www.tinhgiac.com Chuong 3 DSP

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM

XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU
Digital Signal Processing

Giảng viên: Ths. Đào Thị Thu Thủy

1/2012

CNĐT-ĐÀO THỊ THU THỦY

1


Chương 3:
TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG
MIỀN Z

1/2012

CNĐT-ĐÀO THỊ THU THỦY

2


Chương 3:TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG

MIỀN Z

3.1 BIẾN ĐỔI Z

3.2 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
3.3 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG LTI TRONG MIỀN Z

1/2012

CNĐT-ĐÀO THỊ THU THỦY

3


3.1 BIẾN ĐỔI Z
3.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI Z

3.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC)
3.1.3 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
3.1.4 GIẢN ĐỒ CỰC - KHÔNG

1/2012

CNĐT-ĐÀO THỊ THU THỦY

4


3.1 BIẾN ĐỔI Z
3.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI Z:
►

X (z) 

Biến đổi Z của dãy x(n):



n
x
(
n
)
z


n 

Trong đó Z biến số phức

(*)

Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai bên

Biến đổi Z một bên dãy x(n):



X ( z )   x ( n) z
1

n

(**)

n 0

►

Nếu x(n) nhân quả thì : (*)

►

Ký hiệu:
Z
x(n) 

Z 1
X(z) 


1/2012

X(z)
x(n)



(**)

hay X(z) = Z{x(n)}
hay x(n) = Z-1{X(z)}
CNĐT-ĐÀO THỊ THU THỦY

5


3.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC)
►

Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence)
là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao
cho X(z) hội tụ.
Im(Z)
Rx+

►

►

Để tìm ROC của X(z) ta áp dụng
tiêu chuẩn Cauchy

Rx-

Re(z)
0

0

Tiêu chuẩn Cauchy:


Một chuỗi có dạng:

 x(n)  x(0)  x(1)  x(2)  

n 0

hội tụ nếu:
1/2012

1
n

lim x( n)  1

n 

CNĐT-ĐÀO THỊ THU THỦY

6


Ví dụ 3.1: Tìm biến đổi Z & ROC của các tín hiệu hữu hạn
sau:


X (z) 

n
x
(
n

)
z


n 

1/2012

CNĐT-ĐÀO THỊ THU THỦY

7


x( n)  a n u( n)

Ví dụ 3.2: Tìm biến đổi Z & ROC của:
Giải:

X (z) 



n

x
(
n
)
z


n 





n 

 a n u ( n)  z  n 



Theo tiêu chuẩn Cauchy,
X(z) sẽ hội tụ:

Nếu:

Vậy:
1/2012

lim  az
n 






n 0

n 0

n n
1
a
.
z



az



n

Im(z)
ROC

/a/

1
X (z) 
1  az 1
1n
n
1 



Re(z)

0

1 z  a

1
X (z) 
; ROC : Z  a
1
1  az
CNĐT-ĐÀO THỊ THU THỦY

8


Bài tập 1
► 1. Tìm biến đổi Z & ROC của:

a. x(n)   2  u (n)
n

b. x(n)   2  u (n)
n

c. x(n)   2  u (n)
n

d . x(n)   2  u (n)

n

1/2012

CNĐT-ĐÀO THỊ THU THỦY

9


Ví dụ 3.3: Tìm biến đổi Z & ROC của:

x( n)  a n u(  n  1)

Giải:

X (z) 



n

x
(
n
)
z


n 


 

   a 1z
m 1

m





  a u( n  1)z


n



n 

1

Im(z)

/a/
Re(z)
0

1

X ( z )    a z   1 
1
1

az
m0
Nếu
1/2012
:

n n
a
 .z

m

Theo tiêu chuẩn Cauchy,
X(z) sẽ hội tụ:




n 

   a 1 z
m 0

n

1

n

ROC

1

1 n 

lim a z 
n  


1n

1 

za

CNĐT-ĐÀO THỊ THU THỦY

10


Bài tập 2
► 1. Tìm biến đổi Z & ROC của:

a. x(n)    3 u (n  1)
n

b. x(n)    3 u (n  1)
n

c. x(n)    3 u (n  1)
n

d . x(n)    3 u (n  1)
n

1/2012

CNĐT-ĐÀO THỊ THU THỦY

11


3.1.3 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
a) Tuyến tính
►

Nếu:

►

Thì:

Z
x1 (n) 
 X1 ( z ) : ROC  R1
Z

x2 (n) 
X 2 ( z) : ROC  R 2
Z
a1 x1 (n)  a2 x2 (n) 
a1 X1 ( z )  a2 X 2 ( z )

ROC chứa R1 R2
Ví dụ 3.4: Tìm biến đổi Z & ROC của:

x(n)  a u(n)  b u(n  1) với a  b
n

n

Giải:
1/2012

CNĐT-ĐÀO THỊ THU THỦY

12


Im(z)

Theo ví dụ 3.2 và 3.3, ta có:

/a/

1
a u (n) 

1  az 1

R1 : z  a

Z

n

ROC
Re(z)

0

Im(z)

1
 b u ( n  1) 
1  bz 1
n

Z

R2 : z  b

Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được:

1
1
Z
n

n
a u(n)  b u( n  1) 

1
1  az
1  bz 1

R  R1  R2 : a  z  b
1/2012

CNĐT-ĐÀO THỊ THU THỦY

/b/
Re(z)
0

ROC
Im(z)

ROC /b/
Re(z)
0

/a/
13


Bài tập 3
► 1. Tìm biến đổi Z & ROC của:

1/2012

a.

x (n)  3(2 n )u(n)  4(3n )u( n  1)

b.

x (n)  3(2 n )u(n)  4(3n )u( n  1)

c.

x (n)  3(5 n )u(n)  4(3n )u( n  1)

d.

x (n)  [3(2 n )  4(3n )]u(n)

e.

x (n)  [3(2 n )  4(3n )]u( n  1)

f.

x (n)   (n)  4(3n )u( n  1)

g.

x (n)  5 (n  1)  4(3n )u(n)

h.

x (n)  3 (n  2)  5 (n  1)  4(3n )u(n)
CNĐT-ĐÀO THỊ THU THỦY

14


b) Dịch theo thời gian
Z
Nếu: x(n) 

X ( z ) : ROC  R

Thì:

Z
x(n  n0 ) 
Z  n0 X ( z ) : ROC  R'

R trừ giá trị z=0, khi n0>0
Với: R'  
R trừ giá trị z=∞, khi n0<0

x(n)  a u(n  1)
Ví dụ 3.5: Tìm biến đổi Z & ROC của:
Giải:
1
Z
n

; ROC : z  a
Theo ví dụ 3.2: a u (n) 
1
n

1  az

Vậy:
1/2012

x(n)  a nu(n  1)  a.a n1u(n  1)
CNĐT-ĐÀO THỊ THU THỦY

1
az
Z

:z a
1
1  az
15


Bài tập 4
► 1. Tìm biến đổi Z & ROC của:

a.

1/2012

x(n)  3(2) u(n  2)
n

CNĐT-ĐÀO THỊ THU THỦY

16


c) Nhân với hàm mũ an
Z
Nếu: x(n) 

X ( z ) : ROC  R
Z
n
1
a
x
(
n
)


X
(
a
z ) : ROC  a R
Thì:

Ví dụ 3.6: Xét biến đổi Z & ROC của:

x1 (n)  a nu (n) và

x2 (n)  u(n)

Giải:

x (n)  u(n)  X ( z ) 
Z



 u(n)z

n

n

1

;R : z  1
1
1 z

1
a x (n)  a u(n)  X (a z ) 
;R': z  a
1
1  az
n

1/2012

n

Z

1

CNĐT-ĐÀO THỊ THU THỦY

17


d) Đạo hàm X(z) theo z
Z
Nếu: x(n)  X ( z ) : ROC  R

dX(z)
  z
: ROC  R
Thì: nx(n) 
dz
Z

Ví dụ 3.7: Tìm biến đổi Z & ROC của:
Giải:
Theo ví dụ

g (n)  nanu(n)

1
x(n)  a u (n)  X ( z ) 
; ROC : z  a
1
1  az
n

Z

dX ( z )
Z
g (n)  nx(n)  G( z )   z
dz
1/2012

CNĐT-ĐÀO THỊ THU THỦY

az 1

:z a
1 2
(1  az )
18


e) Đảo biến số
Z
x
(

n
)


X ( z ) : ROC  R
Nếu:

Z
Thì: x( n) 

X (z -1) : ROC  1 R

►

Ví dụ 3.8: Tìm biến đổi Z & ROC của:

►

Giải: Theo ví dụ 3.2:

y(n)  1 a  u(n)
n

1
x(n)  a u (n)  X ( z ) 
; ROC : z  a
1
1  az
Z

n

 y(n)  1 a  u(n)  a  nu(n)  x(n)
n

Áp dụng tính chất đảo biến số:
1

Y( z )  X( z ) 
1/2012

1

 

1 a z

1 1

1

; ROC : z  1 / a
1  az

CNĐT-ĐÀO THỊ THU THỦY

19


f) Liên hiệp phức

Z
x
(
n
)


X ( z ) : ROC  R
Nếu:

Thì:

Z
x * ( n) 
X * (z*) : ROC  R

g) Tích 2 dãy
Nếu:

Z
x1 (n) 
X1 ( z ) : ROC  R1
Z
x2 (n) 
X 2 ( z ) : ROC  R 2

Thì:

1
 z  1

x1 (n) x2 (n) 
X 1 ( ) X 1   d : ROC  R1  R 2

2 c
 
Z

h) Định lý giá trị đầu
Nếu x(n) nhân quả thì:
1/2012

x(0)  Lim X(z)

CNĐT-ĐÀO THỊ THU THỦY

Z 

20


►

Ví dụ 3.9: Tìm x(0), biết X(z)=e1/z và x(n) nhân quả

►

Giải:
Theo định lý giá trị đầu:

x(0)  lim X(z)  lim e1/z  1

Z 

Z 

i) Tổng chập 2 dãy
Nếu:

Z
x1 (n) 
X1 ( z ) : ROC  R1
Z
x2 (n) 
X 2 ( z ) : ROC  R 2

Z
Thì: x1 (n) * x2 (n) 
X1 ( z ) X 2 ( z ) ;ROC có chứa R1  R2
1/2012

CNĐT-ĐÀO THỊ THU THỦY

21


►

Ví dụ 3.10 : Tìm y(n) = x(n)*h(n), biết:

x(n)  (0.5)n u(n) h(n)  2n u(n  1)
►

Giải
:
Z
x( n)  (0.5)n u( n) 
X (z) 

1
; ROC : z  0.5
1
1  0.5 z

1
h( n)  2 u(  n  1)  H ( z ) 
; ROC : z  2
1
1  2z
n

Z

1
1
Y (z)  X (z)H (z) 
.
; ROC : 0,5  z  2
1
1
(1  0.5 z ) (1  2 z )
Z-1

1
1
4
1
 .
 .
; ROC : 0,5  z  2
1
1
3 (1  0.5 z ) 3 (1  2 z )

1
4 n
n
y(n)  x(n) * h(n)   (0.5) u (n)  2 u (n  1)
3
3

1/2012

CNĐT-ĐÀO THỊ THU THỦY

22


TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
x(n)

X(z)

R

a1x1(n)+a2x2(n)

a1X1(z)+a2X2(z)

Chứa R1  R2

x(n-n0)

Z-n0 X(z)

R’

an x(n)
nx(n)

X(a-1z)
-z dX(z)/dz

R
R

x(-n)
x*(n)

X(z -1)
X*(z*)

1/R
R

x1(n)x2(n)
x(n) nhân quả
1/2012

x1(n)*x2(n)

1
 z  1
X
(
v
)
X
1
2  v dv

C
2j
v

R1  R2

x(0)=lim X(z ->∞)

X1(z)X2(z)

CNĐT-ĐÀO THỊ THU THỦY

Chứa R1  R23 2


BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG
x(n)

X(z)

ROC

(n)

1
1
1
1 z

z

u(n)
-u(-n-1)
an u(n)
-an u(-n-1)
nan u(n)
-nan u(-n-1)

|z| >1
|z| <1

1
1  az 1

|z| > |a|

az 1
(1  az 1 ) 2

|z| > |a|

|z| < |a|
|z| < |a|

cos(on)u(n) (1-z-1coso)/(1-2z-1coso+z-2)

|z| >1

sin(on)u(n)

|z| >1

1/2012

(z-1sino)/(1-2z-1coso+z-2)
CNĐT-ĐÀO THỊ THU THỦY

24


3.1.4 GIẢN ĐỒ CỰC - KHÔNG

►
►

Điểm cực của X(z) là các giá trị z tại đó X(z) = ∞,
Điểm không của X(z) là các giá trị z tại đó X(z) = 0.
L

D( z ) G ( z  z1 )( z  z2 )( z  z3 )...( z  z L )
X ( z) 

G
B( z ) ( z  p1 )( z  p2 )( z  p3 )...( z  pM )
•G là độ lợi
•z1, z2, z3,… được gọi là các điểm không (zero)
•p1, p2, p3,… là các điểm cực (pole)

1/2012

•L là bậc của đa thức tử số;
•M là bậc của đa thức mẫu.
CNĐT-ĐÀO THỊ THU THỦY
• X(z) là hàm hữu tỉ đúng
khi L≤ M

 ( z  zk )
k 1
M

 ( z  pk )
k 1

25