trong tâm kiến thức phương trình lượng giác

Thầy: Lê Đình Huy
Tel: 0978 688 611
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 2:
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
A
Chú ý : 1)
có nghĩa khi B �0 (A có nghĩa) ; A có nghĩa khi A �0
B
2) 1 �s inx �1 ; -1 �cosx �1


3) sin x  0 � x  k  ; s inx = 1 � x =  k 2 ; s inx = -1 � x =   k 2
2
2

4) cosx  0 � x   k  ; cosx = 1 � x = k 2 ; cosx = -1 � x =   k 2
2

5) Hàm số y = tanx xác định khi x �  k 
2
x
�
k

Hàm số y = cotx xác định khi
 Ví dụ: Tìm tập xác định của các hàm số sau:


1) y = sin x  4

2) y = 2  s inx
3) y = tan(x + )
4) y = cot(2x - )
4
3
1  cosx
x 1
1
1

5) y =
6) y = cos
7) y =
1-sinx
x2
s inx 2cosx
II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác
Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx
2
sin2(-x) =  sin(-x)  = (-sinx)2 = sin2x
PP: Bước 1 : Tìm TXĐ: D ; Kiểm tra x �D �  x �D, x
Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng
+ Nếu f(-x) = f(x) thì f(x) là hàm số chẵn.
+ Nếu f(-x) = - f(x) thì f(x) là hàm số lẻ.
+ Nếu f(-x) �- f(x) �f(x) thì f(x) là hàm số không chẵn không lẻ.
 Ví dụ: Xét tính chẵn – lẻ của các hàm số sau:
tan x
sin x  5
a) y sin 2 x. cot 3 x
b) y cos x  sin 2 x

c) y 
d) y 
2
1  cos x
sin 2 x
III. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
1 �s inx �1 ; -1 �cosx �1 ; 0 �sin2 x �1 ; A2 + B �B
Chú ý :
PP: B1: Biến đổi hàm số về dạng y = asinx + b hoặc y = acosx + b
B2: Ta có 1 �s inx �1 � a �a s inx �a � a  b �a s inx+b �a  b

B3: GTLN của y là: a + b khi sinx = - 1 � x    k 2
2

GTNN của y là: - a + b khi sinx = 1 � x   k 2
2
 Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số


2
a) y = 2sin(x- ) + 3
b) y = -1 - cos (2x + )
c) y = 1  cos(4x 2 ) - 2
2
3

d) y  3 cos x  sin x
e) y = sin4x + cos4x
f) y cos x  cos( x  )
3

1
1
ĐS: a, LN: 5, NN: 1
b, LN: - 1, NN: - 2
c, LN: 2  2 , NN: - 2
d, LN:
, NN: 
2
2
1
e, LN: 1, NN:
f, LN: 3 , NN:  3
2
-1-


Thầy: Lê Đình Huy
Tel: 0978 688 611
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
IV- Đồ thị của hàm số lượng giác
1) Vẽ đồ thị hàm số lượng giác:
– Tìm tập xác định D.
– Tìm chu kỳ T0 của hàm số.
– Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần).
– Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T0 có thể chọn:
� T0 T0 �
x � 0, T0  hoặc x ��
 , �.
�2 2�
– Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ.

r
r
– Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo vectơ v  k .T0 .i về bên trái và phải song song
r
với trục hoành Ox (với i là véc tơ đơn vị trên trục Ox).
2) Một số phép biến đổi đồ thị:
a) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trên
trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hoành a đơn vị nếu a < 0.
b) Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hoành.
f ( x), khi f ( x) �0
c) Đồ thị y  f ( x) 
được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ nguyên phần đồ
 f ( x), khi f ( x)  0
thị y = f(x) ở phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm ở phía dưới trục hoành qua
trục hoành.
 Ví dụ: Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = f(x) = sinx.
b) y = f(x) = cosx.
c) y = sin2x.
d) y = 1 + cosx.
e) y = sinx
�Bài tập tương tự:
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
tan x
cot 2 x
sin x  5
sin x
a) y 
b) y 
c) y 

d) y 
sin 2 x
1  2 cos x
2  2 cos 3 x
3  2 sin x
k

 k 2 

2
k
,  k }
 k 2 , }
ĐS: a, �\{ }
b, �\{ �  k 2 } c, �\{ � 
d, �\{  k 2 ,
2
3
12
3 2
3
3
2
Bài 2: Xét tính chẵn - lẻ của các hàm số sau:
a) y = sinx + x
b) y = sin x + x2
c) y = tan5x.cot7x



d) y = cosx + sin2x

e) y = sin2x.cos3x

Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau.
a) y = 4  3cos 2 3 x  1
b) y = 2 s inx  3
ĐS: a, LN: 3, NN: 2

b, LN: 5, NN: 3

c) y = sinx + cosx + 1
c, LN:

2  1 , NN:  2  1

d) y = 3cosx – 4sinx + 2
d, LN: 7, NN: - 3

…………………………………………***…………………………………………

-2-


Thầy: Lê Đình Huy
Tel: 0978 688 611
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 2:
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I- Phương trình lượng giác cơ bản .

u v  k 2
sin u = sin v  
(kZ)
u   v  k 2
cos u = cos v  u =  v + k2.
(kZ)
tanu = tanv  u = v + k
(k
Z)
cotu = cotv  u = v + k
(kZ)
Phương trình đặt biệt :



sinx = 0  x = k , sinx = 1  x =

2

+ k2 ,sinx = -1  x = -

2

+ k2


+ k  , cosx = 1  x = k2 , cosx = -1  x =  + k2 .
2
 Ví dụ 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản.


1

a) sin(x + 1) = 1
b) 2 sin( 2 x  30  )  2 0
c) cos( x  ) = 
d) 2 cos(2 x  )  3 0
3
2
3
x

x
2





  1 0
e) tan(2x + 100) = 1
f) tan     3 0
g) cot(x – 2) = 3
h) 3 cot  
5 
2 4
2
�
x  (75 / 2)0  k1800
x   / 3  k 2

x  7 /12  k
�
�

ĐS: a, x   1  k 2
b, �
c,
d,
�
�
x    k 2
x   / 4  k
2
x  (195 / 2) 0  k1800
�
�
�
cosx = 0  x =

e, x  (35 / 2) 0  k 90 0 f, x  7 / 6  k 2
g, x  2  arc cot 3  k
h, x  22 / 15  k 2 .
 Ví dụ 2: Giải phương trình biến đổi về phương trình cơ bản.
Áp dụng : + Công thức biến đổi góc
+ Công thức nhân đôi
+ Công thức hạ bậc
+ Công thức biến đổi tổng thành tích.
3
2 cos 2 x
0

a) sin3x – cos5x = 0 b) sin(5x + 600) + sin3x = 0
c) cos2x =
d) tan3x = cotx e)
4
1  sin 2 x
f) tanx.tan2x = 1
ĐS: a, x   /16  k / 4, x   / 4  k
b, x = (-15/2)0 + k450, x =600 + k1800
c, x   / 6  k , x   / 6  k
d, x   / 8  k / 4
e, x  3 / 4  k
f,
x   / 6  k / 3
 Ví dụ 3: Tìm các nghiệm thuộc một miền cho trước.
 �

� �
�
a ) 2 cos �x  � 1  0 với   x  
2 x  � 1 với   x 
b) tan �
2
� 6�
� 12 �
 5

5 
ĐS:
a) x  {- ; }
b) x  {- ;  ; }

2 6
3
6 6
�Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:

1) 2sin(x + 150) + 1 = 0
2) 3cos(x – 1) = 2
3) 2cos(3x – 150) + 2 = 0
4) tan(  12 x)   3
12
x
2co 2 x  2
0
5) cot(  20 )  3  0 6)2sin2x – 1 = 0 7)sin3x + cos2x = 0
8)cotx.cot4x = 1 9)
0
4
sin 4 x
2
ĐS: 1, x = - 450 + k3600, x = 1950 + k3600 2, x = 1 �arccos  k 2
3, x  500  k1200 , x = -400+ k1200
3
5 k
 k
 k 2


4, x  
5, x = - 2000 + k7200
6, x  

7, x   
, x    k 2
144 12
4 2
10
5
2
-3-


Thầy: Lê Đình Huy
Tel: 0978 688 611
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
 k

8, x  
9, x  �  k .
10 5
8
II – Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Đặt t = cosx , 1 �t �1
a cos 2 x  b cos x  c  0
Đặt t = sinx , 1 �t �1
a sin 2 x  b sin x  c  0
Đặt t = tanx
a tan 2 x  b tan x  c  0
2
Đặt t = cotx
a cot x  b cot x  c  0
 Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) 2sin2x – 3sinx + 1 = 0
b) tan2x + ( 3 + 1)tanx - 3 = 0
 Ví dụ 2: Giải phương trình biến đổi về phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác
+ Nếu phương trình có cùng góc thì áp dụng hằng đẳng thức lượng giác biến đổi.
+ Nếu phương trình không cùng góc thì áp dụng công thức hạ bậc, công thức nhân đôi,
công thức biến đổi tích thành tổng và các công thức biến đổi về góc.
1) cos2x + 2sinx + 2 = 0
2) cos2x + sin2x – sinx + 1 = 0
3) cos4x + cos2x + 1 = 0
� �
3
4) 2  3cot x  3 5) 7tanx – 4cotx = 12 6) t anx  tan �x  � 1 7) 3 + 2sinx.sin3x = 3cos2x
� 4�
sin x
3 �
1
� �
2�
4
4
8) sin x  cos x  sin 2 x 
9) 2 cos �x 
10) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x)
� 5sin �x  � 4
2
� 2 �
� 2�


 k




, x  �  k
ĐS: 1, x    k 2
2, x   k 2
3, x  
4, x   k , x   k
2
2
4 2
3
2
6
2

5, x  arctan 2  k , x  arctan( )  k
6, x  k , x  arctan 3  k
7, x  k
8, x   k
7
4
2

9, x  �  k 2
10, x   k
3
4
�Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
x

2 x
1) sin  2 cos  2  0
2) 4sin4x + 12cos2x = 7
3) 3cos2x + 10sinx + 1 = 0
2
2
1
 2 tan x  0
4)
5) 2 cos 2 x  2 cos x  2  0
6) 5tanx – 2cotx = 3
cos 2 x
2
2 x
7) cos2 x  3cos x  4 cos
8) cot x  t anx  4sin 2 x 
.
2
sin 2 x
 k
1
1

ĐS: 1, x  4k
2, x  
3, x  arcsin(  )  k 2 , x    rcsin(  )  k 2
4, x    k
4 2
3
3

4


2
2

5, x  �  k 2
6, x   k , x  arctan( )  k
7, x  �  k 2
8, x  �  k
4
4
5
3
3
III – Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1)
trong đó a2 + b2  0
+ Nếu a2 + b2 < c2 thì (1) vô nghiệm
+ Nếu a2 + b2 �c2 thì (2) có
nghiệm
Đặt thừa số chung vế trái cho a 2  b 2 �
� a
�
b
a2  b2 �
cos x 
s inx � c (2)
2
2

a2  b2
� a b
�
(2) 

a 2  b 2 . cos( x   ) = c

với

-4-

cos  

a
2

a b

2

, sin  

b
a  b2
2


Thầy: Lê Đình Huy
Tel: 0978 688 611
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

b
a
(2)  a 2  b 2 . sin( x   ) = c với sin   2 2 , cos 
a b
a2  b2
Chú ý: + acosx + bsinx = 0 chia hai vế cho cosx � a + btanx = 0
+ acosx + bsinx = a 2  b 2 cos : ta biến đổi vế trái về dạng a 2  b 2 . cos( x   ) = a 2  b 2 cos
 Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a) sin 3 x  3cos3 x  1
b) 3cos2x – 4sin2x = 5
c) 2sin 5 x  3cos3 x  sin 3 x  0
 k 2
 k 2

 k
2
, x 
, x
 k
ĐS: a, x  
b,   k
c, x   
18
3
2
3
2
24 4
3
 Ví dụ 2: Giải phương trình biến đổi về phương trình bậc nhất sinx và cosx.

�
�
a) 3 sin 2 x  sin �  2 x � 1
b) sin 8 x  cos 6 x  3  sin 6 x  cos8 x 
�2
�
� �
� � 3 2
� �
2 x  � 2 2
c) 2sin �x  �+ sin �x  �=
d) 3 cos 2 x  sin 2 x  2sin �
� 4�
� 4� 2
6�
�


 k



ĐS: a, x   k
b, x    k , x  
c, x   k 2 , x  2   k 2 d, x   k
3
4
84 7
2
2

2
�Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
a) cos x  3 sin x  2
b) sin x  c o s x  2 sin 5 x
c) 2sin 2 x  3 sin 2 x  3
�
�
3
1
d) 8cos x 
e) cosx + 3 sin x  2 cos �  x � 0

�3
�
sin x cos x
7

 k
 k
5
 k 2 , x   k 2
, x 
 k
ĐS: a, x 
b, x  
c, x 
12
12
16 2
8 3

12
 k


, x   k
d, x  
e, x    k
12 2
3
6
IV - Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx
Dạng : a.cos2x + b.sinx.cosx + c.sin2x = d
Cách 1:
 Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không?

2
Lưu ý: cosx = 0 � x   k � sin x  1 � sin x  �1.
2
 Khi cos x �0 , chia hai vế phương trình (1) cho cos 2 x �0 ta được:
a.tan 2 x  b.tan x  c  d (1  tan 2 x)


Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:

(a  d )t 2  b.t  c  d  0
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
1  cos 2 x
sin 2 x
1  cos 2 x
(1) � a.

 b.
 c.
 d
2
2
2
� b.sin 2 x  (c  a).cos 2 x  2d  a  c (đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x)
 Ví dụ : Giải các phương trình sau:

a) 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2
b) 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 3 9)cos2x = 0
c) 4sin2x +3 3 sin2x – 2cos2x = 4
d) 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx.


1
�8
�
ĐS: a, x   k , x  arctan( )  k
b, x    k , x  arctan �  3 � k
4

3

4

-5-

�3

�


Thầy: Lê Đình Huy
Tel: 0978 688 611
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC



c, x   k , x   k
d, x   k
2
6
4
�Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
a) sin 2 x  sin 2 x  2cos 2 x  1 / 2
b)
2
2
2
c) sin x  3 sin x cos x 1 ĐS: a, x   / 4  k , x  arctan(5)  k
sin x  sin 2 x  3cos x  0
b, x   / 4  k , x  arctan(3)  k
c, x   / 2  k , x  arctan(1/ 3)  k
V- Các phương trình lượng giác khác.
1, Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích.
Công thức biến đổi tổng thành tích
ab
a b
ab

a b
cos a  c os b  2 cos
.cos
cos a  cos b   2sin
.sin
2
2
2
2
ab
a b
ab
a b
sin a  sin b  2sin
.cos
sin a  sin b  2 cos
.sin
2
2
2
2
Công thức biến đổi tích thành tổng và công thức hạ bậc
1
1  cos 2
cos a.cos b   cos(a  b)  cos(a  b) 
cos 2  
2
2
1
1


cos
2
sin a.sin b   cos(a  b)  cos(a  b) 
sin 2  
2
2
1
1

cos
2
sin a.cos b   sin(a  b)  sin(a  b) 
tan 2  
2
1  cos 2
a) sin 4 x.cos3x  s inx

b) cos x.cos3x  cos5 x.cos7 x
k
 k
,x  
d) s inx  sin 2 x  cos x  cos2 x
ĐS: a, x 
3
8 4
k
2
 k 2
, x  �  k 2

c, x 
d, x    k 2 , x  
2
3
6
3
2, Áp dụng công thức hạ bậc và biến đổi tổng thành tích.

2
2
2
b) cos 3x  cos 4 x  cos 5 x 

a) sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 4 x  sin 2 3 x


k
k
 k , x 
, x
2
3
5
3, Phương trình các dạng khác.
ĐS: a, x 

a) (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx

c) s inx  sin 2 x  sin 3x  0
k

k
, x
b, x  
4
8

b, x 

 k


, x  �  k
16 8
3

b) tanx + tan2x = sin3x.cosx

3
2

c) sinx + cosx =

cos2 x
1  sin 2 x

d) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
e) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos2x

k



ĐS: a, x    k , x  k
b, x 
c, x  k 2 , x    k , x    k 2
4
3
4
2

2
 k

5
, x   k 2 , x 
 k 2
d, x    k , x  �  k 2
e, x  
4
3
4 2
6
6
�Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
a) cosx.cos2x = cos3x
b) sin5x + sin3x = sin4x
c) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2
�x  � 2
2 x
d) sin3x.cosx = cos3x.sinx
e) cos3x – sin3x = sinx – cosx

f) sin2 �  �tan x  cos  0
2
�2 4 �
ĐS: a, x  k , x 

k
2

b, x 

k

, x  �  k 2
4
3
-6-

c, x 


 k
 k
 k , x  
, x 
2
10 5
4 2


Thầy: Lê Đình Huy

Tel: 0978 688 611
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

 k



d, x  k , x   k , x  
e, x   k
f, x   k 2 , x    k , x    k 2
2
4 2
4
2
4
………………………………………***……………………………………………

-7-