Bài giảng Xác suất thống kê_Chương 3: Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

27/02/2009

CHƯƠNG 3:
BIẾN NGẪU NHIÊN
&
PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

BIẾN NGẪU NHIÊN
ƒ Biến
ế ngẫu
gẫu nhiên
ê
Một biến ngẫu nhiên là một mô tả bằng số của
kết quả của thí nghiệm
Ví dụ:
Xét biến ngẫu nhiên X có giá trị là tổng số 2 mặt
khi thảy 2 con xúc sắc
ắ ⇒ Biến
ế X có thể
ể nhận
các giá trị từ 2 đến 12

1


27/02/2009

Phân loại biến ngẫu nhiên
ƒ Biến
ế ngẫu
gẫu nhiên

ê rời
ờ rạc
ạc
Một biến ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận một số
đếm được của các giá trị trong một khoảng
ƒ Biến ngẫu nhiên liên tục
Một biến ngẫu nhiên liên tục là một giá trị ngẫu
nhiên có thể nhận bất kỳ giá trị nào trong một
khoảng hay tập hợp các khoảng

Phân phối xác suất rời rạc
ƒ Phân p
phối xác suất đối với một
ộ biến ngẫu
g
nhiên sẽ mô tả làm thế nào các xác suất được
phân phối theo các giá trị của biến ngẫu nhiên
ƒ Một phân phối xác suất đối với một biến
ngẫu
g nhiên rời rạc
ạ X là một
ộ danh sách các giá
g
trị có thể có của biến X và các xác suất tương
ứng

2


27/02/2009

Phân phối xác suất rời rạc

x
P (x)

1
2
3
4
5
6
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Xác suất

Một
ộ phân
p
phối
p
xác suất có thể được
ợ trình bày
y
dưới dạng:
• Bảng
• Đồ thị (Đồ thị tần số)
• Công thức (Hàm số)
1/6

1 2

3 4

5 6

Phân phối xác suất rời rạc
ƒ Hàm xác suất rời rạc f(x) là một hàm xác định
xác suất đối với mỗi giá trị của biến X
f(x) = Prob (X=x)
ƒ Các điều kiện yêu cầu đối với hàm xác suất rời
rạc
• 0 ≤ f(x) ≤ 1
• Σ f(x) = 1

3


27/02/2009

Phân phối xác suất rời rạc
Hàm p
phân phối
p
xác suất rời rạc
ạ đều
f(x) = 1/n
n = số các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên rời
rạc

Phân phối xác suất tích lũy
F(b) = P (X ≤ b)
Là xác suất để biến ngẫu nhiên X có giá trị ≤ b
Tính chất:
1. F(b) là một hàm không giảm của b: b1 < b2 thì F(b1) <
F(b2)
2. 0 ≤ F(b)
( )≤1
3. P(a < X ≤ b) = F(b) – F(a). Lưu ý “a < X” không phải “a ≤
X”
⇒

F(a) = P(X ≤ a) = ∑p(xi)

với ∀xi ≤ a

4


27/02/2009

Giá trị Kỳ vọng và Phương sai của Biến
ngẫu nhiên rời rạc
ƒ
ƒ

Giá trịị kỳ
ỳ vọng
ọ g
E (x) = μ = Σ x * f(x)

Phương sai
Var (x) = σ2 = Σ (x - μ)2 * f(x)
or
σ2 = Σ x2 * f(x) - μ2

ƒ

Độ lệch chuẩn

σ = σ2

Ví dụ:
dụ:
Gọi X là số lỗi có trong một trang sách. Hàm xác suất
của
ủ biến
biế ngẫu
ẫ nhiên
hiê X được
đ
cho
h bởi
bởi:
p(0) = 0,81; p(1) = 0,17; p(2) = 0,02.
Tìm số lỗi trung bình trong một trang sách
Số lỗi trung bình trong 1 trang sách:
a μ = E[X] = ∑xp(x) = 0×0,81 + 1×0,17 + 2×0,02 = 0,21 lỗi
a Phương sai của X:
σ2 = ∑x2 p(x) - μ2 = 02 ×0,81 + 12×0,17 + 22×0,02 –
(0,21)2

= 0,2059
δ2

a Độ lệch chuẩn của X:

σ=

= 0,4538

5


27/02/2009

Biến ngẫu nhiên Bernoulli
Định
ị
nghĩa:
g
Xét 1 biến ngẫu
g
nhiên X có g
giá trịị
được xác định dựa trên kết quả của 1 thí
nghiệm như sau:
aX = 1 nếu thí nghiệm là “thành công”
aX = 0 nếu thí nghiệm là “thất bại”.
Biến ngẫu nhiên như vậy gọi là biến ngẫu nhiên
Bernoulli (tuân theo phân bố Bernoulli)

Phân bố Bernoulli
p( ) = P(X
p(0)
( = 0)) = 1 – p
p(1) = P(X = 1) = p
Trong đó p là xác suất để thí nghiệm “thành công”
E[X] = p
aKỳ vọng:
aPhương sai: Var(X) = pq
Trong đó q = 1 – p

6


27/02/2009

Phân phối xác suất nhị thức
ƒ Một thí nghiệm nhị thức
Một thí nghiệm nhị thức có 4 tính chất:
• Thí nghiệm gồm có một chuỗi n lần thử tương tự
• Hai kết quả có thể có cho mỗi lần thử: thành công và
thất bại
• Xác suất của thành công p, không thay đổi ở lần thử
này sang lần thử khác. Vì vậy, xác suất của thất bại,
1-p, không thay đổi ở lần thử này sang lần thử khác
• Các lần thử độc lập với nhau

Phân phối xác suất nhị thức
ƒ Hàm xác suất nhị thức

P ( x) = Cnx p x (1 − p )

(n− x )

i tổ hợp chập i từ n phần tử
Trong đó C là
n

Cni =

n!
i!(n − i )!

7


27/02/2009

Phân phối xác suất nhị thức
ƒ Giá trị kỳ vọng và phương sai của phân phối
xác suất nhị thức
• Giá trị kỳ vọng: E(x) = μ = np
• Phương sai: σ2 = np (1-p)

Ví dụ
Một
ộ loại
ạ động
ộ g cơ máy
y bay

y có xác suất bịị trục
ụ
trặc khi đang bay là (1-p). Giả sử rằng một
chuyến bay sẽ thành công nếu ít nhất 50% số
động cơ của nó hoạt động bình thường trong
suốt chuyến bay. Xác định p để một máy bay
loại 4 động cơ được ưa chuộng nhiều hơn một
máy bay loại 2 động cơ (lắp
ắ cùng 1 loại động
cơ).

8


27/02/2009

Một số lưu ý
Khi n lớn, tính P(i)
()g
gặp
p trở ngại
g
a. Công thức Moixre – Lapalace:
p(i) = P(X= i) =

ϕ (x)

T
Trong
đó x = (i

(i-np)) / npq
1 − x2 2
ϕ (x) = e
2π

np(1 - p)
;
(hàm Gauss)

Một số lưu ý
Khi n lớn, tính P(i)
()g
gặp
p trở ngại
g
b. Xấp xỉ Poisson:
Khi n lớn và p khá nhỏ ⇒ np = λ = const

e − λ λi
p(i)
(i) = P(X = i) =
i!

9


27/02/2009

Phân phối xác suất POISSON
ƒ Các tính chất của Thí nghiệm Poisson

• Xác suất của một sự kiện sẽ giống nhau cho bất kỳ
2 khoảng có cùng độ dài
• Việc xảy ra hay không xảy ra trong 1 khoảng bất kỳ
sẽ độc lập với việc xảy ra hay không xảy ra trong 1
khoảng bất kỳ khác

Phân phối xác suất POISSON
ƒ Hàm xác suất Poisson

P( x) =

μ xe−μ
x!

ƒ μ = Giá trị kỳ vọng hay số trung bình của sự kiện trong
một khoảng.

ƒ Giá trị kỳ vọng và phương sai của phân phối xác
suất Poisson
ƒ Giá ttrịị kỳ vọng: E(
E(x)) = μ
ƒ Phương sai: Var(x) = μ

10


27/02/2009

Biến ngẫu nhiên liên tục
ƒ Một

ột b
biến
ế ngẫu
gẫu nhiên
ê liên
ê tục là
à một
ột g
giá
á ttrịị ngẫu
gẫu
nhiên có thể nhận bất kỳ giá trị nào trong một
khoảng hay tập hợp các khoảng
ƒ Một Phân phối xác suất đối với một biến ngẫu
nhiên liên tục được đặc trưng bởi một Hàm mật
độ xác
á suất
ất (Probability
(P b bilit D
Density
it F
Function
ti –
PDF)

Phân phối xác suất
ƒ Các diện tích dưới đường cong mật độ xác suất
là các
á xác
á suất

ất
Density

f(x)

S
x
b a

b

P(a < X < b) = S = ∫ f ( x )dx
a

11


27/02/2009

Phân phối xác suất tích lũy
Định
ị nghĩa:
g
F(a)
( ) = P(X
( ≤ a))
Tính chất:
aF(a) = P(X≤ a) = ⇒ F(-∞) = 0; F(∞) = 1
aP(a≤ X ≤b) = = F(b) – F(a)

Giá trị Kỳ vọng và Phương sai của Biến
ngẫu nhiên liên tục
ƒ

Giá trịị kỳ
ỳ vọng
ọ g

∞

E (x) = μ =
ƒ

∫ xf ( x)dx

−∞

Phương sai

σ2 = Var (x) = E[(x – μ)2] =
hoặc
σ2 = E[X2] – μ2 =
ƒ

Độ lệch chuẩn

∞

∫x

∞

2
∫ ( x − μ ) f ( x)dx

−∞

2

f ( x)dx

- μ2

−∞

σ = σ2

12


27/02/2009

Giới thiệu phân phối xác suất
ƒ Một số các phân phối xác suất phổ biến đối với
biến liên tục:
• Phân phối đều (Uniform Distribution)
• Phân phối chuẩn (Normal Distribution)

Phân phối xác suất đều
ƒ Hàm mật

ậ độ
ộ xác suất của p
phân p
phối đều
f(x)

⎧ 1
⎪
f ( x) = ⎨ b − a
⎪⎩ 0

Khi a ≤ x ≤ b
noi khác

Density

h

x
a

b

13


27/02/2009

Phân phối xác suất đều
ƒ Giá trịị kỳ

ỳ vọng
ọ g và p
phương
g sai của phân
p
p
phối đều
b

E( x ) = μ = ∫ x.f ( x )dx =
a

2
(
b − a)
= ∫ (x − μ ) f ( x )dx =
b

Var ( x ) = σ

2

a+b
2

2

12

a

Phân phối xác suất chuẩn
ƒ Hàm mật
ậ độ
ộ xác suất của p
phân p
phối chuẩn

f (x) =
Với

1
e
2 πσ

− ( x − μ )2
2σ2

μ = Trung bình
σ = Độ lệch chuẩn
π = 3.14159
e = 2.71828
X ∼ N (μ, σ2)

14


27/02/2009

Phân phối xác suất chuẩn

ƒ Đường
g cong
g chuẩn
• Dạng của f(x) đối xứng, giống dạng hình chuông
• Đường cong chuẩn có 2 tham số, μ và σ. Chúng
xác định vị trí và dạng của phân phối

Phân phối xác suất chuẩn
μ1 < μ2 < μ3

μ1

μ2

μ3

15


27/02/2009

Phân phối xác suất chuẩn
σ1

σ2

X
σ1 < σ2

Phân phối xác suất chuẩn

f(x)

S
a

b

x

P( a < X < b) = S
P (μ - σ < X < μ + σ)

= 68.26%

P (μ - 2σ < X < μ + 2σ) = 95.44%
P (μ - 3σ < X < μ + 3σ) = 99.72%

16


27/02/2009

Phân phối xác suất chuẩn
ƒ Phân p
phối xác suất chuẩn chuẩn hóa
• Phân phối xác suất chuẩn chuẩn hóa là một phân
phối chuẩn có trung bình bằng 0 và phương sai bằng
1
• Một biến ngẫu nhiên chuẩn chuẩn hóa Z là một biến
tuân theo phân phối xác suất chuẩn chuẩn hóa

Z ∼ N (0,12)

Phân phối xác suất chuẩn
ƒ Một
ộ biến chuẩn chuẩn hóa
Nếu X ∼ N (μ, σ2) thì biến chuẩn chuẩn hóa Z có
trung bình bằng 0, phương sai bằng 1 và Z ∼ N
(0, 12) X − μ
Z=

σ

f(x)

S
a
μ - 3σ μ - 2σ μ-σ

b
μ

μ+σ

μ+2σ

μ+3σ

x

17

27/02/2009

Phân phối xác suất chuẩn
f(x)

S
Z
-3

-2

-1

Za 0

1 Zb

2

3

Phân phối xác suất chuẩn
Z=

ƒ X ∼ N(μ, σ2)

X −μ
σ

Z ∼ N (0, 12)

ƒ P (a < X < b) = P (AZA < Z < Zb) = S
Za =

a −μ
σ

Zb =

b−μ
σ

18


27/02/2009

Phân phối xác suất chuẩn
ƒ Sử dụng bảng diện tích của đường cong chuẩn
để tìm
tì giá
iá trị
t ị của
ủ S
f(x)

S
-3

Bảng
Z tra

-2

-1

S

0

1

hoặc S

2

3

z

Bảng tra

Z

19