NB .CD  AN .CD  NB.CD  0 � cos AB, CD  uuur uuur  0 .
AB . CD



Ví dụ 4.







uuur uuur

Cho tứ diện đều ABCD có AB  CD  a; BC  AD  b; CA  BD  c . Giá trị của cos  BC , DA  là:
A.

a2  c2
.

b2

B.

b2  c 2
.
a2

C.

c2  a2
.
b2

D.

a 2  b2
.
c2

Lời giải
Chọn A

uuur uuur uuur uuur uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuu
r
BC.DA  BC DC  CA  CB.CD  CB.CA





1
1
CB2  CD 2  BD 2    CB 2  CA2  AB 2 

2
2
1
1
  AB2  CD2  BD 2  CA2    2a 2  2c 2   a 2  c 2
2
2
2
2
uuur uuur
a c
a 2  c2
cos
BC
,
DA


.
u
u
u

r
u
u
u
r
Vậy
b2
BC . DA






Ví dụ 5. Trong mặt phẳng  a  cho tứ giác ABCD và một điểm S tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuur uuur uuu
r uuur
A. AC  BD  AB  CD .
uur uuu
r uur uuur
B. SA  SC  SB  CD (Với S là điểm tùy ý).
uur uuu
r uur uuu
r
C. Nếu tồn tại điểm S mà SA  SC  SB  SD thì ABCD là hình bình hành.
uuu
r uuu
r uuur uuur r
D. OA  OB  OC  OD  0 khi và chỉ khi O là giao điểm của AC và BD .
Lời giải

Đáp án C
uuur uuur uuu
r uuur
A. Sai vì AC 
BD �
AB
 CD

uuur uuur uuur uuur r
AC AB DC DB 0
B C (Vô lí)
B. Sai vì: Gọi O và O ' theo thứ tự là trung điểm của AC và BD . Ta có
uu
uu
rr uuur
uur uuu
r
uuu
r
uur uuu
r
uuur
u
u
SA  SC  2SO và SB SD
� 2 SO ' SO SO ' O O ' điều này không đúng nếu ABCD
không phải là hình bình hành.
C. Đúng – Chứng minh tương tự như ý B.

Ví dụ 6. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M là trung điểm của AA ' , O là tâm của hình bình hành

ABCD . Cặp ba vecto nào sau đây đồng phẳng?
uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r
uuuur
uuuuur
A. MO, AB và B ' C .
B. MO, AB và A ' D ' .
uuuu
r uuuur
uuuu
r uuuur
uuuur
uuuuu
r
C. MO, DC ' và B ' C .
D. MO, A ' D và B ' C ' .
Lời giải
Đáp án A


Cách 1: Ta có MO //  CDA ' B '  ; AB / / A ' B ' � AB //  CDA ' B '  , B ' C ' nằm trong mặt phẳng

 CDA ' B ' nên các vecto
 CDA ' B ' .
uuuu
r

uuuu
r uuu
r uuur
MO, AB, BC dồng phẳng vì có giá song song hay nằm trên mặt phẳng

r uuuur 1 uuuuu
r uuuuu
r 1 uuu
r 1 uuuur
1
1 uuuuu
 A ' B '  B ' C  A ' B '  B ' C '  AB  B ' C .
A 'C 2
2
2
2
uuuu
r uuu
r uuur
Vậy các vecto MO, AB, BC đồng phẳng.
Ví dụ 7. Cho tứ diện ABCD. M và N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD . Bộ ba vecto nào dưới
đâyuđồng
phẳng?
uur uuu
r uuur
uuur uuur uuuu
r
A. BC , BD, AD.
B. AC ; AD; MN .

uuur uuur uuuu
r
uuur uuur uuur
C. BC ; AD; MN .
D. AC ; DC ; MA.
Lời giải
Cách 2: Ta có MO 









Đáp án C

uuur uuuu
r uuuu
r uuur
AD  AM  MN  ND
uuur uuuu
r uuuu
r uuur
BC  BM  MN  NC
uuur uuur
uuuu
r uuuu
r 1 uuur 1 uuur

� AD  BC  2MN � MN  AD  BC
2
2
uuur uuur uuuu
r
Vậy ba vecto BC ; AD; MN . đồng phẳng.
Ví dụ 8. Cho tứ diện ABCD. M là điểm trên đoạn AB và MB  2 MA . N là điểm trên đường thẳng
uuuu
r uuur uuur
uuur
uuur
CD mà CN  kCD . Nếu MN , AD, BC đồng phẳng thì giá trị của k là:
2
3
4
1
A. k  .
B. k  .
C. k  .
D. k  .
3
2
3
2


Lời giải
Đáp án A

M vẽ mặt phẳng    song song với AD và

Qua

BC .

   cắt

AC tại P , BD tại Q và CD tại

N.

Ta có MP //PN //AD .

Các

vecto MN , AD, BC có giá song song hay

nằm

trong mặt phẳng    nên đồng phẳng.

uuuu
r uuur uuur

uuur

2 uuur
2
CD . Vậy k  .
3

3
uuuu
r 1 uuur
Ví dụ 9. Cho hình hộp ABCD. A1B1C1D1 . M là điểm trên cạnh AD sao cho AM  AD. N là điểm
2
trên đường thẳng BD1 . P là điểm trên đường thẳng CC1 sao cho M , N , P thẳng hàng.
uuuu
r
MN
r .
Tính uuu
NP
có CN 

Ta

A.

1
.
3

B.

2
.
3

C.

1
.
2

D.

3
.
4

Lời giải
Đáp án B

Đặt

uuur r uuur r uuur r
uuur
uuuu
r uuu
r
uuuu
r
r
AB  a, AD  b, AA1  c và BN  xBD1 ; CP  yCC1  yc .
STUDYTIP
uuuu
r uuur
r r r
Ta biểu thi hai vecto MN , NP theo các vecto a, b, c

uuuu
r

uuur

Ba điểm M , N , P thẳng hàng nên MN   .NP  1 .

uuuu
r uuur uuur uuur

Ta có: MN  MA  AB  BN


uuuu
r
uuu
r uuur uuur
1r r
1r r
  b  a  xBD1   b  a  x BA  BC  BB1
3
3
r r r
r � 1�
r r
1r r
  b  a  x a  b  c   1  x  a  �x  �
b  xc  2 
3
� 3�









Ta lại có:

uuur uuur uuur uuu
r
uuuu
r r
r
r r r r
r
NP  NB  BC  CP   xBD1  b  yc   x b  a  c  b  yc
uuur
r
r
r
� NP  xa   1  x  b   y  x  c  3





Thay (2), (3) vào (1) ta được:

�
1 x x
�
2
3
3
� 1
�x     1  x  . Giải hệ ta được   , x  , y  .
3
5
2
� 3
�
�x    y  x 
uuuu
r
MN 2
r  .
Vậy uuu
NP 3
Ví dụ 10. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CB, AD và G là
uuuu
r
uuur
trọng tâm tam giác BCD,  là góc giữa 2 vectơ MG và NP . Khi đó cos  có giá trị là:
2
A. 2

2

B. 3

2
C. 6

Đáp án: C
Lời giải:
uuu
r
uuur
uuur
Đặt AB  a; AC  b; AD  c;
uuur 1 r r r
uuuu
r uuur uuuu
r 1 r
r
r
� AG  (a  b  c ) � MG  AG  AM  ( a  2b  2c )
3
6
uuur uuur uuu
r 1 r r r
PN  AN  AP  (a  b  c )
2
Không mất tính tổng quát, giả sử độ dài các cạnh của tứ diện đều bằng 1
r r r
rr rr rr
1
� a  b  c  1 và a.b  b.c  c.a  1.1.c os60 0 

2
uuuu
r uuur
uuuu
r uuur
MG.PN
� cos  cos( MG, PN )  uuuu
(*)
r uuur
MG . PN
uuuu
r uuur 1 r
r
r r r r
Ta có: � MG.PN  (a  2b  2c )(a  b  c )
12
r
rr
rr
uurr r 2
rr rr
rr r 2
2
1
1
 (a  ab  ac  2ab  2b  2bc  2ac  2bc  2c ) 
12
12
uuuu
r 1

r
r
r
1 uuur 1 r r r 2
2
MG 
( a  2b  2c) 2  ; PN 
(a  b  c) 
6
2
2
2

1
D. 2


Thay vào (*) ta được
1
1
2
� cos  12 

. (*)
6
1 2 3 2
.
2 2

C.Bài tập rèn luyện kỹ năng

Câu 1:

Cho ABCD. A1 B1C1 D1 là hình hộp, với K là trung điểm CC 1. Tìm khẳng định đúng trong các
khẳng định sau:
uuur uuu
r uuur 1 uuur
uuur uuu
r uuur uuur
A. AK  AB  AD  AA1
B. AK  AB  BC  AA1
2
uuur uuur 1 uuur 1 uuur
uuur uuu
r uuur uuur
C. AK  AB  AD  AA1
D. AK  AB  AD  AA1
2
2
Hướng dẫn giải
uuur uuur uuur uuu
r uuur 1 uuur uuu
r uuur 1 uuur
Có AK  AC  CK  ( AB  AD )  AA1  AB  AD  AA1
2
2

B

A

C

D

A1

D1

K

B1

C1

Chọn A
Câu 2:

Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 với M  CD1 �C1 D . Khi đó:
uuuu
r 1 uuu
r 1 uuur 1 uuur
uuuu
r 1 uuu
r uuur 1 uuur
AM  AB  AD  AA1
AM  AB  AD  AA1
2
2
2
2

2
A.
B.
uuuu
r uuu
r uuur 1 uuur
uuuu
r 1 uuu
r 1 uuur uuur
AM  AB  AD  AA1
AM  AB  AD  AA1
2
2
2
C.
D.
Hướng dẫn giải
( hính vẽ câu 1)
uuuu
r uuur uuuur uuur uuuur
r 1 uuur
1 uuur uuuur uuur 1 uuu
Ta có: AM  AD  DM  AD  DC1  AD  ( DC  DD1 )  AD  AB  AA1
2
2
2
Chọn B


Câu 3:

uuuur uuuur
uuuu
r uuuur
uuuur uuuur
Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Khi đó: tổng 3 góc ( D1 A1 , C C1 )  (C1 B, DD1 )  ( DC1 , A1 B) là:
A. 1800
B. 2900
C.3600
D. 3150

Hướng dẫn giải

B

A

C

D

A1

D1

Câu 4:

K

B1

C1

Ta có:
uuuur uuuur
( D1 A1 , C C1 )  900
uuuu
r uuuur
uuuu
r uuuu
r
(C1 B, DD1 )  (C1 B, CC1 )  1350
uuuur uuuur
uuuur uuuu
r
( DC1 , A1 B )  ( DC1 , D1C )  900
uuuur uuuur
uuuu
r uuuur
uuuur uuuur
� ( D1 A1 , C C1 )  (C1 B, DD1 )  ( DC1 , A1 B)  90 0  1350  90 0  3150
Chọn D
uuur uuuur
uuuu
r uuuu
r
uuur uuuu
r
Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 , đặt   ( AC , DC1 );   ( DA1 , BB1 );   ( AA1 , C1C )
Khi đó: là      :

A. 3600
B. 3750
C. 3150
D. 2750
Hướng dẫn giải
( hình câu 3)
uuur uuuur
uuur uuuu
r
  ( AC , DC1 )  ( AC , AB1 )  600
uuuu
r uuuu
r
uuuu
r uuuur
  ( DA1 , BB1 )  ( DA1 , A1 A)  1350
uuur uuuu
r
uuur uuur
  ( AA1 , C1C )  ( AA1 , A1 A)  1800

�       600  1350  1800  3750
Chọn B

Câu 5:

uuur uuur

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB=6; AD=4; AB. AD  12 . Tính
uuu

r uur
( SC.  SA) 2 .
A. 76
B. 28
C. 52
D. 40
Hướng dẫn giải


S

A
6
B

4

D

4
7.42 cm
C

uuu
r uur
uuur2
uuu
r uuur
uuu
r 2 uuur 2

uuu
r uuur
( SC.  SA) 2 .  AC  ( AB  AD)  AB  AD  2 AB. AD

 62  42  2(12)  28
Chọn B
Câu 6:

Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Ba vectơ đồng phẳng là 3 vec tơ cùng nằm trong một mặt phẳng
r r r
r
r
r
B. Ba vectơ a, b, c đồng phẳng thì có c  ma  n b, với m, n là các số duy nhất
ur
r
r
r
ur
C. Ba vectơ đồng phẳng khi có d  ma  n b  pc với d là vec tơ bất kỳ
D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai
Hướng dẫn giải
-Phương án A: sai vi chỉ cần giá của chúng song song hoặc nằm trên một mặt phẳng nào đó
r r
Phương án B: Sai a, b phải không cùng phương.
Phương án C sai
Vậy chọn D
Chọn D

Câu 7:

Cho hình tứ diện ABCD, trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây sai?
r uuur uuur
r uuu
r uuur r
A. uuur 1 uuu
B. uuu
OG  (OA  OB  OC )
GA  GB  GC  0
4
u
u
u
r
r uuur uuur
2 uuu
C.
D. uuur 1 uuur uuur uuur
AG  ( AB  AC  AD )
AG  ( AB  AC  AD)
3
4
Hướng dẫn giải


A

M
G

D

B
N
C

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD
uuuu
r uuur r
� G là trung điểm của MN � GM  GN  0
uuu
r uuu
r uuur r
� GA  GB  GC  0 � B đúng
uuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur
Ta có:
OA  OB  OC  OD  OG  GA  OG  GB  OG  GC  OG  GD
uuur uuu
r uuu
r uuur uuur
uuur
 4OG  (GA  GB  GC  GD )  4OG � A đúng
Khi O trùng A thì D đúng vậy đáp án là C.
Chọn C
Câu 8:

r r r
r
r r u
r
r
r r
r
r
Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng xét các vectơ x  2a  b; y  4a  2b; z  3a  2c
Chọn mênh đề
đúng trong các mệnh đề sau:
u
r s
A.Hai vec tơ y, z cùng phương
r su
B. Hai vec tơ x, y cùng phương
r s
C.Hai vec tơ x, z cùng phương
r u
r s
D.Hai vec tơ x, y, z đồng phẳng

Hướng dẫn giải

u
r
r
r ur
Ta thấy y  2 x nên x, y cùng phương.
Chọn B

Câu 9:

Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 , Tìm giá
uuu
r uuuur uuuur
uuuu
r
AB  B1C1  DD1  k AC1 )
A.k=4
B. k=1
C. k=0
Hướng dẫn giải

trị

của

k

thích

D. k=2

hợp

để


A1

D1

B1

C1

B

A

C

D

uuuur uuuur uuu
r uuur uuuu
r uuuu
r
AB
Có u
uu
r  B1C1  DD1  AB  BC  CC1  AC1 � k  1
Chọn B
uuuur
uuur
uuur
uuuu
r
Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A1 B1C1 . Đặt AA1  a; AB  b; AC  c; BC1  d trong các
đẳng thức sau đẳng thức nào đúng.

r r r ur r
r r r ur
A. a  b  c  d  0
B. a  b  c  d
r r ur r
r r r
C. b  c  d  0
D. a  b  c

Hướng dẫn giải

C

A
B1
B

1

B

C1
A1
B1

r r u
r uuu
r uuur uuur uuu
r uuur r
Ta có:

b  c  d  AB  AC  BC  CB  BC  0
Chọn C
Câu 11: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
A.Nếu giá của bar vectơ
r r cắt nhau từngr đôi một thì 3 vectơ đồng phẳng
B.Nếu ba vectơ a, b, c có một vec tơ 0 thì ba vectơ đồng phẳng
r r r
C.Nếu giá của ba vectơ a, b, c cùng song song với một mật phẳng thì ba vec tơ đó đồng phẳng


r r r
D.Nếu trong ba vectơ a, b, c có ha vec tơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng

Hướng dẫn giải
Chọn A
Câu 12: Cho ABCD. A1B1C1D1 là hình hộp, trong các khẳng định sau khẳng định sai:
uuuu
r uuuu
r
uuur
uuuu
r uuur
uuuu
r r
A. AC1  A1C  2 AC
B. AC1  CA1  2CC1  0
uuuu
r uuuu
r uuur
uuur uuur uuuu

r
C. AC1  A1C  AA1
D. CA1  AC  CC1
Hướng dẫn giải

A

D

B

C
A1

D1

B1

C1

uuuu
r uuuu
r uuuur uuuu
r uuuur uuuu
r
uuuu
r uuuur
AC1  A1C  AA1 AC1  AA1  AC1 � A1C  C1 A1
Ta có:
Chọn C

Câu 13: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
uuur uuur uuur uuur r
A.Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB  BC  CD  DA  0
uuur uuur
B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB  CD
uur uuu
r uur uuu
r
C. Cho hình chóp S.ABCD, nếu có SB  SD  SA  SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành
uuur uuur uuur
D.Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB  AC  AD

Hướng dẫn giải
Chọn C
Câu 14: Cho hình hộp ABCD. A' B 'C ' D ' Gọi I, K lần lượt là tâm của các hình bình hành ABB ' A' và
BCC ' B ' . Khẳng định nào sau đây là sai?
A.Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng
uur 1 uuur 1 uu'uur'
B. IK  AC  A C
2
uuur2 uur uuuuu
r
C.Bà vec tơ BD, IK , B ' C ' không đồng phẳng

uuur

uur

uuur

D. BD  2 IK  2 BC

Hướng dẫn giải
Chọn C
Câu 15: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BD lần lượt lấy M, Nsao cho AM=3MD; BN=3NC. Gọi
P,Q lần lượt là trung điểm của AD, BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?


uuur uuur uuuu
r
A.Các vec tơ BD, AC , MN không đồng phẳng
uuuu
r uuur uuur
B. Các vec tơ MN , DC , PQ đồng phẳng
uuu
r uuur uuur
C. Các vec tơ AB, DC , PQ đồng phẳng
uuur uuur uuuu
r
D. Các vec tơ AC , DC , MN đồng phẳng

Hướng dẫn giải

A

P
M
E

B

F
Q

N

D

C

Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AE=3EC, lấy F trên BD sao cho BF=3FD
1
�
NE / / AB, NE  AB
�
�
3
� NE / / MF , NE / / MF
�
�MF / / AB, MF  1 AB
�
3
uuu
r uuur uuuu
r
� NEMF là hình bình hành và 3 vec tơ BA, DC , MN có giá song song hoặc nằm trên mặt
uuu
r uuur uuuu
r
phẳng (MFNE) � BA, DC , MN đồng phẳng

uuur uuur uuuu
r
� BD, AC , MN không đồng phẳng.
Chon A
Câu 16. Cho tứ diện ABCD có các cạnh đầu bằng A. Hãy chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
uuu
r uuur a 2 3
uuur uuur uuur uuur r
A. AD  CD  BC  DA  0
B. AB. AC 
2
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
C. AC. AD  AC.CD
D. AD.CD  0
Hướng dẫn giải
( sử dụng hình câu 7)
Phương án A:
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
r uuur r
AD  CD  BC  DA  ( AD  DA)  ( BC  CD )  0  BD �0 � A sai
2
uuu
r uuur
a
Phương án B: AB.AC  a.a.c os600 =
� B sai
2

uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur 2
Phương án B AC. AD  AC.CD � AC ( AD  DC )  0 � AC  0 � C sai
Chọn D

Câu 17: Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 . Gọi M là trung điểm của AD.Chọn khẳng định đúng:
uuuur uuuu
r uuuuur 1 uuuur
uuuur uuur uuuuu
r uuuur
A. B1 M  B1 B  B1 A 1  B1C1
B. C1 M  C1C  C1 D 1  C1 B1
2
uuuur uuuu
r 1 uuuuur 1 uuuur
uuur uuuur uuuuu
r
uuuu
r
C. C1 M  C1C  C1 D 1  C1 B1
D. BB1  B1 A1  B1C 1  2 B1 D
2
2
Hướng dẫn giải

A

a

B
a

M
D

C
A1

C1

D1

Ta có

B1

uuuur uuuuu
r uuuur uuuur uuuuu
r uuuu
r 1 uuuur
C1 M  C1 D1  D1 D  DM  C1 D1  C1C  C1 B1
2

Chọn B

uuu
r uuu
r uuur r

Câu 18: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa GA  GB  GC  0 ( G là trọng tâm của tứ diện). Gọi O là
giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
uuur
uuur
uuu
r
uuur
A. GA  2OG
B. GA  4OG
uuur uuur
uuur
uuur
C. GA  3OG
D. GA  2OG
A

N
G
B

M

O

H

D

C

Hướng dẫn giải
Gọi M, N là trung điểm của BC, AD
� G là trung điểm MN. Gọi H là hình chiếu của N lên MD � NH là đường trung bình của
AOD và OG là đường trung bình của MNH


1
1 1
1
1
� OG  NH  . AO � OG  NH  . AO
2
2 2
2
4
uuu
r
uuur
hay GA  3OG
Chọn C
Câu 19: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, Nlaafn lượt là trung điểm của AD, BC. Trong ccs khẳng định sau,
khẳng định nào
uuu
rsai?
uuur uuuu
r
A.Các vec tơ AB, DC , MN đồng phẳng
uuuu
r uuu
r uuur

B. Các vec tơ MN , AB, AC không đồng phẳng
uuur uuuu
r uuuu
r
C. Các vec tơ AN , CM , MN đồng phẳng
uuur uuur uuuu
r
D. Các vec tơ AC , BD, MN đồng phẳng
Hướng dẫn giải
A

M
P
B

D

Q
N
C

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm AC, BD
uuu
r uuur uuuu
r
� Ba vec tơ u
AB
uu
r, DC , MN có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (MNPQ) nên 3 véc tơ
này đồng phẳng � A đúng

uuu
r uuur uuuu
r
Ba vec tơ u
AB
uu
r, AC , MN không đồng phẳng � B đúng
uuur uuuu
r uuuu
r
Ba vec tơ u
AN
uur , CM , MN có giá không thể song song với mặt phẳng nào � C sai
Chọn C
Câu 20: Cho hình lập phương ABCD. A' B 'C ' D ' , có cạnh A.Hãy tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
uuuur uuuu
r
uuuur uuuu
r
A. AD '.CC '  a 2
B. AD '. AB '  a 2
uuur
uuuur uuuur
C. AB '.CD '  0
D. AC  a 3
Hướng dẫn giải

A

a

B
a

D

C
A'

D'

B'

C'


uuuur uuuu
r uuuur uuuur uuuu
r uuuur
0
2
Xết phương án A có: AD '.CC '  AD '.AA '  AD ' . AA ' cos45  a
Chọn A
Câu 21: Trong không gian cho hai tia Ax, By chéo nhau sao cho AB vuông góc với cả hai tia đó. Các
điểm M, N lần lượt thay đổi trên Ax, By sao cho độ dài đoạn MN luôn bằng giá trị c không đổi
(c �AB). Gọi  là góc giữa Ax, By. Giá trị lơn nhất của AM, BN
c 2  AB 2
c 2  AB 2
A.
B.

2(1  cos )
2(1  cos )
C.

c 2  AB 2
2(1  cos )

D.

c 2  AB 2
2(1  cos )

Hướng dẫn giải

x
M
A

B
N

uuuu
r2
uuur uuu
r uuur
Ta có: c 2  MN 2  MN  ( MA  AB  BN ) 2

�AB  2 AM .BN .(1  cos )
2

 AM .BN .

c 2  AB 2
2(1  cos )

c 2  AB 2
Vậy biểu thức AM.BN đạt giá trị lớn nhất bằng
2(1  cos )

Chọn A
uuuu
r uuur
 AM 2  AB 2  BN 2  2 AM .BN  AM 2  AB 2  BN 2  2 AM .BN .c os

Góc giữa hai đường thẳng.
Hai đường thẳng vuông góc
1. Định nghĩa:


Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b là góc nhỏ nhất trong bốn góc mà a và b cắt nhau
tạo nên.
Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a�và
b�cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b .
Chú ý: góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn ( hoặc vuông ).
2. Phương pháp
Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác.
r
r
Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hướng: nếu u và v lần lượt là hai vecto chỉ phương ( hoặc
vecto pháp tuyến ) của hai đường thẳng a và b thì góc  của hai đường thẳng này được xác

định bởi công thức
rr
u.v
r r
cos   cos u , v  r r .
u.v

 

B C D . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC ,
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD. A����
C ��
D . Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và AP .
A. 450 .
Đáp án A.

B. 300 .

C. 600 .

D. 900

Lời giải
Phương pháp 1: Giả sử hình lập phương có cạnh bằng a và



 



� , AP  AC,
� AP . Ta tính góc � .
MN //AC nên: MN
PAC
Vì A��
D P vuông tại D�nên
2

�a � a 5 .
A�
P  A��
D 2  D�
P2  a2  � �
2
�2 �
AA�
P vuông tại A�nên
2

�a 5 � 3a
.
AP  A�
A  A�
P  a �
�2 �
� 2
�
�
2

2

2

a2 a 5
2
2
2
�
�
CC P vuông tại C nên CP  CC � C �
P  a 

.
4
2
Ta có AC là đường chéo của hình vuông ABCD nên AC  a 2
Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACP ta có:
�
CP 2  AC 2  AP 2  2 AC. AP.cos CAP
�  1
� cos CAP
2
�  45� 90�
� cos CAP










�  45�hay MN;
� AP  45�
AC ; AP  CAP
Nên �
. Chọn A.
uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r
MN . AP
r uuu
r  *
Phương pháp 2: Ta có MN . AP  MN . AP .cos MN , AP � cos MN , AP  uuuu
MN . AP









uuuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuuur uuuu
r
 A��
D  D�
P
Ta có: MN . AP  MB  BN AA�







uuur uuur uuur uuuur uuur uuuu
r uuur uuur uuur uuuur uuur uuuu
r
 MB. AA�
 MB. A��
D  MB.D�

P  BN . AA�
 BN . A��
D  BN .D�
P
a a
a
3a 2
 0  0  .  0  .a  0 
 1
2 2
2
4
uuuu
r uuu
r a 2 3a 3 2a 2
MN . AP 
. 
 2
2 2
4

3a 2
uuuu
r uuu
r
4  1 � �
MN , AP   450.
Thay  1 ,  2  vào   ta được: cos MN , AP 
2
3 2a

2
4





Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm BC , AD . Biết rằng
MN  a 3. Tính góc của AB và CD .
A. 450.

B. 300 .

C. 600 .

Đáp án C.
Lời giải

Gọi I là trung điểm của AC . Ta có IM  IN  a .
Áp dụng định lý cosin cho IMN ta có:
� 
cos MIN

IM 2  IN 2  MN 2 a 2  a 2  3a 2
1
�  1200 .

  � MIN
2.IM .IN
2.a.a

2

Vì IM / / AB, IN / / CD � �
AB, CD   �
IM , IN   1800  1200  60 0 .

D. 900 .


B C có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A ,
Ví dụ 3: Cho lăng trụ ABCA���

AB  a , AC  a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A�trên mặt phẳng  ABC  là trung
C.
điểm của cạnh BC . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA�
, B��
Lời giải
Chọn D
Phương pháp 1:

C .
Gọi H là trung điểm của BC ,  là góc giữa AA�và B��



 



��

AA�
, B��
C  BB
, BC .
/ / BB�và B��
C / / BC nên góc giữa �
Ta có AA�
Ta tính góc �
B�
BH

ABC vuông tại A nên ta có: BC  AB 2  AC 2  a 2  3a 2  2a .
AH 

1
2
BC  a � A�
H  AA�
 AH 2  4a 2  a 2  a 3 .
2

B C  nên A��
Vì AH   A���
B H vuông tại A�
B�
H  A�
H 2  A��
B 2  a 2  3a 2  2a .
B�
B 2  BH 2  B�

H 2 4a 2  a 2  4a 2 1

 Chọn A
2 B�
B.BH
2.2a.a
4

��
cos B
BH 

Phương pháp 2:
Ta có
uuur uuur uuur
uuur uuuur
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
AH  HA�.BC
AA���
.B C
AH .BC  HA�
.BC
AH .BC
uuur uuuur
cos   cos AA�
; B��
C  uuur uuuur 



2a.2a
4a 2
4a 2
AA�
. B��
C









r uuur uuur uuu
r
1 uuu
1
1
AB  AC AC  AB
AC 2  AB 2 
3a 2  a 2 


1.
2
2
2





2
2
2
4a
4a
4a
4







Ví dụ 5. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD . Gọi M là trung
điểm CD . Tính cosin góc của AC và BM .
3
3
3
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.

.
4
6
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn B
�; BM . Ta tính góc
AC ; BM  MN
Cách 1. Gọi N là trung điểm AD ta có: MN //AC � �



� . Ta có: BM  BN  a 3 (trung tuyến tam giác đều).
BMN
2
AC a
MN 
 .
2
2
Áp dụng định lý cosin cho BMN , ta được:
2
2
2
�  BM  MN  BN  MN  3  0 .
cos BMN
2 BM .MN
2 BM
6

 








3
Vậy cos �
AC; BM 
.
6

uuur uuuu
r uuu
r
uuur uuuu
r
AC. CM  CB
AC.BM
uuur uuuu
r
r 
Cách 2. cos   cos AC , BM  uuur uuuu
a 3
AC . BM
a.

2
a2 a2
a
uuur uuuu
r uuur uuu
r
0
0
a2


a
.
cos120

a
.
a
.cos120
AC.CM  AC.CB
4
2
3
2
.



 24 
2

2
2
6
a 3
a 3
a 3
a 3
2
2
2
2









Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1. Định nghĩa.
Nếu đường thẳng a   P  thì góc giữa đường thẳng a và  P  bằng 900 .
Nếu đường thẳng a không vuông góc với  P  thì góc giữa đường thẳng a và  P  là góc giữa

a và hình chiếu a�của a trên  P  .
a

a'

P

2. Phương pháp tính.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA   ABCD  và SA  a 6 .
Gọi  là góc giữa SC và  SAB  ,  là góc giữa AC và  SBC  . Giá trị tan   sin  bằng?
A.

1 7
.
7

B.

1  19
.
7

C.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

7  21
.
7

D.

1  20
.

7


Để xác định góc giữa SC và  SAB  ta xác định hình chiếu của SC lên mặt phẳng  SAB  . Ta
�BC  AB
có: S là hình chiếu của S trên  SAB  , B là hình chiếu của C trên  SAB  vì �
.
�BC  SA
�SC   .
Vậy SB là hình chiếu của SC trên  SAB  �  SC ,  SAB    B

BC
a
1
�


SBC vuông tại B � tan   tan BSC 
.
2
2
SB
7
SA  AB

Kẻ AH  SB tại H mà BC   SAB  nên AH  BC .

� AH   SBC  � HC là hình chiếu vuông góc của AC trên  SBC 
�  AC ,  SBC    �
ACH   .

SAB vuông nên

1
1
1
a 6


� AH 
.
2
2
2
AH
AS
AB
7

AH
21
ACH vuông tại H � sin   sin �
.
ACH 

AC
7

Vậy tan   sin  

7  21
.
7

Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S . ABCD , đáy có cạnh bằng a và có tâm O . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của SA , BC . Biết góc giữa MN và  ABCD  bằng 60�. Tính góc giữa MN và  SAO  .
A.   arcsin
C.   arcsin

1
2 5
3
2 5

.

B.   arcsin

1
.
5

.

D.   arcsin

1
4 5

.

Lời giải
Chọn A.

Gọi P là trung điểm của AO � MP là đường trung bình của SAO � MP / / SO
�  60�.
� MP   ABCD  � Góc giữa MN và  ABCD  bằng góc MNP
Áp dụng định lý cosin cho PNC ta có:
2
a 2 �3
a 3
1
�
NP 2  CN 2  CP 2  2CN .CP.cos 45�
 � a 2 � 2. . a 2.
4 �4
2 4
2
�
2
2
2
2
2
2
a 9a 3 2a 11a 3a
5a
 +





4 8
8
4
8
4 2
Trong tam giác vuông MNP ta có :
PN
5
15
15
MN 

.a và PM  NP.tan 60� a
� SO  2 MP 
.a .
cos 60� 2
8
2
Gọi H là trung điểm CO � NH / / BD � NH  AC .
�
Mà NH  SO � NH   SAC  do đó �
.
MN , SAC  NMH







5a
1
a 2
Ta có : HN  OB 
, MN 
(tính trên)
2
4
2
NH
1
NMH 

Vậy trong MHN ta có : sin �
. Nên nếu gọi  là góc giữa MN và  SAO  thì:
MN 2 5
1 �
1
�
sin  
0 � � �.
hay   arcsin
�
2�
2 5
2 5 �

Đây là trích 1 phần tài liệu gần
1000 trang của cuốn “Công Phá
Toán Tập 2”
Quý Thầy Cô mua trọn bộ File
Word “Công Phá Toán Tập 2”


200k thẻ cào Vietnam mobile liên
hệ số máy 0937351107
Tặng: 50 đề thi thử THPT
Quốc Gia + Ấn phẩm Casio
2018 của ĐH Sư Phạm
TPHCM