Giáo trình Xác suất thông kê_Chương 2: Giới thiệu về Xác suất

Trường ĐHBK Tp. HCM

Chương 2: Xác suất

CHƯƠNG 2
GIỚI THIỆU
về
XÁC SUẤT
1

NỘI DUNG CHÍNH
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ

Thí nghiệm,
g ệ , qui
q tắc đếm và xác định
ị xác suất
Biến cố và xác suất của biến cố
Một số mối quan hệ căn bản của xác suất
Xác suất có điều kiện
Định lý Bayes

2

1

Trường ĐHBK Tp. HCM

Chương 2: Xác suất

Một số khái niệm
ƒ Thí nghiệm
g ệ ngẫu
g nhiên (Random
(
Experiment)
p
)
Một TN ngẫu nhiên thỏa 2 đặc tính:
• Không biết chắc kết quả nào sẽ xảy ra
• Nhưng biết được các kết quả sẽ xảy ra

ƒ Không gian mẫu (Sample space)
Tập hợp các kết quả có thể xảy ra trong thí
nghiệm ngẫu
ẫ nhiên, ký hiệu là S

3

Một số khái niệm
ƒ Biến cố (Event)
(
)
• Biến cố: Tập hợp con của không gian mẫu, ký hiệu
là A
• Biến cố sơ đẳng: Biến cố chỉ chứa một phần tử của

S

ƒ Ví dụ: Tung một con xúc sắc
•
•
•

Biến cố mặt chẵn:
Biến cố mặt lẻ:
Biến cố sơ đẳng:

4

2


Trường ĐHBK Tp. HCM

Chương 2: Xác suất

THÍ NGHIỆM, QUI TẮC ĐẾM và
XÁC ĐỊNH XÁC SUẤT
ƒ Xác suất (Probability)
Khả năng xảy ra (xuất hiện) một sự kiện
hay biến cố

nA
P( A) =
n
5

THÍ NGHIỆM, QUI TẮC ĐẾM và
XÁC ĐỊNH XÁC SUẤT
ƒ Qui tắc đếm
• Sơ đồ
ồ cây là một phương tiện đồ
ồ thị rất
ấ hữu ích trong
việc xác định các điểm của mẫu của một thí nghiệm có
liên quan đến nhiều bước.
• Qui tắc đếm đối với thí nghiệm nhiều bước

Số kết quả của thí nghiệm = (n1)x(n2)x.. x(nk)
• Qui tắc đếm đối với tổ hợp
Số tổ hợp của N phần tử được chọn n trong một lần là:

C Nn =

N!
n!( N − n )!
6

3


Trường ĐHBK Tp. HCM

Chương 2: Xác suất

THÍ NGHIỆM, QUI TẮC ĐẾM và

XÁC ĐỊNH XÁC SUẤT
ƒ Qui tắc đếm
• Qui tắc
ắ đếm
ế đối
ố với chỉnh hợp
Chỉnh hợp của N phần tử được chọn n trong một
lần là (theo cách chọn không lặp):

ANn =

N!
(N − n )!
7

Ví dụ
1. Tìm xác suất của biến cố các mặt
ặ xuất hiện
ệ
giống nhau trong thí nghiệm tung 3 đồng
tiền.
2. Lấy 2 viên bi từ 1 bình gồm 4 bi đỏ và 3 bi
vàng, tính xác suất để được 2 viên bi này
cùng màu.

8

4

Trường ĐHBK Tp. HCM

Chương 2: Xác suất

THÍ NGHIỆM, QUI TẮC ĐẾM và
XÁC ĐỊNH XÁC SUẤT
ƒ Yêu
êu cầu căn
că bả
bản của xác
ác suất
Gọi Ai là kết quả của thí nghiệm
•

0 ≤ P(Ai) ≤ 1

•

Σ P(Ai) = 1

ƒ Các phương pháp xác định xác suất
• Phương
Ph
pháp
há cổ
ổ điển
điể
• Phương pháp tần số tương đối
• Phương pháp chủ quan
9

THÍ NGHIỆM, QUI TẮC ĐẾM và
XÁC ĐỊNH XÁC SUẤT
ƒ Phương pháp cổ điển
Một phương pháp xác định xác suất thích hợp khi tất cả các
kết quả của thí nghiệm có cùng khả năng xảy ra

ƒ Phương pháp tần số tương đối
Một phương pháp xác định xác suất thích hợp khi có sẵn
dữ liệu (dũ liệu lịch sử) để ước lượng tỉ lệ của số lần kết
quả thí nghiệm sẽ xảy ra nếu thí nghiệm được lặp lại với
một số lần đủ lớn
10

5


Trường ĐHBK Tp. HCM

Chương 2: Xác suất

THÍ NGHIỆM, QUI TẮC ĐẾM và
XÁC ĐỊNH XÁC SUẤT
ƒ Phương pháp chủ quan
• Một phương pháp xác định xác suất dựa trên cơ sở
phán đoán
• Một xác suất chủ quan là một mức độ tin tưởng của cá
nhân
hâ đối với
ới việc

iệ xảy
ả ra một
ột kết quả
ả của
ủ thí nghiệm
hiệ

11

MỘT SỐ MỐI QUAN HỆ CĂN BẢN
CỦA XÁC SUẤT
ƒ Phần bù/phụ của biến cố (biến cố đối lập)
• Phần phụ của biến cố A là biến cố chứa tất cả kết
quả của mẫu mà không thuộc về A
• P(A) = 1 – P(Ac)

Không gian mẫu S

Biến cố A

Ac

12

6


Trường ĐHBK Tp. HCM

Chương 2: Xác suất

MỘT SỐ MỐI QUAN HỆ CĂN BẢN
CỦA XÁC SUẤT
ƒ Biến cố HỘI của 2 biến cố: A U B

A U B là biến cố chứa tất cả các kết quả của
thí nghiệm thuộc A hoặc B, hoặc cả hai
Không gian mẫu S

Biến cố A

Biến cốB
cốB

13

MỘT SỐ MỐI QUAN HỆ CĂN BẢN
CỦA XÁC SUẤT
ƒ Biến cố GIAO của 2 biến cố: A I B

A I B là biến cố chứa tất cả các kết quả của
thí nghiệm thuộc A và B
Phần giao

Biến cố A

Không gian mẫu S

Biến cố B

14

7


Trường ĐHBK Tp. HCM

Chương 2: Xác suất

MỘT SỐ MỐI QUAN HỆ CĂN BẢN
CỦA XÁC SUẤT
ƒ Phép
p cộng
ộ g xác suất
• P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A I B)

• Biến cố cách biệt (biến cố xung khắc)
• Hai biến cố được gọi là cách biệt nếu hai biến cố
không có các điểm ở phần giao.
• A và
à B là h
haii biế
biến cố
ố cách
á h biệt
biệt: P(A I B) = 0

• Phép cộng xác suất đối với hai biến cố cách biệt
• P(A U B) = P(A) + P(B)
15

Ví dụ
ƒ Trong
g 1 lớp
p học
ọ có 25%
% học
ọ sinh đã học
ọ môn
toán, 15% học sinh đã học thống kê và 10% đã
học cả thống kê và toán. Nếu chọn ngẫu nhiên
1 học sinh, tìm xác suất để học sinh này không
học gì cả.

16

8


Trường ĐHBK Tp. HCM

Chương 2: Xác suất

XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
ƒ Xác suất có điều kiện
hay

P(A \ B) =

P(A ∩ B)

P(B)

P(B \ A) =

P(A ∩ B)
P(A)

ƒ Các biến cố độc
ộ lập
ập
Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì:
P(A\B) = P(A) hay P(B\A) = P(B)
P (A ∩ B) = P (A) * P (B)

17

Ví dụ
1. Trong 1 bình đựng 3 bi xanh và 4 bi vàng, lấy lần lượt
2 viên
iê bi
bi. Tí
Tính
h xác
á suất
ất để viên
iê bi sau màu
à vàng
à biết
rằng viên bi đầu màu xanh.
2. Tung lần lượt 2 con xúc sắc, tìm xác suất để tổng 2

mặt bằng 6 biết rằng mặt đầu tiên là 4.
3. Một sinh viên chọn học hoặc môn máy tính hoặc môn
hóa học dựa trên kết
ế quả tung 1 đồng
ồ tiền
ề đồng
ồ nhất.
ấ
Nếu SV học máy tính, xác suất đạt điểm A là 1/2.
Ngược lại, nếu SV học hóa thì xác suất này là 1/3. Tìm
xác suất để SV đạt điểm A trong môn hóa học.
18

9


Trường ĐHBK Tp. HCM

Chương 2: Xác suất

XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
ƒ Phép nhân xác suất
P(A I B) = P(B). P(A\B) = P(A). P(B\A)

• Phép nhân xác suất đối với hai biến cố độc lập
P(A I B) = P(A). P(B)

19

Ví dụ

ƒ

Trong những người có bằng cử nhân có 48%
là nữ, và 17,5% là cử nhân thuộc lĩnh vực kinh
doanh. Số liệu thống kê cũng cho biết có 4,7%
cử nhân vừa thuộc lĩnh vực kinh doanh vừa là
nữ. Biến cố “Cử nhân thuộc lĩnh vực kinh
doanh” và biến
ế cố
ố “Cử nhân là nữ” có phải là 2
biến cố độc lập?

20

10


Trường ĐHBK Tp. HCM

Chương 2: Xác suất

Công thức xác suất đầy đủ
ƒ Cho không
gg
gian mẫu S và tập
p hợp
p đầyy đủ biến cố Ai ((i=1,
2,..., n) xung khắc từng đôi một.
ƒ Gọi B là một biến cố bất kỳ trong không gian mẫu S. Biến cố
B được biểu diễn như sau

A2 ...

A1

Ai ...

An

S

B

ABi
21

Công thức xác suất đầy đủ
B = A1B ∪ A2B ∪...∪ AiB ∪...∪AnB
P(B) = P(A1B) + P(A2B) + ... + P(AnB) =
Mặt khác:

P ( Ai B )
P ( Ai )

P(B/Ai) =
n

⇒ P(B) =

∑ P( B / A ) P( A )
i =1

i

i

ƒ Lưu ý: ở đây biết P(A1) và P(B/Ai) ⇒ tìm P(B)
22

11


Trường ĐHBK Tp. HCM

Chương 2: Xác suất

Ví dụ
Một nhà máy có 4 phân xưởng sản xuất một loại sản phẩm
ƒ PX I sản xuất
ấ 1/3 tổng
ổ sản lượng của nhà máy
ƒ PX II
sản xuất 1/4 tổng sản lượng của nhà máy
ƒ PX III
sản xuất 1/4 tổng sản lượng của nhà máy
ƒ PX IV
sản xuất 1/6 tổng sản lượng của nhà máy
Tỷ lệ phế phẩm của các phân xưởng I, II, III và IV lần lượt là 15%,
8%, 5% và 1%.
Lấy
ấ ngẫu

ẫ nhiên 1 sản phẩm
ẩ trong kho của nhà máy, tìm xác suất
ấ
để sản phẩm này là phế phẩm

23

ĐỊNH LÝ BAYES
ƒ Các xác suất tiên nghiệm: Các ước lượng ban
đầu về xác suất của các biến cố
ƒ Xác suất hậu nghiệm: Các xác suất được sửa lại
của các biến cố dựa trên các thông tin bổ sung
ị
lý
ý Bayes
y
ƒ Định

P(A1 \ B) =

P(A1)P(B\ A1)
P(A1 ∩B)
=
P(A1)P(B\ A1) + P(A2 )P(B\ A2 )
P(B)
24

12

Trường ĐHBK Tp. HCM

Chương 2: Xác suất

Ví dụ
Một nhà máy có 4 phân xưởng sản xuất một loại sản phẩm
ƒ PX I

sản
ả xuất
ất 1/3 tổ
tổng sản
ả llượng của
ủ nhà
hà máy
á

ƒ PX II

sản xuất 1/4 tổng sản lượng của nhà máy

ƒ PX III sản xuất 1/4 tổng sản lượng của nhà máy
ƒ PX IV sản xuất 1/6 tổng sản lượng của nhà máy
Tỷ lệ phế phẩm của các phân xưởng I, II, III và IV lần lượt là 15%,
8%, 5% và 1%.
Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm trong kho của nhà máy và thấy nó là
phế phẩm, tìm xác suất để sản phẩm này thuộc phân xưởng I.
25

13