Tích lũy chuyên môn

Tích luỹ chuyên môn
Tích luỹ đề thi GVDG
Đề thi lý thuyết giáo viên dạy giỏi huyện
Bậc THCS năm học 2002-2003
Câu 1:
Chứng minh sau đây đúng hay sai? Vì sao? Nếu sai anh (chò c) hướng dẫn học
sinh chứng minh lại cho đúng?
Đề ra : Cho đường tròn tâm O . Hai đường kính AB, CD vuông góc với
nhau. M, N lần lượt là trung điểm của AO, BO. Tia CN cắt (O) tại I. Hãy xét
xem góc CMI có phải là góc vuông không? Vì sao?
Chứng minh: Kẻ thêm một số đường như hình vẽ
Giả sử góc CMI = 1v Thì sđ CBI +sđ KAE = 2v (Góc có đỉnh nằm bên trong
đường tròn G) (1)
C
Mặt khác: sđ CBI + sđ DI = 2v (2)
Từ (1) và (2) : sđ KAE = sđ DI .Suy ra KI // DE K
nên CMI = CED (Cặp góc đồng vò C) .
A B
Mà CED = 1v (Chắn nửa đường tròn C)
Vậy CMI = 1v là đúng
Câu 2 :

Hướng dẫn học sinh giải bài toán sau:
Tìm k (nguyên n) để phương trình:
kx
2
+ ( 2k -1 ) x + k-2 = 0
Có nghiệm hữu tỷ.
Câu 3 : Giải bài toán và hướng dẫn học sinh khái quát hoá bài toán:
Cho a, b là các số thực : 0< a, b < 1 . Chứng minh hai bất đẳng thức sau
không cùng xẩy ra: a (1-b ) > 1/4 ; b ( a-1 ) > 1/4

Câu 4 : Cho trước một đoạn thẳng đơn vò (Có độ dài bằng 1) . Chỉ dùng
thước và com pa có thể dựng được đoạn thẳng có độ dài
2 5+
được không?
Nếu được hãy trình bày cách dựng?
Đề thi lý thuyết GVDG huyện
Năm học 2007 – 2008
I.Trắc nghiệm: (4 điểm4)
Câu1. Hai chữ số tận cùng của 3
999
– 2
999
là:
A. 59 B. 69 C. 79 D. 89
Giáo viên: Đặng Anh Dũng – THCS Thanh Mai
1
M
N

O
E
D
I
Tích luỹ chuyên môn
Câu2. Ký hiệu
[ ]
x
là số nguyên lớn nhất không vượt quá x
Giá trò của tổng
[ ]

1
+
[ ]
2
+
[ ]
3
+
[ ]
4
+ …+
[ ]
35
là.
A. 124 B. 124 C. 126 D. 127
Câu3. Bán kính của đường tròng nội tiếp một hình thang cân biết hai đáy
bằng 16 cm và 64 cm là.
A. 5
41
B. 6
41
C. 7
41
D. 8
41
Câu 4. Vó độ của Hà Nội là 20
0
01’. Mỗi vòng kinh tuyến của trái đất dài
khoảng 40000 km. Độ dài kinh tuyến từ Hà Nội đến Xích Đạo là.
A.

≈
2222 B.
≈
2223 C.
≈
2224 D.
≈
2225
II.Tư. Luận: (16 điểm1)
Câu 1.( 4 điểm)
a. Cho biểu thức: M =
962
923
2
2
−+−
−++
xx
xx

Rút gọn biểu thức M.
b. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức.
H = ( x
2
+
2
1
y
)( y
2

+
2
1
x
) trong đó x, y là các số dương thay đổi
thoả mãn: x + y = 1
*Nhiều học sinh đã giải như sau.
a. M =
.
)3)(3(332
)3)(3(23.3
−++−−
−++++
xxxx
xxxx
=
.
)3(32(3
)3(23.(3
++−−
−+++
xxx
xxx
=
3
.3
−
+
x
x

=
3
3
−
+
x
x
b. Ta có ( x +
y
1
)
2

≥
0 => x
2
+
2
1
y

≥
2
y
x
( y +
x
1
)
2

≥
0 => y
2
+
2
1
x

≥
2
x
y
Mặt khác vì x > 0; y
≥
0 nên suy ra.
H = ( x
2
+
2
1
y
)( y
2
+
2
1
x
)
≥

2
y
x
.2
x
y

≥
4
Vậy GTNN của H = 4 khi x.y = 1
*Phân tích sai lầm của học sinh trong các lời giả trên và đưa ra lời giải
đúng.
Câu 2: (4 điểm4)
a. Tìm các số tự nhiên có 4 chữ số dạng
ab42
biết rằng số đó chia hết
cho 41
Giáo viên: Đặng Anh Dũng – THCS Thanh Mai
2
Tích luỹ chuyên môn
b. Tìm phân số
b
a
biết phân số đó có giá trò là
45
36
và BCNN (a;b) = 300
Câu 3C: Cho tam giác ABC. Trên BC lấy D,E sao cho BD = CE. Qua D, E kể
DF; EG song song AB ( F;G
∈

AC )
Chứng minh: AB = DF + EG
• Bài toán có nhiều cách giải. Anh chò hãy trình bày vài cách giải, theo
anh (chò) khi dạy học sinh bài tập này cần đặc biệt chú ý mệnh đề nào
đã học ở sach sgiáo khoa?
Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, AD là phân giác của góc A ( A
∈
BC )
Chứng minh: AD
2
= AB.AC – DB.DC
(Bài toán có ít nhất 3 cách giải hãy trình bày một cách giải và nêu đònh
hướng cho các cách khácB).
• Bài số 3 và số 4 có mỗi liên hệ nào với nhau không? Nếu có anh (chò)
hãy chỉ ra mỗi liên hệ đó . /.
Đề thi lý thuyết GVDG huyện năm học 2007 – 2008
Môn thi: toán
I.Phần trắc nghiệm:
Anh(Chò) hãychọn đáp án đúng với lời dẫn của các câu sau và trả lời vào
bảng theo mẫu?
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8
Đáp
án
đúng
Câu1: Chữ số tận cùng của số 3
1991
là:
a. 1 b. 7 c. 9 d. 3
Câu2: Cho dãy số 7; 12; 17; 22; 27; ……. Số thứ 1000 của dãy là:
a. 5000 b. 5001 c. 5002 d. 5003

Câu3: Nước Việt Nam dân chủ cộng hoà ra đời sau cách mạng tháng tám
năm 1945, đó là năm Dậu. Hàng Can của năm Dậu đó là:
a. Kỷ b. ất c. Tân d. Quý
Câu4: Số dư của phép chia đa thức: f
(x)
=
7
9115599
+++++
xxxxx
cho đa thức
( )
1
+
x
là:
a. 1 b. 4 c. 3 d. 2
Câu5: Cho
3
1
=+
x
x
. Giá trò của biểu thức
5
5
1
x
x
+

là:
Giáo viên: Đặng Anh Dũng – THCS Thanh Mai
3
Tích luỹ chuyên môn
a. 123 b. 125 c. 243 d. Kết quả khác
Câu6: Cho
ABC
∆
cân tại A, trên cạnh AB lấy điểm D. Biết AD = DC = CB.
Số đo góc A của tam giác là:
a. 34
0
b. 37
0
c. 36
0
d. 35
0

Câu7:
ABC
∆
cân tại A có AB = 60cm. Đường phân giác của góc B cắt
đường cao AH ở K. Biết:
5
12
=
KH
AK
Độ dài BC là:

a. 40cm b. 50cm c. 45cm d. 60cm
Câu8: Trong mặt phẳng, số điểm cách đều các đường thẳng chữa ba cạnh của
một tam giác là:
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4
II.Phần tự luận
Câu1: 1. Chứng minh phân số sau là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n

12
12
2
−
+
n
n
2. Rút gọn biểu thức: P =
2000
1999
2000
1999
19991
2
2
2
+++
Câu2: Cho x, y, z là các số dương và
6
=++
zyx
. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu
thức:

xy
z
zx
y
zy
x
A
+
+
+
+
+
=
222
Câu3: 1. Cho
ABC
∆
có góc B bằng 60
0
, phân giác AK và CE cắt nhau tại O.
Chứng minh rằng: OK = OE.
2. Cho hai điểm A, B nằm cùng phía đối với đường thẳng d. Dựng
đường tròn đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng d.
Phòng GD &ĐT Thanh Chương
Đáp án và biểu điểm môn toán
I.Phần trắc nghiệm: (4điểm) Mỗi câu đúng được 0, 5đ
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8
Đáp
án

đúng
b c b d a c b d
II. Phần tự luận: (6 điểm)
Giáo viên: Đặng Anh Dũng – THCS Thanh Mai
4
Tích luỹ chuyên môn
Câu1: (1, 5đ)
1. Chứng minh phân số tối giản (0, 5đ)
Giả sửG:
( )
dnn
=−+
12;12
2
.Ta cần chứng minh
1
±=
d
. Thật vậy:
11
22
12
1
12
12
2
12
12
2
2

2
±=⇔⇔



+
+
⇔



+
+
⇔





−
+
⇔



−
+
dd
dn
dn

dn
dn
dn
dnn
dn
dn









2. Rút gọn biểu thức (1đ)
Ta có:
( )
2000
2000
1999
2000
1999
2000
2000
1999
2000
1999
2000
2000

1999
2000
1999
199922000
199922000199911199921999119992000
2
2
2
2
222
2
2
=⇒
+−=+






−=⇒
++⋅−=⇒
⋅−=+⇒+⋅+=+=
P
P
P
Câu2: Tìm giá trò nhỏ nhất (1, 5đ)
áp dụng bất đẳng thức Bu -nhi-a-cốp-x-ki ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( )

23
3
2
6
2
2
222
2
222
2
222
2
2
2
===⇔=⇒
==
++
≥
+
+
+
+
+
⇔
++≥++⋅⋅









+
+
+
+
+
⇔








+⋅
+
++⋅
+
++⋅
+
≥







+++++⋅
















+
+








+
+









+
zyxMinA
zyx
yx
z
zx
y
zy
x
zyxzyx
yx
z
zx
y
zy
x
yx
yx
z
zx
zx
y
zy

zy
x
yxzxzy
yx
z
zx
y
zy
x
Câu3:( 3điểm)
1.Chứng minh được
OKOE
=
(1đ)
Xét
AOC
∆
có:
AOC
000
120120
2
180
=⇒=
+
−=
EOK
CA
⇒
Tứ giác

BEOK
nội tiếp.
Giáo viên: Đặng Anh Dũng – THCS Thanh Mai
5
Tích luỹ chuyên môn
Mà
KOEOKOEOKBOEBO
=⇒=⇒=
(đpcm)
2.Dựng hình (2đ)
a) Phân tích: Giả sử dã dựng được đường tròn thoả mãn điều kiện bài
toán. Ta nhận thấy: IT
2
=IA.IB. Trong đó I là giao điểm của đường
thẳng AB và đường thẳng d, còn T là tiếp điểm.
b) Cách dựng:
- Dựng giao điểm I của đường thẳng d và đường thẳng AB
- Dựng đoạn thẳng IT trên đường thẳng d có độ dài x sao cho: x
2
=
IA.IB.
- Dựng đường tròn (O) đi qua 3 điểm A, B, T. Đây là đường tròn
phải dựng.
c) Chứng minh: Do IT
2
=IA.IB nên đường tròn (O) tiếp xúc với d tại T và
đi qua 2 điểm A, B.
d) Biện luận:
- Trường hợp đường thẳng AB cắt đường thẳng d thì bài toán luôn
có hai nghiệm hình

- Trong trường hợp đường thẳng AB không cắt đường thẳng d thì T
là giao điểm của d với đường trung trực của đoạn thẳng AB và bài toán chỉ có
một nghiệm hình.
Đề thi lý thuyết GVG môn Toán THCS.
Thời gian : 150 phút.
Giáo viên: Đặng Anh Dũng – THCS Thanh Mai
6
Tích luỹ chuyên môn
Câu 1 (3 điểm3) : Đồng chí hãy cho biết những ưu điểm và những hạn chế
của dạy học hợp tác theo nhóm. Theo đồng chi trong môn Toán THCS hiện
nay những dạng nào sẽ thuận lợi khi triển khai hoạt động dạy học hợp tác
theo nhóm ?
Câu 2 (4 điểm4) : Đồng chi hãy giải các bài toán sau. Từ đó hướng dẫn học
sinh rút ra bài toán tổng quát :
Tính : A =
100.99
1
..................
4.3
1
3.2
1
2.1
1
++++

B =
100.98
5
..................

8.6
5
6.4
5
4.2
5
++++

Câu 3 (3 điểm3) : Có một học sinh giải bài toán như sau :
Đề ra : Cho tứ giác ABCD, M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC
và độ dài
2
CDAB
MN
+
=
. Chứng minh AB // DC.
Giải : (Giả thiết và kết luận đã ghi đúng)
A B

M N

D C
F Trên tia AN chọn điềm F sao cho N là trung điểm của AF.
Xét? ANB và?FNC cã: AN = NF (cách vẽ).
ANB = FNC (đối đỉnh).
BN = CN (giả thiếtg)
Suy ra:? ANB =?FNC (c.g.c)
? ABN = FCN (Cặp góc tương ứng).
? CF // AB ? DF // AB? DC // AB (đpcm).

Theo đồng chi bài giải trên còn sai lầm ở đâu? Hãy bổ sung để được bài
giải đầy đủ.
Câu 4 (3 điểm).
Cho A= 1.2.3.........2005.2006
)
2006
1
2005
1
.......
3
1
2
1
1(
+++++

Chứng minh A là một số tự nhiên chia hết cho 2007.
Giáo viên: Đặng Anh Dũng – THCS Thanh Mai
7
Tích luỹ chuyên môn
Câu 5 (4 điểm). Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh
rằng:

cbabacacbcba
111111
++≥
−+
+
−+

+
−+
Câu 6 (3 điểm3): Dựng tam giác ABC biết bán kính đường tròn ngoại tiếp
bằng R, bán kính đường tròn nội tiếp bằng r và góc C bằng α (α < 90
0
).
Đáp án:
Câu 1: ưu điểm của dạy học hợp tác theo nhóm:
- Mọi học sinh đều được làm việc, không khí học tập trong lớp thân
thiện.
- Hiệu quả làm việc của HS cao, nhiều HS được dòp thể hiện khản năng
cá nhân và tinh thần giúp đỡ nhau.
- HS không chỉ học tập kiếm thức kó năng mà còn thu nhận được kết quả
về cách làm việc hợp tác cùnh nhau. Điều này góp phần thực hiện một
trong bốn mục tiêu về học tập của thế kỷ XXI là học cách làm việc
cùng nhau.
Hạn chế của dạy học hợp tác theo nhóm:
- Hiệu quả học tập phụ thuộc hoạt động của các thành viên, nếu có HS
trong nhóm bất hợp tác thì hiệu quả thấp.
- Khản năng bao quát của GV là khó khăn, nhất là khi số học sinh trong
lớp, trong nhóm còn cao như hiện nay.
- Xác đònh nhiệm vụ mỗi nhóm và mỗi cá nhân trong nhóm tuỳ thuộc
vào nhiều yếu tố, trong đó có yêu cầu chungcủa chương trình và đặc
điểm cụ thể của HS. Đó là việc không dễ dàng.
Những dạng thuận lợi cho việc triển khai hoạt động dạy học hợp tác theo
nhóm:
- Các bài tập rèn luyện kỹ năng tính toán.
- Một số bài tập dạng trắc nghiệm.
- Một số hoạt động thực hành trong lớp như dùng máy tính, đo góc...
- Một số hoạt động thực hành ngoài trời.

Câu 2:
Giáo viên: Đặng Anh Dũng – THCS Thanh Mai
8
Tích luỹ chuyên môn
Tính. A =
100.99
1
..................
4.3
1
3.2
1
2.1
1
++++
=
100
1
99
1
...............
4
1
4
1
3
1
2
1
2

1
1
−+−+−+−
=
100
1
1
−
=
100
99

B =
)
100
1
98
1
..................
8
1
6
1
6
1
4
1
4
1
2

1
(
2
5
−++−+−+−
=
)
100
1
2
1
(
2
5
−
=
)
100
49
.
2
5
=
40
49
Qua hai bài toán trên chúng ta rút ra bài toán tổng quát như sau:
C =
21
aa
n

+
1544332
.
..................
...
+
++++
kk
aa
n
aa
n
aa
n
aa
n
Trong đó :
kk
aaaaaaaa
−==−=−=−
+
1342312
.......
Giải :
Trường hợp 1 : Nếu
naaaaaaaa
kk
=−==−=−=−
+
1342312

.......

Bài toán này dễ dàng giải được theo cách phân tích của bài toán 1 vì khi
đó :

21
aa
n
=
1
1
a
-
2
1
a
....................

1
+
kk
aa
n
=
k
a
1
-
1
1

+
k
a
Cộng từng vế ta có C: C =
1
1
a
-
1
1
+
k
a
Trường hợp 2 : Nếu
nbaaaaaaaa
kk
≠=−==−=−=−
+
1342312
.......
Ta có : C =
b
n
(
21
aa
b
+
1544332
.

..................
...
+
++++
kk
aa
b
aa
b
aa
b
aa
b
)
Bài toán này thực chất đã đưa về dạng của bài toán 2. Học sinh dễ dàng
tìm được kết quả : C =
b
n
(
1
1
a
-
1
1
+
k
a
).
Giáo viên: Đặng Anh Dũng – THCS Thanh Mai

9
Tích luỹ chuyên môn
Câu 3: Sai lầm của học sinh là đã ngộ nhận ba điểm D, C, F thẳng hàng. Như
vậy ta phải chứng minh ba điểm D, C, F thẳng hàng.
Bài giải đầy đủ : Giải :
Trên tia AN chọn điềm F sao cho N là trung điểm của AF.
Xét? ANB và?FNC cã: AN = NF (cách vẽ).
ANB = FNC (đối đỉnh).
BN = CN (giả thiếtg)
Suy ra:? ANB =?FNC (c.g.c)
? ABN = FCN (Cặp góc tương ứng).
? CF // AB và CF = AB (cặp cạnh tương ứng) (1).
Xét? ADF có MN là đường trung bình. Suy ra:
2
DF
MN
=
mà
2
CDAB
MN
+
=
=
2
CDCF
+
(theo gt và t (1))
?DF=CF+CD ? D, C, F thẳng hàng
Do: CF // AB? DF // AB? DC // AB (đpcm).

Câu 4:
Ta có:

)
1004.1003
1
1005.1002
1
.........
2005.2
1
2006.1
1
(2007
1004.1003
2007
1005.1002
2007
...........
2005.2
2007
2006.1
2007
)
1004
1
1003
1
()
1005

1
1002
1
(.....)
2005
1
2
1
()
2006
1
1(
2006
1
2005
1
.......
3
1
2
1
1
++++=
++++=
++++++++=
+++++
Suy ra :
)
1004.1003
1

1005.1002
1
.........
2005.2
1
2006.1
1
(2007.2006.2005.....3.2.1
++++=
A
)
1004.1003
2006...3.2.1
1005.1002
2006...3.2.1
.........
2005.2
2006...3.2.1
2006.1
2006...3.2.1
(2007
++++=
)2006...1005.1002....3.2.1
2006...1006.1004.1003.1001...3.2.1.........2006.2004...4.3.12005...3.2(2007
+
+++=
Vậy A là số tự nhiên chia hết cho 2007.
Câu 5: Theo BĐT Cô si cho x
≥
0, y

≥
0 ta có:

yxyx .2
≥+
Giáo viên: Đặng Anh Dũng – THCS Thanh Mai
10
Tích luỹ chuyên môn
Bình phương hai vế ta có:
xyyx 4)(
2
≥+
?
yxxy
yx
+
≥
+
4
?
yxyx
+
≥+
411
(*)
Do a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên:
a + b- c
≥
0; b + c - a
≥

0; c + a - b
≥
0. áp dung BĐT (*)ta cót:

bacbcbaacbcba
2411
=
−++−+
≥
−+
+
−+

cbacacbbacacb
2411
=
−++−+
≥
−+
+
−+

abaccbabaccba
2411
=
−++−+
≥
−+
+
−+

Cộng các vế của BĐT ta có:
)
111
.(2)
111
.(2
cbabacacbcba
++≥
−+
+
−+
+
−+
Suy ra:
cbabacacbcba
111111
++≥
−+
+
−+
+
−+
(đpcm).

Câu 6: Phân tích:
x
Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp là
1
O
, tâm đường tròn nội tiếp là

2
O

Giả sử dựng được tam giác ABC thoả mãn điều kiện A
bài toán. Ta có A
1
O
B = 2α (vì C = α)
Suy ra? A
1
O
B dựng được (vì
1
O
A =
1
O
B = R)
Ta có: A
2
O
B = 90
2
0
α
+
(vì A
2
O
, B

2
O
là tia phân
2
O

C
giác)
1
O
Suy ra
2
O
nằm trên cung AB chứa góc 90
2
0
α
+

và
2
O
cách AB một khoảng bằng r. B
Cách dựng:
- Dựng? A
1
O
B có A
1
O

B = 2α,
1
O
A =
1
O
B = R. y
- Đường thẳng xy // AB cách AB một khoảng bằng r.
- Dựng cung AB chứa góc 90
2
0
α
+
cắt đừng thảng xy tại
2
O
.
- Dựng (
2
O
, r).
- D ựng tiếp tuyến At và tiếp tuyến Bz cắt nhau tại C
Tam giác ABC là tam giác cần dựng.
Chứng minh:
Ta có: C = 180
0
-(180
0
-α) = α.
Giáo viên: Đặng Anh Dũng – THCS Thanh Mai

11
Tích luỹ chuyên môn
Do
1
O
A =
1
O
B = R (cách dựng) và A
1
O
B = 2α . Nên C thuộc cung AB
chứa góc α.
Vậy tam giác ABC đúng.
Biện luận:
- Đường thẳng xy cắt cung AB chứa góc 90
2
0
α
+
tai hai điểm ta có hai
nghiệm hình.
- Đường thẳng xy tiếp xúc cung AB chứa góc 90
2
0
α
+
ta có một nghiệm hình.
- Đường thẳng xy không cắt cung AB chứa góc 90
2

0
α
+
bài toán vô
nghiệm hình.

Tích luỹ phần khối 9
Khỏi phải nói nhiều về việc ứng dung 2 đònh lý đó trong việc vận dụng để
chứng minh 1 số bài toán
về 3 đường thẳng đồng qui và 3 điểm thẳng hàng. Tui đang cố gắng tìm cách
chứng minh sự tương đương của 2 đònh lý đó nhưng.....!!!!!
Ta biết với 1 số bài toán chứng minh 3 đường thẳng đồng qui ngoài cách sử
dụng đònh lý Ceva, ta lại có thể qui bài toán đó về việc chứng minh 3 điểm
thẳng hàng để mà dùng đònh lý Menelauyt.
Xin nêu vài ví dụ để bà con cùng cảm nhận:
Bài 1:
Cho tam giác ABC lấy E, F, M thứ tự trên các cạnh AC, AB, sao cho EF//BC.
MB = MC. chứng minh: CF, BE , AM đồng qui
Cách giải 1:(Dùng đònh lý ceva)
Giáo viên: Đặng Anh Dũng – THCS Thanh Mai
12
Tích luỹ chuyên môn

Gọi K là giao điểm của AM và EF theo đònh lý talet ta có:
AF/BF = AK/MK (1)
CE/AE = MK/AK (2)
BM/CM = 1 (3)
Nhân từng vế 3 đẳng thức trên ta được:
AF/BF.BM/CM.CE/AE = 1 (4)
Đẳng thức (4) cùng với đònh lý đảo Ceva suy ra AM; BE; CF đồng qui

Cách giải 2 (Dùng đònh lý Menelauyt)

Từ A kẻ đường thẳng // BC cắt BE tại N, AM cắt BE tại I. Theo đònh lý talet
thì:
AF/BF = AE/EC = AN/BC (5)
BC/MC = 2 (6)
MI/AI = BM/AN (7)
Nhân từng vế của 5.6.7 ta được:
AF/BF.BC/MC.MI/AI = AN/BC.2.BM/AN = 1
Đẳng thức cùng với đònh lý đảo Menelauyt ta suy ra 3 điểm F; I; C thẳng
hàng
Tức là AM; BE; CF đồng qui.
BàI 2:
Cho đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại
D,E,F
Chứng minh AD , BE, CF đồng qui
Giải: (Cách 1 Dùng đònh lý ceva)
Giáo viên: Đặng Anh Dũng – THCS Thanh Mai
13
Tích luỹ chuyên môn

áp dụng tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có:
AF = AE; BF = BD; CE = CD
Suy ra:
AF/BF . BD/CD . CE/AE = AE/BD . BD/CE . CE/AE = 1
áP dụng đònh lý Ceva cho tam giác ABC => AD; BE; CF đồng qui
(Cách 2 dùng đònh lý Menelauyt):
Từ A kẻ đường thẳng // BC cắt CF tại N . gọi I là giao điểm của AD và CF

Ta có:
AE/CE . CB/DB . DI/AI = AF/CD . CB/BF . CD/AN = AF/BF . CB/AN =
AN/BC . BC/AN = 1
áP dụng đònh lý Menelauyt cho tam giác ADC => 3 điểm B, I, E thẳng hàng
=> AD, BE, CF đồng qui
BàI 3:
Cho tam giác ABC. Đường cao AH lấy D, E thứ tự trên AB, AC sao cho AH
là phân giác góc
DHE.Chứng minh AH, BE, CD đồng qui
Giải:
(Cách 1 dùng đònh lý Ceva)
Giáo viên: Đặng Anh Dũng – THCS Thanh Mai
14
Tích luỹ chuyên môn

Từ A kẻ //BC cắt HD, HE tại M, N vì HA là phân giác đồng thời là đường cao
nên AM = AN
Ta có:
AD/BD = MA/BH; CE/AE = CH/AN => AD/BD . BH/CH . CE/AE =
MA/BH . BH/CH . CH/AN = 1
áp dụng đònh lý Ceva cho tam giác ABC ta có AH, BE, CD đồng qui.
(Cách 2 dùng đònh lý Menelauyt)

Từ A kẻ //BC cắt HD,HE,BE tại M, N, K gọi I là giao điểm của AH và BE
Ta có:
AD/BD = MA/BH = AN/BH và HI/AI = BH/AK
=> AD/BD . BH/CH . HI/AI = AN/BH . BC/HC . BH/AK = AN/HC . BC/AK
= AE/CE . CE/AE = 1
áp dụng đònh lý Menelauyt cho tam giác ABH ta => D, I, C thẳng hàng =>
AH, BE, CD đồng qui

BàI 4:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AK. dựng về phía ngoài tam giác
ABC các hình vuông
ABEF, ACGH. Chứng minh AK, BG, CE đồng qui
GIảI:
(Cách 1 dùng đònh lý Cêva)
Giáo viên: Đặng Anh Dũng – THCS Thanh Mai
15
Tích luỹ chuyên môn

Gọi D, I là giao điểm của AB với CE và AC với BG
Đặt AB = c; AC = b ta có:
c2 = BK.BC; b2 = CK.BC => BK/CK = c2/b2
và AD/BD = b/c và CI/AI = b/c
=> AD/BD . BK/CK . CI/AI = b/c . c2/b2 . b/c = 1
áp dụng đònh lý ceva cho tam giác ABC => AK, BG, CE đồng qui
(Cách 2 dùng đònh lý Menelauyt)

Từ A kẻ // BC cắt BG tại M gọi O là giao điểm của AK và BG
Ta có:
AD/BD = b/c ; KO/AO = BK/AM
=> AD/BD . BC/CK . KO/AO = b/c .BC/CK . BK/AM = b/c . BC/AM .
BK/CK = b/c . CI/AI .c2/b2 =
= b/c .b/c . c2/b2 = 1
áp dụng đònh lý Menelauyt cho tam giác ABK => 3 điểm D, O, C thẳng hàng
=> AK, BG, CE đồng qui
Qua 4 bài toán trên và với mỗi bài tôi đã đưa ra 2 cách giải bằng cách vận
dụng 2 đònh lý Ceva và đònh lý Menelauyt.
Liệu có phải là 2 đònh lý trên là hệ quả của nhau? Hay là CEVA <=>
MENELAUYT ?các bạn nghó sao?

Có lẽ trong quãng đời học sinh bạn đã giải rất nhiều bài toán, và trong đó
hẳn cũng có những bài rất khó. Tuy nhiên, có khi nào bạn tự hỏi: tại sao
mình không tự đặt ra các bài toán, để đố bạn bè chẳng hạn? Nếu thắc mắc đó
xuất hiện thì rất đáng mừng, đó là biểu hiện ban đầu của sự sáng tạo. Bài
viết này có ý đònh giúp các bạn hình dung được phần nào lời giải đáp cho
Giáo viên: Đặng Anh Dũng – THCS Thanh Mai
16
Tích luỹ chuyên môn
thắc mắc trên.
Thật ra, hầu như đa phần những bài toán mà chúng ta đã gặp đều không phải
là từ trên trời rơi xuống, mà thường là người ta từ một vài ý tưởng nào đó,
thêm vào ít nhiều sáng tạo đặt ra. Việc các bạn có thói quen lật đi lật lại vấn
đề, suy nghó mở rộng, đặt ra bài toán mới sẽ giúp bạn thu được những điều
quan trọng hơn lời giải rất nhiều: đó là nhận ra đâu là những kó thuật chính
(thay vì học thuộc hết các chi tiết một cách vô nghóa), qua đó giải thích được
vì sao giải như vậy, và cao hơn là vì sao nghó ra bài toán.
BàITOáN:
Cho x,y là các số dương thoả mãn: x2+y2 = 1. Tìm GTLN của A= x + 2y
nhận xét: Đây là 1 bài toán không quá khó đối với 1 HS khá lớp 9. và khi
gặp bài toán này hầu hết HS đều có cách giải như sau:
áp dung bất đẳng thức:

Ta có:

Từ đó suy ra:

Lời giải nêu trên khỏi phải bàn luận thêm làm gì.
Ngoài cách giải trên có thể giải bài toán theo cách nào khác hay không?
Nếu thay đổi GTcủa bài toán, chẳng hạn thay GT thành:
Cho x, y là các số dương thoả mãn:

Tìm GTLN của A = x + 2y
Cách giải trên có thể giải quyết được yêu cầu của bài toán mới nữa hay
không?
Bạn nghó như thế nào?
Đề thi chọn học sinh giỏi toán 9 (vòng 1v)
Năm học 2007 - 2008
Thời gian 120 phút
Giáo viên: Đặng Anh Dũng – THCS Thanh Mai
17
Tích luỹ chuyên môn
I. Trắc nghiệm : Hãy chọn một phương án đúng nhất trong các câu
sau:
1. Khi rút gọn biểu thức
608
+
ta có kết quả là:
a.
3
+
5
b.
15
+ 1 c.
5
-
3
d. Một kết quả
khác
2. Giá trò bé nhất của biểu thức:

A =
12
2
++
xx
+
144
2
++
xx
+
169
2
+−
xx
là:
a. 0 b. 2 c. 3 d. Một kết quả khác
3. Tập nghiệm của phương trình:
19
1
2
−
x
+ 5
1
−
x
+ 91
23
2

+−
xx
= 3 là
a. {1;2} b. {1;2;3} c. {2;3} d. {1}
4. Để hàm số
Y = (m- 3m)x
3
+ ( m-3)x
2
+
2
x + 7 là hàm bậc nhất thì giá trò của m
phải là:
a. m = 0 b. m = o và m = 3 c. m = 3 d. với mọi m thuộc R
5. Điểm cố đònh mà đường thẳng Y = mx -
2
m
- 1 luôn luôn đi qua khi
m thay đổi có toạ độ là:
a. (
1;
2
1
−
) b. ( -1; 2) c. (
1;
2
1
) d. ( 1; 1)
6. Cho

∆
ABC vuông tại A có AB = 2AC, AH là đường cao. Tỷ số HB:HC
là:
a. 2 b. 4 c. 3 d. 9
7. Tam giác ABC vuông tại A, biết AC = 16; AB = 12. Các đường phân
giác trong và ngoài của góc B cắt AC ở D và E. Độ dài DE là:
a. 28 b. 32 c. 34 d. 30
8. Cho góc
∝
thoả mãn 0
0
<
∝
< 90
0
ta có các kết luận sau:
a. sin
∝
< cos
∝
b. tg
∝
> cotg
∝
c. sin
∝
<tg
∝
d. Chưa thể kết luận được
9. Cho đường tròn có bán kính 12. Độ dài dây cung vuông góc với một bán kính

tại trung điểm của bán kính ấy là:
a. 3
3
b. 27 c. 6
3
d. 12
3
10. Cho
∆
ABC cân tại A; đường cao AH = 2; BC = 8. Độ dài đường kính
của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
Giáo viên: Đặng Anh Dũng – THCS Thanh Mai
18
Tích luỹ chuyên môn
a. 6 b. 8 c. 10 d. 12
II Phần tự luận
Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a. A =
74
+
-
274
−−
b. B =
44
22
−++−−
xxxx
(với xv
≥

2)
Câu 2: Chứng minh rằng nếu a > b> 0 thì: 2a
3
- 12ab + 12b
2
+ 1
≥
0
Câu 3: Cho
∆
ABC vuông tại A, đường cao AH. Tia phân giác của góc HAC cắt
HC tại D. Gọi K là hình chiếu của D trên AC.
a. Chứng minh
∆
ABD cân
b. Biết BC = 25 cm; DK = 6cm. Tính độ dài AB.
ĐáP áN
I. Trắc nghiệm ( Mỗi ý đúng cho 0, 4 điểm)
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Đáp án a c d c a b d c d C
II. Tự luận
Câu 1: (2 điểm2)
a. Ta có:
2
)17(
74
2
+
=+
( 0, 25 điểm);

2
)17(
74
2
−
=−
( 0, 25 điểm)
A =
2
2
1717
−
+−+
( 0, 25 điểm); A =
2
2
2
−
= 0 ( 0, 25
điểm)
b. B
2
= x -
)4)(4(244
2222
−+−−+−++−
xxxxxxx
( 0, 5điểm)
B
2

= x + x + 2
4
22
+−
xx
(0, 25 điểm)
B =
)2(2
+
x
( 0, 25 điểm)
Câu 2: ( 1,5) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức
Giáo viên: Đặng Anh Dũng – THCS Thanh Mai
19
Tích luỹ chuyên môn
2a
3
- 12b ( a-b) + 1
≥
0 ( 0, 25 điểm)
- Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức:
a
2

≥
4b( a- b) (2)
⇔
( a - 2b)
2

≥
0; (đúng) ⇒ (2) đúng (0.25đ)
từ (2) ⇒ 3a
2

≥
12b(a-b) (3) (0.25đ)
Muốn chứng minh (1) đúng ta chứng minh
2a
3
- 3a
2
+ 1
≥
0 (4) (0.25đ)
⇔
2a
3
2a
2
a
2
+ 1
≥
0
⇔
2a
2
(a - 1) (a - 1)(a + 1)
≥

0
⇔
(a - 1)(2a
2
a - 1)
≥
0
⇔
(a - 1)(a
2
a + a
2
- 1)
≥
0
⇔

( )
1
−
a

[ ]
0)1)(1()1(
≥+−+−
aaaa
⇔

( ) ( )
[ ]

0)12(11
≥+−−
aaa
⇔
(a - 1)
2
(2a + 1)
≥
0 đúng (vì a > 0) ⇒ (4) đúng (0.25đ)
Vì 3a
2

≥
12b (a-b) theo (3)
⇒ 2a
3
12b (a-b) + 1
≥
2a
3
3a
2
+ 1
≥
0 (theo (4)) (0.25đ)
Câu 3: (2, 5đ)
Vẽ hình đúng (0.25đ)
a) (1đ)
+ Vỡ ∆ AHD = ∆ AKD (Cạnh huyền và gúc nhọn bằng nhau) (0.25đ)
+ Suy ra

21
ˆˆ
DD
=
(cặp góc tương ứng) (0.25đ)
+
DABD
ˆ
ˆ
1
=
(so le trong) (0.25đ)
+ Suy ra
DABD
ˆ
ˆ
1
=

⇒
∆ ABD cân tại B (0.25đ)
b) (1.25đ)
+ Gọi cạnh AB là y
⇒
BD = y (theo (1)) (0.25đ)
Giáo viên: Đặng Anh Dũng – THCS Thanh Mai
20
Tích luỹ chuyên môn
+ Ta có:
AB

2
= y
2
= BH.BC = 25 (y-6) (vì HD = DK) (0.25đ)
Hay: y
2
= 25y 150 (0.25đ)
⇔
y
2
= 25y + 150 = 0
⇔
(y 10) (y 15) = 0 (0.25đ)
⇒
AB = 10cm hoặc 15cm (0.25đ)
(Học sinh có cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa)
Đề tuyển sinh vào lớp 10 khối chuyên năm 2003
Đề thi vòng 1. Thời gian 150 phút.
Câu I: 1, Giải hệ phương trình sau:
( )
( )
( )







=+

=+
=+
yxz
xzy
zyx
3
3
3
3
3
3
2, Tìm m để phương trình: x
2
– mx + m = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa
mãn:
m
x
x
x
x
3
1
2
2
1
≥+

.
Câu II: 1, Tìm tát cả các giá trò nguyên của x và y sao cho:
x
2
+ xy -3x – y – 19 = 0.
2, Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: A =
2
2
20012
x
xx
+−
.
Câu III: Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB (M#A, M#B). Gọi O và O’ lần
lượt là các đường tròn đường kính AM và BM. Tiếp tuyến chung của (O) và
(O’) cắt (O) và (O’) tương ứng tại C và D (C#D). AC và BD cắt nhau tại P.
1, Tứ giác MCPD là hình gì? Vì sao?
2, Chứng minh rằng PM
⊥
AB.
3, Tìm tập hợp tất cả các điểm P khi M di động trên đoạn thẳng AB
(M#A, M#B).
4, Xác đònh các vò trí của điểm M sao cho đoạn thẳng CD có độ dài
bằng 1 cho trước.
Giáo viên: Đặng Anh Dũng – THCS Thanh Mai
21
Tích luỹ chuyên môn
Đề thi vòng 2 năm 2003. Thời gian 150 phút.
Câu I: 1, Giải hệ phương trình :
( )

( )





−=++
=++
−=++
1
3
1
3
33
2
22
xyyx
xyyx
xyyx
2, Tính f(2003) biết rằng: 2f(x) +
2
1
f(
x
1
) =
x
x
2
14

2
+
,
.0
≠∀
x
Câu II: 1, Chứng minh rằng: A =
2
20042003
20032002
1212
−+
chia hết
cho 13.
2, Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
2
++=+
yxyx
.
Câu III: Giả sử a, b, c là các số dương thỏa mãn hệ thức: a + b + c = 2.
Chứng minh rằng:
4
97111
2
2
2
2
2
2
≥+++++

c
c
b
b
a
a
.
Câu IV: 1, Cho tam giác ABC, các đường phân giác AA
1
, BB
1
, CC
1
cắt nhau
tại I. Chứng minh rằng nếu bán kính của đường tròn nội tiếp của các tam giác
IA
1
B
1
, IA
1
C
1
bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác cân.
2, Trong bảng 41 x 41 ô vuông ta đặt các số tự nhiên từ 1 đến 1681
vào các ô vuông đó một cách tùy ý (mỗi ô vuông đặt một và chỉ một sốm).
Chứng minh rằng tồn tại hai ô vuông kề nhau (hai ô được gọi là kề nhau nếu
chúng có một cạnh chungh) sao cho hiệu của hai số viết trong hai ô đó lớn
hơn 20.
Đề tuyển sinh vào lớp 10 khối chuyên năm 2004

Đề thi vòng 1. Thời gian 150 phút.
Câu I: 1, Tính giá trò của biểu thức: P = x
3
+ y
3
-3(x + y) + 2004 , biết rằng:
33
223223
−++=
x
;
33
2121721217
−++=
y
2, Rút gọn biểu thức sau:
P =
20052001
1
...
139
1
95
1
51
1
+
++
+
+

+
+
+
.
Câu II: Giải phương trình sau:
1,
20042004
2
=++
xx
;
2,
02323
23
=++−
xxx
.
Giáo viên: Đặng Anh Dũng – THCS Thanh Mai
22
Tích luỹ chuyên môn
Câu III: Giả sử tam giác ABC có diện tích bằng 1, gọi a, b, c và h
a
, h
b
, h
c

tương ứng là độ dài các cạnh và các đường cao tam giác ABC. Chứng minh
rằng:
(a

2
+ b
2
+ c
2
).(h
a
2
+ h
b
2
+ h
c
2
)
≥
36. Dấu đẳng thức xẩy ra khi nào?
Câu IV: Cho tam giác ABC có
0
60
=
∧
A
, AC = b, AB = c (với b > c). Đường
kính EF của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc với BC tại M.
Gọi I và J là chân đường vuông góc hạ từ E xuống các đường thẳng AB và
AC. Gọi H và K là chân đường vuông góc hạ từ F xuống các đường thẳng AB
và AC.
1, Chứng minh các tứ giác AIEJ và CMJE nội tiếp .
2, Chứng minh I, J, M thẳng hàng và IJ vuông góc với HK.

3, Tính độ dài cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC theo b, c.
4, Tính IH +JK theo b, c.
Đề thi vòng 2 năm 2004. Thời gian 150 phút.
Câu I: 1, Tìm các giá trò của tham số m để tập nghiệm của phương trình sau
có đúng một phần tử.
0
127
6722
2
2422
=
++
+−−−
xx
mmxmx
.
2, Giải hệ phương trình:







=+++++
=+++++
16
771111
4

51111
222
222
zyx
zyx
zyx
zyx
Câu II: Tìm giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: P = x – y + 2004 , trong
đó các số thực xvà y thỏa mãn hệ thức:
36
169
22
=+
yx
.
Câu III: Chứng minh rằng tồn tại các số tự nhiên a, b, c nghiệm đúng phương
trình
x
2
+ y
2
+ z
2
= 3xyz, và thỏa mãn điều kiện: Min(a, b, c) > 2004.
Câu IVC: Cho ngũ giác ABCDE . Gọi M, P, N, Q là các trung điểm của AB,
BC, DE, EA. Chứng minh MN đi qua trung điểm của PQ khi và chỉ khi
MN //CD.
Giáo viên: Đặng Anh Dũng – THCS Thanh Mai
23
Tích luỹ chuyên môn

Câu V: Cho đường thẳng xy và một điểm A ccó đònh nằm ngoài đường thẳng
ấy. Điểm M chuyển động trên xy. Trên đoạn thẳng AM lấy điểm I sao cho
AI.AM = k
2
, trong đó k là số dương cho trước và k nhỏ hơn khoảng cách từ A
đến đường thẳng xy. Dựng hình vuông AIJK. Tìm tập hợp điểm I và tập hợp
điểm K.
---------------------------------------------------------
Đề thi vòng 3 năm 2004. Thời gian 150 phút.
Câu I: Ch biểu thức: P =
3212
1
...
53
1
31
1
+++
++
+
+
+
nn
1, Rút gọn biểu thức P;
2, Tìm số nguyên dương n để P = 23.
Câu II: 1, Giải phương trình:
2004)2004(32004
=−−−+
xxxx
2, Giải hệ phương trình:




=++
=+
12)2).(1(
4
yx
yx
Câu III: Giả sử các số thực dương a, b, c thỏa mãn hệ thức: a + b + c = 1.
Chứng minh rằng:
9
111
≥++
cba
. Dấu đẳng thức xẩy ra khi nào?
Câu IV: Cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB = a, CD = b, hai đường
chéo AC và BD cắt nhau tại O sao cho
0
60
=
∧
AOB
.
1, Chứng minh rằng các tam giác AOB, COD là những tam giác đều;
2, Tính độ dài các cạnh AD, BC và các đường chéo AC, BD của hình
thang ABCD theo a,
b.
3, Gọi M, N và P tương ứng là trung điểm của AO, OD và BC. Chứng
minh tam giác

MNP là tam giác đều.
4, Tính diện tích hình thang ABCD và diện tích tam giác MNP theo a
và b
Đề toán rút gọn
Câu 1: (Đề tuyển sinh vào lớp 10 Trường Lê Hồng Phong Năm 2003-2004).
a. Thu gọn biểu thức:
Giáo viên: Đặng Anh Dũng – THCS Thanh Mai
24
Tích luỹ chuyên môn
A=
3223
3223
32
1
+
−
−
b. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
B=
267221
−−++−−−
xxxx
Câu 2: (Đề tuyển sinh vào lớp 10 Trường ĐHQG Hà nội Năm 2004-2005)
Cho biểu thức:
M=
1212
1
1
1
2

−
+
−+
−
⋅








−
+
−
−
−+
x
x
xx
x
x
xx
xx
xxxx
a. Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghóa, sau đó rút gọn M
b. Với giá trò nào của x thì biểu thức M đạt giá trò nhỏ nhất và tìm giá
trò nhỏ nhất đó của M ?
Câu 3: (Đề tuyển sinh vào lớp 10 Trường Hà nội - Amsterdam Năm 2004-

2005)
Cho biểu thức:
N=
( )
1
122
1
2
−
−
+
+
−
++
−
x
x
x
xx
xx
xx
a. Rút gọn N
b. Tìm giá trò nhỏ nhất của N
c. Tìm x để biểu thức B=
N
x2
nhận giá trò nguyên
Câu 4: (Đề tuyển sinh vào lớp 10 Trường ĐH Vinh Năm 2005-2006)
Rút gọn biểu thức sau:
A=

2
158
2
158
−
+
+
Câu 5: (Đề tuyển sinh vào lớp 10 Trường Quốc Học Huế Năm 2004-2005)
Cho biểu thức:
T=
a
aab
a
b
2
−
−
a. Tìm điều kiện của a,b để biểu thức T xác đònh
b. Rút gọn biểu thức T
Câu 6: (Đề tuyển sinh vào lớp 10 Trường Tỉnh Quảng Ngải Năm 2005-2006)
Cho biểu thức:
Q=
x
x
xx
−
−
−
+
+

4
2
2
1
2
1
Với x
0
≥
và x#4
a. Rút gọn biểu thức Q
b. Tìm giá trò của x để Q=
4
1
Câu 7: Cho biểu thức:
Giáo viên: Đặng Anh Dũng – THCS Thanh Mai
25